TAN（3π/11）＋４SIN（2π/11）＝？★２

さて、解けるかな？

前スレ
TAN（3π/11）＋４SIN（2π/11）＝？
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1002903143/

I=tan(3π/11)+4sin(2π/11)
t=3π/11とする

　　　11t=3π
　⇔　6t=3π-5t
　⇒　sin(6t)=sin(3π-5t)　　←両辺のsinを取った
　⇔　2sin(3t)cos(3t)=sin5t　　←2倍角の公式
　⇔　2｛3sint-4(sint)^3｝｛4(cost)^3-3cost｝=16(sint)^5-20(sint)^3+5(sint)　　←3倍角，5倍角の公式
　⇔　2｛3-4(sint)^2｝｛4(cost)^3-3cost｝=16(sint)^4-20(sint)^2+5　　←(sint)≠0で割った
　⇔　32x^5-16x^4-32x^3+12x^2+6t-1=0　　←(sint)^2=1-(cost)^2，x=costを使って整理した

以上よりx=cos(3π/11)は
32x^5-16x^4-32x^3+12x^2+6t-1=0の解

(2π/11)=｛1-(9/11)｝π=(π-3t)より
I=tan(3π/11)+4sin(2π/11)
　=tant+4sin(π-3t)
　=tant+4sin3t
　=(sint/cost)+4｛3sint-4(sint)^3｝
　=(sint/cost)｛16(cost)^3-4(cost)+1｝

I^2=(sint/cost)^2｛16(cost)^3-4(cost)+1｝^2
　=｛(1-(cost)^2)/(cost)^2｝｛16(cost)^3-4(cost)+1｝^2
　=｛(1-x^2)(16x^3-4x+1)^2｝/x^2　　←x=cost

分子の｛(1-x^2)(16x^3-4x+1)^2｝を
｛32x^5-16x^4-32x^3+12x^2+6t-1｝で割ると
余りは11x^2　　←商は省略

以上よりI^2=11x^2/x^2=11

これじゃ単なる単発質問スレだろ。スレタイどうにかならんかったのか。

>>3
スレタイなど問題にならん。
内容だよ内容！
ネタもないのに立てんな (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!

とにかく三角関数に気付いた事があれば書き込めばよい

糞スレになりそうな悪寒…

あーくたん

やっぱ糞スレじゃねーか！

-π/2 < θ < π/2 とする。
二次方程式 (sinθ)x^2 + 2(cosθ)x + 2θ = 0 が実数解をもつための
θのとりうる値の範囲を求めよ。

>>9
解けねーよ！

移転あげ

あげ

三角関数の問題を載せるスレッドですか？
最近、僕、問題思いついたんですけど、載せてもいいですか？

どうぞ

ではお言葉に甘えて。

次の不定積分をかっこよく求めてください
∫tanxtan2xtan3xdx
∫cos2x/cos3x dx

次の和を簡単にしてください
�納k=1〜n]coskθ/(cosθ)^k

tan(nθ)をtanθで表したときに意味ありげに2項係数が現れるのはなんで？

三角関数
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1062225260/
こっちでやってくれ

sage

むかしわかスレかなんかで��(1/k^2)=π^2/6であることをcotのn倍角公式かなんかから
みちびく問題がでてたとおもうんですけどあれいつだったか覚えてるひといませんか？
記録しとこうと思ってすっかり忘れてたの今思い出した。もうどのスレだったかおもいだせない。
東工大かなんかの過去問とかいううわさもあったんだけど。思い打線

【sin】高校生のための数学の質問スレPART30【cos】
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1118860807/

476 名前：aho[sage] 投稿日：2005/06/23(木) 22:34:46
くだらないことで申し訳ありません。
この問題についてどなたかご教授頂けたら幸いです(;´Д｀)
何年か前の某大学の入試問題らしいのですが・・・

fn(X)はｎ次(n=1,2,,,,)の整式で
sin{(2n+1)x}={sin(x)}^(2n+1)*fn[{cot(x)}^2]
を満たす
（１）n次方程式fn(X)=0 の解は X={cot(kπ/2n+1)}^2 (k=1,2,,,,n) であることを示せ

（２）ド・モアブルの定理を用いて、fn(X)のn次の項の係数、(n-1)次の項の係数、および Σ[k=1,n]{cot(kπ/2n+1)}^2、Σ[k=1,n]{csc(kπ/2n+1)}^2
のそれぞれをｎで表せ

