ゲーテルの世界

1 ：１３２人目の素数さん：04/09/24 21:03:00

I,Robotの中で、ロボット工学３大原則というものがありました。
①ロボットは、人を傷つけては、ならない。
②①に反しない限り、ロボットは、人の命令に従わなければならない。
③①②に反しない限り、ロボットは、自らを守る事ができる。
そこで、ゲーテルの不完全性原理について、考えよう！
第１不完全性定理
「いかなる論理体系において、その論理体系によって作られる
論理式のなかには、証明する事も反証することもできないもの
が存在する。」
第２不完全性定理
「いかなる論理体系でも無矛盾であるとき、その無矛盾性をそ
の体系の公理系だけでは証明できない」

ロボットが、高度になればなるほど、論理矛盾を引き起こして
しまう。ということが、映画の中で、描かれていた。

2 ：１：04/09/24 21:08:55

さて、次のことを示すことで、ゲーテルの世界に近づこう！！

S：有限回で、勝敗が決まる交互ゲームの集合
H：①先攻は、Sから任意にゲームｘを選ぶ。②後攻は、先手、
　後手を選ぶ。③後攻が選んだ順序で二人は、ゲームｘを行う。
HがSの要素に成りえないことを証明せよ！！

3 ：１３２人目の素数さん：04/09/24 21:18:01

ここはお前の日記帳じゃ

4 ：１：04/09/24 21:26:27

いや、誰かに、２を解いて欲しい。
わからなくて、先に進めないのだ…

5 ：１３２人目の素数さん：04/09/24 21:32:06

もしHがSの要素なら

①先攻は、Sから任意にゲームHを選ぶ。
②後攻は、先手、後手を選ぶ。
③後攻が選んだ順序で二人は、ゲームHを行う。（→①に戻る）

これを延々と繰り返すことができる。

しかしこれはSの条件である
「有限回で、勝敗が決まる交互ゲーム」
に反する。

従ってHはSの要素ではない。
Q.E.D.

6 ：１３２人目の素数さん：04/09/24 21:36:01

余談だけど、ゲーテルじゃなくてゲーデルね。

7 ：１３２人目の素数さん：04/09/24 21:40:51

いや、1はゲーデルについてではなくゲーテルのことを話したいんでしょ？

8 ：１３２人目の素数さん：04/09/24 21:42:33

ゲーテル宇宙論について騙ろう！

9 ：１３２人目の素数さん：04/09/24 21:52:21

あしもふ

10 ：FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM ：04/09/24 22:15:05

無矛盾な体系において、その体系自身の無矛盾性を証明することはできない。
この命題の正しさはどのような公理に基づいているのか？

11 ：１３２人目の素数さん：04/09/24 22:44:42

ヘンゼルと

12 ：１３２人目の素数さん：04/09/24 23:29:12

そうそう、前から気になってたんですが矛盾している体系だと
それ自身の矛盾性を証明することはできることもあるってこと
ですよね？

例えば・・・
数学は矛盾してるか否かを数学的に証明したい
↓（不完全性定理）
矛盾してなければ、それは証明できない
矛盾していれば、それを証明できるかもしれない
↓（矛盾か無矛盾しかないことを踏まえれば）
→①数学が矛盾していることの証明に成功したら、数学は矛盾
　　しているということになる。
→②数学が矛盾していることの証明が否定的に解決すれば（？）、
　　数学は矛盾していないということになる。
②については、ゲーデルの定理に反する。
よって②が実現する見込みはない。

以上から数学は矛盾している。
という考えをした人はどこかにいますか？

13 ：１３２人目の素数さん：04/09/25 02:58:44

ヘンゼルと
グレーテルと

14 ：１：04/09/25 09:40:25

あゲーデルね。

15 ：１３２人目の素数さん：04/09/25 11:09:19

ぎょえでる

16 ：ゲーデル：04/09/26 10:24:10

空でない任意の集合Ａから、Ａの部分集合の集合（べき集合）ＰＡの上への
関数ｆが、存在しないことを、証明せよ。

17 ：１３２人目の素数さん：04/09/26 10:27:16

本に載ってた。

18 ：ゲーデル：04/09/26 10:40:14

証明せよ！

19 ：FeaturesOfTheGod ◆UdoWOLrsDM ：04/09/26 12:10:35

Re:>16 いやいや、何それ。一対一関数じゃないの？

20 ：１３２人目の素数さん：04/09/26 12:25:00

ゲーデルの第１不完全性定理
×「いかなる論理体系」
○「自然数の公理系を含む論理体系」

21 ：|дﾟ)：04/09/26 13:32:59

関数といった場合は値を実数にとる，ということでFA>>16

22 ：１３２人目の素数さん：04/09/26 20:34:45

写像が双写であることを証明せよ、だな

23 ：１３２人目の素数さん：04/09/26 21:28:10

今君がいる現実の無矛盾性を証明せよ。

24 ：|дﾟ)：04/09/26 23:50:02

>>23
何言ってんだよ。この世は矛盾に満ちてるじゃあないか。

25 ：１３２人目の素数さん：04/09/27 03:21:03

仏教論理学では矛盾を許容する。

26 ：１３２人目の素数さん：04/09/27 04:24:32

>>12
通常の論理体系では、矛盾してたらトリヴィアルになんでも導出できる。
（そうでない論理体系もあるけど。）だから、矛盾した体系から無矛盾性
を導出しても、まったく無意味。

