【小平邦彦】解析入門�T・�U【質問スレ】

解析概論スレや杉浦解析スレがあるので
小平解析スレがあってもいいかと.

復刊されたことだし、数学板でもすすめる人が
結構多いことを考えると、この参考書で勉強してる人も
結構いると思う.

そこで、この参考書に関する質問は専用スレで蓄積していった
ほうが、似たような質問を問題スレで探す必要もなくなる！

で、スレ立ててみた.

ttp://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/400005192X/
ttp://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4000051938/

後はこの本に関する雑談とか、なんでも使ってください.

小平と登小平　親戚？

ようするに１はただいま小平解析で勉強中なのです。
トリップ付けた

>>2 んなわきゃない。

解析概論ｽﾚの解析概論ﾏｽﾀｰように
>>1が小平ﾏｽﾀｰになれるかどうかで
このｽﾚの命運が決まる

わろた
じゃあ俺も小平マスター目指したいな
ところでコンパクトの所やってる人いる？上巻の最初の方にあるやつ
あれ全然直感的に納得できないんだけど誰か教えていただきたい。

位相をやれば分かる
といってみる

>>5
大昔にやりますた。
一瞬で"これがコンパクトってことか!"と直観できる奴はかなりの秀才。
時が来ればそのうち分かるかと。

わからない所で質問したとき、
うまく教えてくれる神が現れればいいが。

>>4 把握したw

コンパクトを一言で言うと有界閉集合のこと。
ユークリッド空間の場合だけど。解析ではこの場合しか通常は
扱わないからこれでいい。

今�Tのp56, 7辺りやってる。
正直、いろんなスレで言われている通り1章は長すぎる。
早く関数やりたい('A`)

>>5
結構近い所やってますな。(･∀･)人(･∀･)ﾅｶｰﾏ
お互いがんばりましょう。

【掲示板での数学記号の書き方例】
ttp://members.at.infoseek.co.jp/mathmathmath/index.html

【ページ】 58.

PをR~2上の点、 SをR~2の部分集合とするとき、
PがSの孤立点なるための必要かつ十分な条件はU_ε(P)∩S={P}なる
正の実数εが存在することである。

とあるのですが、十分となる理由がわかりません
U_ε(P)∩Sが有限集合となるようなεが存在することはわかりますが
{P}？

小平だけでなく、現代数学の基礎シリーズとは別物なんだから
岩波は基礎数学シリーズを復刊すべきだ。どうして日本はきっちりと
書かれた教科書がてにはいりにくいんだ。

>>12

孤立点の定義は？

>>14
Sに属する点Pが、Sの集積点ではないとき、PをSの孤立点という。

>>13

日本語の本を頼っちゃだめだよ。英語（独、仏含む）の本にしなさい。
高木なんて殆ど外国の本だけで勉強したんだから。
４年間で延べ７０冊借りて読んだらしい。
小平だって同じようなもんだろう。

>>15

集積点の定義は？

>>17
すべての正の実数εに対し、U_ε(P)∩Sが無限集合となるとき、PをSの集積点という。

>>18

U_ε(P)∩Sが有限集合で{P}でなければ、この集合に、Pに一番近い
P以外の点Qがある。PとQの距離の1/2を改めてεとすればよい。

図を書けば簡単にわかると思うが

>>14>>17>>19>>20
サンクス！理解した

【ページ】 60.

P_n、AがR^2に属し、P_n = (x_n, y_n)、A = (a, b)とすれば、

　　　　　|P_nA| = √( (x_n-a)^2+(y_n-b)^2 )

であるから、lim_[n→∞]|P_nA| = 0 は、
lim_[n→∞]|x_n-a| = lim_[n→∞]|y_n-b| = 0 と同値、
したがって、lim_[n→∞]P_n = A は、
lim_[n→∞]x_n = a かつ、lim_[n→∞]y_n = b なることと同値である。

とあるのですが、このlim_[n→∞]|x_n-a| の |x_n-a| は、
距離なんでしょうか？それとも絶対値ですか？
R^2は直積集合R×Rで、x_n, y_n, a, bそれぞれR
であるから絶対値だと思うのですが。

距離なわけないか

R上じゃ絶対値=距離な訳だが。

talk:>>24 絶対値は原点からの距離だし、そもそも距離関数は二変数だ。

絶対値=ﾉﾙﾑな訳だが

この参考書で一番話題豊富で苦労する章って
やっぱり1章なんだろうか？

任意の複素数zに対して|z|≥0であり、複素数zが|z|=0を満たすならばz=0.
任意の複素数c,zに対して|cz|=|c||z|(ややこしい。).
任意の複素数w,zに対して|w+z|≤|w|+|z|.

>任意の複素数c,zに対して|cz|=|c||z|(ややこしい。).

まともに計算するからややこしい。共役を使えば簡単。

talk:>>29 ややこしいというのは、絶対値がノルムかどうかを調べるときにスカラー倍の条件を調べていることだ。

複素数z,wに対して、z(ReP(w)-ImP(w))という演算を与える。
これは内積の公理を満たす。
(ReP(z)-ImP(z))wでもやはり内積の公理を満たす。
普通エルミット内積と呼ぶのはどっちだろう？

複素数z,wに対して、z(ReP(w)-ImP(w)√(-1))という演算を与える。
これは内積の公理を満たす。
(ReP(z)-ImP(z)√(-1))wでもやはり内積の公理を満たす。
普通エルミット内積と呼ぶのはどっちだろう？

コンパクトｷﾀｰ

小平義男

965

n次元空間上の点P, Q, Rで三角不等式

　　　　|PR|≦|PQ|+|QR|

が成り立つことを示せ。

これはムズいよー

>>36
こーしー・しゅばるつ示しちゃえばほとんどおわりじゃねーの？

そんなことしなくても単純な計算(左辺-右辺)でゴリ押しできるが。

>>38
あ、ほんとだ。やってみるもんだな。．．．テクニックにばかり走るのもホドホドにせんとな。
．．．反省（＞＜）

>>37
Wikipediaで調べてみた。コーシー・シュワルツの不等式っていうのか。。。
この不等式が二次式の判別式になっていることに気が付くかどうかがムズい。

>>38
( Σ_[k=1, n] a_k b_k )^2
の展開式がわからんかった(´-`)

>>40
判別式なんか考えなくたって、
a,bをベクトル、kをスカラーとして、
(b-ka,b-ka)≧0
を計算して、kに適当なスカラーを代入するだけで出るよ。これでやると
複素ベクトル空間のこーしー・しゅばるつも出るよ。

( Σ_[k=1〜n] a_k b_k )^2=Σ_[k,i=1〜n] a_k b_k a_i b_i
なんだけどわかるかな。

>>41
ベクトルとして考えるのはまったくわからんです。
線型代数やるとわかるのかな。

>( Σ_[k=1〜n] a_k b_k )^2=Σ_[k,i=1〜n] a_k b_k a_i b_i
[k,i=1〜n]　←この記号の使い方はまだ出会ったことがないけど、
1が考えたのは

　Σ[k=1, n] Σ[i=1, n] a_k b_k a_i b_i

として、右辺も同様にしてまとめると

　Σ[k=1, n] Σ[i=1, n] （ a_k b_k a_i b_i　-　a_k^2 b_i^2 ）

とできる所まで考えたけど、ここでギブアップ。


あと1問で1章終わる
早く関数やりたいφ

コーシー・シュワルツの不等式の複素ベクトル版はどうよ。
つまりエルミート内積の場合。

失礼。>>41で回答済みでしたね。

1章最後の問題の解答で
n≧3 のとき、n^n ≧ n^3 ≧ n+1 であるから

　(n+1)^n ≦ n^(n+1)　　(途中略)

とあるのですが、(n+1)^n = n^(n+1) を満たすn≧3が
存在するとは思えないのですが。

俺ばっか質問してスマン。。

≦はべつに等しい場合が必ずあるって意味じゃないから

>>47
ありが�d。

僕は算数しかできなかった読んでるけど、
謙遜してるけど自慢っぽくないか

まずい
三角関数の項で予備的考察として行列の一次変換なるものが出てきてる。
行列は高校ではやってないからｻﾊﾟｰﾘ
さて、どうすべきか

>>49
算数しかできなかったは読んでないけど、
広中平祐先生の自伝は、謙遜してるけど自慢っぽかったね。

Wikipedia見ると一次変換は線型変換であることが判明
とりあえず図書館に行って砂田利一「行列と行列式」、川久保勝夫「線形代数学」借りてきた。
で、索引で調べてみると、前者は158ページ、後者は221ページとある。
こりゃぁ一時しのぎでチャッチャと学ぶわけにはいかんな
どうすっかな。。。

旧学習指導要領とかみても記述ないし
高校数学で一次変換とかやらんだろ

アマゾンによると加藤十吉のほうがいいといってるが。

>>51
何おっしゃってるの？
岩波数学辞典だとp.570ですが。

>>50
小平本の該当部分を読んでみたけど、一次変換の部分はすっとばしてもそのまま
読めたよ。

＞旧学習指導要領とかみても記述ないし
わしが高校生のときは一次変換習ったよ。小平本はその頃の高校生を念頭において
書いたんだろうねぇ。（小平本には「高校で習ったとおり」と書いてある。）
ちなみに私が高校生というのは昭和56年頃です。

>>54
図書館で長谷川浩司「線型代数」の最初のほうパラパラみてたら
一次変換は仮定してもかまわないので云々と記述があって、
おかしいなぁと思ってググってたんだけどどうも近年復活したらしいですね

該当部分はすっ飛ばして読んでみます
ガチで線型代数やろうか考えてた
アドバイスありが�d。

350

わからん所があってさんざん悩んだあげく、付箋紙貼って認めることにした部分が、
後で読み返してみると、なんでこんなつまらんことで必死こいて悩んでたんだろうと
不思議に思うことがある。

三角関数の項読めました。>>54ありが�d。e^ iθに感動
3章いよいよ微分に入る

微分係数を表す記号はf'(x)、dy/dx の他に y'、 y（上に丸点)、 df(x)/dx、(d/dx)f(x)、Df(x) …
なんでこんなにおおいんだYO！(; ´Д`)

高木4年間で70冊・・・？
鬼だ・・・・

Darbouxの定理を使って以下の定理を証明する方法がわかりません＞＜

Ｓ（△）：分割△の上積分　ｓ（△）：分割△の下積分
Ｓ＝lim[l△l→０]Ｓ（△）、s＝lim[l△l→０]s（△） ←Darbouxの定理

[定理]

任意のε＞０に対して、l△l＜δを満たすどんな分割△に対しても
　　　　　　　　　　　０≦Ｓ（△）−ｓ（△）≦ε　　　となるるδが存在していることは
　　　　　　　　　
Ｓ＝ｓ　　に必要十分である（同値である）

証明　？

556

あーおっぱい
おまんこ
これいいよね
高3だけどよんでる
読みやすい
というより
定義の意味定理の意味
について理解しやすい
杉浦の解析入門は論理はおえても意味合いまでわかるわけではない
そーいう意味で感覚的理解を大切にした本だよね
杉浦は大衆向け
小平はマニア向けだと思う
まあその意味合いによって定理のイメージが出来上がりバイアスがかるかもしれないけど抽象的に論理が正しいと字面だけ理解してイメージできないよかいいと思う
おっぱい

