不等式への招待 第２章
58 ：１３２人目の素数さん：
【問題Ｃ】久々にネタ投下。しょぼいですが… (´д｀；)ｶﾞｸﾌﾞﾙ
(1) 自然数 m, n に対して、(m+n)!/(m!) ≧ (m+1)^n
(2) 実数 a, b が a-b=1 をみたすとき、a^3-b^3 ≧ 1/4
(3) 0 < θ < π/2 において、sinθ+tanθ > 2θ
(4) x, y >1 のとき、log((x+1)/(x-1))*log((y+1)/(y-1)) ≧ [log((x+y+2)/(x+y-2))]^2
(5) 0 ≦ a_k <1 が, a = √( [(a_1)^2 + … + (a_n)^2]/n ) ≧ 1/√3 をみたすとき、
(a_1)/[1-(a_1)^2] + … + (a_n)/[1-(a_n)^2] ≧ na/(1-a^2)
(6) Fibonacci数列 F(n) に対して、(Σ[k=1 to n]F(k+1)^2)(Σ[k=1 to n]1/F(2k)) ≧ n^2
【問題Ｄ】気分転換に等式の証明とか…
(7) C[n,k] を二項係数とする。a_k = 1/C[n,k], b_k = 2^(k-n) に対して
Σ[k=1 to n] (a_k)/k = Σ[k=1 to n] (b_k)/k
(8) nは3の倍数でない自然数とする。
n次実正方行列 A, B, C が A^2+B^2+C^2=AB+BC+CA をみたすとき、
det(AB+BC+CA-AC-CB-BA)=0
(9) 2xy/(x+y) + √[(x^2+y^2)/2] = √(xy) + (x+y)/2 の実数解の組をすべて求めよ。
(1) 参考文献[4] P.15 (2) Crux M127 (30n1)
(3) Crux 2585 (26n7) (4) Crux 233 (29n4)
(5) Crux 3001 (30n7) (6) Crux 2955 (30n5)
(7) Hungary 3771 (8) Crux 2998 (30n8)
(9) Crux 2268 (23n6)
(1) 自然数 m, n に対して、(m+n)!/(m!) ≧ (m+1)^n
(2) 実数 a, b が a-b=1 をみたすとき、a^3-b^3 ≧ 1/4
(3) 0 < θ < π/2 において、sinθ+tanθ > 2θ
(4) x, y >1 のとき、log((x+1)/(x-1))*log((y+1)/(y-1)) ≧ [log((x+y+2)/(x+y-2))]^2
(5) 0 ≦ a_k <1 が, a = √( [(a_1)^2 + … + (a_n)^2]/n ) ≧ 1/√3 をみたすとき、
(a_1)/[1-(a_1)^2] + … + (a_n)/[1-(a_n)^2] ≧ na/(1-a^2)
(6) Fibonacci数列 F(n) に対して、(Σ[k=1 to n]F(k+1)^2)(Σ[k=1 to n]1/F(2k)) ≧ n^2
【問題Ｄ】気分転換に等式の証明とか…
(7) C[n,k] を二項係数とする。a_k = 1/C[n,k], b_k = 2^(k-n) に対して
Σ[k=1 to n] (a_k)/k = Σ[k=1 to n] (b_k)/k
(8) nは3の倍数でない自然数とする。
n次実正方行列 A, B, C が A^2+B^2+C^2=AB+BC+CA をみたすとき、
det(AB+BC+CA-AC-CB-BA)=0
(9) 2xy/(x+y) + √[(x^2+y^2)/2] = √(xy) + (x+y)/2 の実数解の組をすべて求めよ。
(1) 参考文献[4] P.15 (2) Crux M127 (30n1)
(3) Crux 2585 (26n7) (4) Crux 233 (29n4)
(5) Crux 3001 (30n7) (6) Crux 2955 (30n5)
(7) Hungary 3771 (8) Crux 2998 (30n8)
(9) Crux 2268 (23n6)
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