群論の星 part2

群論について語れ

前スレ
群論の星
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1062210764/

やっとたたっか

立ったか

有限群を分類せよ

やだ。

こ、これが噂の次スレですか。
生まれて初めて見ました！

無限群を分類せよ

無理。

なぜ無理なの

なぜか。

群論の話題をひとつ。
位数3の群はほかの群の自己同型群とはならない。ｂ

本当？

証明も難しくない。解いて見よ。

>>11
言ってることの確認だけど、自己同型群って、自己同型写像の全体のことだよね
位数3の群Gは、G以外の群の自己同型群になはらんってこと？

位数3の群Gは、Gも含めて任意の群の自己同型群になはらんってこと
です。

＞自己同型群って、自己同型写像の全体のことだよね
そうです。

ってことは、自己同型群は位数3とはならないってことだな

>>15
体から体への自己同型群だとダメだよねぇ。

なんか反例ありそうな悪寒
位数３と仮定しても矛盾をどこで出せばいいんだ

任意の群の自己同型写像の個数が３になることはないってことを言えばいいんだよな。

体は駄目だよ。素体の３次ガロア拡大体。

ついでに云うなら、任意の有限群は Q 上有限次拡大対の自己同型群になる。
上記の群は勿論有限とは限らない。

自己同型群を相違なる3元（単位元e)、f、f^(-1)からなる位数3の群だとする。
f^2＝e、f、f^(-1)でなくてはならないが、
f^2＝e⇔f＝f^(-1)となり矛盾
f^2＝f⇔f＝eとなり矛盾
f^2＝f^(-1)⇔・・・・
群論なんてちゃんとやったことないからなんかよくわかんね

f^2 = f^(-1), f^3 = e だよ

内部自己同型考えよ。

内部自己同型考えるとどうなるのかな？
内部自己同型群は自己同型群の正規部分群だから位数1か3でしょ。

1ならアーベル群だから自己同型群は生成元の置換のみになるのかな？
巡回群なら自己同型群の位数はφ(n)だから3にはなり得ない。(φはオイラー関数のつもり)
巡回群でないアーベル群なら自己同型群の位数は明らかに4以上だからやはり3にはなり得ない。

3なら自己同型群＝内部自己同型群だよな。
…どーすんだ？
内部自己同型群の位数が3つーと中心に関する剰余群が位数3ってことか？
で、中心が単位群じゃなかったらこの中の生成元の置換があるから自己同型群≠内部自己同型群か。
だけど中心が単位群てのはあり得なさそう…
あり得るのかな？
うーんわかんない！

中心に関する剰余群が巡回群となるような群はアーベル群

>>26
その証明はどうやるの？

自己同型群を内部自己同型群で割った剰余類群は何できまるのかな？
中心の自己同型群と同型になるのかな？

>>11>>25
まず内部自己同型群が自明群の場合について決着を付けておこう。
即ちアーベル群の場合。この時、
x → x^(-1)
は自己同型になるが、これが自己同型群の元として位数２とすると矛盾だから、
x = x^(-1)
なる恒等式が出来て、 G は２元体上のベクトル空間となる。
この G の自己同型群は位数３にならない。

>>26の証明もできん奴は>>11に手を出すべからず

あぼーん

Re:>31 お前何考えてんだよ？

えーと？　オイラが理解できてないのかな？
いや、>>26は基本なんだけどさ。でもこの場合、関係あるん？
つまり、「内部自己同型群の構造を、どこで使ってるかな？」と
聞いても、同じことだな。

うーんと、自己同型群の位数が奇数でありさえすれば、偶数位数の
部分群は存在しないやろ？　だから、自己同型 x → x^(-1) は、
位数2だと必ず矛盾するから、常にx = x^(-1)やん？

そうすっと、xy = (xy)^(-1) = y^(-1) x^(-1) = yx なので、どう
したってGはアーベル群、ここまで合ってますかい？

一般に有限体上のベクトル空間の自己同型は、変換行列の形を考え
れば、必ず偶数個、間違ってないよな？

いやだからさ、内部自己同型群の構造なんか関係なしにさ、一般に
「自己同型群の位数は奇数ではない」って言えないのかな？？？？
突っ込み等キボーン。

あと>>29だけどさ、内部自己同型群が位数3でも、>>26の通りGは
アーベル群なんじゃねーの？　場合分けする意味ってなにさ。

>自己同型 x → x^(-1) は、 位数2だと必ず矛盾するから、常にx = x^(-1)やん？

釣りですか（ｗ

あれ、やっぱオイラが何か勘違いしてんのかな。
ごめんねー(^^;

あと、>>29の場合分けの必要性について、御教授下さい。

たぶんXを群、G=AutX、|G|=3と仮定して完全列
　
　1→Z(X)→X→InnX→1
　
のこといってんじゃない？ただしInnXはXの内部同型のなす群でX→InnXは
x∈Xに対してy→xyx^(-1)なる内部同型を対応させる全射準同型。
でInnXは位数1か3でしたがって巡回群だからXは可換だといってる気がする。

>>36は場合分けの必要性というか必然性を説明してるんじゃなくて
>>26をこの問題に適用するとしたら>>36の完全列に適用するんだろうっていう意味ね。

あ、どうもありがとうございます。>>36は了解しました。

あと、f: x → x^(-1) が、やっぱりよく分からないっす。
(x^(-1))^(-1) = x なんだから、f^2 =（恒等写像）、ってのは
合ってるんですよね？

で、「fが恒等写像でないなら、{恒等写像、f}という位数2の
（自己同型群の）部分群が存在する」っていうのも合ってる
んですよね？

で、奇数位数の群の部分群の位数って、必ず奇数ですよね？

うーん、オイラ一体何を勘違いしてるんだろうか？
誰か御教授下されー。

もう>>11の問題は答えでたみたいなもんだからそれでいいんじゃないの？
|AutX|=3より|InnX|=1か3でいづれにしてもXはアーベル群。
よってx→x^(-1)は自己同型になる。
(注:Xがアーベルでないと一般には反自己同型にすぎない)
またこの同型の同型群内での位数はたかだか２なので仮定から恒等写像でなければ
いけない。よってXは標数2の体のベクトル空間の加法群と同型。
しかしそのようなアーベル群の同型群で位数３のものはない。

>>38
非可換の場合、そのfは準同型じゃなくない？
f(xy)=y^(-1)x^(-1)
f(x)f(y)=x^(-1)y^(-1)
でしょ？

あ、なる程、了解しました。
どうもありがとうございます。>>39

>>40さんもありがとうございます。

すると、「Aut Xは奇数位数の巡回群ではない」っていうのが、>>11の
一般化（の一種）と考えてよろしいのでしょうか。

で、>>26の証明は？
ヒントだけでも是非。

>>42
それはダメじゃん。
Innが奇数位数だからって巡回群とはかぎらないじゃん。

あれ？Innが巡回群なら可換？
だって可換ならInnは位数1だる？
つーとInnは単位群以外の巡回群ではあり得ないってこと？

>>43
G/Z(G)=Cが元gで生成される巡回群としてx∈Gをcの代表系とする。
(つまりg=xZ(G)となる元とする。)
このときGはxとZ(G)の元で生成されるけどこの生成元はどの２つをとっても可換だから。

有限巡回群の部分群って、巡回群とは限らないのけ？

有限巡回群の部分群は有限巡回群でいいとおもうけど？
なんか問題ある？

オッハ。
じゃ、Aut Xが巡回群ならInn Xも巡回群、ってことでいいべな？

いいべ。

すると、奇数の場合で言うと。Aut Xの位数が3, 5, 7, 11, 13等々
・・・のときは否決されるべ。9のときも巡回群なら同じく却下され
るんで、Aut X = Inn X = Z_3 x Z_3のときはどうか、って感じなの
だが。

この構造の自己同型群、具体的に存在するべか？　それとも、>>11
あるいは>>42の更なる一般化（？）で、結局却下されるべか？

Aut X = Inn X = Z_3 x Z_3
の時は>>51に解決してもらうことにして
次の話題

Show that 26(1-(1/26)^2)^(1/2) = n√3 where n is an integer whose value is to be found.
Given that |x| < 1, and by using the first two terms of expansion of 26(1-(1/26)^2)^(1/2) obtain an approximate value for √3 in the form p?q where p and q are integers.

どこが群論なんだよ
氏ねｳﾞｧｶ

Inn G = Aut Gとなるような群って、何か特徴付けとか
ありますか。

>>55
私は見た事無いし、10分考えて降参

>>55
少なくとも中心の位数が3以上あったら駄目じゃね？

G を非可換な有限群とする。
G の全ての部分群が正規部分群であるための必要十分条件は
G が奇数位数のアーベル群と四元数群の直積に同型なることである。

>>55
Gを非可換単純群として、A=Aut Gとすれば、Aut A = Inn A
というのはあるなー

ねえねえ、
Ｇが非可換単純群であることとＧの中心が単位群であることは同値？
右向き矢印(の対偶)は自明だけど…
あ、もちろんＧ自身は単位群でないとしてね。

>>59
非可換有限単純群とすれば全部だよ

>>60
全然同値じゃないよ
３次対称群。

　　　　　r'　,v^v^v^v^v^il　　　　　　　　　　　　
　　　　　l　/ jニﾆｺ　iﾆニ!.　　 重複ですが、
　　　　i~^'　 fｴ:ｴi　 fｴｴ)Fi　　 位数２２７５の有限群は
　　　　ヽr　　　　　 ＞ 　 V　　 アーベル群であること
　　　　　l　　　!ー―‐r　　l　　を示せ。　　　　　　　
　　　　　人　　 ｀ー―'　　ﾉ　　 これ、だれか解けないでしょうか？
　　　　　/　ﾞｰ‐--￣--‐'"　　　 よろしくお願いします。
　　　　/　　　　 ∩ノ ⊃　 ヽ
　　　　(　 ＼　／ ＿ノ　|　 |
　　　　 ＼　 "　 ／　　｜　|
　　　　　　＼ ／￣￣￣ ／
　　　　　　　￣￣￣￣

http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1045388265/72
を使えば容易

>>63
できた。Gを位数2275の群とする。シローの定理からシロー13群Pをとると
そのG軌道の個数は25×7の約数でmod13で1に等しい。よってそれは1であり
とくに正規部分群。よってGは位数25×7の群を商群にもつ。
つぎに位数25×7の群は同様にして位数7の群を商群にもつ。それをQとして
G→Qの核をNとする。|Q|=7、|N|=25×13。
まずNがアーベル群であることをしめす。先と同様にしてNは位数13の群を商群にもつ。
Nの部分群Aを|A|=25、|N/A|=13ととる。Aが正規部分群なので共役が
群準同型φ:N→AutAをひきおこす。位数25の群は25次巡回群か5次巡回群の直積か
なのでアーベル群。よってkerφはAをふくむ。つまり|Kerφ|は25の倍数。
また|AutA|は7と互いに素なのでImφは7と互いに素、つまり|Kerφ|は7の倍数。
よってφの像は単位群であるのでAはNの中心にふくまれる。
よって>>46よりNはアーベル群。
最後にGが可換であることを示す。ψ:G→AutNをやはり共役によってひきおこされる
同型を対応させて定義する。
Nはアーベル群なのでKerψはNをふくむ。つまり|Kerψ|は25の倍数。
一方やはり|AutN|は13と互いに素なので|Kerψ|は7の倍数。よってKerψは
G全体となりNはGの中心にふくまれる。ふたたび>>46よりGはアーベル群。

