Rの濃度＝R^2の濃度っておかしくね？

カントールの対角線論法っておかしくね？

少なくとも、どこがおかしいのかを指摘しないことには数学にならないわけだが

　〜〜〜終了〜〜〜

おかしい。
ぜったいおかしい。
詳しくは言わんが。

Rは有限集合。ということか。

ルベーグ積分風に、「面積≒濃度」と読み替えると確かに、「アレ？」って思うな。
まぁ、集合論(というか数学全般)は直感的でないものがたまにあるなぁ。

「アレフ？」って思うな。

カントールの理論はフロイトの心理学と同じで、
無価値。

後世による再構築が必要。
そして、それはまだ完全にはなされてない。
対角線論法なんて、有理数が可算でないことを示しただけ。
無限の大きさはいかようにも捉えられる。

偶数の集合と自然数の集合の大きさが一致するなんて、
フロイトの肛門心理学と同じで、ただの詭弁に過ぎない。

有限集合の定理のひとつである
E∈N⇒num(E)<num(N)　（ここでnum(Z)は集合Zの要素数を返す。）
を否定するような無限集合の要素数（濃度）に関する定義が
はたして妥当だといえるのだろうか？

＞ 有限集合の定理のひとつである
＞E∈N⇒num(E)<num(N)　（ここでnum(Z)は集合Zの要素数を返す。）

E:={1,2,3}, N:={{1,2,3}} のとき E ∈ N だが num(E)=3 !< num(N)=1
有限集合で反例がある????

>有限集合の定理のひとつである
>E∈N⇒num(E)<num(N)　（ここでnum(Z)は集合Zの要素数を返す。）
>を否定するような無限集合の要素数（濃度）に関する定義が
>はたして妥当だといえるのだろうか？

こういう事いってる人って
数列の
a_n < b_n　⇒lim a_n ≦ lim b_n
って定理に「＝」が含まれてるのも妥当で無いと思ってるのだろうか？

>>10
それは数列の差が0に近づくときのためにある等号だろ？
自然数の集合と偶数の集合の差が要素数が無限に近づくにつれて0になるのであれば、
極限の果てで両者が一致するとしても良いが。

そんなことが証明できるでも無し。

こんなのは数学じゃないよ！

>>11
お前馬鹿だろ？

>>12
反論もしないで何を言っとるか？ヴァカが。

要するにカントルはこじ付けの名人ということ。

おバカの>>1は、>>9の>>8に対する反証を無かったことにするつもりなんだろうか。

>>13
お前さ、たぶん鉄柱なんだろうけど
数学徒は「フロイトの心理学」なんてどうでもいいんだよね

＞要するにカントルはこじ付けの名人ということ。
集合論のありがたさが全然分かってないね

お前、簡単な集合論の問題出されても解けないだろ？
鉄柱ほんとうざいな

貴様の方がウザい。

カントルの無限集合の話なんて嘘八百だからね。
現在の手法で「簡単な集合論の問題」を
解いたとしても100年後には絶対通用しないよ。

もっと合理的な無限集合の濃度の定義を誰かが発見したら、
すぐに飛んで行く様な
薄っぺらい理論さ。

「集合論のありがたさ」って言うけれども、
有限集合論は理論として完成されて、十分有益だと思うが、
無限集合論となると
（偶数の要素数＝整数の要素数）となるような理論を使って
実学的に何か他の分野で有益な結果が得られるのか？
他の分野の科学を混乱に陥れるだけではないのか？

>（偶数の要素数＝整数の要素数）となるような理論を使って
お前やっぱり馬鹿だろ
誰も要素数が等しいなんて思ってない
濃度の意味分かってる？
濃度が等しいっていうのは、ただの同値関係なんだけど

＞有限集合論は理論として完成されて、十分有益だと思うが、
無限集合を分類することができたっていう意味でも、
無限集合の方が有益だろ

＞実学的に何か他の分野で有益な結果が得られるのか？
＞他の分野の科学を混乱に陥れるだけではないのか？
数学の本を1冊でも読んだことがあるのかと小1時間

誰も大きさが同じとか偶数と整数が
同じ個数だけあるなんて書いてないだろ
「個数」に似た厳密な数学的概念として濃度があるというだけ

R^2とRの間の全単射は二つの間には，連続な全単射は無いから
やはり二つは別の数学的構造なんだということで誰もが納得してるんだが

有限集合に関する理論なんて無くても大して困らない
無限集合論がないと解析学の基礎付けが大分難しくなるわけですが

>>18=>>16？

16はG.Cantorの集合論は間違っていたよ派
18はお前が一人で混乱してるだけだよ派でしょ

ちゃんと読んでよ

ちげーよ。

無限集合の濃度とかアレフ・ゼロとか言っても、
所詮可算であるかどうかを示しているだけ。
「無限集合には加算なものとそうでないものがある。」
それは全然OK。だが、その先に進むことができない。

集合が可算であることと本当の意味での濃度（無限集合の要素の過密度？）
が一緒くたにできるわけが無いだろう？
お前ら、教科書に書いてあるから、そう信じてるだけだろ？
それじゃ、オウムと一緒だよ。

濃度や大きさという連続的な指標は数値化されるべきであり、
可算であるか否かのような二値の指標とは全く無関係であるはずだ。

加算→可算

＞所詮可算であるかどうかを示しているだけ。
お前の言ってることは3以上は全て沢山としか
とらえきれない国の人と同じだよ
まあ重要なのは可算かそうで無いかだならまだ分かるが

＞一緒くたにできるわけが無いだろう？
お前がかってに一緒くたにしてるだけだろ
＞可算であるか否かのような二値の指標
お前が勝手に二値の指標に単純化してるんじゃないか低脳

あれ？連続体仮説は可算とそうでないものの間に
グレーゾーンが無いと主張してるんじゃなかったっけ？

結局二値じゃないか？

可算可能性は計算機で言ったらbooleanで表される変数と同じ。
じゃ、濃度・大きさが(True or False)ってどういう意味？
そんなもの個数の一般化になんかなりえねぇよ。
定義そのものが馬鹿げてる。

そうでないものって色々在るだろ
たとえばRとRの冪集合の濃度は違うだろ？
お前の言ってるのは0と1の間に自然数が無いってのを
自然数は0と1以上の二種類しか無いって言ってるようなもの

＞じゃ、濃度・大きさが(True or False)ってどういう意味？
濃度がTrueなんて言い方お前しかしねえよ
知るか

ちなみにContinuum Hypothesisは
集合論の研究者にはその否定の方が
尤もらしいと思ってる人のほうが圧倒的に多いけどな

＞お前ら、教科書に書いてあるから、そう信じてるだけだろ？
＞それじゃ、オウムと一緒だよ。
すげえ馬鹿こいつ

信じるも何も、別にただの定義ｼﾞｬﾈｰｶw

そろそろ問題投下するよ？

可算でないもののべき集合は確かに可算でないね。
ただそれだけ。どちらも可算でない。以上。

可算でない具合が違うとか、どちらが大きいかなんて言えるはずもない。
Nのべき集合の要素数が2^num(N)になるのは有限集合のときだけ。
それを勝手に無限集合に拡張しても良いと言うのは、
とんだ論理の飛躍だろう。
アレフゼロ(A)はただ可算であることしか示していないのに、
そのべき集合の濃度が2^Aになるという。バカか？

要は全ての数学者が納得する、
無限集合の正しい公理が求められてるということだ。

だからバカなのはお前だって
お前どうせ2^(#R)は2を実数の個数と同じ回数
掛けるという意味だとか思ってんだろ？
P(R)と書こうが2^(#R)と書こうが大した違いなんて無いんだよ
ただ有限集合の時に成り立つから「記号法として」真似しただけ

集合の直積は掛け算じゃないとか商集合は割り算じゃないとか
そのレベルの下らん質問と一緒

>>28
なんかお前がだんだんかわいそうになってきた
集合論理解できない高校生か学部1年なんだろうけどね

あ、2^Rでよかったかな
＞Nのべき集合の要素数が2^num(N)になるのは有限集合のときだけ。
に釣られちゃった
まあNは有限集合じゃないからｲﾐﾌだけどね

ちげーよ。

定義なんていかようにもできる。
要はその定義が既存の法則を如何に満たし、
妥当であるかが重要である。

カントルのような雄弁家であれば、真実性がどうであれ、
後世数百年以上も間違えた理論がまかり通るのか。嘆かわしい。
カントルの集合論は一流の数学者が臨んだとしても、
行き止まりが余りにも多すぎる。
それゆえ何十年も進展しないではないか？
それはその基盤が誤っているということではないのか？
数学的にもっと深みのある定義が何故に為されないのか？

無限を無限のままに扱うことが如何に危険であるのか、
あなたたちなら存分に理解しているだろう。

アレフゼロを記号化して扱うことは、
代数で無限を∞として扱うのとなんら変わらない。
嘆かわしい。

また○タイロンみたいなトンデモかな、、

＞行き止まりが余りにも多すぎる。
お前最近の集合論の研究とか知らないで言ってるでしょ？
巨大基数の理論とかさ
勝手に研究が行き詰っているとか勘違いするのはどうかと思うよ
数学はニュートンの時代の微積分から大して発展して無いとか思ってるんだろうけどさ

記号化して扱うのはデカルト以前からの数学の根幹だからお前の注文は無理だね
やるんだったら数学以外の何が別の学問作って勝手にやってくれ

というか自分の間違いを指摘されたら
論点をずらすというのはどうなのかなあ

数学に限らず

>>29
その2^(#R)と#Rの大きさが違うことをどうやって示しますか？

集合論の教科書参照
等しいと仮定して矛盾を導く

巨大基数って最近？

濃度の定義そのものからしておかしいと思うのには同意。

アホの>>1が濃度の定義を認めたくないというのと
濃度の定義に基づいたカントールの論理が間違っている
というのとの間は何も関係が無い。
そのような無関係なものを故意に混同しているにも関わらず
それを論理だということを詭弁という。

>>1が、自分なりの「個数の一般化」の定式化をして、そんで
「こういう定義考えてみたんだけどどうよ？」
って持ってくればいいんじゃね？>>1が文句言うばっかりで、
自分のアイデアを出さないのが問題なんじゃね？

カントールとフロイトを同列に扱っておるしったかがいるスレはココカァァァ！

√4=2

俺Fランク大の学部TOPだけど、こういうスレを見てると自分が能無しだと痛感する。

100kgの鉄の塊と、100kgの綿の塊は

「重さ」という計測基準で比べると一致するが

だからといって両者が同一のもの、という結論にはならない。

たまたま「濃度」という概念で計った場合にRとR^2のそれが一致したというだけであって

これが両者の集合の同一性を示すものではない、ということだと思うのだが？

濃度って言葉に違和感感じて噛みついているだけじゃん…

カントルの集合論の
偶数の濃度=整数の濃度
って言うのは納得できないな。

無限を∞で表して、代数的に
1/2*∞=∞
よって∞ = 0
ってなるような詭弁を聞かされているみたいでキモイ。

アキレスと亀やツェノンの逆理のようなバカらしささえ感じる。
100年後には通用しないってのにも納得できる。

いやだからそういう人は
「濃度」は「個数」でも「大きさ」でもないけど
何か現代数学ではそこそこ役立ってる概念だ
と思えばいいじゃないの
「濃度」という言葉の意味は一通りしかないけど
「個数」や「大きさ」という言葉の認識には個人差があるんだから
全体は部分より大きいから云々というだって
何千年か前のアリストテレスの説だったかと

哲学板に持ってけばいいのかもな、このスレは

>1/2*∞=∞
>よって∞ = 0

最初の行は正しいが、「よって」以下はおかしい。

せめて
#(A∪B) = #A + #B - #(A∩B)
ぐらいは満たせるような公理系にして欲しかったな。
A=偶数
B=奇数
としたら
A∩B=φ
A∪B=整数
#(A∪B) = #A + #B - #(A∩B)
であるべきなのに、

#(整数) ≠ #(偶数) + #(奇数)

これじゃあ話にならんよ。
集合の唯一の演算である∩や∪も自由に扱えないような定義なんて無価値。

∞=∞+∞
は正しい。

でも
2^∞≠∞
なわけだ。
都合良杉なくね？

都合よすぎ。

都合がいいと何が問題なの？
虚数単位だって都合がいいから使ってるんじゃん

ご都合主義っていう意味で言ってるんだよ。

もっと合理的な定義が何故できなかったのかなって思う。
#(A∪B) = #A + #B - #(A∩B)
この式は最低限守るべき定理だと思う。

はぁ？
そもそも「足し算」が定義されてないだろ。
自然数じゃないんだよ。

>>55
ﾋﾝﾄ高校生

>>54
そんじゃあお前が合理的な定義すればいいだろ。簡単な事じゃないか。

>>55
何故定義しない？
濃度間の演算には取って付けたような乗法や指数演算が定義されているのに
なぜ加法を定義しない。
有限集合では要素数の加減法による法則がいくつか用意されている。
それを満たすように拡張するのが本来の数学だろうが。
そもそも、濃度間に十分に演算が用意されていないこと自体が
無限集合論の可能性を狭めている。

ゲオルグは「数学の本質はその自由性にある」と言ったらしい。
未定義の概念には自分の好き勝手に定義を与えてもいいとでも言うのか。
馬鹿げてる。

だからと言って何をやってもいいわけではない。
定義を与えるからにはそれにまつわる既知の法則を
可能な限り満たすことが求められる。
それによってその定義の妥当性が与えられるのだ。

>>57
カントールの集合論が非合理であることを認めましたね。

#(整数) = #(偶数) + #(奇数)
は # が濃度の意味であれば成立しているわけだが。

カントールの集合論が非合理（不完全）であることはゲーデルによって
既に示されているのでは？

夏休みなんだなあ。

>>61
カントール集合論の逆理が指摘されたのは
ブラリ・フォルチが1897年、ラッセルが1902年

ツェルメロの公理系の発表が1908年

ゲーデルは1906年生まれ

俺さ、まだ2ch暦1年ぐらいなんだけど
みんなが「夏だなー」っていう意味がよく分かった気がするね
うーん夏はこういうｽﾚがたくさん立つんだなー

2ch暦

>>63
じゃあやっぱ、あの集合論はどこかおかしいんだろ？
濃度がどうとか、言ってるのだって
結局は間違いを間違いで塗りつぶして
辻褄を合わせているだけのようなもの。
こんなもの解ったってほざいてる奴は経典を丸暗記して
念仏唱えてるエセ宗教の信者同然さ。

百年後の数学のために今こそ無限集合論の再構築が
必要とされているのではないだろうか？

何処がおかしいのかも分からんのに対角線論法が間違ってるって言い切ってどうする気だ？
つか集合論の再構成はカントール以後、既に行われているわけだが。
>>1には>>63が見えないとみえるな。
不完全性定理と完全性定理のステイトメントも意味も分かってないようだし。

>>67
＞集合論の再構成はカントール以後、既に行われているわけだが。
そのこと聞いて安心した。もう少し勉強するわ。
もうこねぇよ。

再構成されても
#(整数) = #(偶数) + #(奇数) = #(偶数) = #(奇数)
は相変わらずなんだけど
と呼び出してみよう

>>49
あんた馬鹿？

>>68
>>1はZFも知らずに対角線論法がダメだとか喚いてたのか
ゆとり教育ってすばらしいなｗｗｗ

>>49
何が不満なのかよくわからんが >>49 はとりあえず「濃度」じゃなくて
「測度」を勉強してみろ。

若かった時代を思い起こさせる夏の香りただようこのスレに涙した

濃度の掛け算は知ってるのに足し算は知らないのね
つうかどうせ濃度の掛け算も何も知らねーんだろうが

よく勉強もせずにおかしいおかしいなんてよく言えるな
どこが間違いなんだよ

足し算によって不変な量は0以外認めん。

アレフゼロ=アレフゼロ + アレフゼロ
だと？
ふざけるな。
n倍によって不変な量は0以外に認めてはならない。
このような事になるのは無限を無限のままに扱っているからだ。

無限を無限のままに扱うといかなる矛盾が現れるか、
思い知れ！
矛盾のカタマリの今の無限集合論なんて、
学ぶことも教えることも所詮時間の無駄、無意味だと私は結論付けたい。

>n倍によって不変な量は0以外に認めてはならない。
何故？

>無限を無限のままに扱うといかなる矛盾が現れるか、
どこにどんな矛盾があるんだ？

別に反対派と言うわけでもないが、
昔考えた反証

有限個の自然数の個数と有限個の偶数の個数が等しくなるように
1対1対応を付けた二つの有限集合N(n),E(n)を次のように定義する。
N(n) = {1,2,3,4,,,,,,,n-2,n-1,n}
E(n) = {2,4,6,8,,,,,,,2(n-2),2(n-1),2n}
N(n),E(n)の要素数は共にnである。
ここで、n→∞の時明らかに、要素数としてのn→アレフゼロ、N(n)→自然数全体の集合、E(n)→偶数全体の集合
E(n)に含まれN(n)に含まれない元の集合をB(n)（=¬N(n)∩E(n)）とする。
B(n) = [{n+2,n+4,n+6,,,,,,,2(n-2),2(n-1),2n} (nが偶数)
　　 　 [{(n-1)+2,(n-1)+4,(n-1)+6,,,,,,,2(n-2),2(n-1),2n} (nが奇数)
n>0の時、B(n)の要素数はnが偶数の時n/2、nが奇数の時(n+1)/2でともに>0であるから、
nの値に関わらず、常にE(n)に含まれN(n)に含まれない元が存在する。
よってE(n)⊂N(n)は偽
n→∞とすると、
偶数全体の集合が自然数全体の集合の部分集合になりえないことが示された。

よって矛盾

>>77
真部分集合と全体の大きさが等しいということ自体が
既に矛盾だと思うのだが。

矛盾してなーい。
濃度という概念が特殊なんだYO

>>79
何と、何が、矛盾しているんだ？
矛盾というのは、ある命題とその否定命題が同時に成り立つことですよ。

>>79
そのためのリング構造じゃないか

>N(n)→自然数全体の集合、E(n)→偶数全体の集合
このあたりに穴がありそう。
集合に対する極限操作はどう定義してる？

集合が平面に収まるとおまんが

濃度というのは中辛は中辛だ。
中辛の大瓶からとった中辛ソースでも中辛だろ？
中辛からとったソースが甘くなったり辛くなったりしたらよお

>>83
具体的に。

定義も何も添字nによる集合列を作って、無限集合をそれの極限として考えるだけだが。
俺自身はこの反証の間違いが良くわからない。
カントールの方法では、どうしても差集合が開いていく事を示しただけ。
極限操作が許されない理由がどこにある？
N(n)→自然数全体の集合、E(n)→偶数全体の集合
は自明だと思うが。

1対1対応を良しとするなら、
「自然数全体の集合が持ちえない偶数の元が必ず存在する」
と示しただけ。自然数全体の定義からして明らかに矛盾だろ？

>>80
その特殊さがこじつけだって言ってるんだＹＯ。

有限集合が特殊。

>>86
俺も何か確信があって言ってるわけじゃないんだけど。
>>78の中であいまいな部分はそこだけだと思ったから。

普通極限は対象の空間に位相を入れてεδで定義するよね。
でも集合の空間に位相なり距離なりをうまく入れられるのかな、と。

それでうまく極限を定義できたら
次は lim{¬N(n)∩E(n)} ＝ ¬{lim N(n)}∩{lim E(n)} を検証。

じゃあ、カントールは無限集合をどうやって定義したんだろ？良く解らんが。

極限使わずに？
1.これが自然数の集合です。でもって大きさをアレフゼロとします。
2.こちらが偶数の集合です。
3.で一対一対応が存在します。
4.だから偶数の大きさもアレフゼロです。
ﾊｧ?step.1とstep.2は何も無い所から、
突然持ってきて、勝手なこと言って。
step.3は一瞬で無限回の一対一対応を定義したって言うのかよ？
ありえねぇ〜〜〜〜。
step.3は偶数集合が可算だって事しか言ってねぇっつうの。

アレフに秘密がある。

>>90
そりゃ、極限を定義するときに無限集合使うんだから
無限集合を極限使って定義したら循環論法
ペアノの公理とか ZF の無限公理とか調べてきてくれ

一対一対応は集合間に全単射が存在することなんだが。
何か誤解してる人がいるな。

「我々はｱﾚﾌｾﾞﾛでありｱﾚﾌでない」

ｱﾚﾌｾﾞﾛこそ宇宙の真理

我々の限界はｱﾚﾌそのものである

>>92

公理論持ってきて、文句を言うのはいいが、
その前に>>78のどこがおかしいのか、説明してくれないか。
カントールのこじつけ論法と全く同じ方法で、
偶数集合Eと自然数集合Nの間に全単射が存在するならば、
Eの元にNに含まれないものが存在せざるを得ないことを
如実に語っていると思うのだが。

>>92
Nそのものの定義じゃなく
集合列N(n) = {1,2,3,4,,,,,,,n-2,n-1,n}
がNそのものに収束（？）するというだけでも循環論法なのか?

>>89
ε-δ 論法的にN(n)→Nを言ったら、こんな感じかな。

Nを自然数全体の集合とする。
有限集合N(n)を次のようにする。
N(n) = {1,2,3,4,,,,,,,n-2,n-1,n}
nの値に関わらずN(n)⊂Nは示せる。
ここで
M(n) = N-N(n) (= N Xor N(n))とする。
差集合M(n)がnの増大にあわせてφに近づけば良いわけだ。
当然M(n)⊂N
も言える。
Nのどの元εにもε∉ M(δ)になるような最小のn=δの存在が言えれば、
M(n)は全て取り尽くされてしまうわけだから
N(n)→N
になるだろう。
さしずめ
∀ε∈N,∃δ∉ M(δ)
ってな感じだ。
これを示すのはそれほど難しいことでは無いと思う。

1/x!=0
lim(1/x)!=0
0!=0

>>78
N を自然数全体の集合、E = ∪[n∈N]E(n) として

∀n∈N ∃k∈N (k∈E(n) ∧ ¬k∈N(n)) ⇒ ∃k∈N (k∈E ∧ ¬k∈N)

と言ってるわけだが、ここがおかしい

>>100
その通り。どこがおかしいのか言ってね。⇒？左?右？
左の
∀n∈N ∃k∈N (k∈E(n) ∧ ¬k∈N(n))
は有限集合という前提では全てのnにおいて、正しいわけだ。
全てのnでOKならどんなに大きなnでもOK、可能無限の立場では余裕でOK
全てのnでいけるなら実無限でもOKと見なせるだろう。

となると、NとEの全単写を維持しながら、lim N(n)→N、E(n)→E、を実現するという一見自明に思えるような、
極限演算を認めてしまえば、⇒も右もいえ、カントルの集合論は終わる。

有限集合列の極限として無限集合を考えるという至極自然な発想に
耐えられないような理論はまさにこじつけのカタマリだと言えるだろう。

＞極限演算を認めてしまえば、⇒も右もいえ

間違い。

>>101
あやまれ！カントールさんに謝れ！

集合論で飯食っている有名な先生いる？

king?

