めっちゃ簡単になる公式。

数学で普通に習う公式じゃなくそれを知るとすぐ問題が解けたりする公式を探してます。
知ってる方おられたら教えて下さい。

∫[t=x〜y]f'(t)dt=f(y)-f(x)

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

>>1=DQN

ニ直線l:ax+by+c=0 m:dx+ey+f=0
l⊥m⇔ad+be=0
l//m⇔ae-bd=0

一杯あるよ。
【Jensenの不等式】
f(x)は下に凸な関数とする。またω_1,ω_2,ω_nは非負で
ω_1+ω_2+…ω_n=1である。このとき
f(x_1ω_1+…x_nω_n)≦ω_1f(x_1)+…+ω_nf(x_n)
n=2で図を描くと含意はすぐ分かる。証明は帰納法。分からなかった
らこの板で訊けば分かる(俺も分かるが書くのがメンドイ)。
【鳩ノ巣原理】
ググレば分かる。実は有用。
【Fermatの小定理】
Fermatはフェルマーと読む。ファーマットと読んだらＤＱＮ。
pは素数とし、nはpで割り切れない自然数とする。このとき
n^(p-1)≡1 (mod p)

ただしa≡b (mod c)はaをcで割ったあまりとbをcで割ったあまりが
等しいことを指す。合同式といわれる記法で、この合同式の記法も
かなり有用。

単純だけど最近は知らない人多し
【Eulerの法則】
空間内の多面体において
（面)−（辺）＋(頂点)＝２

>>7
Pickの定理とか呼んでいる人もいるよね。
平面のグラフ理論では常識の定理だけど、確かに知らない人も多い。

（上底＋下底）×高さ÷２で台形の面積が求められてしまうのだ。
これでいちいち２つの三角形に分割する必要はないぞ！

高校入試で使えるようなものは無いでしょうか。

高校入試とか大学入試では教科書に載ってる
公式だけ使って解くのがいいよ。
そうじゃないと嫌がる先生もいるから。

>>8
Pick の定理は次の命題ではないかと思うが。

平面上の格子点を頂点とする多角形を考える。
内部にある格子点の数を A, 多角形の周上にある格子点の数を B とすれば、
この多角形の面積は A+B/2-1 となる。

>>8は グラフ理論と叫んでみたかったド素人だろう。

>>10
y=ax^2においてxの値がpからqまで変化する時の
変化の割合はa(p+q)となる。特にa=1の時は
p+q、つまりxの両端の値を足すだけで変化の割合
を求める事が出来る。高校入試では便利よ。

変化の割合ってなに？

>>9
最近の学習指導要領に対する風刺ですね？

計算を一気に省いて簡単にしたい訳ね。それならロピタルとかが有用かと思われる。
あとはパップス・ギュルダン。こういうの普通に教えるのかな？

小学生くらいだと、多角形の周りなどを円が転がる問題で、
円そのものが通過した部分の面積は、中心の軌跡の長さ×円の直径
というのもある。

log_{a^r}(M^r)＝log_{a}(M)

log_{r^a}(r^M)＝M/a

自分で作った公式ながら、なかなか使えた気がする。

自分で作ったなんて大袈裟な。

メネラウスとチェバは基本ですね

u'=Auならu=exp(At)u_0

２を４回足したりするときにさ、
２＋２＋２＋２とかって書かないで新しい記号使ったら便利じゃね？
すげー簡単になると思うんだけど

2×4

>>20
メネラウスとチェバの高次元版が
岩堀長慶、ベクトル解析、裳華房
にあったが、どのくらい使えるのだろうか。

高校入試で、
放物線y=ax^2上の2点(b,ab^2),(c,ac^2)を通る直線は、
y=a(b+c)x-abc

中学校で習わないものでは、
2次方程式ax^2+bx+c=0の2解α,βについて、
α+β=-b/a、αβ=c/a　(解と係数の関係)

僕の学校では友達がそういう簡単になる公式使おうとしたら先生がキレてました。
先生はなぜこういう簡単になってしまう便利な公式を嫌がるのでしょうかね？
不思議でしょうがないです。

･公式を示す問題だったから
･先生が知らなかったから
辺りじゃね？

多分先生が知らないのだと思います。
知らないものを使われたら説明のしようがないからですかね？

だいたい公立中学の数学教師なんて一部
の人を除いて中途半端にしか数学出来な
いヤツばっかだからね。本当に出来る人
なら有名私立や給料のいい塾・予備校な
どの民間の教育機関に就職するはずだか
らね。事実、大阪の公立中学の教師だっ
たと思うけどそいつに抜き打ちで府立高
校の入試問題解かせたら５割とれなかっ
たらしいからね

５割取れないって・・・。
下手したら現役の学生の方が頭良いのでは？
っていうか教師も年に１回程度テスト行って点数取れない人は退学ならぬ退職にしてしまえばいいのに。
頭悪い先生に教えられても頭よくなるどころか悪くなるかもしれない。

Re:>22 2+…+2.

