バナッハ・タルスキーの定理を信じられますか？

バナッハ・タルスキーの定理

大きさの異なる２つの球体KとLを考える。Kを適当に
有限個K1、K2、．．．、Knに分割し、K1、K2、．．．、Knの
それぞれの形を変えずに適当に隙間なく組み合わせなおすと、
Lを作ることができる。

実際に証明されている定理なわけですが、明らかに有りえない定理です。

n

明らかにありえないことを証明してほしいものだ。

体積が変わってしまうけどいいの？でもそれは変だよね？

体積じゃなくて面積だけど、別に変ではないだろう。
「分割しても面積は変わらない」というのが思い込みだった。というだけで。

半径１の球面をバナッハタルスキー分解して、
半径２の球面するやり方を教えれ。

>5 わからん、思い込みなのか、、ﾘｰﾏﾝ積分って細かく分割してから集めてそれを面積ってしてなかったっけ？

>>7
それは極限の問題だろ。今は有限の話だ。
>>6に答えろ。

>>7
分割のしかたによらず、ある一定の値が定まるときに、その値を面積と呼ぶ。
バナッハタルスキの場合、上の意味で面積がない（正確にはルベーグ可測でない）
図形に分割するので、そういう議論はなりたたん。

>8 って事は無限個に分解すれば、面積はかわらんが、有限個に分解すればいくらでも面積違うものがつくれるって事か、、不思議だな

>9 なるほど

>>8
ぐぐれ。"banach tarski"とかで。

三次元だから体積でいいんだな。面積じゃないや。ｽﾏｿ。

しかし、コレは事実しっかりと証明されてるんだよなぁ。
知ったときは衝撃をおぼえたよ。

つーか、二次元だとバナッハ・タルスキー成り立たないだろ

ノンメジャーラブルだからなんとでもいえる。

でもこれって選択公理を前提として証明されているんだよね？？

もしこの定理が現実に成り立つとしたら全ての物質は点の離散的集合って事になるんじゃないの？

U=Q+(R-Q)
S=CosetU
P=S+Q
R=[0,1)=UP
m(S)<∞->m(R)=1=Um(P)=Σm(S)->∞
m(S)=0->m(R)=1=Σ0=0

バナッハタルスキのスレって無かったのか。意外

パラドックススレで十分じゃね？

（　゜Д゜）　バナッハ！！！

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　タルスキー？　（゜д゜　）

選択公理を使わないで、バナッハ・タルスキの定理は
導けるの？

導けないけど、選択公理を認めなかったら無理数は存在しなくなる和名

つーとだ、

「現実世界では考えられない（かと言って不可能は証明できない）」
といっても、バナッハタルスキの定理は数学上正しいんだろ？

相対論が日食で初めて正しさが認められ始めたように、
何か現実的な問題に結びつけないかな？

>>22-23
選択公理より弱いハーン・バナッハの定理から
バナッハ・タルスキの定理が導かれることがわかっている。

talk:>>23 実数の集合が存在する以上、無理数も存在する。

論理的に矛盾しなければ数学では"非常識"も定理になるということで..

>>25
選択公理より弱いハーン・バナッハの定理て、どないなもんでっしゃろ？

>>26
んな、むちゃくちゃな。実数はどだい無理数を含んでまんがな

talk:>>28 1,2,5/2,8/3,65/24,…という数列(∑_{k=0}^{n}(1/k!)によって数列を作る。)は有理コーシー列であり、極限は有理数でない。

別に信じなくてもいいんだよ。そのロジックで行くとそうなるなって納得すれば
いいだけです。意味不明なんだよな、なんか。ピタゴラスの定理を信じますか？

>>29
誰だお前

√2は選択公理がないと構成できないことの証明きぼんぬ。

＞GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w

こいつは数学をちょっと齧った程度のようだ。
知識の断片だけを吐き出したり飲み込んだりして、
思考が伴っていない（笑）。

talk:>>32
x^2+2x-1の根がx=-1±√(2)なのは理解できるだろう。
適当な初期値を与えてx→(1-x^2)/2という変換を繰り返せばxが-1+√(2)に近づくことも分かるだろう。
すると、適当な初期値を与えてx→(1-(x-1)^2)/2+1という変換を繰り返せばxが√(2)に近づくわけだ。
こうして√(2)に収束する有理数列ができる。
一体何を考えている？
talk:>>33 そんなことを書き込んでいる暇があったら何か数学の話題でも出したらどうだ？

＞talk:>>33 そんなことを書き込んでいる暇があったら何か数学の話題でも出したらどうだ？

お前が出せよ、馬鹿（笑）

talk:>>35 君は有理数列の話題が既に出ていることにも気が付かないのか？

>知識の断片だけを吐き出したり飲み込んだりして、
>思考が伴っていない（笑）。

山口人生とか松本真吾みたいな
トンデモよりはマシだろう

有理数列有理数列って五月蝿ぇなぁ（笑）。

>>29で何が言いたかったの？（笑）。

>>34

お前は本当に空気読めない奴だなあ。>>32は>>23,>>28に対する質問に決まってるだろうが。

ビー玉みたいな球を想像するんではなくて、点の集まった「群」みたいなもので考えろ、と
何かの本で読んだ気もするが、それさえよく分からん。眠いし。

>>32
実数の集合から(-∞,√2)を引いた集合は、選択公理を認めないと整列できない
から最小元が存在しない。つまり√2は存在しない。

って、どうよ？

というか「√2が構成できない」という
ステートメントの意味が分からないわけだが．
数学では「〜出来ない」ことを示すには
まず「〜出来る」ということの意味を
厳密に定義してしまわないといけない．

talk:>>34 お前誰だよ。

選択公理を認めればこの手の直観をくつがえす定理は
いくらでもつくれる

別にたいしたことではない

そもそも直観に反してなどいないが。

>>23
うそつくなよ馬鹿

>>37
それをいうなら
「山口人生とか白石誠人みたいな
　トンデモよりはマシだろう」
だろ（ｗ

有理数集合の完備化として無理数集合を定義するには選択公理は必要としない。

>>42

ZFで、√2を含む有理数体の拡大体を構成できるかどうか。
或いはもっと一般に実数体を構成できるかどうか。

>>47
山口人生とか松本真吾とか白石誠人みたいな
トンデモよりはマシだろう

pdfファイルでお願いしたいけど、
バナッハ・タルスキーの定理の証明を書いた論文
あるいは何かしらのものって無いですかね？

興味が沸きすぎている〜〜〜〜！

>>51
ttp://suuri.sci.ibaraki.ac.jp/~yamagami/btp/btp.html

なんつーか証明のキモはなんなの？
ひとことでいってしまうと？

>>53
洗濯高利

まさか選択公理を知らずにいきなりバナッハ・タルスキーの定理に臨んでいるわけではあるまいな？

球を有限個に切るのに
どこに選択公理が入る余地があるん？
説明してみ

有限個に切るところではなく
そのとんでもない切り方が選択公理から保証される

>>57
だからどういうふうに切るんだよ？

どうせおまえもわかんねんだろwwwぷ

これは体積だけの理論なの？二次元とか一次元もしくはより高次元に拡張されないの?

>選択公理より弱いハーン・バナッハの定理て、どないなもんでっしゃろ？

>Hahn-Banach Theorem
>A linear functional defined on a subspace of a vector space V and
>which is dominated by a sublinear function defined on V has a
>linear extension which is also dominated by the sublinear function.
>http://mathworld.wolfram.com/Hahn-BanachTheorem.html

よくわからんが、y=2xって長さ1のものを2に伸ばしたようにも見えるんだが、、でもこれは有限個分割では無理そうだな、、有限個分割ってのが１番不思議かも 逆に無限分割なら何次元でもどんな形でも濃度同じなら可能って事か？

証明で実際の分割の構成方法はあたえているんだろうか？

5個に分ければ良いというRobinsonの定理とかがあったような

ただ，分け方で，例えば無理点とそれ以外の二つ、みたいな類の
むちゃくちゃなことするから，普通に切るだけじゃ無理ですね

>>62
選択公理のところで構成できなくなるに決まってる

リンゴを包丁で切るような考え方でいると無理。
集合を適当に分割して、それを合わせて別な集合を作ると考える必要がある。

>>64
は？
そんなに反則じゃん

たとえば2倍の球にするには
部品をそれぞれ2倍にすればいいという話でしょ？

あたりまえじゃん

2倍するという動作は合同変換に入らない。
あくまで分割するのと合同変換だけで同じ球をもう1つ作る。

>>59
1 次元と 2 次元ではパラドキシカルな分割ができないことが選択公理を使って
証明されている。一方で、球面や非ユークリッド平面では可能。

どうもわからない

普通の言葉でいうと
どんな分割のしかたをするわけ？

選択公理って事は点毎に分割すんじゃね？
そんでまた組み合わせるんじゃね？
で体積変わっちゃうんじゃね？

>>69
それじゃ有限個じゃないじゃん

点を無限に選べばいいんじゃね？
その点毎にある集合とんじゃね？

>>71
馬鹿かおまえは
有限個の分割だっていってんだろ
ころすぞテメエ

無限がどっかでなんらかの形で出てこないとそうはならんだろう？

>>68
だからさ、普通の言葉で表せるようなまともな形状での分割じゃないんだってば。

ここまでのをまとめると、有限個分割というのが、この定理のﾎﾟｲﾝﾄであり、一般の1次元や2次元では不可能なようだ、、て事で今後はこの有限個分割をどのようにイメージしたら、この定理がしっくりくるかに焦点を当てﾚｽしましょう

一般の1次元や2次元って言うが、その二つだけが例外なんだぞ。
あと、イメージできたら構成可能じゃね？

構成するイメージは無理でも、、この定理の証明の核は選択公理らしいけど、それをどこで使うのかとか

可算個に分割すると、パラドキシカルに思わないんだろうか
（これなら簡単に書けるんだけど）

非加測集合の存在
R を可算個の合同な集合に分割して、
区間 (0,1) に重なり合わないように並べ替えることができる

どっちにしろ選択公理がないと無理なのでは。

選択公理がない足し算

φ+φ=φ

これが信じられないってのは、
文系とか工学部の数学音痴に多いな

選択公理が間違っていることを示すために生まれたのがこのパラドクス。
現実には
「間違っている」と捕らえるより「選択公理は非直感的な性質をもつ」と納得した数学者が多いようだ。

ということは、証明したバナッハやタルスキはこれを信じてなかったって事だな。
バナッハやタルスキは数学音痴だったんだな。

選択公理を使っている数学の本は、
どれも間違ってるのかぁ・・・
数学者って何やってるの？

選択公理を認める公理系と認めない公理系がどのようなかかわりを持つか研究してる数学者も結構いるよ

楽しい世界では決してないよな・・・

選択公理からは直感に反する結果が出るけど、
別に選択公理が間違ってるわけじゃない
つーか、ZFC(= ZF+選択公理) は無矛盾です

ZFの無矛盾性を仮定すればな。

バナッハ・タルスキに不安を覚えて、選択公理を排除する、
ってのは、拠り所が直観なのか論理なのかよくわからんなぁ。
物語としては面白いんだが。

選択公理は通常の有限では構成できない事の存在を保証している。
これを使うって事はだから、有限構成はできないけど存在を保証するって事を
どっかで使っているはずだ。だってそうでないなら、普通に有限で構成すれば
いいじゃんって話だ。
だから、構成するイメージができるなら、選択公理を使う必要はないし、
使っているしこれが肝ならば、有限構成するイメージは得られない。

要素が有限でもいくらでも無限は使える。分割の仕方とか、etcで、、、。

まあどう考えたって選択公理はいんちきだよな。便利だから使うけど。

たしか¬ACとなる公理を何か取ったら
R^2が可算個の"直線"の和集合になる，という
定理も出てこなかったっけ？
これはこれできついような

http://sun.dhis.portside.net/~sakira/QT/Ritsuko/S2.html

何このサイトのバナッハタルスキーの定理

使わないと極めて不便って事が、
正当性を保証してるんじゃね〜の？

ツォルンの補題についても語ろうぜ

>>94
まあそういう考え方もある。

>>93
現実の物質はルベーグ非可測には分割できないんじゃないの？

公理を排除する時間があれば、
有益な公理を追加する、
数学はこうじゃなくちゃイカン！

誰か証明の概略載せてくれ、そうすれば何らかの手掛りが得られるかも、、これが当たり前と思える奴は数学的ｾﾝｽがあるようなｷｶﾞｽ

バナタルを信じられないアナタは、とってもピュアな人。
選択公理を信じられないアナタは、とっても疑り深い人。
その二面性が僕は好きだ。

>>99

>>52のサイト嫁。

>>93
絶対管理人分かってないな、、

>>99
あまりないかと．
ただ，そういうことも起きるさ，別に変なことじゃない，
というセンスはあるかと．

>>99
>これが当たり前と思える奴は数学的ｾﾝｽがあるようなｷｶﾞｽ

それは分からんが、これがおかしいという方は
数学的ｾﾝｽが無いパターンが殆どだな。

>>93
ﾜﾛﾀ

球体内の点の濃度が同じだから、って感じもしないわけではない。

でも一次元、二次元も濃度は同じだから関係ないか。

このスレで「どういう形に分割するんだ？」とかいってる香具師は、
測度についてまず勉強したほうがいいような気がする。

そもそも、有限個に分割、と言っているが
自然数全体のなす集合は無限集合だけども、奇数と偶数で分ければ
２つの集合に分けることが出来る。

そう考えると、非加算個の点をバラバラにしておいて、
そのバラバラな点を或る性質に基づいて有限種類に分類しておいて
適当に繋ぎ直せば、元の集合体より大きくなる（実空間で）、っていうなら
なんとなく「成り立つかも」と思ってしまう。

>>107
部品は連結じゃなくていいのか？

連結はいくらなんでも無理じゃないのか？

選択公理を認めれば…が成り立つ、ってのが定理だろ？多分
正しいんじゃねーのか？

選択公理が正しいか、どうかは知らんよ。ｗ

>>110
ぱぷー、いくらちゃんです

連結してるから「分割数5で必要十分」って言えるんだよ

あ，そうなんだ．

そうなの？
合同変換で独立に動かす必要があるのが５個、という意味ではなくて？
知らないから確認したいんだけど。

>>112
必要十分の意味が分からないのだが、、

ご免、わかりました

数学的センスって何？
どんなに優秀な科学者でもこれが直感的に成り立ちそうだと確信してしまう頭脳を持っている人間なんてほとんどいないでしょう
いたら是非あってみたい　なぜにこれが自明と感じられるのか
証明をおってるうちにこの定理の核心・イメージが出来上がっていってああたしかに成り立つなという納得・感覚的理解はありえても証明という論理が与えられない限り彼らの頭脳にこの定理のイメージはまったく浮かばないはず
それでこの定理が直感的に理解できないというやつは数学的センスがないっていうのはまったくもって意味不明
そもそも証明した人自体が直感的には明らかと感じていないのになぜその他大勢が直感的に明らかとなるのか
僕の問題にしてる直感的に明らかというのは証明をよまなくても感覚的に理解していてしかもそれが他人に説明できるレベルの話です
数学的センスを持っていたとしても証明を読まなかったとすれば
数学の世界にこういうことは起こっても仕方ないという認識程度で終わると思います
それにこの問題がおかしいと思うのは数学の世界を体験したことがなければ自分の体験・現実世界と比較するのでおかしいと感じるのは当然だし
それで数学的センスがないという結論を下すこと自体頭がおかしい人間の証明かと思われ

ただ一つ疑問なのは
予想としてこれが成り立つ可能性があって示したのかそれとも偶然見つけたのかで意味合いが全然違ってくるということです
前者ならそもそもある程度直感的にこの定理を理解していた人間が存在することを意味します
実際の分割がわからないのにこんな自明でない定理の予想が立っているわけですから
多分前者でしょう

あと選択公理ということがまったく理解できていない知恵遅れレベルの高校生が書き込んでいるみたいだけど（たとえば>>56、>>58　晒しあげとく）
そーいう人間は馬鹿にしか見えないです
選択公理はすげーわかりやすく説明するとそーいう風にえらぶことができるよっていう権利です　それが公理という前提として与えられた時点で疑問の余地はないです
そんなことすらもわかっていないなら書き込まないこと

分かりやすい改行もせずに書き込むのは止めて貰えませんか

それに公理だから疑問の余地がないというのはおかしいと思いますが
公理にも自然な公理とそうでない公理
（たとえば¬ACなどは不自然ですね
その十分条件のADなら自然かもしれませんが）
があるのは一般的なコンセンサスだと思いますが

>>117
お前さんには、命題が明らかか
そうでないかの二通りしかないのかい？
例えば、証明は分からないが、否定を証明する事は絶望的だな、
とか感じた経験は無いのかい？

こんな集合論的な命題を見て、
現実世界の直観と対比するのがズレてるわけで。

√(121) = 11

たぶん>>117はstream of consciousnessの技法を使っているんだろう。

んなわけないか。

ｿﾚだ

この定理の可能性を考える為に、
高橋留美子はらんま１／２を執筆したのである。

非加測集合の存在
R を可算個の合同な集合に分割して、
区間 (0,1) に重なり合わないように並べ替えることができる

↑
これ教えて

×非加測集合
○非可測集合

減点 -1

>>125
R上の同値関係 〜 を、x〜y ⇔ (x-y)∈Q で定義する
(Q は有理数全体の集合)。
〜 による各同値類から、(0,1/2) に属するように、
選択公理で代表元を取り出して集めた集合を V とする(V⊆(0,1/2))。
V を q(∈Q) 平行移動した集合を V[q] とする (V[q] = {v+q|v∈V})。
q≠r なら V[q]∩V[r] = φ は明らか。

∪[q∈Q]V[q] = R
なので V と合同な集合を可算個集めて R にできる。

一方、
V[1/2]∪V[1/3]∪V[1/4]∪… ⊆ (0,1)
なので V と合同な集合を可算個、(0,1) に重なり合わないように
配置できる。

100点。合格

現実に存在する集合は加速なので、人間の感覚では矛盾に見えるのだろう。
すなわち”大きさ”という概念は加速集合にしかあてはまらないので。

一応突っ込んでおくけど、加速じゃなくて可測だよな？

>>109-114
F.ル・リヨネの「何だこの数は？」p.94によると、
「さらに1956年、T.J.デッカーとJ.ド・グローはこの分割のどの部分も連結であるようにできることを示した。」
らしいぞ。