小平解析は、わかりやすくってｲｲね。
イメージを大切にしてるんだからもうちょっと図が多くてもいいと思うんだが。

あのー
質問なんですけど
この本のＰ１８３のまんなからへんの
逆にＦ（ｘ）が［ａ，ｂ］で区分的に滑らかで〜〜〜
ってとこあるじゃないですか
たとえばI=[0,4]に対して
Ｆ（ｘ）＝x(x∈[0,1])
F(x)=2-x(x∈[1,2])
F(x)=x-2(x∈[2,3])
f(x)=4-x(x∈[3,4])って定義するじゃないですか　グラフでいえばギザギザな関数で直角定規二つ分なんですけど
これって区分的に滑らかじゃないですか
点1,2,3を除いてF(x)は滑らかになります
でF'(x)=f(x)を考えます
f(x)=1(0≦x<1,2<x<3) それ以外の1,2,3を除いた点についてはf(x)=-1が成り立ちます
で、あとは1,2,3に対してf(1)=D+F(1)=-1って定義するじゃないですか　2に対してはf(2)=D+F(2)=1 ,f(3)=D+F(3)=-1ってなるんですけどね早い話
これって区間[1,2]でF(x)は滑らかじゃないですよね？
この本だと滑らかになるらしいですけどおかしいですよね？

えーっと要するに
この本の
P183の半分より下側の
各閉区間I[k]=[c[k-1],c[k]]じゃなくてI[k]=[c[k-1],c[k]）
で滑らかになるの間違いじゃないですか？っていうことです

すいません
僕何か間違ったこといってるのでしょうか？Ｐ１８３にかいてあるこのときＦ（ｘ）は各閉区間Ｉ［ｋ］で滑らかであると主張していますが
その下でｆ(ｘ)ｈはＩ［ｋ］で必ずしも連続とは限らないとかいています
滑らかであるならその導関数は連続でなきゃいけないのに連続でないっていっていますがこれはおかしくないんですか？

ごめんなさい
わかりづらいですね
もう1回書き直します

Ｐ１８３に
このときＦ（ｘ）は各閉区間Ｉ［ｋ］で滑らかである
と主張していますが
その下で
ｆ(ｘ)はＩ［ｋ］で必ずしも連続とは限らない
とかいています
滑らかであるならその導関数は連続でなきゃいけないのに連続でないっていっていますがこれはおかしくないんですか？

　　　　　/　　　 ,ｨ,.ｲ ／ﾘﾉﾉ　l　!
　　　　 'ｨ　　　/__　'　　　　　i iﾉ
　　　 　 {　r ､i ‐i￣ ｀iｰ'r ‐=!'ﾞ
　　　 　 ヽl i),ﾞ 　ﾞｰ─'　iｰ-ｲ!
　　　　　　ヾi_　　' ､＿_ '　/ﾞ
　　　　　　　| ヽ　 　 - 　/
　　　 　　 ,rｌ. _ ヽ､＿__,ｨ､
　_,.. -‐, =ヽt' _ﾞ二二ﾆ'ｨﾉヽ､＿

ハッハッハ！　見ろ！
Invent崩れの百番煎じ論文がゴミのようだ

算数嫌いです。

こんなにむずいの出来ても大人になって何の役に立つの？

talk:>>69 ミスの無い計算を目指そう。

美を享受できる

微妙に役立ってる。実社会で。

>>72
微妙なだけじゃダメじゃん（笑）

まあ長生きして視野がひろくなると見えてくるもんがあるんだよ。
物事を一義的に考えなさんな。

295

　Des theoremes generaux auxquels on est ainsi parvenu, on deduit ensuite une
regle general pour reconnaitre si une equation proposee est resoluble ou non.

En effet, on est conduit a ce resultat remarquable, que si une equation irreductible
est resoluble algebraiquement, on pourra dans tous les cas trouver les racines a
l'aide de la methode de Lagrange, proposee pour la resolution des equations;
savoir, en suivant la marche de Lagrange on doit parvenir a des equations qui
aient au mins une racine qui puisse s'exprimer rationnellement par les
coefficients. Il a plus, Lagrange a fait voir qu'on peut ramener la resolution d'une
equation du degre a celle de equations respectivement des
degres a l'aide d'une equation kingdu degre .

talk:>>76 私を呼んだか？

ワロタ

ついに第�T巻が終わた

オメ

316

.

解析入門で独学を始めて1年半でやっと深く理解し始めた。
小平先生ありがとうございます。
他の本も少し読んだがいくら勉強しても深い理解は出来ないような気がする。
子供の頃から勉強していれば数学者になれただろうなあ。。。

旧帝の平均的な工学部生が小平を読んで大体理解できるようになるにはどのくらいの時間がかかりますか？

30時間

536

30半ばの医者です。
一週間前からよんでます。
何とか論理はおえるけど、どういう役に立つのか、さっぱりだ。
応用できる程の理解にも達していない。
いまコンパクト。
すっ飛ばして関数にいきたいよ。

何の目的で読むのかね？

やっと関数に入った。
これからどんどんすすめようと思う。
ちなみに、概論も、昔挫折した杉浦も持ってるので、分野ごとにそちらも読んでいった方が理解が
深まりそうだ。
趣味でやってるので、やってる間は心が洗われる気がするが、仕事がおろそかになりがちで危ないな。
数学って、結構時間と集中力を使うよな。
優秀な人なら、雑誌感覚で、ぺらぺらと読んでいけるのかな？

>>89
皮膚科？

違います。
夢は、大学教養程度の数学物理の教科書が、難なく理解できる事です。
特に、物理は数学がネックで挫折した経験があるので、克服したいですね。

エッセイがいいね
読んでるとわいも数学やりたいわと思う

関数の一様連続のしょうめいのところで、コンパクト集合がでてきた。
なるほど、こう使うのか！と思ったよ。
一通り目を通したら、今度は定理の証明などを、自分でやってみようかな。
εのとり方なんか、結構慣れとコツがいりますよね。

例えばどんなコツ？

まだ2章をよんでるが、高木の方が、今の段階ではさくさく読めるな。
特に実数は結構細かかった。
一体どちらが初心者向けなんだ？

小平先生の本は論理的にかなり細かいところまで拘るのが特徴だから
高木貞二の実数の部分はあまり良くないと思う

実数の性質で I と II と III と IV が同値だ、という部分は
厳密に考えると何を主張しているのかわからなくなる

まあ一番すっきりしてるのは杉浦の奴だと思うけどね(後からデデキントの公理を持って来る)。
ただ、切断に最初に触れた方がいいのかもしれないけど。

まだ一巻です。内容が豊富という訳ではないようだが、
一見自明かと思われる定理にもいちいち証明がつけてある。
その証明が、はっはーん、こうやって証明するのか、、と参考になる。
またーりと読んでますが、面白いです。
ときどきやや躓きますが、少し考えたら理解できます。この調子で読破できたらいいと思う。

学部レベルの数学に限った話だが。

スピヴァックの本などには、「コンパクトと言う概念（定義)が固まるまでにまる一世代を要したのだから
初学者がとまどうのは少しも不思議でない。」(うろおぼえ)とか、要所要所で学習者への配慮が見られる。
また、洋書を眺めると、概念の導入の動機が書いてあることが多い。

ひるがえって、和書には定義、定理、証明、演習問題の羅列に終始しているものがほとんどのように思う。
結局独学者が和書のみに頼った場合、挫折する確率を減らすためには、学校に行って気楽に質問できる環境を
造るか、啓蒙本レベルも含めてやたら多くの本を購入するかしかない。
ネットで活発な議論がされているのが英語であることも考え併せて、訳書、出来れば英語本で
がくしゅうするのが好ましい。

和書は上の意味で、独学者にとって糞本ばかり。

>>99
多変数解析、多変数解析学？スピヴァックですか？いいほんですね！！
古本で１１８０円で買いました。

質問お答えくださる方お願いいたします。−−

Ｑ１．実数でいつごろにきちんと始めて定義されたの？
Ｑ２．実数を使い始めたのはそれと同じくらい？
Ｑ３．なぜ実数を使うようになったのでしょうか？
Ｑ４．実数の公理というものはあるのでしょうか？
Ｑ５．実数の公理は唯一なのでしょうか？
Ｑ６．それは論理的な可能性として他のものがないという要請からでしょうか？
Ｑ７．バナッハ＝タルスキーの定理と実数の数多の性質とは関係があるのでしょうか？

実数の公理は一つじゃねーだろ

＞92さんへ。
小平先生のご本もお勉強いたしましたし、
高木先生のご本も勉強させてもらいました。
たしかに、読み比べると、高木先生の方が難解で、
小平先生の方が読みやすいですよね。

でーもー、大学で高木先生の本が教科書で、
しかも必修でしたし。むずかったけどね。

読み易さから言えば、石村先生は如何でしょうか！？

訂正
＞92でなかった！＞96さんですね。
ごめんなさい。

>>102さん　有難うございました。例えばどの様なものがありますか？
３つほど、お教え下さい。その他の問いもお願い致します。

Ｑ１．実数でいつごろにきちんと始めて定義されたの？
Ｑ２．実数を使い始めたのはそれと同じくらい？
Ｑ３．なぜ実数を使うようになったのでしょうか？
Ｑ４．実数の公理というものはあるのでしょうか？
Ｑ５．実数の公理は唯一なのでしょうか？
Ｑ６．それは論理的な可能性として他のものがないという要請からでしょうか？
Ｑ７．バナッハ＝タルスキーの定理と実数の数多の性質とは関係があるのでしょうか？

ふむふむ
そうかそうか
1年間で18冊読めば高木を越えられるのだな
ではとりあえず今読んでいる英語の本を読み終わってから勉強をはじめることにしてみよう

この本で解析勉強してるのは、ほとんど数学科の人なのかな？
工学系で使うには要領悪いかな？

1. デデキントとかワイヤストラスとかがきちんと定義したんじゃないかな
デデキントの「数とは何か」という実数論の本が岩波文庫から出てますよ
2. もっとかなり昔だと思います
3. 数直線を考えると必然的に使う事になるかと
4. あります
5. 質問の意図が不明です
6. 定義のしかたはいくらかあるでしょうが、定義されるのは普通は同じものだと思います
7. あると思いますよ

第1章実数から錯乱して分からん俺はどうしたらいいのか・・・

つ「単位の取れる微分積分」

つ「解析入門30講」

>>110
>>111
それで小平が読めるようになると思っちゃっていいかな？

あんたが数学科じゃないなら無理して小平なんて読む必要ないし
数学科なら才能がなさそうだから頑張って卒業だけすればいい
と思う

>>113
あんがと

小平より簡単で分量が少ないのだと岩波から出てる田島一郎の解析入門がおすすめ。
単位の取れる〜とか３０講は読んだことないからしらん。

実数で明らかそうなのはすっ飛ばす方法もある。
後で読むか、別の本で該当箇所読めばいい
p36の実数の性質から読めないかな。

別名
単位を落とす微積分

>>115
財産ないので、すぐにはムリっす・・・orz
>>116
やってみるお

蟻が�d

410

駄目でした…
もう、くじけてしまいました
実数論は少しずつ勉強します
少し泣いてもいいですか…

わからなかったらとりあえず考えろ
必死に必死に考えろ
最近はコンパクトが自明に感じるという高校生もいる
だから必死に考えろ
無理だったら飛ばせ
後でなんとなくこういうことではなかったのかと思うと気がある
そのときにまた飛ばしたところをもう一度見るんだ

　　　　　　　　　　　　　こだいらかいせき もう DA ME PO！ YEAH！
　Comin' up check it up ！も　う　だ　め　PO ！ YO HEY YO HEY mou Da me PO ！
　　　　　　　　　　　　　　　も・う・ Da me PO！

　　　　　　　　　　　　　　　　 ∧＿∧ ♪
　　　　　　　　　　　　　♪　 (´･ω･` ) ｷｭｯｷｭｯ♪
　　 　 　 　 　 　 ＿＿＿＿○＿＿＿＼ξつヾ　＿＿
　　 　 　 　 　 ／δ⊆・⊇ 。／†：：† ／δ ⊆・⊇｡　／|
　　　　　　　　|￣￣￣￣￣|￣￣￣|￣元気出せ..　|

>>121
>>122
ありがと、でもだめぽ…
いろいろ調べたら田島一郎の本がいいらしいようです
なんか参考書中毒スレみたいでいやですけど、お金ができたら買ってみる…
2章から読み直すぽ
挫折するのが怖い…

ゴールデンウィーク明けから小平の本を読もうと思う
そんなＢ２です

うちにはなぜかほとんど読んでもないのに解析概論、ラング解析入門、小平解析入門、杉浦解析入門、
大学の微積分の教科書、やさしく学べる微分積分がそろってます。

>>125
そこは僕の家ですか?

