フーリエ変換とラプラス変換

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(つд⊂)ｺﾞｼｺﾞｼ→（；ﾟ Дﾟ） …！？

ラプラス変換ってどういう発想で導かれのでしょうか。
微分方程式を解く以外に使い道ってありますか。

工学ではシステムの安定性判別に使う

>>529
名前の通り、ラプラスがそんな積分変換を使っていたことはあるらしい。しかし、ラプラスは
今日見られるような使い方はしてなかったそうだ。

ラプラス変換は、当初ブロムウィッチ変換と呼ばれていて、1910年代だかにブロムウィッチが
ラプラス変換によるヘヴィサイド（工学者。電離層の存在を提唱したことなどでも有名）が
作った定数係数常微分方程式の「演算子法」による解法（数学的に根拠が不明確だった）
の合理化に成功してから注目されるようになった。なんで今はブロムウィッチ変換と呼ばれていない
かというと、フランスの基地外が騒ぎ出してカビの生えたラプラスの、誰も読んじゃいないような
本から歴史的証拠とやらを発見してこの種の積分変換の生みの親はラプラスだとか主張しまくったから。

その代わり、ラプラス変換の逆、これはラプラスは明らかにやってないのだが、にはブロムウィッチ積分
という名前が付いてる。良かったね、ブロムウィッチさん。

フーリエ変換なんかでもそうだけど、当初は便宜的な手段として変換ということだったのが、
変換先の関数から元の関数の性質が見やすくなることがある。で、実際当初は
演算子法の合理化のためだけだったラプラス変換が、ラプラス変換表の充実なんかを通して
「それ自体として有用」って見られるようになった。

余談ながら、その後1930年代だかにミクシンスキが別の方法で演算子法を合理化することを
思いついた。連続関数の全体を、普通の合成積の変種みたいなのを積とする環とみなそうと
すると、実は単位元が存在しないことがわかる。単位元に相当するのは、デルタ関数になってしまう。

しかし、連続関数の全体がこの積に関して整域であるという性質があるので、分数環の理論が適用
でき、連続関数の全体がこの分数環に埋め込まれることになる。そして、この積に関して定数関数が
「積分作用素」になっている事から、定数関数の逆数として微分作用素が分数環の元として定まり、
定数係数の常微分方程式はこの分数環における代数方程式になる。これを利用して微分方程式を
解くというのがミクシンスキのアイデア。

数学は厳密に出来てはいるけれど
実際の世の中の問題には役に立たない
なんていう人がいるけれど
（例えば大学受験で合格するのにのみに役に立つとかｗ）

ラプラス変換とかはその真逆だよね
何をしているのかよく分からない
インチキな手法に見えるが
電気工学の説明には役に立っているわけだ

で、どうやって発見したんだろうという謎。

>>531
1900以前の微分方程式の本にすでに　
y(x)=∫e^{xt} u(t)dt
とおいて解くのを Laplace's method と紹介してるので
君の認識は間違い。

>>534
Ince?

>>535
それは1926だからちがう

>>531
フランスに何か恨みでもあるの？

数学辞典（４）　482冒頭　に書いてあるね

>>538
昼休みに図書室行って、数学辞典に引用されてるラプラスの文献
見たけど、ちゃんと差分方程式解くときにラプラス変換の式を書いてるね。

イギリス人Whittaker-Watsonの211ページにも「微分方程式の解と関係づけて
積分方程式（ラプラス変換）を解析に持ち込んだのはラプラス」って書いてある。

「ラプラス変換」という言葉を誰が使い始めたか知らないが、
Inceにはすでに「Laplace transformation」って書いてあるね。Inceに引用されてる
1851年のドイツ語の本にも、「ラプラス変換」とは呼んでないが微分方程式の
解法としてラプラス変換について解説してある。

>>531はフランスに恨みを持つ馬鹿か、フランスに恨みを持つ馬鹿の
妄言に釣られたアホってことでFAだな。

結局>>531 は一から十まで嘘だらけじゃねーかｗ

ここは本当に玉石混交だなぁ

『演算子法』と呼べばいいんじゃないか？？？

演算子法はミクシンスキーのそれを思い浮かべるのでよくない

フーリエ変換は変数係数の時でも、ある程度は使えるしな（係数が1次式とか）。

△フーリエ変換
○ラプラス変換

まあ、似たようなもんだが…

FをL^2(R)上のフーリエ変換とする
この時,
「f∈C_0^∞(R)がFf∈C_0^∞(R)を満たす必要十分条件はf=0」
を示せ

これ、全然わかりません

f∈C_0^∞(R) → Ff は実解析的
Ff :実解析的かつ C^∞_0(R) → 一致の定理より Ff=0
→ f=0

逆は明らか.