反対派が明確な反証を持ってきたのに、
肯定派の中身のないレス。
カントル終わったな。

ま、俺もカントールの話には胡散臭さを感じていたんだがな。

カントルの無限集合論の本は10年後には宗教のコーナーに移ります。

20性器数学最大の業績が集合論

>>108
だから正しい？
集合論は宗教だと言ってるのと同じですよ。

集合論なくして離散数学は成り立たず

反対派は濃度の定義がおかしいといってるだけ。
無限集合の存在は誰も否定していないよ。
数学基礎で使われている無限集合の濃度:アレフゼロを「可算可能性」と置き換えたら、
何の痛みも無いだろう。
アレフゼロ以外の濃度の存在を否定しても、
数学の受けるダメージはそれほど大きくないはず。
アレフゼロ以外の濃度の存在に頼ってる数学論は足場が弱いことになるけど。

アレフゼロ以外の濃度の存在に頼ってる数学論こそ宗教
数学の本質なんて所詮宗教。

>>111
というかなんというか、定義がおかしいというより、用語が不適切なものが多いと思う。
集合論といわず数学全般にいえると思うんだけど。
言葉の本来の意味から、現在の定義の意味が原型をとどめていないものがありすぎ。
良く似たものにUnixのコマンド、数学者はみんな言葉を大切にしなさすぎ・・・

>>112
２行目は微妙に同意

1/n=0は偽
n→∞とすると、
0=0は偽なので0と0等しくなりえないことが示された。

おかしいと思う人は、自分で新しく集合論建設すればいいのに。

>>115
真じゃん、ちゃんと定義理解しろ

おや、ようやく集合論の解る人が来たようだね。
>>78のどこがおかしいのかちゃんと説明してください。
それと、今の濃度の定義が一体何の役に立つのかも。

>>98
まず集合列がある集合に収束するとはどういうことなのか？
集合列の極限の定義と性質をきちんと証明すること無しに
勝手に数列の類推でごたごたやってる時点で論外

濃度は役に立つ。
個数を数えられない集合について

濃度を真に理解するためには集合論を空間で理解する必要がありありあり

>>111
定義が気にいらないと言ってるだけ

あのね、哲学ではどうか知らないけど
数学ではある命題もその否定も同程度に正しいなんてこと
基本的にありえないのですよ

>>118

>>78と同じ論法で

数列{0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, …}

は1に収束しない事が示せるな。任意のnに対して、0.999… < 1だから。

>>122
差集合が大きくなり続けるのですよ！！！全単写を保つならば！

数列{0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, …}
は1との差が０に近づくじゃないですか！！
全然別問題。

>>118
素人なんですが、多分ここの推論が間違っていると思います

E(n) ⊂ N(n)は偽 //OK
lim E(n) ⊂ lim N(n) // NG

集合の列に成立する性質は、極限を取った後の集合に成立する性質とは違います
誤解は何処にあるかというと、limを関数と見立てて

E(i) ⊂ N(i)
と
lim( E(1) , E(2) ... E(n) ) ⊂ lim( N(1) , N(2) ... N(n) )
これを見比べれば一目瞭然です。
もしこれが成立するにはlimの性質を調べる必要があります。
そしてlimの性質を誤解しています。

正確にはlim E(n)じゃなくて∪[n=1 to ∞]E(n)だな。まあでもそんな風に
「集合論的に」解釈しちゃうと、

∪[n=1 to ∞]N(n) ⊃ ∪[n=1 to ∞]E(n)

という当たり前の結論が出て面白くないな。

>>122

limN(n)とN(n)の差は、確かに小さくはなるが、0には近づかないぞ。
limN(n)は発散しているのでは？

>>125
それは違うような気がします(^^;

>>126
数には発散の定義がありますが・・・
集合が発散するの定義を考えて見ましょう

何が一目瞭然なのか？

カントルと同じ方法で全単写を保ちながら極限を取っていっただけで、
どこまで行っても、
∃k∈N (k∈E(n) ∧ ¬k∈N(n))
が真であることしかいってない。
カントルの全単写の帰結として
「自然数全体の集合が持ちえない偶数の元が必ず存在する」
と言ってるだけだよ。

集合列の極限の性質は作ったら何とでもなると思う。
その視点において、多分>>78は有効な反証になるだろう。

>>129
集合の極限の定義を見直してごらん、誤解は解けると思う。
つまらない定義ですよ。

>>126
>>98のエセ ε-δ 論法を読んでみよう。
Nの真部分集合であるN(n)とその差集合M(n)について、
Nのどの元εにもε∉ M(δ)になるような最小のn=δの存在が言えれば、
M(n)は全て取り尽くされてしまうわけだから 、(δは存在する=εで十分)
（実際にはM(n)は無限集合で取り尽くすことはできないが、その辺は
ε-δ 論法の便利なところと考えてもよい）
Nのどの元もnをうまく取ればN(n)の元になるわけだから。
やっぱ嫌でもN(n)→Nにならざるを得ない。

>>131

その論法を使うと Nのどの元εに対してもε∉ B(δ)になるような最小のn=δの存在が言えるよ。

>>132
B(δ)とは？

>>78のB(n)

lim[n→∞] (2n)/(n) = 2
だけど
(lim[n→∞] 2n)/(lim[n→∞] n) は求まらない。

みたいなもんか。

>>129
＞作ったら何とでもなると思う。
ならまず作ってから議論しような

定義:集合列{M_n}_{n∈N}が集合Mに収束するとは〜が成り立つことである

うわぁ痛い奴がいるな。間違いだらけｗ
ヤフーの数学トピでもこの種の基地外は多いが。

世に基地外の種は尽きまじ。

>>137
どの辺がどう間違えてるのか説明して下さい。

>>132
そりゃあるだろうが、差集合B(n) はNに収束しない集合列だから、
特に意味があるとは思えない。

>>138
本読んで、授業受けても理解出来ない奴に説明したって時間の無駄よｗ
具体的なツッコミや指摘の意味さえ理解出来ないんだから

代わりにお前にはガードナーの本「奇妙な論理」をお薦めしておく
自分自信の事が記述されてるからｗ

>>140
失礼、変換ミスを訂正しておく
　×自分自信　→　○自分自身

>>78の証明って本質的には

N(n) = {1,2,3,…,n}
N'(n) = {1,2,3,…,2n}
A(n) = N'(n) - N(n)

と定めるとA(n)は常に空でない。n→∞とすると、
自然数全体の集合が自然数全体の集合の部分集合になりえないことが示された。

ということだな。

>>129
十分に大きな n における集合と極限の集合は一致してませんよ
どんなに n の N(n) でも自然数の集合とはなりえません。
自然数全体の集合からみれば n = 10^10000000 程度の集合なんて点です、全くの別物の性質を持っています。
普通の数字のように極限を十分に大きい(あるいは小さい)値使ってある値を近似しようとするのとは随分様相が違います。
この辺りから誤解が発生している物と思われます。

>>142
NとN同士を1対2対応にしたらそうなる。
>>78が言ってるのは、偶数と自然数に1対1対応があるなら必然的に偶数の中に
自然数でないものが出てきてしまうって事を言ってるだけ。

>>136
ここで必要な収束の定義だけ述べると、>>98を参考にして
定義:
集合列{M_n}_{n∈N}が集合Mに収束するとは
M_nがMの真部分集合であり、
差集合S_n = M - M_n(=M Xor M_n)
として
Mのどの元εにもε∉ S_δになるような最小のn=δを選ぶことができること
が成り立つことである
で十分だと思っているが、誰も否定しないところを見ると正しのだろう。

真部分集合じゃない集合から収束するような場合や収束先が真部分集合で
逆だったりする場合はここでは関係ないので略。

収束パターンは5種類も無いだろう。

>>143
ペアノの公理を読みなさい。
自然数の定義のどこに10^10000000が出てきますか？

>>144

その収束の定義は正しいが、

>nの値に関わらず、常にE(n)に含まれN(n)に含まれない元が存在する。
>よってE(n)⊂N(n)は偽
>n→∞とすると、
>偶数全体の集合が自然数全体の集合の部分集合になりえないことが示された。

を、その収束の定義に従って証明してみてよ。

あ、「定義は正しい」と言っても、正確に言うと「結果として同じになる」
というだけね。極限（正確には集合族の和）の正しい定義はもっと一般的に
できる。

>>145
いや、ペアノ公理とか言われても・・・
定義と極限イメージがずれているから修正してあげようと思って、誤解の発生地点を探ってみただけで・・・

数の個数を数えたよ。
いっこ、にーこ、さんこ、よんこ、、、、
いっぱいだー。

http://members14.tsukaeru.net/ogawa/suuko.html

>>146
E(n)⊂N(n)は偽→E⊂Nは偽
を示すのか？
全てのnで真偽列｛E(1)⊂N(1),E(2)⊂N(2),E(3)⊂N(3),,,,,E(n)⊂N(n),,,,｝
はオール偽、真に返る要素がどこにも無くて、極限が存在するなら、それも偽
だとなるのは別に自明な気もするが。

大体、極限そのものを理解してないと思われ。
まずは、無限について考えてみたら？

>>150

数列a(n),b(n)に対して、a(n) < b(n)だからといってlim a(n) < lim b(n)
とは限らないだろう。

それにE⊂Nが偽だとするとき、Eには入るけど、Nには入らない偶数ってたとえば
どんなのがあるの？

>>144+146
その定義だとM_n={n}でもlim M_n=N（自然数の全体）
となっちゃうんだけどそれでも良いのか？
それじゃlim M_nと∪_{n∈N} M_nが同じ事になっちゃうけど

よく意味も考えずに適当に雰囲気で定義立ててない？
εδ論法も良く分かってなさそうにみえるんだけど、、

8713がわからない

>>150
正しいっぽいと言うのと自明というのを区別してね
自明というのは数学の人は簡単に証明できる、という意味で使うので

>>153
確かに。
だが、別に致命的なものではない。
M_n⊆M_(n+1)
を加えれば済むだけ。
>>155
nの値に拠らず常に偽の命題列が真になりえないことを
証明できない人がいるのですか？

>>152
それはb(n)とa(n)の差が添字nに従属してる場合だろ？
そりゃ=にもなりうるよ。
差が一定だったら？
a(n) < b(n)⇒lim a(n) < lim b(n)
は当然だろ？縮まり得ないんだから。
>>150の真偽列は添字nには無関係に偽なわけだが。

＞ それにE⊂Nが偽だとするとき、Eには入るけど、Nには入らない偶数ってたとえば
＞どんなのがあるの？
数として表現できないが、Nの最大値の二倍がそれにあたる。
EとNの1対1対応を認めるということは全てのn∈Nに対して
2n∈Eが存在するわけで、
これはすでにNの可能性を超えた偶数の存在を認めていることになる。
だからEがNの真部分集合になり得ないと言ってるの。
1対1対応を認めなければこんな矛盾は起きない。

濃度の定義は矛盾に満ち溢れていると言いたい。
馬鹿げてる。こんなクソ理論、大学で教えるな！

寝る。

>数として表現できない

なんだ。数学は表現できるものだけを扱うから、あなたがやってるのは数学じゃなかったのね。

アレフゼロは何ですか？アレこそ実数でも代数でも無限大でも、
何でもない非数学的対象じゃないですか？哲学や宗教の分野だよ。
無限を無限のままに扱うと、、眠くなる。

馬鹿げてる。寝ろ。

Ｅ（ｎ）＝Ｎ（ｎ＋１）

>>158
数理論理学と公理的集合論を勉強した上で
発言すべきかと

夏だなあ。

てか、これだけ情熱的に長文カキコできるのはやっぱりすごいと思う。
よっぽど溜まってるんだろうな。いろいろコンプレックスやらなんやらが。

一人も賛同者が現れない中で闘うのも大変だろうし。俺だったら
即「あ、やっぱ間違ってるの俺の方か」って思っちゃうもん。

>>156
要するにlimは∪の特別な場合として定義したわけね

＞nの値に拠らず〜
言ってることが意味不明

＞Nの最大値の二倍
最大値の存在をまず証明してね
まあ最大値なんて無いわけだが
おかしいのは1対1対応関係のことじゃなくて君の勝手な仮定
偽の命題からは任意の命題が証明できること習わなかった？
（大体1対1対応の何を認めるのか良く分からないんだけど、、）

＞それはb(n)とa(n)の差が添字nに従属してる場合だろ？
nに依存するから極限を考えるのに意味があるし
役に立つんだが、、
それに集合の極限と実数の極限は片方が片方の一般化とは
なって無いから当然とか言わずにきちんと証明しろよ

コンノケンイチに相対性理論を説明するようなモンだな。
徒労も甚だしい。

コンノケンイチ。。。禿しく懐かしいな。
一般人の科学への関心が薄れて、トンデモさん達も減った気がする。

まあ、小規模なトンデモはネット上で増殖してるんだろうが。

トンデモも大学生の一寸した妄想から
いろんなレベルがあるからなあ

いまだにｚ案から数の再構成を数学者に求める電波も絶えないからな
多分この辺が最底辺のレベル

>>156
見た感じ、あなたが認めていないのは濃度ではなくlimのような気がしますが・・・
これについてはなんとなく分かる気もしなくもないけど。
あとは勘違いに勘違いを重ねているだけじゃないかな

俺の鋭い洞察力で察するに
ﾄﾝﾃﾞﾓ星人は
解析学をやる前に集合論に手を出した奴っぽいな

というか、論理そのものがわかってない

この程度なら理論なんか分からなくても分かると思うが・・・

>>171
御意。
「フツーの数学をやらずに集合や論理に手を出す ⇒ トンデモ化」
これは真。

逆は成立するか、ということに興味がある。
すなわち、これ以外のルートで数学トンデモ家に走る例はあるか。
三等分家とかがそれなのかも。

おれは別に普通の数学やらなくても問題ないと思う、
それより彼らの問題は練習量が足りてないんだよな
極限概念は結構ややこしい概念だから、集合や論理を使って表現するといっても一筋縄ではいかない。
普通に数学やっているなら、この知識がガイドになってくれるけれど、それをやらずにいきなりやるとなると相当量の知識が必要になる。
それは、たとえばコンピュータ言語でHaskell等の本格的な関数型言語でもやっていれば
無限概念のような物をどうやって現実に動作するマシンに落とし込むかという事も分かるのだが、彼らはそこまではできないから簡単な分かっている範囲でやろうとする。
ここから曲解が生まれているような気がするね。

>>174
> すなわち、これ以外のルートで数学トンデモ家に走る例はあるか。

大量のテキストを吐きながら突撃してくる奴ということか？
語呂合わせのようなレベルのトンデモは結構いるが
たいてい最後は数学ｲﾗﾈどころか言語ｲﾗﾈという結論になるから観測されない。

区間（０，１］の有理数の集合Ｅを考える。
Ｅの要素と自然数全体の集合Ｎの要素は、全単射である事を証明しなさい。

　こんな感じで良いのかな？

そもそも>>1は「濃度」は「個数」とまったく不可分だと思い込んで
しまっているようだが、別物だってのは集合論ちょっとかじれば分かる話。
「濃度」は全単射によって定まる同値関係で集合を類別したものにつける
単なるラベルでしかないし。
有限集合の場合はそれが要素の個数で区別できるってだけなんだから、
>>1が「濃度」にどんなロマンを抱いたのかは知らないが、早よ死ね♥

集合論肯定派に「数学（解析）で役に立つから集合論（の公理）は妥当」というような発言をする人がいるから、教科書を盲信してるなんていわれるんだよ。
役に立つから集合論が妥当正しいなんて、そんなバカな話があるか。
158に対する160とかもさぁ、
158は確かに理由なくアレフ０が数学的存在じゃないっていってるのは間違いないけど、
アレフ０がどうして数学的存在なのか、それを支えているものがどう妥当なのかを二言三言で書けばいいじゃん。
160のレスは「教典を読みなさい」みたいに聞こえて、数学の評判が落ちる。
これは数学的な理由じゃないが、数学ってのは天才的なあまのじゃくがごろごろいるから、
１みたいな数学に対する疑惑が妥当ならとっくになんとかなってるか、とっくになんともならなくなってる。（直観主義など）

あと、178は他人に死ねとか言ってないで、
濃度が全単射による同値類だというなら、どの集合を割ったのかを反省すべき。
集合論の授業で、集合すべての集まりは集合として扱えないと習わなかったのか？
（ちょっと話題がしつこいかもしれんが、178も教科書に書いてあるからという理由で、書いてあることが矛盾していても信じちゃう例のひとり。）

おまえらオハヨウ。
主役がいないのに良く盛り上げられるな。
一晩経っても、良レスは一つだけか。所詮2chか。
>>164
＞ 偽の命題からは任意の命題が証明できる
それは本家カントルの無限集合論の方じゃないか?
>>78のどの辺が偽の命題?
有限の自然数の集合N(n)と偶数の集合E(n)の間に1対1対応（全単写という言葉は使わないことにした）
があれば、N(n)に含まれないE(n)の元が必ず存在することまでは真だろう。誰も否定できない。
極限を取ってNやEに収束することは集合列の収束を定義すれば済む話だ。定義は不可能ではない。
1対1対応の部分はカントルのアイデアだ。俺の独創じゃない。
このカントル流の考えがおかしい事を背理法で示しているわけだろ？

＞ 最大値の存在をまず証明してね
有限からの考証を論理的に表現したらこうなるだけ。
具体的な数では表現できないが、無限の果てにNの最大値の二倍は必ず存在する。
なぜなら、極限で差集合が開き続けることは間違いなくて縮まることはありえないから。

カントルの無限を無限のままに扱う立場から言ったら、アレフゼロのような
存在し得ないものをそのまま扱うなんて馬鹿げたことができるんだろうが。
それは代数で無限を∞で表して、さまざまな詭弁を導くのと変わらないんだよ。

それと俺は>>1ではないからな。

＞ アレフ０がどうして数学的存在なのか、それを支えているものがどう妥当なのかを二言三言で書けばいいじゃん。
そんなことができるわけがない。土台のない論理には足場さえも無いのだから。

＞ 最大値の存在をまず証明してね
逆だな。そんなものはありえない。
>>78はカントルの話ではそれが存在せざるを得ない事を
示して矛盾を導いているのだ。

関係ないけど、アレフ０って自然数ぜんぶの集合だって知ってる？

自然数ぜんぶの集合はNだと思う。

実は、同じものなんだ。
だからＮとアレフ０それぞれの存在してる確かさは同じくらいなんだよ。

>>186
Ｎはペアノ公理によって礎が立てられているが、
アレフ０はなんだ?
ただの可算可能性しか謳っていない。
可算可能性が要素数の無限集合への拡張になりうるというカントルの妄想が
他の濃度の存在を勝手に決め付けちゃって、
冪集合の濃度とNの濃度が違うなんて勝手な論理に発展してしまうんだ。
可算可能性が要素数の拡張になり得ないとしたら。
この集合論は終わる。

>>179
おれは>>178では無いけど>>180の指摘は正しい
だからワザワザ濃度にはScottのカラクリという
もっと整合的な別の定義が用意されている
そういう意味での>>158のレスなんだが

>>188
＞Scottのカラクリ
詳しく

>>189
詳しいことはわからないから聞かないでくれ

>>181
良く意味が分からないけど集合論のどの公理を使ったら
最大の自然数が存在することになるのかな？意味が分からない

あと、実数の極限の場合には任意のεに対し〜という
誰が見ても意味のブレのない定義を立てた上で、
lim (a_n･b_n) = lim a_n･lim b_nとかを証明したり
a_nが常に正でもlim a_nが正だとは限らないとか議論したりしていくわけだ
同じ厳密さで集合論でも極限の議論をやってくれないと
数学者は誰も見向きもしない

>>187
なんか勘違いしてるようだけど可算可能性なんて哲学用語
お前しか理解して無いのでちゃんと説明してから使ってくれよ

>>189
ACがあれば整列可能定理が使えるからScottのカラクリは要らない
ACがないZFでは整列可能定理が使えないので別法で基数を定義しないといけない
proper classを同値類で割ることが出来ないのでこのときは
一寸トリッキーな定義をする
詳細は適当な公理論的な集合論の本を参照

>>181
>具体的な数では表現できないが、無限の果てにNの最大値の二倍は必ず存在する。
ここがまた勘違いなんですよ。
おそらくは、あなたは無限集合がどんどん生成されているようなイメージを持っているようですが、無限集合とはそういうものではないのですよ。

>190
そこをなんとか

見たことも無い無限集合を何の定義もしないで、
さもそのままの状態で実在するかのように丸ごと扱う姿勢が厳密性に欠け
非数学的・宗教的だって言ってるんだよ。

＞無限集合がどんどん生成されているようなイメージ
その通り、人は有限的な存在だ。
有限からの演繹からしか、無限は語れない。
だから極限をもってきた。そうしたら、
カントルは明らかにおかしいと、>>78で示されたわけだ。
極限操作に耐えられないような無限集合論はデタラメも同然。

>具体的な数では表現できないが、無限の果てにNの最大値の二倍は必ず存在する。
これは失言だ。
>>183を読んでくれないか?

選択公理が証明可能であるように定義づけしてくれ

>>78
お前もﾊﾞｶだろ

というかﾊﾞｶだろお前

>>198
だから信者は、俺の主張のどこがおかしいのか、明確にして煽ってね。

NとEの間の全単写は存在し得ない。
存在するとしたらNの可能性を超えたEの元の存在を認めていることになる。

ただそれだけ。

以上、カントル終

78と181って同じ人？

>>199
お前の主張が数学的に全然明確では無いと
これほど言ってるのに分からないかなあ

でおかしいのは集合列の極限がどうのという部分だと何度も言ってるのに

>>201
反対派は最初から一人しかいないよ。

>>201
経典に載って無いからおかしいと言うことですね。
数学的に論じるなら具体的に式で示してください。

＞数学的に全然明確では無い

いや、極限の定義もしたし、1対1はカントル様のアイデアだし、
有限集合の公理系も否定していない。
なのに、偽の命題が導かれた、カントル様が間違えているという事に他ならないじゃないか?

何が明確じゃない?

>>204のレスの意味が全く分からんのだが、、
誰か解説してくれ

>>202
の間違い。

>>205
だから数学の理論というのは公理と定義と定理とからなるんだよ
で、お前の反証とやらは極限の定義だけして、
実際にはその定義が全く議論に関係しておらず、
証明中でお前が勝手に認めている極限の性質の証明（定理）が全く無い

こんなのは数学では却下

>>78
お前に聞けば良いのかｗ
181はお前のレス？

>>209
それは言えない。
トリ付コテハンデビューするかなぁー。
反対派は多くはないと思うけども、俺だけではないよ。

>>208
より合理的なオリジナルの公理系もあるにはある。
全部書いても良いが、長くなるし論点がずれるから、やめておく。

極限の定義も、カントルを殺すのに必要なものしか述べてない。
>>144読んだら別に無理なことを言ってるわけじゃないことぐらいは
解るだろう。
但し
「 M_nがMの真部分集合であり、 」の下に
「かつM_n⊆M_(n+1)を満たすものとする。」
を入れてくれ。

もちろん自然数の定義や集合そのものの定義、集合列の定義等は書く意味も無いから暗黙のうちに
しておくが、

ごめん、少なくとも「全単射」という用語くらいちゃんと使ってくれ。

昨日俺も調べた。
全単写 の検索結果 約 133,000 件中 1 - 10 件目 (0.17 秒)
全単射 の検索結果 約 72,800 件中 1 - 10 件目 (0.24 秒)

全写（像）かつ単写（像）の略だと思うのだが。射の方が正しいのか?