近くの図書館にくれて上げましょう、工房がはまります

253

　物事を覚え理解するには、どういうことをすべきであろうか？たとえば、
新しい大学のキャンパスへ来て、キャンパス内の建物の所在、交通網を覚
えるのにはどうしたらよいか？案内図を暗記することができたとしても、本
当にキャンパスの中へ入って、直ちに暗記された知識がうまく活用されるかど
うか、怪しいものである。とくに行く必要のあるところへは、案内図をたより
に探して行くしかないが、その他の機会に、キャンパス内を、いろいろな通り
方をしてみれば、とくに暗記する努力をしなくても、キャンパス内の地理的感
覚が身についてくるものである。

　数学の勉強でも、他の学問の場合でも、ある意味で上と共通のことがいえよ
う。今覚えなくてはならないものは、うまく理解できていなくても、その点は
あまり気にしないで、一応覚えてみる。すぐ忘れてしまっても気にしない。そ
の代わり、勉強している内容が、どういう流れであり、また、いくつかある定
理の関連がどうかということをいろいろな方法で、最初は五里霧中、そして、
ボンヤリわかりかけ、もう少しわかる、……というようになっていくよう努力
することが大切である。そのための方法としては、問題を解いてみること−−
考えることが大切であり、答を教えてもらうのではあまり役に立たない−−、

定理の証明の中に、どういう定理がどんな形で使われているかを知ること、証
明は飛ばして、先の方の話を読んでみる、同じような話題を扱っている他の本
での扱い方を眺めてみる、などがあげられよう。見つけることにむつかしさは
あるが、有効なこととしては、他の分野で、どんな応用があるかを知ることで
ある。とくにそれが、自身が興味をもっている分野への応用であれば、大変有
意義である。
　理解困難なところに遭遇しても、そこで立ち止まるのではなく、広い視野を求
めていけば、困難が次第に克服されるものなのである。


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　永田雅宜

age

この本を徹底的に批判したのが
笠原皓司。雑誌「数学」の書評は痛快だった。

>>134
笠原先生はどういうところを批判していたの？

この本より杉浦解析の方が分かりやすいね。

小平邦彦なんて小僧ですなあ。岡潔のほうがはるかに
大物ですなあ。

薬師如来＆ヤコビ

>>135
「俺の教科書の方がエロい」

>>135
「俺のちんこのほうがデカイ」

物理学科二年で卒業したのか
全然なまけものじゃないじゃん

ホントに怠けてたら大ごとだろｗ

age

>>134
東大連中の小遣い銭稼ぎの本に、
京大の先生方が書評した奴ですよね。
（ちょっと探して読んでみる）

>>143
要約頼む

>>144
東大のおめーら、研究者としては一流かもしれんが、教科書書かせたら、
京大教養の俺たち生涯論文三本組のほうが上じゃん藁

そうでもないような

>145
何だ、ヘタレ自慢か？ｗ

むしろ錯覚に起因する居直りだな

>>145がおかしな纏め方してるだけかも

Kingはオナニーと数学と２ちゃんしかできない。

talk:>>150 何考えてんだよ？

999

「おい」
「ん」
「ハゲてるな」
「黙れ」
「DFつく身にもなれよ」
「黙れと言っている」
「おれの胸毛移植するか？ｗ」
「ほう」
「フサフサになるぜｗｗｗ」


「こうか！！！！！」

　　　　　　＼○ノ
　　三　/て○　//
　　　　人　　　/ヽ

>130-132
永田雅宜 なんて倣岸不遜な朝鮮人はもういいよ。

617

すいません。この本の３３ページ目で定理1.19での
�@数列｛Αｎ｝ 、｛Βn｝が収束すればΑβも収束し、
　lim_[n→∞]ΑｎΒn＝lim_[n→∞]Αｎ*lim_[n→∞]Βn
　
�A数列｛Αｎ｝ 、｛Βn｝が収束すればΑ≠０、lim_[n→∞]Αｎ≠０の
仮定の下で、数列｛Βn/Αｎ｝も収束し、

lim_[n→∞]Βn/Αｎ＝lim_[n→∞]Βn/lim_[n→∞]Αｎ
の二つの証明のなかの証明の仕組みがよく分からないところがあります。
それは下の証明の線で区切られている内容全てです。

証明�@
lim_[n→∞]Αｎ＝Α、lim_[n→∞]Βn＝Βとおけば任意の正の整数εに対応して
ｎ＞ｍ0（ε）ならば｜Αｎ−Α｜＜ε、｜Βn−Β｜＜εとなる自然数ｍ0（ε）
が定まる。

|ΑｎΒn−ΑΒ｜＝|Αｎ(Βn−Β)＋Β（Αｎ−Α）|≦|Αｎ｜｜(Βn−Β)｜＋｜Β｜｜（Αｎ−Α）|
であるから、
ｎ＞ｍ0（ε）ならば|ΑｎΒn−ΑΒ｜＜（｜Αｎ｜＋｜Β｜）εとなる。

________________________________________________________________________________
一方ｎ＞ｍ0（１）ならば、｜Αｎ｜≦｜Αｎ−Α｜＋｜Α｜＜1＋｜Α｜。
故に、任意の実数εに対応して、

ｎ0（ε）＝ｍ0［ε/（1＋｜Α｜＋｜Β｜）］＋ｍ0（１）

とおけば、ｎ＞ｎ0（ε）のとき、｜ΑｎΒn−ΑΒ｜＜ε
_________________________________________________________________________________

すなわち数列｛ΑｎΒn｝は　ΑΒ＝lim_[n→∞]Αｎ*lim_[n→∞]Βnに収束する。



線で区切られている内容でなぜ、ｎ＞ｎ0（ε）のとき、｜ΑｎΒn−ΑΒ｜＜εがでてくるのか？
さっぱり分からないです。前後のつながりもよく分からない。誰か教えてください。

証明�A
まず、lim_[n→∞]Αｎ＝Αと置けば、lim_[n→∞]1/Αｎ＝1/Αとなることを証明する。
任意の整のじっすうεに対応して自然数ｍ0（ε）が定まって、

ｎ＞ｍ0（ε）ならば｜Αｎ−Α｜＜εとなる。

仮定により、｜Α｜＞０だから、
|1/Αｎ-1/Α｜＝|Α−Αｎ/Α*Αn|＜ε/|Αn||Α|

_____________________________________＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿__________

ここでn＞（|Α|＾2*ε/２）＋ｍ0（|Α|/2）とおけば、

n＞ｎ0（ε）のとき|1/Αｎ−１/Α|＜εとなる。
_____________________＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

すなわち、｛1/Αｎ｝は1/Α＝lim_[n→∞]1/Αｎに収束する。

逆に考えるんだ
「最初から
ｎ0（ε）＝ｍ0［ε/（1＋｜Α｜＋｜Β｜）］＋ｍ0（１）
としてみるとｎ＞ｎ0（ε）を満たす全てのｎで
ｎ＞ｍ0［ε/（1＋｜Α｜＋｜Β｜）］が成立つから
｜Αｎ−Α｜＜ε/（1＋｜Α｜＋｜Β｜）、｜Βn−Β｜＜ε/（1＋｜Α｜＋｜Β｜）
>>158と同じ計算をして
|ΑｎΒn−ΑΒ｜＜（｜Αｎ｜＋｜Β｜）/（1＋｜Α｜＋｜Β｜）ε
また同時にｎ＞ｍ0（１）も成立つから
|ΑｎΒn−ΑΒ｜＜（｜Αｎ｜＋｜Β｜）/（1＋｜Α｜＋｜Β｜）ε
≦（1＋｜Α｜＋｜Β｜）/（1＋｜Α｜＋｜Β｜）ε＝ε
よって｜ΑｎΒn−ΑΒ｜＜ε」と
考えるんだ

≫160
ありがとう！完全に理解したよ。本当に助かった。
こんな夜中にも拘らず一生懸命返答してくれたことに
感謝したい。証明�Aも逆に辿ってじっくり考察してみることにしよう。

解析入門の109〜110ページにかけての「定理3.1」の
「点xで微分可能ならば、その点はｆ（ｘ）で連続である。」
の例3.1の証明の中で分からないところがあります。教えてください。

あと157ですが�Aは160を参考にして自分でやれました。

《例　３.１》　区間（0.1）で関数ｆ（x）を次のように定義する。
xが無理数のときはf(x)＝0、xが有理数のときはxを既約分数：
x＝p/q,pとq互いに素な自然数,の形に表してf(x)＝1/p^3とおく。
この関数が区間(0.1)内の全ての有理点で不連続であることは明らかであろう。
αを区間(0.1)内のα＝√（2）*b/a,aとbは自然数,の形の無理数とすれば
f(x)はx＝αで微分可能である。

［証明］lim_[x→α]（f(x)−f(α)）/（x−α）＝０　であることを証明するのであるが、
まず既約分数p/q,0＜p/q＜1,に対して|(q/p)−α|を下から評価する。
（(q/p)＋α）（(q/p)−α）＝(q^2/p^2)−α^2＝(q^2/p^2)−2*(b^2/a^2)
従って
a^2p^2（(q/p)＋α）((q/p)−α)＝a^2q^2−2*b^2p^2
この等式の左辺は0でなく、右辺は整数である。故に
a^2p^2（(q/p)＋α）|(q/p)−α|≧1
q/pもαも0と1の間にあるから(q/p)+α＜2
(3.9) |(q/p)−α|＞1/2*(a^2p^2)

x,x≠αが無理数ならば

（f(x)−f(α)）/（x−α）＝０

となることは関数f(x)の定義によっても明らかであるから、xは既約分数：
x＝q/pであるとする。そうすれば

（f(q/p)−f(α)）/（(q/p)−α）＝f(q/p)/((q/p)−α)＝(1/p^3)/((q/p)−α)

従って、(3,9)により
|(f(q/p)−f(α)）/（(q/p)−α)|＜(1/p^3)/1/2*(a^2p^2)＝2*a^2/p

____________________________________________________________________
任意の正の実数Ｍにたいしてp<Ｍなる既約分数q/p,0<q/p<1,は有限個しか
ないから、q/p→αのときp→＋∞,
したがって2*a^2/p→0となる。
___________________＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
故に

lim_[q/p→α]（f(q/p)−f(α)）/（(q/p)−α）＝０

すなわちf(x)はx＝αで微分可能でf´(x)＝0である。《証明終》

上の、線で区切られている部分の意味がよく分かりません。
0<q/p<1なのでqが基本的に無限に近づいても、q/p→0となるので、
qに大幅な値をとる余地があるのは分かるのですが、
何故、q/p→αのときp→＋∞になるのか仕組みがよく分かりません。

任意の整の実数Ｍにたいしてp<Ｍなる既約分数q/p,0<q/p<1,は有限個しか
ないということが、なぜq/p→αのときp→＋∞につながるのか混乱しています。
御教授ください。

>>165
例2.4読め

このｽﾚの連中はオレに感謝せなあかんよ
だって解析入門が復刊されたのはオレのお蔭やもん

>>166
例2.4読んで分かりました。有難うございました。

すいません。161です。小平解析の第二章関数論の１４の問題の答えが
小平の答え読んでも分かりません。教えてください。

１４　xの関数f(Ｘ)が区間[α,＋∞]において連続でlim_[Ｘ→∞][f(Ｘ＋1)−f(Ｘ)＝L]
ならばlim_[Ｘ→∞]（f（Ｘ）/Ｘ）＝Lとなることを証明せよ。

《答え》
____________________＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
f(Ｘ)の代わりにf（Ｘ）−Lxを考えれば始めからL＝0としてよいことが分かる。(壱)
_____________________＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

_____________________＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
さらにf（Ｘ）のかわりに|f(Ｘ)|を考えるとf（Ｘ）≧0としてよいことも分かる。(弐)
_____________________＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

仮定により任意のε＞0に対してＸ0があって、
_____________________＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　　Ｘ≧Ｘ0ならば　|f(Ｘ+1)−f(Ｘ)|＜ε　となる。（参）
_____________________＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
連続関数f(Ｘ)は各閉区間［n,n+1］,nは自然数,n≧αにおいて最大値を持つ。
それをf(Ｘn),n≦Ｘn≦n+1，とする。

_____________________＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
n≧（（Ｘ0）＋1）の時（四）
_____________________＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿　　　　　　　　　　　　　　

　f(Ｘn)−f(（Ｘn）−１)＝f(（Ｘn）−１＋１)−f(（Ｘn）−１)＜ε

となるが、（Ｘｎ−１）は区間［ｎ−１,ｎ］に属するからf(（Ｘｎ）−１)≦ｆ(Ｘ［ｎ−１］)
故に、f(（Ｘｎ）)−ｆ(Ｘ［ｎ−１］)＜ε.

