【ガブリエルのラッパ】表面積が無限だが体積は有限

y = 1/x （1 ≦ x ＜ ∞）を x 軸の周りで回転して得られる回転体を考えると、
体積は有限（π）だが、表面積は無限！

「ガブリエルのラッパ」（または「トリチェルリのラッパ」）というみたいだが、これ不思議じゃね？

参考ページ：
http://mathworld.wolfram.com/GabrielsHorn.html
http://www.h33.dk/gabriel_index.en.html
http://curvebank.calstatela.edu/torricelli/torricelli.htm

　〜〜〜終了〜〜〜

たしかに不思議な感じがするね。計算は簡単だけど。

位相幾何では変な図形がよく出てくる…

>>1
有界じゃなければあんま不思議な気がしないんだけど。
∫[0,∞]f(x)dx が有限の値を取ることがあるのと大して変わらん。

中を埋め尽くすブロックは有限個あればいいのに、表面を埋め尽くすパネルは無限に必要というパラドックスは
どう解決されるの？

>>5
>∫[0,∞]f(x)dx が有限の値を取ることがあるのと大して変わらん。
確かに数学的にはそれとあまり変わりがないかも。

ただ、
「面積」有限の領域の断線が「長さ」無限の直線になる
ってのはそれほど不思議な感じがしないんだけど、
「体積」有限の領域の断面が「面積」無限の領域になる
ってのは不思議な感じがするのは何故だろう？
単に慣れの問題か？

フラクタルな図形でいくらでもありそうだ

こういうのがあるから積分可能かどうかのチェックを１、２年の解析できっちりやらされるわけか

>>8
なめらかな物もあるよ。
y = x^2*sin^2 (x^(-100))
のグラフの [0, 1] での長さと面積

あるいは
y = sin^2 (x^100)
で、 [1, ∞]

後半訂正
あるいは
y = sin^2 (x^100)/x^2
で、 [1, ∞]

もし正値がお望みなら、
y = e^(-x) + sin^2 (x^100)/x^2
等色々改造できる。

>>1
不思議でないように解釈する方法もあるから、
もっと勉強してみ

>>13
詳細きぼんぬ

天の国からラッパを吹き鳴らす天使ガブリエルの肺活量を考えるんだな

そりゃ，数学的には珍しくもなんともなくって不思議じゃないとか言ってもさ，
無限が生み出す変な感じが中学校で習う反比例のグラフを回してつくったラッパみたいな見た目単純な図形でも現す
という意味で面白い例だと思いました

>>13
「不思議でないように解釈する方法」書いてみろよ。
お前本当はわかってねーだろ

体積が有限でも数学では引っ張りまくって表面積を無限にできるってだけの話じゃﾈｰﾉ？

こういう変な図形ってよくあるよね。エキゾチックな球面とか

表面積が有限で体積が無限っていう図形はあるの？

球の外側

球の外側は囲えきれてない感じだもんなぁ。

じゃあコンパクトの条件を付けたら，あるかな？

>>18
確かにそうなんだけど、なんか「体積」と「面積」だと不思議な感じがするんだよね。
1 と本質的に違う方法で、「体積有限な立体を引っ張りまくって表面積を無限にする」
例をいろいろ挙げてみたら不思議じゃなくなるかも。

表面積じゃなくて、断面の面積が無限っていうほうがより不思議な感じがする。

y = 1/x （1 ≦ x ＜ ∞）と x 軸で囲まれる部分の面積は無限になる、でも、
それをx軸の周りで回転させると体積は有限になる、っていうと、えっ？ て
感じしない？

中卒哲厨の１さんがんばれ

>>26
院卒数オタなんですけど。

院卒数ヲタさんがんばれ

>>23
ユークリッド空間じゃコンパクト＝有界閉集合だから無理じゃないの？

>>25
面積有限の図形を有限距離移動させた軌跡の体積は有限だが、
逆に、面積無限の図形を有限距離移動させた軌跡が有限になるのは何の
不思議でもない。今の場合、管の先のほうほど移動距離が短い。

>>30
まあそうなんだけどね・・・
ただ、中高生向けのもっとうまい直感的な説明はないかな？
式で示したり、>>30 のような説明をしても、いまいちこの不思議さは解消できないような気がする。