>「何だこの数は？」
ずいぶんと面白い書名だな。

同一な物が出来るのは理解できるのだが、大きさの違う物が出来る事がワカラン。
中心を起点にして倍率移動？密度が満たされるのだろうか？

>>133
馬鹿かおまえは
倍率移動が許されるなら
分割せずにそのまま拡大縮小すればいいじゃないか
ばか

体積が定義できる、他の空間だとどうなんだ？
って、「体積が定義できる空間」の非自明な例知らんわ

はいはいイミフ

では結論、質量を持つ物質が、
非可算個の原子から成り立っているわけがないと言う事ね。

それを結論として持ち出す感性はあまりに貧しいと言わざるをえないなあ。

同感
でも物理学者なら>>137でFAとしちゃう人多そうだけど

集合を分割するのになんで質量とか物質とか考える必要が出るんだ？

>>140
「われわれの住む時空の話以外は受け付けない」って人だからじゃない？

これを応用すれば１万円を１０万円にできるような気がするが
そんなわけ無いよな。どういうことだ？
凡人にも分かるように説明してくる。

>>142
がんばれ

書き間違えた。
凡人にも分かるように説明してくれ。

つまりだな、1万円札を各々の面積が元の３分の２以上になるように１０
等分に切り分けることができるってことだ。３分の２以上あれば、万札
に換金してくれるんだろ？

>>145
2次元図形では無理だ

>>146
べつに一万円札１０枚とは言っとらんだろう

１０年位前俺は大学の数学科に所属していたけど、
バナッハ・タルスキーの定理なんて一度も聞いたことが無かった。

こんなに面白い定理なのに・・・・・・・

数学の世界での立体は点集合でできているのだよ。

R->R^2

>>146
1万円札には厚さがある

おいおい、これを信じられない以前に、まんこに精子を注入したら子供が出てくるほうが信じられんぜ？
人体も分割してるじゃん。

>>152
目の当たりにすれば信じられる。試してみれ。

>>1
信じられます

この定理、生命の起源をイメージすると
あり得ないこともなさそうな感じがするが。。。

>>155
詳しく。

　バナッハ・タルスキーの定理の証明で最初に驚いたのは、補題で
「1個の球を有限個に分割して、組み合わせなおすと、分割する前の球と同じ
半径の球を2個つくることができる。」
を示しているところでしょうか。ここで体積が変化しています。
　そして、そのキモは意外と簡単で、次のような群がキモだと私は思っています。
まず、a、a'、b、b'の4つの文字の有限文字列全体の集合に空な文字列を加えて、
さらにaa'、a'a、bb'、b'bなる並びはすべて取り去るというルールを決めます。
するとこのルールの下での有限文字列たちは群をなします。そのときの演算は、
2組の文字列に対して、それを単に1列に並べるという操作です。
その演算の計算例は、演算記号を＊として書くと
　　aba'＊ab'a=aba'ab'a=abb'a=aa
です。この群をWとして、この群を次のように分割します。
　　W=W(a)+W(a')+W(b)+W(b')+e
ここでW(x)は、文字xで始まる文字列（つまり左端が文字xとなる文字列）全体
の集合で、eは空な文字列のみからなる集合です。また記号+は単に
集合の和集合の意味です。記号∪を使わなかったのは、お互いに共通部分の
ない集合同士の和集合であることを強調したかったからです。
　さてW(a')の要素に左からaを作用させたもの全体の集合をaW(a')とかくと
　　aW(a')=W(a')+W(b)+W(b')+e
となるので、なんと
　　W=W(a)+aW(a')
同様に
　　W=W(b)+bW(b')
となるのです。つまり1つのWから2つのWが作られてしまうのです。
　あとは、この群Wを球に作用させ、その軌道(orbit)を考えることで
「1つのWから2つのWを作る」話を「1つの球から2つの球を作る」話に
翻訳します。選択公理は、このあたりで使用します。

なんとなく、自然数を奇数と偶数に分割するイメージのような気も．．．
ちなみに上記のWに同型な群はSO(1)、SO(2)からは取り出せないそうです。
n≧3のSO(n)からは取り出せるそうです。

('Ａ`)

age

>>157のおかげで何かが見えた気がする。まあ気のせいだが。

572

age

１５７さんの書き込みがちゃんと理解できないのが悲しい。
しかしこのパラドックスはそもそも「体積」のあるものが
「不可測」な断片に分解されるという部分の解釈がおかしい
のだとおもわれる。体積なら幾ら細分化しても可測だろうし、
不加測な断片に分解できるようなものなら体積とは言わない。
つまり誤った比喩が矛盾の感覚を生む。

バナッハ・タルスキーの定理は「定理」です。パラドックスと呼ばれるのは日常の感覚
からパラドックスのように感じられるからに過ぎません。
>>163
＞「体積」のあるものが
＞「不可測」な断片に分解されるという部分の解釈がおかしい
＞のだとおもわれる。
と思うのはあなたの勝手ですが、これは定理なのです。証明されているのです。
可測という言葉を使いながら
＞体積なら幾ら細分化しても可測だろうし
とおっしゃるあなたのセンスのなさには驚きです。自分のもっていらっしゃる日常の
感覚というものがいかにあてにならないのかの経験がないのでしょうか。
あなたがまだ高校生くらいなら、今後の研鑽によって修正は可能なのでしょうが
ある程度お年を召された方なら理解することは不可能なのでしょうね。

実は幾らでも伸び縮み出来る風船について考えてるだけなんだけどな、、空気を送り込めば幾らでも大きく出来るだろ？その操作と同じ役割を果たすのが有限分割ってだけの話

>>165
伸び縮みは無くても平行移動と回転だけで体積を変えられるって話なんだが。

面積などの計量が存在するとは限らない対象に対して
移動を合同変換に限ることにどれほどの意味があるんだろう。

何その後出しジャンケン

なんとか感覚的に理解できました。
球の性質だけで見ると可能だということでしょう？
現実世界にある球は球の性質以外の要素があるので不可能というだけでは？

>>169
＞球の性質
＞球の性質以外の要素
具体的には何？

知らんがなｗ
感覚的な理解に具体的な説明もとめんなｗ

まあ現実のボールはあくまで原子が有限個集まって出来たものだから
限りなく分割も出来ないし、合同変換で二倍にするのも不可能だよね

そういうことだな。
そういう現実の常識にとらわれない者が数学を発展させていくのかもな。

限りなく分割？

定期的に立つね、バナッハ・タルスキ。

648

149

979

不思議なこっちゃ

バナッハ・タルスキーの定理が、ＺＦＣだったけか何だかの公理系に
１００％依存しているものだとすると、その定理は誤りです。なぜなら、
ＺＦＣは誤った体系だから。ゲーデルの不完全定理を再考した結果、その
ような結論に至りました。感想よろ。

http://members2.tsukaeru.net/ogawa/gepara.html

>>180
スレ違いです。
こちらへどうぞ。
あなたの筆跡晒してみてよ in数学板
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1136737027/

k

i

n

g

age

talk:>>182 私を呼んだか？

745

二人の関係は？

>>186
お前誰だよ？

age

球体の点集合Ｖ、Ｗについて
Ｖ＝Ｖ1＋...＋Ｖn
かつ
Ｗ＝t1(Ｖ1)＋...＋tn(Ｖn)(＋はdisjoint union)
であるような点集合Ｖ1,...,Ｖnと回転移動変換t1,...,tnがある

ってこと？

これって要は石井のお弁当君ミートボール
ってこと。

拡大縮小だって点の間の写像としてみれば一対一だから
べつに体積が変わるのはよい

が回転と移動だけでどれをどれに写せるのかわからん
写像は有限個なのに選択公理はどう使われるの？

> べつに体積が変わるのはよい

とくにここが駄目駄目

最初からこのスレを嫁

測度ってのがいまいちよく分からない…
一般化した量みたいなものなんだよね？
例えば[0,1]の部分集合Aで、任意の実数a,b(0＜a＜b＜1)に対し、
[a,b]∩Aの測度が(b-a)/2になるようなものって存在するの？

>>194
A=[0,1], m(E)=λ(E)/2, E⊂[0,1]はルベーグ可測集合でλはルベーグ測度

とした測度mがお望みのもの。

>>195
分かりにくくてごめんなさい。
「[0,1]の部分集合Aで、任意の実数a,b(0＜a＜b＜1)に対し、
[a,b]∩Aのルベーグ測度が(b-a)/2になるような集合Aって存在するの？」って意味でした。

amenable

198 円均一

＾＾

caltech

バナッハして一時間以内にタルスキーされなければ逆説的群

>>194
Lebesgue積分ｾﾞﾐ
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1109910304/301

>>202
ありがとうございました。
似たような質問が出ていたんですね。
>>317の超準解析を使った手法って超実数の範囲では存在するってことですか？

banach

>>204
　　Λ＿Λ　　藤ｬ藤ｬ
　 （　・∀・）　　　|　|　ﾀﾙｽｷｰ
　と　　　　）　 　 |　|
　　 Ｙ　/ノ　　　 人
　　　 /　）　 　 < 　>_Λ∩
　 ＿/し'　／／. Ｖ｀Д?ｴ）/
　（＿フ彡　　　　　 　　/　←>>204

自分カコ悪いww

よくわからん。
整数を奇数と偶数に分けて、Z=O+Eとし、OとZは一対一対応があるし
EとZも一対一対応があるからZ=Z+Zとみなすことが出来るので
１＝２だというような感じの議論にしか見えない。

OとZが一体一対応があるどころか合同ですらある所がポイント

選択公理ね。靴下を色で分けてね。でもでもでも〜〜〜〜〜。
さいころでね、くじ引きでね、とゆーのは工学的にはあるのではないの？

ツェルメロンパンが来たよ〜〜〜〜〜。

バナッハは信じられるがタルスキーのおやじは信用ならぬ・：・

こんにちは。

こんにちわ。

>>211
あなたに１０００票

もしも、そういうことが成り立つのなら（つまりある集合の測度が
それと二倍の測度を持つものと合同？）、積分などにおける測度の
意味とかが怪しくなって来ないか？　単位球の体積が4/3πだと
思ってたのに、8/3πになったり、さらにその倍になったりとか
じゃあ、何を信じて良いのかわからない。

>>215 この世に信じられるものなどほとんどないことを忘れたか！！

馬は暑さに弱いので、樽に入った冷たい麦酒を
好むことを古来日本では「馬夏は樽好き」と呼んで
いた。これがこの定理の語源となったことはあまり
知られていない。
　　　　　　　民明書房「日本酒の語源は韓国ニダ」

最後は起源だったorz

>>215
測度の定義できない集合もあるってだけじゃねーの？

R^3で考えるからおかしなことになるんじゃないか？
例えばQ^3上で半径1の球と半径2の球は分割合同なのか？

>>215
証明を読めばわかるが分割された集合の形がルベーグ測度で測れるような
代物ではないことに起因してるからそういう問題は生じない

>>196って結局存在するの？
>>202を見てもよく分かんないんだけど。
あと>>220もぜひ知りたい。

>>222
>>196は、もしそんなAが存在したとすると、
Aの定義関数をTとして、向こうのスレの>>333
＞∫＿［０，ｘ］（Ｔ（ｘ）−１／２）ｄｘ＝０。
＞（２）Ｍが任意の区間のとき∫＿Ｍｆ（ｘ）ｄｘ＝０なら
＞ｍ（｛ｘ｜ｆ（ｘ）≠０，ｘ∈Ｒ｝）＝０となることを使う。
から、殆ど全てのxについてT(x)=1/2となって、
Aの定義関数Tが0でも1でもない値を取る事となり、矛盾。

「全角」の文章は埋め得る行間が空いてる。
ただ、背理法を使ってるという事とか
省略する必要性が感じられない事まで省略するのってどうなの？

>>220は他の人に任せた。

>>223
＞Ｍが任意の区間のとき∫＿Ｍｆ（ｘ）ｄｘ＝０なら、ｍ（｛ｘ｜ｆ（ｘ）≠０，ｘ∈Ｒ｝）＝０となる

これはどうやって導くの？

>>224
μ(E):=∫_[E]f(x)dxとすると、μは区間に対して0を取る測度なので、
測度の拡張の一意性よりμ=0 (あるいは単調族定理を使っても良い).
特にそれぞれ∫_[f^±>0]f(x)dx=0よりf^±=0 a.e. よってf=0 a.e.

226 事件

測度論が分からないと
この定理のもっともらしさはイメージできないのでしょうか

>>227
取り合えず自分で証明を読んでみて判断してくれ。
難しい概念は出てこないから。

測度論をよく分かっていない
自分でも証明を読む価値はありますか？

いや、証明自体には測度とか出てこないから大丈夫だよ。

選択公理胡散臭いって感覚にはなるかもな

なんで平面図形では成り立たないの？
θ度回転させて得られる点の集合云々は平面図形でも成り立つよね？

>>232
>>157

3次元では全ての立体に体積が定義できないけど、1次元や2次元では定義できるんだよね？
定義の仕方は一意に決まるの？

>>233
補題(一点を取り除いた図形の分割も同型)までは平面でも成り立つ
という理解で良いのかな？

>>234
>>125

>>236
いや、有限分割の話。

>>235
自分で読んだ方がはやいと思うよ

>>238
補題まで読んで飽きたｗ

>>237
(R^n とかの)全ての部分集合に測度が存在するかどうかを単に測度問題と言うことにすると

全ての集合に体積が定義できるかどうか(完全加法的測度問題)
と
有限分割してパラドキシカルな結果が生じるかどうか(有限加法的測度問題)
は別だよ

・R の完全加法的測度問題
反例 >>125 (Vitali 1905)
・R^3 の有限加法的測度問題
反例 >>1 (Banach, Tarski 1924)
・R, R^2 の有限加法的測度問題
肯定的 (Banach 1923)

最後の結果は誰か解説してくれ…

>>240
ありがとうございます。
3番目は一意に決まりますか？

Cの代わりにADを使うと全部ルベーグ可測になるんだよね
ADってどんな公理？

>>240
R^3よりR, R^2が先に証明されたのが意外…
普通に考えると反例を探すことより証明することの方が難しそうに思えるのに…

http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_determinacy
http://planetmath.org/encyclopedia/AD.html
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=axiom+determinacy&spell=1

集合論の授業とかでも、こういうことをやると面白いのにね
素朴集合論の範囲を微妙にオーバーするような気がするけど

いまいちよく分からない
もうちょっと噛み砕いて説明してくれると嬉しい　＞AD

集合とはなにか、にある説明を書いてみましょうか

決定の公理（以下AD）

二人のプレーヤー I と II が、ゲームをする
最初に I がK := { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }の中から一つの数を選ぶことにする
これをk_1とし、
k_1を見て II がやはり0,.........,9までの数を一つ選んでk_2とし、
これを見て I が0,.........,9の数を一つ選んでk_3とする
こうやってk_1, k_2,.......,k_5までの数を得る

さて今ゲームの規則を
(k_1,..........,k_5)∈A⊆K^5のときに I が勝ち、そうでないとき II の勝ちとする
このとき必ず I または II いずれかの必勝法が存在する.........(*)

（∵ I の必勝法が存在しない
⇔not [∃k_1∀k_2∃k_3∀k_4∃k_5 　　　(k_1,........,k_5)∈A]
⇔　　　∀k_1∃k_2∀k_3∃k_4∀k_5 not [(k_1,........,k_5)∈A]
⇔ II の必勝法が存在する）

この証明を良く見てみると5回でなく任意の有限回でもよく、
Kは一般の無限集合でよいことがわかる
ではnを可算有限回と拡張したとき、命題(*)の対応物はどうなるだろうか？
これが正しいというのがADである
正しいような錯覚がするが、これは実は間違っている！！！
Kがうんと大きな集合のときは反例が容易に得られるので
Kを高々可算の集合とすると、この命題の反例は今までのところ、
選択公理を用いて、対角線論法によらなければ作ることが出来ていない
したがってキチンと定義された集合に限定すればADは成り立つのではないか？
という考えがあり、実際この弱い形のADとZFとは今のところ何も矛盾も出ていない

ではどうしてADに興味を持つのか？
1. 弱い形のADでさえ、可測基数の存在よりはるかに（無矛盾性の意味で）
強い公理であり、この公理を仮定して得られた数学の定理が沢山在る
2. ADは実数についての公理とみることが出来、
実際この公理はある実数の存在とはっきり表すことが出来る
したがって実数についての新しい考えを見出す手がかりになるのではないか？と考えられる

以上のような理由でADの研究は一時非常に流行ったが、現在ではやや下火である

nを可算有限回と拡張したときのゲームってどんなのですか？

NWってどんな公理系？

age

無限回の反復操作の中に、矛盾を先送りしているのではないだろうか？

>>240の3つめって選択公理は必要なの？

>>252
使ってる

�d。
>>241は？

√(25)=5

√(256) = 16

banach

>>257
ﾀﾙｽｷｰ

ハドヴィガーの定理って何？

完全加法的測度が有限加法的測度より便利な点って、
積分と極限を交換できる以外には何かあるの？

バナッハ・タルスキーの定理（ＢＴの定理）を信じられますか？

これにはある意味での肯定と否定が最大限分かっています。
数学的には、ＢＴの定理が成立条件を数学的に容易すれば肯定される。
物理的には、現実の世界はＢＴが成立する事は決してないので、それが
肯定される成立条件を、現実の世界は採用しない。

バナッハ・タルスキーの定理（ＢＴの定理）を信じられますか？

これにはある意味での肯定と否定が最大限分かっています。
数学的には、ＢＴの定理が成立条件を数学的に容易すれば肯定される。
物理的には、現実の世界はＢＴが成立する事は決してないので、それが
肯定される成立条件を、現実の世界は採用しテイない事が分かる。

それは、実数濃度を現実の世界は採用していないのではないか？という事を
諮詢している。しかし、それはある精度で現実の現象を、実数濃度を物理量
に要求、それを記述するもの、に要求しても、有効理論として充分に記述して
いるという点は否定していない。

しかし、もっとも根本的な処で、数学的な意味での点、または、実数濃度を
現実の世界は、自然は採用していない事は、はっきりしてきている。その一例
であり、実数濃度を要求した形での現象の記述がある精度の理論構築で、破綻
する判例として、ＢＴの定理があると言われいます。