注）ここでＸｎと同じように右下にあるnの添え字をn−１にしたかったが表記が混乱するので
　　［ｎ−１］としただけです。

ｍ≧Ｘ0,ｍは自然数,とするとｎ＝ｍ＋１,ｍ＋２,、、、,nについてこの不等式がなりたつ。
その和をとれば
　　　　　　　　　f(Ｘｎ)−f(Ｘｍ)＜（ｎ−ｍ）*ε,

従って、　　　　　（f(Ｘｎ)/ｎ）＜（f(Ｘｍ)/ｍ）＋ε.
_____________________＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
ε＞０は任意であったから、（f(Ｘｎ)/ｎ）→0　（ｎ→＋∞）.　　（伍）
_____________________＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
任意のxはある区間［n,n+1］に属し、従ってf（Ｘ）≦（Ｘｎ）,Ｘ≧ｎであるから

　　　　　　　　　　f(Ｘ)/Ｘ）≦（f(Ｘｎ)/ｎ）→0　（Ｘ→＋∞）.《答終》

まず（壱）と（弐）ですがなぜ（f（Ｘ）−Lx）が考えとして出てくるのか自体が
分からないです。どういう論理的な帰結でこれが出てくるのか自体が分かりません。
そしてここからL＝0としてよいことがなぜ分かるのかが分からないです。
（弐）で「f（Ｘ）のかわりに|f(Ｘ)|を考えるとf（Ｘ）≧0としてよいことも分かる」とありますが
これもなぜ突然出てくるのかが分からないです。またこれが後にどのような意味合いを持ってくるのか
自体が分からないです。

参）で「Ｘ≧Ｘ0ならば　|f(Ｘ+1)−f(Ｘ)|＜ε　となる」とありますが、
　これは連続の定義より

Ｘ≧Ｘ0ならば｜Ｘ−Ｘ0｜＜δで、|f(Ｘ)−f(Ｘ0)|＜ε

となるので、これから改変してゆくというのは予測できるのですが、なぜ、
|f(Ｘ+1)−f(Ｘ)|＜εが出てくるのか分かりません。
一様連続の定義でも使用するのでしょうか？
もっとも、（壱）と（弐）が分かってないので（参）が分からないのも当然なのかもしれませんが、、、。

(四）で『n≧（（Ｘ0）＋1）の時』という条件がなぜ突然出てくるのか分からないです。

(伍)では、（f(Ｘｎ)/ｎ）→0　（ｎ→＋∞）となるのは、
f(Ｘｎ)が閉区間［n,n+1］で最大値f(Ｘn)をとるのでこれを定数と考えれば、
（f(Ｘｎ)/ｎ）の１/ｎ→０となるので（f(Ｘｎ)/ｎ）→０となると考えています。
しかし『ε＞０は任意であったから』という文言がどういう意味合いを持っているのかが
分かりません。
また、全然この問題が分からないので、そもそも最大値f(Ｘn)をとるのでこれを定数と考える
という自分の考え方が正しいのかすら謎な状況です。

正直この問題が全然分からないので分からないところをやたらたくさん書き出してしまいました。
くどくてすいません。達人の方教えてください。

897

>>172
＞まず（壱）と（弐）ですがなぜ（f（Ｘ）−Lx）が考えとして出てくるのか自体が
＞分からないです。どういう論理的な帰結でこれが出てくるのか自体が分かりません。
なんで、アイディアに対して「へえ面白いこと思いつくなあ」と思わずに、「そのアイディアを思いついた方法を教えろ」って
なるのかなあ。アイディアが簡単に導かれるような方法があったら誰も苦労しないだろうに。

age

連結成分のところで質問です。
岩波講座基礎数学の解析入門を読んでいるので、若干ページ数が異なる
かもしれませんが、350〜351ページの部分です（索引に「連結成分」
は出ていると思うので、ページ数がずれていても大丈夫だと思います）。

連結成分の定義のところで、Ｗ_0 は開集合ということになっている
のですが、これを示せた方はいますか？？
示せた方は教えて下さい。かなりムズイ気が…。

解決した…。局所連結ってのを使うのか…。

176ページの広義積分のところで質問があります。
lim[t→b-0][s→a+0]∫[x=s,t] ｆ（ｘ）dx
が存在するときに、
∫[x=s,t] ｆ（ｘ）dx = ∫[x=s,c] ｆ（ｘ）dx + ∫[x=c,t] ｆ（ｘ）dx
であるから、
lim[t→b-0][s→a+0]∫[x=s,t] ｆ（ｘ）dx =
lim[s→a+0]∫[x=s,c] ｆ（ｘ）dx + lim[t→b-0]∫[x=c,t] ｆ（ｘ）dx
と書いてありますが、
lim[s→a+0]∫[x=s,c] ｆ（ｘ）dx　や　lim[t→b-0]∫[x=c,t] ｆ（ｘ）dx
の存在はどうして保証されるのでしょうか。
ε-δを使って証明できればと思うのですが、よくわかりません。
どうか教えてください。

＞lim[t→b-0][s→a+0]∫[x=s,t] ｆ（ｘ）dx
＞が存在するときに、

test

小平解析の実数論（ｐ３６迄）を何とか理解するのに休止期間もふくめて一年掛りました。前途に悲観しています。先輩の方々は
どうだったでしょうか？

ゆっくりやればいいと思うよ。

実数論をしっかり理解できてるんなら、後は結構楽だよ。

てか、小平より杉浦のほうがわかりやすいよ。

というか、何で勉強してもそう変わらないよ

色々ご忠告有難うございました。少し勇気付けられました。

363

ｎ

713

小平本は圧倒的にわかりやすい。
しかし、図が少なすぎると思う。
先生自身、感覚的に理解できるようにと書いてあるのになあ。
自分で図を書きなさいという親心なのか。
大量の図があれば挫折者は減る。。。

>>180
藻前は漏れか？
漏れもつい最近それで悩んで、昨日証明できたばかりなんだよ。
と思ったら9月のレスか……
小平本も何気に重大なところをさらっと書いてるよなあ……

あげとくか

>>180,>>193
次のページ（p.177）にこう書いてある。
「存在しないものが発散するというのは論理的にはおかしいが・・・」

＞lim[s→a+0]∫[x=s,c] ｆ（ｘ）dx　や　lim[t→b-0]∫[x=c,t] ｆ（ｘ）dx
＞の存在はどうして保証されるのでしょうか。

つまり、保証していない。
「広義積分が存在するとき、すなわち、右辺の極限が存在するとき、
広義積分は収束するという．」

あぶねえあぶねえ
上げておこう

SS2.3　指数関数、対数関数

ｆ(X)＝X＾ｎ　は単調増加関数とありますが‥
ｎが自然数なので
ｐ>ｑならば　ｐ＾ｎ−ｑ＾ｎ＝（ｐ-ｑ)＊‥　＞０
これが、単調増加の理由として思い浮かぶのですが‥
何か解せません。
単調増加の、もっと単純な理由があるのでしょうか？

a>0、b>0ならab>0は良いですよね。
するとc>0、p>qのとき、
c(p-q)>0よりcp>cqとなります。

したがってp>qなら
p・p>p・q>q・qよりp^2>q^2、
p・p^2>p・q^2>q・q^2よりp^3>q^3,and so on.

>>199さん
なるほど。a>0、b>0ならab>0（定理1.18）から、綺麗に導けるのですね。

X＾ｎが連続関数であることは、SS2.2　連続関数のａ）連続関数で詳しく書いてあるのに
単調増加である理由の記述が無いのは、簡明な理由があるに違いないと思ったもので。
ありがとうございました。

977

５８頁
Ｓの境界点ＰがＳに属さないならばＰはＳの集積点である。

閉集合Ｓは境界点ＰもＳに属しますが
閉集合の境界も集積点ですよね？

解決しました。
離散集合(閉集合)は、境界点がＳに属しているが、孤立点である。
‥ですね。

「好きな日本人」１位は川端康成…日中共同大学生調査　世論調査・支持率

中国の大学生の「好きな日本人」１位はノーベル賞作家の川端康成氏（１１％）、
日本人大学生の「好きな中国人」は国際派女優チャン・ツィイーさん（８％）――。

読売新聞社と中国の国営新華社通信が発行する有力時事週刊誌「瞭望東方週刊」が
日中の大学生を対象に行った共同意識調査で、こんな結果が出た。

中国の大学生があげた「好きな日本人」（自由回答で３人まで）の２位は、
数学者でフィールズ賞を受賞した小平邦彦氏（８％）。
以下、高倉健（７％）、村上春樹（６％）、黒沢明（５％）、松下幸之助（同）
の各氏と豊臣秀吉（同）が続いた。中国学生の日本への関心が幅広いことがうかがえる。

>204
日本人で　チャーンとかヤン
とかの名前出す日本人は理系でも少なそう

なんで小平さんなんだろう？

数学科の学生のアンケートだからｗ

小平さんには中国では親中のイメージがある。

中国人のチャウに誘われてジョンホプで1年間仕事をしたのは有名。

小平の主張で高校数学での初等幾何が増えたが
見る影もないツマラン暗記分野化した

二年。

age

高木よりいい？

>>212
読みやすいのは確かです

987

俺の読んでる解析学の本に

等式
√(1+x) - 1 = x / √(1 + x) + 1　．．．�@
から
√(1+x) - 1 / x = 1 / √(1+x) + 1　．．．�A
となり，これから

lim(x→0)√(1 + x) - 1 / x = 1 / 2　．．．�B
即ち√(1 + x) - 1 とxは同位の無限小である．√(1 + x) - 1は (1 / 2)xに同値である．
と書かれているのだが．

これなんで�Aからいきなり�Bの1 / 2が出てくるのかわからん...
つまらない質問だと思うが誰かおしえてくれ．

小平さんの本ではないのだけど．．．

>>215
�Aの右辺はx→0のとき右辺→1/2だから

>>216
すみません，そこのところもう少し詳しく解説していただくわけにはいきませんでしょうか

　　　　　　　　　　1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1
�Aの右辺　―――――　だから、x→0　のときは　―――＝1/2
　　　　　　　√(1+x) + 1　　　　　　　　　　　　　　　　　√1+1

補足

x→0　と言うことですから、x≠0　として構いませんので、�Aの等式は
常に成り立ちます。したがって、x→0　の時の両辺の極限値は一致します。
ゆえに�Bが成り立つのです。

ええとx→0ということは
限りなく0に近づく．あらかじめ与えられたいかなる正数εにたいして次の性質を持つ値xが存在する．
xの後に続く二つの値x' x''について，常に不等式|x' - x''| < εが満足される．

ということですよね．いいかげんに言えばxは決して0には成りえないということだと思うのですが．
それなのにxに0を代入してもいいのですか？

馬鹿なほんとすみません．．．

>>219
あ，行き違ってしまったようです．すみません．

厳密に言えば、ε-δで�Aの右辺の極限値が1/2になることを
導かなければいけませんが、この場合は計算上の便宜として
そう考えた方が早い、ってことです

皆さんありがとうございます．

1 / (√(1+x) + 1) は x = 0 で連続な関数だからだよ。
これは結局 √x が連続なことに帰着する。

ラグランジュの剰余項ってどういうことですか？

(x-a)^n f^n(θ)/n!