正解は「射」なんだ。もしかして78は区体論くんか。

しかも全射、単射なんだけどな。
基地外はろくに本も読まずにシッタカするからイタイ。

>>215
サンクス。「射」ね。googleイメージ検索では全単射の方が多かったよ。
躯体論なんか必要無い。
極限操作に耐えられるようなより妥当な無限集合の定義と
ＺＦさえあれば集合論は完成する。

>>217
またまたなんか迷走始めているな(^^;
普通に勉強しろって、数学ド素人のおれでもなんじゃそりゃと思うよ。

用語の確認に書籍ではなく
googleを使うってｗ

バカすぎｗｗｗ

＞普通に勉強
というのは教科書を丸暗記せよという意味か?

だったら馬鹿げてる。

>>220
はっきりいって集合とか論理以前の問題なんだが気づいて無いだろ

思而不學則殆

全写　単写　と書く有名な本は松島与三

用語などどうでも良い。
1対1対応と書こうが、全単写と書こうが概念は同じ。
宗教や哲学の世界ほど用語に拘るものだ。

すくなくとも本を理解する位読みこなせていれば
用語の間違いなんかするはずはないんだけどな。

用語を間違えていても概念は同じ　なんてことを言う奴ほど
その概念を理解してない

宗教や哲学の世界ほど用語に拘るものだ。
宗教や哲学の世界ほど用語に拘るものだ。
宗教や哲学の世界ほど用語に拘るものだ。

とあるHPのコピペ

ここで、つぎのようにＡ，Ｂを設定し、Ａが命題であると仮定します。
Ａ：無限集合は集合である
Ｂ：ＮとＲの間に１対１対応が存在する
Ａが命題ならば、Ａは真の命題か偽の命題かのどちらかです。
Ａが偽の命題であると仮定します。Ａが偽ならば無限集合は集合でないので、ＮとＲは集合ではありません。ＮもＲも集合でないからＢは数学的な意味を持たず、命題にはなりません。
Ａが真の命題であると仮定します。Ａが真ならば無限集合は集合になるので、ＮとＲはともに集合です。そのとき、Ｂは命題になります。
Ｂが命題ならば、Ｂは真の命題か偽の命題かのどちらかです。そこで、さらにＢが真の命題であると仮定します。すると、対角線論法により矛盾が導かれるので仮定を否定してＢは偽の命題であるという結論が得られます。したがって、次なる論理式は真です。

Ａ→（Ｂ→¬Ｂ）
この論理式は次のように変形できます。
Ａ→（Ｂ→¬Ｂ）≡¬Ａ∨（¬Ｂ∨¬Ｂ）
≡¬Ａ∨¬Ｂ
したがって、¬Ａ∨¬Ｂは真です。これより、「無限集合は集合ではない」または「ＮとＲの間に１対１対応が存在しない」という結論が得られます。しかし、これだけではどちらが真であるかを結論づけることはできません。

>>225
は？

＞「無限集合は集合ではない」でいいじゃん。

おわり。おわり。

>見たことも無い無限集合を何の定義もしないで、
>さもそのままの状態で実在するかのように丸ごと扱う姿勢が厳密性に欠け
>非数学的・宗教的だって言ってるんだよ。

なんとなく想像するに、集合を入れ物何かと思っていると思われますが。これが勘違いです。
素朴な集合論は確かにそうかもしれませんが・・・

集合論において重要な部分は
　　{ x | 赤い物 }
という集合を定義したとき
林檎 ∈ { x | 赤い物 }
とは、この文書を
　　林檎 は 赤い物
と変換したときに正しいなら 林檎 ∈ { x | 赤い物 } は真になるということ、
つまり ∈ は集合と要素を引数にして真/偽を返す関数であるということ。
たとえば、要素として 0-9 までをいくつか並べたものを発見したときに真を返す関数を作って
これを使って

1234567890 ∈ 自然数全体N

としてみる。

>>231 の続き
これは 1234567890 でなくても
　　十進数で表現された自然数 ∈ 自然数全体N
で常に真を返す
このとき、「自然数全体N」は自然数を使って作られたものではないし
見ての通りの定義で、見たことも無いような何かは無い。
自然数全体という集合はこういう物です、自然数全体丸ごと扱っているわけではなく、新たに作り出した何かです。
だから集合論の公理の中にこれを作り出すための専用の公理が入っているのは見ての通りです。

要は ∈ をどういう関数にするのかという事と
これを∩等使った操作でも、そうやって生成された新しい集合に対して ∈ を適用したとき
その文書が循環論法等を発生しないように工夫したものが集合の公理。
Javaが分るなら、Javaアプレットのサンドボックスモデルを考えてみるといいです、
利用者の無茶な操作でもトラブルが発生しないような仕組みなのです。
集合の公理の範囲で使っている限り矛盾が発生しない事を保障する為のツールが集合の公理です。
これを踏まえて、「有限個の自然数を含む集合」という集合が「自然数全体N」というまったく構造の違う集合に収束する過程を考えてみるといいです。

一対一対応についても気が向いたらそのうち書いてみます。

やっと宗教っぽくない人が来た。

ペアノの公理はいいよ。Nが無かったら、極限操作もできない。
Nは丸ごと認めざるを得ない。
だが、要は偶数集合や他の無限集合の扱い方がおかしい。
人は有限的な存在なのに、一気に無限回の処理が可能になっている。

じゃあ、
その命題関数P(x)が真になるようなxの集まりとして集合を定義するなら、
P={x|P(x)}
って事だろ?
例えばP(x)=(x ≡ 0 mod 2)
ならPは偶数全体の集合になるな。
なるほど。ここまではx∈Nは無限個あるが、無限回の操作は一度もしなくて、偶数全体を定義できる。
これは無限集合の定義に使える。
だが、Pの実体がただの命題関数であるならば、どうやって要素を取り出す?
一対一対応を定義するためにはPから全ての要素を取り出せなきゃいけないよな。

∈ を関数P(x)と考えると、P(e)を計算するのは簡単だが、
その逆演算（P(x)を満たすxを返す処理）は必然的に無限個の要素を返すことになる。

無限回の操作を一度もしないで、どうやって
無限個の要素同士の一対一対応を考えられるのか?

もう少し詳しく。

>>78

lim[n→∞]N(n) = {1, 2, 3, ...}
lim[n→∞]E(n) = {2, 4, 6, ...}
lim[n→∞]B(n) = ???

1) lim[n→∞]B(n)は定義からして自然数の集合。

2) しかし、いかなる自然数もlim[n→∞]B(n)の要素にはなり得ない。
∵仮に、ある自然数pが存在してp∈lim[n→∞]B(n)ならば、
ある自然数qが存在してp∈N(q)となり矛盾。

∴lim[n→∞]B(n)=φ
D.Q.N.

>>234
ﾅﾝﾃﾞﾔﾈﾝ。
そこで、N(n)→N,E(n)→Eはいいとして、
B(n)→φになるべきところ、ならないことが矛盾(∵B(n)の要素数は発散する。)
で、カントルがおかしいと結論付けてるんだよ。

>>235
「集合の要素数が無限大に発散する」といっても
「要素」に相当するものが無いわけですから。
「ゼロを無限回足してもゼロ」みたいなものじゃないですか？
感覚的な言い回しですけど。

nを1ずつ増やしてゆくとき、N(n)やE(n)は要素が1つずつ追加されてゆきますけど、
B(n)の場合は追加される要素と追放(?)される要素があるわけです。
従ってlim[n→∞]のときB(n)の要素数が無限大に発散するというのは
必ずしも自明な命題ではないと思うのであります。

追放(?)される要素は無いな。
n>0の時、B(n)の要素数はnが偶数の時n/2、nが奇数の時(n+1)/2でともに>0であるから、
偶数→奇数で+1、奇数→偶数で+0。
偶数と奇数で波打ちながら確実に発散する。φにはなり得ない。
これは自然数と偶数との1対1対応の結果。

あ、追放(?)されるのもあるな。先頭か。
偶数→奇数で-1+2、奇数→偶数で-1+1。
でも要素数は確実に増大する。

どんな自然数も一旦はB(n)に追加されますが、いつかはB(n)から追放されるわけです。
lim[n→∞]B(n)は穴の開いたバケツみたいなもので、自然数は全部漏れてしまいます。
でもバケツの内容量はどんどん増えてゆきます。
不思議ですねえ。

ちゅうかその辺が矛盾で反証が成り立ってるわけだけど。

自然数と偶数との1対1対応の結果、嫌でもNに含まれないEの元の存在、
言うなれば、「自然数の可能性を超えた偶数の存在」を認めざるを得ないことになるわけ。
でもそんなものは無いから矛盾だと。

もう少し解りやすく言い換えると。

EとNの間に1対1対応があります。
∀n∈Nに対して2n∈E
∀m∈Eに対してm/2∈N
でこれはお互いを取りつくす。
さて、ここまでカントルと同じだ。Eの可算性が示された。
（理由も無くなぜか無限回の対応ができるんだ。）
いいよな。

ここで重要
どのn∈Nについても
2n>nなわけ、
ということは
「どのnよりも大きいEの元が存在する。」間違い無いよな。
となると当然
偶数でありかつ、全ての自然数より大きい、
すなわち自然数でない数の存在を認めることになるわけだ。

ちょっとすまん。上のほうから読んできてまだ追いついてないんだけど、
>>78さんがしたっていってる集合列の極限の定義ってなに？

集合列{A_n}に対して
∩[n≧1]∪[k≧n]A_kと∪[n≧1]∩[k≧n]A_kが一致するとき
その一致する集合をlimA_n
としてるの？

追いつかなくていいよ。

>ここで重要
>どのn∈Nについても
>2n>nなわけ、
>ということは
>「どのnよりも大きいEの元が存在する。」間違い無いよな。
>となると当然
>偶数でありかつ、全ての自然数より大きい、
>すなわち自然数でない数の存在を認めることになるわけだ。


∀∃
ならば
∃∀
かよｗｗｗｗ

オマイさん連続と一様連続の違いもわかんないだろｗｗｗ

連続と一様連続と一体何の関係が?

∀∃
ならば
∃∀
かよｗｗｗｗ

どこを言ってるのだ？

>>246
わかんないとすればオマイさんはよっぽどのバカｗ

　任意の（∀）自然数ｎに対してｎより大きい偶数が存在する（∃）
　ならば
　ある偶数ｍが存在して（∃ ）その偶数は任意の自然数より大きい（∀）

という論理（つまり∀∃ →∃ ∀は恒常的に真だとする論理）
そのものが間違ってるんだがｗ

たとえばじゃんけんで
　任意のテ（グーチョキパー）のそれぞれに勝つテ（パーグーチョキ）は存在する…真
　だから
　あるテが存在してそれは全てのテに勝つ

と論理をつなげるようなモノでこいつは明らかに恒常的に真ではない。

>>247
お前はまず解析概論を読め。はじめのほうだけでいいから。
すぐ自分のばかさがわかるから。

>>248
は？

平和だねーーーーーーー

>>248
論理的に反駁出来ない奴はすぐこういう態度取るよな

のどかだねーーーーーー

>>242-248
どうみても247の言い分の方が正しいが。

>>248
貴殿の方こそ解析概論を一読するよう薦めておく

>>247を肯定すると、ほとんどの定理、未解決予想が無意味になる。

>>253
いや、読んだからって理解出来るとは限らないから。

じゃんけんと例えるところからして完全にまちがってる。
じゃんけんの手は有限だからな。

>>254

ほう、具体的にどの定理がどういう理由で無意味になるか示してご覧ｗ

しかたない俺が説明してやるか。

>>257
人間語をしゃべるブタがいないことを証明せよ。

せみがないているよ　きこえる？

>>256
あかんなこいつは論理学の素養のカケラもない。

阿呆に説明しても無駄無駄

えーと　コンパクト性定理　のこと言いたい？

>>258
それは定理か？>>247の中身を参照してどういう理由で無意味になる？

>>260
たしかになんかアホらしくなってきた

つうかさ連続であって一様連続でない関数の例なんて

もろに>>247の
>∀∃ →∃ ∀は恒常的に真だとする
の反例やん。

そんなことも理解出来ないのかねぇ。

えーっと。
>>78さんは
∀x∃y(p(x,y))より∃y∀x(p(x,y))の方が強いってこと
(前者のyはxにdependしてもよく、後者のyはxとはindependent)と
集合列の極限について、勉強したほうがいいってことでFA？

>>264
肝心の78が消えたな
（自演くさい名無しがいくつか沸いているがｗ）

それでＦＡでいいんじゃない？
もっとも誰かさんの言いようではないけど勉強したから理解出来るとは限らんが。

>>265
∀x∃y(p(x,y))と∃y∀x(p(x,y))の違いって
平均的な理科系の大学生の大半が分かってなかったりしない？
んで、説明したってなかなか飲み込んでくれなかったりしない？
却って文系の学生や中学生なんかのほうがすーっとわかってくれたり。

京都府立医科大学の数学の入学試験で最近このことを意識したような
問題が出てたような。

>>266
>∀x∃y(p(x,y))と∃y∀x(p(x,y))の違いって
>平均的な理科系の大学生の大半が分かってなかったりしない？

そうなのか？平均的な理科系の大学生の大半はこれくらいは理解していてほしいものだ。

でもまぁ、だからこそ直感的にもわかるようにじゃんけんの例を出したんだが。
どうも連続と一様連続の違いではピンと来ていなかったようなので。

>>267
理科系の高校生になら、単位行列のありようと、逆行列のありようで
∀と∃の順序が違うと意味も違うことを説明するところだけどね。
これでハッとめざめるのと、ﾎﾟｶｰﾝなのと、より混乱するのに
大体三等分されるね。

カントルは正しいと思いマッスル。

>>247
いや、242は正しいよ。

自演乙

>>233
しかしまぁ、実に大量誤解をしていますね、なんというか誤解の権化だな。

>ペアノの公理はいいよ。Nが無かったら、極限操作もできない。
こらこら、しっかり定義読め・・・・

>その命題関数P(x)が真になるようなxの集まりとして集合を定義するなら、
コラ！！人がせっかく「入れ物何か」では無いと説明してあげているのにいきなり無視かよ・・・ったく
そんな調子で集合論の公理みてるから、だんだん迷走してゆくのですよ。

>だが、Pの実体がただの命題関数であるならば、どうやって要素を取り出す?
当然取り出せません、取り出すためには別途性質を付加する必要があります。

>無限回の操作を一度もしないで、どうやって
>無限個の要素同士の一対一対応を考えられるのか?
無限回の操作を一度もしないで当然出来ます。

しかし、これでは一対一対応どころではないな・・・・

遅レスしとくね>>180

集合全体の成す類を類別したんだよ。だれも集合を割ったなんていってないぞ
死んできてね♥

おいおい、まてや。今日は自演なんかしてねーよ。
ちょっと出かけてただけだ。

>>247
確かにその辺誤解してた部分はあるな。ご指摘ありがとう。
だが、242の
＞ 「どのnよりも大きいEの元が存在する。」間違い無いよな。
＞となると当然
＞偶数でありかつ、全ての自然数より大きい、
＞すなわち自然数でない数の存在を認めることになるわけだ。

の部分は自然数も偶数も順序を持つわけだから

あるn_0より大きいe_0が存在する。
次にn_0<n_1で
あるn_1より大きいe_1が存在する。
次にn_1<n_2で
あるn_2より大きいe_2が存在する。
・
・
・
全てのnより大きいeが存在する。

となり∀∃ →∃∀もOKと言えると思ったのだがな。
何故言えないのだ？
無限を都合よく解釈するからだろ？

無論、矛盾を導くためだから、最後の行は偽なわけだが。

>>272
＞そんな調子
勝手に決め付けるなや。
＞無限回の操作を一度もしないで当然出来ます。
詳しく！
無限集合に相手に「全ての」とかは当然無しでだぞ。
無限相手に「全て」なんてありえないからな。

それと、そもそも>>78の有限集合の列の極限から無限集合を作るという考えは
何故通じないのだ？
極限は無限を扱うための統一的で十分有益な概念だと思うんだが。

お前ら
>>78を厳密に否定してみろ。
言い換えで示した>>242は否定できても根本的な>>78は否定できないのか？
できないならカントルは終わり。

>>275
>>243

>>275
＞極限は無限を扱うための統一的で十分有益な概念
あなたのいう「極限」って何ですか？
limN(n)と∪N(n)は同じ？違う？
おなじとしたら何で同じだと思っていい？
一般に集合列{A_n}が与えられたとき
limA_n
ってどんな集合？必ずある？必ずあるとはかぎらない？
必ずあるとかぎらないなら、あるための必要条件は？

>>274
>となり∀∃ →∃∀もOKと言えると思ったのだがな。
なぜそう思えるｗ
点々の間の類例と導かれる結論はもの凄い隔たりがあるぞｗ
その感覚（演繹的な論理展開能力に乏しい）がオレには全く理解不能ｗ

>何故言えないのだ？

反例が存在するからｗ
ちなみにその反例は無限の解釈に依存しない（exじゃんけんの例）

だから
>無限を都合よく解釈するからだろ？
は妥当性無し

>>242について、
∀∃⇒∃∀が偽なのは当然だが、
∃∀自体はどうなんだ？

>>275
決めるも何も、こんなもの初歩の初歩勉強すれば、こんな事にはならないのですよ。
おれははっきりいって集合なんてやった事も無い素人だが(せいぜいルベーグ積分で必要だったからさらっと見た程度)、
それでも貴方のレスに奇妙な誤解が入っている事は分るよ、
ついでに貴方のレスの中におれには分らない難しい議論があるが、それも曲解の上に載った奇妙なもので有る事は自明に分るよ。

>無限集合に相手に「全ての」とかは当然無しでだぞ。
最終的に論理に落ちるときにはこんなイメージになっているのですよ、
しかし、こんな細かい部分を考えるより、それ以前のもっと初歩的で重要な部分をまずやるべきです。

"○○は X である"

X は順序的に命題が決定した後で決定される無限集合の要素。
無限集合のうち議論に必要になった部分が決定されると、自動的に完成していく命題です。
そして議論に必要になりえる部分は高々有限個、そのためすべてが有限の範囲で完了するという仕組み。
これは∀や∃を理解すれば一発だが現状では理解するのは無理だろう、曲解の上には乗せられない、だから貴方には無理。

誘導尋問か？まいいや、かわす自身あるし。

＞ limN(n)と∪N(n)は同じ？違う？
同じ。
＞ おなじとしたら何で同じだと思っていい？
N(n) Xor ∪N(n)　はnに関わらず常にφだから。(AとBの差集合がφ⇔A=B)
limN(n) Xor ∪N(n) = φ

＞limA_n
＞ってどんな集合？必ずある？必ずあるとはかぎらない？
必ずある。要素数が有限に収まるなら有限集合、要素数が無限に発散するなら無限集合
要素数がφになれば空集合
＞必要条件は？
極限集合PとA_nの差集合M_nを取ってPのどの要素もM_nから取り尽される事が示せるなら
A_n→Pとしたい。

>>279
242のCaseではPAより∃∀自体は偽

>>281
＞要素数がφになれば空集合
φ→0の間違い。

初歩読めとか言ってんのは経典読めって言ってるのと同じだからな。
俺は初歩も初歩、土台そのものを疑っているわけだから。

>>284
そりゃ間違って理解していれば、間違っている違いないとも思えるね
ただし、そういうのはアホという

>>285
集合論については教科書を疑わずに信じろと？宗教ですか？

あらゆる懐疑に耐えられないものは科学などではない。
定理に明確な証明が必要なように、
定義には妥当性が無ければならない。

カントルの集合論はそれを欠いている。

疑うなとは誰もいっとらんだろ

誘導尋問かけた奴出て来い。続きがある。

√(289) = 17

信じるも何もﾛｼﾞｯｸにおかしい所はべつに無いじゃねーか
こんなことに躓いてると
周りにどんどん置いていかれるよ

ﾜﾛｽｗｗｗ
78ってコンノケンイチそっくりだｗｗｗ

>>281
＞N(n) Xor ∪N(n)　はnに関わらず常にφだから。(AとBの差集合がφ⇔A=B)
＞limN(n) Xor ∪N(n) = φ

申し訳ない。不勉強で何いってるのかわからない。Xorって何？

任意の集合列{A_n}に対してlimA_nは必ずあるか否かって質問のあなたの答えは
「必ずある」なんでしょう？(その理由として書かれてあることはよくわからんけど)
そしたら、「あるための必要条件」は考えなくていいはずじゃない。

極限集合といって普通に数学勉強した人は
上極限集合と下極限集合(>>243参照)が一致するとき、その集合のことを
思い浮かべると思うよ。

土台を疑うのは結構だし、その考察の結果を既存の数学しか知らない人に
広めようとするのも結構だけど、そんときは既存の数学しか知らない人
にも通じることばで書かないと。

>>78を書いた直後くらいには、ものは知らんかもしれんけど、
知らんことに開き直っておかしくなっていく人には見えなかったんだけどな。残念。

>>290
何に置いていかれるのだ？
数学を競争かなにかのようなものと考えているのか？
馬鹿げてる。

>>291
コンノケンイチって誰だ？
馬鹿げてる。

nの値に関わらず、常にN(n+1)に含まれN(n)に含まれない元が存在する。
よってN(n+1)⊂N(n)は偽
n→∞とすると、
自然数全体の集合が自然数全体の集合の部分集合になりえないことが示された。

Xor:排他的論理和
ググれ。
コンピュータ用語なのかな。便利なのだがな。
未知集合を含んだ方程式を扱うこともできるのに。
まったく数学の集合は遅れてるな。

＞極限集合といって普通に数学勉強した人は
＞上極限集合と下極限集合(>>243参照)が一致するとき、その集合のことを
＞思い浮かべると思うよ。
さっき243の絵を描いてみたが、それとはちょっと違うな。
多分俺はその有用性が理解できていない。説明してくれ。

だがな、常識にとらわれていては決して真実は見えない。

>>294
同じ事俺も考えた。
厳密にはN(n+1)の方は1を含まない自然数全体の集合になるから、
Nの真部分集合になる。
>>242が正しいなら、
一般にN自身とNの真部分集合Kとの間に全単射は存在し得ないことになる。
有限では当然の論理。直感的で別に正しくてもいいと思う。

Xorじゃちょっとおかしいかもな。

極限集合PとA_nの差集合M_nを取ってPのどの要素もM_nから取り尽される事が示せるなら
A_n→Pとしたい。
ここは
極限集合PとA_nの排他的論理和M_nを取ってPまたはA_nのどの要素もM_nから取り尽される事が示せるなら
A_n→Pとしたい。

なら必要十分だな。

>>296
１を含まないなら極限の定義はまだ出てないな。
定義を書け。

ﾊｧ?
Nと1を含まない自然数全体の集合
との全単射を考えると矛盾を起こす。ことが示せるってだけだよ。

N(n+1)={2,3,4,5,6,,,,,,}になるでしょ?