最後の３行めちゃめちゃになった。訂正
Nはアーベル群なのでKerψはNをふくむ。つまり|Kerψ|は25×13の倍数。
一方やはり|AutN|は7と互いに素なので|Kerψ|は7の倍数。よってKerψは
G全体となりNはGの中心にふくまれる。ふたたび>>46よりGはアーベル群。

>>61
どういう意味？

>>67
Hupperdt の本に書いてあったよ

即ち常に成り立つ

>>69
非可換有限単純群だと同型群と自己同型群が一致するとは限らないよ。
てか、Hepperdtって誰？

>>70
よく読めよ
Aut(Aut((G)) = Aut(G)

>>71
>>59は非可換単純群に対してAut(Aut((G)) = Aut(G) ってことです。
有限てゆー条件はいらないでおじゃる。

http://www.kojin.or.jp/nyanbaz/fin_grp/table1000.html
は正しいのだろうか
以前768に付いて疑義があったようだが

あそこは馬鹿ページだよ
出典も書いてない

　　　　　　　　　　ヽ∂ﾉﾉﾉﾉﾉﾉ ∂☆
　　　　　　　　 　ﾉﾉ;;;;;;;;;;;;;;;;｀';;;;;;;ﾉﾉ☆
　 　 　 　 　 　ヽ/;;;;;;;;〃/´ヾﾍ;;;;;;;;;;;ヽ ☆
　　　　　　　ヽ/;;;;;;;（（,/　　　 i;;;;ノ;;ノ;i ☆　　　　漏れ、解析系。D3。
　　　 　 　　ヽ|;;;;;;;;;i !/　─ 　.ﾉノ）ﾉノ|☆ 　　　　夢はフィールズ賞だ！
　　 　　 　 ノ |;;;;;;;;;|　　 ６　　∂ i;;;;;i| ☆　　　　 北海道のﾃｨﾑﾎﾟはうまいよ、
　　　　　　ノ　|;;;;;;;;i　”” 　　 ゝ　 |;;;;;;;|☆ 　　　　　それ喰ってフィールズ賞とってやるぜ！
　　　　　　　　!ノ;）ﾉ＼　　≪＞ .ﾉ;;;;;〈 　　 Ψ　 　　覚えた事は光速度で忘れる。
　　　　　　　　|（（/´ i ｀ ー─ 'iヽヾ);;）|｀i ω∩　　　頭の中はいつも「ブ」ランク定数。 　　
　　　　　　　ヽ ／＼￣￣｀ヽノ　 i (＼_l　!)))　　　　　　　　　　　楽天ガニよりシタラバガニ 　　
　　　　 　 ヽ／　　　 ￣￣ヾ 〃´　 ヽ/ ) ' ﾉ
　　　　ヽ　／　　V　A　K　Ａ　Ｄ　Ａ　N　A

　　　　　　 　　　 ...,､ -　 ､∞
　　　　　　,､ '　 ヾ　、;;;;;;;　 丶,､ -､
　　　　 ／;;;;;;;;;;;　　οヽ　ヽ;;;;＼＼:::::ゝ
　∞ヽ/;;;;;　i　 i　;;;;　　ヽ;;;;;;; __.ヽ ヽ::::ヽ
　ヽ:::::l　i.ο　l;;; ﾄ　　ヽ　 ヽ .___..ヽο丶::ゝ
　r:::::ｲ/ l:::.|　i ヽ　　＼　＼/ﾉﾉﾊ;;; ヽ
　l:/ /l　l.　　l;;;;;　i　 ヽ'"´__ヽ_ヽﾘ }. ',　　',
　'l. i　ト l;;;　ﾚ'__　　　　'"i#::::iﾞ〉l^ヾ　 |.i.　l
.　l l　lミ l ／r'++::ヽ　　　　'n‐／.}　/　 i l　l　／￣￣￣￣￣￣￣
　 l l　l.ヾlヽ　ヾ:‐°　 ,　　　　 !'" ♭i i/ i＜　　このスレ相変わらず
　 iﾊ　l　 (.´ヽ　　　　　_　　 .／　◎　 ,' ,'　'　|　馬鹿ばかりだわねぇ・
　　 |l. l　　♭ ''丶　　.. __　 イ　　∫　　　　　　 ＼＿＿＿＿＿＿＿
　　　ヾ!　　◎　　　　　 l.　//├ｧ ､
　　　　　　∫　　　／ﾉ!　◆　/　　｀　‐- 、
　　　　　　◎　 ／ ヾ_　 ◎/　≪≪ ,,;'' /:i
　　　　　　　 /King命;｀　∬/　　　,,;'''／:.:.i＼
　　　　　　　　　　　　というほど馬鹿じゃないわ。

このスレの人群を知っているのかしらん

話題に乏しいようなので何か提供します。

G1,G2を有限群とします。
このとき、Φ(G1×G2) = Φ(G1) × Φ(G2) が成り立ちます。
ただし、ここで Φ(H) は Hの極大部分群全体の共通集合で、HのFrattini
部分群と呼ばれるもの。

G1,G2の有限性をはずしても成立するでしょうか？
ただし、Hがまったく極大部分群を持たないときは、Φ(H)=H とします。

そんなの部分群定理（Kurosh のじゃなくて簡単なほう）を使えば明らかですわ。

　　　　　　　　　　_,,.. -──‐- .､.._.
　　　　　　　 　 ,　'´　　　　　 ╋　　 ヽ
　　　　　　　　〈:::::::　　　　　　　　　　 _:::)
　　　　 　 　 /´＼:::::::::_,.　- ― -　､.〃/
　 　 　 　 , '/〈∨〉’‐'´ 　 　 　 　 　 ｀ ' ､
　　　　　/ ,'. 〈∧〉/ ,.' , ｉ , ｌ }　! `, ヽ ヽ　＼
　 　 　 ｛ｿ{. ﾆ二|,' / / _! Ll⊥ｌ|　.Ll_!　}　、.ヽ
　　　　 {ソl ﾆ二.!!ｲ /´/|ﾉ_l_,|.ﾉレ'ﾚ_l｀ﾉ|! | .l　}
　 　 　 ﾊｿt.ｰ-;ュ;Vl /,ｨｴ下 　 　 ｢ﾊ ﾚ| j| j|丿
＼　　　!（(.ヽﾆ{fj ! l ` ﾊ|li_]　　　　|iﾘ {､|,ﾉ!'　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　 <＼ｎ　)’（ (‘ｰｌ |　 ° ´　　__,'　 ﾟ,' ）　　　　 |　 injection time よ。このスレもとうとう
　　/.）＼_,　 ｀ ） ﾉﾉ＼　　　　 ｔﾉ　／(（.　　　 ＜　 イカレポンチばかりになったわね。！
　　Ｖ二ｽ.Y´|　 （(　(ｒ个　 . ___. イヽ） ）)　 　 　 |　 他の人に迷惑だからおとなしくしなさいね♪
　　 {. r_〉｀!　}>' 　） ／ ゝ ､,,_o]lム` ｰ- ､　　 　 ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　 　 ＼　 　 ｆ　 ,. '´／　　　　 　 o　..:::　 ＼
　 　 　 `!　　{／⌒ヽ::::::　　　 　:::.　　＼_::　 ヽ
　　　　　　 `!king 命 　::::::　　　 　:::.　　＼_::　 ヽ　

>>79
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1093920971/43
ひょっとして、あなた部分群定理もご存じないの?
自由積の部分群に関するものが Kurosh の部分群定理。
今日は遅いから部分群定理だけ書いておくわね。後は考えてみて。

部分群補題（直積群の部分群定理）
　H_1 , H_2 を群、 H を直積群 H_1×H_2 の部分群とする。
この時 H_i の部分群 K_i , i = 1, 2, 及び群 K_3 , 更に
全射準同型 f_i ： K_i → K_3 , i = 1, 2 が存在し、
H = { (x, y) ∈ K_1×K_2 | f_1 (x) = f_2 (y) } と書ける。

証明

K_1 = { a ∈ H_1 | ∃b ∈ H_2 , (a, b) ∈ H },
K_2 = { b ∈ H_2 | ∃a ∈ H_1 , (a, b) ∈ H } と置く。

命題。　(a, c), (a, d), (b, c) ∈ H なら、(b, d) ∈ H

証明。(a, d) * (a, c)^(-1) * (b, c) = (b, d)

系。　i) p, q ∈ K_1 に対し、 ∃b ∈ K_2 st. (p, b), (q, b) ∈ H の時
同値とすると、これは同値関係となる。
ii) p, q ∈ K_2 に対し、 ∃a ∈ K_1 st. (a, p), (a, q) ∈ H の時
同値とすると、これは同値関係となる。
iii) K_1 をこの同値関係で割った群と、 K_2 をこの同値関係で割った群は同型である。

上記 iii) から得られる剰余群を K_3 とすると、求める結果が得られる。

>>81
長々とご苦労様。とりあえず、一般の無限群で成立するかどうか教えてもらえない？
有限生成単純群なら成立するね。

ところで、極大部分群を含まない無限単純群は存在するのだろうか？

逃げたか(　ﾟдﾟ)､ﾍﾟｯ

言葉遣いの汚い人は嫌いっ

名前の入れ忘れ

>>84
いちいち反応する人は嫌いっ

>>86
お前女か

age

もうこれでオワですか?