P58の真ん中あたり
「Ｓの境界点ＰがＳに属さないならばＰはＳの集積点である」
とありますが、ＰがＳに属すときもＳは集積点ですよね？

Sが一点集合ならば、Sの境界はSに一致する。しかしSの集積点は1つも無い。

ヤンって3rdにいるよ。

228 ありがとう

小平先生には多様体論を書いて欲しかった。
他の執筆者ではさっぱりわからん。

　　　　　１
　lim　-----　log (e^(na) + e^(nb))
n->∞ 　ｎ

この極限はa<bのときとa=b, a>bのときの三つの極限が
存在するらしいのですが，これをどうやって証明したらいいでしょうか？

ケプラーの方程式の根の証明のように項をならべながら
引いて証明しようと思ったのですが．どうやっていいか分からず...
何かヒントとかありませぬか？

　

場合わけして普通に計算すれば？a>bのとき、
exp(na)+exp(nb)=exp(na)[1+exp(-n|a-b|)]だと言う事を使えば普通に計算できる。

この参考書使って勉強しようと思ったんだが、さっぱりわからない。
というか現段階で高校の微積もよくわからん。
今高校の教科書の復習してて、ゆくゆくはこの本使って勉強したいんだが、
その間のつなぎによさそうな参考書って何かないかな？
ちなみに工学部の学生です。

田島一郎著の解析入門（岩波）がおすすめ
小平の解析入門�Tの内容を薄くした感じで、1変数の微積の全体を見渡すのに丁度いい

なるほど、明日本屋で見てみる。
今期微積を受けた教授からは石村園子って人のを薦められたんだが、
そっちはどうなのかな？
ググってみたらなにやら微妙な評判も見かけたんだけど。

石村園子の本は計算できるようになるための本だから小平とは目的が違う気がする。
でも、工学部ならとりあえずは計算できるようになることが最優先だから石村園子のをやるのも良いと思うよ。

なるほど。
きちんと理解したいなら小平ってことでおｋ？

おｋ

工学部で小平か。頑張ってんなｗまあ、昔の出来る工学部生は溝畑を読んだというし。
その向学心は応援する、がんばれ。

理論物理志望の者です。小平さんか杉浦さんの解析をしっかりやっとくべきでしょうか？

小平やるんなら最初の切断による実数の構成は飛ばすんだよ。
いいね。実数論に特に興味があれば別だが。

そうですか…。理論物理に数学はどこまで使うのでしょうか？計算においてではなく、理論面において…。

定理の証明は本を見ずとも再現できるようにした方がいいのかな？

実数論くらいきちんとやっといたほうがいいよ。

>>246
なんで？

実数論ながい

537

age

＞小平本は圧倒的にわかりやすい。
＞しかし、図が少なすぎると思う。

　解析で図は、せいぜいがあいまいな理解ぐらいで、かえって混乱するだろ。
　ルービンの解析のテキストをみろ。
　まったく図がない。

＞今期微積を受けた教授からは石村園子って人のを薦められたんだが

　　そんな教授がいるのか（笑い）。

この本に載ってる問題って答えしか書いてないなんてことありませんよね？

専門書は、答えが載ってたらいい方だよ。この本はどうだか知らないけど、少なくともすべての問題に
答えが載っていることはまずないと思う。

この本答えが載ってない・・・
まあ簡単な問題もあるけどｗ

だから載ってねえ方が普通だっつってんだろ

ハードカバー版を読んでいて、これはおかしいのではと疑問に思ったところがあります。（以下）

p.30
補題1.3の証明中の

有限個の項a_nを変えても…としてよい。

というところの意図が意味不明。


-----------------------------------------------------------------------------
p.33
定理1.19(1°)の証明中の

abs(α_n・β_n − α・β) ＜ ( abs(α_n) ＋ abs(β) )・ε

は、

abs(α_n・β_n − α・β) ≦ ( abs(α_n) ＋ abs(β) )・ε

としなければならない。β=0のとき、α_n＝0となるような n があった場合を考慮。

-----------------------------------------------------------------------------
p.39

「故に、定理1.12により、」

なぜ定理1.12を引用するのか意味不明。

-----------------------------------------------------------------------------
p.44(k=1の場合を考慮）
a_{n, k} < a_{n+1, k} < 1/k!

⇒

a_{n, k} ≦ a_{n+1, k} ≦ 1/k!

-----------------------------------------------------------------------------
p.62

|PmPn| < δ(Sn) < ε.

⇒

|PmPn| ≦ δ(Sn) < ε.

-----------------------------------------------------------------------------
p.70(k=1の場合を考慮）

0 < a_{n,k} < 1/k!

⇒

0 < a_{n,k} ≦ 1/k!

-----------------------------------------------------------------------------
p.79

|x-a| < δ(μ)

⇒

0 < |x-a| < δ(μ)
-----------------------------------------------------------------------------
p.83
区間(0.1]で

⇒

区間(0,1]で

いままで少し読んだ感想として、小平先生のこの本には、独特の癖がある。
小平先生自身にとって分かりやすく書いているのだろうが、それが逆に分か
りにくく感じるところもある。

[a, b]が非可算集合であることの証明はおもしろかった。
この証明方法はポピュラーな方法なんでしょうか？

杉浦先生の本も小平先生の本と並んで有名ですが、杉浦先生の本は、癖がなく、
明快で、ギャップがなく、それでいてくどい感じもしない素晴らしい本だと思う。
ただ通読しようという気にはならない。なぜか癖やギャップがごくたまにあるように
思う小平先生のほうを読もうという気になる。他の本を読んでいまいちよく分からない
ときに調べるのには杉浦先生の本は最高の本だと思う。

杉浦の本　＝　昔の藤原松三郎の本
小平の本　＝　昔の高木貞治の本

というイメージ。

それにしても藤原松三郎の本って分かりやすいよなー。
実力が尽きそう。

無料でPDFファイルがダウンロードできる、ハーディーの「A course of pure mathematics」
もところどころ読むと分かりやすい。

http://www.archive.org/details/coursepuremath00hardrich

小平先生の本は、実数論があるのが嬉しい。
実数の連続性があまりにも強力すぎるから
公理にしちゃうとなんか騙されたような感覚
になる。

カントールのやり方も書いてほしかった。

カントールのほうが数学的な気がするし。

中間値の定理の証明が分かりにくいなー。
ギャップがあるように思う。

うーん。それにしても、簡単なことをくどいくらい詳しく書いていたりするにも
かかわらず、あるところでは、少しギャップがあったりする。

このムラはなんなんだろうか？

杉浦先生のはムラがないよなー。

小平邦彦『解析入門』（ハードカバー版）の中間値の定理の証明ですが、
下のような感じで書いてくれればギャップを感じないのですが。。。
『』で囲まれたところは（小さい）ギャップを埋めるために追加しました。
【】で囲まれたところはc+δをmin(c+δ, b)に変更しました。


f(a)<f(b)またはf(a)>f(b)であるが、f(a)<f(b)なる場合について

証明する。この場合f(a)<μ<f(b)である。f(x)≦μ、a≦x＜b、なる

実数x全体の集合をSとする。f(a)<μであるからa∈Sである。Sの上限

をcとする。c∈Sでないとすれば、cに収束する数列{x_n}、x_n∈S、が

存在するからf(c)=lim_{n->∞} f(x_n)≦μ。『bはSの上界だから、c≦b。

μ<f(b)であるから、c≠b。よってc<b。cはSの上界だから、a≦c（背理法

の仮定によりc∈Sでないからa≠c。よってc<b）。以上より、c∈Sでない

とすれば、c∈Sとなるがこれは矛盾である。』故にc∈Sでf(c)≦μである。

ここでf(c)<μであったと仮定すれば、f(x)が連続関数であるから、

|x-c|<δ『かつx∈[a,b]』ならばf(x)<μとなるような正の実数δが定まる。

したがってc<x<【min(c+δ, b)】ならばx∈Sとなるが、これはcがSの上限で

あったことに反する。故にf(c)=μ。

訂正：

小平邦彦『解析入門』（ハードカバー版）の中間値の定理の証明ですが、
下のような感じで書いてくれればギャップを感じないのですが。。。
『』で囲まれたところは（小さい）ギャップを埋めるために追加しました。
【】で囲まれたところはc+δをmin(c+δ, b)に変更しました。


f(a)<f(b)またはf(a)>f(b)であるが、f(a)<f(b)なる場合について

証明する。この場合f(a)<μ<f(b)である。f(x)≦μ、a≦x＜b、なる

実数x全体の集合をSとする。f(a)<μであるからa∈Sである。Sの上限

をcとする。c∈Sでないとすれば、cに収束する数列{x_n}、x_n∈S、が

存在するからf(c)=lim_{n->∞} f(x_n)≦μ。『bはSの上界だから、c≦b。

μ<f(b)であるから、c≠b。よってc<b。cはSの上界だから、a≦c（背理法

の仮定によりc∈Sでないからa≠c。よってa<c）。以上より、c∈Sでない

とすれば、c∈Sとなるがこれは矛盾である。』故にc∈Sでf(c)≦μである。

ここでf(c)<μであったと仮定すれば、f(x)が連続関数であるから、

|x-c|<δ『かつx∈[a,b]』ならばf(x)<μとなるような正の実数δが定まる。

したがってc<x<【min(c+δ, b)】ならばx∈Sとなるが、これはcがSの上限で

あったことに反する。故にf(c)=μ。

実数論をやらずに公理で済ませるというやり方は、
登山をするときに、頂上付近までヘリコプターで
運んでもらってそこから登頂するのと同じように
感じる。

もちろん、ヘリコプターでは狭い山頂まではいけない。
山頂に近い平らな場所で降ろしてもらうことになる。
また、最後の山頂までの登りは特に急勾配できつい。

それでもふもとから自力で登ってくるのとでは天と地ほど
の違いがある。

実数論は初心者には明らかに不要。
初等微積分を終えてからやるべし（体験談）。
と言いつつも、初等の段階で実数論（切断、基本列、超準解析によるQ
の完備化）と３通りもやってしまったのだが、
「工学部にはこんなもんいらねぇーよなぁ」
とつくづく思た。

高校で指数関数の定義とかちゃんとしていなくてなんか気持ちが悪かった
のが解決される安心感がある。実数論をやると。指数関数の定義は素朴
な定義にする場合。

思い起こせば、数学を勉強していて、最大の違和感を覚えたのは、中学で
平方根を勉強したとき。

２乗して２になる正の数をsqrt(2)と書くとかいうのが気持ち悪かった。

比較すると、負の数とか虚数（複素平面の説明を読んだら）はそれほど違
和感を感じなかった。

小学校のとき授業参観で先生が円の面積の公式を扱ったけど、これも気持ち
が悪かった。

ケーキみたいに円を、切って、それらのピースを弧が上、下となるように順に
横一列に並べる。ピースが非常に薄くなるように細かく切り分けると、横一列
に並べたものが縦がＲで横が２πR÷２の長方形に近くなる。だから円の面
積は、Ｒ×２πR÷２になるとかいうものだった。