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ADって論理式ではどう書くの？

空行レス多いな

有限加法的測度だと構成不可能な集合の測度も求められるんだよね？

このスレ

　〜〜〜終了〜〜〜

信ずるにタル？

ZF+ADだとバナッハ・タルスキーの定理はどうなる？

結局Q^3で大きさの異なる球は分割合同なの？

>>273
整数論的な問題になるので多分無理

Q^3で考えちゃったら30°の回転さえできなくなるんでないの？

元々の定理の中で行なわれている合同変換がQ^3上の合同変換でもあるのなら
Q^3上でも定理は成り立つ。というか全部Q^3上の合同変換に出来た気がする。

>>276
>>52を読んだんだけど、

「gの回転角θを, θ∈(0,2π)＼Yとする. Yは可算集合なので, (0,2π)＼Y≠φとなる. よって, このようなθは存在する.」

の部分が成り立たないけどどうするの？

>>275
回転群を制限すればいいだけの話だろ？
制限したところで回数2の自由群は含む群であることには変わらないんだから。

>>52
気になってリンクに飛んだらリンク切れてるOrz
まだどこかに残ってませんか？

お前の責任だ

>>278
話はそんなに簡単なことではない。

>>281
どう簡単じゃないんだ？

>>279
googleだろうがInternet Archiveだろうが何処にでも残ってるよ

http://www-mi.sci.ibaraki.ac.jp/~yamagami/btp/btp.html
普通にサイト移転しただけだし。281のような回りくどい事言うなんて嫌らしいな

281→283

バナッハ・タルスキー問題(有限加法的測度問題？)って、3次や2次だけじゃなく
どうにかして非整数次元に拡張することはできないの？

古代中国において樽という名の現在のチューハイに似た飲料が好まれていた。
時の皇帝、馬夏はこれを好み、さらに樽を増やす方法を考案した。
それは樽を２分割し、それぞれの樽に工業用アルコールを混ぜることで
最後に元の樽よりも多く樽を作ることが出来る。
これを無限に繰り返すと無限の樽が出来るという画期的発明であった。
これが「馬夏は樽好き」転じて「バナッハ・タルスキーの定理」となったのである。
また、この定理はバナッハおよびタルスキーという数学者によって発見されたという
説があるが、全くのデタラメである。
このような虚説が広まった理由として、かつて馬夏という皇帝が存在しなかったことが
根拠としてあげられるが、そのようなことは些細な問題であり馬夏起源説を覆すには至らない。

　民明書房刊『小学１年生　さんすう』より

っていうか、ホリエモンもこの定理で金を増やしていたのは有名な話。
もちろん違法だから逮捕されたけど。
ばれない程度にやってれば、生きていけるよ(10万/月程度にしないと、ばれる恐れ大)。

（　ﾟДﾟ）＜バナッハ　タルスキー＞（ﾟДﾟ　）

>>287
日本語ネーミングな皇帝・・・

>>286
非整数次の回転・平行移動ってどんなんだい？

age

コホモロジー的に考察できる？

ａｍｅｎａｂｌｅと群のコホモロジーの関係を調べるということか？

2+√9=5

１億円をタダで自由に使ってしまう方法。
１億円借金をして、１年後に１億円を返すとXに云って
とりあえずその１億円を遊びなどに使ってしまう。
１年後にXが金を返せと云ってきたら、Yから１億円を借りて１年後に返すという。
そのYから借りた金一億円をXに返す。さて１年後にYは金を返せといってくるので、
Zから１億円を借りて１年後に返すという。そうしてZから借りた金をYへの
返済に充てる。。。。。。以下同様に永遠に未来に送っていけば破綻しないで
とにかく最初に借りた１億円は自分の物としてどうしても構わない。

以上の話は利息が無いから非現実的だというかもしれない。よろしおま、
ほなら利息もつけさせてもらいまひょう。

Xから１億円を借り、１年後に２億円を返すという。そうしてその借りた
１億円は使ってしまう（あるいは隠匿する）。
さて１年後にXは２億円をよこせといって来る。そこでYに２億円金を
貸してくれ１年後には４億円にして返すからという。そうしてYから借りた
２億円をXへの返済に充てる。１年後にYが４億円を返せといってくる。
そうしたらZから４億円を借りて１年後に８億円を返すと約束して借りた
４億円をYへの返済にあてる。。。。。。。。
これだと、最初に借りた金は自分の為に使いきってしまっていてもよく、
永遠に先送りしつづけることで破綻はしない。

貸してくれる人がいなくなったら？

つ[生命保険]

それってタダなのか？

与信枠

日本やアメリカの政府がやっていることは、それに似たようなもんだ。
いずれインフレでチャラにするつもりなんだろけども。

国債を連鎖的に発行してるから自転車操業といわれても仕方ないな。

784

結局、Z^3上におけるバナッハタルスキー問題はどうなったんだ？

悪杉

417

741

483

揚げてみる

信ずるものは救われる
足を掬われる

でっかい薄っぺらい紙を１００回折ったら宇宙の大きさ並みの厚さになるってのと同じだろ。

それは違うという気が。折るという操作では体積は保存されるか、減少だから、厚みが増えるのは
面積が減って高さが増えるってだけ。

薄っぺらい紙を折って宇宙並みの厚さにするのには
非構成的公理は要らないからね

ところで>>311
それは「銀河系くらいの大きさの紙は100回くらい折ると葉書くらいになる」の間違いじゃない？

厚さ

紙の厚さを0.1mmくらいとすると、0.1mm×2^100≒100億光年って話しじゃない？

2^10=1024≒1000
として
0.1mm*2^100=0.1mm*(2^10)^10≒0.1mm*1000^10
=0.1×10000000000000000000000000000000mm
=100000000000兆km

１光年は
3万km×60秒×60分×24時間×365日
=30000km*60*60*24*365
=946080000000km
≒10兆km

割ると100億になる。（もうちょっと正確に計算すると134億くらい）

もちろん紙を100回折るのは不可能だけどね。

因みに>>314は全然ウソだな。ケタがまるで合わない。

だからバナッハタルスキーとは全然関係ないと

関係のある話キボン

バナッハタルスキーのﾃｰﾘって結局嘘なんだろ？

ヒルベルトのプログラムは
「現実的な定理に仮想的な結果を用いても、その結果は変化しない」
ことを目指して行われたわけで、
「仮想的な世界に仮想的な結果を用いた」
場合に何が起こっても知ったこっちゃない。

合同分解ってのと関係アル？

実際厚みが無かったらどうなのか？
R^3内に入ってる二次元の円盤を分割→合同変換で三次元の球を覆えるように出来るか？

というか有限分割じゃ絶対無理だよな。
三次元の領域を有限個の平面じゃ普通に覆えないし。

>>296
それ日本政府がやっている。

↑
ガイシュツだった。・・・・orz 逝ってくる。

まあ日本政府は典型的にそういうイメージを持たれていると。

つーか世界中でやってますが何か？

talk:>>325 それをするには、初めに私が一億円を持っていないといけないだろう。

私ではなくても良かったか？

すでに聖書の中にこれと同等の出来事が
イエスが行なった奇跡として書かれている
信ずる者は幸いなるかな

>>325-330
経済の仕組みそのものでんがな （ ﾟДﾟ）ｙ―┛~~

>>330
「これと同等の出来事」はペテンなわけだが。。
それをイエスがやったって言って良いのかね。。

>>331
信用創造は借金の額面が膨れ上がってはいかないから違うよな
何のこと言ってるのかね？

バナッハ・タルスキーの定理は結局数学が抽象的な実体のない概念を
扱ってることを証明しているに過ぎない。
数学ってのは具体的な学問のようで哲学みたいな虚学なんだよ。

実数が抽象的な実体なのか具体的対象なのかは意見が分かれそうだな。

そんな文学的な話したって
個人の主観で何とでも言える

じゃあ選択公理を拒否すれば良いのか、と言えばそうでもないし

>>334
実数はフィクション
と明言していたのは佐藤幹夫
こんなことを言うと嫌われるけど
といいながら

>>336
小平もだね

>>333 が実は哲学も数学も知らないシッタカであることに一万点。

>>333はシッタカ

>>336-337
偉い人が言ったのだから意味はあるんだろうけど、意図がわからないな。
「フィクションでないもの」にだけ基づいた数学を作って見せるとかしたの？

>>340
佐藤と杉浦の対談を読め

>>341
ソースは？　　佐藤 杉浦 対談　実数　でググったら

数理科学　No. 359 　 1993 年 5 月号特集： 多彩な物理現象 ―超低温から超高エネルギー　［品切れ］
連載：数学の方向1 　対談・数学の方向（I）　　　佐藤　幹夫，杉浦　光夫

てのが当たったけど、これ？

各所で学んだつもりだったが
どうやら自分は選択公理が本質的に理解できていないらしい

たわけてて悪いが
誰か選択公理について頭に染み込むような上手い説明ないし例を教えてくれ。
ぶったぎってスマン

空でない集合を何個（無限でも）持ってきても、それらから丁度１個ずつ要素を集めた集合が作れるで良いんじゃない？

>>344
それだ！

選択公理に関しては、次のような例え話で説明される事があるね。

無限足の靴の集合から、片方の靴を取り出して集合を作る事は可能。
すべての靴から右足の方（左でもいいけど）を選んでくればよい。
しかし、これが靴下の場合だったら、このような選び方が出来ないから
片方を取り出して集合を作るには選択公理が必要。

これはラッセルが言った例えらしいけど、選択公理の独立性の証明を読むと
この例えは結構本質を突いているんじゃないかと思う。

>>344の「を集めた集合」を「が選ばれて『できていた』集合」にするとニュアンスが伝わるかも

京大数理解析研出身で東大で哲学修士もとりましたが何か？

数学修士なのだが

哲学が虚学であるのは、人によって言うことがバラバラで、また、一人の哲学者であっても
時期によって言うことがバラバラ。つまり学問にcoherenceが無いということ。数学とは全然別。

>>344-347
しょうもない問いに丁寧に答えてもらってスマン
選択公理のたしかな理解に何歩も近づけたよ
この辺りを念頭においてもう一回文献を紐といてみる
ありがとう

>>333
帰れ

>>350
哲学は難解であっても全体として体を成しているように感じられる場合と
そうでない場合があるような気がする
デカルトよりもプラトンの方がまとまっているように感じられるのはなぜだろうか？
デカルトが数学に集中した時期が長かったからか？

>>333
前段から後段が導き出される事を証明してくれ。
あと虚学とはなんぞやと言う定義もね。

>>354
こういう奴らは学問的誠意とかと無縁だから
聞かれると喜んで脈絡のないこと延々と並べるぞ。
スルーするしかない。

>>355
とりあえず２chいりびたりの輩が学問的誠意云々ぬかすな。
あとはマターリ

>>356
痛いところつかれたからって暴れるな。

暴れまわっちゃうぞ〜







といってみるわな

バナッハとタルスキーは数学者である

全ての数学者はロリコンである

この続きがわかりません！！だれかおしえてください！！

ヤバイ。バナッハ・タルスキーの定理ヤバイ。まじでヤバイよ、マジヤバイ。
バナッハ・タルスキーの定理ヤバイ。
まず増える。もう増えるなんてもんじゃない。超増える。
増えるとかっても
「1.5倍くらい？」
とか、もう、そういうレベルじゃない。
何しろ無限増殖。制限とか無いの。質量保存の法則とかを超越してる。超ヤバイ。
しかも証明できる。ヤバイよ、証明できるんだよ。
だって普通は質量とか増殖しないじゃん。だって昨日買ってきたアンパンとか増えないっしょ。
今日になったら50個になってました〜じゃ困るっしょ。
毎日アンパン食わざるを得なくなるよ？そんなの泣くっしょ。
だから昨日買ってきたアンパンとか増殖しない。話のわかるヤツだ。
けどバナッハ・タルスキーの定理はヤバイ。そんなの気にしない。増殖しまくり。もとの質量とか気にしない。ヤバすぎ。
質量って言ったけど、もしかしたらそんな概念自体ないかもしんない。でも概念が無いって事になると
「じゃあ、増殖するのは何よ？」
って事になるし、それはバナッハにもタルスキーにもわからない。ヤバイ。バナッハにも
タルスキーにも分からないなんて凄すぎる。
あとその逆も成り立つ。つまり２つのA,Bをばらばらにして再び組み立てるとAと同質量になる。
つまり奮発してアンパン2つ買ってきたら1つになってたとか。ヤバイ。残酷すぎ。せっかく奮発したのに。怖い。
それに4次元以上でも成り立つ。超画期的。それに抽象的。次元とか平気で出てくる。次元て。ルパンでも言わねぇよ、最近。
なんつってもバナッハ・タルスキーの定理は要素の分け方が凄い。
普通分け方といえば千切り？とか短冊切り？とかなのに偶数の集合か奇数の集合かとかも平気。
しかもうちらなんて無限とかたかだか無限小が出てきただけで上手く扱えないから�凅にしたり、εにしてみたり、
limit使ったりするのに、バナッハ・タルスキーの定理は全然平気。無限を無限のまま扱ってる。凄い。ヤバイ。
とにかく貴様ら、バナッハ・タルスキーの定理のヤバさをもっと知るべきだと思います。
そんなヤバイバナッハ・タルスキーの定理を使ってる集合論とか超偉い。もっとがんばれ。超がんばれ。

体積は増えるが質量は増えない。
密度が低くなっているのだ。

>>333
数学が概念論か否かは、アメリカンジョークじゃないが、
まず定義をする必要がある。定義をしていない事より、これは主観論。
だがちょっと待ってほしい。
一部が要素Pなら、全部が要素Pと言えるのだろうか？
俺なら、「バナッハ・タルスキーの定理は数学上に存在する概念論の一例」
としか書けないけどな。

＞数学ってのは具体的な学問のようで哲学みたいな虚学なんだよ。
これも虚学が定義されていないから主観論。
だがちょっと待ってほしい。
前段と同じく、人間にとって虚ならいかなる存在にとっても虚なのか？と。


さて、ここからは俺の主観論だ。
俺は三年前の中二の時、「絶対」について考えてみた。
結論を言えば、「数学にしか存在しない」(厳密には、定義から生まれた世界にしか存在しない)だった。
1+1が、2である事も2でない事も定義から定まる、と。
定義すると言う事は、絶対を定める事。
絶対的定義さえあれば、絶対(定義)+絶対(数値)も絶対となる。
絶対により広がった数学の世界こそが絶対的に真なのだと。
しかし、数値が変化すること自体は無問題でも、
数値が不確定要素になると絶対性が失われる。例えば、人間とか。
人間を定義できるか？となるとおそらく無理だろう。
定義もないのに観測できる範囲をベースに考えるから、人間数学には虚数とか想像上の数なんて言葉が生まれる。
ぬかるみに立派な建築物は建たないだろう？そういうこと。
限りなく広がる「数学の世界」を人間の視野で仕切ったらその外を把握できないのも自明。
真なのは数学のほう。それがいかに人間に理解しがたくとも。
数学を人間の視野に絞って扱いやすくしたのが物理じゃね？

232

310

ご冗談でしょうファインマンさんにこの定理でてきたな

>>362
メロンパン買ってこい

talk:>>366 配達料金10000ドルをくれるなら買ってきてやろう。

>>367
早くチ○ポしゃぶれよ。

talk:>>368 珍宝はどこだ？

こんな定理ありえねぇよ

糞ｽﾚはどこだ〜
∩-ω-≡-ω-)
｀ヽ　　|)
　　|_ |
　　∪∪

証明されてるから信じられないんだよな
証明されてなきゃ信じないだけだ。

扱う対象を、可測集合のみにすればこういう変なことにはならない。

だからACやめてAD採用すればいいんだって。

可算選択公理くらいいるぞ

必要ない。なぜなら証明できてしまうから。

別に無矛盾ならACくらいばんばん使おうよ。バナッハ・タルスキーなんて目じゃないって。

連続体仮説みたいなもんで、採用するよりしない方が豊かになるならやめりゃいいよ。今はどっちが面白いか調査段階ってとこだろ。

する方が一般の数学は豊かになるってのが大方の意見かと。

ADのそういう調査段階はもう過ぎたんじゃないかなあ。

＞しない方が豊かになる
採用しないで、代わりに別の公理（例えば連続体濃度 = アレフ2とか）を採れば
豊かになるってんなら分かるけど、
採用しないじゃ豊かにはならないような気がするけど。

採用しないで色々な可能性を考えようってことだったら、採用した場合と
採用しなかった場合を区別して勉強するようにすりゃ良いだけのことで
採用しないで放っておく意味はあまりないかと。

もちろん他の公理を採用するのが前提に決まってるじゃん。
ＡＤは結構人気あると思うけどなあ。

>>378
そういう話なら Axiom of Choice にいろいろ書いてあった。

記述集合論屋にはADは結構受けがいいね。
構成主義のビショップですら選択公理を使っているぐらいだから
AC優位は当分揺るがないだろうが。

構成主義でAD採用とかどんなマイナーなんだよ、とか思ったけど、
よく考えたら構成主義の人は思想信条的にADは採用できないんじゃないだろうか。
ω-game とか考えるから。わからんけど。

つうかwikipediaでADの解説があるのは英語版以外はポーランド語版だけっぽいなｗ
なんかﾜﾗﾀ

>構成主義でAD採用とかどんなマイナーなんだよ、とか思ったけど

ん？どこにそんなこと書いてあった？見逃したかな？

いや、構成主義のビショップですら、のとこ。
そういう人が居るとは書いてない。

何を言ってるのか結構意味がわかりにくかった。
やっとわかった。選択公理を使わないならADを使うと言おうとしてると思ったわけか。
想像力豊かだな。

>>374以降ADの話をしてる文脈だったと思ったので。

sage

こういうのって面白い。他になにか直感に反している定理ってない？

age

小学校の頃
「連続だが微分不可能な関数」
の話を知ったときには直観に反していて驚いた。
もう慣れちゃったけど。
全ての点が重複点であるトレースしていない曲線とか、三つの領域の境界になる曲線とか、昔は何でも新鮮に驚けた。

＞小学校の頃

話なら小学生だってわかるだろ。

270

>>391
> 全ての点が重複点であるトレースしていない曲線とか、三つの領域の境界になる曲線とか

kwsk

バナッハ・タルタルソースキー

725

＞実はお札には交換基準というものが定められており、
＞その基準を満たしていれば日本銀行の本・支店（または
＞一部の市中金融機関）へ持っていくと交換してもらえます。
＞
＞・お札の3分の2以上残っている場合は全額交換
＞・お札の5分の2以上3分の2未満の場合は半額交換
＞・お札の5分の2未満の場合は残念ですが交換不可

おい、バナッハタルスキーの定理があればいくらでも錬金出来るぞ！！！！！

まあ、それは冗談としても、ベシコビッチ集合みたいな測度の判定が難しい
切り方をしたら行員が間違う可能性は十分ありうる。
万が一失敗して小さく見積もられたら、両方持っていけば、少なくとも
元の金額は取り戻せるからリスクは無し。

