整数論の問題を出し合うスレ

(2^n−1)｜(3^n−1)　を満たす自然数nを全て求めよ。
俺には分からん。

>>211
これだれかでけん？本人も答えしらんらしいし。どうしたもんやら。
答えあんのはまちがいないの？＞出題者

>>211
ヒントおながいｱｹﾞ

>>211
解けた。答はn=1のみ。

>>213
nが偶数のときはほとんど自明。
nが1でない奇数のときは2^n-1の素因数pで3 mod pの位数が偶数となるものがあることを示せばよい。

＞2^n-1の素因数pで3 mod pの位数が偶数となるものがある
分からん。どうやって示したの？

俺も>>211が解けたぞ。

>>215
ヒント: 平方剰余

>>214-216
もうヒントいりません。答えうｐしてくらはい。

そうか。わかった。以下[m/p]を平方剰余記号とすると相互法則より奇素数p≧5に対し
[3,p]=1 (if p≡1,11 (mod 12))
　　　=-1 (if p≡5,7 (mod 12))
ところで奇数nにたいして2^n-1≡7 (mod 12)だから2^n-1のいづれかの素数因子で
[3,p]=-1である素数がある。すると3 mod pの位数は偶数か。なるほど。すばらすぃ。