『解析概論』について２

43. 絶対収束・条件収束
　　（中略）
級数が収束して，しかも絶対収束をしないときは，それを条件収束という。
　　（中略）
　さて，�蚤_n において項の符号が一定でないときには，正項を p_1, p_2, …, 負項を -q_1, -q_2, …
と書くとき，p=�廃_n，q=�拝_n として
　　　　　　　　　　　　　　　　　s = p - q
とするならば，…
　　（中略）
　以上は絶対収束の場合である。条件収束(*)の場合には，pもqも共に∞で，s=p-q は無意味で
あるが，s_n = �納ν=1,L] p_ν - �納ν=1,m] q_ν において，正項と負項との配置のためにかろうじて lim s_n が確定する
のである。従って項の順序が収束性に重大なる関係を有せねばならない。実際, 条件収束の級数
は，項の順序を適当に変更して，任意の和に収束せしめ，または収束性を失わしめうることを，
Dirichlet(1829)が指摘した。

例えば，�蚤_n の項の順序を次のように変更して，任意の正数cに
収束せしめることができる。すなわち，まず正項p_1, p_2, … を順次に加えて，p_αに至って，和が
初めてcよりも大きくなるとする。次に負項-q_1, -q_2, … を加えて，-q_βに至って，和が初めて
cよりも小さくなるとする。次にはまた和がcよりも大きくなるまで正項p_(α+1), p_(α+2), …,p_(α+γ) を加
え，次に和がcより小さくなるまで, 負項-q_(β+1), -q_(β+2), …, -q_(β+δ) を加える。�廃_νも�拝_νも∞だ
から，このような操作を限りなく継続することができるが，そのようにして生ずる級数
　　p_1+p_2+…+p_α-q_1-q_2-…-q_β+p_(α+1)+p_(α+2)+…+p_(α+γ)-q_(β+1) -q_(β+2)-…　(2)
においてα,β,γ,δは少くとも1以上だから，�蚤_n のすべての項が，いつかは一度用いられて，
(2)は実際 �蚤_n の項の順序の変更である。さてこの級数(2)がcに収束することは，その構成
から明かであろう。

実際，今二つの負項-q_λと-q_(λ+1)との間に正項 p_μ,p_(μ+1),…,p_νが挟まれてい
るとして，それらの項に対する部分和を考察する。そのとき -q_λ までの部分和はcより小さいが，
それとcとの差はq_λを超えない。そこへ正項p_μ,p_(μ+1),…を加えて行けば，部分和は増大するが，
p_νに達せぬうちは，部分和はcより小（大でない）で，cと
の差はq_λを超えない。p_νに至って部分和は初めてcを
超えるが，cとの差はp_νを超えない。正項の間に挟まれ
た負項に対する部分和も同様で，部分和s_nとcとの差は，符号の変わるところにあるp_ν,q_λを超
えない。然るに，�蚤_nは収束するから，番号が限りなく大きくなるとき，p_νもq_λも限りなく小
さくなる。故に(2)はcに収束する。
　同じようにして，部分和を任意の値c_1,c_2に集積せしめ，または絶対値において限りなく大き
くすることもできるであろう。

* 条件収束とは，項の順序を乱さない条件の下において，一定の和に収束することを指すのである。

改訂第三版 (1961) 第4章, §43, p.145-146