バナッハ・タルスキーの定理も選択公理も両方信じられなければ問題ないのだが、
後者は思わず信じちゃうのでまずい。
選択公理を嘘くさく思える脳を作らねば。

>>286
で、考えてみましたか？
とりあえず、３次元以上のユークリッド空間あるいは無限次元ヒルベルト空間の部分集合で
ハウスドルフ次元が５／２であるものの中に
”バナッハ・タルスキー分割”が可能なものが存在するかどうか
というのが問題らしいですが

バナッハタルスキーのパラドックスがあれば一万円札がいっぱい作れるぜ

おめーら馬鹿だな

俺数学とかよくわかんねーから泥団子の半径を二倍にするやり方で教えてくれ。

＞・お札の3分の2以上残っている場合は全額交換
＞・お札の5分の2以上3分の2未満の場合は半額交換
お札は連結していなければならないのかな？たとえば、中央付近の
1/10が無くなったお札(2枚に分かれる)を全額交換できるのかな？

昔10枚のお札を11等分してそのうちの1部分ずつを取りだして1枚（10/11枚）のお札を作り、残りもつなげて11枚のお札にして捕まったのがいた。
偽造扱いなのかな？

そういえば面積64の三角形を並び替えて
面積65にする有名な方法があったなｗ

n=2
でも成立すんのこれ？
常識的にあり得なくね？

だれかエロイ人
>>408
について教えていただけるとありがたいっす。

分割が2個の場合はどうなんでしょね。

>>399
ベシコビッチ集合ってよく知らないけど、多分面積の計算が難しいってだけでしょ？
それと可測か非可測かとは別の話だが。可測集合の可算列の極限は可測だよ。

>>286
バナッハ・タルスキーの定理って２次元の場合は成り立たないんじゃ
なかったっけ？

２次元では不成立

>>408>>409
質問スレで解決（？）しました。

せっかくだからリンク貼ってくれると

直径1cmのボールを直径2cmにする具体的な分け方をおしえてくれ

talk:>>398 日本銀行券を例えば3/8と5/8に分けてしまったら半分しか戻ってこないのか？

>>417
それを別の人間にそれぞれ分けてしまったらそうなる。
同時にもっていれば、そうはならない。
2/3とか2/5とかいうのは連続している必要はなく、失われていなければいいのだ。
たとえば、燃えた灰がお札の形のまま残っているという状態でもよい。

>>416
球を先ずルベーグ非加算集合に分割しなければならない。
で、ルベーグ非可測集合って、物理で言えばつまり体積を「原理的に」測ることが
できない物質ってこと。有限な物質であるにも関わらず、どのような
測定方法を用いても絶対に体積が定まらない物質。
一体全体どんな物質なのか、こっちが教えて欲しいかんじ。
たとえば切り口に非加算無限個のギザギザが入っている半球とか。
あるあ、ねーよ。

有限個って書いてあったから具体的に出来るのかと思ったけど
やっぱ無理か。さんくす

選択公理つかって構成するわけだから具体的に集合を指定するのは
たぶん不可能なんじゃないのか

977

原子からなる現実の物体は数学上の図形とは異なるってことじゃないかな？

あげ

バナフ・タルスキの逆理にいう有限分割とは
現実の風景をピカソの絵にするようなものだな

２次元の時は成り立たない（有限加法的測度が存在する）証明の素人にも分かりやすいやつはどこかで読めませんか？
前このスレで挙がってたバナッハ・タルスキーの証明サイトくらいに簡単な。

もしくはスレ上で概略を示していただけると嬉しいです。

分割しても変わらない不変量って何かある？

ＡＣなんて信じてません

>>427
そんなのがあったらそれを体積って呼んでるよ

>>391
＞全ての点が重複点であるトレースしていない曲線
＞三つの領域の境界になる曲線
どんなの？

>>1
自明

体積が保存しないのは、分割した時に非可測な図形っていうのが現れるからなんだよね？
ある図形を、なるべくその直径の３乗の和が小さくなるように球で覆って、
それが球を段々小さくしていった時に近付く値がその図形の測度って聞いたんだけど、これであってる？
非可測な図形は測度が求まらないらしいけど、↑の値ならどの図形でも求まりそうな気がするけどそうじゃないの？

>>432
大雑把に言って、可算無限個の不規則な空白があっても
測度に関して見えないなら被覆になるからな。
んな奇妙な被覆が作るフィルターなんて奇妙極まりないが、
その奇妙極まりないフィルターに関して収束するものなんて
かなり行儀がいい図形だけ。
一方、球だけで作った被覆は、さらに行儀のいい図形しか
被覆できないので、行儀悪い図形を見るのにはロクに役に立たん。

>>433
一般には球を段々小さくしていっても収束しないってこと？
発散はしないから、振動するってことだよね？

>>４３２
球の数が可算無限個になってしまうのではないか？

和を取るだけなんだから可算なら問題無くないか？

>>436
有限個の極限として可算無限になることと、
もとから可算無限なものをたくさん一緒に扱うこととは
全然意味が違ってくるよ？

まあ、R^nでのルベーグ測度なら有限個の極限(考える被覆は工夫が要るが)としても定義できるけどな。

訂正(＾o＾)

まあ、R^nでのルベーグ測度なら　→　まあ、ルベーグ測度なら

みんな難しく考えすぎダ

ホーケー手術の皮のつなぎ方（切り方）を思い出せョ！

ソッカ…君ラには必要ない手術か…

誰か>>240の最後の結果を解説して〜

372

全体は部分よりも大きいという公理に反していないか？

>>432
なにか根本的に勘違いしてる気がする。
「非可測な図形が表れる」んじゃなくて、非可測な図形で分割するの。
そうでなければ、分割した後あわせたら元の２倍の体積になるなんて
有り得ないだろが。
＞非可測な図形は測度が求まらないらしいけど、↑の値ならどの図形でも求まりそうな気がするけどそうじゃないの？
何を言ってるのか分からない。
可測なら、バナッハ・タルスキーの定理とは全然関係ない。
ムリから混乱させようとしてないか？

選択公理を仮定する→非可測な集合が存在することになる
→その非可測な集合で球を分割すると、合わせたときに元の球が２つ作れる
ことになる
って話しだよ？

二年。

>>444
なんか詳しいみたいだから平面では成り立たないことがどうやったら分かるかを教えてくれ

>>446
＞>>157
＞ちなみに上記のWに同型な群はSO(1)、SO(2)からは取り出せないそうです。
＞n≧3のSO(n)からは取り出せるそうです。

>>447は同じ方法では出来ないとは言っているが>>446が尋ねているであろう「どんな方法でもダメ」には答えていないのでは？

平面では、ルベーグ測度の拡張ですべての集合で定義された有限加法的測度
が存在することが証明できるそうだ。

その証明過程が知りたいな

バナタルの証明はこのスレで散々出てるけど平面はまだなんだよね

だって原典がフランス語なんですもの
読めねッスよ

バナタル……




ダサッｗｗｗ

フランス語かぁ　自分は第２はドイツ語だったな
もっとも中一英語程度のことしか身に着かなかったけど

数学を勉強するのに有利だと思って第一をフランス語にしたら、
その後ロジック（独語が圧倒的に有利）とかに興味が移っちまった

誰か平面版の証明読んだ人いないのー？

数学を勉強するのに有利だと高校時代の恩師が
言っていたから第二外国語はフランス語とったのに、
フランス語の文献を読むことはついぞ無かった。

>>454>>456
フランス語とってるならよければ読んで概要教えてくれー

写経してみたら？

4+5=9

写経？

>>455
平面版はないんだってば

>>461
逆の証明のことだろ

>>461
平面なら成り立たないってことの証明ならFundamentaの4巻に載ってるよ

Banach

Tarski

自由群を使うのはいんちき

フランス語？

はい。フランス語です。

>>463の最初の方チラッと読んだら3次元以降はハウスドルフが証明したって書いてあったけど
ハウスドルフ版とバナッハタルスキー版って何が違うの？

まずおにぎりを作るだろ、そして定理を適用する。
これで食糧問題は解決。
べつにらっきょでもよいだろうし、ゆで卵でも良いかもしれない。
なんにせよ食糧問題は解決。
問題は、質量不変の法則をどうするかだな。こっちを間違えていることにするか。

位相幾何以前に、ペアノ曲線が二次元を「稠密に覆ってしまう」ってのがそもそもの根源的なパラドクスでしょ？

>>471
何をパラドクスと感じるかは人それぞれだろう
そもそもRとR^2の間に全単射があること自体がパラドクスだって言う人もいるし

ここで言うパラドクスとは矛盾を含むという意味ではなくて
直感的ではないという意味でしょ。

それなら、もう、そこは人それぞれでいいんじゃないか。

とりあえず>470は死ねばいいのにと思う．

470は可算無限個の棘を構成する方法を発明したのかもしれん。

>>472
全射だけど単射じゃないでそ？

>>476
？

>>476
どして？

２次元だとどーなの？

バナッハ・タルスキは甘え

>>482
ログ嫁

>>481
読みますた

まず、連続性が問われるんだ。連続性が。

でさ、思うんだけど、宇宙って膨張してるじゃん？これって・・・・・・
ビッグバン宇宙論が正しいとするだろ。元は1点の宇宙が膨張を続けてるって・・・・。

まさにバナッハ・タルスキ〜〜〜〜〜〜〜ん！

お薬の時間ですよ

>>484

さっき飲んだけど。

550

数理論理学的に言えば、バナッハ・タルスキーの定理が正しいとか正しくないとか言うのはナンセンス。
バナッハ・タルスキーの定理が証明可能になるような公理系もあるし、不可能になるような公理系もある。
ZFCでは証明可能でZFでは証明不可能というだけのこと。
滅茶苦茶な公理系を使えばどんな定理だって証明可能になるわけで、それが正しいとか正しくないとか関係ないし。
要は選択公理を仮定するのとしないのとどちらが良いかという話。
ZFは、バナッハ・タルスキーの定理だけでなく次のようなことも証明できない不便な公理系だから、ふつうはZFCを使う。
*整列可能定理(∀A:集合 ∃≦:順序 s.t. (A,≦):整列集合)
*代数閉包の存在(∀K:体 ∃L⊃K:代数閉体)
*ツォルンの補題(∀(A,≦):帰納的順序集合 ∃a∈A:極大元)
など

1次元あるいは2次元だと、ちゃんと全部分集合上で定義された
有限加法的測度が存在する。3次元で存在しないのは選択公理
だけの問題ではないよ。

>>488
＞一次元あるいは〜存在する。
証明くれ

この世はすべて離散なのに
数学では連続でものごとを考えてるからこんなことになるんじゃないの？
つまり数は有理数までしか拡張してはいけないんじゃないの？
実数まで拡張するからこんなことになるんじゃないの？

間違えた。
数は整数までしか拡張してはいけない
に訂正

>>492

訂正したところでお前の書いていることは正しくない。
＞この世はすべて離散なのに
この大前提がねｗｗｗ

>>493
おれは時間も物も、この世のすべては離散だと思う。
リンゴをこまかく切っていけばもうこれ以上切れないという限界になるはず。
つまり離散なのだ。
もし連続であると仮定すると、リンゴは無限に切れることになり物理学や化学が崩壊する。

数学では連続で話を進めているからおにぎりが大きくなれるけど
現実は離散だからおにぎりは大きくはならない。
この論理のどこが間違っているというのだろうか。

おにぎり〜

宇宙が実際にどうなってるか、なんてのはそんなに重要じゃないだろ
重要なのは人間が五感で直接、もしくは道具や機械を使って間接的にどのように認識をするかであって
んで認識の有り様で離散だの連続だのどのようにも言える
そして宇宙の構造をどのように認識すれば美しく感じられるかについては物理学者の言うことが正解だな

>>494
お前の世界じゃ化学や物理に微分も使わないのか
凄いな

こういう馬鹿は各階層の数ある構造を満たした集合で、演算なぞ記号間の対応、公理自体はは間違っていても合っていても構わなく、それが真と仮定した時に導出結果も真である対応それ自体の妥当性が問題だと言っても聞かないんだろうな。

やっぱり連続以前の問題として、無限が問題だべ
この世のすべては有限だろ？
数学では無限で話を進めているからおにぎりが大きくなれるけど
現実は有限だからおにぎりは大きくはならない。

30cmの定規と30cmの線分は全く別物ということですね。
定規は離散、線分は連続。
そういうことですか？

>>499
もう少し落ち着いて文章を書いて下さい

日本語で頼む

>>501
いいところに気づきましたね。
まさにそういうことです。
この宇宙は数学という言語で記述されているわけではないのでこの定理のようなバグが発生するわけです。
ただ、たとえば身長などを測るときには数直線でもＯＫです。
ニュートン力学と相対性理論のようなものです。
日常生活ではニュートン力学でＯＫなのと同じように。

ただ、数学自体は間違っているわけではないんです。
あくまでもこの宇宙を記述するにはふさわしくないというだけであり、
数学は真か偽か、と問われれば、それは真です。

>>137-139

明言はしていないものの、物理が上で数学が下という印象を受ける文ではある。

そもそもQ^3上でもこの定理が成り立つかどうかさえも分かっていないのに
何を言っているんだ>>137は

Q^3で成り立つかどうかって本当に分かってないのか？

これってもしかしてゲーデルの不完全性定理からその存在が予言されていた矛盾なのでは？

>>1
>実際に証明されている定理なわけですが、明らかに有りえない定理です。

このスレはこの書き出しにしばられている
最初から終わっているスレ

>>509
ゲーデルの不完全性定理は矛盾の存在なんて予言してないし、
そもそも、この定理は、矛盾でないくせに明らかに奇妙なところが問題なわけで

無矛盾って妙な響きだよな

ﾑﾑｼﾞｭﾝ…

物理学ってもう数学使っちゃいけないんじゃないの？
現実世界と数学がマッチしてないじゃん。
数学なんか使ってるからいつまでたっても統一理論が完成しないわけだ。
でもそれを言う勇気ある物理学者はおそらくいないだろう。
だから代わりに俺が言う。
数学を用いた物理学は偽である。
と。

俺も↑と同じ考えだな。
http://pcar.web.fc2.com/index.html
というかやはり終わっているよこのスレ…

>>513,514
今あるツールに不満を言うだけなら、それは単なる愚痴にすぎない。
物理を記述することができる、数学にかわる新たな体系を提示しないと
意味ないよ。

＞でもそれを言う勇気ある物理学者はおそらくいないだろう。
勇気云々じゃないでしょ。数学を使うことについて非難しても、
それだけじゃ単なる愚痴にしかならないから、誰も言わないんだよ。

＞物理学ってもう数学使っちゃいけないんじゃないの？
頭大丈夫ですか

論文書くのに自然言語使うのやめさせるほうが先決じゃない？ｗ

形式化された論文なんぞ誰も読まん

>>514は、宣伝サイト

踏まないように

>>518
そうだったのか
どこにもバナッハタルスキーがみあたらないなと
思ったが漏れはまんまと罠に引っかかったのか
ブラクラじゃなかっただけよしとしよう

次回からは報告します

>>489
随分前に測度論のスレでも引用したが、

S.Banach, ``Sur le probleme de la mesure,'' Fund. Math., t.IV (1923), p.7--33.

2^R. 2^{R^2}上での運動群で不変な（ゼロでない）有限加法的測度の
存在証明。完全加法的ではないことに注意。

>>520
ありがとー
しかしフランス語？読めないんだが英語か日本語の解説はないだろうか

物理学者にはナイフとリンゴを渡し、数学者には何も渡さないかわりにリンゴを思い浮かべてもらう。
物理学者はナイフでリンゴをサクサク切っていき、数学者は脳内でリンゴをサクサク切っていく。
１時間後、「最小単位まで切りましたので、もうこれ以上は切れません。」
と物理学者が言ったが、
数学者は「まだ切れますよ。っていうかこれ無限に切れますよ」と言う。

おかしいじゃないですか。
「切れる」かつ「切れない」という現象が発生しているではないですか。
学問で一番やってはいけないと言われている、
「ＡかつnotＡ」が発生してるじゃないですか。

物理学者、ナイフで実際に最小単位までリンゴ切れたのか。すげーな。

リンゴの定義をどうするかだな。
普通にリンゴを離散的なものとして扱えば、
数学でも「最小単位まで切りましたので、もうこれ以上は切れません。」 という結果は出る

>>521
当てずっぽうだが、それこそフォン・ノイマンの `Continuous Geometry'
にバナッハ=タルスキと一緒に出てないかい？

>>525
�dー
見てみるよ

>>526
そもそも「幾何」を名乗る彼の本だというだけで、まったくの
当てずっぽうだから、なかったら御免。いずれにせよノイマンが
書いた3次元の運動群に関する論文があるはずだけど、レファレン
スがわからん。

宇宙が無限の点の集合ならば、我々は一歩も進めないであろう。
ゆえに物質世界には最小単位が要請されるのである。

しかし最小単位があるとすれば、単位長さの馬車は互いにすれ違うことができない。
ゆえに物質世界に最小単位は存在しないであろう。

>>522
数学の使い方を間違っている場合の例に過ぎないな
どんな道具でも不適切な使い方をすれば不適切な結果になる

数学者が思い浮かべたリンゴが、最小単位を持たない連続的なリンゴならば、物理学者と結果が違って当然。
数学者が思い浮かべたリンゴが、最小単位を持つ離散的なリンゴならば、物理学者と同じ結果を得る。

結論：522が間違った使い方で数学を使っているから、おかしなことが起きる。

>>529
最小単位の物質にその情報を除いてユニークな特徴が全く無いのであれば、
最小単位の馬車が出会った際に情報を交換してただちにUターンすれば
すれ違ったのと何も違わない。

選択公理が偽であることが背理法で証明されましたね＾＾

ゼノンさん、ゼノンのパラドックスをちゃんと全部読み直したほうがいいよ。
特に4つめな。

あの馬車のパラドクスは酔ってるときに書いたものだ。
「一瞬で一単位しか動けない」という馬車の仮説はパラドクスの存在により棄却される。
ゆえに残る仮説は「一瞬で複数単位を動ける（ジャンプできる）馬車」と
「他者と共通の一瞬（時間）は定義できない」という仮説である。

とまあ、こんなことを酔った勢いで考えたわけだ。
だが、いくら俺が古代生まれの超天才だったとしても、まさか最新の物理学では
量子がジャンプしたり、時間が伸び縮みしていたりはしないよな？

バナタルの球って離散型なの？

>>535
そういう意味でのジャンプはしません。

内測度と外測度っていうのがあって、それらが一致したときにルベーグ測度って言うんだっけ？
この内測度とか外測度とかを体積とみなしちゃいけないのは
分割したときに部分の和が全体と等しくならないから？

