くだらねぇ問題はここへ書け ver.3.14(32桁略)8419
>>615-617
(1) 積分の区間は x^2 < 1/4 -(y-1/2)^2 = y(1-y), ∴ -√{y(1-y)} < x < √{y(1-y)}.
先にxで積分して Width(y) = 2√{y(1-y)}.
これに √y を掛けてyで積分する。√(1-y) =Y とおくと dy = -2YdY
与式 = ∫_[0,1] 2y√(1-y) dy = 4∫_[0,1] (1-Y^2)Y^2 dY = 4[(1/3)Y^3 - (1/5)Y^5](Y:0→1)
= 4(1/3 -1/5) = 8/15.
(2) 対称性から、 ∬_K (x^2)dxdy = ∬_K (y^2)dxdy. よって
与式 = {(4+3)/2}∬_K (x^2 +y^2)dxdy = {(4+3)/2}∫_[0,2π]dθ ∫_[0,a]r^3･dr
= (4+3)π･(a^4)/4
かな?
(1) 積分の区間は x^2 < 1/4 -(y-1/2)^2 = y(1-y), ∴ -√{y(1-y)} < x < √{y(1-y)}.
先にxで積分して Width(y) = 2√{y(1-y)}.
これに √y を掛けてyで積分する。√(1-y) =Y とおくと dy = -2YdY
与式 = ∫_[0,1] 2y√(1-y) dy = 4∫_[0,1] (1-Y^2)Y^2 dY = 4[(1/3)Y^3 - (1/5)Y^5](Y:0→1)
= 4(1/3 -1/5) = 8/15.
(2) 対称性から、 ∬_K (x^2)dxdy = ∬_K (y^2)dxdy. よって
与式 = {(4+3)/2}∬_K (x^2 +y^2)dxdy = {(4+3)/2}∫_[0,2π]dθ ∫_[0,a]r^3･dr
= (4+3)π･(a^4)/4
かな?
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