群論の星 part2

表現論を圏論的に考えることも出来る。
K を体とし K 上の有限次ベクトル空間全体の圏を K-Vect とする。
G を有限群とする。
G は対象として G をもち、その元を射とすることにより圏と見なせる。
G から K-Vect への関手は G の表現に他ならない。
G から K-Vect への関手全体を (K-Vect)^G と書く。
U、V ∈ (K-Vect)^G のとき U から V への自然変換は U から V への
G-線型写像に他ならない。
これが自然同値のとき U と V は同値と言う。
(K-Vect)^G は自然変換を射とすることにより圏となる。
この圏は G-線型空間のなす圏に他ならない。

「群論への30講」の第30項、p.228に
「【定理】有限群Gの表現は完全可約である．」
があり、証明もありました。

だからそんな基本的なことどの本にも書いてあるってーの

>>432
それユニタリ表現を使った証明？
その定理の証明は２種類あってユニタリ表現を使うのとそうでないやつ。
両方知っておいたほうがいいが、どちらかといえばユニタリ表現を使う方が重要。

くまーみたいな馬鹿のにおいがする

>>431
当方、圏論なんて聞いたこともありませんので。
馬の耳に念仏です。

>>434
「群GからGL(k,C)への準同型写像φ、φをk次の線形表現」
「φ(a):C^k ---> c^k (a∈G)」
「Gの表現φが完全可約であるという性質は、C^kの基底を取り直して、
　φと同値な表現に置き換えても変わらない。
　・・・φと同値なユニタリ行列による表現ψに対して、」ψが
　完全可約であることを示そう。」
となっています。

誤：「φ(a):C^k ---> c^k (a∈G)」
正：「φ(a):C^k ---> C^k (a∈G)」

誤：・・・φと同値なユニタリ行列による表現ψに対して、」ψが
正：・・・φと同値なユニタリ行列による表現ψに対して、ψが

ななしが
　きょうも
　　えろさいとで
　　　じこしゅちょう

>>437
上の証明と同じ方法だね

>>436
最近の理論物理じゃ圏論は主要な道具ですよ

>>442
理論物理も、物理学科以外に、数理解析学科でもやっていて、
余りにも数学的な物はそっちがやっていたりしませんか。

>>443
それで？

>>433
この本でも、最後の章が「表現」論で、不変部分空間、既約、完全可約が
2ページほどで一気に定義され、今紹介した定理は、本当に最後の最後の
節の1つだけ手前にたまたま出ているような状態ですよ。

>>445
表現論の本は古いからな
でも
証明自体に間違いがあるわけじゃない
だから
理解できないのは能力か努力か体力か金力かなんだかしらないが
その不足が原因
すう折だのなんだのテストだとか自慢するのは逆に無能さを
宣伝してるみたいなものだわ

杉浦やまのうちでなくても探せばいくらでも本はあるだろうに

>>446
理解できないのではなく、学んだことがないだけです。

>>447
いいわけだらけだな

>>448
群の表現を学ぶ必要が出てきたのが一週間ほど前なのに、いつ学べと
言うんですか?

学ぶ必要がでてきて調べたのが奈良女子大の卒業論文だった

なんて

そんなアホなやつ

おる？　普通は普通の本で調べるやろ
それができないというだけでもアホの資格十分あるな

>>450
しかもそれは、浅野・永尾６章の丸写し。

上田先生体調よくなかったからそんな卒業論文ゆるしたのかな
でもまさか死ぬとは思ってなかったろうに

Gをコンパクト群とし、G上の実数値連続関数全体の作る集合をC(G)とおく。
f,g ∊ C(G)とする。G上に不変測度mを取る。

今、fとgのたたみこみを、

f*g(x)=∫_G f(y)g(y^-1 x) dm(y)　・・・・(1)

と定義する。この時、

f*g(x)=∫_G f(x y^-1)g(y) dm(y)　・・・・(2)

である。

この証明が分かりません。

単に、(1)で、y^-1 x = z とおくと、

f*g(x)=∫_G f(x z^-1)g(z) dm(y)　・・・・(3)

となり、y = x z^-1 となります。

これがどうして、(2)に変形できるのでしょうか?

ヒントとして、不変測度mについて、

∫_G f(g x)dm(x)=∫_G f(x g)dm(x)=∫_G f(x)dm(x)

という性質があるそうですが。

ちなみに、これは群環に関連した話です。

>>452
修士論文じゃなくて学部の卒論だしなあ・・・

∫_G
は、積分記号∫の左下に、群Gの記号を書いているつもりです。
つまり、群Gの全ての元について積分するというニュアンスです。
もちろん、y^-1 は、y の逆元です。

誤字訂正: 左下 ---> 右下

コンパクト群はゆにもじゅら〜〜〜〜

もしかすると >>453 は証明できないことなんでしょうか?