>>30
公務員は辞めさせるのが難しいのよ。

>>29
それ確か高校の先生だったと思うよ。
高校入試の問題もできなかったけど
センター試験やらせてもボロボロだったって
新聞に載ってた気がする。

そこまで頭悪かったらなんか先生って呼びたくない。
先生がもう１回生徒になって授業しないと。
でも頭悪いのに生徒に授業を教えられるのは答えがあるからかな？

なんかお前も頭(略

放物線と交わる直線があるとき、それらで囲まれる面積は|a|(β-α)/6という公式が
あって思いのほか便利だったり（α,βは交点のx座標、aは放物線の二次の項の係数）。
　「スターリングの公式の簡単な証明」にも使えるほど。

入試で使ってよいかどうか微妙だが、少なくとも検算には使える。3次、4次にも同様
の公式がある。

ttp://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/MathTopic/s_menseki/s_menseki.htm

>>35

確かに俺の頭悪いです、すいませんでした。

>>36

わざわざページのアドレスまで出していただいてありがとうございます。

>>36
それくらいは、高校でも部分積分のついでに教えているような・・・。

　「3.14」から「約３」と少しずつ簡略化されてきた円周率が、
来年より「約０」になることが決定された。その理由に対し教
育委員会代表の緒方屑男氏（63歳）は、「たまたま１の位で四
捨五入してみたら０になった。計算も楽だし、この方がベスト
」と述べた。これによりすべての円の面積が「約０」になり、
小学生の勉強が格段に楽になる。
　これに対し反対派の代表である松島犬蔵教諭（49歳）は「明
らかに間違っている。うちの家内の乳輪の面積は、依然として
大きい」と反論。両者の議論は当分平行線をたどりそうだ。

回転体の体積は、回転軸と回転面の重心との距離と回転面の面積の比になる。

こんな定理ありましよね。なんて名前でしたっけ？

パップスギュルダン？
回転軸と重心の距離×２π×面積

>>36
ぶっちゃけベータ関数を覚えたほうが早いやな

y=ax^2+bx+cとx軸との交点をP,Qとする時
PQ=(√D)/a,特にa=1ならPQ=√Dとなる。
(なおD=b^2-4ac)
ｾﾝﾀｰ試験では使える公式だと思うけど。

>>42
鶏肉牛刀

魚に牛刀

月に雁

∫［α,β］（x-α）（x-β）（x-γ）=-1/12*（β-α）^3（2γ-α-β）

dx抜けたｽﾏｿ

三角形ＡＢＣの角Ａの2等分線とＢＣとの交点をＤとする。
ＡＤ＝√（ＡＢ・ＡＣ−ＢＤ・ＣＤ）
これってすごくね？なんで参考書に載ってないんだ？
そして何でこんなにも誰も知らないんだ？

難しすぎてまったくわからん・・・？

>>49
・自称公式のようなもの読むのﾏﾝﾄﾞｸｻ
・覚えるのﾏﾝﾄﾞｸｻ
・思い出すより計算したほうが格段に速い

このスレは自分で見つけた公式の集積所か？

世ゼミの直前講習受けて、そこでもらったテキストの
付録の公式集を見て、鳥肌たったことがある

>>49
は結構きれいだし、役に立つと思うぞ。

ちょっと感動した余弦定理の証明

△ABCにおいて∠BAC=θとすると
|BC↓|=|AC↓-AB↓|
|BC↓|^2=|AC↓-AB↓|^2
|BC↓|^2=|AB↓|^2+|AC↓|^2-2AB↓･AC↓
|BC↓|^2=|AB↓|^2+|AC↓|^2-2|AB↓||AC↓|cosθ
BC^2=AB^2+AC^2-2AB･ACcosθ

