差分方程式について考えようか

21世紀はコレの時代だね

関数f:Z^2→Rが∀n,m∈Z f(n,m)≧0で
∀n,m∈Z 4*f(n,m) = f(m-1,n)+f(m+1,n)+f(m,n-1)+f(m,n+1) なら
f(n,m)は定数関数になる。

昔数学板で結構話題になった問題。

連続（f:R^2→Rが f(x,y)≧0でΔf=0）だと難易度は落ちるのに、
↑のはなかなか解けないのがｲﾔｰﾝ

2レスってｽｯｹﾞ

826

微分方程式と同じくらい解きやすかったら、差分方程式だけで十分なのだが。

>>2
結構単純な証明を思いついたが…。

Z^2の代わりにZ[i]を使う。またε, ε_1, ...をZ[i]の単数をあらわす変数とする。
f:Z[i]→Rがf≧0, 4*f(m+ni) = �農{k=0, 1, 2, 3} f(m+ni+i^k) を満たすとする。
このとき、�農{k=0, 1, 2, 3}（f(m+ni)-f(m+ni+i^k)）=0.
よってf(m+ni)≠f(m+ni+ε)ならば、あるε_1があってf(m+ni)>f(m+ni+ε_1)となる。
f(m+ni+ε_1)について同様の考察を行うと、
f(m+ni+ε_1)>f(m+ni+ε_1+ε_2)を満たすε_2を得る。
以下同様にして
f(m+ni)>f(m+ni+ε_1)>f(m+ni+ε_1+ε_2)>...>f(m+ni+ε_1+ε_2+...+ε_l)>...
となる無限列を得るが、これはf≧0に反する。(Q. E. D)

ちなみに一般にZ^2の代わりにGを加群、AをGの対称な部分集合として、
4*f(n, m)=f(m-1, n)+f(m+1, n)...の代わりに|A|*f(g)=�農{a∈A}f(g+a)を条件としても
上の証明と同様にして対応する結果を導ける。

>>6
おぅ、ｽｯｹﾞ。

ｇをｇ（ｍ，ｎ）＝１／（ｍ＾２＋ｎ＾２＋１）と定義すると
ｇ（０，０）＞ｇ（１，０）＞ｇ（２，０）＞ｇ（３，０）＞．．．
となる無限列を得るがこれはｇ≧０に反する。
よってｇ（ｍ，ｎ）＝１／（ｍ＾２＋ｎ＾２＋１）と定義することは出来ない。

978

957

>>2
離散調和関数かな

697

>>5
調子に乗るな。

Re:>13 お前に何が分かるというのか？

759

差分と超離散 広田 良吾 (著), 高橋 大輔 (著)
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4320017293/249-1666728-9089902
どうよ？

>>16
とてもよい本

じゃあ買おうかな。

431

636

511

367

998

568

762

538

990

999

>>6
>>8がいうように
正しいとは思えないが

821

x[n+2]-x[n+1]+x[n]=0　　周期 6
x[n+1]=(1+x[n])/x[n-1]　　周期 5
x[n+2]=(1+x[n+1]+x[n])/x[n-1]　　周期 8
x[n]=c/x[n-1]　　周期 2
x[n]=(1+x[n-1])/x[n-2]　　周期 5
x[n]=(1+x[n-1]+x[n-2])/x[n-3]　　周期 8
x[n]=|x[n-1]|-x[n-2]　　周期 9
x[n+1]=(x[n]-{tan(π/N)}^2)/(x[n]+1)　　周期 N (N>2)

藻まい等馬鹿だな

343

教えてエロイ人。
2階微分のdy^2/dx^2を差分に直すとどうなりまつか？
更にn階微分も教えてください。

※釣りではありません。

174

『さぶ』の復刊を望む。

やけに寂しいスレだのう。
ちょっくら。
ｋｉｎｇた〜〜ん
ＴａｍａＫｉｎｇた〜〜ん
中川た〜〜ん

コラッツの差分方程式を解けたらプリンストンにいけるよ

コラッ！藻前が解け。

talk:>>38 私を呼んだか？

talk:>>38 私を呼んだか？

>>36
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1131278949/

広田良吾『差分学入門』中に「定理の構造が見えにくいので数学的帰納法による証明はできるだけ使わない方がよいと思っている…」と
あり、ここだけ読むと広田先生の個人的考えのようですが、それともある程度の共通認識なのでしょうか。

帰納法使う奴は人間のくず

定理の構造が見えにくいので背理法による証明はできるだけ使わない方がよいと思っている…

根上とかこういうこと言いそう

エスカレートすると
数学の本質が見えにくいので細かい所は省略する、とかになると。

定理の本質が見えにくいので証明は省略する (by ルネ・トム)

だろ?