757

Ａを可換群、Ｂを可換帯とする
このときくいあぢしいｊｄｆさｋｊ

>>73
GAPに全部データが入ってる。
gap> NrSmallGroups(768);
1090235

亜寒帯上の置換群の軍艦をもとめよ

　　　　　　　　　　__ﾉ)-'´￣￣`ｰ- ､_
　　　　　　　 ,　'´　　_. -‐'''"二ニﾆ=-`ヽ、
　　　　　　／　　 ／:::::; -‐''"　　　　　 　 `ｰノ
　　　　　/　　　／:::::／　　　　　　　　　　　＼
　　　　 /　 　 /::::::/　　　　　　　　　 |　|　|　 |
　　　　 |　　　|:::::/　/　　　　　|　　|　|　|　|　 |
　 　 　 |　　　|::/　/　/　|　　| ||　 |　| ,ﾊ .| ,ﾊ|
　 　 　 |　　　|/　/　/　/|　,ﾊﾉ|　/|ﾉﾚ,ﾆ|ﾙ'　
　　　　 |　　　|　 |　/　/ ﾚ',二､ﾚ′ ,ｨｲ|ﾞ/　　　私は只の数ヲタなんかとは付き合わないわ。
.　　　 　|　　　＼ ∠イ　 ,ｲイ|　　　 ,`-' |　　　　　　頭が良くて数学が出来てかっこいい人。
　　　　 | 　　　　l＾,人| 　` `-' 　 　 ゝ　 |　　　　　　　　さらに独創的な人。人まねする人は嫌い。それが必要条件よ。
　 　 　 | 　　　　 ` -'＼　　　 　 　ｰ' 　人　　　　　　　　　　その上 Ann of Math に論文書けば十分条件にもなるわよ。
　　　　|　　　　　　　 /(l 　　 　＿＿／　 ヽ、　　　　　　　　　　　投稿料は私が払うわ。
　　 　 |　　　　　　　（:::::`‐-､__ 　|::::`､ 　 　 ﾋﾆﾆヽ、
　 　　|　　　　　　／ `‐-､::::::::::`‐-､::::＼　　 /,ﾆﾆ､＼
　　　|　　　　　　|::::::::::::::::::|` -､:::::::,ﾍ￣|'､　 ﾋﾆ二、　＼
.　　 |　　　　　　/::::::::::::::::::|::::::::＼/:::Ｏ`､::＼ 　 |　'､　　 ＼
　　 |　　　　　 /:::::::::::::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::'､::::＼ﾉ　　ヽ、　 |
　　|　　　　　 |:::::／:::::::::/:::::::::::::::::::::::::::::::::::'､',::::'､ 　/:＼__/‐､
　　|　　　　　 |／:::::::::::/::::::::::::::::::::::::::::::::::Ｏ::| '､::|　く:::::::::::::￣|
　　 |　　　　 /_..-'´￣`ｰ-､:::::::::::::::::::::::::::::::::::|/:/`‐'::＼;;;;;;;＿|
　　　|　　　　|／::::::::::::::::::::::＼:::::::::::::::::::::::::::::|::/::::|::::/:::::::::::/
　　　 |　　　/:::::::::::::::::::::::::::::::::|:::::::::::::::::::::Ｏ::|::|::::::|:::::::::::::::/

書けねぇ奴らめ

堀江由衣
お前女か?

868

馬鹿にはわからん問題教えてくれ

有限群なら
http://www.akanekodou.sytes.net/math/pdf/finite_group.pdf
でも読んでみろ

ちっとは読んでみたかい？

G=(3,3,3)=<x,y|x^3=y^3=(xy)^3=1>の群は指数３の可換正規部分群を含むという問題です。

原始3乗根ωにたいし、x,y→ωは{x,y}から<ω>への基本関係を保つ写像なので、
Gから<ω>の中への準同型に拡張できる。
準同型定理より、この準同型の核をAとすればAは指数3の正規部分群となる。
そしてこのAが可換となっていることをしめしたいんですわかりません。
どなたか教えていただきませんか？

>>101
http://yuki.to/math/prybbs.html?mode=res&no=15870
修士1年なんだろ？気長に待てよ気長に

なるべく早くお願いします。

早く教えろｺﾞﾙｧ

>>101
Coxeter の三角群定理を使えば簡単に出る。

（ ´,_ゝ｀）ﾌﾟｯ
ｺﾃ変えて、>>79と同じようなﾚｽしてらー

http://for.mat.bham.ac.uk/atlas/

>>101
うまいやり方があるのかもしれんけど、Aを具体的に記述してやれば、
なんとかなるんじゃない？
　Aはxxy, yyx, xyy, yxx, xyx, yxyで生成される。
→yyxはxxyの、yxxはxyyの、yxyはxyxの逆元。
→yyx, yxx, yxyはそれぞれ互いに可換になっている。
ってな感じで。

>>105
Coxeterの三角群定理ってどんなん？

>>108
p, q, r を 1より大なる自然数とするとき、三個の生成元 a, b, c と、基本関係式
a^2 = b^2 = c^2 = (ab)^p = (bc)^q = (ac)^r = 1
で定義された群は、
1/p + 1/q + 1/r が ＞ 1, = 1, ＜ 1 の時、
球面、ユークリッド平面、双曲型非ユークリッド平面を、三つの角が
π/p, π/q, π/r なる一つの三角形と辺による折り返しで敷き詰めて得られるものの
合同群になり、更にその中で向きを保つもののなす部分群は
x = ab, y = bc, z = xy = ac より生成され、
x^p = y^q = (xy)^r = 1 で記述されるというもの。
x, y, z は頂点における回転となる。

この場合ユークリッド型になるから、x, y は平面において
(0, 0), (0, 1) を中心とする 120度回転となり、
部分群は回転を含まず2次元格子群となる。

>>109
なるへそ。
�dｸｽ

易しい演習問題を出そう。
n ： 奇数、 G を位数 2n の有限群とするとき、 G の全ての元
a_1, a_2, .... a_2n をどの様に並べても、積
a_1*a_2* .... *a_2n は単位元とならない。

有限群の初等理論も知らんのか

まだ解けないか

>>111
誰も解かないようなので解答しよう。
G の位数 3 以上の元は x と x^(-1) がペアになって出てくるから偶数個。
位数 1 の元が 1 個だから位数 2 の元は奇数個。

G のそれ自身への左作用を置換と見てその偶奇を調べる。
x と x^(-1) の偶奇は一致。
位数 2 の元は n 個の互換の積だから奇置換。
よって全体の積は奇置換だから単位元にならない。

>>114
オナニー乙

Hepperdtって誰？

267

任意の群 G は別のある群 H の外部自己同型群 Out(H) = Aut(H)/Inn(H) に同型になる。

Brauer lifting
って、どうやって構成するんですか？

『「知」の欺瞞』関連情報

●ｂｋ１の『「知」の欺瞞』のページ
* 佐々木力、ポストモダン思想の軽薄さを完膚なきまでに暴露した、知的刺激溢れる書物、2000/07/10
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/FN/#links



このページは黒木玄個人の責任で維持しております。
クレームその他は黒木個人におよせください。

★2002年新学習指導要領の中止を［上野、戸瀬、黒木］→NAEE2002で署名を！★
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/index-j.html

群Gから群G’への全単射 f が、任意のGの2元 a、b に対して、
　　f(ab)=f(b)f(a)
が成り立っているとする。
このとき、GとG’は同型であることを示せ．

>>120
afo

>>121
g (x) = f (x)^(-1) が同型写像

394

適当な数字かいてんのは何？

>>124
数学板の仕様です。

431

内部自己同型以外の自己同型ってどんなのがある？
分類したらどんなタイプ、どれくらいタイプがある？
とりあえずxをx^(-1)に移すヤツはわかるから、内部自己同型群を法としたこれの剰余類でひとつのタイプがあるよね？
その他のタイプってどんなのがあるのかなあ？
この剰余類は位数２だから新しいアイデアないとこれだけの材料では他のヤツ見つけられないし。
てゆーかこれ以外ってあるの？

>>127
有理数加法群の自己同型は
f (x) = ax, a ≠ 0 で与えられる

>>128
あ、そうだ、忘れてた。
有限群をイメージしてたからなあ。
一般に体の加法群の定数(≠0)倍、もっと言えば環の単数倍は自己同型になるね。
xをx^(-1)に移すヤツもこれの一つと見なせるね。

でも有限群だと>>127の疑問はどうなんだろう？
また無限群含めても、単数倍以外の自己同型はあるのだろうか？
あるとすればどんなのがあるのだろうか？

あ、もしかして環の場合Aut/Innって乗法群と同型？

x→x^(-1)が自己同型って、アーベル群しか考えてないってこと?
例えばG×Gで(x,y)と(y,x)を入れ替えるようなものもあるけど。
非可換だったら対称群S[6]の外部自己同型とか調べると面白い。

>>131
あ、そうだ、非アーベルならx→x^(-1)は自己同型じゃないやん。
今のところ環の加法群の単数倍だけだが、非アーベルの例一つもまだないやん。
対称群や交代群を小さい方から調べていくか？
ﾏﾝﾄﾞｸｾ

アーベル群なら内部自己同型は恒等写像。
だからといって自己同型群が単位群というわけでもなかろう。

>>128 にも関連するが、
Z/pZ + Z/pZ + … + Z/pZ (n 個の直和) の自己同型群は GL(n, Z/pZ) となる。
この加法群は有限体 Z/pZ 上のベクトル空間とみなせるから。

なるほど。
っつーともう少しだけ一般化すると
加法群Σ(F_(p_i))^(n_i) (p_i≠p_j(i≠j))の自己同型群は
ΠGL(n_i,F_(p_i))となる…よね？
さらに加法群Zの自己同型群は{±1}だから有限生成アーベル群に関しては、
あと考えなければならないのは直和因子Z/(p^n)Z (n>1)を持つ場合だね。
とりあえず先に述べた通り加法群Z/(p^n)Zの自己同型群は
環Z/(p^n)Zの乗法群Z/φ(p^n)Zに同型(ここでφはオイラー関数)で…
今パッと頭に浮かんだのはここまでだ。
こいつらの直和となるとどうなるかまではパッと頭に浮かばない。
結構厄介じゃね？