つまりN(9+1)≠N(10)となるってことか。

>>300
レス番78によれば
N(n)={1,2,…,n}なんだよね。
N(1)={1}でN((3)={1,2,3}と。
なんでN(n+1)={2,3,4,5,6,,,,,,}になるの？

集合論の理解がベン図で止まってる奴挙手　ﾉ

すまんその通り。

>>304
どのレスに対するレスよ。

もう78ボロボロだなｗ

>>302
N(n)⊂N(n+1)
は確かにおかしい。
それは気付かなかった。
うまい方法を考える。

>>294
自然数全体の集合が
自然数全体の集合の「真」部分集合にはなり得ない。
というなら、あたりまえのことなんですが。

>>307
ああ。Xorって対称差Δのことか。既存の数学では
あなたのいうA Xor BはAΔBなどと書く習慣です。
で、なんでN(n)Δ∪N(n)=φなの？
N(n)Δ∪N(n)={n+1,n+2,…}じゃない？

>>307
？
N(n)={1,2,…,n}でN(n+1)={1,2,…,n,n+1}なら
N(n)⊂N(n+1)はおかしくないと思うが。

またあなたと私で記号の解釈が違うのかな。極限集合のときみたいに。

>>308
いやおかしい。
N(n+1) - N(n) = {n+1}
だから、差集合が有限集合、、。
n+1はN(n)に拾われる数だから、その場合は無限集合に吸収できる。
そのルールは、、。
何か別の方法が必ずあるはず。
極限の定義が不完全だな。
わかった考える。


∪N(n)は
N(1)∪N(2)∪N(3)∪N(4)∪・・・・∪N(n)
のこととしたのだが。
∪N(n)はNそのものになるのか?

わかった。
lim N(n+1) = N(n)
が証明できるから、差集合の{n+1}は無視できる。

>>295
78のいう集合列Anに対する
lim An
の定義って一体なんなのよｗ

そいつを明らかにしてくれ

>>311
ああすんません。添え字を書くと見づらくなるから省略してしまったけど
>>277でいったlimN(n)はlim[n→∞]N(n)、∪N(n)は∪[n=1,∞]N(n)のつもりでした。

∪N(n)を∪[k=1,ｎ]N(k)と解釈するなら確かにN(n)Δ∪N(n)=φですね。
しかしそりゃ、どんな集合Aに対してもAΔA=φだからあったりまえで、
そんなことlimN(n)と∪N(n)が同じと考えるにふさわしい理由にならないとおもうんだが。

ん？おかしいな。
∪N(n)を∪[k=1,ｎ]N(k)と解釈するなら、あなたは
limN(n)={1,…,n}であると主張してることになるが？

78の中の人は複数なのか？？？

limA_nは
必ずある。要素数が有限に収まるなら有限集合、要素数が無限に発散するなら無限集合
要素数がφになれば空集合
収束条件
極限集合PとA_nの対称差M_nを取ってPまたはA_nのどの要素もM_nから取り尽される事が示せるなら
A_n→P

余談だが、Xor:ExclusiveOr って対称差の直訳?

limN(n)={1,…,n}
あってるんじゃ？

>>315
これは>>313に対する回答？

78はめんどくさがらずにレスアンカーつけろ！
独り言なのかどうかすらわからん

>>315
A_1={1},A_2={1,2},A_3={1},A_4={1,2}以下nが奇数ならA_n={1},nが偶数ならA_n={1,2}
っていうルールでつくられる集合列{A_n}に対して(あなたが「必ずある」といっているlimA_n
はなんですか？

>>316
？？？
{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, …, {1, 2, …, n}, …
って列の「極限」が{1, 2, …, n}なの？

でN(n)とNの対称差をM(n)としたら
N(n)⊂N
で、
N(n)⊂N(n+1)で、
NまたはN(n)の任意の要素εがM(δ)に含まれない最小のn=δが存在すればよい。
δ=εで十分
よって
N(n)→N

78はﾊﾞｶ

>>320
何でそうなるの?
∪はOrだよね。

>>322
烈しく同意

>>320
limN(n)={1,…,n}
ってのは当然n→∞なわけで。
={1,2,3,,,,,…,n,,,,,,…………}のつもりだけど。

>>319
「収束条件を満たさない」ならば
「空集合φに収束する」と言いたいんじゃないですか？
（これは私の勝手な憶測です）

>>323
あのですね。(既存の数学では)∪の両端には集合がかかれ、
Orの両端には命題がかかれます。(あなたがOrをどういうものだと
思ってるか分かりませんから、たしかなことは言えませんが)．

えっと、すんません。Orをあなたがどういう風に解釈してるかきいてみてもいい？

4は偶数「または」整数である。

これ真ですか？偽ですか？あるいは命題になってない？

>>323

お前が>>316で
＞limN(n)={1,…,n}
＞あってるんじゃ？
なんて書いてるからそう解釈するのが普通だろ

で、オマイさんの集合列の極限定義はどうなってんの？
とりあえず>>243とは違うらしいが、違うのならここを明確にしとかんと議論不可能。

>>319
＞A_1={1},A_2={1,2},A_3={1},A_4={1,2}以下nが奇数ならA_n={1},nが偶数ならA_n={1,2}
＞っていうルールでつくられる集合列{A_n}に対して(あなたが「必ずある」といっているlimA_n
＞はなんですか？
1対1対応の産物だよ。カントルの嘘っぱちを示すための道具だ。

>>328
いや、彼は>>315のようなレスを何度か返してるから
>>315が彼のいう定義なんでしょう？
ちょっと>>315の内容は僕には(あなたにも？)わからないんですけどね。

>>328
>>315が一番明確。あらゆる収束パターンに対応できる。

>>329
？？？？
あの、あなたのカントルに対する見解はどうでもいいですから

あなたが必ずあるといってるlimA_nはどんな集合かをあなたの定義にのっとって答えてください。

>>332
＞はどんな集合か
はい。ありえない無限集合です。
全ての自然数より大きい偶数の集合です。
そんなものはありえません。よって矛盾。
だが、カントルの1対1対応がその存在を主張しているのです。

>>328
おう
ならその定義にのっとって具体例で答えて貰おうか
Pn＝｛ｎ｝を集合列とするとき

limPnはどんな集合になる？

>>333
？？？？？
何と何が矛盾してるの？
>>319みたいな集合列を考えることが何かおかしなことを引き起こす
原因だといってるんだよね。

それはともかく、>>319の列の極限はあなたの>>315の定義を
どう使えば「すべての自然数より大きい偶数の集合」になるんですか？

それに「矛盾」(なんのことかよくわからんけど)を引き起こす原因は
あなたのつくって集合列の極限の定義にあるかも知れなくない？
カントルに原因があるんじゃなくて。

>>334　自己レス
ちなみに>>315の定義に乗っ取れば
limPnは必ず存在し、要素数が有限の集合になる筈なんだがな。

さあｌｉｍＰｎはどんな集合だ？”明確”に示して貰おうか？

>>334
要素数は1つで、
あらゆる自然数より大きな自然数がひとつ入っただけの有限集合ですかね。
ただ、要素数は間違いなく1つです。

それは普通の極限でlim nがどんな数かと聞いているのと同値です。

あれ？>>337=>>78？

>>338
そうですよ。

何でバイトから帰ってきたら
100レス以上スレが伸びてんだよ

読む暇ねえよｗ

>>339
＞普通の極限でlim nがどんな数か
「既存の数学では」数列{n}は収束しないんですが、
あなたの定義では集合列{{n}}は収束するんですよね。

そのふたつのどこが「同値」なんですか？

読まなくていいよ。

>>341
正の無限に発散するものが入っていると考えて下さい。
集合は存在します。

>>343
＞正の無限に発散するものが入っていると考えて下さい。

正の無限に発散するものが「何に」入ってるんですか？

>>337
あえてツッコミは後回しにするとして

ほう、では
Ｑn＝｛1｝　（ｎが奇数の時）、｛0｝　（ｎが奇数の時）
でのlimQnはどんな集合になる？
これも有限集合だよな。

>>343
あなた数列の収束も既存の数学とは違う定義にしちゃうわけ？

>>344
Pに
何がおかしいんですか?
カントルの無限集合の不合理さに比べたらよっぽど自然だと思いますが。

>>345
ああ、それがわかれば>>319の>>78による回答がなんで>>333になるかわかるかも。

>>343
Pには数列が入ってるという意味ですか?

>>345
それは無理です。

>>347
おいおいPってなんだよ突然ｗｗ

Pの定義はナニ？

>>350
自分で必ず存在するといっておいて、また破綻したなｗｗｗｗ

>>345
無理って何？
そんなの定義に入ってないぞｗ

>>315の定義からすると「かならず存在して」「要素数が有限なら有限集合」に
なるんじゃないの？

>>347
？？？？？？
Ｐって何ですか？そんなの出てきてないでしょう。Ｐnしか出てきてないでしょう。

カントルが不自然かどうかはどうでもいいです。あたしゃあなたのいってることが理解したいだけ。

>>351
収束先の集合P_n→Pです。今までの慣例で認めて下さい。

>>345
別に無理に定義するなら、0と1の間を不連続に振動する値(n%2)が
一つだけ入っています。
しかし、有限集合です。

別に集合の要素が実在の数である必要は無い。
>>345のような話では何か得体の知れないものが入っている
としか言いようが無い。
だがそれも認めた方がいいだろう。

まあいいや。一連のやり取りから、彼は単調性を伴った集合列くらいしか
念頭になかったんだろうってことが予想される。
もしそうなら>>78は集合列の極限については自説を引っ込めてほしい。

で、皆さんに質問なんだけど、
「上極限集合と下極限集合が一致するとき
その一致する集合を極限集合という」
で集合列の極限を定義したら、それから集合を元とする集合に
位相が入るんですか？そういう方面でまとまった研究はなされてるんですか？
素人質問ですまんけど。

だが、
その「得体の知れない具合」を表現できるようにしたい。
それを非収束値式と定義し、
非収束値式(s%2)が入っているとしたらどうだろうか。

lim N(n)も非収束値式(s)を含むと考えられる。

>>356
ははははは。
いくらでもつっこめるなあ。
じゃあ
Rｎ＝｛a｝　（ｎが奇数の時）、｛b｝　（ｎが奇数の時）
でのlimRnはどんな集合になる？
これも有限集合だよな。

にはどう答えるんだろう。aとbの「あいだの」不確定な。。。数。。じゃないしなあ。

>>
質問の意味さえわかってないな。オマイさんの定義からすると
limPn＝Pだから当たり前だな。

オレは質問者じゃないが、>>341の意図はlimPnは存在して有限集合
その元としてオマイさんがあげている
「正の無限に発散するモノ」ってなに？その数学的な定義は？
それは既存の数のNとかRとかCとかに属するモノ？
と尋ねているわけだ。

で、この曖昧極まりない
「正の無限に発散するモノ」の数学的な正体（定義）ってなんなのよ。
こんな曖昧なモノを元にもつPを”明確な集合”として言い張るつもりか？

位相数学で点列の集積点は１つでなくてもよくて、
点列が交互に振動するなら集積点は２点、
点列が発散するようなら集積点はない、つまり集積点=φとしてよい。
集合論でも同じ解釈とがどうかは知らん。
とにかく空集合φの意味は誤解されやすいかと。

>>361
？？？？
＞点列が交互に振動するなら集積点は２点、
その2点は孤立点では？

>>356
もいっこ確認

では、百歩譲ってその得体の知れないモノの存在を認めたとしてだ。
たとえばPn＝｛ｎ｝、Sn＝｛2ｎ｝と考えて
それぞれの集合limPnとlimSnって同じモノ？違うモノ？
どちらも「得体の知れないモノ」を一つだけ元にもつ集合になるが。

どうかな？

>>361
集合論なぜなにスレでやれ、
それには興味無い。
このスレは総出でカントルの不合理さ
と他の定義の可能性を検証するためのものだから。

これは素晴らしい反面教師ですね

>>364
はははははは。
たぶん>>361はあなたへの援護射撃のつもりで書いたんだと思うよ。
内容は妙だけど。

>>364
78の不合理さを検証するスレになってまんがなｗ
おわかりにならない？

>>361は78支援じゃねーの？

>>362
「集積点」はれっきとした数学用語だし
「孤立点」はいまあなたが勝手に思いついた定義なしの語だから
ごっちゃにしないように。

>>363
「得体の知れないモノ」にも区別が必要だと俺は思っている。
＞Pn＝｛ｎ｝、Sn＝｛2ｎ｝
なら、
Mn = Pn △ Sn = {n,2n} (△は対称差ね。)

この時点でMn≠φ
が言えるから、一致しない。

一日来れなかったら300近くも伸びてる…
気合い入れて読んできます。


話が進んでない気もするけど。

そろそろ次スレ立てておくか

読まなくていいよ。
立てなくていいよ。

>>370
ということは
Pn＝｛ｎ｝　Sｎ＝｛ｎ＋1｝としたときの
それぞれの極限も別物だということでOK？

びっくりした！
78は馬鹿まるだしじゃないか！
すごい才能だ！

百年近くたってこれなんだから、刊トール、ラッセル、ホワイトヘッドとかの時代は酷かったんだろうなあ…。

>>369
？？
Sを位相空間、Mをその部分集合とする。
Sの点ｘがM-{x}の触点であるとき, xはMの集積点という。

xがMに属する点であって、しかもxがMの集積点でないとき
xをMの孤立点という。

あなたはいったいナンの本で位相を勉強したの？
類が友を呼んだのかなあ。

電波が二人に増えたなｗ

>>374
それは違う。

Sn△ Pnのどの要素もPnに吸収されることがいえるので、
lim Sn = Pn
になるから
でもって→N

もう12時やぞ。
寝る。

あらら遁走ｗ

>>78
何を今更(^_^;

>>376
CantorってたしかKroneckerからかなり執拗に嫌がらせされてたからねえ、、

>>78じゃなくて>>375だったorz

つーか、
任意の自然数より任意数(?)大きな自然数は存在する。
もちろんn←→2nの対応は任意のnで成立する。
濃度の定義より#(N)=#(2N)
どこが不自然？成立しないと言うほうが不自然。

>>382
でもクロネッカークラスの数学者にボロクソに批判されたら自信なくしても仕方ないよな…。

>>379
Sn△ Pn＝｛ｎ,ｎ＋1｝なので「どの要素もPn＝｛ｎ｝に吸収される」なんてことは言えないぞ。
ここからして間違いだけど
この対称差を取る判断基準は一体>>315の定義のどこに書いてあるのさ？
二つのものを比べるときには「構成される定義を下に」そこから正体をつかむのだが。

それに>>370の論法を敷衍すると
>＞Pn＝｛ｎ｝、Sn＝｛2ｎ｝
>なら、
>Mn = Pn △ Sn = {n,2n} (△は対称差ね。)
>
>この時点でMn≠φ
>が言えるから、一致しない。

Sn△ Pn＝｛ｎ,ｎ＋1｝でSn△ Pn≠φ が言えるから
一致しないのが普通の演繹的な論理なのだけど。論理が破綻してますぜ→78

それに
＞ｌｉｍＳｎ＝Ｐｎ
ならばｌｉｍＳｎ＝｛ｎ｝じゃんｗ
わけわかんね

素直に自分の脳味噌の足り無さを認めたら？

部分極限点。

a_n = 1/n、b_n = 1/n^2 とする。
a_n = b_n という命題はすべての n > 1 で偽。
n → ∞ とすると 0 = 0 は偽。よって矛盾。
よって、数列の極限という概念は矛盾に満ち溢れている。
それをもとに組み立てられている微積分学も全部妄想。
こんなクソ理論を高校で教えんな！

　　　　　　　>>388
　　　　　　　　　＼　　　∩─ｰ､ 　　　====
　　　　　　　　　　 ＼／　●　､_ ｀ヽ 　　======
　　　　　　　　　　　/ ＼(　●　 ● |つ
　　　　　　　　　　　|　　 X_入__ノ 　 ミ　　　そんなエサで俺様がクマ――！！
　　　　　　　　　　　 ､　(＿／　　　ノ　/⌒l
　　　　　　　　　　　 /＼＿＿＿ノﾞ＿/　 /　　=====
　　　　　　　　　 　 〈　　　　　　　　 ＿_ノ　　====
　　　　　　　　　　　 ＼　＼＿　　　　＼
　　　　　　　　　　　　　＼＿__）　　　　　＼　　　======　　　(´⌒
　　　　　　　　　　　　　　　　＼　　 ＿＿_ ＼＿＿　　(´⌒;;(´⌒;;
　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＼＿＿＿）＿＿＿）(´;;⌒　 (´⌒;;　　ズザザザ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(´⌒;　(´⌒;;;

カントルが不合理なことがこんな2ｃｈの掲示板で証明されるかつーの。
証明した人いたらその人は数学界のヒーローだっつうの。

>>390 は >>78 以上にバカっぽい

>>388まじめに数学勉強しましょっい。
なんにも数学わかって　ないないナインティナイン！

なんか >>78 じゃないヘンなのがつれたな・・・

78見てると区体論の人がまともに見える。

集合論の理解がベン図で止まってる奴もう一回挙手　ﾉ

>>388〜>>395
うん子でも食ってっまっしょい

>>78は小川なの？別人なの？

医者の多い精神病院ですな

トンデモになるのはコンプレックスの強すぎる奴だ。

任意のｘに対してｘ∈（Ａ（ｎ）−Ｐ）∪（Ｐ−Ａ（ｎ））となるｎは有限個。
＜＝＞
Ｐ＝∪＿｛ｎ｝（∩＿｛ｎ≦ｍ｝（Ａ（ｍ）））＝∩＿｛ｎ｝（∪＿｛ｎ≦ｍ｝（Ａ（ｍ）））。

おまえらおはよう。

ヤバいことになった。カントルを完全に殺す。完璧な反証を得てしまった。
極限はもう使わない。お前らにはどうやら先進的過ぎたようだ。

無限を無限のままに扱う立場から反証してやるよ。

以下、α0=アレフゼロとする。

wikiなどから取ってきた定義です。
・無限集合は集合である。
・無限集合には濃度が存在し、最小の濃度はα0である。
・ある無限集合の濃度がα0であることはその集合が可算であることと同値である。
・可算集合の部分集合は高々可算である。
・べき集合の濃度はもとの集合の濃度より常に大きい。（∵対角線論法による。）

ここから矛盾を導きます。
素数の集合Pを
P = {2,3,5,7,11,13,,,,,,,,}

とする。
素数は無限に存在するのでPは無限集合で、ある濃度を持つ。
P⊂N
であるからPは可算、従ってPの濃度はα0。

次にNに0を含めたN'を
N'={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,,,,,,,,}
として
それに対して
Qを次のように定義する。
Q={{},{1},{2},{3},{2,2},{5},{2,3},{7},{2,2,2},{3,3},{2,5},{11},{2,2,3},{13},{2,7},{3,5},,,,,,}
QはNの各元の素因数を指数を使わずに並べた集合の集合である。（但し0→{},1→{1}とする。）
（ここで、元の重複が許されないなら{2,2,2}→{8},{2,2,3}→{4,3}などとしても以下の反証に影響は無い。）

2以上の自然数の素因数分解の一意性、と(0←→{},1←→{1})より。QとN'との間には全単射が存在する。よってQは可算。
Qは無限集合であるので濃度が存在し、その濃度はα0である。

Pのべき集合PPを次のようにする。
PP={{},{2},{3},{5},{2,3},{7},{2,5},{11},{13},{2,7},{3,5},,,,,,,,}

PP⊂Q

であるのでPPも可算。PPは無限集合であるので濃度が存在し、その濃度はα0である。

よって、「べき集合の濃度はもとの集合の濃度より常に大きい。」に反し矛盾


カントール教　終

↓以下「貴様の言う『べき集合』の定義を述べよ」でスタート

ググってください。わざわざ定義するまでも無いでしょう。
カントルと同じ立場です。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E9%9B%86%E5%90%88

さて何がおかしいのですか?

カントルの集合論では素数の無限集合を扱ってはいけないのですか?

P⊂PよりP∈PPであり、またP∈QではないのでPP⊂Qでない

⊂←は真部分集合じゃ?
P∈PPは言えない。

Pから2を除いた集合をP-{2}で表す。
P-{2}はPの真部分集合で、P-{2}⊂Pで、P-{2}∈PP。
またP-{2}∈Qではないので、PP⊂Qでない。

PPのどの元もQに含まれますが。何か?

すばらしいアイデアだと思います。
PPの要素は高々有限集合しかないから、厳密にはPのベキ集合ではないけど。
Pのベキ集合とはPの部分集合を「すべて」含む集合だから
もちろんPの「無限」部分集合も全部含まなくてはならない。
とはいえ、「整数⊃偶数？」みたいな議論に戻ってしまうけど‥‥。

>>409
PPの元であるP-{2}はQに含まれない

ありがとうございます。信者をコテンパンにのめしてください。

>>409
P-{2} = {3,5,7,11,13,…} に対応する Q の元は何？

＞ もちろんPの「無限」部分集合も全部含まなくてはならない。
なら、無限集合の冪集合を考える事すらもできなくなりそうですが。

>>413
そんな無限集合そのものをお前は見たことあるのか？と。

PPのどの元を選んでもQに含まれるで十分。

>>414
想像を絶するくらいでかくなきゃ連続体濃度にはならないのよ。

>>78がお馬鹿ちゃんということで十分

>>415
冪集合が無限集合を要素として含まなくなったのはいつから？

PP⊂Q が言えないなら
冪集合と他の集合の包含関係は考えられないって事?

連続体濃度であるべきPPが可算である事は矛盾ですよね。

>>418
Qも無限集合ですよ。

しかし可算無限集合の有限ベキ集合は可算集合だってのは、
ちょっとした発見だね。一瞬ドキッとした。

＞可算無限集合の有限ベキ集合
とは？
無限ベキ集合とは考えられないのですか?

>>420
じゃあ、P-{2} が PP の元でない理由は何？
誰も見たことがないから？

(1)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%83%A8%E5%88%86%E9%9B%86%E5%90%88
より、集合Pが集合Qの部分集合であるとは、x∈P⇒x∈Qが常に成り立つ事。

(2)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E9%9B%86%E5%90%88
より、集合Sのべき集合とは、 集合Sの部分集合全体のつくる集合の事。

P-{2}がPのべき集合に含まれる事を示す。
x∈P-{2}なら、xは2でない素数であり、特にxは素数である。
Pは素数からなる集合なので、従ってx∈Pである。
即ち、x∈P-{2}⇒x∈Pが常に成り立つ。
これは(1)よりP-{2}がPの部分集合である事を意味する。
よって(2)よりP-{2}はPのべき集合の元である。
以上よりP-{2}がPのべき集合に含まれる事が示された。

P-{2}⊂PP
は合ってると思うよ。
しかし、
P-{2}∉Q
にはならないと思う。

＞ より、集合Pが集合Qの部分集合であるとは、x∈P⇒x∈Qが常に成り立つ事。
満たしてます。
PP⊂Q
＞ より、集合Sのべき集合とは、 集合Sの部分集合全体のつくる集合の事。
満たしてます。
PP=PowerSet(P)

仮に「P-{2}∉Qにはならない」とする。
即ちP-{2}∈Qであるとする。
P-{2}={3, 5, 7, 11, ...}なので、従って{3, 5, 7, 11, ...}∈Qである。
定義よりQはNの各元の素因数を指数を使わずに並べた集合の集合であったから、
{3, 5, 7, 11, ...}∈Qより、{3, 5, 7, 11, ...}は
Nのある元の素因数を指数を使わずに並べた集合である。
ある元とは3×5×7×11×…に他ならない。
これはNの元でないので、よって矛盾。
従って背理法によりP-{2}∉Qが示された。

すごい！カントールは偉大！
ラッセルのパラドクスはノイマンの正則性公理で、なんとか回避できる。

対角線論法の強力さをみたか。
ラッセルなんてうんこだ！

>>427
それは俺が昨日か一昨日言ってた自然数の最大値の二倍は
自然数で無い偶数って言う主張とほとんど同じだよ。

自然数の積は自然数にならないのか?