いくら細かく切り分けたって完全な長方形にはならないのに、何を言っている
のかと思った。随分、いい加減なものに見えた。

第一、曲がっているものの面積なんて考えられないだろと思った。近似できる
だけだろと思った。

もっとシンプルなのでいうと、

1=0.999...
っていうのもいくらでも近づくけどいつまで経っても完全には一致しないから
おかしいと思った。
ゼノンのパラドックスとかも不思議だった。

実数論を勉強したらそういうつもりつもったフラストレーションが解決される。

勉強してみる定義が一番重要でとコロンブスの卵のような感じがしたが。

瞬間の速さというのも限りなく時間を縮めて考えるというのがうさんくさかった。

バークリーとかいう僧侶のニュートンらに対する反論のほうに親近感を覚えた。

そういうのも解決される。

ところで、
村上陽一郎さんの微分の言い抜け？とかいうのはひどいですね。

バークリーとは大違い。

ちゃんと理解するには、やっぱり実数論から始めて、厳密に証明を読んでいくしかないと
思うが、ニュートンとかオイラーとか厳密ではなくてもちゃんと結果を出していて、厳密性
のほうは後からつけられたという事実があるため、あまり強くは言えないという弱みがある。

実数論が厳密になったからこそ、発見された重要な具体的事実はあるのでしょうか？
理念的概念的病的な話じゃなくて。

デデキントという人は（ちゃんと解決する、あやしくない）哲学者みたいな人ですね。

実数論とか自然数論とかイデアルとか。

生産的じゃないから普通の数学者っぽくない。

カントールの実数論は数学者的ですね。

ハイネボレルの被覆定理とか中間値の定理とか最大最小値の定理とか
の延長線上で何か面白い話はないでしょうか？

微分とか積分は実数論だけやっているとどうしてそんなことを考え始めた
のか分からない強力だが人工的な理論に見えるのでそれらはパスして。

微分とか積分は物理とか幾何学から考えられた概念なんでしょうが、
そういう背景は完全に無視して、実数論だけしか知らない人間がいた
として微分や積分という概念に到達する自然な経路というのはあるの
でしょうか？

杉浦先生の本の中間値の定理の証明は、実際に一つの近似解を求める
方法で証明しているから分かりやすいなー。

小平先生の本は、

[a, b]が非可算集合であることの証明、
コーシーの収束条件の十分性の証明が面白かった。

p.86

定理2.6　区間Ｉで定義された連続関数の値域ｆ（Ｉ）は区間である。

この証明、ギャップありすぎじゃないですか？

結構、雑なところがあるんだよな。ムラがある。

この本は書きすぎ。
あまりお勧めできない。

>>278

確かに書きすぎだけど、なぜかある部分では、いままで書きすぎ
だったのがいきなりつれなくなるんですよ。

そういうムラが気持ち悪い。

杉浦先生の本は一貫して書きすぎを貫いている。

定理2.6の下の合成関数の連続性についても証明を書いていない。

いままで一々詳しく書いてきたのに、ここに来て意味不明な方針転換。

でもそれは明らかだから。

いや、それまで明らかなことも証明してきた。

おかしいだろ、突然。

ε、δ、あともう一つの正の実数をあらわす記号を何にするか考えるのが
面倒だったからかな？

小平先生が解析概論を読まれて「ここは自明ではないな」と疑問に感じたところを
細かく書いたので、本人にとってあっさりクリアできたところは薄い。

いい教科書書くのは、杉浦や笠原みたいな並の数学者のほうが向いてるかもねｗ

笠原先生の本は杉浦先生の本ほど詳しくないような。

収束の速さとかが書いてあったり、微分の定義が変わっていたような気が。。。

あんまり肌に合わなかった印象が＞笠原本。

杉浦先生のは素朴で素直な印象で肌に合う。

笠原の良いところは、収束の速さ（3章の無限小解析）が詳しいところ。
4章の関数列の収束のところも良い。
その分、多変数がやや駆け足になっている。

好き嫌いはあるだろうが、最近の本は関数の収束の速さ、増大の
解説が弱いので、笠原の3,4章あたり読んでおくといいと思う。

>>287

斎藤正彦先生の微分積分の本も収束の速さを
重視していたように思います。高校数学の続きのような本を
目指しているらしくレベルはあれですが。

>>277　p.86 定理2.6の補足：　[a, b]の場合は、定理2.5で証明してある。

{a1_n} := {a+(1/n)*(b-a)/3}
{b1_n} := {b-(1/n)*(b-a)/3}
{a2_n} := {a-n}
{b2_n} := {b+n}
と定義する。

(a, b)の場合：
I_n = [a1_n, b1_n]とする。

(a, b]の場合：
I_n = [a1_n, b]とする。

[a, b)の場合：
I_n = [a, b1_n]とする。

(a, +∞)の場合：
I_n = [a1_n, b2_n]とする。

[a, +∞)の場合：
I_n = [a, b2_n]とする。

(-∞, b)の場合：
I_n = [a2_n, b1_n]とする。

(-∞, b]の場合：
I_n = [a2_n, b]とする。

(-∞, +∞)の場合：
I_n = [a2_n, b2_n]とする。

杉浦わかりやすいか？やっぱり厳密過ぎで難しくない？わかり易いなら
杉浦の方をみんなやってると思うんだけどなあ。ただ、実数は圧倒的に
小平が強いね。

>>290
行間の少ない杉浦のほうが結局分かりやすい、という人もいる。
人生いろいろ、教科書いろいろ

一冊だけで勉強するのではなく、複数で勉強しよう。ただし、教科書ヲタクに
ならないよう、メインの一冊を決めておくほうがよい。

厳密なんじゃなくて詳しく書いてあるだけ

>>292

厳密じゃないところは例えば、どこですか？

>>293
292が読んでわからなかったところ

杉浦は、優秀な学生が自分用に書いた行間のないノートのような感じがする。
癖がなく自然で素朴。

小平は、証明を読むと、時々、ずばっと決まっていて感動することがある。

>>294

>>294

杉浦を行間が埋められてるっていうのはわからないな。よくいわれるけど。
行間埋められてたら解析門前払いとかいわれなくない？すなわち、
推論のステップが細かいから読者が理解するために自分の脳みそを使う
機会が少ない及び、飛躍がないのですぐに分かるはずでは？
実際パッとみだけど、数ベクトルの定義とか予備知識としての付録に
ある集合の記述とか厳密かつ抽象的で理解にくるしむ。特に付録の
写像の定義の仕方が普通じゃないし。

行間は「ない」と言っていいだろう。
門前払いなのは不尽のスタミナが要求されるからだ。

解析門前払いとか言ってるのは、馬鹿だけだろ

理解できないなら門前払いでしょう

クズが門前払いされるだけだから、けっこうな話だ

杉浦で門前払のやつはどの（ちゃんとしてる）本読んでも門前払いだと思うが。
話してるのはわかりやすさじゃなくて内容の濃さ、説明のうまさ、だろ。
解析の入門程度で躓くやつはさっさと数学と円切ったほうがいい。

「僕にもわかる本じゃなきゃ、全て門前払いです」

>>293
298が読んでわからなかったところ

>>300
陰口や噂話に影響され易い人なんだとおもう

>>306
影響されやすいというより「杉浦は解析門前払いと言われている」という噂に
すがりたい人だと思う。自分の信じたい噂だけを信じる。

そういう人は「杉浦は読みやすい」というレスは信じない（信じたくない）。

理解しやすさでは
笠原>杉浦�T>高木>溝畑>杉浦�U

結局「人それぞれ」でいいんじゃないかなあ・・・
本と読者の相性の問題もあるわけだし
おまいらにどんなにバカにされても
「園子がイイ」「マセマがイイ」と感じちゃったら
しょうがないじゃん

「園子がイイ」「マセマがイイ」と感じちゃったら・・・人生そこで終了だよ

数学者目指している人でそんな人いないでしょう
いたとしても数学者にはなれないから数学の世界としては問題なし

ランダウが弟子希望者に理論ミニマムを課したように
東大出版の基礎数学シリーズ全部を課すこととする

>>311
「単位さえ取れたらそれでいい」って人は、数学板の小平スレにまで来ないでしょ。
間違ってきてしまったら、そりゃあ晒し上げですわｗ

理論ミニマムってこれか
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%90%86%E8%AB%96%E3%83%9F%E3%83%8B%E3%83%9E%E3%83%A0
28年間で合格したのが43人って東大の院よりむずい？
理論物理学教程は一巻の力学しか読んでないけど

数学屋なら深谷、アーノルドを読め
物理屋が書いた本なんか糞

ウルフは国立大中退とぬかしてやがるが、全くの馬鹿だわＷ
徹底的に論破してやって
http://jbbs.livedoor.jp/bbs/read.cgi/sports/34457/1211930241/

p.89

x>0.
r = p/m(p in Z, m in N).
s = q/n(q in Z, n in N).

(x^r)^s = (x^s)^r = x^(r*s).

--

((x^(p*q))^(1/(m*n)))^(m*n)
=
x^(p*q)
=
(x^p)^q
=
(((x^p)^(1/m))^m)^q
=
(((x^p)^(1/m))^q)^m
=
(((((x^p)^(1/m))^q)^(1/n))^n)^m
=
(((((x^p)^(1/m))^q)^(1/n))^(m*n).

p.89

x>0.
r = p/m(p in Z, m in N).
s = q/n(q in Z, n in N).

(x^r)^s = (x^s)^r = x^(r*s).

--

((x^(p*q))^(1/(m*n)))^(m*n)
=
x^(p*q)
=
(x^p)^q
=
(((x^p)^(1/m))^m)^q
=
(((x^p)^(1/m))^q)^m
=
(((((x^p)^(1/m))^q)^(1/n))^n)^m
=
((((x^p)^(1/m))^q)^(1/n))^(m*n).

p.89

x>0.
y>0.
r = p/m(p in Z, m in N).

(x*y)^r = x^r * y^r

--

(((x*y)^p)^(1/m))^m
=
(x*y)^p
=
x^p * y^p
=
((x^p)^(1/m))^m * ((y^p)^(1/m))^m
=
((x^p)^(1/m) * (y^p)^(1/m))^m.