バナタル読んだこと無い者なんですが、
こういうことでしょうか？
つまり、球を２つに切ると断面が現れて、断面積の分、表面積の合計は増えますよね？
で、その断面を厚さ0でスライスします（薄切り）
で、さっき切った球をまた切ります。
また断面が増えます。その断面を一枚だけ薄切りでもらいます。
それの繰り返しで、厚さ0の断面積の集まりができますよね。
それをインテグラルしたら体積になる、そういうことでしょうか？
つまり切れば切るほど表面積は増えるので、その増えた分を∫して体積にする
みたいな流れでしょうか？

>>539
全然違います。
この定理は球を有限個の立体に分割して元の球を２つ組み上げるというものです。
そもそも無限の分割を許すならそんな面倒臭いことをしなくとも
すべて点に分けて各点の距離を２倍にしてしまえば簡単に体積を増やすことが
できるわけで、そんな自明なことを逆理と呼んだりはしません。
証明以前に問題の意味を理解していないものと思われます。

バナッハ・タルスキーの定理について調べました。

１．有限個に分割できる（すればよい）という証明はできるが、
　　どのように分割すればいいのかまでは分からない
　　（これは四色問題などでも同じ傾向がありますね）

２．有限個とはいっても、集合が有限個であると言っているだけで、
　　断面が有限個で済むと言っているわけではない。
　　>>540の主張する「有限個の立体に分割して〜」は真ではない。

３．そもそも「適当に有限個に分割し」によって得られた部品には
　　体積が定義できない。よって、バナッハ・タルスキーの定理は
　　次のような表現によく似ている。
　　「1=xであり、x=2である。ゆえに1=2である。
　　　xは定義されないが、無限ではない（よって有限の数である）」

みたいな理解で良いですか？

>>541
お前四色問題がどう解かれたかも理解してないだろ
いい加減なことばかり言ってると相手にされなくなるぞ

＞xは定義されないが、無限ではない（よって有限の数である）
( ；＾ω＾)

>>541
一体何を調べたんだ っていうくらい何も理解してないですね

>>542-544
ひどいや

泣いてないでじっくり腰を据えて調べ直してこい
そうしたらもう一度厳密な文章で再チャレンジだ

とりあえず理解はともかくまともな文章書けるようになってくれないと
どうおかしいのか指摘してあげることもできないのー

面積を∫したら体積になる所まではあってますでしょうか？

>>548
高々加算個の面積を集めたところで０にしかならんし
それとバナッハタルスキに何の関係があるんだ？

＞面積を∫したら体積になる所まではあってますでしょうか？
541のどこにも「面積を∫したら体積になる」という記述が無い件について。

551 が、あるときー

無から有を生み出すには厚さ0（つまり無）を集めてきて∫して
体積にするしかないじゃないですか。
それに積分で出てきたdxって厚さ0ですよね？
それをインテグラルして面積にしたんですよね？
どこがおかしいって言うんですか。

＞無から有を生み出すには厚さ0（つまり無）を集めてきて∫して
おまえはまず、数学を自分勝手にトンデモ解釈してしまう癖を直せ。
数学には「無から有を生み出す」という概念は無い。

＞それに積分で出てきたdxって厚さ0ですよね？
おまえはまず、数学を自分勝手にトンデモ解釈してしまう癖を直せ。
dxという記号をあたかも数であるかのように見なし、そこに「厚さ」
なる概念を当てはめて「dxの厚さは0である」などと書いた数学書は
見たことが無い。

>>552
だから加算個の面積を積分したって体積は０にしかならないって言ってるでしょ？
なんで人の話を聞かないの？　馬鹿なの？

じゃあこういえばいいのか。
物体Ａを厚さ0で無限にスライスする。
スライスされたと言っても厚さ0なので物体Ａの大きさや、体積、いっさい変わってない。
次に厚さ0のスライス無限大個を∫する。
するとそこに新たな物体が発生する。
物体を大きくするにはこの手段しか思い浮かばないのだが。
バナタルもこの手段を利用しているのではないのか？
もしそうでないならどうやって物体を大きくしているのだろうか。

こりゃ、釣りだな。

>>555
そんなことを言い出すレベルの知識では、バナタルは絶対に理解できないから、
あと一年くらいちゃんと勉強してきたほうがいい。

知識というより、数学の抽象性そもののに慣れていないな

>>555
だから加算無限大個のスライスを∫したところで０にしかならないって何度言ったら理解できるの？
いったいどんだけ頭悪いの？

>>555
とりあえず考え方の方向性違ってるよ。
べつにスライスせんでもよろし。

それしか方法が思い付かないっていうなら、
それ以外の方法を知るしかない。
先人に学べ。

おれは非加算無限のスライスのインテグラルを想定しているのだが

>>561 それを許したら直線を非加算個の部分に分割して置き換えると
平面にもできちゃうよ。

>>561
ハァ？　一枚スライスしても大きさは変わらない、二枚スライスしても変わらない。
だから極限取って無限枚でも大きさは変わらない、って話じゃないの？
スライスは可測だし加算可法性からして極限は取れるが
その場合の極限先はどこをどう見たって加算無限枚だろうが。
自分で自分が何やってるかさえも理解していないの？

縦f(x)かける横�凅で長方形の面積が出る。
それをシグマすると
Σf(x)�凅となり、すこしでこぼこの面積が求められる。
そして
�凅→0にすると�凅はdxになり、Σは∫へとその記号を変える。
∫f(x)dxは滑らかな面積を表す。

ここで�凅は厚さ0.001ぐらいだろう。
しかし�凅→0としたことによりそれはdxへと変化し、
dxは厚さが0になったのである。
つまり、長方形の横�凅を厚さ0にしそれをsumしたということだ。
∫はsumの頭文字sにその語源がある。

つまり、
集めたものを厚さ0にしたら面積になったということだ。
逆に言うと
厚さ0のものでも集めれば面積になるということだ。
それを3次元に拡張すれば
厚さ0の面積を集めれば体積になるということだ。

＞一枚スライスしても大きさは変わらない、二枚スライスしても変わらない。
＞だから極限取って無限枚でも大きさは変わらない、って話じゃないの？

それはスライス元の物体Ａの話だ。
そして物体Ａからスライスし、それを集め、新たな物体Ｂを作るというのが
俺の言っていることだ。
そして物体Ａと物体Ｂをくっつければスライス前よりも大きくなっているという論理だ。
バナタルはこの論理を採用してはいないのだな？
じゃあどうやって大きくしたのだ？

>>564
＞つまり、長方形の横�凅を厚さ0にしそれをsumしたということだ。
おまえはまず、数学を自分勝手にトンデモ解釈してしまう癖を直せ。
お前は、「厚さが0のものを 実 際 に 足した」と解釈しているふしが
ある。これは間違い。厚さが0のものを実際に足したのでは無い。

厚さが 0 で な い 幅 を 持 っ た 長方形の横�凅で切り刻んで
Σf(x)�凅を計算し、この状態で�凅→0の極限値を取った

のだよ。この極限値から得られる いくつかの性質を眺めると、
あたかも「厚さが0のものを足した」かのような解釈が可能な
ことはあるが、それは、厚さが0のものを実際に足したのでは無く、
便宜的にそう解釈しているに過ぎない。dxも∫も、単なるsymbolに
過ぎない。もう一度言う。厚さが0のものを実際に足したのでは無い。

＞逆に言うと厚さ0のものでも集めれば面積になるということだ。
二重に間違ってる。まず、「逆必ずしも真ならず」なので、この点で
間違い。あと、君は「厚さが0のものを実際に足した」と解釈している
ふしがあるから、そこが2つ目の間違い。

どうやって大きくしたのが疑問なら、証明を読めばいいだけじゃない
日本語の本でも、バナタルの証明が載ってる本はあったはず

きっと息を吹き込んで膨らませたんだよ。

>>564
あのさぁ…
>>563は君が今言った通りの解釈について説明してるんだけど…
君がBに必要なスライスをAから取り去ってもAの大きさが変わらないとする根拠は
>>539で言うように一枚取り除いても変わらず、もう一枚取り除いても変わらず、
その延長線上の話だから無限枚取り除いてもAの大きさは変わらないって話なんでしょ？
その延長戦上にはどう見ても加算無限枚のスライスしか無いんだけど…
少しずつでも理解していってくれるならこっちも説明する甲斐があるけれど、
理解力０でただひたすら同じこと繰り返し言い続けるだけの阿呆と話してると気が滅入るから
少しは頭を使って自分のどこがおかしいのかを考えてみてくれないかなぁ？

>>565
lim(n→∞)n*0 = 0 とlim(n→∞)n*(1/n) = 1 の区別もつかない程度の頭の持ち主なんでしょ。
そんな数学的思考から縁遠い頭でどうしてバナッハタルスキなんかに興味を持ったんだか…

いまさらWikipedia見てきたけど、それなりにわかりやすく書いてあったね。
厳密ではないかもだけど、感覚を掴むことは出来る。

インテグラルも極限も一言も出ずにちゃんと説明してあったよ。

>＞逆に言うと厚さ0のものでも集めれば面積になるということだ。
>二重に間違ってる。まず、「逆必ずしも真ならず」なので、この点で間違い。

なるほど。
ではまず厚さ0、つまりdxでスライスする。
その後、dxを�凅にする。つまり厚さ0.001ぐらいにする。
そしてその厚さをもったスライスを寄せ集めてシグマする。
その次に�凅→0にする。
つまり厚さ0のdxに戻す。
これならＯＫなはずだがどうだろうか。

>>570
＞ではまず厚さ0、つまりdxでスライスする。
おまえはまず、数学を自分勝手にトンデモ解釈してしまう癖を直せ。
dxに大きさは定義されない。「dxは厚さ0」などとは言わない。
dxも∫も単なるsymbolに過ぎない。あたかもdxに大きさが定義され、
厚さが0であるかのように解釈することが可能なことはあるが、それは
便宜上そう解釈するというだけの話であり、実際にdxが厚さ0なわけでは
無い。dxは単なる記号に過ぎない。

＞その次に�凅→0にする。
＞つまり厚さ0のdxに戻す。
おまえはまず、数学を自分勝手にトンデモ解釈してしまう癖を直せ。
Δx→0にするということは、文字通り「Δx→0にする」ということであって、
それは「厚さ0のdxに戻す」ということでは無い。
あたかも厚さ0のdxに戻しているかのような解釈が可能なことはあるが、それは
便宜上そう解釈するだけの話であり、実際に厚さ0のdxに戻しているわけでは無い
(そもそもdxに大きさは定義されない。)。実際に行っているのは「Δx→0にする」
という操作のみ。実際に行われている操作と、その解釈を混同してはならない。

バナタル＝この宇宙が有限の点の集まりであることを無視した机上の空論

>568で「こいつはlim n*0 とlim n*(1/n) の区別も付かないんですね（＾＾；）」なんて言われて
よく>570みたいなことが言えるなぁ
ある意味ちょっと感心してしまう

>>570
その論法で行くなら�凅をdxに戻した時に体積もまた０に戻っちゃうとはどうして考えないんだw

>>572
そんな事言ったら数学は基本的に全部机上の空論じゃないか

>>572
じゃあその「点」って何？
「有限の点」、って何？
そういうあやふやな難癖こそを机上の空論という。
空論かどうかは対象を設定して論ずるときの論理的整合性があるかどうかで決まることであって、
我々の属する三次元空間（そんなのは世界の一部にすぎない）
と見た目の整合性がとれているかどうかは問題ではない。

>>575
数学は机上のものではあるが空論ではない。

既に絶版ですが：

バナッハタルスキーのパラドックス　砂田利一 岩波書店
http://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/00/1/0065490.html
この定理の証明だけを目指して簡潔に書かれています

現実の原子や分子は有限の大きさを持っているのだよ

だから何？そんなの誰でも知ってるがな

そこで素粒子と言わない辺りがにわかー

原子だか素粒子だか知らんが、そこに何かが”存在している”ことは疑いなく
認めるにしても、その何かが「有限の大きさ」なる量を持っているとは言い難い。
「大きさ」という概念は、「その何か」から「実数」への写像のことであるから、
「大きさ」とは結局、人間が勝手に規定した概念に過ぎない。

で、なんで原子や素粒子みたいな物理学の話が出てくるんだ？

5=8-3

たとえばこの世界をＣ言語で書こうとしても無理でしょ。
多分感情とかがつくりだせない。
つまりＣ言語でこの世界を書いてもこの世界と全く同じには作れない。
それと同じじゃないの？
数学言語でこの世界を記述しようと思ってもどうしてもうまくいかない。
どうしてもこの定理のような論理エラーがでてしまう。

C言語（笑）

>>584
この定理に現れるような分割が現実の物質では出来ないってだけで、
数学的な推論や結論はエラーでも何でもない。
数学は物理を記述するためだけのものではないんだろうな。

幾何学では線分を2等分とかするけど、現実に完全な等分は無理だと思う。
完全な直線も引けないし、幅ゼロの線も引けない。

公理→定理１→定理２→バナッハタルスキーの定理→定理４→定理５

物理学において定理１、２、４、５は使うだけ使っておいてバナタルは見て見ぬ振り。
物理学においてそれってありなんでしょうか？

>>587
数学の記述に対応する現実の現象がいつでも存在するとは限らない。
見て見ぬ振りをしているのではなく、見た結果、それに対応する
現実の現象が無かった、ということに過ぎない。

>>587
そんなに言うなら、バナッハ・タルスキーの定理の前に選択公理を疑えよ。
もともとこの定理も選択公理を否定するためのものだしな。

数学でも選択公理を含まない公理系もあるんだし、
選択公理を認めないなら、そのような公理系の数学を使って物理をやればよいだけ。
もちろんその場合、バナッハ・タルスキーの定理は偽。

残念ながらACよりも真に弱い Hahn-Banach の拡張定理があれば Banach-Tarski
は成立する。前スレで見た情報。

だからどうしたと言われそうだけど、Hahn-Banachの拡張定理を捨てた
とき、量子物理学で使われるHilbert空間上の作用素論がどこまで影響
を受けるのかは勿論知りません。不確定性原理には影響がなさそうだけど。

>>590
前スレなんてあったのか
その定理の概略教えて

情報として見ただけ。前スレっつうか定期的に立っては消えるBT関連スレの一つ。
Referenceは確か90年代のFund. Math.の論文だったような。

そのfund.ってこのスレでよく出てくるな
数学のことはよく知らんがそんなに凄い本なのか

Fundamenta Mathematicaeはポーランドの集合論、位相空間論、数学基礎論
の雑誌。バナッハもタルスキもポーランド人でこのスレのスレタイの論文も
Fund. Math. 6(1924)に発表されている。

>>587の定理4の例って何だろう？
Banach-Tarskiの定理から汎用性のある定理を導く、というようなことは
あまり聞いたことが無いけど。

>>593
こいつやね。
Pawlikowski, Janusz
The Hahn-Banach theorem implies the Banach-Tarski paradox.
Fund. Math. 138 (1991), no. 1, 21--22.

Fund. Math. の古いやつは誰でも見れたはずなんで
リンクはっとく。
ttp://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm138/fm13813.pdf
実質１ページの論文だけど、Wagonの本を読んでることを
前提に書かれてるっぽいんで、よくわからん。

今更だが>>240なんだが
>・R^3 の有限加法的測度
が存在しない事を示すのに選択公理やそれより少し弱い公理がいるのはいいとして、
>・R, R^2 の有限加法的測度
が存在することを示すのにも選択公理とかが必要なのかね

>>598
んー……どうなんだろ。
二次元版のバナッハ＝タルスキについてはこのスレで何度か話題に出てるけど
誰も証明読んでないっぽいのが現状なんだよね。
どうもフランス語らしいし…（>>525で英語の解説あるかもって話も出たけど結局どうだったんだろ？）。
二次元以下では決定性公理でも同じ結果になるわけだから要らなそうな気はするだけど…。
誰か証明読んできてくれないかな…。

ｌｌ

二次元ではバナッハタルスキは証明できないけど、合同変換を面積を保つ変換に緩めれば
証明できるんだよね？
誰かその「面積を保つ変換」っていうのが何なのか知らないかな？

>>601
http://en.wikipedia.org/wiki/Banach-Tarski_paradox#The_von_Neumann_paradox_in_the_Euclidean_plane

面積保存のアフィン変換群SA2ってのはSL(2, R)の元と平行移動の合成らしい。

>>602
ありがとー。
そのSL(2,R)っていうのはどんなんなんだろう？

SL(2, R)知らんのか...「実2次特殊線型群」、つまり行列式が
1であるような実2次正方行列の全体が積で作る群。つうか、線
型代数の教科書嫁。

ついでに。2次正方行列の行列式が平行四辺形の面積を表す、
というのは聞いたことない？

>>604-605
ありがと。
確かにそんなことやった気がする。
数学から縁遠い生活してるもんで…

しかし平行四辺形状の変形を加えただけで結果が変わるのか…
そんなに大きな違いは無いように見えるのに。

そもそも何か勘違いしてねーか

>>607
ペイントソフトとかによく付いてる画像変形ツールでできる変形のうち、
外枠の平行四辺形の面積が変形の前後で変わらないもののことだよね？

>>605
3次の正方行列の行列式は平行六面体の体積だったな

>>608
平行四辺形の面積を保つアフィン変換ということは、面積
（定義が厄介だが、ここではRiemann積分で定まる）を持つ
図形の面積を保つということになる。実際、Rieemann積分は
図形を上下（外からと中から）二通りの有限個の矩形で近似
するとき、極限で上積分と下積分が一致することだから、各
矩形の面積が平行四辺形になっても保たれていれば、問題の
図形の面積が保たれることになる。

>>610
ありがとー。
しかしどうやってやるんだろう…
仮にバナッハタルスキと同じ方法で証明するとしても
SO3の場合任意のa∈R^3に対し{f^n(a)}は有界だけど、
SL(2, R)で{f^n(a)}が必ず有界になるような変換って
結局回転移動になっちゃうよね？

>>611はバナッハタルスキなんか理解できる能力無いんだから
真面目に線型代数からやり直すべきだろ。

>>612
バナッハタルスキの方の証明なら知ってるよ？

>>612は多分学部1年辺りが便乗して煽ってるだけだから放っとけ

ttp://red.ap.teacup.com/stromdorf/71.html#readmore
バナッハ・タルスキに近い結果が選択公理を用いずに証明されたらしい
誰か解説してくれないかな

hage

>>615
そもそもBT自体に選択公理は必須じゃない。>>597参照。

>>615の話に関しては、日本語の説明を読むと「開集合の境界」が
トリックの種だろうという気はする。Baire第1類（勿論Lebesgue可測）
は必ずしも零集合じゃない。昔kingがこの板で例を挙げて釣ってたよ。