無限がNに含まれないなら、何とでも言える。
逆に自然数で無い偶数の存在も言えるだろう。

そういうこじつけにこじつけを重ねて、
矛盾を回避してきたから、
宗教だって言ってるんだよ。

ま、俺の分野には無限集合なんて微塵も必要無いんだがな。

誰かもっとちゃんと、
>>402-403を否定してくれよ。

こんなことあっちゃならねんだろ？

>>431
今日も相変わらず迷走していますね
公理をしっかり見てみなさい、対角線論法を理解するのは以外に難しい、対角線論法やる前に知らないといけない事があるのです。
だから先ず基礎をやれ

だからどこがおかしいのかちゃんと説明しろって。
お前らの好きな宗教用語で反証作ったんだからよ。

>>402-403

>>426
普通の定義では x∈PowerSet(S) と x⊆S は同値なんだが、78は

(1)　P ∈ PowerSet(P)　は偽
(2)　P-{2} ∈ PowerSet(P)　は偽
(3)　P-{2} ⊆ PowerSet(P)　は真

と言ってる
78の冪集合の定義はどうなってるんだ？

(1)(2)(3)の否定の証明
(1) P ⊆ P なので P ∈ PowerSet(P)
(2) P-{2} ⊆ P なので P-{2} ∈ PowerSet(P)
(3) P-{2} ⊆ PowerSet(P) とすると 3 ∈ P-{2} なので 3 ∈ PowerSet(P)。
よって 3 ⊆ P。これは明らかに偽。よって P-{2} ⊆ PowerSet(P) は偽。
(3∈P ではあるが 3⊆P ではない)

>>433
説明はできるけれど今の貴方では理解は到底不可能なのは見えているからです。
理由は、基礎の部分にある誤解をしている部分を正さないと、間違ってる考え方に正しい考え方をぶっつけても何も出てこないからですよ。

435 の追加補足、
あなたは定義を勘違いして理解しているという事。
その定義が正しいかどうかはまた別問題だから誤解しないように。
集合論を疑う事を否定しているわけではない。

78はべき集合の定義を知らないな。
>>409で反証がでてるじゃねーかｗ

失礼>>408だった

可算無限集合の高々有限な部分集合の集合は可算なのは当たり前じゃないか

>>402-403はベキ集合の定義を間違えていると>>410で指摘した。
ベキ集合の正しい定義に従ってPP←→Nを対応してくれないといけない。
Wikipediaなんかよりまともに数学の本を読みましょう。

3×5×7×11×…が自然数でない事を示す。
より一般に、任意の自然数が
素数の無限積で表されない事を数学的帰納法で示す。

まず、1は素数の無限個のべき積で表されない。
次に、k≦nなるkが素数の無限積で表されないと仮定して、
n+1が素数の無限積で表されない事を示す。
仮にn+1=p_1 p_2 … (p_1, p_2, ... は素数)と表されたとする。
この時n+1≦n p_1より(n+1)/p_1≦nである。
一方、(n+1)/p_1は(n+1)/p_1=p_2 p_3 …と素数の無限積で表せる。
これは帰納法の仮定に矛盾。
よって背理法により、n+1は素数の無限積で表されない事が分かる。

以上より数学的帰納法から、任意の自然数は
素数の無限積で表されない事が示された。
特に、3×5×7×11×…は自然数でない。

440＝78？

(1)　P ∈ PowerSet(P)
(2)　P-{2} ∈ PowerSet(P)
(3)　P-{2} ⊆ PowerSet(P)

全部真だろ？
だが、P-{2}は
「2を除く全ての素数を含む集合」だから、
対応するQの元を得ても演算が無限回になる。
その操作を許すのか?と、俺は問うただけ。

で、その演算結果は無限だから、自然数であっても自然数で無くてもどちらでもよくなる。

i)自然数で無いっていうなら
>>402-403は偽になるが、逆に自然数の大きさの限界を認めることになり、
どの自然数よりも大きな偶数の存在も認めざるを得ない。
1対1対応が腐って、お前らの負け。
ii)自然数だっていうなら、>>402-403は真だし、お前らの負け。
終わりだよ。

それでも素数集合は限りなく有限に近いとかして矛盾を回避するなら、
カントルの話は好きなときに都合のいい無限の扱いを
を選べる非数学的、宗教的なものだよ。


>>438
＞高々有限な部分集合
素数の集合が有限だとでも言うのですか?

>>435
解るように説明して、>>402-403のどの部分がおかしいのか。
＞ ・べき集合の濃度はもとの集合の濃度より常に大きい。（∵対角線論法による。）
この仮定?
でもこれって、アレフゼロ以外の濃度の存在の足場になってるものでしょ?
否定していいの?

<<440
それって、
1/n>0だから
lim 1/n≠0っていうのと
と
同じじゃん。
無限を無限のままに扱うことはできないんだって。

できると仮定しても、>>402-403は明らかな矛盾を示しているんだ。

>>442
（3）は偽
お前はべき集合の定義をわかってない。

>>441
>>427に対し、>>430で「自然数の積は自然数にならないのか?」と問われたので、
「無限積では自然数にならない」と解答した。
これにより>>427の演繹は正当と分かり、
P-{2}∉Qであり、従ってP-{2}∈PPと併せて、
PP⊂Qは偽と結論される。
即ち>>402-403の演繹は正当性を失う。

>>442
>対応するQの元を得ても演算が無限回になる。

ここからして間違ってる
自分でＱを定義したクセにP-{2}に対応するQの元が存在しない
ってことに気がつかないのか？

それは正に「2を除いた素数の無限積が自然数にならない…当たり前」から
なんだが。

3×5×7×…を扱うのを避けるのであれば、
>>427を次のようにすれば修正すれば良い。

仮にP-{2}∈Qであるとする。
P-{2}={3, 5, 7, 11, ...}なので、従って{3, 5, 7, 11, ...}∈Qである。
定義よりQはNの各元の素因数を指数を使わずに並べた集合の集合であったから、
{3, 5, 7, 11, ...}∈Qより、{3, 5, 7, 11, ...}は
Nのある元nの素因数を指数を使わずに並べた集合である。
nの素因数分解をn=p_1 p_2 … p_k (p_1, p_2, ..., p_kは素数)とする。
{3, 5, 7, 11, ...}はnの素因数p_1 p_2 … p_kを指数を使わずに並べた集合であるから、
従って{3, 5, 7, 11, ...}={p_1, p_2, ..., p_k}となり、矛盾。
従って背理法によりP-{2}∉Qが示された。

あとさぁ細かいんだけど

｛｝ってなにさ？

空集合のこと？こんな記述方法を使う時点で集合論の初歩も勉強していないことが
バレバレなんだけど

普通なにかを否定批判するときにはその中身についての理解は前提だぜ。

>>445
その通り。騙された。

>>446
＞無限積では自然数にならない
そうですか。3×5×7×11×…は4π^2/2にでもなるんですかね?
でなくとも、
この無限積が自然数の限界を超えた無限であることは認めるわけですね。
自然数に限界があるなら、他の反証も有効になるわけですが。

素数の積を集めた集合X
X={2,2*3,2*3*5,2*3*5*7,,,,,,}

とNとの全単射も無効ですね。X⊂Nなのに。

他の分野に影響が無ければいいのですが。

つまり「任意の自然数は素数の有限回の積で一意に表せる(順序を無視すれば)」
という基本定理からの反証ですね。

>>451
そうですよ。今回は少し自信が有ります。

>>450
>その通り。騙された。
誰にだｗｗｗ

>この無限積が自然数の限界を超えた無限であることは認めるわけですね。

認めない。この場合の無限積は発散するので解は不能。解なし。
（無限積の極限）演算が無効。

まぁ、私なりに宗教的に考えたら、
Pは無限集合であるけれども、
あまりにまばらで限り無く有限に近い
アレフゼロより薄い無限集合なのかな?と。

>>452
>>451からの流れでQの任意の元の要素数が有限になることは理解出来る？

>>454
こいつバカすぎｗｗｗｗｗ

>>450
また馬鹿な勘違いをしているな。
お前のいうXは素数の「有限積」の集合だから
素数の「無限積」はXには含まれないよ。
だからX←→Nの全単射も当然存在するよ。

>>455
＞Qの任意の元の要素数が有限になる
正しいと思いますが。
ならPPの任意の元の要素数も有限で無ければならない?
なるほど。
しかし、となると冪集合の他の集合との
包含関係は全く語れなくなりますよね。

>>450
>とNとの全単射も無効ですね。X⊂Nなのに。

だいたいここらへんの論理展開からしておかしいんだよな。

重箱のどこをつついても隅ってなカンジだ

>>451
>>452
>>455
>>458

の流れを引き継ぎつつもう一つ確認
P-{2}の要素数は有限or無限？
どっちだ？

>>442
P-{2}∈PP と、P-{2} に対応する Q の元が存在しないことの
両方を認めたら、>>403 の PP から Q への単射が存在するという結論
(78の変な記法に従うと PP⊂Q) が出なくなるわけだが、
78はいったい何を勘違いしてるんだろう

>>461
何といわず

　勉強する姿勢
　批判態度
　学習内容

全てにおいて間違っていると思われ。
コンプレックスの塊がこういう風になることがしばしば。

>>78に1+2・3・5・7・11…の素因数分解とか聞いてみると
濃い電波を体験できそうだ。

仮に「素数の無限積」のすべての組み合わせの集合をXとしよう。
それでもX←→Nの全単射が存在しないことは対角線論法で容易にわかる。(R←→Nと同様)

>>464
いいところに気がついたね

>>449
その記号は結構使う人も居ますよ

しかし自分が理解できてないことと集合論が間違ってることを混同されてもなあ

>>449
>>449
>>449
>>449
>>449
>>449

>>466
え、マジ？
そんなことしたらラッセルの構成において集合の記述方法が烈しく
訳わかんなく（見た目）なりそうだが。

オレは周りの人でも書籍でも寡見だけど。

>>430で言ってる「俺の分野」ってを聞きたい。
かなり楽しそうだ。

>>469
インナーワールド（脳内妄想）
のことを言っているんじゃないの？

自分が一分野を興したとでもさ。

ああ、>>442 (i) を見ると
「N の任意の元は有限」と「N は無限集合」
が両立することが理解できないのか

集合X={{0},{0,1},{0,1,2},‥‥}

集合N={0,1,2,‥‥}

もちろんX∋Nは成立「しない」
これは対角線論法うんぬん以前のはなし。

で、78はどこいったんだ？

78は、n→∞のとき、nの要素数→アレフゼロと言っている時点で終了。
アレフゼロは要素数では無い。
加えて言うなら濃度は要素数というよりは同値類の方に近い。（これは概出だが）

>>464(解説)
まず2*3*5*‥‥という無限積を見る。
このうち任意の箇所を1に換えたものは素数の無限積である。
これらを縦に並べる。
対角線を見る。
対角線上の素数を1に、1を素数に換える。
対角線論法のできあがり。
#Xは#Nより真に大きい

これで素数の無限積を用いた反証は不可能。

>>475
完璧です。感動しました。
ここまでやられたら、濃度や無限集合の定義の妥当性を認めざるを得ません。
やはり、この集合論は正しいような気がします。
長年の謎が解けた気がします。

これからは、
この定義の妥当性をもっと解りやすく説明する方法を考える事にします。
完敗です。
ありがとう。

ただ私の定義や公理の妥当性を常に疑う姿勢は変わりません。
たとえどんなに馬鹿にされても。

妥当性を疑うこともせず、覚えないと理解できないものなど科学ではありません。
あらゆる懐疑に耐えられるものこそが真の科学だと思います。

また来週他のスレで会いましょう。

お前はその乏しい脳味噌でまだやらかすつもりかｗｗｗ

て、いうかお前定義すらろくに理解してないのに
妥当性を認めざるを得ないってなんだよｗｗｗ

>273
全単射によって同値関係が定まるって自分でいったんだろ。
じゃあ何の上の同値関係なんだ。
とってつけたように「集合を割ったとは言ってない」とか言い訳して。
何が死んできてねだ。きもいこといってんじゃねーよ。

>>476=78
あんたはまずパソコンを窓から捨てて
家で一年くらい勉強してから疑ってくれ。
毎週こんなととされたらかなわん。

一年勉強したからといって身に付くとは限らないわけで…。

むしろまたトンデモ方向に理論武装しそうだ。

>>476
がんばってね
応援してるからね
変な奴のいうことなんか気にしないで
わたしがついてるわよ

自演乙

>>479
だから、集合全体の作る「類」の上の同値関係だつってんだろ糞が。
別にフォーマルな議論してねーし何か文句あんのかよ？
類に入ってる集合を全単射で（ナイーブな意味でだが同値関係で）
類別することの何が問題なんだよ。失せろハゲｗ

あるね

なんでハゲだってわかるんだよ

479じゃないけど

>>483
残念18：55

やったー
18:55:00 に書き込めた

さて、まだ半分にも満たないところで>>78が逃走したわけだが、
おまいらこのスレどうすんだ？
とりあえず次スレ立てとくか・・・・・・・・

>>78が>>475で納得した理由が全く分からん…
将来アカポスに就いて、金を貰って>>78級のゆとり教育大学生に
数学を叩き込まなきゃならん予定のおまいらに取っては、
これは重大な問題ではないか?

引き際を模索していたんだろ。
途中からもうだめぽ状態だったし。

>>488
立てるなよ、そんなモンｗｗｗ

たしかに濃度の定義なんてインチ　き　くさい
形式化しないとホントはわからんのじゃないか

でも俺はこれでかえろ　はらへったし

そもそもスレタイと>>1の
>カントールの対角線論法っておかしくね？
この出だしからして噛み合ってなかったんだよね。

Rの濃度＝R^2の濃度を示すのに対角線論法つかわねーし。

ﾛｼﾞｯｸに見放された78
これはゆとり教育のせいなのか？
いや違う、78そのものの問題だ

対角線論法をつかって色々こじつけてみようぜっ！！！

>>402

＞素数の集合Pを
＞P = {2,3,5,7,11,13,,,,,,,,}
＞とする。
＞素数は無限に存在するのでPは無限集合で、ある濃度を持つ。

無限に存在するかは、無限に存在する事を証明されてからだ。

＞P⊂N
＞であるからPは可算、従ってPの濃度はα0。

自然数の部分照合が可算であるなんて誰も証明してない。
素数の集合が可算であると主張したければ、
可算である事を表せる形で、素数を表現しろ。

全体が部分より大きいもの、
つまり自分の一部分と１対１に対応できないものが有限と考える事の方が
妥当性がありそう．

その意味では、素数は非可算であるから、有限集合であるという方が妥当と思う。

少し遅すぎたかな、レスするのが。

>>476
誰だ？誰だ？誰だ？
まだ負けは認めんぞ。

2chでやる以上さまざまな78の存在を認めることになる。
しばらくトリ付きで語る。

>>476も>>1も俺では無い。
それと俺は学生でも無い。
愚かだ。馬鹿げてる。

>>78と>>401-403は間違いなく俺が書いた。
今来た奴はまずこれを読め。
全部のレスは読まなくていい。
色々な78がいるが、
今日は>>458までは俺が書いたことにしておいてくれ。

PP⊂Qが間違えていることにショックを受けたのは事実だ。
がしかし、このアイデアで必ずカントルは殺せる。

さぁ夜の部の始まりだ。

>>403の

Pのべき集合PPを次のようにする。
PP={{},{2},{3},{5},{2,3},{7},{2,5},{11},{13},{2,7},{3,5},,,,,,,,}
の部分

PPは無限集合と有限集合を含むわけだ。
ここが誤算だった。

だがな。無限集合でありかつ有限集合でもあるようなものは存在しないから。
PPの要素のうち有限集合であるものの集合をA
PPの要素のうち無限集合であるものの集合をB
に分けることができる。

PP=A∪B

ハイ、でここから重要。

A⊂Qは異論無いよな。A自身は無限集合であるので、可算なQの部分集合で高々可算、よって濃度はα0

実はこの時点でカントルは終わっていたことに気付いた。

Aの各元aに対し、b=P△aは無限集合だ。またb⊂Pよりb∈B
このbは対称差の性質により、P△b=aを満たす。

逆に
Bの各元bに対し、a=P△bは有限集合だ。またa⊂Pよりa∈A
このaは対称差の性質により、P△a=bを満たす。


AとBの間に全単射発見！！！

よってBも可算。可算なもの同士の和集合が可算でありえないはずは無い。
よってPPも可算。


矛盾

おわり

>>496
あなたアホですか？素数は無限に存在しますよ。
ギリシャ時代に戻って下さい。

>>500
そうか、じゃー無限に存在する事を証明してくれ。

ググって下さい。

べき集合が可算な無限集合なんかないんだよな？？？？？

信者共、、、どう反論する？

分らないものを放置したまま、次々と手をだした挙句の果てに電波発信局となるか
78、おまえ悲惨だな・・・・・・

>Pのべき集合PPを次のようにする。
>PP={{},{2},{3},{5},{2,3},{7},{2,5},{11},{13},{2,7},{3,5},,,,,,,,}
>の部分
>
>PPは無限集合と有限集合を含むわけだ。

ここが間違い

>>504
どう反論する？

>>505
何故？有限集合だけというなら、余裕で俺の勝ちだが。

まさか無限集合と有限集合のどちらでもない物があるのか？

馬鹿げてる。

＞Bの各元bに対し、a=P△bは有限集合だ。
偽である。反例を挙げる。
素数を一つおきにとってb={2, 5, 11, 17, 23, ...}とする。
b⊂Pは無限集合なのでb∈Bである。
しかし、a=P△b={3, 7, 13, 19, 29, ...}は有限集合でない。
即ちこれが求める反例である。

30分で終わったか。

もういい寝る。

>>509
泣くな

>>499
あなたは本当に面白い人ですね。
ちなみにその考えだと
B内の無限集合は、すべてPから一つだけ要素を取り除いたものになる。
実際はPから2つでも3つでも、あるいは無限個でも、
要素を取り除いた無限集合がB内に存在するはずです。

>>502
集合論が分かってないだろ。デデキントをもう一回勉強しろ。

それと、可算という事に対して答えてないだろ。

カントールの対角線論法が危ういのは、有理数が可算であるか証明しないのに、
可算であると決めつけた所。

だから、対角線論法から導き出された、実数の存在性が危ういと言うだけ。

取り敢えず、ここに参加している人は、有理数が可算であるのか考えてみれば。

>>511は調子に乗って間違えました。すいません。

>>512
どうしたんだおまえ？有理数なんて高々2アレフ・ヌルだし。

>>497-499を見ると、既に分かってしまっている奴が
分かっていない奴を騙るのが如何に困難かが良く分かる。
試験で0点を狙って取るのは難しいとか言うが、
トンデモの振りをする方がよほど難しい。

78 いい加減現状の知識量では無理と気付きなさい
対角線論法を理解したければ、むしろ周辺を十分理解する事
対角線論法は流れを分りやすく説明するのに便利なだけで、これをそのまま受け取ったところで何一つ理解は不能です。
対角線論法という理屈は、分ったつもりになれるが実は全く分っていないとなるリスクはεーδ論法の比ではないからね。
というか、殆どの人は対角線論法を知っていても理解はしていないと思う、まして78には果てしなく無理。

>>499
ほんとにバカ？こいつ

Bの元ｂは明らかに2種類の性質で分類されるやん

1. Pーｂの要素数が有限であるモノ　（例　b=Pー｛2,3｝)
2. Pーｂの要素数が無限であるモノ　
（例　b=｛2, 5,11, 17, 23, ...} >>508であげられているように素数を一つおきにとばしたモノ）

P△bが有限になるのは1.の条件と同値

2.の場合はP△bの要素数は無限

C1＝｛b∈B｜ｂは1.の性質を満たす｝
C2＝｛b∈B｜ｂは2.の性質を満たす｝
としたときC1は可算集合でC2は連続体濃度を持つなんてのは初歩中の初歩

>>499で示されたのは可算集合AはC1（可算集合）に一対一対応を持つってこと

実際は
B＝C1∪C2なので

BとAとの一対一対応はとれていない。（>>499の対応はAからBへの単射ではあるが
全射ではない）

反証終わり

もうひとつ78のワケワカラン思考法にツッコミをいれておく
Pの部分集合をa,ｂとしたときにａとＰ、ｂとＰの間には包含関係がある（当たり前！）ので

明らかに
P△a＝P-a、P△b＝P-ｂ

なんでわざわざ対称差をとる？

集合列の極限の時もそうだったが、78が何を目的にして対称差をとるのか、
さっぱり理解不能。
基地外は偏執じみてるってやつか？

>>517の反証ではわざわざ記法を合わせてやったが、78の言い様ではないが

　馬　鹿　ら　し　い　！　！

>>514
ウーン、少数以下お馬鹿にしてない。
自然数が平民ならば、小数以下はエタ・非人みたいに？

マア。小数以下の順序数の表現の仕方を教えてよ。

>>519
何で小数? 分数だったらアレフゼロ^2でけっこう簡単なのに。
小数以下の順序数って意味が分からん。
正整数有限列の集合の帰納極限にしたいとかそういう話なのかな？

マア。いいや、俺はそんなことどうでもいいし。

ちなみに対角線論法では、必ずしも対角座標をとる必要はないわけで、
行座標、列座標が排他的になるような座標をもれなくすべて選べば
対角座標と同じことになる。
だから組み合わせの数が、ものすごくでかいんだろうなぁ
ということは実感できるかと思います。

78は集合の扱いや場合分けに馴れて無さ過ぎ、こいつには集合論もどきすら語る資格は
ないな。

>>521
だから対角線論法をみて「たかが一つハミ出しただけじゃん？」
というツッコミは野暮なわけです。
もっとたくさん、無数に、ハミ出しています。

対角線論法はね、はみ出しとかで理解した気になっている間は理解しているなんて思わないほうがいいよ。

5=√(25)

確かに78は間違っている。
だがしかしそのことを利用して78をめったうちにしてストレス解消してはならない。
優しく教えてあげるべきだ。
僕としては78さんには集合の入門書として非常におすすめの松坂和夫著「集合位相入門」を
熟読することをおすすめする。

それでは次に、有理数が可算である事を誰か確かめてくれないかな？

>>527「集合位相入門」ｐ72、73を参照

>>528
どの様に書いてあるのか、概略を書き込んでみてくれ。

>>521
それって、自然数が有理数だけでなく、無理数にも対応している事にならないか？
２次座標系の事を言って要るんだとしたらば、話は全然違う事になるけれど。

「集合位相入門」の証明がどんなことかはよく知らないが、
有理数が可算無限個あることの証明は、結構簡単だーよ。

>>531
＞有理数が可算無限個あることの証明は、結構簡単だーよ。

ここのスレでそんな書き込み読んでも、>78みたいなのが沢山いるから、
簡単だと言う事が、本人が間違って理解しているのではないかと、
疑うしかない、要は説得力がないんだよ。