元々大したことない上にもう何年か大学以上の数学に接してないからなあ。
かなり鈍ってるなあ。

(n>1)は(n > 1)ね。
あんな風になると思わなかった。

619

124

半群の概念がどう役立つのか、いまいちわからないのですが・・・

835

>>138
半群 $M$ に、環 $R$ を左から作用させたものの有限和の多項式をつく
ると、その集合全体は環になるんだなぁ〜〜〜。

対象が一個しかない圏が半群そのも。つまり、圏は半群を
一般にしたものと見なせる。半群というのは数学の最も基本的な
部分に位置する。ちなみに群を圏に拡張したものがgroupoid（亜群）。

環自体、一種の半群と見なせる。
つまり、Ａをアーベル群としたとき、順同型射Ａ※Ａ→Ａが
与えられたとする。ここで※はテンソル積を表す。
これはＡに一種の算法が与えられた見なせる。この算法に
関してＡが半群になることと、Ａが環であることは同値となる。

>>142
順同型射は準同型射の間違い。

半可環群の場合について、半群の集合はいかになる？

ｱﾌｫ

たこになる

256

自己同型って何をイメージすりゃええのよ

色んな食い物食ってウンコしても、自分が自分であること。

age

内部自己同型は？？？？？

モビルスーツ

702

142 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：2005/04/24(日) 15:31:02
環自体、一種の半群と見なせる。
つまり、Ａをアーベル群としたとき、順同型射Ａ※Ａ→Ａが
与えられたとする。ここで※はテンソル積を表す。
これはＡに一種の算法が与えられた見なせる。この算法に
関してＡが半群になることと、Ａが環であることは同値となる。

だ　か　ら　な　に

1+5=6

age

だ　か　ら　な　に
age

114

だ　　か　　ら　　な　　に　

1^6=1

圏論 / カテゴリー論 / Category Theory 2
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1089645233/
の>>583の為にageておく。

だ　　　か　　　ら　　　な　　　に

だ　　　　か　　　　ら　　　　な　　　　に

何で時刻表示のあとに「0」があんの？
俺も出したい。

私にも良く分からんが、多分直前に開いたページのスクリプトが何らかの形で残ったのではないかと思うよ。

雑談スレ見ろ

age

　どなたかファジィ群論についてご存知な方いますか！？

マルチ！

どなたか極大鎖ってわかる方いますか？

ネーター？

547

>>171
ジョルダン・ヘルダーの定理に出てくる極大鎖？
だったらググって見ろ。

なんて意味のないレスなんだ

age

なんて意味のないスレなんだ

だめだこりゃ！

俺は素人だ。結合律、逆元、単位元の奥にあるものをだれか説明してくれ。

教科書嫁

もとい
俺は玄人だ。結合律、逆元、単位元の奥にあるものをだれか説明してくれ。

教科書嫁

もとい
俺は少しだけ心得のある者だ。結合律、逆元、単位元の奥にあるものをだれか説明してくれ。

教科書嫁

教科書嫁厨もうでるな

これよめよ。
http://www7a.biglobe.ne.jp/~scoorap/70szakkicho/gunron1974omote.jpg

>>184
教科書嫁

A_1⊂A_2⊂A_3⊂……⊂A_n
みたいな集合列を鎖といって
そのなかでもう⊂A_{n+1}みたいなのをくっ付けて
伸ばせないものを極大と言うんじゃないの？

そーですね

【かっこ悪い】建部崩れ、見参！【情けないｗ】
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1135765594

ここは良スレですね。

会心の一撃 Ｋｏ Ｎｅ !

会心の一撃 Ｋｏ Ｎｅ !

会心の一撃 Ｋｏ Ｎｅ !

いい加減止めれこの馬鹿のアホの馬鹿のアフォの馬鹿

いい加減止めれこの馬鹿のアホの馬鹿のアフォの馬鹿

いい加減止めれこの馬鹿のアホの馬鹿のアフォの馬鹿

824

どのスレ開いても

会心の一撃 Ｋｏ Ｎｅ !

会心の一撃 Ｋｏ Ｎｅ !

会心の一撃 Ｋｏ Ｎｅ !

いい加減止めれこの馬鹿のアホの馬鹿のアフォの馬鹿

いい加減止めれこの馬鹿のアホの馬鹿のアフォの馬鹿

いい加減止めれこの馬鹿のアホの馬鹿のアフォの馬鹿

の馬鹿の一つ覚えばかり

A_i は何なんだよ

564

678

俺様用メモ: 「自由群の部分群は自由群」の証明
www.prefield.com／diary／20050410.html
気が向いたら読もう。

わざわざ2chにレスするようなことじゃないな

チラシの(ry

http://www.google.com/search?q=diary&btnG=%A5%B5%A5%A4%A5%C8%C6%E2%B8%A1%BA%F7&as_sitesearch=http%3A%2F%2Fwww.prefield.com&ie=EUC-JP&oe=EUC-JP

>>199
それのどこが

　　ノ　　ン　　ト　　リ　　ビ　　ア　　ル　　なんですか？

>>203
ＨＴＵに使えるところ。

sonnnmonntoranakurtemo////

＞＞２０５は偽

＞＞２０５は偽

　　　　　　　　　　　　　　 　 　　　　 　　 　┌-―ー-';
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　　|(´･ω･`)ﾉ 知らんがな
　　　　　　　　　 　 　　 ＿＿＿＿ 　　　　上―-―' 　　　＿＿＿＿
　　　　　　 　　　　　　　| (´･ω･`) | 　　／　 ＼　　　 　　 | (´･ω･`) |
　　　　　　　　　　 　 　 |￣￣￣￣ 　 （￣￣￣） 　 　 　 |￣￣￣￣
　 　 　 　 　　 　 　 　 ∧ 　　　　　　 （[[[[[[|]]]]]） 　 　 ,∧
　　　　　　　　　　　　<⌒>　 　 　 　 [=|=|=|=|=|=]　　　<⌒>
　　　　　　　　　　　／⌒＼ 　 　 　 _|iﾛi|iﾛiiﾛi|iﾛ|_∧ ／⌒＼_
　　　　　　　　　　　］皿皿［-∧-∧|ll||llll||lllｌ||lllｌ|lll|￣|]皿皿[_|
　　　　　　　　　　　|_／＼_|,,|「|,,,|「|ﾐ^!､|]|[|]|[|][]|_.田 | ∧_ 　]
　　　　　　　　　　　| . ∩　 |'|「|'''|「|||:ll;|||}{|||}{|||}{|||}{|,田田.|__|
　　　　　　　　　　　|￣￣￣￣|「|￣￣||[[|門門門|]]|[_[_[_[_[_[
　　　　　　　　　　／i~~i' l ∩∩l　.ｌ　∩　∩　 l　　|__| .| .∩|　.|　l-,
　　　　　　　,,,,,='~|　|　|' |,,=i~~i==========|~~|^^|~ ~'i----i==i,, | 'i
　　 　 　 　 |　l ,==,-'''^^　 l　 |. ∩. ∩. ∩. |　 |∩| 　 |∩∩|　 |~~^i~'i、
　　　　　 ,=i^~~.|　 |.∩.∩ |,...,|__|,,|__|,,|__|,,|__|,....,||,,|.|,.....,||,|_|,|.|,....,| 　 |　|~i
　　　　 l~| .|　　|　,,,---== ヽﾉ　　　 i　　　　ヽﾉ~~~ ヽﾉ　　 ~ ソ^=-.i,,,,|,,,|
　　　　.|..l　i,-=''~~--,,,　　＼　 ＼　 l　　　／　　　／　　　　／　　__,-=^~
　　　　|,-''~　-,,,＿　　~-,,.　 ＼ .＼ |　.／　　 ／　　＿,,,-~　 　／
　　　　 ~^''=、＿ _ ^'- i=''''''^~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~^''''''''=i -'^~
　　　　　　　　　　 ~^^''ヽ　ヽ 　i　kingｷｬｯｽﾙ　/　 ／　 ノ
　　　　　　　　　　　　　　ヽ　　、 l　 |　 ｌ　 l　/ .／　　／
　　　　　　　　　　　　 　 　 ＼_　、i ヽ　 i　 /　　　,,=='
　　　　　　　　　　　　　　　　　 ''==,,,,＿＿＿,,,=='~

talk:>>210 私の城を用意してくれるのか？

274

780

222

それのどこが

　　ノ　　ン　　ト　　リ　　ビ　　ア　　ル　　なんですか？

846

川又

Thompson

gunnronno hoshi!!!

429

665

二年三時間。

群論スレで紹介されて来てみたが、こっちも2年目が過ぎ、寂れている・・・。
もう群論は単独では魅力のない分野に成り下がったのか?
>>127の疑問はどうなったのだろう？

>>222
>>127は問題提起が曖昧なので答えにくい。

Auto(G)/Inn(G) (if defined)にﾊｱﾊｱということでね？

あぼーん

>>225
ウイルス乙

1→H→G→G/H→1はG/N→Out(N)を誘導する。

G/H→Out(H)を誘導する。

>>227
そうなんだ。
群の自己同型が適当な拡大群の内部自己同型から誘導されることを知って、
群というのが実にガッチリした構造をもっていることに驚いたものだった。

で、考えていた問題は以下の通り。
集合GとGからGへの1対1、上への写像φが与えられている。
φが群としての自己同型になるようにGに適当な群構造をいれることができるためには、
φはどのような写像でなければならないか。

上げ

>>229
少なくとも一個不動点を持つよな

なんだこの群論とかっていう糞学問は
大学でこんなに眠くなるのは生まれて初めてだ

>>232
本格的な知識は必要になったときに勉強すればいいんだよ。
半期でやる内容は導入程度、いろはのようなものなのだから。

110

309

いそう群必要はない

138

age

>>236
お前も必要ない

>>229は最近の若人にしては几帳面で好感が持てる。

お前は老人か？

お前はボケ老人か？

で　>>229　の答は見つかったの？

kingの嫌いな女たち
http://www.lustgal.com/?id=full-degradation.com

このスレ

　〜〜〜終了〜〜〜

196

群論で星と言う概念は表現論に関係したものでしたっけ?
犬井他、応用群論に載っていたと思うのですが…

三年。

366

幾らでも大きな濃度の単純群ってあるんですか？

濃度ってなによ？

カーディナリティーの事だよ

有限集合Xの部分集合族E⊂2^XとX上の置換群S(X)に対して
群S = { σ∈S(X) | ∀Y∈E(σ(Y)∈E ) } を S(E,X)と書く。

∀G(Gは有限群)∃X,E(X,Eは↑のと一緒) (GとS(E,X)は合同)　は成り立つか？

恐らく成立。X = G,
E = { {1}, {x,y|xy=1}, {x,y,z|xyz=1}, .... }位でダメか？
これを更に精密化すれば出来ることは出来るが。

SEX と書きたかっただけ

>>255
ありがとう
その例で計算中だ
もうすぐSEXの定理が完成する

年を越したが、SEXの定理は完成したか？

age

851

>>251
無限集合上の偶置換全体
元の集合と同じ濃度になる。

037

ルービックキューブは痴漢群で表すとどういう群になるの？

おまんこの定理は完成したのかよ

981

449

四年。

入門に必要な知識とオススメ入門書を教えてくり

age

うるさい。

797

age

>>272
さっきから何してんの?
自分の恥ずかしいスレでも下げようとしてんの?