ロボットハンドと画像認識装置を使って生産システムを構成する場合どのような制御システムになるか誰か教えてください

p.90

ξ＜ｒ ならば， ξ＜ｓ＜ｒ なる ｓ があるから ａ＾ξ≦ａ＾ｓ＜ａ＾ｒ ．

--

ξ＜ｒ ならば， ξ＜ｓ＜ｒ なる ｓ があり， ｒ’＜ξ なる有理数 ｒ’ に対して， ｒ’＜ｓ であるから， ａ＾ｒ’<ａ＾ｓ ．
よって， ａ＾ｓ は ｛ａ＾ｒ’｜ｒ’＜ξ， ｒ’∈Ｑ｝ の上界であるから， ａ＾ξ≦ａ＾ｓ＜ａ＾ｒ ．

p.90下

ｙ ＜ ｘ ＜ β， ｘ−ｙ ＜ δ（ε）ならば， ｓ ＜ ｙ ＜ ｘ ＜ ｒ ＜ β， ｒ−ｓ ＜ δ（ε） なる ｒ， ｓ が存在するから，

--

ｒ は， ｘ ＜ ｒ ＜ ｍｉｎ｛ β，（ｘ＋ｙ＋δ（ε））÷２） ｝ となる任意の有理数 ｒ でよい。
ｓ は， （ｘ＋ｙ−δ（ε））÷２ ＜ ｓ ＜ ｙ となる任意の有理数 ｓ でよい。

昔、小寺平冶と区別がつかなかった。

「ボクは算数しか出来なかった」っていう本も小寺平冶の本だと
勘違いしていた。算数以上の数学ができなかったけど、こうして
今、数学の本もかけるようになった、っていう秋山仁的な人なの
かと思っていた。

別人だったんですね。

>>323
言ってる内容やキャラクターに全く共通性がないのに
どうして同一人物と誤認できるのか不思議だ。

こでら→こでぇーら→こだいら

釣りにきまってるだろ

>>323
> 小寺平冶

この人は誰なの？

知らない。小寺平治なら名前は知っているが

複素多様体論が復刊された　みんなはもちろん買うよね

そうか、漏れは逆に小寺は小平だと勘違いしてた。

Wiki Pediaとか見ると、

A. Wiles
A. Weil
Weyl

は混同されやすいとかって出ているけど、

小平と小寺についても日本のWikiに書く必要があるんじゃね？

小平氏のような偉い数学者がどうしてこんな糞な本出すんだろうと
思たら、小寺平治の本だったw

教科書で有名な藤原正彦と
エッセイしかかけない斉藤正彦

小寺って誰だよ

世の中には知らなくてもいいことがある

小平邦彦
小寺平治

小、平が共通した文字。

邦、治は、「邦を治める」で関連付けされる。

こでら→こでぇーら→こだいら

とよみも似ている。

みなさんも小寺平治と小平邦彦を間違えないようにしましょう。

ちなみに、フィールズ賞をとったのは小平です。

志村五郎の自伝を読んだけどなんであんなに
性格が悪いの？

疑心暗鬼の塊。

小平先生も皮肉屋で厳しい感じだけど、ユーモア
があった。

志村五郎は徹底的。

しかし自伝であんな風に正直に？書くと
イメージが悪くなるけど、そんなことは
全然考えない人なんだな。数学者らしい
というか。

唯我独尊というか。

他人の悪口を匿名掲示板に書く奴よりはマシだろう

志村五郎。

性格は悪いけど、文章はうまいし、数々の自慢話を読むと
やはり異常に頭がいいんだろうね。

>性格が悪い
詳細plz

>>340

読んでみれば、すぐに分かる。

とにかく普通の自伝ではないし、文章も非常にうまく
とても80歳近い人が書いたとは思えないし、子供時代
の数学に関係ない部分以外は、例えば、ヒルベルトの
数学基礎論の公理には全く興味がないという話など
など、大変興味深い。

ただ、非常に疑り深くて、他人に対しては、ほとんどが
否定的なことしか書いていないので、その点に関して
は不愉快に感じるとは思う。

内容に違いはあるが英語版(Springer)も同時に出ている。


記憶の切繪図―七十五年の回想 (単行本)
志村 五郎 (著)

価格： ￥ 2,310 （税込）
単行本: 254ページ
出版社: 筑摩書房 (2008/06)
ISBN-10: 448086069X
ISBN-13: 978-4480860699
発売日： 2008/06
商品の寸法: 19.2 x 13 x 1 cm

http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/448086069X

周りの人からも、人嫌いで疑り深い人間だと思われていたのか
どうかが気になる。

本で受ける印象と違うのかどうか。

a ∈ R+
x, y ∈ R

a^(x+y) = a^x * a^y

--

{r_m} を x に収束する有理数列
{s_m} を y に収束する有理数列

とする。

任意の m に対して、

a^(r_m + s_m) = a^r_m * a^s_m

{r_m} は、 x に収束し、
{s_m} は、 y に収束し、
{r_m + s_m} は、 x+y に収束し、
a^x は連続関数であるから、

{a^r_m} は、 a^x に収束し、
{a^s_m} は、 a^y に収束し、
{a^(r_m + s_m)} は、 a^(x+y) に収束する。

{a^r_m * a^s_m} は、 a^x * a^y に収束し、
数列の収束値は一意的であるから、

a^(x+y) = a^x * a^y

p.91
a, b ∈ R+
x ∈ R

(a*b)^x = a^x * b^x

--

a>0, b>0 であるから、 a*b>0 である。
よって、指数関数 (a*b)^x が定義される。

{r_m} を x に収束する有理数列

とする。

任意の m に対して、

(a*b)^r_m = a^r_m * b^r_m

{r_m} は、 x に収束し、
a^x は連続関数であり、
b^x は連続関数であり、
(a*b)^x は連続関数であるから、

{a^r_m} は、 a^x に収束し、
{b^r_m} は、 b^x に収束し、
{(a*b)^r_m} は、 (a*b)^x に収束する。

{a^r_m * b^r_m} は、 a^x * b^x に収束し、
数列の収束値は一意的であるから、

(a*b)^x = a^x * b^x

p.93

指数関数 u^x は

⇒

冪関数 u^x は

p.92
r,s を r<α<s なる有理数とすれば、 x>1 のとき x^r < x^α < x^s、 x<1 のとき x^r > x^α > x^s であって
x^r, x^r は x の連続関数であるから、 x^r → 1(x → 1), x^s → 1(x → 1) 。故に

任意の正の実数 ε に対し、正の実数 δ1、δ2 が存在し、

ｘ＞０ かつ ｜ｘ−１｜ ＜ δ1 ならば、｜ｘ^ｒ − １｜ ＜ ε
ｘ＞０ かつ ｜ｘ−１｜ ＜ δ2 ならば、｜ｘ^s − １｜ ＜ ε

となる。δ＝ｍｉｎ（１， δ1， δ2）とすれば、

（１）１＋δ ＞ ｘ ＞ １ ならば、

１−ε ＜ ｘ^ｒ ＜ ｘ^α ＜ ｘ^ｓ ＜ １＋ε

（２）１−δ ＜ ｘ ＜ １ ならば、

１−ε ＜ ｘ^ｓ ＜ ｘ^α ＜ ｘ^ｒ ＜ １＋ε


（３）ｘ ＝ １ ならば、

１−ε ＜ ｘ^ｓ ＝ ｘ^α ＝ ｘ^ｒ ＝ １ ＜ １＋ε

である。したがって、 ｘ^α は、 ｘ ＝ １ で連続であり、

ｘ＾α → １（ｘ → １）

である。

したがって、任意の ａ ∈ Ｒ＋ について、

ｘ／ａ は ｘ＝ａ で連続であり、
ｘ／ａ →１ （ｘ→ａ）

ｘ＾α は ｘ＝１ で連続であり、
ｘ＾α → １（ｘ → １）

であるから、合成関数の連続性により、

（ｘ／ａ）＾α→１ （ｘ→ａ）

である。

ｘ→ａのとき、

ｘ＾α ＝ ａ＾α × （ｘ／ａ）＾α → ａ＾α × １ ＝ ａ＾α，

すなわち、関数 ｘ＾α は Ｒ＋ の各点 ａ で連続、したがって
ｘ＾α は Ｒ＋ で ｘ の連続関数である。

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ttp://gemini.ddo.jp/live/56/080630-2245190484.jpg

p.93

0＜n≦t＜n+1 であるとき、

1/(n+1) ＜ 1+1/t ≦ 1+1/n

( 1+1/(n+1) )^n ＜ (1+1/t)^n ≦ (1+1/t)^t ＜ (1+1/t)^(n+1) ≦ (1+1/n)^(n+1)

p.93

(1+1/(n+1))^n = (1+1/(n+1))^(n+1) / (1+1/(n+1))

n→∞ のとき (n+1)→∞ であるから

(1+1/(n+1))^(n+1)→e.

1+1/(n+1) → 1 であるから、

(1+1/(n+1))^n → e/1 = e.

ところどころかなり雑な本だよね。
最後にもう一度、読み返して推敲してほしかった。

世界に、微積分の入門書で、小平邦彦より偉い数学者が書いた教科書って
ある？

p.100

(2.19)
exp(i*x) = 1+ix/1! - x^2/2! - ix^3/3! + x^4/4! + ...

(2.19)により、

Re( exp(i*x) ) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...
Im( exp(i*x) ) = x/1! - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...

と、何の説明もなく導いていますが、なぜ厳密な議論をしないのでしょうか？

厳密な説明をするところとそうでないところが入り混じっていて気持ち悪いです。
かならずしも、重要なところは厳密に、そうでもないところは流して、
というわけでもありません。

例えば、上の例が出てくる、三角関数の定義はこの本でも特色のある部分で
たくさんページを使って基本的に厳密に展開されていると思いますがなぜそこ
だけ流すのか？

p.101 で、「sqrt(i) = (1+i)/sqrt(2) とおく」と書いてありますが、複素数の平方根
を定義するわけでもなく、ただ、「おいているだけ」です。

sqrt(i) の表示が使われるのは、

exp(Pi/4) = sqrt(i)

という式だけです。この式の見映えを良くするためだけのためです。全く意図が
よく分かりません。

例えば、ファインマンの物理の本で、オイラーの公式を
導いているのであれば、何も気にしませんが、

[a, b]が非可算集合であることの証明までやっている本
でなぜ？と思います。

>>353
そんなに真剣に読むと病気になっちゃうよ・・・もうなってるか。

>>353
>Re( exp(i*x) ) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...
>Im( exp(i*x) ) = x/1! - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...
>と、何の説明もなく導いていますが、なぜ厳密な議論をしないのでしょうか？

絶対収束する級数の部分級数の和の総和は元の級数の和となるというのが
その前に書いてあれば（やや不親切だが）許せる。
もし書いてなければ教科書としてはミス。

>>356

それは後に書いてあります。

あと、正の実数の平方根についても、平面上の点と点の距離を定義するとき
に使っていますが、それについても何の注釈もありません。

その後、中間値の定理を証明した後に、ｎ乗根が出てきます。

おそらく、循環論法に陥ることなく、全部読んだ後にはつじつま合わせが、
できるようになっているとは思いますので、そういうことに触れないほうが
分かりやすいと考えたんだと思いますが、その判断の基準が小平先生
のいわゆる数覚によるのかどうなのか分かりませんが、主観的すぎる
ように思います。

まあ、うっかりミスだろ。

>>357
ノルム位相を入れるんならユークリッドノルムである必要は無い。
どの道有限次元なら全てのノルムは同値なのだから。
maxノルム等の平方根を使わんノルムで置き換えて読めばよろし。

p.103 の以下の部分がよく分かりません。ｓｕｐ ｌ_Δ ＝ ψ となるのは、自分で考えて分かりましたが。


なぜなら、Δ⊂Δ’ならば、ｌ_Δ≦ｌ_Δ’であるから、Δを条件（２．２２）を満たすものに
限ってもｓｕｐ ｌ_Δは変わらない、したがって

｜ｓｕｐ ｌ_Δ − ψ｜≦ε

となり、

任意の正の実数ε’に対して、

ｓｕｐ ｌ_Δ − ε’ ＜ l_Δ’ となるような Δ’ が存在する。

今、 Δ が（２．２２）を満たすとすれば、

Δ ⊂ Δ∪Δ’ であるから、 Δ’’：＝Δ∪Δ’ は、明らかに（２．２２）を満たす。

Δ’ ⊂ Δ∪Δ’ であるから、 l_Δ’ ⊂ l_Δ’’ である。

よって、 ｓｕｐ ｌ_Δ − ε’ ＜ l_Δ’’ である。

ということかな？

おまえらなぁ、この程度の本独りで読みこなせよ。
これが単独で読めんようではプロの数学者は無理だぞ。

>>357
平方根の存在など，実数論（有理数体から実数体を構成）する所で
実数を作るついでにやるもんだ。難しくはないので単なるやり忘れ。

1980年にいたって「基礎数学２」として杉浦光夫『解析入門�T』が出た（基礎数学３の『解析入門�U』は1985年
に出た）。

これは大変な本である。さきほど微積分教育のふたつの道について述べたが、この本は欲ばって両方をフル
に追求する。そのため、�T・�U合わせて850ページという大作である。もっとも�Uには複素解析も入っている。