それに、不完全性定理はなにも無矛盾性が証明不可能だと
言っているわけではない。現に、ペアノ算術に関してはゲンツェンが
無矛盾性を証明してる。（この証明はペアノ算術を超える超限帰納法
を仮定しているので、第2不完全性定理と矛盾しない。）

また、provability predicate の定義をちょっといじると、自分で自分の
無矛盾性が証明できたりする（Kreisel, Mostowski, Feferman）。

ただし、そのような provability predicate が本当の意味で証明可能性
を表わしているものかどうかは疑わしい。

27 ：23：04/09/27 21:24:38

>>26
難しくて何がなんださっぱりなのですが、レスありがとうございます

私は工房ですが数学科志望です。
面白そうな感じは受けました。（学問なんてなんでも極めれば面白いん
でしょうけどね）

28 ：１３２人目の素数さん：04/10/07 06:51:46

スマリヤンが個人的には一番わかりたすかった。

29 ：１３２人目の素数さん：04/10/24 09:37:32

アメリカの資本主義制度において独裁者が誕生し得る事に気がついたゲーデルは
少々お怒りぎみだったらしい。

30 ：１３２人目の素数さん：04/11/14 16:13:43

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31 ：１３２人目の素数さん：04/12/23 19:29:57

32 ：１３２人目の素数さん：04/12/28 16:03:37

429

33 ：１３２人目の素数さん：04/12/28 16:28:15

アホ

34 ：１３２人目の素数さん：04/12/31 10:05:55

「ゲーテル」は、俺のことかと・・・

これ名著 Smullyan
● レイモンド・Ｍ．スマリヤン（著）『決定不能の論理パズル　ゲーデルの定理と様相論理』, 白揚社, 1990
　現代数学の巨人ゲーデルの世界を明快に解説。

　【目次】１　意外な展開！？／２　偽と真の論理学／３　騎士・奇人・命題論理／４　慎重にいこう／５　整合性のジレンマ／６　自己充足信念とレーブの定理／７　さらなる深みへ／８　決められない！／９　可能世界／１０　事件の核心／１１　フィナーレ

35 ：１３２人目の素数さん：04/12/31 11:08:00

スマリヤンの本は面白いよね

36 ：１３２人目の素数さん：05/02/16 02:16:56

247

37 ：１３２人目の素数さん：05/02/20 23:27:55

351

38 ：エムシラ御大：05/02/21 15:57:09

ゲーデルの世界は、もうじき終わる。

39 ：１３２人目の素数さん：05/03/03 00:52:29

375

40 ：１３２人目の素数さん：05/03/13 15:21:12

702

41 ：１３２人目の素数さん：2005/03/23(水) 22:49:57

285

42 ：１３２人目の素数さん：2005/04/05(火) 18:55:39

633

43 ：１３２人目の素数さん：2005/04/23(土) 15:23:11

720

44 ：１３２人目の素数さん：2005/04/24(日) 09:53:05

この３原則に従うロボットがあるとして、
このロボットに「お前コワレロ」って
命令したらどうなるの？

45 ：１３２人目の素数さん：2005/05/09(月) 13:50:30

173

46 ：１３２人目の素数さん：2005/05/09(月) 14:48:36

>44
普通に、

こわれることで人を傷つけるのならば、①に反するので、こわれてはならない
命令に従うと①に反するので、②によって命令に従う必要がなくなる。
その上で①を守らなくてはならないため、こわれない。
これは③がどうころんでも矛盾しない。

こわれることで人を傷つけないなら、こわれても①は守れる。
①に反しないので人の命令には従わなければならない。
命令したのが人であれば、こわれなくてはならない。
命令したのが人でなければ、②とは関係ないので、命令に従わなくても②に反しない。
こわれなくても①②に反しないので、自らを守る事ができ、③によってこわれないことが可能。

というように場合分けをする

47 ：１３２人目の素数さん：2005/05/09(月) 21:54:29

3原則とは、わかりやすく言うとこういうことだ。

①安全
②便利
③長持ち

つまりは、人間が道具に求める特性をそのままロボットに延長・拡大したにすぎないのだ。
このことは、ロボット3原則によって矛盾を抱えるのはロボット側ではなくて
人間の欲求なのだということを暗示している。

48 ：１３２人目の素数さん：2005/05/31(火) 00:56:37

345

49 ：１３２人目の素数さん：2005/05/31(火) 01:00:31

>>1 のいいぶんはおかしい。
チューリングマシンの停止問題を理解しているか?（ゲーデルと同じことを言い換えてるだけ）
自らが停止するかどうかを考えないロボットであれば問題はない。
哲学するロボじゃなければ問題ない。

50 ：１３２人目の素数さん：2005/06/26(日) 00:37:20

401

51 ：１３２人目の素数さん：2005/07/27(水) 03:10:54

688

52 ：１３２人目の素数さん：2005/09/01(木) 15:16:40

247