『解析概論』について２

分かスレにありますた。

(3) 放物面 z = x^2/(2a) + y^2/(2b)　(a>0,b>0)
において
[1ﾟ] 二つの等傾斜線（xy平面に対する）の間の面積,
を求めること.

等傾斜線が何なのかすら分からないんでつ。
｢解析概論｣ p.393 練習問題(8)-(3)でつ。よろしくおながいします。

分かスレ２１３
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1121181189/105

>478
傾斜が等しい点からなる線　と思われ...
「二つの等傾斜線（xy平面に対する）」
とあるので、傾斜 = 接平面の傾き(tanγ) と思われ...

曲面をz=f(x,y)とすると 点(x0,y0)での接平面は:
　z = f(x0,y0) + f_x(x0,y0)(x-x0) + f_y(x0,y0)(y-y0).
法線べクトルは ｎ↑= (f_x, f_y, -1)
接平面の傾角γ は ｎ↑とz軸(0,0,1) のなす角だから、cosγ = 1/√{(f_x)^2 + (f_y)^2 +1}.
∴ 等傾斜線: (f_x)^2 + (f_y)^2 + 1 = (secγ)^2.

いまの場合は
　f_x=x/a, f_y=y/b ゆえ等傾斜線は (x/a)^2 + (y/b)^2 +1 = (secγ)^2.

>>478-479
解けました！ﾏｼﾞ感謝です！

あと6問で俺もついに解析概論読破だ･･･長かった･･･

>>478-479
解けました！ﾏｼﾞ感謝です！

あと6問で俺もついに解析概論読破だ･･･長かった･･･

おー．
頑張れー．

ﾗｽﾄです、ﾗｽﾄの問題です
ちょっと戻るんですが
p324(7)の問題

楕円体の中心の通る載面の主軸を極値として求めること

ﾗｸﾞﾗﾝｼﾞｭの乗数法で解くのはわかるんですけど
出てきた方程式が5つなんでちょっとうまくできないです
よろしくおねがいします　あーﾗｽﾄだー

√(484) = 22

分かスレにありますた。

83 ：１３２人目の素数さん ：2005/07/13(水) 18:12:29
(1) 半径aなる2つの直円筒の軸が交わって角ωをなすとき
　両方に共通なる体積を求めること.

「解析概論」p.393 練習問題(8)-(1)でつ.
うまく作図できなくてちょっとわかりません.
おながいします.

84 ：１３２人目の素数さん ：2005/07/13(水) 18:17:03
>>83
円筒の中心線の一方を x軸とし
もう一方は、x,y平面上におき
その交点を原点に置く。
これを、z = k でスライスすれば
切り口は、それぞれが、幅の同じ平行線なのだから
ひし形として面積がもとまるので
あとは普通に積分すればいい。

85 ：１３２人目の素数さん ：2005/07/13(水) 18:54:54
>>84
解けますた！ありがとうございまつ！！

分かスレ２１３
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1121181189/83-85

分かスレにありますた.

851 ：１３２人目の素数さん ：2005/07/11(月) 18:19:30
z=f(x,y)
∂z/∂x=p, ∂z/∂y=q
∂^2/∂x^2(z)=r, ∂^2/∂x∂y(z)=s, ∂^2/∂y^2(z)=t
と書く

Z=px+qy-z
をp,qの関数と見て
∂^2/∂p^2(Z)=R, ∂^2/∂p∂q(Z)=S, ∂^2/∂q^2(Z)=T,
h=rt-s^2
と書くならば
R/t　=　-S/s　=　T/r　=　1/h

ちなみに「解析概論」p324(4)でつ.
よろしくおながいします.

>486

916 ：１３２人目の素数さん ：2005/07/12(火) 04:23:54
∂p/∂x=∂^2/∂x^2(z)=r 等に注意すると、
[rs]
[st] は変数変換 (x,y)->(p,q) のヤコビ行列である。

一方、 dz=(∂z/∂x)dx+(∂z/∂y)dy=pdx+qdy より、
∂Z/∂p=x+p(∂x/∂p)+q(∂y/∂p)-(∂z/∂p)=x
∂Z/∂q=p(∂x/∂q)+y+q(∂y/∂q)-(∂z/∂q)=y.

したがって、 ∂x/∂p=∂^2Z/∂p^2=R 等が成立するので、
[RS]
[ST] は変数変換 (p,q)->(x,y) のヤコビ行列である。

この二つの変換を合成したものは恒等変換なので、
これらの行列は互いに逆行列の関係にある。

分かスレ２１２
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1120311744/815,916

よくやった。
さっそく解析概論の回答集をうぷしてくれ！

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