>>617
Baire第1類っていうのはどんなの？
昔kingが釣ってた集合というと[0,1]で稠密で測度が1/2なものを挙げてたけどそれのこと？

Reply:>>618 Baireのカテゴリー定理のものだろう。

[0,1]の有理数を番号づけてpnとおき、M＝[0,1]−∪[n＝1〜∞](pn−1/10^n,pn＋1/10^n)とおけば
Mは閉集合。さらに、Mは内点を含まない。よってMは疎な閉集合。しかも
｜M｜≧1−｜∪[n＝1〜∞](pn−1/10^n,pn＋1/10^n)｜≧1−Σ[n＝1〜∞]2/10^n＝7/9だから、
Mのルベーグ測度は正。

バナッハタルスキは合同変換だけでやるから不思議なのであって
閉包したら体積が変わるのは普通のことだしパラドックスとしての意味は薄いと思うの。

そうだよね。
選択公理、それも非可算無限集合に対する選択公理を使うからこそ不思議なことがおこるんだよね。

----------------------------------------------------------
選択公理よりも弱い公理として、可算選択公理というものも考え
られている。これは選択公理の成立する範囲を可算濃度以下に限
定したものだ。この公理が成立すること（つまり範囲が制限され
ること）の根拠は特にないのだが、実際にはこの公理を採用する
と非常に都合がよい。「選択公理がないと証明ができない」とさ
れる正当な定理のほとんどは、可算選択公理で証明される。「選
択公理を用いると証明できるが、感覚的に奇妙である」とされる
変な定理の多数（全てではない）は、可算選択公理では証明され
ない。結局、選択公理のかわりに可算選択公理を採用すると、非
常に自然な（納得の行く）数学体系ができる。ただし、どこから
可算選択公理が出てくるか（範囲を可算に限定する原理は何であ
るか）という疑問に答えるのは、容易ではない。(Wikipediaより
引用)
----------------------------------------------------------

何度も出てきてるのに、何故選択公理より弱い条件で成立することを
認めようとしないんだろ？哲厨か？
Banach-Tarskiの定理はHahn-Banachの定理があれば成立する。Hahn-Banach
の定理は極大フィルタの存在定理があれば成立する（極大フィルタ補題）。
Zornの補題と異なり、極大フィルタ補題からは選択公理が示せない。

>>623
ちなみにそれらの正確な強弱は？

"Banach-Tarski ≦ Hahn-Banach ≦ Ultrafilter Lemma < AC"
までが知られてるらしい。

>>625
ありがとう。＝が取れてないところもまだあるんだな。

<623
まあまあ。別に必要条件を求めているわけじゃないんだから。
例えば選択公理を仮定せず、可算選択公理を仮定しただけでバナッハ・タルスキは証明できるっていうなら反論として意味があるけど。

数学やらずに哲学やる人って、論理的思考の成熟が遅れる傾向があるの？

遅れる？ そんなまるで元は同じだったみたいな

>>627
駄目だ、こりゃ

146

202

無限は矛盾する。って話なんじゃないのか？

個数（濃度）と量（長さ、面積、体積）を同じレベルで論じて矛盾する話は枚挙にいとまがない。
最初に線は点の集合であると言った瞬間に矛盾は様々現れる。
だから、カントールは頭がおかしくなるほど皆に叩かれたのだ。

開集合(0,1)は(0,1/2)とも(1/2,1)とも一対一に対応する。
無限小数は(0,1)と一対一に対応する。
２進少数は(0,1)と一対一に対応する。
そしてこれは３進少数の２を用いない少数とも一対一に対応する。

点を個別に分けた瞬間に、量的な意味合いで両者を比較するのは無意味だ。
無限はその部分集合と同じ濃度なんだから。

「線は点の集合である」
なぜならば、どこを指しても、そこには点があるから
って言うのは、循環論法に陥っている。
どこをって言ってる瞬間にすでに（例えばその指の先に）点を想定し、すでに
点としてしか切り取るつもりがないからだ。
定義が相互に循環してしまっている。
連続体仮説が公理にしかならないって言うことがこの間の状況をよく表している。

age

三年十八日十二時間。

保守

現実のボールは素粒子が有限個の離散量ですよね。
数学の球は無限個の点からなる連続量ですよね。つまり点が無限にある。
点が無限にあるから小さい球でも大きくなれるんじゃないでしょうか？
そして現実のボールは素粒子が有限個しかないから大きくなれないのではないのでしょうか？
つまりこの定理が言いたいことは
物理学においては数学を使うなということなんじゃないでしょうか？
せいぜい離散数学とか順列、組み合わせ、整数論ぐらいはつかってもいいと思いますけど、
解析学は実数であり連続量を対象としているので使ってはいけないのです。

時間も連続量だよ

え？

この定理の原因が連続量にあるかっていうとそれも微妙。
平面の場合なら、連続量でもバナッハ・タルスキみたいなのは成り立たないし。
こういう変に感じる類の定理が成り立つのは、連続量とか関係なしに、
選択公理やその類の非構成的な公理を使っているのが原因って話でしょ。
連続量でなくても、非構成的な公理を使うと、
これに限らずとも気分的には奇妙なものが作れたりすることはある。

時間は連続である
↓
いつまでたっても1秒を超えることは出来ない。
↓
矛盾
↓
背理法発動
↓
時間は離散

莫迦って、頭の中が矛盾してるからどんな命題でも導き出すんだろうなあ。

数学の線分は連続だけど
物理学の距離は離散だよね。
そこがわかってないからアキレスと亀の話もわからなくなる。
亀は１秒間に道路の素粒子を１粒進む
人は１秒間に道路の素粒子を２粒進むとする。
するといつかは追いつく。
ところが
アキレスと亀の話に出てくる「道路」というのは「数学の線分」なんだよね。
つまり実数なんだ。
だからいつまでたっても追いつけない。
それはそうだよね。
線分の粒は無限にあるんだから追いつけるはずはない。
アキレスと亀の話は「道路」と「線分」を「すりかえ」ている、
こういう説明をすればすぐにわかるんだけど誰もこういう話をしないんだよね。
俺が初めてじゃないかな。こういう説明したの。
わかりやすいでしょ？
で、時間も含めてあらゆるものは離散。
数学でこの宇宙を記述できない理由はまさにそこにある。
アインシュタインですらこんなこと言ってないよね。
多分、うすうすは気づいていたとは思う。
数学では記述できないって。
でも言えなかった。
何故ならアインシュタインも数学を使っているから。
こういう説を言ったのは多分おれが最初だと思う。
おれが自分であみだしたんだけど、大抵、自分があみだしたものって
すでに発見されていたりするんだけど、この説は誰も言っていない。
俺が最初じゃないかな。

>>645 アキレスの話は別に連続だろうと問題ない。
　ただ観察のプロセスを一致する以前のところで勝手に絞ってるのが問題なわけ。
　プロセスの無限遠方（一致する時間）で実際追い越される。
　実際連続内での関数y=xとy=x^2もx=1で追い抜かれる。
　お前はそもそもの話を勘違いしてるな。

>>646
「歩く」という言葉の定義を
「道路の素粒子を一粒進む」
と定義したなら俺の話は間違っていない。
歩くをそう定義したら、線分上では一歩も歩けない
くやしかったら、これを論破してみな。

＞実際連続内での関数y=xとy=x^2もx=1で追い抜かれる。

それは紙に書いた２つの関数だから。
紙の素粒子が一粒づつ進めば追い越すに決まっている。
あるいは脳でイメージした一粒のドットで考えているから。

素粒子ならそれこそ連続とかアキレスとか関係なく抜かすだろ
きまった秒ごとに整数単位でしか進めないんだから。
一歩も歩けないって何の話だ？それこそ時間を絞ってるからだろ。
1秒で一歩進むところを0.9999の話してるってだけ。

>一歩も歩けないって何の話だ？それこそ時間を絞ってるからだろ。

違うよ。
「歩く」を「素粒子を一粒進む」と定義したら
線分上では一歩も歩けない。
何故なら実数なのだから。
点が無限にあるのだから、一歩進もうとしたら、その一歩の中に無限に点がある。
だから一歩も進めない。
まあ、人って、道路は歩いたことはあるけど、線分は歩いたことないからね。
理解できない人がいても仕方ないのかな。

あ？それは空間が離散だからだろ？
時間が離散かどうかとは全く関係ねーじゃん。

横レスだが、
＞「歩く」を「素粒子を一粒進む」と定義したら線分上では一歩も歩けない。
↑「歩く」の定義を変えればいいだけの話じゃね？

素粒子と言ってる時点で、ここで使われている「歩く」という言葉は離散量限定の
言葉である。そんな定義の言葉を連続量に当てはめたら、「歩けない」のは当然。
というか、連続量ではダメになるように「歩く」という言葉の定義を>>649が勝手に
決めてしまったにすぎない。

てかカメの話は数学的モデルRの中での話してるんだからさ。
実際の物理の話に当てはめてするのがまずナンセンスだよ。
極限操作がパラドクスのように思われるという話を提唱してるだけ。

じゃあ「歩く」って言う言葉をおれは間違って理解してたのかな。
広辞苑にも載ってないんだよね。
小さい頃からおれは素粒子一粒づつ歩いた経験しかないから。
どうやったら実数の線分を歩けるの？
歩き方を教えてよ。

時間も離散なのは同じ理屈だよ。
時間の最小単位を一粒進もうとしたらその一粒に無限に粒があったら
時間は流れないでしょ。

ようするに数学はこの宇宙に適合してないってこと。

>>653
「時刻tにおいて位置tに居る」という運動を考える。ワープしても何でも構わないから、
とにかく、「時刻tにおいて位置tに居る」という運動を考える。この運動を、数直線上を
「歩く」と定義すればいい。

離散的な場合では、時間の最小単位を一粒進むごとに、素粒子を一粒進むことを「歩く」と
定義していた。それは、時刻0で位置0に居たとすれば、「時刻tで位置tに居る」という
運動をしていることになる。逆に、「時刻tで位置tに居る」という条件が満たされる
運動を任意に考えると、この運動は実は一意的に決まり、
「時間の最小単位を一粒進むごとに、素粒子を一粒進む」
という運動と同値になる。つまり、「時刻tで位置tに居る」という運動を「歩く」と
定義しても同じことになる。

>>645
アキレスの道路は、連続でなく、有理数の道路だとしても
亀に追いつけないと思うが？

> ようするに数学はこの宇宙に適合してないってこと。 

どこも要してない。
もしたとえすべての物理現象が離散的であったとしても
数学は離散を扱うことができるし
数学では連続が世界を表している必要などまったくない
「連続は世界に適合していなかったね。」というだけの話。

世界が連続だとしても同じことが言える。
「離散は世界に適合していなかったね。」というだけの話。
どちらにせよ、数学は、それらが世界に適合しているかどうかとは
まったくなんの関係もなく、離散も連続も扱う。

>>656
莫迦に相手しても無駄にエネルギーを使うだけだからやめたほうがいいよ。

>>654
そんなのダメだ。
「歩く」ことを定義する時に「移動できる」ことが前提になってる。
俺の定義は違う。
素粒子がとなりあう場合にのみ移動できる。
この移動を歩くと定義する。
だ。
おまえのは
移動できる、だから歩ける、と言っているに過ぎない。
そんなものはＡはＡであると言っているに等しい。

ちなみに、線分上を移動できないことの証明は簡単だ。
∀ｘ∈Ｒにおいて、となりあう実数ｙは存在しない
よって移動できない。

>>658
＞「歩く」ことを定義する時に「移動できる」ことが前提になってる。
お前の定義だって同じだよ。
＞素粒子がとなりあう場合にのみ移動できる。この移動を歩くと定義する。
↑ここは、「素粒子が隣り合う場合には移動できる」ということを前提に置いている。
そして、その前提のもので、その移動を「歩く」と定義している。つまり、
俺と同じように、「移動できる」ことが前提になっている。というか、
”この　移　動　を歩くと定義する”と宣言してしまった時点で、
移動できることが前提になっている。

＞おまえのは
＞移動できる、だから歩ける、と言っているに過ぎない。
お前がやっていることも同じ。お前は「素粒子が隣り合うなら移動できる、だから歩ける」と
言っているにすぎない。なぜ、素粒子が隣り合うと移動できるのか？その前に、そもそも
「移動できる」とは何か？俺は「移動できる」という言葉の定義を不問にしたが、それは
お前も同じことだ。お前は「素粒子が隣り合うなら」という条件を加えているだけで、
結局、「移動できる」とは何なのか説明していない。単に、「素粒子が隣り合うなら移動できる」
という前提を置いているにすぎない。そこに「移動できる」という言葉の説明は無い。

＞そんなものはＡはＡであると言っているに等しい。
お前も同じ。理由は上に書いたとおり。お前だって、「移動できる」ということが
どういうことなのか説明していない。単に「素粒子が隣り合うなら」という条件を
加えているだけで、結局、「移動できる」とは何なのか説明していない。

>>658
一応言っておくが、

・時間の最小単位を一粒進むごとに、素粒子を一粒進むことを「移動する」と定義する

なんてことを言っても無駄だからな。この場合、「進む」とは何なのか説明が無い。
これでは「進むから移動する。だから歩ける」と言っているに過ぎない。

>>658 隣り合う粒子の最小単位ずつ飛ぶんだろ。
　[x]みたいな関数みたいにして移動できるじゃん。
　実数は離散じゃないのに隣り合うって意味不明。

「隣り合う素粒子を移動できる」というのは公理だ。
しかし
「隣り合わない素粒子間を移動できる」という公理は採用できない。
何故ならそれはワープだから。
もちろん現実とまったくかけ離れた数学を構築するというのならそういう公理を
好き勝手に採用してもいい。
それは自由だ。
それをおれはとめることは出来ない。
好きにしたらいい。

＞実数は離散じゃないのに隣り合うって意味不明。

実数は連続だから隣り合うことは出来ないから移動できないという話。

まったく焦点がずれてて、馬鹿としか言いようがないな。。。
いい加減恥ずかしいｷﾁｶﾞｲ妄想は自分の頭の中だけでしてもらいたい。
お前が言ってるのは1+1=3と定義する。しかし実際には1+1=2であるからこれは矛盾。
と言ってるのと同じレベルだ。

素粒子の最小単位をaとおいて
｜x-y｜=aなる実数x,yを"隣り合う"と定義すれば何の問題もない。

で、x→x±aなる写像を"一歩歩く"と定義すれば
>「隣り合う素粒子を移動できる」というのは公理だ。
にも抵触しない。終了

>>662
＞「隣り合う素粒子を移動できる」というのは公理だ。
ということは、結局のところ、お前もまた「移動できる、だから歩ける」という
論理を使っていることになるな。お前が俺に言った言葉をそのまま返してやる。

お前は、移動できることを公理として採用している。つまり、「歩く」ことを定義する時に
「移動できる」ことが前提になってる。おまえのは、移動できる、だから歩ける、と言って
いるに過ぎない。そんなものはＡはＡであると言っているに等しい。

＞「隣り合わない素粒子間を移動できる」という公理は採用できない。
＞何故ならそれはワープだから。
それがワープと解釈されるか否かは、「移動できる」という用語にどういう定義が与えられているかに
よる。お前は未だ「移動できる」という用語に定義を与えていない。お前が今回出してきた情報は
＞「隣り合う素粒子を移動できる」というのは公理だ。
ということであり、「移動できる」という用語の定義が無い。

＞実数は連続だから隣り合うことは出来ないから移動できないという話。
それもまた、「移動できる」という用語の定義によって変わる。
お前の言う「移動できる」とは何だ？

じゃあπのとなりの数っていくつなんですか？
素粒子の大きさはそちらで決めていいです。

>>667
「隣の数」の定義は？

まあ>>662の言う"実数の隣に進むことを歩くとしてこれは歩けるか？"という命題は"真"となるんだよね。
なぜならば実数にはそもそも隣という概念が存在しないから。
詳しくはvacuously trueでググってみろ。
てことで>>662はまったくもって論外なのです。

>>667
隣の数は存在しないとの立場なんだが。
>>658を読むように。

ワープを認めるのなら話はかみ合うはずないなあ。

>>670
隣の数が存在しないと移動できないのはどうして？
お前の言う「隣の数」「移動できる」って何？定義はどこ？
その定義に基づいて、「隣の数が存在しないと移動できない」という
主張をちゃんと証明してくれ。

>>671　話をそらすな。さっさと降参しろ。

離散的なモデルの場合の方がワープしてる感じがするのは俺だけか？

時間の最小単位をεとする。時刻0では素粒子が
●○○○
こんな感じに並んでいるとする。時刻εでは、
○●○○
このように隣の素粒子へ●が「移動する」とする。このとき、●はどうやって
隣の素粒子へ移動したのか？一瞬でワープしたのか？それとも、
≡● ﾋｮｲ
と「動いて」隣の素粒子へ移動したのか？前者の場合は、文字通りワープした
ことになる。後者の場合は、我々は、●がﾋｮｲと動いている場面を観測することが
出来ない。なぜなら、●がﾋｮｲと動くのは時刻0から時刻εの間であるから、
●が動く場面を観測しようとしたら、0＜t＜εを満たす任意のtにつき
「時刻tで●を観測し、その位置の変化を記録する」
という行為をしなければならないから。しかし、時間の最小単位はεだから、
これは不可能。つまり、後者の場合、我々が時刻0〜εの範囲で観測できるのは
●○○○，○●○○の2つだけであり、これはワープしているのと区別がつかない。

頭が悪いって、ｶﾜｲｿｳｗ

Reply:>>675 それならお前は頭が悪くならないように教育できるのか。

アキレスと亀以外のゼノンの逆理とそれに関する議論を一通り学んでから出直してきて欲しい。つかパラドックス総合あたりでやれ。

>、「隣の数が存在しないと移動できない」という 主張をちゃんと証明してくれ。

公理だから証明できない

>離散的なモデルの場合の方がワープしてる感じがする

連続だと離散よりもさらにワープしないといけなくなる。
自分が今、πの地点に立っているとして、一歩進もうとすると一歩も進めない。
一歩の中に無限に点があるから。
その無限の点を飛び越えて一歩進むというのはまさにワープだ。

>>678
＞公理だから証明できない
じゃあ、お前が言うところの「隣の数」「移動できる」という用語は、
ユークリッド幾何における「点」「直線」と同じ扱いなんだな？
つまり、お前が言うところの「隣の数」「移動できる」という用語は
無定義用語なんだな？だとしたら、これらの言葉にお前の感覚を適用
するのは間違いだな。お前のやっていることはナンセンス。平行線は
絶対に交わらないと言っているのと同じ。それはナンセンスだろ。
ついでに言うと、お前がやっていることはダブルスタンダードだ。

