分割数

さあ、玄人好みの分割数で皆さん、交流を深めてください。

私は、立て逃げします。hirosiです。

hirosiです、の使い方が変。

たぶん彼はnextヒロシなんだろう。だから使い方が違っている

分割数の最初の方ってやたら11の倍数が出てくるけど、
{n; p(n)≡0 (mod 11)}の密度ってどのくらい?
p(11n+6)≡0 (mod 11)から1/11以上ってのは分かるけど。

p(n) を n の分割数とする。

(1) p(n) は n 次対称群の共軛類数に等しい
(2) p を素数とするとき位数 p^n のアーベル群の同型類に等しい
(3) 冪級数 Σp(n)*z^n の収束円は自然境界になっている

Macdnald Identity でも誰か書け

可積分系
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1097082822/
ともめちゃくちゃ関係ありますよね

誰も書かないようなので、先ず Euler, Gauss の時代の古典的事実を幾つか書いておく。

p(n) を n の分割数とし、
母関数を
f (x) = Σp(n)*x^n,
g (x) = f (x)^(-1) と置く。

g (x) = Σ [n = -∞ → ∞] x^{(3n^2 + n)/2} ..... Euler
g (x)^3 = Σ [n = 0 → ∞] (-1)^n(2n + 1)*x^{(3n^2 + n)/2} ...... Jacobi
f (x^2)/(f (x))^2
g (x)^2/(g (x^2)) = Σ [n = -∞ → ∞] (-1)^n*x^(n^2) ....... Gauss
f (x)/{f (x^2)^2}
g (x^2)^2/g (x) = Σ [n = -∞ → ∞] x^(n^2 + n) ....... Gauss

さらに、Hardy, Ramanujan, Rogers, Macdonald, Kac, .....

RamanujanとKacがでてくるのはどう理解すればいいの？
数論と物理の関係で理解したい，分配関数，character formula,zeta関数,Ｌ関数，etc...

age

L関数までも習得している習得している識者の
意見が聞きたい

そんなに強調せんでも…
習得しているとはどのくらいのレベルを言うのだ？

>>12
レベルはよくわかりません．こっちがよくわかっていないので
いろんなことを教えてくれるとうれしい．

そもそも，こっちは，なんでそんなに，zeta関数，L関数が重要なのか
よくわからんのです．

なんかの個数の母関数なのだろうから，分配関数やcharacter formula
とも同じだろうと勝手に思っている．

まちがってたら，指摘してください．

322

246

　　　 ,. -ｰ- 、__
　 　,'　　　　　'.y´
　　 i　ﾚﾉﾉﾊﾉﾉ)
　　 ﾊﾙi ﾟ ヮﾟﾉﾘ　カウントばかりしないでマジレスしれー
　　 と,)）::∞:!iつ
　 　 ,く::/_:::!:」
　 　 ｀ﾞ!_ﾌi_ﾌ´

分割数の満たす合同式について語ろうぜ。

分割数に関しては、ラマンじゃんが漸近公式を出していて、
分割数が整数であることから、漸近公式を用いて、
ある程度大きなNに対する分割数は正確な値を容易に
求めることが出来る。

ヤング図形も仲間に入れてあげて。

>>18
そんな精密な前金公式があるのか？
信じられん。

>>20
ラーデマッハーのは漸近でなくてそのものズバリです。
ラマヌジャンのと大して変わらんけど。

ん、ラマヌジャンの公式はNが大きくなると差が1/2未満になるのか？

713

　〜〜〜終了〜〜〜

878

856

766

これからこのスレでラーデマッハーの式を導こう。
以下宜しく。

テータ

149

163

　　　　　.┌━┐　 　 ┌━┐
　　　　　 ┃┌╋──╋┐┃
　　　　　 └╋┘　 　 └╋┘
　　　　　 　 ┃　・ 　 ・　 ┃ 　 　　 　 ┌━━┐
　　　　●━╋┐　 　 ┌╂━━━━╂┐　 ┃
　　　　└━┷┴━━╂┘　 　 　 　 └╋━┘
同じｽﾚにはｺﾋﾟﾍﾟ　┌╋┐ 　　 　 　 ┌╋┐
できるけど、違う　 ┃└╋╋━━╋╋┘┃
ｽﾚにはｺﾋﾟﾍﾟでき　┃　 ┃┃ 　　 ┃┃　 ┃
ない不思議ｺﾋﾟﾍﾟ　┃　 ┃┃ 　　 ┃┃　 ┃
　　　　　　　　　　　└━┘┘　　　└└━┘

age

qpmcヴぉ4@ぬｙｔ

イアウチェwリうhhvbjvhんzshbsfkんｘｓ

age

>>28
シュプリンクラーの数の本でも読んどけ

age

996

583

あげ

あげ

792

250

The Theory of Partitions, G. Andrews, Addison-Wesley P.C.

