不等式への招待 第２章

東大入試作問者スレ８から

[113]
a,b,c >0, abc =1 を満たすとき
(a^2+b^2)c/(a^3+b^3) + (b^2+c^2)a/(b^3+c^3) + (c^2+a^2)b/(c^3+a^3)
の取り得る値の範囲を求めよ。

[129]
40番
a,b,c ≧0, a+b+c =1 が成り立っているとき、
ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) の最大値を求めよ。

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1166904000/113
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1166904000/129

>896

[129]
40番
a,b,c≧0, a+b+c = s とする。
　(左辺) = s(ab+bc+ca) -abc = (1/4)(s^3 -F_1 -3abc) ≦ (1/4)s^3.
ここに　F_1 = a(a-b)(a-c) + b(b-a)(b-c) + c(c-a)(c-b) ≧ 0.　(←Schur不等式) >>38 >>399-401
等号は (a,b,c) = (s/2,s/2,0) のとき。