(1)自分が何か主張するときには「これらは無定義用語です」と言い、
意味を求めない。その正当性の論証を公理に押し込めてしまう。

(2)一方で、他人が何か主張するときには、そこで使われている言葉に
意　味　を　求　め　、テメェの感覚を適用し、「それは間違いだ」と
文句をつける。

↑ほれ、これがお前のやっていることだ。いい加減にしやがれ。

>>678
＞自分が今、πの地点に立っているとして、一歩進もうとすると一歩も進めない。
＞一歩の中に無限に点があるから。
「一歩」という概念が既にナンセンス。「一歩進む」とはどういうことか？
この概念はとても動物的だ。一歩進むためには、対象に「足」が生えて
いなければならない。ところが、我々が対象とするのは「点」だ。
点に足など生えていない。お前は
「自分が今、πの地点に立っているとして」
などと言っているが、実際にπの地点に立っているのは、足の生えた自分
などではなく、足の生えていない、ただの点だろ。


足の生えた動物が「一歩進む」には、その歩幅が問題になる。
そう、「一歩」という言葉を使うためには、同時にその「歩幅」を指定
しなければならない。お前は「一歩も歩けない」などと ほざいているが、
その前にお前は、その一歩に「歩幅」を指定していない。「一歩」という
概念を使うならば、まずは歩幅を指定しろ。そして、その歩幅で歩くことが
出来ないことを証明しろ。

＞その無限の点を飛び越えて一歩進むというのはまさにワープだ。
歩幅を指定していないから、その指摘は無意味。例えば、歩幅が「1」なら
無限の点を飛び越えて一歩進む(＝1だけ進む)のはワープでも何でもない。
(そもそも、一歩という概念自体がナンセンスだがな。)

僕のレス(664,665,669)には反応してくれないのかな？＾＾
反論できないのかな？＾＾

>>678 離散性を認めるなら移動にgapがあるのは当たり前。
　それを移動と認めないならお前は
　Aでない⇒Ａでない。というナンセンスな名大を主張しているにすぎない。
　なぜならば離散性を認めることとgapの存在を認めることは同値であるから。
　キミはたぶん話してるレベル的に高校二年生程度だと思うが、
　最低でも大学レベルのちゃん議論されている数学を勉強してから自分の意見を主張しましょうね。

ワープを認めないのは公理なのか？

ワープを認めないなら、離散的な場合では素粒子は動けないな。

＞ところが、我々が対象とするのは「点」だ。

だから数学では物理は記述できないって言ってるだろ。
物理学が対象としているのは「点」ではなく幅のあるもの。

>その前にお前は、その一歩に「歩幅」を指定していない

歩幅は素粒子一個分でも２６．５ｃｍでもなんでもいい。
どうせ２６．５ｃｍだとしても細かく見ていけば移動できるのは素粒子一個分づつなんだから。

＞その歩幅が問題になる。

上の説明より問題にならない。



●○○○
↓
○●○○
昨日はワープは認められないと言ったけどこの手のワープは認めざるを得ないね。
隣り合う場合に「のみ」にね。
でないと移動できないから。

しまいには熱力学は間違い!
粒子一つづつの動きをちゃんと計算しろ!
とか言い出しそうだな、こいつｗ

隣の数」の定義は
自然数ならnとn+1
実数なら定義不可能。
∀ｘ∈Ｒにおいて、となりあう実数ｙは存在しないから。
「隣り合う」とはある数とある数の間に別の数が存在しないこと。

残りはまた明日ということで。

「歩く」とは
●○○○
↓
○●○○
この手のワープのことである。
隣り合う素粒子間のワープのことである。
定義したぞ。
じゃあ連続論者の歩くの定義を書いてもらおうか。

いまさらのようにバナッハ・タルスキと無関係な
ツェノンの逆理持ち出して言い合ってるカスども
どっちもうぜぇ

不可算無限の要素を含む集合を扱うからこういうややこしいことが出て来るんだよな
不可算無限は数学から排除すべきだ

＞「自分が今、πの地点に立っているとして」
＞などと言っているが、実際にπの地点に立っているのは、足の生えた自分
＞などではなく、足の生えていない、ただの点だろ。

違う。
２６，５ｃｍのつま先がπの位置にあるということ。
そこから一歩進むにはどういう仕組みで進むのか書いてもらおうか。

π→π+aと移動する。

そのaというのは素粒子何個分なのかな？
そしてその移動の土台は「数学の線分」なのか「物理の道路」なのか
「連続」なのか「離散」なのか
明日までにちゃんと書いてね。
俺はもう寝るから。

要はR上で離散を扱いたくば
Z(+)→R(+)のembeddingを考えればいい話だ。
いい加減スレ違いなんで消えてね。白痴さん。

>>688
＞隣り合う素粒子間のワープのことである。
＞定義したぞ。
＞じゃあ連続論者の歩くの定義を書いてもらおうか。
既に>>654で書いたのだが。もっとも、654の時点では、お前は「こんなのはダメだ」
と蹴り飛ばしていたが、全く同じことをお前もやっているわけで、そのことについて
特にお前から反論意見も出ていないので、654で十分。まあ、多少詳しく書くとすれば
こういうことになる。↓

時刻0において、点Pが数直線上の点0(＝原点)の場所に居るとする。今、時刻t＝aを
1つ固定する。任意の時刻tにおいて、点Pの位置を観測することを考える。このとき、
・t≠aのときPを観測すると、常に点0の場所に居る。
・t＝aのときにPを観測すると、そのときのみ、点aの場所に居る。
という観測結果が得られたとする。これは、時刻t＝aのときに、Pが点aの位置にワープ
した様子を表す(我々は如何なる位置へのワープも許容する)。また、この観測結果は
f(t)＝ 0 (t≠a)，a (t＝a)
という写像f：R → Rと同一視できるから、この写像fを特にf_a と書くことにする。
さて、任意の観測結果に対し、明らかに、その観測結果と同一視される写像が存在する
から、逆に、「観測結果」という言葉自体を、RからRへの写像として定義する(従って
我々は、任意に与えたRからRへの写像に対して、その写像に対応する”観測結果”が
存在することを許容する)。

定義：「歩く」とは、次の写像g：R → Rのことである。
g(t)＝f_t(t) (t∈R)
なお、f_tなんぞ使わなくても、g(t)＝tと書いても同じことである。

ちなみに、お前がやっていることも、上で書いたのと全く同じことである。
＞「歩く」とは
＞●○○○
＞↓
＞○●○○
＞この手のワープのことである。
これはつまり、次のような写像G：{0，ε，2ε，…} → 素粒子の直線　のことを言っている。
G(nε)＝n番目の素粒子　(n＝0,1,2,…)
そしてお前は、Gに対応する観測結果が存在することを予め許容すると言っているのだ。つまり、
・時刻0のときに●を観測すると、●○○○の位置にいる。
・時刻εのときに●を観測すると、○●○○の位置にいる。(εは時間の最小単位)
という観測結果が存在することを、初めから許容しているのだ(お前の言葉で言えば、
ワープを認める、ということだ)。

＞２６，５ｃｍのつま先がπの位置にあるということ。
＞そこから一歩進むにはどういう仕組みで進むのか書いてもらおうか。
「歩く」ことの定義は写像gであり、進むことの仕組みはそれで終わっている。まあ、
悪く言えば「gに丸投げしている」ということである。
簡単のため、一歩の歩幅を「1」とする。時刻0で点Pが点0(＝原点)にいるとする。Pがそこから
一歩進んで点1の場所に行けることを確認するには、各時刻tにおけるPの位置を観測すればよい。gは
・時刻tでPを観測すると、点tに場所にいる(∀t∈R)
という観測結果であるから、0≦t≦1においてPの位置を観測すれば、時刻0ではPは点0の
場所にいて、時刻1ではPが点1の場所にいて、時刻t (0＜t＜1)ではPが点tの場所にいる
ことが分かる。要するに、「実際にgに従って観測してみたらそうなっている」ということだ。

もう一度言うが、これはお前のやっていることと全く同じことである。お前もまた、
「歩く」ことの定義を写像Gで与えていて、Gに対応する観測結果が存在することを
予め許容し(＝ワープを許容する)、「一歩進む」という仕組みをGに丸投げしているのだ。
お前が抱く「一歩進む」というイメージは、●○○○ → ○●○○だろう。しかしこれは、
時刻t＝0，εにおける●の位置を、Gに従って観測しているに過ぎない。お前もまた、
「実際にGに従って観測してみたらそうなっている」と言っているだけなのだ。

いい加減スレ違いなんで消えてね。白痴さん。

>>687
点や素粒子が動けるか否かを確認するのに必要なのは、各時刻でそれを観測することで
あり、必要なのはそれだけである。空間に隣の概念があろうが無かろうが関係ない。
たとえ隣の概念があっても、実際にやることは「各時刻で観測する」ということであり、
隣の概念なんぞ全く使わない。

隣が無いから動けないというのは、虚数√-1が無いから動けないと言っているのと同じ。
離散的な場合でも連続的な場合でも、数直線上に√-1は存在しない。だから、√-1の
場所へは行けない。しかし、存在しない場所へ行けないのは当たり前であり、そこから
「動けない」と飛躍するのはおかしい。

存在しない場所へは行けない。しかしそのことは、動けるか否かとは関係が無い。
隣が無い場合は、隣は存在しないから、隣へは行けない。じゃあ動けないのかと言うと、
それは別問題。動けるか否かを見るには、「各時刻で観測する」ことが必要であり、そして、
それだけが必要。隣がある場合には、各時刻における位置を「隣」という言葉である程度
表現できるというだけの話である。隣が無い場合には、そういう表現ができないというだけの
話である。しかし、そういう表現ができないということは、動けるか否かとは別問題。単に
表現の手段が1つ減っているだけの話である。

数学的にやりあう気がないなら物理板へ行ったほうがいいんじゃないか？

写像で定義するなんてダメだ。
おれが問題にしているのは定義域をどうやって移動するのかということであって、その値域は問題にしていない。
y=f(x)のx軸上をどうやって移動するんですか？
と言うことを問題にしているのである。
yの値がどうなろうがそれはもっと後回しにする問題である。

>>700
＞写像で定義するなんてダメだ。
じゃあ、お前もダメ。お前も写像で定義している。どんなに言葉を取り繕っても、
●○○○ → ○●○○
なんていう表現は本質的に写像の言葉である。離散的な場合において、素粒子の移動を
表現しようとしたら、「時刻0ではこの位置、時刻εではあの位置」のように表現せざるを
得ない(もちろん、連続の場合でも)。そして、この表現方法は本質的に写像の言葉である。
なぜなら、この表現方法は
・時間(＝定義域)を任意に指定し、
・その時間において素粒子が空間内(＝値域)のどこに居るのかを指定する
という表現だからだ。これは写像そのものである。そして、物体の動きを記述するときに
この表現から逃げることはできない。
写像による定義を否定するということは、何もかも全てを否定するということ。俺の主張
のみならず、お前の主張も全て否定するということ。
お前は本質を何も分かっていない。まあ、今までもそうだったもんな。ダブルスタンダード
だったり(>>679)。お前は単なるおバカだ。そもそも、概念の定義に使う表現方法まで制限
するなどナンセンス。

＞おれが問題にしているのは定義域をどうやって移動するのかということであって、その値域は問題にしていない。
＞y=f(x)のx軸上をどうやって移動するんですか？
＞と言うことを問題にしているのである。
値域は問題にしていないだと？ふざけるな。お前は今まで、値域＝空間だけを問題にしていたぞ。
定義域とは「時間」のことだ。お前は今の段階に至るまで、定義域＝時間をどうやって移動する
のかについて 全 く 議 論 し て い な い ｗ全く、おかしな奴だなお前は。
お前は今まで、「素粒子がこんなふうにワープするのは認める」のように、値域＝空間に関する
議論しかしていない。定義域＝時間に関する議論をしていない。お前は、時間をどうやって
移動するのか全く説明していない。
ちなみに、xと書くのは空間のように見えるからよくない。tと書け。定義域は「時間」であり、変数はtだ。

>>701
あきらかにバカなやつに対してそこまで熱くなるのは修行が足りない証拠。バカにはどんなに説明してもバカのまま
なんだから、もうそろそろ無視したほうがいいよ。

>>685
＞物理学が対象としているのは「点」ではなく幅のあるもの。

幅って何？

このスレは白痴どもに乗っ取られました＾＾；

まるで電車のなかであたりかまわず騒ぎまくっている知的障害者の集団のようですね＾＾；

時計を見てみる。
秒針の先端が円周を回っている。
６０等分された円周は一目盛一秒をあらわしている。
しかし
時計は円である必要は全く無く、
直線でもかまわない。
とするなら６０ｍの道路を用意し、１秒に１ｍ進めばこれは時計と全く同じである。
つまり時間の流れは、物の移動に変換できる。
そうだとするなら
y=f(t)のように横軸はtでなければならないとの主張はその根拠を完全に失う。
y=f(x)でかまわない。
そして彼は歩くことを写像を使って定義したというが、その写像の横軸は道路である。
つまり歩かなければならないものである。
彼は歩くことを写像を使って定義したというが、その写像の横軸は道路である。
つまり歩かなければその写像は実現できないのである。
つまり歩くことを定義するのに写像を用いているが、その写像は歩くことで定義されているのである。
歩くという言葉を定義するのに歩くという言葉を使っているのである。
歩くとは歩くことであると言っているのである。
ＡはＡであると言っているのである。
数学をやっている人間であるなら、たとえそれが趣味であろうと一番おかしてはならないミスであろう。

やっぱ、物理屋ってヤバイなｗｗｗｗ紙一重だわ。

>>705
＞そして彼は歩くことを写像を使って定義したというが、その写像の横軸は道路である。
もう一度言うぞ。お前もまた、 歩 く こ と を 写 像 を 使 っ て 定 義 し て い る 。
お前は ●○○○ → ○●○○ なんていう表現を使っていたが、この表現は本質的に写像の
言葉である。離散的な場合において、素粒子の移動を表現しようとしたら、
「時刻0ではこの位置、時刻εではあの位置」のように表現せざるを得ない(もちろん、連続の
場合でも)。そして、この表現方法は本質的に写像の言葉である。物体の動きを記述するときに
この表現から逃げることはできない。
写像による定義を否定するということは、何もかも全てを否定するということ。俺の主張のみ
ならず、お前の主張も全て否定するということ。 お前は本質を何も分かっていない。

＞つまり歩くことを定義するのに写像を用いているが、その写像は歩くことで定義されているのである。
お前は ●○○○ → ○●○○ という表現によって、写像の言葉を用いずに歩くことを定義した気に
なっているようだが、この表現は写像の言葉そのものである。お前もまた、歩くことを定義するのに
写像を用いている。

＞歩くという言葉を定義するのに歩くという言葉を使っているのである。
＞歩くとは歩くことであると言っているのである。
＞ＡはＡであると言っているのである。
物体の移動を記述するのに写像の言葉を使わないことは不可能。お前もこの事実からは逃れられない。
俺がやっていることと、お前がやっていることは全く同じこと。俺のやることを否定するのは、同時に
お前のやっていることを否定することになる。

もう1つ言っておこう。

＞つまり歩かなければその写像は実現できないのである。
まずは写像を定義する。次に、その写像を実現するような「歩く」という動作が存在することを、
証明なしに認める。この議論は確かに、お前が言うところの「AはAである」ということである。
しかし同時に、お前もまた、俺と同じことをしているのだ。
お前はまず、写像G：{0，ε，2ε，…} → 素粒子の直線　をG(nε)＝n番目の素粒子　(n＝0,1,2,…)
として定義した。次に、この写像を実現するような「歩く」という動作が存在することを、お前は
証明なしに認めているのだ。そう、お前は
＞「歩く」とは
＞●○○○
＞↓
＞○●○○
＞この手のワープのことである。
こう書いていたのだ。「この手のワープを認める」ということは、Gを実現する動作が存在することを
認めると言っているのと同じこと。「ワープできる。だから歩ける」と言っているのがお前。
なぜワープが可能なのか？ワープはどのような原理に基づいて起こるのか？それを説明せず、
ワープという言葉で誤魔化しているのがお前。移動することの原理を追求するのを諦め、SFの
ような「ワープ」という魔法で逃げたのがお前。これは、「AはAである」と言っているに等しい。

横槍入れてどうでもいいところつっこんでみるけど、
＞もう一度言うぞ。お前もまた、 歩 く こ と を 写 像 を 使 っ て 定 義 し て い る 。
こんな風にスペース入れて強調しても馬鹿っぽく見えるだけだと思う。


あと、何この流れ？

じゃあわかった。写像使ってもいいよ。
ただ写像の横軸の移動はどうするのさ。
横軸の移動を実現しないと写像もへったくれもないだろう。

>>710
写像の横軸って何？
横軸の移動って何？

＞移動することの原理を追求するのを諦め、SFのような「ワープ」という魔法で逃げたのがお前。

これは違う。
追求した結果、ワープを認めざるを得ないという結論にたどり着いた。
ただし隣り合う場合「のみ」。
お前のほうがワープだろ。
隣り合わないのに一気に移動するんだろ？

>>710
＞横軸の移動を実現しないと写像もへったくれもないだろう。
俺は、「移動という行為の根本的な原理を説明するのは不可能」という立場をとっている。
だから、「移動する」という言葉を定義するときには、ユークリッド幾何における「点」「直線」の
ように、無定義用語として定義するしか無いと思っている。それは、お前の言葉で言えば「AはAである」
ということだ。しかし、それは仕方が無い。

ユークリッド幾何でも、点は点であり、直線は直線である。
点をどのように打つのか？打てるとしたら、どういう原理に基づいているのか？
直線はどのように引くのか？引けるとしたら、どういう原理に基づいて引くのか？
……そんなことは、ユークリッド幾何では問題にしない。それはナンセンスだ。同じように、
俺は、「移動する」という言葉に原理を求めることはしない。原理を求めるのはナンセンスだと
思っている。それが俺の立場だ。

原理が説明できるなら それに越したことは無いが、移動という行為の根本的な原理を説明するのは
不可能だと思う。実際、離散的な場合ですら、移動するという行為が実際に可能なのか、俺には
分からない。もし可能だとしたら、その原理はどう説明されるのか、それも俺には分からない。
少なくとも、お前はそれを説明できていない。移動することの原理を追求するのを諦め、
SFのような「ワープ」という魔法の言葉で思考停止したのがお前。そして、それを説明だと
勘違いしているおバカさんがお前。

