不等式への招待 第２章

２００６年本選
５．任意の正の実数x1,x2,x3,y1,y2,y3,z1,z2,z3に対して不等式

　(x1^3+x2^3+x3^3+1)(y1^3+y2^3+y3^3+1)(z1^3+z2^3+z3^3+1)≧Ａ(x1+y1+z1)(x2+y2+z2)(x3+y3+z3)

　　が常に成り立つような実数Ａの最大値を求めよ。
　　またＡをそのようにとるとき、等号が成立する条件を求めよ。

数学オリンピックスレより
ttp://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1121775239/l50

>>620
今年も数ヲリ不等式ｷﾀｷﾀｷﾀｷﾀ━━━(ﾟ∀ﾟ≡(ﾟ∀ﾟ≡ﾟ∀ﾟ)≡ﾟ∀ﾟ)━━━━!!!!!!!!!!

あ

>620
　A=3/4, x = y = z = (1/6)^(1/3) のとき
かな?

( ﾟ∀ﾟ)つ http://www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/2006/n2/PDF/v32n2syn.pdf 問101
どっかで見たことあるよね。

>>620
(略解)
　f(v1,v2,v3) = v1^3 + v2^3 + v3^3 +1 とおくと、
　Ｆ(ｘ,ｙ,ｚ) = f(x1,x2,x3)f(y1,y2,y3)f(z1,z2,z3) - Ａ(x1+x2+x3)(y1+y2+y3)(z1+z2+z3),
変数が9つもあると大変…
　∂Ｆ/∂x1 = (3x1^2)f(ｙ)f(ｚ) - Ａ(s2･s3) =0
　∂Ｆ/∂y1 = f(ｘ)(3y1^2)f(ｚ) - Ａ(s2･s3) =0
　∂Ｆ/∂z1 = f(ｘ)f(ｙ)(3z1^2) - Ａ(s2･s3) =0
等から
　xi = λ√{f(ｘ)/si},　ｘ=(x1,x2,x3)
　yi = λ√{f(ｙ)/si},　ｙ=(y1,y2,y3)
　zi = λ√{f(ｚ)/si},　ｚ=(z1,z2,z3)
　ここに si≡ xi +yi +zi (i=1,2,3)とおいた。辺々加えて
　xi +yi +zi = λ{√f(ｘ) +√f(ｙ) +√f(ｚ)}/(√s_i)
　∴ (si)^(3/2) = λ{√f(ｘ) +√f(ｙ) +√f(ｚ)}.
　右辺はiによらないから、 s1 = s2 = s3.
　∴ x1=x2=x3, y1=y2=y3, z1=z2=z3　
　この場合のみを考えればよいので 結局 次の3変数の問題に帰着する。

【５'】任意の正の実数 x, y, z に対して不等式
　　　　(3x^3 +1)(3y^3 +1)(3z^3 +1) ≧ Ａ(x+y+z)^3
　　が常に成り立つような実数Ａの最大値を求めよ。
　　またＡをそのようにとるとき、等号が成立する条件を求めよ。

>>620
[625]の続き
3変数の対称式と来れば …… x+y+z=s, xy+yz+zx=t, xyz=u とおく(基本対称式)。
Ｆ~(x,y,z) = (3x^3 +1)(3y^3 +1)(3z^3 +1) -Ａ(x+y+z)^3
　= 27(xyz)^3 + 9{(xy)^3+(yz)^3+(zx)^3} + 3(x^3+y^3+z^3) +1 -Ａ(x+y+z)^3
　= 27u^3 + 9{3u^2 + t(t^2-3su)} + 3{3u + s(s^2-3t)} +1 -Ａs^3
　= (3u+1)^3 + 3s(s^2-3t) -Ａs^3 + D_1
　= (81/4)u + 3s(s^2-3t) -Ａs^3 + D_1 + D_2
　= (3/4 -Ａ)s^3 + D_1 + D_2 + D_3.
　≧ (3/4 -Ａ)(x+y+z)^3.

D_1 = 9t(t^2-3su) = (9t/2){(xy-yz)^2 +(yz-zx)^2 +(zx-xy)^2} ≧0,
D_2 = (3u+1)^3 -(81/4)u = {(3/4)u +1}(6u-1)^2 ≧0,　　(9u,3/2,3/2 の相加-相乗平均)
D_3 = (9/4)(s^3 -4st +9u) ≧0,　　　　　　(Schur不等式,n=1 >>399-401)

　上式が常に ≧0 となるようなＡの最大値は 3/4.
　Ａ=3/4 と取るとき、等号が成立する条件は, u=1/6 から x=y=z=(1/6)^(1/3).
ぬるぽ

>>625 の訂正 … ｽﾏｿ
　Ｆ(ｘ,ｙ,ｚ) = f(x1,x2,x3)f(y1,y2,y3)f(z1,z2,z3) - Ａ(x1+y1+z1)(x2+y2+z2)(x3+y3+z3),