777

987

age

158

352

257 １３２人目の素数さん [sage] Date:2007/12/14(金) 23:44:38  ID: Be:
    >>255
    ありがとう
    その例で計算中だ
    もうすぐSEXの定理が完成する

112

599

167

五年一時間。

このままじゃ群論の星も
流れ星になっちゃうね

堕ちた星
今何番目だ？

526

G ： 任意の有限群，それと n ： 任意の自然数，を与える時，ある有限群 H と全射準同形 f ： H → G で，次の性質 「 a ∈ H が f (a) ≠ 単位元の時， a の位数は n 以上」なる性質をもつ物を構成することが出来る。

矢張り再生不能か？脳死にだけはならないでくれよな。

よな。>FeaturesOfTheGod ◆uDowDS12ZM 君

有限群の絶対既約表現は群環の部分加群である。
(体の標数が群の位数を割る場合について)

有限群の絶対既約表現は群環の部分加群である。是か非か？
(体の標数が群の位数を割る場合について)

ケツマンコの時間

「有限群の表現は完全可約である。」事に関して質問があります：
http://nowsmart.s93.coreserver.jp/bbs/test/read.cgi/Calc/1276651967/2-3

親切な方のご回答をお待ちしております。

>>293
それはひどいですね。
本当だったら先生に質問すべきです。
しかし指導教員の上田先生は今年亡くなられてしまいました。

>>294
えーと、自分は、この論文の作者ではありませんし、部外者なの
ですが、どういうことでしょうか?

>>293
岩波全書の一冊として出ていた浅野・永尾の群論、第６章に
リンク先の記述とよく似た書き方で命題とその証明が載っているよ。

>>296
早速、古本を注文しました。

ところで、上手く内積を定義すると、Gの表現が、ユニタリ表現に
できるということが、関係しているような気がします：
http://nowsmart.s93.coreserver.jp/bbs/test/read.cgi/Calc/1276651967/4

でも今のところ、これを >>293 の証明にどう活用して良いのか、
まだピンと来ません。

親切な方の重大なヒントもあり、今のところこうなってます：
http://nowsmart.s93.coreserver.jp/bbs/test/read.cgi/Calc/1276651967/2-14

馬鹿丸出しですが(恥)。

>>297
浅野・永尾の群論って新刊で買えなかったっけ？

>>299
amazon.co.jpkなどからも買えませんし、復刊ドットコム↓でも

http://www.fukkan.com/fk/CartSearchDetail?i_no=68310538

リクエストが要求されています。

連続群論入門 (新数学シリーズ (18)) 山内 恭彦 杉浦 光夫

も欲しいんですけど、絶版です・・・。

>どういうことでしょうか?

こんなひどい書き方を許してしまったのは指導した先生の責任だし
学生本人に聞いてもわからないにきまっているから
先生にといつめるというのが筋だけど
その先生は死んでしまったのだな

エルミート内積でもなんでも丁寧に説明してもらっているのに
わからないのか

どんな本にでも書いてあるけどな

>>297

命題（代数的整数論 014の>>244）
K を実数体または複素数体とし、E を K 上の有限次Hilbert空間とする。
M を E の線型部分空間とする。
E = M + M^⊥ (直和) となる。

証明はよく知られているので省略

命題（代数的整数論 014の>>259）
G を有限群とし、E を実数体または複素数体 K 上の
有限次ベクトル空間とする。
U を E における連続な線型表現とする。
F を E の (U に関して) G-不変な部分空間とする。
このとき、E = F + W (直和) となる G-不変な部分空間 W が存在する。

証明
E はHilbert空間で、U は連続なユニタリ表現と仮定してよい。
上の命題(>>244)より、E = F + F^⊥ (直和) となる。

任意の s ∈ G と任意の x ∈ F^⊥ と任意の y ∈ F に対して
<U(s)(x), U(s)(y)> = <x, y>

この両辺の y を U(s^(-1))(y) ∈ F で置き換えれば、
<U(s)(x), y> = <x, U(s^(-1))(y)> = 0

よって、U(s)(x) ∈ F^⊥ である。
よって、F^⊥ は G-不変である。
W = F^⊥ とすればよい。
証明終

>>300
2008年に復刊してたのが、仕事帰りに寄ることがあるリアル書店で
まだ売ってたから普通に買えると思ってました。申し訳ない。

>>303
>U は連続なユニタリ表現と仮定してよい。

この根拠は何ですか?

>>302

>エルミート内積でもなんでも丁寧に説明してもらっているのに
>わからないのか

誰が誰に??

>>305

命題（代数的整数論 014の256を有限群に適用）
G をコンパクト群とし、E を実数体または複素数体 K 上の
有限次ベクトル空間とする。
U を G の E における線型表現とする。
このとき K 上の有限次Hilbert空間 F と、
G の F におけるユニタリ表現 V があり、
U は V と同値になる。

証明
E の K 上の基底 e_1, ..., e_n を任意に選ぶ。
E の元 x = Σx_ie_i と y = Σy_ie_i に対して
f(x, y) = Σx_i(y_i)~ とおく。
f により E は K 上の K 上のHilbert空間になる。

g(x, y) = Σ f(U(s)(x), U(s)(y)) とおく。
ここで Σ は G の元 s 全てに渡る。

g は明らかに正値Hermite形式である。
g(x, x) = 0 とすると、
Σ f(U(s)(x), U(s)(x)) = Σ |U(s)(x)|^2 = 0
よって、|U(s)(x)|^2 = 0 となり、U(s)(x) = 0となる。
U(s) は単射だから x = 0 である。
即ち、g は非退化である。

(続く)

>>307の続き

任意の t ∈ G に対して、
g(U(t)(x), U(t)(y)) = Σ f(U(s)U(t)(x), U(s)U(t)(y))
= Σ f(U(st)(x), U(st)(y)) = Σ f(U(s)(x), U(s)(y))
= g(x, y)

よって、U(t) は g に関してユニタリ変換である。
よって、t → U(t) はユニタリ表現である。

E と g により定まるHilbert空間を F とし、V = U とすれば本命題の主張が得られる。
証明終

>>307
>G をコンパクト群とし、E を実数体または複素数体 K 上の

G を有限群とし、E を実数体または複素数体 K 上の

>>307
>U(s) は単射だから

この根拠は?

仮定として、ＵはＧの「忠実な表現」なんですか?

>>310

U(s) は可逆だから

「ＵはＧの忠実な表現」とは、

U:G--->A つまり、U(g)=a , (g∈G, a∈A, a は E上の行列)
とするとき、

g1, g2 ∈ G (g1≠g2)とするとき、U(g1)≠U(g2)のことですよね。

U(s)の単射性は、どこから来ますか?

>>311
「群Gの表現U」と言ったとき、必ず「Uは準同型写像」であるからですか?
つまり、g1,g2∈G のとき、
U(g1g2)=U(g1)U(g2) ; Uが準同型写像である事の定義

>>306
chotto baka sugiru

そして、U(g^{-1})=U(g)^{-1} が言えるので、U(g)には必ず逆元が存在する
からかな・・・。

U(g・g^{-1})=U(1)　・・・・(1) で、

U(g)=U(1・g)=U(1)U(g) がどんなU(g)に対しても成り立つから、
少なくとも、U(g)の集合全体に対しては、U(1)=1 と言って良いと。
すると、(1)は、Uの準同型性と合わせて、

U(g)U(g^{-1})=1

が言えると。なので、どんなgに対しても、U(g^{-1})は、U(g)の逆元に
なっていると。

>>312

写像 s → U(s) が単射だと言ってるわけではない。
任意の s に対して U(s) は可逆（つまり E の自己同型）だから単射

>>316
つまり、U(g)^{-1} がいつでも存在するからですか。

次のように変更したほうが分かりやすい

>>307
>よって、|U(s)(x)|^2 = 0 となり、U(s)(x) = 0となる。
>U(s) は単射だから x = 0 である。

よって、各 s ∈ G に対して |U(s)(x)|^2 = 0 となり、U(s)(x) = 0となる。
U(s) は可逆だから x = 0 である。

>>317
そう

ちなみに、

(y_i)~

の「~」は、複素共役を示していますか?

>>320
そうです
というか想像でわかるでしょ
実または複素ヒルベルト空間の話をしてるわけだから

>>308
>よって、U(t) は g に関してユニタリ変換である。

これは、「作為的な内積g(x,y)に関しては」ユニタリ変換である、と
言っているに過ぎませんよね？

もとの内積f(x,y)に対してユニタリであることを示すためには、
座標変換Tの存在証明が必要だと思いますが?

>>322
ついでに言うと、>>303で U に対する仮定は、
「U を E における連続な線型表現とする。」
だけですから、U自体が、ユニタリだとは言えないんではないでしょうか?

>>322
>これは、「作為的な内積g(x,y)に関しては」ユニタリ変換である、と
>言っているに過ぎませんよね？

それが命題の主張
表現の同値性とは何かが分かっていればそういう質問は出てこない

>>324
>表現の同値性とは何かが分かっていればそういう質問は出てこない

なるほど。当方、表現論を学んだことがない(厳密に言うと一週間ぐらい前に
群の表現という言葉の定義を知った)のでありまして。

>>323
だから>>307の命題から U はユニタリと仮定出来る。

>>326
あー。

「群の表現が同値である」
と言うときの「同値」の定義を教えていただけませんか?