>>30
> 逆に、面積無限の図形を有限距離移動させた軌跡が有限になるのは何の
> 不思議でもない

エエーッ？！！

>>30
俺は十分不思議だ
お前はいい素質があるぜ

y=1/(1+x^2) とy＝ー1/(1+x＾2)の曲線の弧長はそれぞれ無限大だが、
間に挟まれた面積は有限。

「面」（2次元図形）は、3次元以上の空間の中では測度0であるにもかかわらず、
なんとなく「量」を常に持ってる感じがする。

一方、「線」（1次元図形）は、1次元で考えれば長さという「量」を持っているにもかかわらず、
なんとなく「量」を持っていない感じがする。

ここらへんのイメージの違いが関係しているような・・・

凄く難しい問題かと思ったら俺でも理解できた。
不思議。

>>34
だから、それは別に不思議じゃないんだが。

「無限の長さの線から有限の面積の面を作る」のはあんまり不思議じゃないが、
「無限の面積の面から有限の体積の立体を作る」のは不思議な感じがするのは
何故か、ってのを話したい。

>>37
>「無限の面積の面から有限の体積の立体を作る」のは不思議な感じがするのは

錯覚だろ。

>>38
偽者。　私は
>>10-12に書いた。

伊丹公理の偽者は何をしたいんだ・・・？

ちなみに、本物も何がしたいんだい？

表面に水の層でもいいし、分子吸着でもいいのだが、うっすらとどんなの
薄くても有限の厚みの皮膜ができたとたんに、その皮膜の体積は無限大に
なる。ところが皮膜の内側の体積は有限だから違和感がするのかもしれない。

無限に広がった平面を考えてみよう。裏表があるとしてもよいが、とにかく
表面積は無限大だが、体積は0だ。

>>7
Xが面積有限周長無限の面であれば
Xと閉区間[0,1]の直積は体積有限表面積無限の立体になる。
Xの存在が不思議でなければX×[0,1]の存在も
それほど不思議ではないだろう。

>>37
フラクタルなら…

糞スレかなと思ったら、勉強になりました。
知的な糞スレですね。

>>25
しない。∫[0,∞]f(x)dx が無限でも
∫[0,∞](f(x))^2dx が有限の値を取ることがあるのと大して変わらん。

816

sin(1/x),0<x<1
は有界変動ではない。

ddΩ=dA->無限

tanakaのラッパ

太田ラッパ

571

ガブリエルこのラッパ吹けないよな？
仮に吹いたとしても空気の分子がとおｒないしな、、、

端がないのにどこから吹くんだよ？

横笛

285

>>55
穴開けるのかよｗ

349

431

age

Re:>60 お前誰だよ？

177

表面積は有限だが体積は無限ってのはあるんか？

じゃあ、このラッパ(浸透膜でできてる)にペンキを入れると
体積有限→ラッパはペンキでいっぱいに。
表面積無限→浸透膜から染み出てきて、ペンキ足らない・・・？

なんか物理的に考えるとへんなことになりそうだ

>>64
有限の時間じゃ表面積が有限の部分までにしかペンキが届かないんじゃないの？

ｘに1/xを掛けると有限確定するからさほど不思議じゃない。

無限大の表面積に1/xみたいなのが掛けられるから体積有限確定になるのだろう

収束する等比数列と似てなくない？
たとえば、1+(1/2)+(1/4)+(1/8)+･･･＝２
項は無限個あるが、値は収束する（総面積は有限みたいな）。

マンデルブロー集合（の回転体）なんかを考えると大して不思議ではない。

でもこういう簡単な図形だと直感が狂ってくるんだなあ。

age

>>69
直感が狂わされるだけでも、十分「不思議」の範疇に入りそうだが。

>>63
フラクタル

ごめん勘違いスルーして

352

「表面積が無限なのに体積が有限」
体積が有限どころか０になる極限メンガースポンジみたいな
フラクタル立体なら却ってわかりやすいんだけど、こういう
素直な形状のものでそうなるってのが日常感覚に反してるので
面白いんだろうね。
日常感覚がダマされる根本原因はx→∞という操作の非日常性、
それに面積と体積ってものの日常的認識の枷にあるんだろう。
∞まで行かなくても、誰も開口部半径１ｍで長さが10万光年
あるラッパなんて考えもしないだろうから。

