不等式への招待 第２章
76 ：１３２人目の素数さん：
>21
[前スレ.565(4)]
無限乗積表示 sin(πx) = πx･Π[k=1,∞) {1-(x^2)/(k^2)} を使ってみますた。(牛刀
かも)
f(x^2) = log|sin(πx)/πx| - a･{log(1-x^2) -log(1+x^2)} (0≦a≦1) とおくと、
f(y) = Σ[k=1,∞) log[1 -y/(k^2)] -a･{log(1-y) -log(1+y)}, f(0) = 0.
f '(y) = -Σ[k=1,∞) 1/(k^2 -y) +a･{1/(1-y) +1/(1+y)}.
= -Σ[k=2,∞) 1/(k^2 -y) -(1-a)/(1-y) +a/(1+y) :単調減少(fは上に凸).
f '(y) < f '(0) = -ζ(2) +2a = -(π^2)/6 + 2a.
(i) a=1 のとき 上に凸で f(0)=f(1)=0 だから |x| <1 で f(x^2)>0.
(ii) a≦(π^2)/12 = 0.82246703… のとき f '(0)<0 ∴ f'(x^2)<0, f(x^2)<0.
∴ log(1-x^2) -log(1+x^2) < log|sin(πx)/πx| < a･{log(1-x^2) -log(1+x^2)}.
ぬるぽ
[前スレ.565(4)]
無限乗積表示 sin(πx) = πx･Π[k=1,∞) {1-(x^2)/(k^2)} を使ってみますた。(牛刀
かも)
f(x^2) = log|sin(πx)/πx| - a･{log(1-x^2) -log(1+x^2)} (0≦a≦1) とおくと、
f(y) = Σ[k=1,∞) log[1 -y/(k^2)] -a･{log(1-y) -log(1+y)}, f(0) = 0.
f '(y) = -Σ[k=1,∞) 1/(k^2 -y) +a･{1/(1-y) +1/(1+y)}.
= -Σ[k=2,∞) 1/(k^2 -y) -(1-a)/(1-y) +a/(1+y) :単調減少(fは上に凸).
f '(y) < f '(0) = -ζ(2) +2a = -(π^2)/6 + 2a.
(i) a=1 のとき 上に凸で f(0)=f(1)=0 だから |x| <1 で f(x^2)>0.
(ii) a≦(π^2)/12 = 0.82246703… のとき f '(0)<0 ∴ f'(x^2)<0, f(x^2)<0.
∴ log(1-x^2) -log(1+x^2) < log|sin(πx)/πx| < a･{log(1-x^2) -log(1+x^2)}.
ぬるぽ
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