元ネタはコンパクト群の表現だから連続表現という言葉を使っている。
有限群の場合は通常の表現は全て連続だから次のように修正する。

>>303
>U を E における連続な線型表現とする。

U を G の E における線型表現とする。

>E はHilbert空間で、U は連続なユニタリ表現と仮定してよい。

E はHilbert空間で、U はユニタリ表現と仮定してよい。

>>328
有限群の表現っでぐぐったら

そもそも、当方、「コンパクト群」の定義も知らないんです。

>>331
今は有限群の表現の話をしているからコンパクト群の定義を知る必要はない
元ネタがコンパクト群の表現だというだけの話。
有限群はコンパクト群の一種

>>332
では、>>328 の質問にお答え願えませんか?

>>333
だから「有限群の表現」でぐぐれば出てくるから
ぐぐるというのは Google で検索するという意味
pdf 形式のファイル読めるよね？

>>334
そのキーワードで検索して、一番最初に出てくるPDFファイルでは、
二つのG加群V,W に対して、「VとWが同値」の定義は載ってますけど、
群の表現をρ:G-->GL(V) としたとき、「ρ1,ρ2が同値」の定義は
載ってません。

>>335
V = W として定義を当てはめればいい

どういうことですか?

>>337
群の表現というのは G と準同型 ρ：G → GL(V) の組 (G, ρ, V)
これにより V は G-加群になる。

二つの表現ρ1：G → GL(V)、ρ2：G → GL(V) が同値というのは
V を ρ1 により G-加群と見たものと
V を ρ2 により G-加群と見たものが>>335のPDFファイルに書いてある意味で同値という意味

そもそも、そのPDFファイルは「ノート」と書いてありますし、内容も
保証される物でもないでしょうし。それに、内容に誤りがないとしても、
証明が不十分であったりするかも。実際そうですし。この手の書物は、
結論は正しいが、証明が不十分、と言うことが良くあります。
何故そうなるかというと、結論は、世界中で確認された事柄なので、
正しい事だけど、著者が正しく消化しているとは限らないからだと
思います。

>>339
そのファイルを参照させたのは同値の定義を書くのが面倒だから。
だからそのファイルの証明が仮に間違っていても関係ない。

>>338
このPDFファイルでは、

V,W を G 加群とした時、
φ:V-->W
がG線形写像とは、
φ(gv) = gφ(v)
となること。

と読めますが、その上に、
「簡単のためρ(g)v をgv と書くこともある。」
とも書かれています。

ということは、この場合、
gv = ρ_v(g)v
で、
gφ(v) = ρ_wφ(v)

のように、ρ_vと、ρ_w の様な二つの群Gの表現を使っているという
事になるんでしょうか?

>>441
gφ(v) = ρ_wφ(v) でなくて gφ(v) = ρ_w(g)φ(v)
これを除いてそのとおり。

>>342
>>441じゃなくて>>341

>>342
なるほど。

φ(gv) = gφ(v)

は、かなり省略されていますが、本当は、

φ(ρ_v(g)v) = ρ_w(g)φ(v)

と言うことなんですね。

と言うことは、G加群が二種類(V,W)あるだけでなく、写像も
ρ_v, ρ_w の二種類あるんですね。

>>344
大体そういうことだけど補足すると：
G-加群 V というのは G と写像 ρ：G → GL(V) の組のこと。
これは G の表現と実質的に同じもの。
だから G-加群が２種類あるということは写像 G → GL(・) が２種類あることとイコール

あのPDFファイルだと、
「Gの有限次元複素ベクトル空間V への表現とは，
　準同形 ρ: G → GL(V)
　のことである．このVをG加群とよぶこともある。」

となっていたので・・・。

>>346
だから何？

>>346
「このVをG加群とよぶ」

>>345
「G-加群 V というのは G と写像 ρ：G → GL(V) の組のこと。」

全然違うと思いませんか?

>>348
実質的に同じ
なぜかというと準同型 ρ：G → GL(V) というとき G は ρの定義域として一意に定まるから。

「ρが決まる⇒Gはρの定義域として一意に決まる」
はいいとして、

「GとVが決まる⇒ρが決まる」
は言えますか?

すみません、ちょっと席を空けます。

>>350
言えないに決まってる

>>352
では>>349の「実質的に同じ」と言うのが納得できませんが?

>>353
どうして？

>>354

もう一度、書いてみますが、

>>348 の前者の定義だと、G-加群Vとは、

ρ(g)の「左にかけるベクトルv」の集合であるところのVの事を言うという
意味ですよね?

どうして、それが、G-加群Vとは、
「G と写像 ρ：G → GL(V) の組のこと」
になるんですか?

>>355
前者の定義って
「Gの有限次元複素ベクトル空間V への表現とは，
　準同形 ρ: G → GL(V)
　のことである．このVをG加群とよぶこともある。」
だよね？

この V というのは当然 V と ρ を組み合わせたものという意味だよ。

>>356
えーーー!?

そんなアクロバティックな日本語の解釈がっ!?

>>358
別に驚くほどのことじゃない。
そう考えないと意味をなさないでしょ。
G と線型空間 V だけ与えたって表現にならない。

>>359
でも、そういうことじゃなくって、言葉にはそれ自体として意味がある
はずです。辻褄が合わないから、合うから、と言う以前に、

「このVをG加群とよぶこともある」
と
「このV と ρ を組み合わせたものをG加群と呼ぶこともある」

では、言葉の意味として全く異なるはずです。

なので、もしこの著者が後者の方を言いたいのであれば、前者のような
言葉では伝わらないと思います。それに、伝わったとしても、非常に
難解で分かりにくい日本語に当たります。

これは、アラっぽく数式で書くなら、

V = G加群
と
(V,ρ) = G加群

に相当しますから。

>>360
それはあんたが現代の数学に慣れてないからそう思うだけ
とにかく意味はそういう意味

>>362
本当に
「慣れてないから」
ですか?

第三者の意見が聞きたいです。

>>361
そういうことは数学でよくあること
記法の濫用とか用語の濫用というやつ。
例えば位相空間 X というとき厳密にはこの X は集合 X とその上の位相構造Φを組み合わせたもの。
それをいちいち厳密に位相空間 (X, Φ) とは書かない。
これと同じこと。

>>364
しかし、質問>>350に対する回答>>352からも分かるように、
ベクトル空間Vが与えられても、群の表現ρは一意に決まらない。
なので、「G-加群V」として、(V,ρ1)と(V,ρ2)の二種類があった場合、
単に「G-加群V」と言っただけでは、どちらを指すのか判断できません。

>>365
そういうときは G-加群 (V, ρ1) というように明記すればいいだけ。
G-加群Vと略記するのは誤解の恐れがない場合に限る。

すると、>>336 のように、V=Wとした場合、「加群Vと加群V」と言っても
同じ加群ではなく、(V,ρ1)と(V,ρ2)のようになっている場合があり、
文書として識別が出来なくなってしまう。これは、文書としておかしい。
証明で、V=Wとした場合、どっちがどっちか分からなくなるし。

>>366
仮にそういう用法(?)はあり得るとしても、何の説明もなく突然そういう
気泡を使われたら初学者は、混乱必至です。

誤字訂正：
気泡--->記法

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4%E4%B8%8A%E3%81%AE%E5%8A%A0%E7%BE%A4

↑を読むと、もしかして「群青の加群V」とは、

{ (V,ρ1),(V,ρ2),(V,ρ3)・・・ }

というような集合を言っているのでしょうか?

>>368
そういう場合はあんたには表現論はまだ早いということになるかもね。
数学には暗黙の約束というのがけっこうあってそれをいちいち明記してたら
面倒だし読む方も迷惑する。
こういうのは慣れるしかない。

>>370
それは広い意味の G-加群
表現論で言う G-加群とは正確には G-線型空間というべきもの。

>>371
「読む方も迷惑する」

この部分は、私とは価値観を異にするようです。

数学の世界はよく知りませんが、物理の世界では、非常に優秀な学者には、
内容も充実しているのに、なおかつ初学者にも分かりやすい書物を書いた
例が多いんです。例えば、Diracやファインマンなど。Einsteinも非常に
平易なのに本質が確実に現れるような例を出してくるような所があった。
ただ、彼の場合は言葉が何を言っているのか分かりにくいところもあった
が。

Einsteinの場合、言葉は何を言っているのかわかりにくいところがあったが、
なぜエネルギーが加わると慣性質量が増えるのかという事を、非常に平易な
思考実験で提示してきたり、数式の変形の方針自体は現代の一般相対性理論
の書物と比べてもかなり分かりやすい方だった。最初、言葉だけだと何を
言わんとしているのか分かりにくいが、数式の変形の様子を見ていると、
何を言わんとしていたのかが分かってくる様な、そんな感じです。
彼の場合は、もう少し言語力があれば、もっと分かりやすく説明できたかも
知れない思うと残念ですが、そうなると、想像力がなくなって相対性理論
自体が構築できなかったかも知れないとも思います。

全く脱線してしまいましたが。

>>373
それは読者に誰を想定してるかによる。
PDFファイルの内容はまったく数学の初心者（例えば大学初年生）を対象にしては
いないと思われる。

というかここ（２ｃｈ）でまったくの初心者が群の表現論を理解しようというのが
そもそもおかしいんだが。

迷惑するというのは、例えば数学の話をするのに分数の割り算から説明してたら読む方も
迷惑するでしょということ。極端に言うとそういうこと。

>>370
実はそれは、英語版：
http://en.wikipedia.org/wiki/G-module

の翻訳らしいが、多分、翻訳がおかしい。

>>377
ぱっと見同じだけど。
とにかくどっちにしろ我々の言う G-加群とは違う。

>>377
英語読めるなら英語版wikipediaで group representation の項見てみたら

【G-module】

説明(1) (概要説明)
「In mathematics, given a group G, a G-module is an abelian group M
on which G acts compatibly with the abelian group structure on M. 」

説明(2) (Definition and basics)
「Let G be a group. A left G-module consists of an abelian group M
　together with a left group action ρ : G×M → M such that
g·(a + b) = g·a + g·b
(where g·a denotes ρ(g,a)).」


Wikipediaの同じページに、「M」そのものと、「(M,ρ)」の組の両方の
説明がされている。

>>380
だから何？

>>381
先のPDFファイルのように、片方だけ言うのは、情報の欠如ですね。

>>378
日本語の

「G を群とする。左 G-加群あるいは G-左加群は、アーベル群 M に左から
　の群作用 ρ: G × M → M で
　g\cdot(a + b) = g\cdot a + g\cdot b\quad(g\cdot x := \rho(g,a))
　となるものをあわせて考えたものである」