良スレage！(・∀・)

tanakaのラッパ

356

>>64
分子よりは小さくなれないでしょ

age

ローマン曲面とボーイ曲面を見たいのですが…

>1のリンク先が全部みれないぞ！

>>64
納得いく答えは見つかったのですか？

＞表面積は有限だが体積は無限
ないんじゃない？

＞＞１
体積が収束するなら表面積も収束する気がするけど。
表面積が無限てのはどう計算して出されるの？

収束させて結果を出すという方法のあやな気がする。
そもそも、体積がπというのもあやしい。体積も無限な
気がするけど。どんなに細くなっていっても体積はあって、
その全体の量なんだから無限なんじゃないか？
Σ1/xだって収束しないじゃん。

( ﾟ∀ﾟ ) ﾆﾔﾆﾔ

そもそも面積ってのは二次元での量で体積ってのは三次元の量だから、相関関係はありそうでないと思っていいな

(　ﾟ∀ﾟ　) ﾆﾔﾆﾔ

わかた。
回転しなくてもで考える。線の長さは無限じゃん。
面積はどんどん少なくなるから収束するぽ。
この関係は次元が上がっても変わらない！

こんどルパンのTV映画あるね。みんなみろよー。

どんどん少なくなる長さでないものは収束する！！！
っても、３種類しかないか。長さ、面積、体積。
どんどん少なくなる面積は収束する。
どんそん少なくなる体積は収束する。
この２つを「どんどん定理」という。広く知られているね。
証明は、、、？

長さは収束しない。
だから、僕達は宇宙の果てに行ける！！！！！！！！！
ぶらぼーっ！やっはー！

(　 ﾟ∀ﾟ 　) ﾆﾔﾆﾔ

また、ちょっと考えた。
０．９＋０．０９＋０．００９＋・・・って
１に収束するって言うじゃな〜い。
無限級数だからといって、発散するわけでもないね。残念。
１が収束するように無限級数で表されるから、あらゆる数は
無限級数で表されるっていう女、、、。ハァ！？
でも許す。
一方、発散する数は、発散しない数に無限を組み合わせて考えられる。
間違いない。
つまり、発散する数も発散しない数も無限級数で表される。こう思うのって
私だけ〜？
であるからして、結局、ある無限級数が発散するかどうかは半々だな。
だから、不思議ではない。
長さとか面積とか体積とか抜きで、そもそも半々なんだから、
不思議ではない。

押忍。

このスレも終わりだなぁ…
馬鹿が住み着いたよ

age

馬鹿とは誰の事だ？

>>1
他にも面白いネタをキボンヌ！
(´д｀；)ﾊｧﾊｧ

>>94
面白いﾈﾀなら、この板の中に
「ｼﾙﾋﾞﾝｽｷｰ・ｷﾞｬｽｹｯﾄのおかしい点を挙げる」って言うｽﾚが建ってる
(正式名称はｼﾙﾋﾞﾝｽｷｰ・ｷﾞｬｽｹｯﾄじゃなくてｼｪﾙﾋﾟﾝｽｷｰのｶﾞｽｹｯﾄなんだけど)

381

体積が無限で面積が有限という図形はないよ。

コピペスレ 「おいらには解けない４」 にもあった 「ガブリエルのラッパ」

775 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2005/08/12(金) 03:34:44
魔獣ネコマタが１体あらわれた。
http://vista.x0.com/img/vi00975.jpg

