面白い問題おしえてーな 九問目

三角形の内部に点Pを取る。
点Pから三角形の各頂点への距離の和をS
点Pから三角形の各辺への距離の和をTとするとき
S≧2Tを示し、等号成立条件を求めよ。


同様に、四面体において内部に点Pを取り
点Pから四面体の各頂点への距離の和をS
点Pから四面体の各辺への距離の和をTとするとき、
S≧T√8を示し、等号成立条件を求めよ。

>>247
一色以外の解あるの？
とりあえず単位円上は全部原点と同じ色ぬらなきゃいけないし。まあ白だとして
すると単位円上の同点を中心とする円の軌跡は全部白。つまり半径２の円の周と内側全部白。
この作業繰り返したら真っ白じゃないの？

>>249
有理点だからそう簡単じゃないんじゃない？
簡単にいくのかもしれんが。

>>248
＞各辺への距離の和をTとするとき
　
これ鈍角三角形のときは辺を延長した直線との距離で桶？

>>250
ああ、有理点か。なるほど。

>>251
それでOK。

>>247
これもしかして(a,b)と(c,d)の距離が１
⇒a-cとb-dの分母の素因子≡1 (mod 4)な希ガス。
そうならG={q∈Q | qの分母の素因子≡1 (mod4)}とおくときQ/Gが無限群だから
いくらでもたくさんとれたりする希ガス。

>>240
下だと、「ひとつは偶数が出てるよ」ということだけ知らされた、ようにもとれるぞ。それだと2/3。

>>255
ごめん、1/3。

>>247
そうだ。やっぱり
a,b,c∈Z＼{0}、a^2+b^2=c^2、(a,b,c)=1⇒cの任意の素因子≡1 (mod 4)
もし2|cだと(a,b,c)=1からa,bは奇数でa^2+b^2≡2 (mod4)は平方数になりえない。
p|cだと(a/b)^2≡-1 (mod p)であるがこのときZ/pZの乗法群が位数４の
元をもつので4|p-1。つまりp≡1 (mod4)でなければならない。
これから原点中心の単位円上の有理点(a,b)の分母の素因子≡1 (mod 4)がいえる。
よって有理点P,Qの同値関係P〜QをP〜Q⇔P=∃P0･･･∃Pn=Q s.t PiとP(i+1)間の距離が1
でさだめると(a,b)〜(c,d)⇒a-c、b-dの分母の素因子≡1 (mod 4)になるがとくに
(0,0),(1/3,0),(1/9,0),(1/27,0)･･･は全部ちがう類に入る。
よって結局無限に多くの色をつかうことができる。
あってる？

OK

>243
いや、単純に本人も訳わからんようになっているだけと思われ。

「子供が2人いる」
男男1/4、男女1/2、女女1/4
↓
「少なくともどっちかは女の子だったはずだけど…」
男女2/3、女女1/3
↓
「女の子の声がしたよ」
男女1/2、女女1/2

3番目は男の子の声が聞こえる可能性もある状況において、女の子の声が聞こえている（すなわち任意に一人取り出したら女だった、という状況である）わけだから、2番目より得ている情報は多いんだよね。

>>248の後半が･･･前半は数オリの問題かなんかでみた記憶があるんだけど。
この手の問題ってたいがい正多面体の重心とか垂心のときとかが答えになりそうな
もんだけど後半は正四面体の重心のときが等号じゃないみたい。すげー厄介な悪寒。

>>248
答えおながいします。

n番目の素数をP(n)とするとき
P(n+1)<=P(n)+n が成り立つ　

>>248
答えおながいします。

>>248
答えおながいします。

>>263
これも難しいな。素数定理で反例が有限個しかないのはすぐでるけど
その可能性の最大値が天文学的数字になって計算機でも手も足もでない･･･
これあっても有限個しかないことをしめせじゃなくてホントに全然ないこと示せなの？