と、>>380 の説明(2)では分かりやすさが全然違う。英語の方が正確に
伝わる。英語だと、(M,ρ)の組のことだと分かるが、日本語だと何を
言っているのか分からず、>>370 のように誤解してしまった。

>>380
G-module M と言ったとき M に対して G の作用が２種類あるとき
どっちを指すか分からないよね。
だからこの場合も上と同じ問題がある。

>>382
だから V と ρ の組を考えていることは明らかなんだって。
wikipedia の group representation の項を見てみなさいよ。
PDFファイルとほとんど同じだから。

>>383
>英語の方が正確に伝わる。

両方とも同じこと言ってるじゃん。

あのPDFファイルには、いいところもいっぱいあるので、批判ばかりするのは
よくないんですが。

「定義3.3 (同値な表現). V , W をG 加群として，G 線形な同型写像
　φ : V → W が
　存在したとする．このときV とW はG 加群として同値であるという．
　またφ を intertwining 作用素（絡み作用素）という．」

↑こう書かれているんですが、G-加群の定義として、>>380 の説明(2)
を知らないと、混乱しますね。なぜなら、PDFファイルには、

「定義3.1 (表現). Gの有限次元複素ベクトル空間V への表現とは，
　準同形φ : G → GL(V) のことである．このVをG加群とよぶことも
ある．また表現のことをG が V へ作用しているということもある．」

とあるだけだからです。つまり、情報の欠落ですね。もし、最初から
知っている人を対象とするなら、こんな中途半端な情報を書くべきでは
ないです。

>>386
英語の方を読んでから見ると、そう思うかも知れませんけども・・・。

>>387
どう混乱するのかよくわからない。
φがG-線型写像と書いてあるから V と W には G の作用があるはず。
だから V と W は単なる線型空間でないことは分かるはず。

>>344
同じ事ですが、
φ(ρ_v(g)v) = ρ_w(g)φ(v)
⇔
φ∘ρ_v(g)(v) = ρ_w(g)∘φ(v)
左から、φ^{-1}を掛けて、

ρ_v(g)(v) = φ^{-1}∘ρ_w(g)∘φ(v)
⇔
ρ_v(g) = φ^{-1}∘ρ_w(g)∘φ

と書くとおなじみの、ρ'=φ^{-1}ρφ の形式になって気分すっきり。

>>389
それは、G加群に「(V,ρ)の組」という意味もあることを予め知っているから
でしょう。あのPDFファイルだけを読んでいただけでは「G加群」の意味を
全く知らない人なら混乱します。

>>391
ファイルの最初の方でG-線型写像を定義してる。
これを見れば G-加群が G の作用を持つことがわかるはず。

>>390
そういうことです。

「慣れれば分かる」とは言いますが、>>344でも書いたように、もし、
φ(gv) = gφ(v)
の記号のままだと、

g=φ^{-1} g φ

という訳の分からん式を出してしまいそうで自分は気に入りません。

あのファイルは数学科のおおよそ大学３年次以降の学生を対象としてるみたいですね。

抽象的な g と、表現としてのρ(g)はやはり別であって、それを面倒がって
「g」だけで済ませようとすると、>>394のような重大なミスを犯しかねない。
これはやはり、>>390 の通り、

ρ_v(g) = φ^{-1}∘ρ_w(g)∘φ

であるのであって。それはちゃんとρ_v(g)とρ_w(g)とgを全て区別した
からこそ簡単に導出できるのであって。

>>395
実際、Hom, coker はさっぱり分かりません。Kerは多分単位元に写る元の事
を言っているのかと分かるくらいで。imφは一度見たような気がするだけで
覚えてないですし。

あー、im は、移った先か。

>>394
φが同型写像でない場合は>>390のように変形できないですよ

>>396
それを言ったら R を環としたとき R-加群も同じように書くべきとなるけど
そんな風に書いてる人はいませんよ。

>>399
あー。変形前の式は、V-->Wへの「一方通行」の場合でも適用できる式
のようですね。なるほど。

多分、変形できるのは、φ^{-1}が存在する場合だけって事でしょ?

g には、「右に来るベクトルの空間を区別する機能が付いている」んですね。

ですが、Vが同じで、ρが二種類以上ある時は?

>>401
>多分、変形できるのは、φ^{-1}が存在する場合だけって事でしょ?

そりゃそうです

>>402
その場合は ρ1(g)v、ρ2(g)v などと書けばいいです。

でも、おかげさまで大分理解が進みました。

自分だけだったら、どこかで諦めてるところでしたよ、多分。

よかった

>>404
その場合、一般には、
φ：V--->V
だけど、φは恒等写像じゃない、ってことですよね。

これも、
φ(gv) = gφ(v)

で書く人もいるってことかー。

物理な人だったら、即座に、
φg=gφ＝[φ,g]=0　(交換可能)
ってしてしまいそう。

実際は、gには目に見えない透明の記号が付いているんでしょうけどね。

本当は、
φg=g'φ

なんですね。

>>407
>φ(gv) = gφ(v)

この場合は紛らわしいからこう書く人はいないです。

>>378
一応ですが、
>とにかくどっちにしろ我々の言う G-加群とは違う。

これはそうでもないですよね。同じ定義のように思います。

>>409
ということは、あのPDF文書は、Wという文字を単純にVに置き換えた場合、
意味が通らなくなると言うことですね。

まあ、そういうことして意味が絶対通る必要もないかも知れませんけれど。

>>410
いや違います。
我々のは G-線型空間と言ったほうがよい。
wikipediaの G-加群というのは線型空間とは限らない。

大抵の数学の文書は、文字を書き換えても成り立つもんなんですが。
今の場合、WをVに書き換えた場合、写像ρ_vなのか、ρ_wなのかも区別
できなくなってしまう。

>>411
>Wという文字を単純にVに置き換えた場合、
>意味が通らなくなると言うことですね。

置き換えた場合は上に書いたように書き方を変えないとまずい。

どうやら数学界には独特の習慣があるようで、今後専門的な数学関係の本を
読むときには気を付けます。

>>413
表記の問題にすぎないでしょ。
誤解の恐れがないときに ρ(g)v のかわりに gv と書くのはごく一般的です。

>>415
物理で使う数学も物理独特の習慣があるでしょ

>>416
自分が、数学の教授に聞いた話だと、ベクトルには、抽象ベクトルと
数ベクトルの二種類がある。猫で例えるなら、
「抽象ベクトルは猫そのもの。数ベクトルは、写真に撮った猫」
とのこと。

その意味では、gv と書くのは気持ち悪いです。もし、vが「数ベクトル」
になっているなら、gも「行列」であるべきで、抽象的な演算子で
あってはバランスが取れない間隔があります。

もし、gv と書く場合、vの「表現」に関わらず、実体のベクトルが、
別の実体のベクトルへに写る様子を表していると考えます。その場合、
基底ベクトルをどのようにとっても、gvは、同じ実体のベクトルに
対応します。

そのニュアンスが出てしまうので、gv と書くのは問題だと考えるんです。

誤字訂正：
間隔--->感覚

>>418
気持ち悪いと言われてもはいそうですかとしか言えないですよ。
数学の世界で広く浸透してる習慣なのでそれを変えようとすることは非現実的です。

>>420
なるほど。

そういえば、そもそも、
「群の表現」と言っても、Vも数ベクトルではなく、抽象ベクトルなん
でしょうか?

そして、ρ(g)も、行列ではなく、演算子?

>>421
今まで扱ってきたのは抽象ベクトル空間です。
だからρ(g)も行列ではなく演算子（我々は線型写像と呼びます）です。
数ベクトルは抽象ベクトルの特別な場合と見なせます。

>>420
しつこいようですが、それで現実に混乱を起こさないんでしょうか?

>>423
誤解の恐れがある場合はρ(g)v などと書けばいいわけで混乱はしないです。

>>424
数学は、割と紙の上で、人間の頭脳で考えようとする傾向があるので
そうなのかもしれませんね。人間が理解できれば良いと考える。

物理の場合、数式を規則正しく勝手に働かせようと考える。自然界は
シンプルだから、勝手に何も考えずに計算しているかのように振る舞う。
だから、記号によって何もかも表現し切れている事が好まれる。

なので、gv ではなく、ρ(g)vと必ず書く。そして、ρ()という「動作」
も自然が何か実際にやっていることに置き換わっているんではないかと
想定したりする。なので、ρ()という記号が消失してしまうことは
あり得ない。

>>425
おまえごときが物理を代表してものをいうな
馬鹿のくせに

>>426
馬鹿は馬鹿ですが、大学の時も、線形代数は2回続けて100点を取り、
皆の前で発表されましたし、高校生の時は、物理は3回続けて100点を取り、
前代未聞だと言われました。京大物理理論系の大学院を一回、
東大物理理論系大学院を二回、筆記テストに合格し面接まで行きましたが、
学部が物理学科ではなかったせいか、面接で落とされました。
一度、ゲーム会社のSEGAがまだ人気があった頃、入社して、研修の時、
「五年間研修をやっていたが誰も解けたことがなかった問題」を
私が時、こんな人は初めてだと言われました。

馬鹿は馬鹿ですが、努力しているので時々記録が出ます。

今は、国際数学オリンピックの問題も時間制限なしだと全部解けます。
最初は全然解けませんでしたけどね。

そのせいか、最近は数学の定理の証明が書かれていなくても、しばらく
すると証明方法が浮かんでくるようになりましたよ。嬉しいことに。

ちなみに、日本数学オリンピックは簡単ですね。
高校生だと40点中10点くらいしか取れなくても抜擢される
そうですけど、あの問題でその程度なら、国際数学オリンピック
だと全然解けないんじゃないかと思います。

>>425
物理の方式がよさそうに見えるのは慣れもあるだろうけど数学の知識があまりないから
かもね。
数学では線型代数は体上の線型空間だけでなく環上の線型空間も考える。
G-加群 M にしろ G-線型空間 M にしろ G の各元 g が M に作用していると考える。
これは群環 Z[G] または K[G] 上の線型空間を考ることと同じ。
だから G-加群 M は拡張された線型空間と見なせる。
そう見ることにより線型代数の手法が G-加群の理論に適用される。
例えば G-加群 M の部分 G-加群 N が与えられたときその剰余 G-加群 M/N が考えられる。
また G-加群 M_1 と G-加群 M_2 が与えられたときその直和 M_1 ＋ M_2 が定義されるとか。