流石に78みたいなのは沢山はいないだろｗ
ありゃ基地外だｗ

>>529A、Bをともにたかだか可算とすれば、直積A×Bもたかだか可算な集合である。
なお、この場合、A、Bがともに空でなく少なくともその一方が可算ならば、A×Bは可算集合である。
これはｐ72定理5で証明されている。
そしてZ×NからＱへの写像ψをψ(a,b)＝a/ｂとする。
するとcardＱ=アレフゼロが示される。
これについてはｐ73系で証明されている。

>>524
対角線論法って、ウェッブで探すと、色々勝手な解釈と思われる、
解説が成されているんだけれども、カントールが実数の無限の存在に使った形というのは、
どんな物だったの？

>>535
この場合はwikiでOKだな
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AF%BE%E8%A7%92%E7%B7%9A%E8%AB%96%E6%B3%95

ウィキペディア（Wikipedia）に書かれている様な形で証明したの？
それで他の数学者が良く納得したと思うんだ？
その後に続く数学者達も対角線論法に対して、納得している事が良くワカラン？

実数が非可算である証明の間違い点を78に代わって俺が
教えてやる。

実数の集合をAとして、
これが可算であると仮定して、
対角線論法によるわけだが、
途中、仮定から、｛x_1,x_2,x_3,・・・x_n,・・・｝と
集合を構成するわけだが、この集合は確かにAの部分集合であるが、
これが等しくAであるという保証はない。
仮定から、すべて並べることは可能であるが、実際並べられたか？は
確認しなければならない事項である。
もし、部分集合であるならばそれに属さない元があっても、なんら
矛盾は生じない。
｛x_1,x_2,x_3,・・・x_n,・・・｝＝A　の証明がなければ、実数の
非可算性は言えない。

誰もお前の感想なんて求めていない。
それが証明だと思うのならば、>78と思考が同じレベル。

>>538

お前、記法が78と同じだなｗ

　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 |
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　　　　　 ∩＿＿＿∩　　　　　　 　 　 　 |
　　　　　 | ノ　 _,　　,_ ヽ　　　　 　 　（（　 |　ﾌﾟﾗﾌﾟﾗ
　　　　 /　　●　　　● |　　　　　　　　　(=)　　　　　　＜エサに魅力がないクマー
　　　　 |　　　　( _●_)　 ミ　＿　(⌒)　 　J　　））
　　　　彡､　　　|∪|　 ノ　　　　　　　　>>538
⊂⌒ヽ　/　　　 ヽノ　 ヽ /⌒つ
　 ＼　ヽ　 /　　 　 　 　 ヽ　/
　　　＼_,,ノ　　　　　　|､＿ノ

>>538
｛x_1,x_2,x_3,・・・x_n,・・・｝＝A
は背理法の仮定
仮定を置くときに、その仮定を証明する必要はない

確かに538は間違っている。
だがしかしそのことを利用して78をめったうちにしてストレス解消してはならない。
優しく教えてあげるべきだ。
僕としては538さんには集合の入門書として非常におすすめの松坂和夫著「集合位相入門」を
熟読することをおすすめする。

間違えた。78を538に変え忘れた

>>538
集合Ａが可算ということは、自然数の集合Ｎとの全単射写像が存在するということです。
ということは、集合Ａの要素は順番に「番号付け」が出来て、x_1,x_2,x_3,･･･と並べられるということです。
だから、ノープロブレムです。

別板で素人はここへ来て叩かれろということなので。

無限は数ではない、とすると。可算の意味が異なってくる。
可能無限。。

馬鹿、お前は基礎論スレに行ってろ
そんな根性もないだろうがな

>>546
無限論の教室でも読んだか？

>>546
用語を覚えたての馬鹿か？

>>546は
政治版や議論板、教育版で叩かれまくりの知ったかぶりの阿呆

典型的な基礎論哲ちゃんでつ。数学の本質を見抜いたそうでつ。

>>547
まあまあ、いきるなって。専門馬鹿を自慢するだけが能じゃないだろ？

>>548
うん、それも読んだ。
可能無限派は完全に少数なんですよね。でも、無限を規則だとすると
どうなるかを考えるのは無意味ではないと思います。あのアキレスと亀の話しとか。

『無限公理が語ろうとすることをふつうの言葉で表現するならば、異なる指示対象
をもつ無限に多くの名が存在する、というものになるだろう。』
（ウイトゲンシュタイン、論理哲学論考、五・五三五）

彼はラッセルに異議を申し立てて言っているのだが、イマイチよく分かりません。

スレ違いなら消えます。

消えろ

みなさん、自信たっぷりですね。
来い来いと言ってた理由が分かりました。

自身？何言ってるの？だれも呼んでないよ
どこの人か知らんけど、グッバイ

>>552
馬鹿は不要
教育板で誘導されたスレにでもいって己の無知を笑われろ

>>552

可能無限ってなにさ？

>>556
おい、どこで勝手に器具類を誘導してんだよ

なんか基地外ホイホイと化してきたな、このスレｗ

　

>>554
馬鹿は不要
基礎論スレにでも行ってろ！

数学にして数学にあらず

>>547

可能無限と実無限の区別より、計算可能性の問題のほうが重要。
どうせ問題を掘り下げるなら、そこまで考えたほうが面白い。

>>563
だ、か、ら、基礎論スレでやれって

教育板ではあれほど居丈高なのに、ここではたちまち懐柔に走る
人間の程度がよく分かるわ

>>538
可算というのは、すべての要素を一列に並べられる事をいいます。
非可算というのは名前の通り、どうやっても一列に並べられない事をいいます。
オガワ君その他世界最高の数学者でも無理としても、神様なら何とかなるかも知れません。
ええ全知全能の神様ですからもしそのような方法があるなら見つけ出せるはずです。
そして、ななな、なんと並んでしまったとします。
ここに神様によって奇跡的に並べられた実数があって
どうなっているのかは良く分からないが、ならんでいるところを想像してみます

0.10000...
0.20000...
.
.
.

ところがです、対角線の部分を拾って調べてみたら、おや不思議、神様なのに実行に失敗していますね
まず並んだと仮定しておくのですが、どう並べたかは分らないんですよ。
しかし、もしも並べられたら、それを使ってそれが間違いである事を指摘する訳です。
これが理解へのふぁーすとすてっぷ
なお、ここで理解したと思ったら負け、それは勘違いです。(笑)

とりあえず、対角線論法とかは考えずに、自然数を実数に一対一対応できるかどうか考えてみてください。
そのためには、自然数の定義と実数の定義を「正確に知る」必要があります。
この実数の定義が結構難解なので頑張ってください、実数の定義が理解できれば自然にそんな事は無理だと分ります。
その後で対角線論法をみれば駄目押しで理解できると思います。

>>566可算の定義はちがいますよ
「集合位相入門」ｐ70参照

>>567
失敬、可算と自然数がごっちゃになってました・・・

可算と自然数の定義もごっちゃになってるのに
偉そうに講釈してたのか

>>569
偉そうでしたか・・・
すんません

>>542
>>545
よくわかりまちた。（ぺコ）

さて、やっぱね、もっと根本のところにメスを入れないといけない。
そもそも、自然数と偶数とか有理数が１対１対応するって時点で
考えなきゃいけない。
「１対１対応って集合の大きさを測ってない」

>>571
集合の大きさを測る方法はいろいろあるんだよ、一対一対応はその一つで、これは数えるという概念の拡張による方法。
大きさを測る以上、同じ大きさを持つ集合はどれとどれかというのも決める必要がある。
この場合、一対一対応が発見できたら同じ大きさ、一対一対応が不可能である事を確認できたなら違う大きさとしているだけ。
また、どちらも見つからなかったらそれは不明というだけ。

理解するには「測る」とは何かを勉強する必要がある、測度論を見るといいでしょう。
しかしその前に微積分をこなせないと、測度論は読めません。
極限があやふやなうちは先ずは、そちらをこなしてみて下さい。

>「１対１対応って集合の大きさを測ってない」
わざわざそんな否定をしなくても
「１対１対応って集合の大きさを測ってる」なんて主張している数学者なんておらんがな。

>>573
好意的に解釈すれば、
「濃度の概念は、有限集合に対する素朴な個数概念の一般化として妥当でない」
とか言いたいんでしょ。
以下>>571による個数のトンデモ一般化
及び現代数学におけるその幅広い応用が展開予定。

個数の一般化は普通に考えると二種類、さてどちらで来るか？
それとも摩訶不思議拡張で来るか？

そんなの三番目に決まってるやないか

整数は偶数の二倍、
だから∞+∞＝2∞、
有理数は偶数の無限大倍、
だから∞*∞＝∞~2
両式は矛盾してるから無限大なんて存在しない
とか

あまりに馬鹿っぽいことしか考え付かんかった

>>576
普通の数えるという手順の性質をノートに事細かく書き出してごらん、
そしてその性質をできる限り失わせずに、無限個に適用してみるのです。
意外と簡単にオリジナルが作れますよ。
一般化するには元の性質を知ることが先決です。

「濃度の概念は、有限集合に対する素朴な個数概念の一般化として妥当でない」
そうそう俺はそれが言いたかったの。
だから、Rの濃度＝R^2の濃度っておかしくねぇな。
別に濃度自体、何を意味しているわけでもないから、濃度によって
どう論じられようと、何も結果を生み出さないんだもん。
あー、濃度って無意味。
すっきりした。

よかったなｗ

数学やめると、もっとすっきりするぞ

>>578
濃度の概念は数学的諸現象を記述するのに十分役に立つだろ。
いろいろな代数的/幾何的構造の同型/同相問題は自然な数学的問題で、
そこにおいて濃度の一致/不一致は基本的。
例えば実数の加法群が有理数の加法群に(群の単射準同型で)埋め込めないなんてのは、
群論的性質がどうの以前に濃度を見れば分かるとか。
「ある集合の部分集合が全体に一致しない」ってのが濃度を見る事ですぐ分かる場合もある
(非Borel可測なLebesgue可測集合の存在とか)。
他にもいろいろと。

バカにマジレスカコワルイ

>>581
せめてオガワ君の力量を読んで分りそうな範囲での応用をみせてやれよ

そーだそーだ。さぱっり分からん。

あれだよ、濃度を役立てちゃいけないと思うよ。土台おかしな概念だから、
それによってもたらされることもおかしなことになる。
先細りってかジリ貧ってか、濃度の先に真実はない。
真実は俺の歩む先にある。ハハハハハハ。

talk:>>584 お前に何が分かるというのか？お前は有限集合の濃度も分からないのか？

>>585 Giant steps+Autumn Leaves

>>585はジャジー

有限と可算無限の分別さえいい加減なやつが
カントールはデタラメとか言ってるんだから笑うに笑えない。

質問。

可算と連続の濃度は実感しやすい。しかしそれよりも大きい無限，例えば実数の
冪集合を「実感」できる具体例は何かありますか？

虚数と同じで実感すれば良いだけ。

>>589
お前はそんなことも知らずに濃度を見ているのか？

>>589
関数解析、というかもともと対角線論法はそういった分野で各種証明の為に使われていた物です。

結論：このスレはなんの意味もなかった4。

「無限集合」を有限の記号列により指定して定義できるクラスと、
そうでないものとを一緒くたにして扱ってしまうところに、
あまりにも大雑把さがある。

>>594
ツェルメロの公理では無限集合もベキ集合も有限文字列で定義されてますが。

>>594
つ帰納的可算集合

>>564
集合論は、そもそもよく実態の分からない
変なものを扱う理論だから

自然数の集合とかなら、実際に定義の複雑さによって
階層分けする理論とかあるよ
多分集合論でも定義可能性とかはきちんと議論するんじゃないかな

>>596
それそれ

719

age

age

>>516
＞対角線論法は流れを分りやすく説明するのに便利なだけで、これをそのまま受け取ったところで何一つ理解は不能です。

つまり対角線論法とは、車のギアチェンジにおける
AT(対角線論法)とMT(通常の説明)のようなものなのか。

哲厨は他へ池
http://messages.yahoo.co.jp/bbs?.mm=GN&action=m&board=1835554&tid=bcaba3bfta4omad8bbd89ga4ga4a2a4ka1aa&sid=1835554&mid=1&type=date&first=1

遅レスなんだけど
403の素因数分解の一意性を使ってQとN'との間には全単射が存在することを述べる
ってのは結構うまいアイデアだと思った。
421の人がドキッとしたっていうのもこの部分だよね。

714

か

age

哲厨はほかへいけ

　〜〜〜終了〜〜〜

カントールの論法は、何らかの無限に関する公理を密輸していることに相当する
ものであると思われる。

記号論理のレベルでみても密輸入してないから

可算なら自然数に対応づけて無限にある全ての要素を列挙できるという
のはそのような手続き（手順）を実際には任意の可算集合に対して
与えることが出来ない以上、そのような列挙ができるということを
都合よく暗黙に過程していると思わざるを獲ない。

＞そのような手続き（手順）を実際には任意の可算集合に対して与えることが出来ない

例を挙げてくれ

>>612
自然数に関する命題のうち正しくないものの集合。

>>611
可算集合の定義が
「自然数に対応づけて無限にある全ての要素を列挙できる」
だからトートロジーに対して暗黙の仮定もへったくれも無いんだけど、、

>>613
なるほど。
手続きを「具体的に」与えるという意味ね

¬で互いに移りあうし、この場合は「正しいもの」でも良いような
フォーマルに言えばr.e.で無いから、Postの定理により、、ということになるんだろうけど

カントールの通常の証明では
実数が可算であると仮定し、
加算であるから整数との一対一対応が存在するという。
そこまではよいが、
それから１０進展開により対角線を集めるという操作を
行うところに進むためには、実数に番号付けが行われて
いなければならないが、「一対一の対応が存在する」ことと
「任意の自然数ｎに対して実数 a_n の対応を作る」
こととの間には大きな隔たりがあるといいたい。
後者ができれば前者は言えるが、逆ははるかに強い主張である。
a_n がnを用いた有限記述可能で計算可能な手順として与え
られるのなら簡単で良いが、もしもそうならばもともとa_nの全体は
可算なわけで、そういうわけにはいくまい。
　　　　

番号付け行えないなら一対一対応は存在しない

番号付けが存在する、ということと
それを構成できるということの間には深い隔たりがある。

ゲーデル数で書かれた命題は可算だから自然数と対応がつくであろう。
命題のうち真と証明できるもののみを集めた集合は可算集合の部分集合
だから可算で自然数と対応がつくはずだが、そのような対応づけの
手続きは構成できないことが、ゲーデルの理論により示されている。

対応がつかないというだけ

対応を作れなくても対応が存在するというのが許されるなら
存在するというのを使って存在することを示せばいいだけで
作る必要はない。

「集合」というものが「かくかくしかじかの性質を満たす元の集まり」という
だけで定義されるとするのがあまりにも単純思考なのだと思う。
ある元が与えられたときに、その集合の元であるかどうか、すなわち
そのかくかくしかじかの性質を満たすか否かを「判定」できるのでなければ
構成もできなければ確認も出来ないのだから、所詮机上の空論になりやすく
パラドックスの温床にもなるのだろう。有限手順で判定できなければ、
（先送りといわずとも）有限ステップの範囲では決して理論的にはボロが出ない
のだから、判定の手順が存在しなかったり、存在しても無限の操作を要する
のであればその無限の操作を１ステップつまり有限だと新たにすること
を認める公理を添加しなければなるまい。

867

自分でそうやって妄想する暇があれば
Jech とか集合論のちゃんとした教科書かってきて勉強すれば
このスレでいわれているような疑問なところはちゃんと書いてあると思われ。

739

980

1/R

1/R = R-{0}

6+2=8

┏━━┳━━━━━━━━━┳━━━━━━━━━━━┓
┃次元┃ n次元超球体積V_n　┃ n次元超球表面積S_n-1　┃
┣━━╋━━━━━━━━━╋━━━━━━━━━━━┫
┃　0　.┃　1　　　　　　　　　　　 .┃　-　　　　　　　　　　　　　　 .┃
┣━━╋━━━━━━━━━╋━━━━━━━━━━━┫
┃　1　.┃　2r　　　　　　　　　　　.┃　2　　　　　　　　　　　　　　 .┃
┣━━╋━━━━━━━━━╋━━━━━━━━━━━┫
┃　2　.┃　πr^2　　　　　　　　　　┃　2πr　　　　　　　　　　　　　 ┃
┣━━╋━━━━━━━━━╋━━━━━━━━━━━┫
┃　3　.┃　4πr^3/3　　　　　　　 .┃　4πr^2　　　　　　　　　　　　┃
┣━━╋━━━━━━━━━╋━━━━━━━━━━━┫
┃　4　.┃　π^2r^4/2　　　　　　　┃　2π^2r^3　　　　　　　　　　 .┃
┣━━╋━━━━━━━━━╋━━━━━━━━━━━┫
┃　5　.┃　8π^2r^5/15　　　　　 ┃　8π^2r^4/3　　　　　　　　　.┃
┣━━╋━━━━━━━━━╋━━━━━━━━━━━┫
┃　6　.┃　π^3r^6/6　　　　　　　┃　π^3r^5　　　　　　　　　　　 ┃
┣━━╋━━━━━━━━━╋━━━━━━━━━━━┫
┃　7　.┃　16π^3r^7/105　　　　┃　16π^3r^6/15　　　　　　　 .┃
┣━━╋━━━━━━━━━╋━━━━━━━━━━━┫
┃　8　.┃　π^4r^8/24　　　　　　.┃　π^4r^7/3　　　　　　　　　　┃
┣━━╋━━━━━━━━━╋━━━━━━━━━━━┫
┃　9　.┃　32π^4r^9/945　　　　┃　32π^4r^8/105　　　　　　　┃
┣━━╋━━━━━━━━━╋━━━━━━━━━━━┫
┃ 10　┃　π^5r^10/120　　　　 .┃　π^5r^9/12　　　　　　　　　.┃
┣━━╋━━━━━━━━━╋━━━━━━━━━━━┫
┃ 11　┃　64π^5r^11/10395　 .┃　64π^5r^10/945　　　　　　.┃
┗━━┻━━━━━━━━━┻━━━━━━━━━━━┛

>>1
別に。

このスレ昔はトンデモさんと直に触れ合える数少ない機会を
提供してくれる面白い場所だったのになあｗ

最近の数学板は、トンデモの量も質もかなり低下してる気がする。
今井・マツシンはどうも数学板を引退したようだし、hadも活動レベルが落ちてる。
新人トンデモも見当たらない。
トンデモ愛好家の方も減ってるんじゃないかな。

トンデモ・トンデモ愛好家の多くは
何らかの意味で数学に強い執着がある人なんだと思う。
社会全体として数学に対する愛が足りてない事が原因なのではないか。

age

> Rの濃度＝R^2の濃度

これって、直線上の点と平面上の点は一対一対応させられるってこと？
となると、Rの濃度=R^3の濃度でもあるだろうから、
直線上の点は3次元上の一点にも一対一対応させられる？

>>636
そう。
区間(0, 1)に含まれる点の個数と全宇宙に存在する点の個数は等しい。

>>637
サンクス
なんかすごい話だ

素数が自然数と同じだけあるってだけでも十分すごいことだと思うけど。
無限というか、自然数の集合を考えた時点で、もうとんでもなくすごい
ことになってる。

>>639
＞素数が自然数と同じだけある

そうなの？

素数全体の集合は自然数の部分集合かつ無限集合だから。

Nの部分集合はすべて可算無限ってことか。

>>640
n番目の素数を表す式があるので、直接1対1対応で示せる。

pi(n) = −1＋(sum from j＝1 to n) [ （（（j−1）! ＋ 1）／j） − [（j−1）!／j] ] とすると（これはn以下の素数の個数を表す式）
nth prime＝ 1 + (sum from m＝1 to 2＾n) [ [ n/(1 + pi(m)) ]＾（1/n） ]

>>642
無限集合ならね。ただし、可算選択公理は前提。

無限をあつかうときに直観に合う論理って作れないの？

それがなかったからここまでみんな苦労しているんだろうw
デデキント以来苦労して、ようやく実数の濃度はある意味ア
レフ2が自然とまで言えるようになった。ここまで100年ほど
かかっている。それぐらい無限というのは一筋縄ではいかな
いということ。

まあちんまきしまむ

あなた達は２ちゃんねる初心者ですか？
書き込む前にＳＧ（セキリュティー・ガード）に登録していますか？
ＳＧに登録せずに書き込んだ場合、
あなたのパソコン内の情報が他人に見られる恐れがあります。
初期の頃から２ちゃんねるにいる方達は
かなりのスキルとこのＢＢＳのコマンドを知っています。
ですから簡単にあなたのＩＰアドレス等抜かれ、住人は
社会的に抹殺されていました。
ＳＧしておけばまず抜かれるコマンド自体が無効となり、
どんなにスキルのある人でもＩＰアドレスを抜くことはできません。

ＳＧに登録する方法は、名前欄に「fusianasan」と入力し
そして、内容に「regist」と書いて、書き込む。

これでＳＧの登録は完了します。
一度登録すれば、電話番号を変えない限り継続します。
fusianasanは、正式にはフュージャネイザン、
又はフュジャネイザンと読みます。
元々は、アメリカの学生達の間で、チャットの時に
セキリュティを強化する為に開発されたシステムです。
fusianasanを掲示板に組み込むのは結構面倒なことですが、
２ちゃんにカキコしてたらウイルスに感染したとか
個人情報が漏れた等の抗議がうざったくなったひろゆきが
仕方なく導入しました。
悪意のある人間にクラックされる前にＳＧを施すことをお勧めします。

regist

fusianasan

fusｉanasan

229

NP=Pかという疑問は、数学の論理学において無限の扱い方にまつわる
種々の疑念（公理系や集合論）の土台の不確かさとも関連していると
思われる。もしかすると、ある種の公理系の下ではNP=Pかどうかは
決定不能な命題かもしれないし、正しくなくても判例を構成できない
のかもしれない。もしかするとそういった根本的な問題であるかも
しれない。

>>8
対角線論法なんて、有理数が可算でないことを示しただけ。
対角線論法なんて、有理数が可算でないことを示しただけ。
対角線論法なんて、有理数が可算でないことを示しただけ。
対角線論法なんて、有理数が可算でないことを示しただけ。
対角線論法なんて、有理数が可算でないことを示しただけ。
対角線論法なんて、有理数が可算でないことを示しただけ。
対角線論法なんて、有理数が可算でないことを示しただけ。
対角線論法なんて、有理数が可算でないことを示しただけ。
対角線論法なんて、有理数が可算でないことを示しただけ。
対角線論法なんて、有理数が可算でないことを示しただけ。

いや確かに>>8はおかしいが
半年以上過ぎてから突っ込むような重大発言でも無いだろ

このスレの最初のほうはトンデモさんを弄くるのが楽しかったなあ、

素人目線で言わせてもらうと、
対角線論法って実数の集合が非可算であることを
「対角線」っていう視覚的なイメージで訴えかけて分かった気にさせるし
それになにより、トリッキーな証明方法を見せつけられた気がして
妙に興奮しちゃって冷静さを失う悪魔の証明法だと思います。

実数が可算でないことは、対角線論法を使わないほうがよくわかるとおもうんだけどね、
あくまで実数とか解析とかをやる場合は

強い公理「無限集合は存在しない」を設けて数学を再構築し直した方が良いよ。

それより弱い公理として
「集合とは、ある元が与えられたときにその元がその集合に含まれるかの
判定が具体的に有限の手順できるものに限る」を設けるというのもいいな。

し直した方がいいとは誰も思わないだろうが、それでどこまで出来るかを
調べるのは、それはそれで面白いだろうし、まあ近い立場で途中まで進め
た人はいる。

後半の方はもう研究がかなり進んでいる。

ある数学的対象が、集合であるかどうかをどうすれば判定できるのだろうか？
通常の無限集合の場合、無限にある要素を一つづつ調べなおして集合全体を
確認するということは出来ない。結局、「なんらかの有限の記号列で記述された
ルールに従う対象物を要素とみた総体」として定義されていると思わざるを得ないだろう。
そうすると、そのような有限記述ルールでかけないものは、集合ではないと
せざるを得ない。あるいはあるものが集合であるか無いかの二律ではなくて、
どちらとも判定不能という場合もあっても良いと思う。判定不能ということ
を認めれば、判定可能なことのみで理論は構築していくことになる。

実数論も展開できない集合論はちょっと...