>>55
余弦定理を使わずにベクトルの内積に関する諸定理を導く必要があるから
ちょっとどうかと思う。

幾何学的ベクトルの場合に
(a+b,c) = (a,c) + (b,c)
の証明ってどうやるんだっけ？

>>57
> 幾何学的ベクトルの場合に
？

改めて書き込むほどではないが、

(a/b)/(c/d)＝ad/bc
特に、(a/c)/(b/c)＝a/b
　　　　(c/a)/(c/b)＝b/a　

いちいち、「分母の分数の分子を分母の分数と分子の分数に掛けて分母の分数の分母を消して・・」なんて考えなくても、
ザクッといけるからいいよな。まあ常識だが・・　　　　　　　　

age

>>36
まだ見てるかなぁ．．．
そこからどうやってスターリングの公式が導けるの？
ヒントください．

>>57
幾何学的ベクトル内積（公理的に数の組から入るんじゃなく、向きつき線分から入って|a|b|cosAで定義するやつ）の
線形性の証明って実はけっこう回りくどい。高校の教科書では
　内積の定義→基本ベクトルの導入→余弦定理を使って(a,b)=axbx+aybyを示す
までいって、やっと証明できる。教科書によってはいきなり定義をaxbx+aybyにしちゃうとか。

もっと手短にできんかと思って考えたことがあるんだけど、わからんかった。どなたか教えてくだせえ。

150

>>61
スマソ、>>36だけではだめで、その前に“公式”
∫[a〜b]f(x)dx - (f(a)-f(b))(b-a)/2 = (-1/2)∫[a〜b]f''(x)(x-a)(x-b)dx
も必要。

|f''(x)|≦Mのとき、[a,b]をn等分して各小区間に上式を適用し、Mで評価して
>>36の公式を適用すると、h=(b-a)/nとして
∫[a〜b]f(x)dx = h･{f(a)/2+Σ[k=1〜n-1]f(a[k])+f(b)/2}+o(1/n) (n→∞)
が得られる（この右辺は要するに各小区間に台形公式を適用した式である）。

これをf(x)=logxに適用する。M=1でよい。
（なお定数項の決定にはやはりウォリスが必要。）

ＥＲＲＯＲ：連続投稿ですか？？ 8回

ホスト○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

名前： １３２人目の素数さん
E-mail：
内容：

　〜〜〜終了〜〜〜


こちらでリロードしてください。 GO!
分からないことがあったら２ちゃんねるガイドへ。。。

アクセス規制・プロキシー制限等規制は、２ちゃんねるビューア を使うと回避できることがあります。
自分で解決してみよう! 書き込めない時の早見表

>>64の補足。
a=1,b=2で利用する。（通常、a=1,b=nの積分を評価することが多いので注意）

ついでにコメントしておこう： スターリングの公式（弱い形：logn!=nlogn-n+(1/2)logn+O(1)+O(1/n)）
の証明は大きく2とおりある。ひとつは初めてこれを証明したラプラスによるもので、logΓ(s)を積分形で被
積分関数の評価にもちこむもの。いきなりΓ関数に一般化した証明ができるうえ高次の展開まで得られ、かつ
同様の形の積分の漸近展開に一般化できる点ですぐれているが、高度な評価を必要とする。
もうひとつは、誤差の差分（階差）を評価し、その和分を取って本来の評価を得るもの。これはlog(1+x)の
展開を既知とするなら最も簡単。（なおこれは調和級数の漸近展開と本質的に同じことになる）
高次の展開までこの方法で得るには、オイラー・マクローリンの和公式にまで一般化する必要があるが。

なお高木「解析概論」などに載っている方法は、和Σlogkを積分∫[1〜n]logxdxで近
似する方法（n!〜nlognの証明だけならこれで一発）を、中点を取って精密化したもの
だが、極限の存在の証明が非初等的。

>>64の方法はこれらのどれとも異なる。和を積分で近似する方法を台形公式（折れ線）
近似）で精密化したといえるが、∫[1〜2]logxdxを考えることにより、極限の存在の
証明が定積分の存在に吸収されて不要になることと、証明の中でlog(1+x)の展開をま
ったく使わない点が特長。（したがって高校生でも理解できるはず）
（高次の展開項まで求める場合は結局最初の２つのどちらかを使うしかないと思うが）

age

>>62
そうか？
ベクトルaとbのベクトルc方向成分の和がa+bのc方向成分と等しいことを言うだけじゃないの？
そもそも「向きつき線分から入って|a|b|cosAで定義するやつ」ってどう公理化するんだろう…。

age

式をＡと置く。

　Ａ＊０＝０

>>4
なんかﾜﾗﾀ

>>64
うわあ，ありがとう．じっくり読んでみます．

>>72

>>64や>>66の式は符号とか微妙に間違ってるので適当に訂正しておいて

245

シュワルツの不等式とかは役に立つぞ。
(ac+bd)^2>=(a^2+b^2)(c^2+d^2)