ﾎﾘｴﾓﾝは自社株を１万分割

969

１０００

よってこのスレ

　〜〜〜終了〜〜〜

このスレ

　〜〜〜中川〜〜〜

age

>>46ﾀｲｰﾎ

もう一度分割礼数

310

　　　　　　　　　　　　　　 　 　　　　 　　 　┌-―ー-';
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　　|(´･ω･`)ﾉ 知らんがな
　　　　　　　　　 　 　　 ＿＿＿＿ 　　　　上―-―' 　　　＿＿＿＿
　　　　　　 　　　　　　　| (´･ω･`) | 　　／　 ＼　　　 　　 | (´･ω･`) |
　　　　　　　　　　 　 　 |￣￣￣￣ 　 （￣￣￣） 　 　 　 |￣￣￣￣
　 　 　 　 　　 　 　 　 ∧ 　　　　　　 （[[[[[[|]]]]]） 　 　 ,∧
　　　　　　　　　　　　<⌒>　 　 　 　 [=|=|=|=|=|=]　　　<⌒>
　　　　　　　　　　　／⌒＼ 　 　 　 _|iﾛi|iﾛiiﾛi|iﾛ|_∧ ／⌒＼_
　　　　　　　　　　　］皿皿［-∧-∧|ll||llll||lllｌ||lllｌ|lll|￣|]皿皿[_|
　　　　　　　　　　　|_／＼_|,,|「|,,,|「|ﾐ^!､|]|[|]|[|][]|_.田 | ∧_ 　]
　　　　　　　　　　　| . ∩　 |'|「|'''|「|||:ll;|||}{|||}{|||}{|||}{|,田田.|__|
　　　　　　　　　　　|￣￣￣￣|「|￣￣||[[|門門門|]]|[_[_[_[_[_[
　　　　　　　　　　／i~~i' l ∩∩l　.ｌ　∩　∩　 l　　|__| .| .∩|　.|　l-,
　　　　　　　,,,,,='~|　|　|' |,,=i~~i==========|~~|^^|~ ~'i----i==i,, | 'i
　　 　 　 　 |　l ,==,-'''^^　 l　 |. ∩. ∩. ∩. |　 |∩| 　 |∩∩|　 |~~^i~'i、
　　　　　 ,=i^~~.|　 |.∩.∩ |,...,|__|,,|__|,,|__|,,|__|,....,||,,|.|,.....,||,|_|,|.|,....,| 　 |　|~i
　　　　 l~| .|　　|　,,,---== ヽﾉ　　　 i　　　　ヽﾉ~~~ ヽﾉ　　 ~ ソ^=-.i,,,,|,,,|
　　　　.|..l　i,-=''~~--,,,　　＼　 ＼　 l　　　／　　　／　　　　／　　__,-=^~
　　　　|,-''~　-,,,＿　　~-,,.　 ＼ .＼ |　.／　　 ／　　＿,,,-~　 　／
　　　　 ~^''=、＿ _ ^'- i=''''''^~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~^''''''''=i -'^~
　　　　　　　　　　 ~^^''ヽ　ヽ 　i　kingｷｬｯｽﾙ　/　 ／　 ノ
　　　　　　　　　　　　　　ヽ　　、 l　 |　 ｌ　 l　/ .／　　／
　　　　　　　　　　　　 　 　 ＼_　、i ヽ　 i　 /　　　,,=='
　　　　　　　　　　　　　　　　　 ''==,,,,＿＿＿,,,=='~

talk:>>55 私の城を用意してくれるのか？

>>3,20,28
g(x) = Π[k=1,∞) (1-x^k) = Σ [n=-∞,+∞) (-1)^n･x^{(3n^2 +n)/2}.

http://mathworld.wolfram.com/PartitionFunctionP.html
G.H.Hardy and S.Ramanujan: "Asymptotic formulae in combinatory analysis", Proc. London Math. Soc., １７, p.75-115 (1918)
H.Rademacher: "On the partition function", Proc. London Math. Soc.,４３, 241-254 (1937).
黒山人重: ｢ラマヌジャンとハーディ｣, 数セミ, ３７(10), p.61-63 (1998.10)

p(n) = {対称群Ｓnの共役類の数}。

>>57
だからどうした

>58
　f(x) は正項級数なんで、g(x)の方は交代するのかと重たよ....orz

>>20,57

G.H.Hardy & S.Ramanujan (1918)
　p(n) 〜 {1/(π√2)}(d/dn){sinh(cλ(n)) /λ(n)}
　　　= {1/((π√2)･2(n -1/24))}{c･cosh(cλ(n)) - sinh(cλ(n)) /λ(n)}.

H.A.Rademacher (1937)
　p(n) = {1/(π√2)}�納k=1,∞) (√k) A_k(n) (d/dn){sinh(cλ(n)/k) /λ(n)},

ここに、c=π√(2/3), λ(n) = √(n -1/24), A_1 =1,
A_k(n) = (√(k/3))�納L (mod 2k), ただし (3L-1)L/2≡-n (mod k)] (-1)^L･cos((6L-1)π/(6k)).