単純に「定義可能な集合ではない」で良いんじゃないの？
少なくとも自然数全体Nの部分集合に関してはそういう考えでやってるみたいですよ

集合として定義可能でも、あるものがその集合の要素かどうかの
判定が有限ステップでできない、あるいは決定不能だったら、
そういう集合はどうするんだ？

例えば、数学的に真な命題の集合という集合は定義できても、
何が要素であるかということを決める方法は無い。

>>663
>>662

512

>>1
「無意味なスレ立て厳禁」
って読めませんか？
そういうくだらない話は質問スレでやってください


　
　　　　　　　　　　　　　　　　　終　　　了


そして>>1はすぐ死ね

age

>>637
個数が等しいの？

Aを自分自身を要素とする集合とする。

するとAの要素はA自身だから、その要素もAであり、…
いくら要素の要素の要素の要素の。。。と要素をとりつづけていっても
終わりがない。こんなのも集合として認めるの？

少しは学べ。

>>669
普通の集合論では認めない

>>669
つ正則性の公理

これを認めないときはあり得る。
また、空集合以外のatomが出てくる集合論も作れる。

>>669
「普通の集合論」では正則性の公理という公理が
前提され、それによればそういう集合は存在しない。
普通でない集合論ではありうる。というか最近某所で
某偉い人がそういうのの公理化をしてるのを見た。

>>669
認めない場合が多いけど、たまに認める場合もある

まあ公理次第、「集合」という術語に求める意味次第ってことで
最初にやりはじめたのはAczelだったっけか
とか思ってたけどMirimanovって人なんだそうな
http://en.wikipedia.org/wiki/Non-well-founded_set_theory

そういう集合を認めない（扱わない？）、とする公理を導入したのが
Neumannっていうチョー有名な人ですね

Aczelのだと>>669の言うQuine atomって唯一に決まるんだね
俺が最近見たのは唯一ではないバージョン

118

717

640

祝　中日ドラゴンズ優勝記念セール情報！！
http://life7.2ch.net/test/read.cgi/sale/1096638511/

ようするに、（普通の）集合というものは、可算有限回の「要素を取り出す」
という操作をすると、最後は集合ではないアトムになるはずだという
信仰があるのですね。底なし沼のようなものは認めず、どこかに歯止め
あるいは土台があるという。
　でも、可算無限回の操作が出来たり、可算無限回の操作を可算無限回
行ったり、さらに可算無限回の操作を可算無限回の操作を可算無限回行ったり
とか、そういう自由が数学の本質だといって既知外になるのが立派な
こと（偉いこと）じゃなかったんですか？

加算か過酸化水素水かの議論はココですか

>>680
可算なんて制限を勝手につけたのは君だけだし

501

>680

要素を取り出す操作を繰り返していくといつかはアトムに行き着く・・・
この性質は、数学のほかの公理からは肯定も否定も証明されません。
いわゆる、正則性公理と呼ばれているものです。

ですから、この性質を認めるのも、この性質の否定を認めるのも、
個人の趣味の問題です。

普通の数学では、この性質を認めるのが自然であるとされています。
確かにこれは信仰というより信念ですが、
この性質を認めないのもまた信仰ないしは信念ではないですか？

流れを読まずに適当に書くけど、要は濃度の定義がそういうものだ
ということだな。
出来るものならRの濃度=R^2の濃度となるような新濃度を新たに構築して見せればよい。
それはそれで新しい世界が開けるかもしれない。
まあとんでもになる確率がかなり高いが。

お前は何を言ってるんだ？
今の濃度の定義のままでもRの濃度=R^2の濃度だよ、バカ

>>686
逆書いちゃったにょ。
!=となるような、ですね。

>まあとんでもになる確率がかなり高いが。
某O川君みたいにな。
奴の場合は自然数と偶数の場合だったかな。

>>688
奴は勝手に自爆したよ。己のアタマの中にある実数に矛盾を見出してしまい
失望。そして実数を否定。その後どうなったかは知らん。

832

おめーら馬鹿だな

139

Rの濃度＝R^2の濃度ってそもそも対角線論法とは全然関係ないじゃん。

とすでに言われたであろうことを言ってみる。

>>693
>>493

513

まぁ、カントール自体、ＲとＲ＾２の濃度が等しい事について
証明はできたものの、納得（？）は出来なかったというのが何かにあったな。

たしか、最終的には、精神病かなんかにかかったんだっけ？

まぁ、素人は無限集合論に手を出すなって事だな

カントールの話が素人の話に変わるのは何故

二年五時間。

356

理解できてない奴多すぎ。リアルタイムなら反論してやったのにな。
結論としてRの濃度=R^2の濃度は正しい。
78は明らかに無限の広大さを理解していない。
差分が無限に大きくなってもやっぱり自然数の濃度と偶数の濃度は同じなのさ。

78の奴も文句言わずに数学の本でも読んで勉強したら、自分のいってることがどうしようもなく恥ずかしいことだと理解できるだろう。
でも、昔の人も無限に関しては到底納得できるようなものじゃなかったらしいから、気にするな。

>>701
じゃあ代わりに俺に反論してよ。

78実数の話してないじゃん

>>702
何に対して反論すんの？何も主張してない奴に反論するのは無理だわ。

＞カントールの対角線論法っておかしくね？

まだこれやってる奴が居たのかって思ったら、だいぶ古いスレなのね。
対角線論法は、並んだって言うのを信ずるからいけない、
並んだって言ったら、じゃ並んだ状態を見せて見ろと言えばいい。

信じるも何も仮定だろ
背理法もしらんのか？

だから仮定が間違いだろ。

707は、まず背理法を勉強しろ。

自分の頭で考えるって言う習慣のない奴が、なに粋がってるんだ？

背理法すら理解できていない人間が数学板に書き込み
これぞ　ゆ・と・り

なに言われてるのか理解できないようだな。

デデキントの指摘

…忘れた

対応が連続じゃないとかかんとか

[0,1)の間にある有理数より、自然数の方が多い。
有理数の有効桁は有限。しかし、自然数と対応させると、
自然数自体は無限にあるから、有理数の有効桁が無限にある事になる。
これは、有理数の有効桁が有限である命題に反する。
よって、自然数の方が多い。

自然数の桁も有限だぞ

自然数はナンバリングに使うだけだから、桁の概念は不要。

概念と言う言葉では、数学的な意味を持たないな。要素だな。
N^2と2N-1は同じ個数存在する、っていうような感じかな。

>>713
>有理数の有効桁は有限
そんなわけない
1/3=0.333333333333333…
とか循環する無限小数は有理数。明らかに桁は無限。

だから濃度的には同じになるはずです。。。

はずとしか言えないんだよね。
で、循環小数を含んで、
[0,1)の有理数を表現する為には、
結局、１／Ｎではだめで、Ｍ／Ｎ．．．Ｍは自然数、但しＭ＜Ｎ
の形で表現するしかないのかと。
これだと、有理数の方が自然数より濃度は大きい？
有理数と無理数とは不明？

>>718
Ｍ／Ｎ．．．Ｍは自然数、但しＭ＜Ｎ
だと、 既約でないものが重複して数えられちゃうね。
それをうまいこと避けないと。

実数なんか存在しないという公理を置けば、
もっとも簡単に矛盾は解決できるだろう。

↑↑↑
こういう馬鹿が今井数学とか創始しちゃうんだろうね。

>>719
別に重複を避けなくても、お互いに単射を作れれば、そこからベルンシュタインの定理で
濃度等しい事が言えるので、ＯＫ

>>722
逆に言えば、既約分数を避けるような関係式を作れれば、
単射の形になりそう、とは言えるのかも知れないね。

誰か既にやっていないのかな？

既約かどうかを無視して並べること＝有理数から自然数への単射、
自然数から有理数への単射は、たとえばn -> 1/nがある
お互いに単射が在るので、bernstein使って、濃度が等しい。qed

√(M/N)^√(M/N)って何を表すのだろう。

√(K/L)^√(M/N)........K.L.M.Nは自然数、但しM<N　だった。
イヤ？これは並ばないかな？

171

数字を
0, 1, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9,
　2, 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9,
　　0.01, 0.02, ……, 0.09,
　　0.11, 0.12, ……, 0.19,
　　……,
　　1.91, 1.92, ……, 1.99,
　3, 2.1, 2.2, ……, 2.9,
　　2.11, 2.12, ……, 2.19,
　　……,
　　2.91, 2.92, ……, 2.99,
　　　0.001, 0.002, ……, 0.009,
　　　0.011, 0.012, ……, 0.019,
　　　……
　　　2.991, 2.992, ……, 2.999,
……

nのように並べる。
自然数nが定義された時には、n以下の実数のうち、
小数点第n-1位までで表現できるすべての実数が含まれている。

実数の濃度が自然数の濃度よりも大きいのであれば、
この数字の並びでは表現できない実数があるはずだが、それは何か?

タイプミス。
>nのように並べる。
→のように並べる。

ベルンシュタインの定理は選択公理使ってるんだっけ？
使ってないとしたら、この手の結果からするとかなり奇跡的に思えるな。

>それは何か？
√2、π、1/3でも簡単にいくらでも見つかるんだけど

>>730
不勉強者が利口になった実例はない。
大馬鹿の的はずれな感想乙

>>731
桁数が無限にあるなら、それらの数字も含まれない?

どうやったら含まれると思うのか、逆に小一時間問いつめたい

それができないなら、自然数と実数が1対1で対応しないことをどうやって証明した?

証明を読めよ

対角線論法なら、0〜9の数字の羅列でやってたでしょ？
あれには1/3やπや√2は含まれてない?

お前はちっとも証明を理解してないし
そういうトンチンカンな勘違いをする時点で
おそらく理解する能力もないんだろう

人には向き不向きがある
数学を勉強することだけが人生じゃない。諦めた方がいい。

ん？どゆこと？
もし「あの中に1/3やπや√2が含まれている必要はない。
大切なのは、数字を羅列しても、まだ羅列していないパターンがいくらでも出てくるということ」
と言いたいなら、
今度は1/3やπや√2も含めた場合での実数の濃度が連続体濃度よりも大きくなる可能性がある
(そうならないという証明が必要となる)んじゃないの？

とりあえず背理法くらいは理解してから書き込め

そうか。そもそもあれは、並んでいないのがいくらでもあるわけか。

んで、あれは「全部並べられる並べ方がある」という命題じゃなく、
「並べりゃなんとかなる」という命題を否定してるわけか。

R(チーズバーガー）
R^2(ダブルチーズバーガー）

ってことじゃね？

それだったら濃度が違うじゃん(何

デブは鈍感だから区別つかないんだよ

食い物にはむしろ敏感

じゃあ、こういうことだ。
すなわち、この宇宙ｊにおいて俺たちはチーズバーガーにたかるハエなんだよ。
一回にかじりとれる量が少なく、かつ食料探索行動において、ある範囲でチーズバーガーを発見する確率などもろもろを吟味すると
R（チーズバーガー）の濃度(味)とR^2(ダブルチーズバーガー）の濃度は等しい。

>>742
ダブルチーズバーガーは２R

>>747わかった。
表面にだけチョコレートがかかってるチョコケーキ（R)と、チョコレートが中身に挟まれているチョコケーキ（R^2)の違いだ。
この場合、２Rはチョコレートケーキが二個ということになる。
どちらのチョコケーキも、カカオの濃度は同じ。
だが、前者のほうが明らかに満腹感がある。

>>748
濃度が満腹感を表さないからこそ
測度という数学的概念が燦然たる輝きを持って存在する

なんと哲学的な！

実数はいきなり大きさ順には並べられないけれど、まず桁数順に並べて次に大きさ順に並べると順序付けが可能ですよ！
そのことについて
http://www011.upp.so-net.ne.jp/yosshyz/
にアップしています。
ぜひご覧になって感想をよせてください。

>>751
実数の大半は無限桁なのに桁数順も何もないでしょ。
実数についてもう少しきちんと理解してくださいね。

※>>751を読むのが面倒臭い人の為の要約

任意のnに対し小数点以下がn桁の実数は可付番。
任意の有限桁で可付番なんだから無限桁でも可付番。←ここが笑い所
よって全ての実数は可付番。

あとはお決まりの「カントールはこんな簡単なことにも気付かなかった。
しかしカントールの集合論への貢献は絶大であり、１つ間違いが発覚したところで
彼の偉大さは何ら陰ることはありません」で〆。

>>753
> 任意の有限桁で可付番なんだから無限桁でも可付番。←ここが笑い所

kwsk

>>754
特に根拠らしきものは見当たらない
ただ漠然と有限で成り立つことは無限にも拡張できると思っているらしい

以下本文ママ
＞一般的に言って有限での関係が規定され、その上限が特に存在しない場合、
＞その関係は無限に延長可能です。

というか本人はサイト紹介するだけで居ないのか

循環小数への対応なしに全射だといいはるアレ系の電波か

1.5年前に

有限と無限　（データ落ち）
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1065894741/

に同じ証明（むろん完全な間違い）が書き込まれている。
ま、すぐに誤りを指摘されているが、どうしてもカントールの
対角線論法は間違っていると主張したいらしい。

馬鹿な人間って成長しないんだな…。

間違いは恥ではない
間違っていたことに気付いたなら
それこそが成長しているということだっ！

気付かないなら、だめだがな
5年も同じこといい続けている誰かのように・・・

そもそもorderingとnumeralの区別が全然出来てないな
ハナから間違えてる

>疑問９　自然数による実数の定義
>
>自然数と実数が一対一対応するとなれば、自然数で実数を定義することができるのですか。
>
>解答９　ツリー構造の実数
>これまでの検討結果から可能と思われます。
>自然数が１から上へデジタル的に定義されてゆくように、１未満の値を表す実数の最も自然な
>定義方法は、自然数と逆方向に１から下に向かい一桁ずつデジタル的に定義してゆく方法だと
>思えます。
>それは実数に１から下の桁へ無限に枝分かれしてゆくツリー構造を与えます。このような定義
>方法が最も実数の直感的概念に沿っているし、無限大という理解しがたい概念への接近を最小
>限に抑えることができるはずです。
>無限の桁数を持つ実数は、その値を数式などで表示できる場合を除くと、それに直接触れる方法
>はありません。この定義によると太い幹からどこまでも相似形状で枝分かれしながら等比的に
>小さくなってゆく無限に続く経路の消失点にそれらの実数が位置づけられます。
>そのような構造は最近フラクタル図形の一種として親しまれるようになりました。
>ツリー構造の実数の定義が数学が求める厳密さをどこまで具現化できるのか、十分検討する
>必要があります。
>
>いずれにせよこの質疑応答がこれらの問題の見直しの動きにつながれば幸いです。

こいつフラクタルも全然理解してないぞｗ

俺同じ勘違いをしたことあるよ。流石に数分で誤りに気がついたけど。小学生の頃の恥ずかしい思い出。

無限大は有限からの外挿でなければ直接取り扱えません。
循環小数だって有限から外挿された概念です。
いきなり無限大の桁数を持つ実数が定義とは関係なく存在すると見なし、
それを直接取り扱おうとしたところに間違いの原因があります。

そもそも君は実数の構成方法すら理解してないだろｗ

>いきなり無限大の桁数を持つ実数が定義とは関係なく存在すると見なし、
この一文でそれが読みとれるよ

まあ無限小数で実数を定義ってのもないわけではないけどな

いや、だから、デデキントの切断なり、コーシー列の収束なり、>>765のように無限小数で構成するなり
実数の種々の構成方法を知っていて、それらが本質的に同じものであることを認識してれば、ぜんぜん
「いきなり」でもなければ「定義と関係なく存在する」わけでもないってこと

それにしても外挿だの直接取り扱おうとしただの主観的概念が大杉だｗ

このスレでも　>>728
で既出だな。

Rの濃度＝カロリーメイト2本入り
R^2の濃度＝カロリーメイト4本入り
何本だろうと味は同じってことじゃね？

こんなあからさまに間違ってる証明を英訳なんぞして日本の恥を世界に広めないでほしいな

359

早期留学中逃避,軍服務中に逮捕

韓米両国犯罪人引導ますます活気
去る1999年オレゴン州留陣の時で日本人女子大生を性暴行した疑いを受けている20代韓国人留学生が
韓国に逃走した後軍服務中に逮捕され韓米犯罪人引渡條約によって今月末アメリカに押送される.
韓国司法当局によれば臨終院(25)さんはその年9月12日夜日本人女子大生のアパートに侵入,
日本人ボーイフレンドと同居中だった女子大生を性暴行した後財布を盗んで逃げてから逮捕され
宝石状態で裁判を受けた中2000年の初め韓国に逃走した.

ttp://www.koreatimes.com/articleview.asp?id=185287


【韓国】ホテル従業員が日本人旅行者を暴行したうえ強盗を働き逮捕。

[キム・ジョン県 記者]

大邱 東部警察では 日本人 女性 観光客が 泊まって ある ホテル 客室に 入って 金品を 奪って 性暴行した
疑いで 大邱 某 ホテル 従業員 22歳 金 某氏に 大海 逮捕状を 申し込みました.
金さんは 今日の 朝 6時頃 自分が 勤める ホテル 5階 客室 門を 補助 鍵で 開いて 入って行って
寝て あった 24歳 日本人 女性を 凶器で 脅威して 現金を 奪った 後 性暴行した 疑いを 受けて あります.

ttp://news.naver.com/news/read.php?mode=LSS2D&office_id=034&article_id=0000134880§ion_id=001§ion_id2=102&menu_id=001

age

350

age

まぁ、対角線論法とかでＲ濃度＝Ｒ＾２の濃度とかいう
直感に反する事が証明された。
つまり、「単なる集合」としては、Ｒ＝Ｒ＾２で、これの違いは無いという事だ。

でもって、これらを区別する方法として、
位相やら測度が導入された訳だな。

>>775
Ｒ濃度＝Ｒ＾２の濃度を示すのに対角線論法なんぞつかっとらん

でもよー
どれだけ実数を出してきても、無限の自然数ですべての実数は
ナンバーリング可能じゃね？

三年。

>>777
いつまでたってもナンバリングを続けることは可能だが
全部をうまくナンバリングする方法が見つからないんだよ。

> どれだけ実数を出してきても

実数の出し方によるのかな？

集合の要素が無限にあり、一列に並べることが出来る⇔濃度が自然数と同じ
と決め付けるのは早計じゃないか？

たとえば、全ての実数を一列に並べたとする。
ここで対角線論法をつかい、まだ並べられてない実数があるよ？とかいう奴はちょっと考えてみて欲しい。

対角線論法が成り立つための条件は並べたものが正方形になるってことだろ？←ここ重要。
縦に実数を並べて、横に実数の各桁の数字を並べたら、自然数より実数のほうが多いんだから、横より縦のほうが長いってことだろ。
つまり対角線論法は使えない！てことにならないかい？

晒しage

対角線論法を使った証明をここまで誤解してる奴を初めて見たｗ

なにが　「←ここ重要」だよｗ
おまえは重要云々を論じるよりはるか手前の段階で思いっきり蹴躓いてるじゃねぇかｗ

ひとことでいいだろ。

＞ 対角線論法が成り立つための条件は並べたものが正方形になるってことだろ？←ここ重要。 

ちがうよ。

いや
>集合の要素が無限にあり、一列に並べることが出来る⇔濃度が自然数と同じ
この時点で既に間違ってる

>>785
お、理解者あらわる。　v（＾＾）

そうなんだよ、
「集合の要素が無限にあり、一列に並べることが出来る⇔濃度が自然数と同じ」
これが間違ってんだよ。

アホかｗ
「集合の要素が無限にあり、一列に並べることが出来る⇔濃度が自然数と同じ」
とお前が思いこんでいることが間違ってるっつってんだよｗ

大体「一列に並べることが出来る」っていう表現が曖昧なことくらいに気付けよ、ゆとりクン

実直線上の各点も見方によっては一列に並んでいるが、可算じゃないだろ。

うーん。
なにがいいたいかというと、ある整数Aが与えられたときにAの隣の整数というのが求められるでしょ。
実数についてもある実数Aが与えられたときにAの隣の実数が求められると仮定しても矛盾が起きないんじゃない？
ということがいいたかった。
もちろん実数Aの隣の実数を求める方法は計算不能だとおもう。
だからAの隣の実数を求める方法が存在するという公理を追加しても矛盾のない論理体系ができるのかな、なんてことを考えたわけです。

まー、なんだ間違いの上に間違いを重ねる救いようのない馬鹿だと言うことは
>>788を読めばよくわかるから、数学を勉強するのは諦めた方がいいと思うよ。

どーせ「隣の実数」（これも曖昧な表現だなー）なんてのも感覚で言ってるだけで
明確に定義づけも出来ないだろ。定義づけ出来ないものをどうやって公理にする
つもりなのかね？

明確に定義づけするっていうのが計算可能な形で定義づけするっていう意味ならむりなんだろうなぁ。
そう考えると隣の実数を定義づける方法なんてあるのかなぁ。

そもそもArchimedes性を否定する時点でそれは実数とは別個なものになるということにいい加減気付け！
イライラする馬鹿だな

ま〜これで最後にするよ。

まず、整数というものがあるでしょ。
足し算引き算をしてる限り、整数は整数のままでしょ。
でも、割り算というのが出たとたん、整数の間に実は有理数がありました、てなことになるでしょ。
で、有理数に隙間がないかというとそんなことはなくて、有理数と有理数の隙間には実数が詰まってますってことになるでしょ。
で、実数までくると隙間がありません、てことになるでしょ。
でもそれって計算可能な範囲でのことじゃない？
計算不能なものまで視野に入れれば、実数とその隣の実数の間に実数じゃないものがさらに
ビッチリ詰まっててその上に新しい数学を構築するなんてことが出来ないかなぁ。
とかおもったのさ。