数学者ないし数学教師としての私には非常に貴重な本だ。解析学関係でなにか分からないことがあったら
この本で探せばよい。かならずどこかに解答、ヒントまたは参照文献が出ている。

薩摩順吉：

『解析概論』はその後日本で出版された数多くの解析学の本
の原型をなしているといってよい。しかし、以降の本は一般的に
いってどんどん難しくなってきている。決して内容が増えたという
わけではない。ますます取り扱いが精緻になり、表現が抽象的に
なってきたのである。きわめつけは、杉浦光夫『解析入門�T・�U』
である。6年前現在の職場に移ってきて講義を準備する際、この本を
参考にした。しばらくはこの本の流れに沿って講義をしようとしたが、
数回目でその試みは挫折した。とても1年の講義でやれる内容ではない。
以前ある学生から完備性だけで半年講義をした先生がいたと聞いたこと
がある。先生の気持ちが分からないわけではない。

しかし、解析学を将来やろうとする人に対する入門書としてこれほど
優れた本はないであろう。とくに、実数の公理についての記述は明解で
ある。

戸瀬信之：

でも、微分積分っていまいい本がないですね。教科書として
いい本が特にない。杉浦（光夫）先生の『解析入門�T・�U』
（東京大学出版会）は非常に難しくて、分厚くて、今の学生
にあれを読ませたら狂うんじゃないか（笑）。精神はわりと
好きですが、教科書として使うのはちょっと無理なんじゃな
いでしょうか。

小野薫：

自分で読む分にはいいんじゃないですか。

斎藤毅：

数学をやっていこうと思って、ちゃんと基礎から自分でしっかり
やるにはいいでしょうね。でも授業で教科書としてやるのは無理
でしょう。

小野先生は相変わらず素敵ですね〜＾＾

皆さん理系の人は受験時代にどの英和辞典を使っていたのか教えてください
スレ違いですみませんがよろしく

>>369

小学館　プログレッシブ



亀谷俊司の『解析学入門』っていい本だなーと
思うんですけど、なんでマイナーなの？

杉浦ぁぁぁぁぁ・・・・・・

Kingは臭いのですか？

思考盗聴で個人の生活に介入する奴は早く永久停止したほうがよい。

Reply:>>372 早く国賊と心中しろ。

大学で重積分を勉強してて混乱しました。
どなたかアドバイス下さい。
重積分って何を求めるんですか？！
面積だって体積だって普通の積分で求められますよね！？
2重または3重で積分して面積や体積求める問題が教科書に乗ってますが、
何とか解けるんですがやってる意味が分かりません。

面積求めるわけでない普通の積分も何を求めてるんですかね

頭の悪い質問ですがよろしくお願いします

>>374
ヒント：変数の数、曲面。

適当な曲線f(x,y)に対してS(y)=∫f(x,y)dxを面積とすると、∫S(y)dy=∬f(x,y)dxdyで体積を求められる。

三年十三時間。

>>180
この問題、lim[t→b-0][s→a+0]∫[x=s,t] ｆ（ｘ）dx を
ε-δを使って書き下し、∫[x=s,c] ｆ（ｘ）dx　が
コーシー列？(数列ではないからなんて言えばいいんだろう)で
あることを見抜けば、杉浦解析入門の定理I.6.10を使って解決しますね。
質問したのは、2年前。時間かかった。。。

杉浦解析読めない奴がこれ読むんだろうなｗ

>>379

杉浦のほうがむしろ読みやすいぞ。
杉浦は、独特の癖のようなものがない。

やっぱり大家の書いた本は入門書でも違う。

杉浦先生は大家だよ。文化アパートのな

＞コーシー列？(数列ではないからなんて言えばいいんだろう)

函数列。こういった函数列を並べた空間を函数空間と呼び、関数解析で勉強しまつ。
たとえばガウス分布の幅をどんどん狭めた函数列を考えてみると、その極限としてデルタ函数が得られます。
このあたりは突き詰めると結構難しいので、コーシーの条件【定理I.-6.10】を使えば良いと分かったところでやめて深く考えない人が多いでつ。
実解析のベースになる考え方で、フーリエ解析やウェーブレット解析に繋がるのでしっかり理解したなら価値があります。

＞2年前。時間かかった。。。

自主ゼミとかやればよかったのでは？

＞このあたりは突き詰めると結構難しいので、

超函数の理論まで逝っちゃいますね。

久しぶりに読んでみたらわからないことだらけ。
理解力が増して、
今まで疑問に思わなかったところを気付くようになったからだろうか。
例えばp204.22の式が意味不明だった。

>>384
「理解力が増して」いるなら久しぶりに読んでみてもちゃんと理解できると思う。
理解力が増しているんだから。
ところがわからないことだらけときたもんだ、つまり・・・・

>>380
それは読んでいってるのか？あまりにも緻密で精神力もいるし、
多変数関数の積分なんかは本当に難しい。実際杉浦読みこなした奴
２chでもほとんどいないだろ。東大ですら教科書としては使われていないのに
簡単とか抜かす奴いるからMIT辺りに通ってるのだろうか。
東大の講義ノートみれば杉浦が如何に難解かわかる。

>>384
ウソだな。初めから読めてないだけだ。

age

あまり記憶に残ってないが、この本は三角関数を厳密に扱いすぎている。
意味ないだろあんな関数ごときのそんなに厳密性を求めても。

でも非常に根源的な関数だからな
ただのその他大勢の関数とは違う
小平先生が意味があると考えたんだから深い意味があるのかもしれないぞ

感覚的にわかりやすい記述を心がけたって前書きにあるけど、
ほかの本とどういうところが違うんでしょうか？

小平先生は東京の小石川高校の卒業らしいが
長野県の松本深志高校から編入したという話もある
正しい経歴どこかに書いてないか?

理解するというのも薄っぺらなものと深いものがあると思う。
小平先生ならわかってくださると思うのだが。。。
先生の初等幾何学の本はボロボロだったというから。
理解した後でも何度も読んだのであろう。

p204.22の式

どんな式か書いてみないか

別の解析学の本なんですが，質問させて下さい．

写像w = f(z) = z^2による，集合D = { z | 1/2 < | z | <= 1 } ∩{ z | Rez > 0 }の像f(D)を求めよ．
（Rezはzのzの実数部）

という問題なのですが，z = x + iy， w = u + ivとしたとき
u = x^2 - v^2/4x^2
u = v^2/4y^2 - y^2
となって写像wによって放物線のようなものに写されると思うのですが，
条件(集合D)をどう考えて答えを出せばいいかわかりません．
何方か教えて下さいorz

＞写像wによって放物線のようなものに写されると思うのですが

基本からやり直しなさい。

それでは

ｚ平面上の虚軸に平行な直線x=x_0のfによる像は放物線

に訂正します

>>395
写像の式もＤの定義も
極座標で考えたほうが
考え易いとおもいます

136

指数関数
Y=Bexp(Ax)
を多項式で近似する方法をテイラー展開以外で知りませんか？
指数関数eを除いた多項式近似をしいんだけど、最小二乗法で多項式近似しようとしたがよく分からなかった。

初歩的な質問ですみません
定理１．２９（Weierstrassの定理）有界な無限集合は集積点をもつ、ことの証明で、

＞集積点をもたない有界な集合Sは有限集合であることを証明すればよい。

とありますが、これはなぜですか？
これでは集積点を持たない無限集合の存在を否定できないと思うのですが

集積点を持たない 有界な 無限集合の存在を否定できればいい

すみません。有界が抜けてました。

ああ、無限の否定は有限だから、有界な集合について
無限集合⇒集積点を持つ
の待遇は
集積点を持たない⇒有限集合
になるのか。わかりました。

ありがとうございました。

×待遇
○対偶
間違えた。

830

すみませんがトリビアルな質問をさせて下さい。
ディラック「量子力学」
§23（運動量による表示） p128の
-∞から∞への積分でg→∞の時に
∫f(a)da sin(ag)／a=πf(0)
となるのがわかりませんが
ヒントを頂けないでしょうか。
宜しくお願い致します。

>>406
トリビアルなことを聞き返すが、
∫[-∞→∞] sin(a )／a da
は、微積分の初歩だから知ってるな？

大変すみません知りませんでした…m(_ _)m
すぐに調べてみます

>>407
えー…と、
sinをべき級数に展開すれば、とか思ったんですが…
やっぱりよくわかりませんorz

微積の初歩とありますが、どのあたりに載ってる事なんでしょうか
お手数ですみませんがよければ教えて下さいm(_ _)m

微積の初歩とはいわんだろ。
あれはふつうは関数論で導くものだ。

>>410
そうなんですか。
今ちょうど高木貞治のフーリエ級数の章にも
同じ形を見つけたので、そこもよく見てみます。
>>407は大変ヒントになりました。本当にありがとうございますm(_ _)m

初歩と言っても、解析オンチの人にはなかなかの内容のもののようですね
失礼いたします

>>410
∫［0,∞］sinx／x=π／2は関数論の有名な例ですね
失礼致しましたm(_ _)m
解析オンチの僕にはそのご指摘も大変参考になりました。
ありがとうございます

>>410
関数論でもやれるし、そっちの導出のほうが有名だが、微積の本でも
広義積分のところで紹介されてることが多い。

ああフーリエ級数の奴ね。

フィールズ賞受賞者の本が読めるなんて幸せだなあ。

こひらだとおもったらこだいらって読むんだって。
このすれにもこひらと読んでいた奴多そうだな。
高木さだじってよんでるやつもおおそうだけど。

貞治は「はだはる」だろ

つ・・・つられるものか！

こうぼくさだじ

p.59
任意の集合Sの閉包[S]は閉集合である．[証明][S]の境界点PはSの
境界点であることを言えばよい．このためには任意の正の実数εに対して
Uε（P)∩Sが空集合でないことを示せばよい．Pが[S]の境界点であるから，
Uε（P)は[S]に属する点Qを含む．このときδ＝ε−|QP|とおけば，δ＞０であ
って，Uδ（Q)⊂Uε（P)．Qは[S]に属しているからUδ（Q)∩Sは空集合でない．
故にUε（P)∩Sも空集合でない．■

これの下の[S]二つはSの間違いではないのですか？

>>420
1番下の　”Qは[S]に属しているから”は
QがSの閉包に属す⇒Qの近傍がSと交わる

下から2番の　”Pが[S]の境界点であるから，
Uε（P)は[S]に属する点Qを含む”は
Pが[S]の境界点⇒Pの近傍が[S]と交わる

となって間違いではないと思います。

あ、そうか。[S]の孤立点はSの元だから問題ないのか。
つまり
Ｑ∈[S]⇔∀ε>0　Uε（Q)∩S≠Ø
おかげで頭の中が整理できました。

丁寧なレスありがとうございました。

申し訳ありませんm(_ _)m
学部質問スレでスルーされたのでこちらで馬鹿な質問をさせて下さいorz

dz=σ+iτ、d（z*）=σ-iτ
のとき
（d＾2）z=2dσ・dτ

となるのがわかりません…

バカな質問をするスレではないよ、マルチ

やれやれ、まだ小平ホモ彦なぞありがたがる奴等がいるんだ。
奴に掘られて気のふれた山口人生を見たら、少しは考え方が変わってもいいと思うんだがな。

四年二日十六時間。

俺もがんばろうかな。
借りてきたけどよんでない

760

ランダウ記号の説明はもちょっとして欲しかった。

なんで？

>>392
親が長野なだけ
本読め

�Tをいま読み終わった　バイトの合間だったし講義とかレポートがあって約１カ月もかかってしまったよ
�Uはもっとかかるかも

くそっ！！！！

ぷっ

　　　柳下浩紀

さんのことなの？非線形拡散方程式って
専門は解析だね。つか、偏微分方程式？

pare

幾何への誘い

702