>>248
前半は分かった。三角形ABCの内部に点Pをとる。PからBCにおろした垂線の足をD、
CAにおろした垂線の足をE、ABにおろした垂線の足をFとする。
明らかに、四角形AFPEは円に内接し、外接円の直径はAPである。従って正弦定理より
FE/sin(∠FPE)=APが成立し、∠FPE=π-∠Aであるため、FE=APsinA　　∠は省略が成り立つ。
今、点F,Eから直線BCに垂線をおろし、その足をF',E'とすればEF≧E'F'が成立する。従って
APsinA≧E'F'が成り立つ。また、E'F'=E'D+DF'が成立し、E'D=PEsinB　DF'=PFsinCが成り立つ。
このことから、AP≧(sinB/sinA)PE+(sinC/sinA)PFが成立する。

同様にして、PB,PCについても同等の不等式を得れば、
AP+BP+CP
≧((sinC/sinB)+(sinB/sinC))PD + ((sinB/sinA)+(sinA/sinB))PE + ((sinC/sinA)+(sinA/sinC))PF
≧2(PD+PE+PF)

等号成立条件は∠A=∠B=∠Cかつ、EF=E'F'等なので、△ABCが正三角形でかつ
点Pが重心に位置するとき。

m^2=Σ[k=1,n] k^2
を満たす、自然数m,nを全て求めよ。

>>268
手でやろうとしたらほとんど無理

>>248
答えおながいします。

>>268
右辺=n(n+1)(2n+1)/6 で n,n+1,2n+1 はどの２つも互いに素なので、
約分したあとそれぞれ a,b,c になったとすると、それらは全てが平方数に
なっていなければならない。

なるほど。そこからは？

>>270
未解決とぐぐったらでましたが？

>>273
>>248が？

>>248は数オリの問題だな

前半は解決しただろ。>>267参照。

後半は未解決だ。

>>275
>>248の後半も答えもってんの？

>>277
ちょ、ちょっと待ってね。過去問収集が趣味で、探すのが大変ほど溜まってる。
似た問題だけかもしれないけど探してみる。
俺の記憶は後半のほうがすごい見覚えあるんだよなぁ

>>277
『数学セミナー』2001年5月号 pp.91-94
>>275
�@だろ？

>>276
後半だ

>>279
そのころの数セミもってねぇぇえｌ！！！

>>281
コピペしてググれ

>>279
それ答えももってたらうｐしてちょ

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/hutou1.htm
４面体では
　　Ｒ1＋Ｒ2＋Ｒ3＋Ｒ4≧√８（ｒ1＋ｒ2＋ｒ3＋ｒ4）
　　Ｒ1Ｒ2Ｒ3Ｒ4≧８１ｒ1ｒ2ｒ3ｒ4
であることが示されています．
====

未解決ではないらしい。
解決方法は書いてないな。

http://homepage2.nifty.com/PAF00305/math/triangle/node7.html#tex2html6
>>284
すまんここみてた。予想とあったから。

>>283
前半は書いてあるが後半解説なし

Kazarinoffこれって何て読むの？

まぁ、俺が張ったアドレスの方が間違いって言う可能性もあるんだし、
とりあえず、証明出てくるまでは、2ch的未解決っていうことで。

>>286
前半は>>267であってたの？

>>289
解答は長くなるから書かないけど三角関数使って大体そんな感じ

>>287
かざりのふ？

前半の証明では、途中四角形が円に内接する事を使ってるよな。
そのままじゃ、四面体に応用できないか……

mathnori上位者がここ見てたら挑戦してくれ！！

>>292=エコブラックだけど、無理

>>286
後半は参考書の提示もないの？
一切解説無し？　問題文だけ？

解説ないよ｡ごめんな｡紹介だけ
エコブラックなら数日のうちに解決しそうだ｡頼んだ｡

>>248が気持ちわるいのは直感的には答えは>>267と同様等号成立は
正四面体の重心のときっぽいんだけど実際その場合やってみると
等号成立しないよね？だからな〜んか気持ちわるい。√8じゃなくって3なら
わかるんだけど。3だと反例あるんかな？

エコブラックって何？

>>296
誰の出題かだけでも教えてくれ。　それでなにがしかのヒントになるかも知れない。

リンク先のページに文献とあるが

すまそ、とりあえず、Kazarinoff, tetrahedronでぐぐってみた。
色々文献が出ているので、調べてみる。

あ〜だめだ解答見つからん。
Ｓ≧Ｔ√8ってすげぇ見覚えあるんだけどな。
難問だね。