>>712
＞これは違う。
＞追求した結果、ワープを認めざるを得ないという結論にたどり着いた。
結論だと？ふざけるな。それは思考の過程にすぎない。まだ結論に辿り着いてなどいない。
ワープなんてのは、SFで使われる魔法の言葉に過ぎない。ワープとやらはどういう原理に
基づいて起こるのか？その根本的な原理を説明すること無しに、「移動する」という行為の
原理を説明したとは言わない。「移動する」という言葉を、表面的に言い換えたに過ぎない。

お前：ワープができる。だから移動できる。
オレ：そのワープはどうやって出来るのか？原理は？
お前：なぜワープが出来るか、だと？そうじゃない。ワープは認めるんだ。それ以上追及するな。

↑このようにして思考停止しているのがお前。そして、思考停止することを「結論」だと
勘違いしているのがお前。ワープという行為の正体は何なのか？根本的な原理が説明できていない、
正体不明のアヤフヤな概念から出発して「移動できる！」と吠えてみたところで、それは
「AはAである」と言っているに等しい。

物体の移動っていうのは時間軸を用いないと定義できないとはどういうことだろうか。
じゃあ秒針の移動も時間軸を用いるわけ？
時間の定義を時間で定義するの？
そこを明日までに。

>>715
別に時間軸を用いなくてもいいよ。それで定義ができるのなら。そして、実際に定義は
可能だろう。無定義用語を使うことを認めればな。つまり、「AはAである」を認めればな。
ま、どう定義するのかは知らんがな。

しかし、お前の姿勢(根本原理を追求するという姿勢)を貫いている限りは、何も定義できないよ。
時間軸を使っても使わなくても、お前の姿勢では、何も定義できない。現にお前は、「移動する」
という言葉を定義するのに「ワープ」という魔法の言葉で思考停止した。お前が言うところの
「ワープ」という3文字の記号列は、まさに無定義用語だ。「AはAである」ということだ。お前は、
「ワープはワープである」と言っているのだ。そして、なぜかお前は、そのことに疑問を持たない。
お前は、「AはAである」を否定しつつ、しかし自分でも「AはAである」を使ってしまっているのだ。
ここでもダブルスタンダードだ。つまり、

(1)自分が何か主張するときには「これらは無定義用語です」と言い、
意味を求めない。その正当性の論証を公理に押し込めてしまう。
(2)一方で、他人が何か主張するときには、そこで使われている言葉に
意味を求め、テメェの感覚を適用し、「それは間違いだ」と文句をつける。

ということだ。いい加減にしろ大バカ野朗。

このスレは白痴どもに乗っ取られました＾＾；

まるで電車のなかであたりかまわず騒ぎまくっている知的障害者の集団のようですね＾＾；

>>715
＞時間の定義を時間で定義するの？
そういう たぐいの質問は無意味である。なぜなら、俺は「AはAである」
という議論を認めるからだ。時間を無定義用語とするなら、時間の定義を
時間で定義して構わない。何か別の無定義用語から出発して「時間」を
定義したければ、そうしてもいい。
むしろ、そういう たぐいの質問は俺が聞きたい。お前は「AはAである」と
いう議論を認めていないからな。では質問だ。

・お前は、ワープの定義をワープで定義するのか？
・ワープとは何だ？ワープの定義は？
・その定義のもとで、実際にワープは起こせるのか？
・もしワープが起こせるとしたら、その根本原理はどうなっているのだ？

>>1
この証明正しいと思うよ。

これって積分やR^3での体積の概念の否定にならないの？
有限回の移動で体積が変わるんでしょ？

>>720
体積が定義できない、不思議なカタチに分割するのがミソ。
このとき測度の加法性が適用できないので、不思議なことが起こる。

選択公理の否定にならないの？

何も矛盾が起きていないのに、なぜ否定するのだ。
測度の加法性が成り立ちつつもKからLに変えられたら矛盾だと言えるがな。

>>721 なるほど、非可側集合を通して変換するのね。

実数から有理数への群準同型を構成するのにも選択公理を使うよね

＞つまり時間の流れは、物の移動に変換できる。

これってそういうものなんでしょうか？
としますと、道路が離散なら時間も離散ということになるんでしょうか？
よく時空って聞きますけど、時間と空間ってやっぱり離散なんでしょうか？

>>726
そんなもん物理板で聞けよ
せっかく元の流れに戻りつつあるのに蒸し返すな
氏ね

すみませんが
http://namidame.2ch.net/test/read.cgi/slotj/1216400588/
のスレで確率についてバトルしています

問題はサイコロで1が8回連続して出る確率です
バカが多すぎて疲れました
頭の良い皆様、論破してください
お願いします

論理だけを根拠に進もうとするとこういうマヌケな理論ができあがる。
数学者は少しは実験物理学者を見習うべき。

間抜けが偉そうに説教めいたことほざいてるよ＾＾

ようはこの定理ってR^nと[0.1]が同じ濃度である、と同じようなレベルの話で
全然数学的には不自然じゃないんだね。
実世界は可算どころか有限濃度だからこのようなことは起こり得ないと。

そこで連続か離散かの話につながって行くわけですか

つうか数学って物理的実在を証明する理論じゃないってことも分かってない奴が
いるわけ？あくまで解釈の仕方によって物理的実在に関する論証の道具として
機能する理論にすぎないのに。だって物理における空間と数学における
空間の概念自体がそもそも異なってることなんて大学初年級でも
知ってるのに。

>>731
一次元や二次元では成り立たないってこと分かってて言ってるのか

へえ、異なってるのか。Rって実際の空間やん。ちがうの？

BTパラドックスは空間の問題というよりも空間に作用する群の問題だと思う

>>735
数学で扱う空間は3次元ユークリッド空間以外にもたくさんあるよ。
関数空間なんかが実際の空間なわけがない。
それに物理的に言うと、この宇宙は厳密には3次元ユークリッド空間ではないらしいしな。

この定理の証明みたことないけど難しいの？
選択公理と集合論しってれば理解できるらしいけど。

>>738
群の知識も必要らしい。

ルベーグ積分の知識も必要です
私は理学部数学科出身ですが、知らない分野の内容が多すぎて理解できませんでした

その程度なら理解できそうだな。
紹介してる本とかないのかね？

ルベーグ積分の知識なんて使うっけか。
＞私は理学部数学科出身ですが、知らない分野の内容が多すぎて理解できませんでした
ハァ？よっぽど大学時代遊ぶ以外なあーーーーんにもしなかったんだね。

結局歩くの論争はどっちが勝ったんでしょうか

>>743
んなもん、どうでもいいんだよ。スレ違いなんだよ
何でそんなこと聞くの？バカなの？アホなの？クズなの？目が見えないの？
せっかく元の流れに戻ったのに蒸し返すなって言ってるだろ？
またキチガイどもが戻ってきたどうしてくれるの？
お前>>726だろ？お前>>732だろ？物理の話は物理板でやれ
バナッハ・タルスキー以外の話は二度と持って来るな
以上

>>740
ルベーグ積分は要らないと言えば要らない。
ルベーグ非可測集合は選択公理を使えば簡単に作れる。

RやR^2では成り立たないという反証明はされてるの？
一般のR^nではどうなる？＾＾

>>745
超函数や埋め込み定理も回避できる？

>>746
されてる。n=1,2ではBTは成立しない。一般にn≧3でBTは成立する。

RもR^2も同じ濃度で非可側集合も存在するのに、
これはますます不思議な低利でありまするね＾＾

支援

>>749
>>157にそれとなく雰囲気が書いてあるよ。n≧3では>>157にあるようなWが空間の変換群からとれるが、
１次元や２次元だと自由度がなさ過ぎて変換群からWがとれないんだよ。

n=2ではBTが成立しないってのは誰が示したんだっけ？フォンノイマンだっけ？

一次元の場合も
開（閉）区間の反転
（a,b]を間の点cで切って（a,c]と（c,b] を入れ替える
等の変換を認めたら位数2の自由群が取り出せると思う。

〉〉744
おまえこそあるくの議論でフルボッコにされた奴じゃないのか？
歩くとはどういうことなのかおれは知りたいんだ

>>753
＞物理の話は物理板でやれ
＞バナッハ・タルスキー以外の話は二度と持って来るな
＞以上

>>751
> n=2ではBTが成立しないってのは誰が示したんだっけ？フォンノイマンだっけ？

バナッハ。ジョルダン測度の拡張となる有限加法的測度がR^2上に
存在する。測度論文は>>520。

国立大学法人富山大学

なぜ節穴になったんだろ？

>>757
山崎渉だからじゃね？

八ヶ岳セミナーの連中必死だな

このスレ読んでたら写像が写経に見えてきて落ち着いてきた

俺はこの定理知ったとき
皮向いた白い玉ねぎを切り刻んでいろいろしたら
大きい玉ねぎにできるのを想像したな

多分既出だろうが、定理は信じる物ではない。

この世界は有限個の粒子でできたスカスカな空間だから
この世界での直感に伴わない定理が出てきても何ら不思議じゃない。

この宇宙は数学で記述できないっていうのは半々ってとこですかね。

>>762
実は、そのスカスカな空間こそが満杯な状態と考えることもできるか？

有理数は点在してそうで、そのスカスカな場所を埋めるのが無理数だとか？

そこでダークマターですよ

>>765
物理板に逝け

>>765
うまいな

自分、大学で確率解析を専攻している者ですが、
バナッハ・タルスキーの定理を何とか確率論と結び付けて卒論のテーマにしたいのですが、
可能でしょうか？

こんな面白い定理を発表してみたいです。
誰かレスお願いします。

確率論が選択公理を正しいとするのでBanach-Tarski Paradoxは正しい。
さらに確率がmesureable spaceであるので、Banach-Tarskiを結びつけることはできない。

>>769
つまり、確率論の立場から見てもこの定理は正しいけど、
確率空間ではこの定理は成り立たない、という事ですよね？

じゃあ確率専攻の卒論としてはこの定理をテーマにするのは無謀、という事ですかね…

成り立たないというより、確率空間には制約が多すぎて持ってこれないということ。
卒論のテーマは他のものを選んだほうが賢明。

バナッハタルスキは空間に働く自由群の問題だから確率論と結び付けるのは無理ではない。

>>770
http://www.math.kochi-u.ac.jp/masuda/junior/kida.pdf

>>772
無理ではない、という事は少し無理があるができなくはない、という事でＯＫ？
確率論と結び付けるための、もう少し具体的なヒントを下さいお願いします（＞＜）

>>773
って、おい！ｗｗ
先越されとるｗｗｗ京大にゃ敵わねーよ…
これはアレですかね、このｐｄｆとその参考文献を見てテメェで調べろって事ですかね。
この定理は測度論とは深い関わりがあるのは分かるのですが、
確率解析と結び付けれるとは僕には思えないのですが…

普通ルベーグ可測な確率空間をとるけど、そうしなければいい
結局は等価なものをどういう見せ方で表すか、というだけの話になるけど
分野によっては面白い結果が導けるかもしれない

そろそろsageていきます。あげまっくて申し訳ありませんでした…

>>775
僕は今マルチンゲールについてそこそこ勉強している程度で、
学力は数学板の住人の皆さんほど知識はないので、ご期待には添えないかと…。
たぶん期待なんてしてないでしょうけどｗ

僕が卒論でこの定理を発表したいと思ったのは、ただ単に面白い定理だと思った、それだけです。
調べれば調べるほど、この定理は解析よりも群論の色の方が強いと感じますね…。
非可測な確率空間というのも理解できないｗけど、もう少し考えてみます！

がんがれ。 面白げなものができたらぜひ報告ヨロ。

そもそも卒論なんてもんは(ry

おれにも非可測な確率空間は理解できない。非可測でどうやって全空間の確率＝１を定義できるのか。

もし出来たとすれば、フィールズ賞がもらえるかも。

数学、特に確率論において、確率測度（かくりつそくど）とは、可測空間 (S, E) に対し、E 上で定義され P(S) = 1 を満たす測度 P のことである。

このとき、三つ組 (S, E, P) のことを確率空間と呼ぶ。さらに、集合 S を標本空間、S の元を標本あるいは標本点、完全加法族 E の元を事象あるいは確率事象とよぶ。また、E の元としての S を全事象という。

ウィキペディアなんて胡散臭いサイトからのコピペなんかすんな

Wikipediaは、学問に関する記述は壊滅的。

学問で壊滅的なら政党政治家のページと企業のページは形容のしようがないな

別に壊滅的なほどひどくは無いだろ、あれは百科事典だから、一般向けのものだよ。
普通、数学の勉強や研究をするのに百科事典は見ないだろ。
専門の書籍や辞書を見るのがあたりまえ。

壊滅的なほどひどいだろ

どのあたりが？

いつぞや、卒論のためにBanach-Tarski's theoremへの確率論的アプローチを試みた者ですが、
教授と５分程話し合った結果あきらめましたｗｗｗ

やっぱ確率論の世界で非可測を扱うのは厳しいっすわ…
卒論は、大人しくArcsin Lawでもやろかねｗ

冗談だと思ってたのに、本気だったのか
それとも>>788は笑うところだったんだろうか

>>776はリアルで知り合いな気がしてきた

>>790
俺もお前は知り合いだと思うｗ

じゃあ俺も

どこ大よ

>>793
お前が一番よく知っているはずだ

うるさい。

5分であきらめさせるとは確率空間と非可測集合についてどんな説明の仕方をしたんだろうか？

バカなことを言ってないで真面目に勉強しなさい
とでも言えば、師匠には食い下がれまい

確率解析と群論じゃまるで土俵が違うからねｗ

「具体的な構想はできてる？」
「全然」
「じゃあこっちやったら？」
で充分だろ

「卒業したくないんならいいよ」
とかでもいけそうｗ

気楽に持ち込んでいた前提が
実はぁゃιぃという指摘らしいぞ？

誰だお前？
801か？801なのか？

206

039

可算選択公理について教えてくだされ

適用対象を可算集合にのみ限定した選択公理

証明に挑んできた

何か聞きたいことがあったら是非。

>>127
これって本当にあってる？
賢い方解説してｗｗ

あってるよ

明らか、の部分からよくわからないんだけど…

聖書にある魚とパンの奇跡のような話だと思えばよろしい

>>810
直観的にはこんな感じ。Qをある無理数（たとえば√2）の距離だけ一斉に
並行移動した集合をQ'とする。QとQ'は重ならない。OK？
QとQ'を合わせても可算個しかないから、どちらにも属さない無理数が残っている。OK?
残った無理数を1つ選び, Qをその分だけ並行移動したQ''を考える。QとQ'とQ''は全く重ならない。OK?
これを繰り返してQ,Q',Q'',Q''',…をどんどん作ってRを分割する。
（といっても、Rは非可算個だから、上のように「並べて」いって取り尽すのは無理
だから、同値関係として定義する。論理的には非可算無限個のQモドキたちに分解できる）
それぞれのQモドキから、(0,1/2)に属する代表を1つずつ選択公理で選んでVを作る。
Vをある有理数qだけ並行移動したV[q]と、別の有理数rだけ並行移動したV[r]には、
（代表元たちがいっせいに別の代表元に代わる感じで）
同じQモドキグループに属している相棒に重なるはず。
（別のQモドキグループの要素に重なることはない。
Qモドキグループを有理数だけ並行移動しても自分自身に重なるから。）

>>812
ありがとう。おかげで全部理解できた。
Vの中の要素は差がすべて無理数なわけね。
だからそれを有理数動かしても重ならないことがいえて、
それらを1/2、1/3、…に平行移動していけばいいわけだ。

皆さん頭いいですね…俺がバカなだけか；

最初に思いついたやつ（ヴィタリだっけ）が頭いいんだな
非可算無限個の合同な可算集合に分解しておいて、
行と列を入れ替えるように組み替えると、
可算無限個の合同な（非可算）集合に分解できるという…

バナッハ・タルスキについて勉強するとポーランドとイタリアが数学大国だったことがわかる

471

バナッハタルスキってさ・・・数学的には同値類の集合から代表元の集合を得るところが奇妙だと思われてるけど
自分には同値関係から同値類の集合を得るところが奇妙に思える

そうか？確かに同値類がどんなのになるかがわからないのは
気持ち悪いが、そこから大氷原とってくるところに真の気持ち悪さがあると思った

まあなんとなく気持ち悪いってのは共通してるか

大氷原を誤変換と思わずそのままの意味で解釈しようとして
しばらくのあいだ悩んでしまった。

>>1です。４年ぶりに数学板に来たら自分の立てたスレが未だに残っててびっくりｗｗｗ

４年くらいじゃまだまだ。 ここには８年前のスレなんかもある。

>>820
何か感想は？

四年。

197

406

ではやはりあげておくべきですね。

青土社
バナッハ＝タルスキの逆説
豆と太陽は同じ大きさ？
レーナード・Ｍ・ワプナー 著　佐藤　宏樹 訳　佐藤　かおり 訳
http://www.seidosha.co.jp/index.php?%A5%D0%A5%CA%A5%C3%A5%CF%A1%E1%A5%BF%A5%EB%A5%B9%A5%AD%A4%CE%B5%D5%C0%E2

12月9日 岩波科学ライブラリー165　新版　バナッハ−タルスキーのパラドックス　 岩波書店 1260円 砂田　利一　著
ゲーデルの「不完全性定理」と並ぶ摩訶不思議な定理だが、現代数学の中心にある定理の唯一の解説書。

現代数学の中心ｗｗ嘘だろｗｗ

というか砂田さんって前にも岩波から出してるよね、俺それで勉強した

新版 だから何かしら変わっていると思われる

>>820
今でもまだ信じられないのでしょうか？
それとも信じることができたのでしょうか？
また、バナッハタルスキーの定理と現実世界との整合性はどうお考えでしょうか？

現実世界が実数じゃないってだけだろ

>>829
離散群の深い性質と関わっているみたいだから、必ずしも空疎ではないと思う。
深い性質＋選択公理＝バナッハ・タルスキってこと

＞離散群の深い性質と関わっているみたいだから
ｋｗｓｋ！

そうそう、連続じゃないってのとあと回転群が三次元だと非可換ってことだね。
選択公理から導かれる変な定理とかってどう（どこで）勉強すればいい？
たとえばベクトル空間の基底の存在とか。ハメル基とか。

代数幾何では選択公理が無ければ極大イデアルの存在も言えないんだから、
ＢＴパラドックスに類する現象が有ってもおかしくないだろう。

それは飛躍だ

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　　　柳下浩紀

さんのことなの？非線形拡散方程式って
専門は解析だね。つか、偏微分方程式？

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