だからコンパクト群はユニモジュラーだと
おしえてやってるだろ

機械的に変形するなら
y^(-1)x=z^(-1) とおいて、あと
∫_G k(x^(-1))dm(x)=∫_G k(x)dm(x)　を使う。

>>461
>∫_G k(x^(-1))dm(x)=∫_G k(x)dm(x)　を使う。

これはどうやって証明すれば良いのでしょう?

x = x0+h として、
x0^(-2)を両辺に掛けると
x0・x = x0^(-1)+x0^(-2)・h となるので、

f(x)dm(x)=f(x0・x)dm(x)=f(x0^(-1)+x0^(-2)・h)dm(x)・・・(1)

一方、x^(-1)=x0^(-1)+hAとして、hの1次まででAを求めてみると、
x・x^(-1)=(x0+h)・(x0^(-1)+hA)=1+h(x0^(-1)+x0・A)
となる事から、x0^(-1)+x0・A = 0となる必要があり、
A=-x0^(-2)となる。なので、
x^(-1)=x0^(-1)-h・x0^(-2)
となり、(1)のfの括弧内と良く似ているが、符号が逆。

なぜだろう?

hは、可換な数ではなく、行列なので、改めてhBと置くと、
x・x^(-1)=(x0+hB)・(x0^(-1)+hA)=1+h{B x0^(-1) + x0 A}
となり、A= - x0^(-1) B x0^(-1) となる。
x = x0 + hBに対し、x^(-1)=x0^(-1) - h x0^(-1) B x0^(-1)

>>463には、記述に間違いがあって、
x0^(-2)・x = x0^(-1) + h x0^(-2) B
が正解。(1)は、

f(x)dm(x)=f(x0^(-2) x)dm(x)=f(x0^(-1)+h x0^(-2) B)dm(x)・・・(1)

が正解。

掛ける順序を逆にして、
x･x0^(-2)= x0^(-1) + h・B・x0^(-2)

f(x)dm(x)=f(x・x0^(-2))dm(x)=f(x0^(-1)+h・B・x0^(-2))dm(x)・・・(2)

x0^(-1)・x・x0^(-1)= x0^(-1) + h・x0^(-1)・B・x0^(-1)

となり、x^(-1)=x0^(-1) - h・x0^(-1)・B・x0^(-1)
と非常に良く似た形になるが、何故か符号が逆。

>>462
数学板の代数的整数論 012から引用する。

G をコンパクト群とする。
s ∈ G のとき、x ∈ G に xs^(-1) を対応させる関数を δ(s) と書く。
δ(s) は G の位相同型である。
μ を G の左 Haar 測度とする。

K(G, C) を G 上の複素数値連続関数全体とする。
s ∈ G のとき、f ∈ K(G, C) に ∫ f(xs^(-1)) dμ(x) を対応させることにより
G 上のRadon測度 ν が得られる。
即ち ∫ f(x) dν(x) = ∫ f(xs^(-1)) dμ(x)
t ∈ G のとき、∫ f(tx) dν(x) = ∫ f(txs^(-1)) dμ(x) = ∫ f(xs^(-1)) dμ(x)

よって、ν は左 Haar 測度である。
よって、実数 Δ(s) ＞ 0 が存在し、
∫ f(xs^(-1)) dμ(x) = Δ(s)∫ f(x) dμ(x)

A を G の部分集合でμ可測とする。
χ_A を A の特性関数とする。
s ∈ G のとき、χ_(As)(x) = χ_A(xs^(-1)) である。
χ_(As) はμ可積分であり、
∫ χ_(As)(x) dμ(x) = ∫ χ_A(xs^(-1)) dμ(x) = Δ(s)∫ χ_A(x) dμ(x)
よって、μ(As) = Δ(s)μ(A) である。

特に μ(G) = Δ(s)μ(G) である。
よって、Δ(s) = 1 である。
よって、s ∈ G のとき、∫ f(xs^(-1)) dμ(x) = ∫ f(x) dμ(x)

(続く)

>>467の続き

t ∈ G のとき、
∫ f(xt^(-1)) dμ(x) = ∫ f(xs^(-1)t^(-1)) dμ(x) = ∫ f(x(ts)^(-1)) dμ(x) = ∫ f(x) dμ(x)
よって、μ は右 Haar 測度である。

t ∈ G のとき、
∫ f((xt)^(-1)) dμ(x) = ∫ f(t^(-1)x^(-1)) dμ(x) = ∫ f(x^(-1)) dμ(x)
よって、f → ∫ f(x^(-1)) dμ(x) は右 Haar 測度である。
この測度をμ^と書く。
c ＞ 0 があり ∫ f(x^(-1)) dμ(x) = c∫ f(x) dμ(x) となる。
即ち、μ^ = cμ
よって、μ = cμ^
よって、μ = c^2μ
よって、c = 1
よって、∫ f(x^(-1)) dμ(x) = ∫ f(x) dμ(x) となる。

ご返答有り難うございます。

>>467
>よって、実数 Δ(s) ＞ 0 が存在し、
>∫ f(xs^(-1)) dμ(x) = Δ(s)∫ f(x) dμ(x)

これはどうしてでしょう?

>>469
左Haar測度は定数倍を除いて一意だから。

>>470
えーと?

>>471
s ∈ G のとき、∫ f(x) dν(x) = ∫ f(xs^(-1)) dμ(x) と定義すると、
ν は左 Haar 測度だから左 Haar 測度の一意性より ν = cμとなる定数 c ＞ 0 がある。
ν は s に依存するから c = Δ(s) と書ける。

くまなんか引用するなボケ

>>473
邪魔する人は退出してください。

おまえがでていけ

なぜこんなに伸びてる？
半兵衛、説明せい！

測度を知らない奴枯れが一人紛れ込み、鳴子を鳴り響かせて下ります

>>475
おまえみたいな人が日本を駄目にしてるんだろうなあ。

>>478
おめーだ

341