TAN（3π/11）＋４SIN（2π/11）＝？★２
1 ：１３２人目の素数さん：
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2 ：１３２人目の素数さん：2005/08/12(金) 08:21:04
I=tan(3π/11)+4sin(2π/11)
t=3π/11とする
11t=3π
⇔ 6t=3π-5t
⇒ sin(6t)=sin(3π-5t) ←両辺のsinを取った
⇔ 2sin(3t)cos(3t)=sin5t ←2倍角の公式
⇔ 2｛3sint-4(sint)^3｝｛4(cost)^3-3cost｝=16(sint)^5-20(sint)^3+5(sint) ←3倍角，5倍角の公式
⇔ 2｛3-4(sint)^2｝｛4(cost)^3-3cost｝=16(sint)^4-20(sint)^2+5 ←(sint)≠0で割った
⇔ 32x^5-16x^4-32x^3+12x^2+6t-1=0 ←(sint)^2=1-(cost)^2，x=costを使って整理した
以上よりx=cos(3π/11)は
32x^5-16x^4-32x^3+12x^2+6t-1=0の解
(2π/11)=｛1-(9/11)｝π=(π-3t)より
I=tan(3π/11)+4sin(2π/11)
=tant+4sin(π-3t)
=tant+4sin3t
=(sint/cost)+4｛3sint-4(sint)^3｝
=(sint/cost)｛16(cost)^3-4(cost)+1｝
I^2=(sint/cost)^2｛16(cost)^3-4(cost)+1｝^2
=｛(1-(cost)^2)/(cost)^2｝｛16(cost)^3-4(cost)+1｝^2
=｛(1-x^2)(16x^3-4x+1)^2｝/x^2 ←x=cost
分子の｛(1-x^2)(16x^3-4x+1)^2｝を
｛32x^5-16x^4-32x^3+12x^2+6t-1｝で割ると
余りは11x^2 ←商は省略
以上よりI^2=11x^2/x^2=11
t=3π/11とする
11t=3π
⇔ 6t=3π-5t
⇒ sin(6t)=sin(3π-5t) ←両辺のsinを取った
⇔ 2sin(3t)cos(3t)=sin5t ←2倍角の公式
⇔ 2｛3sint-4(sint)^3｝｛4(cost)^3-3cost｝=16(sint)^5-20(sint)^3+5(sint) ←3倍角，5倍角の公式
⇔ 2｛3-4(sint)^2｝｛4(cost)^3-3cost｝=16(sint)^4-20(sint)^2+5 ←(sint)≠0で割った
⇔ 32x^5-16x^4-32x^3+12x^2+6t-1=0 ←(sint)^2=1-(cost)^2，x=costを使って整理した
以上よりx=cos(3π/11)は
32x^5-16x^4-32x^3+12x^2+6t-1=0の解
(2π/11)=｛1-(9/11)｝π=(π-3t)より
I=tan(3π/11)+4sin(2π/11)
=tant+4sin(π-3t)
=tant+4sin3t
=(sint/cost)+4｛3sint-4(sint)^3｝
=(sint/cost)｛16(cost)^3-4(cost)+1｝
I^2=(sint/cost)^2｛16(cost)^3-4(cost)+1｝^2
=｛(1-(cost)^2)/(cost)^2｝｛16(cost)^3-4(cost)+1｝^2
=｛(1-x^2)(16x^3-4x+1)^2｝/x^2 ←x=cost
分子の｛(1-x^2)(16x^3-4x+1)^2｝を
｛32x^5-16x^4-32x^3+12x^2+6t-1｝で割ると
余りは11x^2 ←商は省略
以上よりI^2=11x^2/x^2=11