┏どうぐ━━━┓
┃　.たたかう.　.┃
┃　.はなす　.　.┃
┃　.あいてむ　.┃
┃┏━つかう━━━━━━┓
┃┃　 Ｅ えんぴつ 　　 　　 ┃
┃┃　 Ｅ けしごむ 　 　　　　┃
┗┃　 Ｅ めがね..　　　　　　┃
　 ┃　 Ｅ けいさんようし 　 ┃
　 ┃　 かいせきがいろん 　┃
　 ┃　 ガブリエルのラッパ┏━━━━━━━━━━━━━━┓
　 ┃　 メビウスのわ　　 　 ┃クラインのつぼをつかいますか？ ┃
　 ┃→クラインのつぼ　 　 ┃→　 はい 　　　　　 　 　 　　　　　　 ┃
　 ┗━━━━━━━━━ ┃　　　いいえ　　　　　　　　　　　　　 .┃
　　　　　　　　　　　　　　　 　 ┗━━━━━━━━━━━━━━┛
┏━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━┓
┃ネコマタをクラインのつぼにとじこめた　　　　　　　　　.┃
┃ネコマタはするりとにげた　　　　　　　　　　　　　　　　　┃
┃とらえられない…　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┃
┃ネコマタはさっていった　　　　　　　　　　　　　　　　　　.┃
┃　　　　　　　　　　　　　▼　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 ┃
┗━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━┛

>>1
がぶり寄りのラッパ　に見えた

579

>>98
この画像が見たいのでつが…

412

722

215

king

talk:>>105 私を呼んだか？

860

無限を持ち出す必要ないだろ
半径が１以下の球で考えてみ。
ミクロな地球儀を色付けしたいなら中も塗りつぶしたほうが節約できるわけ。

>>108
詳しく

球の表面積→半径の２乗に比例
球の体積→半径の３乗に比例

ｹﾞﾗｹﾞﾗ

ま、感覚の話なんで人それぞれだけれども、
このガブリエルのラッパの不思議なところは
"でこぼこしてないのに"ってとこなんだよ。

体積有限で面積が無限ってだけだったら
フラクタル的なのを思い浮かべればいくらでもあるわけで。
でもそういうのってたいてい"でこぼこ"してんじゃん。
でこぼこしてれば体積が小さくても
表面積がすごい大きかったりっていうのは
感覚でも理解できてあんまり不思議じゃない。

球も、そうで、半径が小さくなればなるほど
表面積／体積は大きくなるけど、
その分、でこぼこ具合（曲率）が大きくなってくのね。

考えてみりゃ当然だな
体積πの粘土を、なるべく表面積がでかい形にしたとき、表面積はいくつか
って問題になおしてみれば無限だってわかる
逆に
表面積がaでなるべく体積をでかくしようとすれば、球になったとき最大
だから表面積一定で体積無限な図形は存在しないことがわかる

>>6
>>6
>>6
>>6
>>6

体積が有限でも面積は無限になることは考えられる。
１ｃｍ＾３のブロックは体積は有限だけど
そのブロックを何枚も無限枚にスライスしていけば無限の面積が作れる。

良スレage

855

595

514

>>king
体積は無限だけど表面積は有限ってないかな？

>>121
半径１の球の外部を知ってるかね、オービーくん？

talk:>>121 R^3の境界は空集合なので、R^3の体積は無限だが表面積は有限。

>>123
二番煎じｲｸﾅｲ （・A・）

talk:>>124 何が二番煎じだよ？

お茶

talk:>>126 では茶の使い方を教えてくれ。

殺菌効果があるよ

急須にお湯といっしょに入れてみる

シュワルツの提灯とか

>>130
もっとくわしく！

>>130
検索しても見つからないですよ

>>130
このﾍﾀﾚ！ ＿＿＿　ｵﾗｯ!　　　　　　
　　　 ﾄﾞｯｶﾝ |　　 |　でてこい！
　 　 ∩∩　 |　 　|　　 | 　∩∩　　　　
　　　| | | |　 |　　 |　　 | 　| | | |　　 　
　　..(　　,,)　.|　 　|　　 |　(・ｘ・ ）　　
　　/　　.つ━━ﾛ|ﾛ ﾄﾞｶﾝ l 　 |Ｕ　
〜（ 　 /　　 | 　 ｜ 　 |⊂＿　|〜
　　し'∪　　 |　　 |　　 |　　　∪　