ある差分方程式の各値を予測するプログラムを作りました。
たとえば初期値から1000点先まで予測をして、それぞれの真値から予測した値を
引いた数を誤差とした場合、これをフーリエ変換して誤差の偏りのようなものを
見出したいのですが、どのようにすればよいのでしょうか？

誤差のデータが1000個あるので、それを数列と考えてフーリエ変換したいのですが、
どうやって解いたらいいのか分かりません。
お答えしていただければ幸いです。

>>548　follandのフーリエ解析の本にそんなようなこと書いてた気がするな。
　どんな内容だったか忘れたけどｗ

みなさんフーリエ変換について話してるので恐縮ですが。
-π ≦　ｘ　≦　π　で f(x)=｜x｜(π-｜x｜) で与えられる周期2πの関数の
フーリエ係数　a(n),b(n) (n≧1) を教えていただきたいのですが・・・

a(0)は出せるのですが、計算途中の積分でいきづまってしまいます。
お手数ですがどなたかよろしかったご回答よろしくお願いします。

>>550　ここ、そういうスレじゃないんで。

>>548
フーリエ変換で分かるのは周期だけだと思うよ
たとえば誤差が-1,0,1,0, -1,0,1,0, -1,0,1,0, ...ってなったとすると
これは誤差の増減が4点ごとに同じような変化するわけだけど
フーリエ変換すると周期が4を示す部分で大きい値が出て
周期が4なんだなって分かる

誤差の偏りってどの時間に大きな誤差が出るか、とか
予測値がどのように変化すると誤差が大きくなるか、って事を知りたいんじゃないの？
それだとフーリエ変換じゃ知る事は出来ないと思うよ

>>552
返答ありがとうございます。
確かに本当に求めていたものは
>>誤差の偏りってどの時間に大きな誤差が出るか、とか
になるのですが、周期を求められるのであれば
その方法を教えていただけるとありがたいです。

フーリエ変換では時間か周波数どちらか
ある周波数から時間を知りたければ窓を掛けた短時間かフーリエ変換するかウェーブレット変換する

数学科で扱うフーリエ変換の内容が大体書いてある本教えてください

フーリエ解析は定番と呼べる本がないのが現状。

> 数学科で扱うフーリエ変換

ってのは、局所コンパクト可換群上の調和解析とか含むのか？
だとしたら院生レベルだし、>>551が自分で文献漁れないとまずくないか？

>>557
そうのじゃなくて556が言うようなフーリエ解析の定番と呼べる本があるか聞きたかったのです
研究とかそういうのじゃなくて単なる大学生の自習用です

>研究とかそういうのじゃなくて単なる大学生の自習用です
なんか他人事のように書いてしまってすいません
単なる大学生の私が自習用に読める本は無いですか？と聞きたかったのです
でも定番とか無いんですね
検索して岩波の実関数とフーリエ解析って奴と
プリンストン解析学講義のフーリエ解析入門が引っ掛かったので
それらを今度図書館で見てきます

AMSのPinskyみたいな名前の人が書いたのはどう？
この前買ったんだけど？

AMSのあのシリーズ
で駄作は無いような気がする。

>岩波の実関数とフーリエ解析って奴

笑いジニ下蹴れば雄すめ

>>562
なんで笑い時になのか説明してくんないとわからん

結局プリンストン解析学講義のと猪狩の実解析入門借りてきました

>>563
たんなる私怨だろ。内容は良いからオススメだよ。

f(x)=e^-a|x| (a>0)のフーリエ余弦変換はF(u)=2a/(a^2+u^2)であることを利用して、
∫1/(a^2+x^2)dx　積分範囲(a〜∞)の積分を求めよ。

どなたかお願いします。

>>566　
訂正：積分範囲（0〜∞)です。すみません。

>>565
実解析と複素解析の初心者に問題集・解説書
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1119182730/

を思い出すからな・・・

フーリエ変換が主体か、フーリエ級数が主体か
函数解析にどの程度踏み込むか
超函数を（積極的に）使うか
群上の調和解析を扱うか


・・・などなどで本の書き方が変わるからな。
定番はないだろ。プリンストン解析学講義が定番とも
思えないが、あれなら悪いところはなさげ。

>>555,558,559は非数学科学生が、数学っぽい
話題を勉強したいって話みたいなので、2ちゃんで
聞くようでは、まあがんばってね（笑）としか・・・

2chを舐めてはいかん

age

>>569
身近に数学やってる人がいないしなぁ。mixiの数学コミュなんかガラガラだし。
>>562 みたいなノイズを除去すれば、割と役に立つことも、ないわけではない。
全く情報ゼロよりは、カス95％でもないよりまし。濾過するところは個人の責任。

>mixiの数学コミュなんかガラガラだし。
最近は2chの相次ぐ書き込み規制のせいで
数学板も宿題スレ以外ガラガラさ

sage

Grafakos読め
Classical and Modern Fourier Analysisか
新版でそれを2冊に分けた奴
Classical読むだけでもいい

Classical Fourier Analysisと書いてあるけど
全然Classicalに見えない本を読め