表現論を圏論的に考えることも出来る。
K を体とし K 上の有限次ベクトル空間全体の圏を K-Vect とする。
G を有限群とする。
G は対象として G をもち、その元を射とすることにより圏と見なせる。
G から K-Vect への関手は G の表現に他ならない。
G から K-Vect への関手全体を (K-Vect)^G と書く。
U、V ∈ (K-Vect)^G のとき U から V への自然変換は U から V への
G-線型写像に他ならない。
これが自然同値のとき U と V は同値と言う。
(K-Vect)^G は自然変換を射とすることにより圏となる。
この圏は G-線型空間のなす圏に他ならない。

「群論への30講」の第30項、p.228に
「【定理】有限群Gの表現は完全可約である．」
があり、証明もありました。

だからそんな基本的なことどの本にも書いてあるってーの

>>432
それユニタリ表現を使った証明？
その定理の証明は２種類あってユニタリ表現を使うのとそうでないやつ。
両方知っておいたほうがいいが、どちらかといえばユニタリ表現を使う方が重要。

くまーみたいな馬鹿のにおいがする

>>431
当方、圏論なんて聞いたこともありませんので。
馬の耳に念仏です。

>>434
「群GからGL(k,C)への準同型写像φ、φをk次の線形表現」
「φ(a):C^k ---> c^k (a∈G)」
「Gの表現φが完全可約であるという性質は、C^kの基底を取り直して、
　φと同値な表現に置き換えても変わらない。
　・・・φと同値なユニタリ行列による表現ψに対して、」ψが
　完全可約であることを示そう。」
となっています。

誤：「φ(a):C^k ---> c^k (a∈G)」
正：「φ(a):C^k ---> C^k (a∈G)」

誤：・・・φと同値なユニタリ行列による表現ψに対して、」ψが
正：・・・φと同値なユニタリ行列による表現ψに対して、ψが

ななしが
　きょうも
　　えろさいとで
　　　じこしゅちょう

>>437
上の証明と同じ方法だね

>>436
最近の理論物理じゃ圏論は主要な道具ですよ

>>442
理論物理も、物理学科以外に、数理解析学科でもやっていて、
余りにも数学的な物はそっちがやっていたりしませんか。

>>443
それで？

>>433
この本でも、最後の章が「表現」論で、不変部分空間、既約、完全可約が
2ページほどで一気に定義され、今紹介した定理は、本当に最後の最後の
節の1つだけ手前にたまたま出ているような状態ですよ。

>>445
表現論の本は古いからな
でも
証明自体に間違いがあるわけじゃない
だから
理解できないのは能力か努力か体力か金力かなんだかしらないが
その不足が原因
すう折だのなんだのテストだとか自慢するのは逆に無能さを
宣伝してるみたいなものだわ

杉浦やまのうちでなくても探せばいくらでも本はあるだろうに

>>446
理解できないのではなく、学んだことがないだけです。

>>447
いいわけだらけだな

>>448
群の表現を学ぶ必要が出てきたのが一週間ほど前なのに、いつ学べと
言うんですか?

学ぶ必要がでてきて調べたのが奈良女子大の卒業論文だった

なんて

そんなアホなやつ

おる？　普通は普通の本で調べるやろ
それができないというだけでもアホの資格十分あるな

>>450
しかもそれは、浅野・永尾６章の丸写し。

上田先生体調よくなかったからそんな卒業論文ゆるしたのかな
でもまさか死ぬとは思ってなかったろうに

Gをコンパクト群とし、G上の実数値連続関数全体の作る集合をC(G)とおく。
f,g ∊ C(G)とする。G上に不変測度mを取る。

今、fとgのたたみこみを、

f*g(x)=∫_G f(y)g(y^-1 x) dm(y)　・・・・(1)

と定義する。この時、

f*g(x)=∫_G f(x y^-1)g(y) dm(y)　・・・・(2)

である。

この証明が分かりません。

単に、(1)で、y^-1 x = z とおくと、

f*g(x)=∫_G f(x z^-1)g(z) dm(y)　・・・・(3)

となり、y = x z^-1 となります。

これがどうして、(2)に変形できるのでしょうか?

ヒントとして、不変測度mについて、

∫_G f(g x)dm(x)=∫_G f(x g)dm(x)=∫_G f(x)dm(x)

という性質があるそうですが。

ちなみに、これは群環に関連した話です。

>>452
修士論文じゃなくて学部の卒論だしなあ・・・

∫_G
は、積分記号∫の左下に、群Gの記号を書いているつもりです。
つまり、群Gの全ての元について積分するというニュアンスです。
もちろん、y^-1 は、y の逆元です。

誤字訂正: 左下 ---> 右下

コンパクト群はゆにもじゅら〜〜〜〜

もしかすると >>453 は証明できないことなんでしょうか?

だからコンパクト群はユニモジュラーだと
おしえてやってるだろ

機械的に変形するなら
y^(-1)x=z^(-1) とおいて、あと
∫_G k(x^(-1))dm(x)=∫_G k(x)dm(x)　を使う。

>>461
>∫_G k(x^(-1))dm(x)=∫_G k(x)dm(x)　を使う。

これはどうやって証明すれば良いのでしょう?

x = x0+h として、
x0^(-2)を両辺に掛けると
x0・x = x0^(-1)+x0^(-2)・h となるので、

f(x)dm(x)=f(x0・x)dm(x)=f(x0^(-1)+x0^(-2)・h)dm(x)・・・(1)

一方、x^(-1)=x0^(-1)+hAとして、hの1次まででAを求めてみると、
x・x^(-1)=(x0+h)・(x0^(-1)+hA)=1+h(x0^(-1)+x0・A)
となる事から、x0^(-1)+x0・A = 0となる必要があり、
A=-x0^(-2)となる。なので、
x^(-1)=x0^(-1)-h・x0^(-2)
となり、(1)のfの括弧内と良く似ているが、符号が逆。

なぜだろう?

hは、可換な数ではなく、行列なので、改めてhBと置くと、
x・x^(-1)=(x0+hB)・(x0^(-1)+hA)=1+h{B x0^(-1) + x0 A}
となり、A= - x0^(-1) B x0^(-1) となる。
x = x0 + hBに対し、x^(-1)=x0^(-1) - h x0^(-1) B x0^(-1)

>>463には、記述に間違いがあって、
x0^(-2)・x = x0^(-1) + h x0^(-2) B
が正解。(1)は、

f(x)dm(x)=f(x0^(-2) x)dm(x)=f(x0^(-1)+h x0^(-2) B)dm(x)・・・(1)

が正解。

掛ける順序を逆にして、
x･x0^(-2)= x0^(-1) + h・B・x0^(-2)

f(x)dm(x)=f(x・x0^(-2))dm(x)=f(x0^(-1)+h・B・x0^(-2))dm(x)・・・(2)

x0^(-1)・x・x0^(-1)= x0^(-1) + h・x0^(-1)・B・x0^(-1)

となり、x^(-1)=x0^(-1) - h・x0^(-1)・B・x0^(-1)
と非常に良く似た形になるが、何故か符号が逆。

>>462
数学板の代数的整数論 012から引用する。

G をコンパクト群とする。
s ∈ G のとき、x ∈ G に xs^(-1) を対応させる関数を δ(s) と書く。
δ(s) は G の位相同型である。
μ を G の左 Haar 測度とする。

K(G, C) を G 上の複素数値連続関数全体とする。
s ∈ G のとき、f ∈ K(G, C) に ∫ f(xs^(-1)) dμ(x) を対応させることにより
G 上のRadon測度 ν が得られる。
即ち ∫ f(x) dν(x) = ∫ f(xs^(-1)) dμ(x)
t ∈ G のとき、∫ f(tx) dν(x) = ∫ f(txs^(-1)) dμ(x) = ∫ f(xs^(-1)) dμ(x)

よって、ν は左 Haar 測度である。
よって、実数 Δ(s) ＞ 0 が存在し、
∫ f(xs^(-1)) dμ(x) = Δ(s)∫ f(x) dμ(x)

A を G の部分集合でμ可測とする。
χ_A を A の特性関数とする。
s ∈ G のとき、χ_(As)(x) = χ_A(xs^(-1)) である。
χ_(As) はμ可積分であり、
∫ χ_(As)(x) dμ(x) = ∫ χ_A(xs^(-1)) dμ(x) = Δ(s)∫ χ_A(x) dμ(x)
よって、μ(As) = Δ(s)μ(A) である。

特に μ(G) = Δ(s)μ(G) である。
よって、Δ(s) = 1 である。
よって、s ∈ G のとき、∫ f(xs^(-1)) dμ(x) = ∫ f(x) dμ(x)

(続く)

>>467の続き

t ∈ G のとき、
∫ f(xt^(-1)) dμ(x) = ∫ f(xs^(-1)t^(-1)) dμ(x) = ∫ f(x(ts)^(-1)) dμ(x) = ∫ f(x) dμ(x)
よって、μ は右 Haar 測度である。

t ∈ G のとき、
∫ f((xt)^(-1)) dμ(x) = ∫ f(t^(-1)x^(-1)) dμ(x) = ∫ f(x^(-1)) dμ(x)
よって、f → ∫ f(x^(-1)) dμ(x) は右 Haar 測度である。
この測度をμ^と書く。
c ＞ 0 があり ∫ f(x^(-1)) dμ(x) = c∫ f(x) dμ(x) となる。
即ち、μ^ = cμ
よって、μ = cμ^
よって、μ = c^2μ
よって、c = 1
よって、∫ f(x^(-1)) dμ(x) = ∫ f(x) dμ(x) となる。

ご返答有り難うございます。

>>467
>よって、実数 Δ(s) ＞ 0 が存在し、
>∫ f(xs^(-1)) dμ(x) = Δ(s)∫ f(x) dμ(x)

これはどうしてでしょう?

>>469
左Haar測度は定数倍を除いて一意だから。

>>470
えーと?

>>471
s ∈ G のとき、∫ f(x) dν(x) = ∫ f(xs^(-1)) dμ(x) と定義すると、
ν は左 Haar 測度だから左 Haar 測度の一意性より ν = cμとなる定数 c ＞ 0 がある。
ν は s に依存するから c = Δ(s) と書ける。

くまなんか引用するなボケ

>>473
邪魔する人は退出してください。

おまえがでていけ

なぜこんなに伸びてる？
半兵衛、説明せい！

測度を知らない奴枯れが一人紛れ込み、鳴子を鳴り響かせて下ります

>>475
おまえみたいな人が日本を駄目にしてるんだろうなあ。

>>478
おめーだ

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