ま、笑ってくれ。

　　　　　　　　　　　／　　　／＼　　　＿＿　　　／＼　　　＼
　　　　　　　　　　　|　　　　　　　　　 .|　　　|　　　　　　　　　　|　＿＿ｏ
　　　　　　i⌒ヽ　　|　　　　　　　　　　|　　　|　　　　　　　　　　.| 　　　|　二|二''　　＿
　|⌒ |⌒ | ヽ_ノ|　 .|　　　　　　　　　ノ＿＿ヽ　　　　　　　 　　| 　　ノ　　　|　　ヤ　　　ｯ
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　　　/　 　ｌ_ｊ_ｊ_ｊ と)　　　　(とi._i._i._l
　　/　　　／ ／　　　　　 　　＼ ＼
　/　／　＼　＼　　　　　　 　／ ／
/ ／　　　　＼　＼（^Д^ ）／ ／ >>781 ﾌﾟｷﾞｬﾌﾟｷﾞｬﾌﾟｷﾞｬﾌﾟｷﾞｬｰｰｰｯ!!!!!
／ ／　　　　　ヽ　　　　　　 ／
／　　　　　　　ﾉ　　　 　　／
　　　　 　　　/　　　 　／
　　　　　 　/　　/ ＼　＼
―　　　　/　　ん、　 ＼　＼ 　　　　　　　　　　　　　　　| 　　ヽヽ
――　　（＿＿　（　　　>　 ） 　　　　　　　　　　|　ヽヽ　|＼
⌒ヽ　　　’　・`し'　／　／ 　　　 i 、、　| ヽヽ　|＼　 　|　　＼
　　人,　’　’,　(￣　／ 　　ﾄﾞ ド　|ヽ　 　|＼　　|　　　　|
Y⌒ヽ）⌒ヽ､　）　　|
　　　　　　　　　＼＿つ

最後にするといっておいてすまないが、ちょっと面白いことを思いついた。
ビジービーバー関数って知ってる？
超巨大な数を返す関数なんだけど、この関数は計算不能ってことになってる。
この関数は定義域、値域が自然数として定義されてるんだけど、
この関数の定義域、値域を実数に拡張することを考える。
そのときビジービーバー関数をｆとしてa<bならf(a)<f(b)が成り立つように拡張したとしよう。
そしてこのビジービーバー関数の逆関数をさらに考える。
この関数は非常にゆっくりと大きくなる関数だといえる。
この関数に対してやはり、入力がa<bならf(a)<f(b)が成り立つとしよう。
そのときビジービーバーの逆関数があまりにゆっくり大きくなるため、出力を実数で定義しようとしたら、
「実数が足りなくなる可能性がある」
そのときこそ、我々が実数の隙間を垣間見る瞬間となるかもしれない。

オラなんだかわくわくしてきたぞｗ。

>>795
で、どこを笑えばいいんだ？

とりあえず781がビジービバー関数も理解してないことはわかった

うーん。
ビジービーバー関数について奇妙な結論が出てきてしまった。
「ビジービーバー関数を使えば、有限と加算無限を一対一に対応付けられる」

>>796
さあ、笑ってくれ。

どうやら漏れの勘違いはカントールの対角線論法は高々計算可能な手法だとおもっていたことかも。
カントールの対角線論法は計算可能をも超越したものすごいメタ数学手法なのかもしれないなぁ。

あ、781=799ね。

お前はどこまで勘違いし続ければ気が済むんだ？
内容からしてメタ数学も全然理解してないだろ

なんでビジービーバー関数を使うと有限と可算無限が一対一に対応付けられるなんていう奇妙な結論に至ったかというと、
集合の濃度が等しいということを示すときに一対一に対応付ける方法が計算可能なものじゃないといけないと思ったんだよね。
で、ビジービーバー関数で一対一に対応付けられてる自然数と自然数の関係は計算可能じゃないわけだから、
その結果、入力と出力の集合の濃度が違っちゃうんじゃない？と思った。

で、出てきた結論が有限と可算無限が一対一に対応付けられるというもの。
漏れの勘違いがどこにあったのか具体的に指摘してもらえるとうれしいです。

そうだ。
もう一つアイディアがあった。

tanてあるでしょ。tanはものすごい速さで大きくなるよね。
入力が有限のうちに出力が無限に達してしまうというある意味不思議な関数だ。

で、ちょっと思ったのは、ビジービーバー関数がどれほど速く大きくなるかってのを考えたとき、
もしかしたら、ビジービーバー関数もある意味入力が有限のうちに出力が可算無限に達してしまうかもしれない、ってこと。
ビジービーバー関数の定義からそれはありえないんだけどさ。

有限と可算無限が一対一に対応付けられるイメージとしてそんなイメージが沸きました。

こいつe^-xとlog(x)を「ぱっと見一緒だからx→∞まで飛ばしたときの振る舞いも一緒でしょ？」とか言いそうだな

f(x)=1/(1-x)もある意味不思議な関数ですか。そうですか。

最初はちょっと笑ってたが、流石にちょっと怖くなってきた。
日本の大学教育は確かにお粗末だが、こんなに非道い馬鹿を輩出するまで堕していたのか。

もう一つアイディアが沸いたよ。

ビジービーバー関数によって一対一に対応付けられるのは有限と可算無限じゃない。
入力の濃度を可算無限とするなら出力の濃度は有限と可算無限の間にある何かになる。
なんてのはどうかな？

イメージとしてはこんな感じ。

ビジービーバー関数は計算可能などんな関数より速く大きくなる。
で、計算可能な関数を一次方程式にたとえるならビジービーバー関数は２次方程式だ。
一次方程式を解いてるうちは答えが有理数にしかならないが、２次方程式の答えはルートにもなる。
で、一次方程式である計算可能な関数を扱ってるうちは有限と可算無限の中間にはたどり着けないが、
２次方程式であるビジービーバー関数を使えば有限と可算無限の間にたどり着ける。

どう？

あれからいろいろ考えたんだけど、何がなんだかわからなくなってきました。
この哀れな子羊をだれか導いてくだしあ＞＜

そもそも集合の濃度ってのは同値関係の一種でしょ。
で、一対一対応があれば濃度が等しいってことが言えて、
対角線論法をつかえば濃度が違うってことが言える。

で、一対一対応があるっていうのがちょっと曖昧で、
その対応にビジービーバーみたいな計算不能なものも使っていいの？
ていうのが一つ疑問としてある。

一対一対応が計算可能なものだけ使っていい、てことなら、
ビジービーバーの関係は計算可能じゃないから、入力と出力の集合の濃度が違うよってことになる。
対角線論法を使わなくても、一対一対応がないってことが言えるわけだ。

と一時は思ったんだけど、そもそもビジービーバーの計算不能性を示したのも対角線論法じゃない？
これじゃ、計算不能というワンクッションおいて対角線論法を使ってるようなもんだ。

そして、ビジービーバー関数があるとしたら、って仮定は一対一対応がないってことがわかってるのに、
それでも一対一対応があるとしたら、見たいなことを言ってるようなもんだ。
これじゃ何がなんだかわからない。

でもでもビジービーバーは割と数学的にちゃんと定義された関数のようにも見える。
ビジービーバーがどこかにあって、入力を入れたらちゃんと出力を返してくれそうな気もする。

やっぱり計算不能な関数を扱うのは無理なのかなぁ。

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|　 電波が強すぎます｡. ｜
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　　　　どかーん！　 ＿
　　　　　　　从";从 /||__|∧，
　　　　　　(( ; ;"､; :（Ｏ´Д｀）
　　　　 ((;";从．")と ))　　))つ
　　　　　｀;Ｙ ;"､ Ｙ ﾉ　ﾉ　ﾉ
　　　　　　　　　　（_ノ､_ノ

結局、計算不能なビジービーバーがもし計算可能だったら、なんてことを考えるのは、
１≠２だけどもし１＝２だったら、見たいなことを考えるようなものなのかも。
１＝２としてもそれはそれで意味のある論理体系が構築できるのかも知れないけど。
ビジービーバーを認めてしまえば可算や非可算の意味も違ってきてしまうんだろうなぁ。
そんな気がしました。

最初は公理を追加するっていってたのにいざ、ビジービーバーを導入したら、
アレッ公理を変えることになるのかと驚いてるなんて漏れもたいがい間抜けでつね。（＾＾；

まとめるとこういうことのようです。
ビジービーバーという公理を追加することで実数の隙間を作ろうとしたら、
それにあわせて実数のほうも強力になって、やっぱり隙間は出来ませんでしたと。
というか、実数というのがどのような公理系でも共通のものというわけでなくて、
その公理系において隙間の無いものが実数と呼ばれると。
こういう理解が正しいわけですね。

この勝負、漏れの完全敗北といえよう（TT)。

最後に教えていただきたいんですが、対角線論法はどのような公理系でも通用する、
スーパーウルトラ超絶メタ数学手法である、という理解は正しいですか？

あ〜でも追加した公理が1個だけだったのがまずかったのかな？
もっと沢山の公理（多分それは有限じゃない）を追加したらもしかしたらもしかして…

>ビジービーバーという公理を追加することで実数の隙間を作ろうとしたら、
>それにあわせて実数のほうも強力になって、やっぱり隙間は出来ませんでした
意味不明、というかこの書き方だと公理系も実数の構成も全然理解してないな
本人だけが俺は理解してると思いこんでるフシがあるが

>実数というのがどのような公理系でも共通のものというわけでなくて、
>その公理系において隙間の無いものが実数と呼ばれると。
これもまた意味不明、公理系も実数の構成も全く理解（以下同文）

>こういう理解が正しいわけですね
悪いが一連の書き込み群で君の主張に正しいものを見つけるのが困難。
というか君はおそらくビジービーバー関数も計算不能の意味も理解してない。
こういう理解もへったくれもない、おそらく数学に関する君の理解はほぼゼロだろう。

>対角線論法はどのような公理系でも通用する、
>スーパーウルトラ超絶メタ数学手法である、という理解は正しいですか
上の書き込みでも指摘されているが、君はメタ数学がどのようなものか全く理解
してないね。Aが何であるかを理解してないのに「○○はAである」と主張するのが
いかに馬鹿げた主張であるか、それくらいはわかるかな？

>>814
ま、漏れが正しく理解するまで814が親切に間違いを指摘してくれるってワケでもあるまいし、
漏れ的にはひと段落着いちゃったし、漏れはこの辺で退散するよ。
つり銭間違えないくらいの算数ができれば生きていけるしね。

814がこのスレを盛り上げてくれるってなら、漏れの間違いをバンバン正して
実数とは何か、ビジービーバーとは何か、大いに語って欲しいね。
じゃ。

まあ、ここ数日間楽しかったよ。
突っ込みどころは沢山あるだろうから、数学的な鋭い突っ込みを期待したいね。
せっかく一生懸命書き込んだんだし、単にスルーされるよりはね。

そんな初歩のことはみんな理解してるから突っ込みなんぞ不要
わかってないのは馬鹿一人だけ

というか、
まともに説明したとしても、勝手にトンデモ理解されるの確実だから
説明する気も起きないよな。

自然数から順に実数の構成なんて難しくも無いのに、何かわけのワカラン理解してるし。

うーん。漏れを正しい道へと導いてくれる親切な人は現れないか。
まあ、いいや、そのうち親切な人が現れると信じてもう少し漏れの
脳みその中を垂れ流しておこう。

そもそも、漏れがやりたかったのは計算不能な関数を理解すること。
チューリングマシンの停止問題やら、ビジービーバーやら、
実数を列挙する方法だとか。

多分、今までの数学を使ってたんじゃ、計算不能な関数は理解できない。
だから新しい数学がほしかった。

そして実数。実数は「俺様は完備だからどんな計算でもまかせておけ！」
とかいうけど、漏れがやりたいのは計算不能な関数。
そのときもお前は完備でいてくれるの？てのが疑問としてあった。

で、普通の数学は加減乗除を基本として成り立ってる。
これを加減乗除プラス、ビジービーバー関数とその逆関数を基本として
新しく数学を作り直せないかなと思った。

今のところ、ビジービーバー関数を認めてしまうと、
そもそも自然数の定義からして揺らいでしまう気がしてる。
まず自然数を作り直して、有理数を作り直して、実数を作り直す。
そのとき、普通の実数とビジービーバーありの実数は同じものになるだろうか？

そして、仮にそうやって数学を作り直せたとしても、
肝心のビジービーバーがよくわかってないんだから、
出来上がったものもやっぱり役に立たないでしょ、てのもある。

全然、取り留めのない話になってしまったけど、今のところそんな感じ。

お前の脳味噌の中身は屁の役にもたたないな

お前は「最後にする」とか「この辺で退散する」とか言わない方がいい。どうせすぐ気が変わるんだから。

>>821
じゃ、しばらく居つかせてもらいますｗ

ビジービーバーだけ１変数関数てのはバランス悪いな。
なんとか２変数関数に拡張できないかな。
それも交換則が成り立つ奴。

そういや、掛け算には素因数分解って概念があるなぁ。
ビジービーバーにもおんなじ概念があるんだろうか。

公理を追加するとより強力な公理系が出来上がる。
公理系の強さを数値化することはできないのかな。
また、公理を追加するという行為を定式化できないかな。
あるいはビジービーバーが行っている演算が公理を追加するという意味だと解釈も出来るのかも？

漏れの野生のカンがそういっているｗ

ビーバー君はどこからつっこんで欲しいんだ？

ビーバー君とか勝手に名前付けんなｗ
まあ、端から突っ込んでいっておくれよ。

そうだ。
今、一番気になってるのはビジービーバーを認めるとほんとに自然数の定義が変わっちゃうの？ってところ。
自然数はペアノの公理で構成するらしいんだけども漏れはこれについて全然知識がない。
親切なだれか漏れに知恵を授けておくれ。

>>827
>自然数はペアノの公理で構成するらしいんだけども漏れはこれについて全然知識がない。

なんで現代数学の知識が無いのに、今の数学を否定できるような発想になるんだろ？ｗ

否定できるってのは、現代数学に熟知してから初めてできる事なのにね。

>>828
>なんで（以下略）
答えは簡単で
「既存のモノが理解できないから否定したくなる」
理解できないのは自分の頭が悪いせいじゃなくて既存の〜が間違ってるからだ！そうに違いない！

甘やかされて育った実力過小＆自尊心過多な輩がトンデモになるパターンといってもよい。

定義すら書いてないトンデモ関数使って、
>自然数の定義が変わっちゃうの？
って意味わからんだろｗ

まともに答えて欲しかったらそのトンデモ関数の定義かけよｗ

>>828
現代数学を否定しないと次のステップにいけない、という発想はそもそもゲーデルが言い出したこと。
ゲーデルは現代数学を熟知していたと思う。
漏れはゲーデルの言っていることを鵜呑みにしてるに過ぎない。

>>829
既存のものが理解できないから既存のもの否定したくなる、ではなく
計算不能という新しいものが理解できないから既存のものを否定したくなる、
と受け取ってもらえれば。

>>830
確かに定義はできてないです。
漏れのいる場所は、漏れの目指すゴールからあまりに遠い。
まだ、足りない物だらけだ。

そんな中で、わかってることといえばビジービーバーが計算不能だということくらい。
そして、集合の濃度が等しいということが一対一対応が存在するということであれば、
ビジービーバーを認めることで、集合の濃度の定義が変わってしまうのでは？
これが漏れのスタート地点だ。

漏れの行く先にあるのは計算不能をも記述する新数学なのか、
はたまた、完全に破綻した何も生まないごみなのか。

それはわからんけど、迷わず行けよ、行けばわかるさ。

行かずともわかる

ただのゴミだ

通常の数学は有限の公理から始まって有限ステップの推論をつかって１００％確実な結論を導き出すんだよねぇ。
漏れがやろうとしてることをやろうとすると無限の公理から始まって(始まれると改定して）
無限ステップの推論を使って（使えると仮定して）、曖昧な結論を出す、ということにしかならんような気がする。
人間の脳みその中では、あるいはそのような現象がおきてるのかもしれないけど…

数学の目的が自分の主張を相手に１００％認めさせるためにあるなら
漏れのやろうとしてることは数学じゃないってことになるのか？

やっぱりゲーデルの示した数学の限界は本当に数学の限界で、
それを超えてしまえば数学じゃなくなってしまうってことなのかなぁ。

お前の貧相な脳ミソのキャパを超えてることに何故気づかない？
自分の限界をわきまえずに数学の限界を思索しようとは臍が茶を沸かすわｗ

つか推論を無限STEP使うと結論が出ないじゃねーかｗ
馬鹿にも程があるぞｗ

ビジービーバー他計算不可能なものは、通常の数学で存在を証明でき、普通に数学で扱えます。
実際、普通の数学で、計算不可能性について研究をすることはでき、昔からいろいろと行われています。
なので、ビジービーバー等を公理に加えても、全く何も変わりません。

（それどころか、ビジービーバーは、通常の数学で存在を証明できるもののうちでも
相当簡単な部類に属すことが知られています。
通常の数学の公理系より遥かに弱い体系（たとえば ACA_0等）でも、
ビジービーバー関数の存在が証明できることが知られています。）


また、濃度の定義でも、全単射には計算不可能関数を用いることが許されています。

自然数との間に、計算可能な全単射があるものについては、
単に「可算」というだけでなく、「recursively enumerable」と呼ばれます。
「recursively enumerable」なものは、可算なもののうちの極々一部です。

お、ついに親切な人あらわる。
まずはありがとうとお礼を言っておきましょう。

普通の数学で計算不能なものを扱えるとはどのような意味でしょうか。
たとえば、ビジービーバーの性質を１００％解き明かすのは無理でも
５０％くらいなら解き明かせるかもしれない、ということでしょうか。

質問する前に定義くらいは確認しろ
お前は定義すら理解してないだろ

大雑把に言うとサイズｎのプログラムが出力できる最大の数がビジービーバー関数であると理解しています。
厳密な定義はチューリングマシンを使うようです。

それで当然停止問題くらいは理解してるんだろうな？

停止問題は与えられたチューリングマシンを走らせたとき、
停止するかどうかを判定するチューリングマシンはない、ということです。
証明は自己言及、対角線論法がポイントになるようです。

そのググって拾ってきたような解説は…、全然定義も周辺事情も理解できてないだろ！
>チューリングマシンを使うようです
>停止するかどうかを判定するチューリングマシンはない、ということです。
>ポイントになるようです。
もっと勉強しろ！と言いたいところだが、一連の書き込み見てるとと
絶望的にセンスがなさそうなので数学の勉強は諦めた方がいい、としか言えないな。

漏れが理解できてるかを証明するというのは難しい問題です。
チューリングテストのようなものでしょうか。

そりゃ伝聞調で書いてる時点で理解してないとみなされるわな

話の流れからすると>>840の意図は停止問題とは何かということじゃなくて
ビジービーバー関数との絡みを理解してるか？ってことだろうし。
それに対して>>841のようなレスをするようじゃビジービーバー関数の計算
不可能性も全く理解してないと判断するのが妥当。

そうだ。
もう一つ聞きたいことがあったのですが、チューリングマシンとはなんとも奇妙な装置です。
あんな奇妙奇天烈なものを偶然思いついたとは思えません。
論理的な裏づけがあってのことだと思います。
それは一体なんでしょうか。
また、あの奇妙な装置がなぜ、我々の手にしうる最高のものだと確信できるのでしょうか。

ビジービーバー関数と停止問題の絡みもググればでてきてしまいますが、
ようするに、大雑把に言うとあるサイズｎのプログラムを走らせてみて、
実行時間がBB(n)の値を超えてしまえば停止しないと判定できる、ということです。

だからググってる時点で「自分は理解してませんよ」と表明してるのと同じだ

結局はチューリングテストが孕む問題を解決しない限り水掛け論だと思うんですが。

とういか、長文書かなくていいから、
定義と定理とその証明かいてくれｗ

何も定義せずに（未だになんとか関数の定義が無いｗｗ）
何か言われても、誰にも理解なんてできんだろう

そもそもビジービーバー関数を最初に定義したのは漏れじゃありません。（当たり前だけど）
ビジービーバー関数の定義はとりあえず、>>839ということで理解して置いてください。
議論のうえで厳密な定義が必要になったときはまたそのとき考えましょう。

そもそもお前が理解してないものを他人に「理解しておいてください」
なんてのは滑稽だと思わないのか？

>自然数との間に、計算可能な全単射があるものについては、
>単に「可算」というだけでなく、「recursively enumerable」と呼ばれます。
>「recursively enumerable」なものは、可算なもののうちの極々一部です。

recursively enumerableなものと可算なものが数としてどれぐらい違うか、
ということについて何かわかってることがあるのでしょうか。

ビジービーバー関数の定義なんてググればいくらでも出てくるだろ
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Busy_beaver

>>852
その辺の話なら、
Computability theory（計算理論）
Recursion theory（昔は帰納的関数論と訳されていたが、最近は再帰理論と言うらしい）
Descriptive set theory（記述集合論）
あたりで既に研究され尽くされてるぞ。
可算集合の分類はかなり深く研究されているから一言で書ける話ではないが、
上に書いたような分野の専門の本を漁れば、可算集合の分類については詳しく載っている。

>>850
その厳密な定義を書けよｗ
イメージだけの定義じゃワカラン

>>855
>>853

>>856
英語読むのメンドイ
日本語でplz

age

R^2 と R の間の全単射写像って
例えば f: [0,1]^2 → [0,1] を
f( 0.x1x2x3..., 0.y1y2y3... ) = 0.x1y1x2y2x3y3...
とするみたいに無限小数を使って構成するの？
(この例は、0.0999...=0.1000...によって単射じゃないっぽいけれど…)

>>859
ペアノ曲線っていうので構成する。

すいません。教えてください。
自然数を１から順に並べていった列を考えます。
さらに、これを適当に並べ替えて出来る列からなる集合（つまり自然数全体の順列の集合）を考えます。
この集合の濃度は実数の濃度と等しくなるんでしょうか。

そうなるよ

具体的な全単射の構成方法はどうすればいいですか？

0から9を並べた数列の全部を集めた集合は実数濃度と等しくなるのは自明
それと861で考えた集合と比較すればいい

すいません、まだ良くわかってません。
そもそも、実数や自然数全体の順列というのは列挙不能なわけですよね。
比較する、といわれても一つ一つ検証するわけにも行きませんし、
列挙不能のものをどう比較すればいいでしょうか。

列挙不能なら比較できないんじゃないかって…

もともとの定義を考えればわかるだろ、比較するには単射とか全射を考えるだけだ。
列挙する必要なんかない

自然数の順列というのがなかなかイメージが沸かないんです。
たとえば自然数を降順に並べる、なんていうことが可能なんでしょうか？
でも、今のところ自然数の順列はR＾２になるような気がしてます。
R^２とRの濃度は等しいから自然数の順列と実数の濃度は等しい、ということになりそうな気がしてるんですが…

そりゃお前のイメージが貧困なだけだ

もっというと
>たとえば自然数を降順に並べる、なんていうことが可能なんでしょうか？
こんなお馬鹿な疑問が出てくる段階で論理性も貧困なことが分かる

>でも、今のところ自然数の順列はR＾２になるような気がしてます。
>R^２とRの濃度は等しいから自然数の順列と実数の濃度は等しい、ということになりそうな気がしてるんですが…
随分とおかしな回り道だが、なんでそう思うんだ？
まさか勘とかじゃないだろうな。