（３）無限級数Σ[n=1,∞]1/n^2 の和を求めよ。ただし、必要ならば ０＜ｘ＜π/2 のとき、
cot(x)＜1/x＜csc(x) であることを用いてよい

お願いします！

482 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/06/23(木) 23:15:26
>>476
大昔の東工大の後期の問題だったはず．
15年くらい前の問題．
一寸面倒なので自分で調べてください．

491 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/06/24(金) 01:43:42
>>476
できたよーん。
(1)
X={cot(kπ/2n+1)}^2 (k=1,2,,,,n)を与式にぶちこんでfn(X)=0になるので解。
全部ことなりfnがn次なのでこれが解のすべて。
(2)
fn(x)の最高次、n-1次の係数をa,bとおく。以下limはx→0として
a=lim sin^(2n)fn((cotx)^2)、b=lim sin^(2n-2)(fn((cotx)^2)-a(cotx)^(2n))
より
a=lim sin(2n+1)x/sinx=(2n+1)
b=lim (sin(2n+1)x - (2n+1)sinx(cosx)^(2n))=(-1/6)(2n+1)^3+(1/6)(2n+1)(6n-1)
よって解と係数の関係より
��(cot(kπ/(2n+1)))^2=(1/6)(2n+1)^2-(1/6)(6n-1)
��(cosec(kπ/(2n+1)))^2=��((cot(kπ/(2n+1)))^2+1)=(1/6)(2n+1)^2-(1/6)(6n-1)+n
(3)
(2)により(1/6)(2n+1)^2-(1/6)(6n-1)＜��(2n+1/kπ)^2＜(1/6)(2n+1)^2-(1/6)(6n-1)+n
よって(π^2/6)-(π^2/6)(6n-1)/(2n+1)^2＜��(1/k)^2＜(π^2/6)-(π^2/6)(6n-1)/(2n+1)^2+nπ^2/(2n+1)^2
極限をとって��(1/k)^2=π^2/6

493 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/06/24(金) 02:14:38
>>476
(2)別人だが、ド・モアブルの定理を使ってみた。
cos(2n+1)x+isin(2n+1)x=(cosx+isinx)^(2n+1) ⇔
cos(2n+1)x+isin(2n+1)x=(sinx)^(2n+1)(cotx+i)^(2n+1)
fn(X)のn次の項の係数は　(1/i)C[2n+1,1]i=2n+1
(n-1)次の項の係数は　(1/i)C[2n+1,3]i^3=-(1/3)n(2n-1)(2n+1)

>>20-22
おお、thx!!

>>16
でてくるの？
tan(2nθ)について計算してみたがどうもでてこなさそうなんだが。

tan2θ=2tanθ/(1-tan^2θ)
tan3θ=(3tanθ-tan^3θ)/(1-3tan^2θ)
tan4θ=(4tanθ-4tan^3θ)/(1-6tan^2θ+tan^4θ)
tan5θ=(5tanθ-10tan^3θ+tan^5θ)/(1-10tan^2θ+5tan^4θ)

例えばtan4θのtanθの4乗,3乗,2乗,1乗,0乗の係数の絶対値は
順に1,4,6,4,1となっていて、きれいだなと思いました。

なるほど、そういう表示なのか。それなら一般にこういえる。
ドモアブルの定理の応用で
cos(nθ)/cos^n(θ)=Σ[k=0,n'](-1)^k*C[n,2k]tan^(2k)(θ)
（C[n,k]は二項係数　n'はn/2の整数部分）
とかけるから対数を取って微分すれば、上の式の右辺をf(θ)と書いておくことにすると
-ntan(nθ)+ntan(θ)=f'(θ)/f(θ)　移項整理すると
ntan(nθ)={nf(θ)tan(θ)-f'(θ)}/f(θ)
f'(θ)=Σ[k=1,n'](-1)^k*C[n,2k]*2k*tan^(2k-1)(θ)*cos^2(θ)
　　　=Σ[k=1,n'](-1)^k*n*C[n-1,2k-1]*tan^(2k-1)(θ)*(1+tan^2(θ))
となるから分子のnf(θ)tan(θ)-f'(θ)を整理すると
nΣ[k=0,n']{C[n,2k]+C[n-1,2k+1]-C[n-1,2k-1]}*(-1)^k*tan^(2k+1)
=nΣ[k=0,n']C[n,2k+1]*(-1)^k*tan^(2k+1)
と出来る。(二項係数で右側の引数が負のものや左側の引数より大きくなるものは0とする)
よって一般に
tan(nθ)=Σ[k=0,n']C[n,2k+1]*(-1)^k*tan^(2k+1)/Σ[k=0,n'](-1)^k*C[n,2k]tan^(2k)(θ)
とかけるから、綺麗に2項係数が並ぶことになる。
二項係数の出所はドモアブルの定理の指数の部分からといえばいいのかな、これは。

