分からない問題はここに書いてね１８５

任意の自然数について，∫[n-1/2→n+1/2]√xdx＜√n＜∫[n→n+1]√xdx-1/2*(√(n+1)-√n)が成り立っていることは既知とする。
80.6＜Σ[k=1→24]√k＜80.65を示せ．
上の不等式を１から２４まで足したら80.6より大きいことはわかったけど80.65より小さいことの証明ができません。教えてください

>>228
Σ[k=1→24]√k＜∫[1→25](√x)dx-(1/2)*((√25)-1)
= (2/3) {(25^(3/2)) - 1^(3/2)} - 2
= (2/3)*124 -2
= 242/3 = 80 + (2/3) ≒ 80.6666666… ＞ 80.65

このままだと右辺の評価使えないな

∫[1→2](√x)dx-(1/2)*((√2)-1)
= (2/3) { (2^(3/2))-1} -(1/2)((√2)-1)
= (1/6) (5(√2)-1) ≒ 1.0118くらい

なので最初の
√1 < ∫[1→2](√x)dx-(1/2)*((√2)-1)
の所は、 0.0118くらい足しすぎてる。

∫[1→3](√x)dx-(1/2)*((√3)-1)
= -(1/6)+(3/2)√3 ≒2.4314

1+√2 と比べて　0.017196くらい足しすぎているので
ここらへんまで削り落としてやればいい。
計算が厳しければ、もう一項加えて
1+(√2)+(√3)の評価で、足しすぎている所を除いてやれば、 80.65より小さく抑えることができる。