940

732

239

410

king

talk:>>138 私を呼んだだろう？

622

177

>>6
>>6
>>6

>>6
てことは中を埋めるブロックは無限個に分割されて埋められるんだね。

二年。

age

47

ほしゅ

age

あれ　拾われてる

499

三年十四日十五時間。

つまり次元間には無限のギャップがあるってことか

半径aの円の体積は4πr^3/3。
これをx軸方向に1/n倍、y軸方向にn倍拡大した楕円の体積は4πr^3/3 * n * 1/n=4πr^3/3。
n→∞の時、体積＝4πr^3/3、表面積＝∞。
よって>>1が不自然でないことが証明された。

お前不自然の意味が理解できないのかよw
どんだけ馬鹿なんだwww

まあ不自然でないことが証明されたところで
不思議でない証明がなされたわけでもなし

711

age

042

937

ちょっと待ってくれ。>>1のソースの
http://mathworld.wolfram.com/GabrielsHorn.html
これおかしい。（他もそうだけど）
＞This leads to the paradoxical consequence that while Gabriel's horn can be filled up
＞with cubic units of paint, an infinite number of square units of paint are needed to
＞cover its surface!

ペンキの量が有限だからって、そのペンキの量で塗れる面積が有限とは
限らない。思考実験なのだから、分子を無視して無限に薄く塗り広げられる
と考えれば、有限の体積のペンキでホーンの表面を塗りつぶすことは可能だ。

一方、分子の存在を考えるのなら、そもそもホーンの表面積無限大というのが成り立たない。
ホーンのずっと先端は分子より小さくなっており，分子の存在を考えるのなら、途中でホーン
は切れることになる。そしたら表面積は無限大にならない。

だから>>64の指摘は正しいわけだな。

分子の存在を考えないんだったら、ホーンにペンキを満たしたとたん
ペンキは無限に薄くホーンの表面に染みこんで表面は塗れる。
分子の存在を考えるのなら、この立体はそもそも原理的に作れない。
（たとえ宇宙が無限大の大きさを持つとしても。）

分子とか言い出すのなら、
宇宙が無限の大きさを持たないという厳然たる事実を認めるべきでしょう。
数学とは違う話になりますが。

>>161
話題的には今の主題から外れる話なので申し訳ないが

＞ ホーンのずっと先端は分子より小さくなっており

自分には「ホーンの先端」というのは広がっているほうだという印象がある
すぼんでいるほうは根元。
言葉の意味の問題なので板違いは承知。

horn は「角(つの)」なんだけど、それでも広い方が先端？

少なくとも上の２つのサイトは間違ったことを言っていることになるわけなんだけど
このサイトってトンデモなの？
でなきゃ知らせたほうがいいのかな。

>>165
俺的にはhornはラッパなので。

>>162
表面にとどまるならともかく染み出てきてしまうのなら
たとえ表面積が有限でも足らなくなるだろ。

穴の開いたコップを満たすことは出来ない。

なんで的外れなレスばっかなんだろ？？？

もとの疑問が的外れだからだろ。

もとの疑問ってどれを指しているんだろね。

「的外れなレスばかり」だと言うからには
何に対して的外れなのかは
おそらく決まっているんじゃないのかな？

>>172
具体的にどう的外れなのか言えば？

204

187

855

142

四年九時間。

age

433

ポリニャック伯夫人の名前だったんだよ！

マルティーヌ・ガブリエル・ド・ポリニャック！

358

200

499

(`w´)ｶﾞｳﾞﾘ!!

ハンス・アクセル・フォン・フェルゼン

あのなァ、こんなんは幾らでもあるやろ！
力学系の教科書とかで出てくるやろが！
確かリュービルの定理やったかなァ
まあちょっと調べてみんかい！

>>187
荒らすな

オマエ、ちょっと勉強して来んかい！
何やったらホン教えたろか！

>>189
荒らすな

別に荒らしてへんがな
ソレよりもオマエ、ちょっと勉強せえや
上のヤツとは違う反例を挙げてみいや！
そんなに難しくないさかい、ちょっとやってみい

反例なんて幾らでも作れる物要求すんな

>>191
荒らすな

305

754

五年五日十二時間。

120

740

252

http://f.hatena.ne.jp/images/fotolife/H/HAVE/20100527/20100527162727.jpg

いや、別に不思議でも何でもないだろ

収束する無限積分なんていくらでもあるし‥‥

全くパラドキシカルではない