ついでに部分分数分解すると
tan(nθ)
={1-(-1)^n}*tan(θ)/(2n)+1/n*Σ[k=-n',n'-1]sec^2((2k+1)π/(2n))/{tan((2k+1)π/(2n))-tan(θ)
となる。}

>16,25
　sin(nθ) = {exp(inθ) - exp(-inθ)} / 2i
　= {exp(iθ)^n - exp(-iθ)^n} / 2i
　= {(θ+i･sinθ)^n - (cosθ-i･sinθ)^n} / 2i
　= �納k=0,[(n-1)/2]] (-1)^k･Ｃ[n,2k+1]･(cosθ)^(n-2k-1)･(sinθ)^(2k+1),

　cos(nθ) = {exp(inθ) + exp(-inθ)} / 2
　= {exp(iθ)^n + exp(-iθ)^n} / 2
　= {(cosθ+i･sinθ)^n + (cosθ-i･sinθ)^n} / 2
　= �納k=0,[n/2]] (-1)^k･Ｃ[n,2k]･(cosθ)^(n-2k)･(sinθ)^(2k),

　tan(nθ) = {�納i=0,[(n-1)/2]] (-1)^i･Ｃ[n,2i+1]･(tanθ)^(2i+1)} / {�納j=0,[n/2]] (-1)^j･Ｃ[n,2j]･(tanθ)^(2j)}.

あ、そうか。ずいぶん遠回りしてしまったな｡

>26-27
　は実数の範囲内で（複素数を使わずに）出した点に意義があると思われ。

　二項係数の出所は加法定理から出るｎ倍公式といえばいいのかな、これは。

>15 下
　cos(kθ)/(cosθ)^k = {(cosθ+i･sinθ)^k + (cosθ-i･sinθ)^k} / [2(cosθ)^k]
　= {(1+it)^k + (1-it)^k} /2,　（t≡tanθ とおいた.)
　�納k=0,n] cos(kθ)/(cosθ)^k = {(1+it)^(n+1) -1}/(2it) + {(1-it)^(n+1) -1}/(-2it)
　= {(1+it)^(n+1) -(1-it)^(n+1)} / (2it)
　= sin((n+1)θ) / [(cosθ)^(n+1) ･t]
　= sin((n+1)θ) / [(cosθ)^n ･sinθ].

蛇足だが...
　�納k=1,n] sin(kθ)/(cosθ)^k = {2 -(1+it)^(n+1) -(1-it)^(n+1)} / (2t)
　= 1/t -cos((n+1)θ)/[(cosθ)^(n+1) ･t]
　= (1/tanθ) -cos((n+1)θ)/[(cosθ)^n ･sinθ].

>>15
tan(3x)={tan(x)+tan(2x)}/{1-tan(x)*tan(2x)}　より
tan(x)*tan(2x)*tan(3x)=-tan(x)-tan(2x)+tan(3x)　ゆえ
∫tan(x)*tan(2x)*tan(3x)dx
=∫{-tan(x)-tan(2x)+tan(3x)}dx
=log|cos(x)|+1/2*log|cos(2x)|-1/3*log|cos(3x)|

cos(3x)cos(x)
=1/2*{cos(4x)+cos(2x)}
=cos^2(2x)+1/2*cos^(2x)-1/2
={cos(2x)-1/2}{cos(2x)+1}　ゆえ
cos(2x)/cos(3x)
=cos(x)cos(2x)/[{cos(2x)-1/2}{cos(2x)+1}]
=cos(x)/3*{1/{cos(2x)-1/2}+2/{cos(2x)+1}}
=2/3*cos(x)/{1-4sin^2(x)}+1/3*cos(x)/{1-sin^2(x)}
だから
∫cos(2x)/cos(3x)dx
=1/6*log[{1+2sin(x)}/{1-2sin(x)}]+1/6*log[{1+sin(x)}/{1-sin(x)}]

1番目はともかく2番目がかっこいいかはわからんけど。

&hearts

&chinco;

pi

tan((3 * pi) / 11) + (4 sin((2 * pi) / 11)) = 3.31662479

http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=tan%283pi%2F11%29%2B4sin%282pi%2F11%29&btnG=Google+%E6%A4%9C%E7%B4%A2&lr=

（２√３）^2＋（３＋√３）^2ー（３√２）^2
------------------------------------------
２×２√３×（３＋√３）

３分で

pi