198

337

338

294

age

448

561

200

二年十四時間。

age

43

age

974

整数の分割 (単行本)
ジョージ・W. アンドリュース (著), キムモ エリクソン (著),
George W. Andrews (原著), Kimmo Eriksson (原著), 佐藤 文広 (翻訳)

立ち読みしたらよさげな本だった。

分割数問題は，円周法を使う場合に主要項が一つの優弧からえられます。ここでサドルポイントをうまく使うとできます。投票

age

121

>>60
どうやって証明すればいいんですか？

p(4063467631n+30064597)≡0(mod31)

なんでや？

p(17303n+237)≡0(mod31)

>>74の本面白いね

小野孝先生の息子がやってるね。

508

三年一時間。

403

age

予備知識0からスタートし、まったく簡単な題材から未解決の問題まで導き、
ロジャース-ラマヌジャン恒等式にたどり着ける

んむ、ちょっくら見てみっかな？

　合成関数を展開するとき、その係数が、最大値の制限のある分割数で書ける
ことに気づいた。ポリアの定理と同じだそうな。多重の合成関数をテーラー展
開したとき、その係数が、最大値のある分割数のある和と、最大値の制限のあ
る分割数の積の和で書けることに気づいた。
　最近、約数をなるべくたくさん持つ大きな合成数をはやく見つけるとき、分
割数が使えた。そんな合成数は、約数を周波数に持つ波が多く重なって強め合
う周波数になると思った。赤外線の周波数まで合成数を求めた。
　ラーデマッハーの公式の証明はまだよく理解していない。教えてほしい。

タンジェント数が分割数と関係があると知った時は驚いたｗ

age

king

Reply:>>93 私を呼びたか。

865

052

834

168

分割数はkingの専門分野じゃ。king
おそｗてけれ。

うるさい。

四年三時間。

Reply:>>99 とりあえず、Googleに資料請求してみた。 http://www.google.co.jp/search?q=%E5%88%86%E5%89%B2%E6%95%B0

127

408

522

321

843

308

>>7ast

952

〔質問〕
　分割数の公式について。
　ラデマッハーのは難しくわからないので、もう少し簡単な証明が欲しい。
　ガンマ関数を核にして表現できるそうだが。

http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1260296878/009
さくらスレ２６３

五年三十五日八時間。

850

なんで分割数を学ぶんですか？
分割数を学ぶ事で何か役にたつんですか？
教えてください。

>>114
何で数学を学ぶんですか？
金儲けや芸事や女遊びで身を立てるのなら数学なんて全く必要ありませんよ。

1,1,2,3（これは基本）

1,4,27,256（これも分かるでしょう）

6,15,35,77（これは少し考えた）

6,2,8,2,10,18（これはひどい問題だよ）

>>116

1,1,2,3.　　　　　 1*F1(n)＋ 1*F2(n)＋　2*F3(n)＋　3*F4(n)　　(n＝1,2,3,4)
1,4,27,256　　　 1*F1(n)＋ 4*F2(n)＋27*F3(n)＋256*F4(n)　　(n＝1,2,3,4)
6,15,35,77　　　 6*F1(n)＋15*F2(n)＋35*F3(n)＋ 77*F4(n)　　(n＝1,2,3,4)
6,2,8,2,10,18.　　6*F1(n)＋ 2*F2(n)＋　8*F3(n)＋　2*F4(n)＋10*F5(n)＋18*F6(n)　　(n＝1,2,3,4,5,6)


ただし、
Fk(n)＝f k(n)/f k(k)　(k＝1,2,3,4,5,6)
f 1(n)＝(n−2)(n−3)(n−4)(n−5)(n−6)
f 2(n)＝(n−1)(n−3)(n−4)(n−5)(n−6)
f 3(n)＝(n−1)(n−2)(n−4)(n−5)(n−6)
f 4(n)＝(n−1)(n−2)(n−3)(n−5)(n−6)
f 5(n)＝(n−1)(n−2)(n−3)(n−4)(n−6)
f 6(n)＝(n−1)(n−2)(n−3)(n−4)(n−5)

ばかばっか

1.1.2.3...->1.1.1+1.1+2...
1.4.27.256...->1^1.^2.3^3.4^4....
6.15.35.77...->2*3.3*5.5*7.7*11....
6.2.8.2.10.18...->

>>119

最初のは F_n （フィボナッチ数）でつね。

分割数について、個人的経験。
テータ関数の一般論、オイラーの五角数定理、表現論（無限次元リー環を含む）
のあくまで表面を理解したと言えるのはつい最近。

ｑ解析なんかはこれから佳境。

ロジャーズ・ラマヌジャンの恒等式（の意味）がやっとわかりはじめたころかな。
ハーディとラマヌジャンの評価式を現在確認中。

整数の分割 (単行本)
ジョージ・W. アンドリュース (著), キムモ エリクソン (著),
George W. Andrews (原著), Kimmo Eriksson (原著), 佐藤 文広 (翻訳)

この本の演習問題の２番から分からなくなった俺は分割数の勉強する資格なしですか？

もう少し頑張ればいい

二諦、三諦、四諦
この関係をよく観察すれば
分割数の概念に至る

258

320