315

帰納法使わぬ奴は人間のくず

使ってもくず

　　　　　　　　　　　　　　 　 　　　　 　　　┌-―ー-';
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　| (・∀・) ﾉ
　　　　　　　　　 　 　　 ＿＿＿＿ 　　　　上―-―' 　　　＿＿＿_
　　　　　　 　　　　　　　| （･∀･） ｜ 　 ／　 ＼　　　　　 | (・∀・) |
　　　　　　　　　　 　 　 |￣￣￣￣ 　 （￣￣￣） 　 　 　 |￣￣￣
　 　 　 　 　　 　 　 　 ∧ 　　　　　　 （[[[[[[|]]]]]） 　 　 ,∧
　　　　　　　　　　　　<⌒>　 　 　 　 [=|=|=|=|=|=]　　　<⌒>
　　　　　　　　　　　／⌒＼ 　 　 　 _|iﾛi|iﾛiiﾛi|iﾛ|_∧ ／⌒＼_
　　　　　　　　　　　］皿皿［-∧-∧|ll||llll||lllｌ||lllｌ|lll|￣|]皿皿[_|
　　　　　　　　　　　|_／＼_|,,|「|,,,|「|ﾐ^!､|]|[|]|[|][]|_.田 | ∧_ 　]
　　　　　　　　　　　| . ∩　 |'|「|'''|「|||:ll;|||}{|||}{|||}{|||}{|,田田.|__|
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　　　　　 ,=i^~~.|　 |.∩.∩ |,...,|__|,,|__|,,|__|,,|__|,....,||,,|.|,.....,||,|_|,|.|,....,| 　 |　|~i
　　　　 l~| .|　　|　,,,---== ヽﾉ　　　 i　　　　ヽﾉ~~~ ヽﾉ　　 ~ ソ^=-.i,,,,|,,,|
　　　　.|..l　i,-=''~~--,,,　　＼　 ＼　 l　　　／　　　／　　　　／　　__,-=^~
　　　　|,-''~　-,,,＿　　~-,,.　 ＼ .＼ |　.／　　 ／　　＿,,,-~　 　／
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age

使ってもずく

302

916

993

教えてくださいマジで。
前進差分、後退差分、中心差分の違いって何？
結果は（誤差を除けば）同じになると思うのだが。

誤差ってなんだよ

900

805

340

>>59
ごさ＝５３＝ゴミ

差分方程式の解の安定性に関する実用上の要請から
位相群論などで著名なソ連の盲目の数学者
ポントリャギンが、戦時中に求めた定理の、いちばん簡単な
一つの場合として
「z−expzは複素数平面上に無限個の零点を持つ」
が導かれる

多分方程式

944

age

>>59
マジでいってるのかな？

マジに考えると結構難しい。

和分

499

二年。

403

975

結構単純な証明を思いついたが…。

Z^2の代わりにZ[i]を使う。またε, ε_1, ...をZ[i]の単数をあらわす変数とする。
f:Z[i]→Rがf≧0, 4*f(m+ni) = �農{k=0, 1, 2, 3} f(m+ni+i^k) を満たすとする。
このとき、�農{k=0, 1, 2, 3}（f(m+ni)-f(m+ni+i^k)）=0.
よってf(m+ni)≠f(m+ni+ε)ならば、あるε_1があってf(m+ni)>f(m+ni+ε_1)となる。
f(m+ni+ε_1)について同様の考察を行うと、
f(m+ni+ε_1)>f(m+ni+ε_1+ε_2)を満たすε_2を得る。
以下同様にして
f(m+ni)>f(m+ni+ε_1)>f(m+ni+ε_1+ε_2)>...>f(m+ni+ε_1+ε_2+...+ε_l)>...
となる無限列を得るが、これはf≧0に反する。(Q. E. D)

ちなみに一般にZ^2の代わりにGを加群、AをGの対称な部分集合として、
4*f(n, m)=f(m-1, n)+f(m+1, n)...の代わりに|A|*f(g)=�農{a∈A}f(g+a)を条件としても
上の証明と同様にして対応する結果を導ける。

>>75
数板なのに誰も釣れないね…
(´･ω･`)ｼｮﾎﾞｰﾝ

age

>>75
1>1/2>1/4>1/8>1/16>...って無限列がfには許されるのね

769

三年九日四時間。

Γ(z+1) = zΓ(z)

>>2の正しい証明きぼん

748

age

>>5のBlackLightOfStar って奴馬鹿じゃない？
Kingもそう思うだろ？

漸化式

Reply:>>86 お前は何をしようとしている。

>>5
何が十分なんだ
差分方程式が解ける場合でも
微分方程式の方が現象の性質を調べやすい事もあるだろう

BlackLightOfStarって中二病かよ

Reply:>>89 それは離散では扱いにくいからではないか。

>>91
ばーか

>>91
氏ね

833

137

>>5

kingは早く自分の星に帰れ。

>>2を明日解く

Reply:>>97 どこか。

594

318

よく授業でこの微分方程式を周期Tでサンプリングして差分方程式にしたとか出てくるんだけど、結果だけでイマイチ分からん
例えば線形2階微分方程式を離散化するとどんな感じになるの？

四年三時間。

差分
1/(2・3)＋1/(3・4)＋・・・
みたいな問題に有効だよね。

909

767

155

883

940

サヴァン方程式

広田良吾ってなんであんなに威張ってるの？

とても偉い先生です。
たとえ威張られても私は文句がありません。

広田良吾って誰？

今は何処に居てはるんですかね。
ソリトン関係ではビッグ・ネームですよ。
双線形形式とか広田微分とかで調べたら
出て来るんじゃないでしょうかね。

昔に電気回路でソリトンの研究をやった
とか言って居られました。

何の回路ですか？

>>115
http://ci.nii.ac.jp/naid/110002178941/en
（ＰＤＦ閲覧可）

ソリトン　　電気回路　　広田　　　　でググッたら出た。

一次元戸田格子とアナログ等価な電気回路で、「梯子型」と言えばなんとなく伝わるかな．．．

>>116
ＰＤＦはアブストだけしか書いてないです．．．．orz

>>116
戸田さんの書いた記事とかにもよく出てくるよね

こういう立派な研究者は是非とも皆さんで尊敬申し上げたい
と思います。

猫

そんなに持ち上げる必要はない

492

五年十七日十時間。

647

592

377