>>75 不等号の向き逆じゃね？　直交してる2本の非０ベクトルの場合考えてみ。

>>75
投稿前には落ち着こうね。
俺もそういうレベルの間違いで恥をかいた経験があるから……。

正直ｽﾏﾝｶｯﾀ。OTZ

790

高校入試だと、
(0,0)(a,b)(c,d)を頂点とする三角形の面積
S=|ad-bc|/2
をうまく使うと簡単になることがあるね

そういえば高校入試で調和平均がとても役に立った。

age

>>78
Schwarz不等式がえらく便利なのはそのとおりだ。それはそれとして行列式とトレースが微分を介して関係を持つ公式：

A(t)をtをパラメータとする正方行列、 |A|をその行列式、Δを余因子を成分とする行列、Δ'をその転置行列として
d |A(t)| /dt = tr(Δ' dA/dt)=|A(t)| tr(A^(-1) dA/dt)

age

f(x) = ax^2 + bx +c とする。
f(x)上の３点(p,f(p))(q,f(q))(r,f(r))を結んだ三角形の面積をSとすると

S = 1/2|a(p-q)(q-r)(r-p)|

803

てす

ここが数学板最後尾のスレでした

age

小学生レベルのものすごく初歩的なことですみませんが、どなたか教えてください。
高さ40センチ、横25センチの直角三角形の斜めの部分の長さを知りたいんですが、どうやったらわかりますか？
多分サイン、コサイン、タンジェントとかだと思うんですが…

２次元ベクトルの外積（ａ，ｂ)＊(ｃ，ｄ)＝ａｄ−ｂｃ

中学生レベルだとピタゴラスの定理だけど、小学生レベルだと
作図して実測するしかないと思う。

テイラー展開
ラグランジュ乗数法
重積分
線型差分方程式の解法
確率過程(離散的に扱える範囲で十分)
母関数
留数定理
初等整数論全般

線型代数もそれなりに使える場面がある

610

>>90
サイン、コサインなどの三角関数を使わなくても三平方の定理で解ける。
　　
　40＾2＋25＾2＝斜辺＾2
　　∴斜辺＝√2225≒47.17（ｃｍ）　　　　　　　A　約47．17（ｃｍ）

age

>>34
答えがあるから．その通り．
うちの学校にもいるぜ．
生徒は巻末の略解しかないんだけれど，
センセには小冊子の解答があって，
自分では解けないからそれを解読して，
演習の授業をしている．
「どうしてそんな解答が出てくるんですか？」
「別の解答について説明してください」などには応えられない．
ひどいときには，「○○に聞け」とか「君はまだ（解説がわかる）そのレベルではない」
なんて，取り合ってくれない．
傍用問題集程度なら何とかごまかせたが，
自分がわかっていないのが，生徒の中で広まってきている．
地元では，一応有名な進学校なのになんでこんなんがいるかか，全く不思議．

98=(100-2)　なので　(A-B)(A+B) = A^2 - B^2　を用いて

98 X 102 =

(100-2)(100+2) = 100^2 - 2^2 = 10000 - 4 = 　9996

99 = (100-1)　なので　(A-B)(A+B) = A^2 - B^2　を用いて

99 X 101 =

(100-1)(100+1) = 100^2 - 1^2 = 10000 - 1 = 　9999

548

>>1
これは覚えておけ。簡単だから
exp(（√-１）t）＝Cos(t)+（√-1）Sin(t)
ただしexp(x)=e^x（eのx乗とする）
オイラーの公式と呼ばれるものだ。これはマジで便利

talk:>>101 その書き方はなんとなくMathematicaを思い出させる。括弧の使い方はMathematicaの関数のものではないが。

∫[∂Γ]ω＝∫[Γ]dω

放物線у=аχ^2のχ=αからβにかけての平均変化率はа(а＋β)だよ

中学の関数が凄く苦手なんですが誰か簡単にわかる方法教えて下さい

高校入試では接弦定理が役に立つと思う
っていうか私立の入試では(ry