圏論 / カテゴリー論 / Category Theory 2

米田たんヽ(´ー`)ﾉ

カテゴリーで、同型であるオブジェクトを同一視したものもカテゴリーになると思うけど、同型名objectを区別する意味が分からないけど、区別する意味はあるの？誰か教えて。

具体的にはどうやって同一視するの？

圏Cを同型≡で同値分割しようにもCは一般にはクラスだから
任意のa∈Cであるaで{x∈C|x≡a}はすでに小さくは（集合では)なく、
C/≡が意図した性質を示さない｡　　 ということだろうか

「意図した性質」とは？

例えば、schemeX上のsheafの全体は集合だが、同型なscheafを区別できない気がするのだが、俺が間違っているのだろうか？

乳輪 / メコスジー論 / Mecosuzy Theory 2

例えば有限生成アーベル群の圏 C を考える。
C の対象全体は集合でなく類である。
しかし、この対象の同型類全体は集合となる。
このような C を小さい骨格を持つ圏(skeletally small category)
という。

同型なscheafを区別できない気がするのだが、俺が間違っているのだろうか？ 誰か教えてくれ

分かった気がした。２ZはZの部分だけどZ-moduleとして同型だな。そういう意味で区別されるのか。

>同型なscheafを区別できない気がするのだが、

区別できないって、同じっていう意味か？
つまり同型なものは全部同じ気がする？
それなら、気は確かか？
そんなことは有り得ない。

↑おまえの「区別する」の正確な定義を書いて見れ

>>935

なんで俺に聞くんだよ。
お門違い。
奴に聞け。

そうお門違いでもなさそうだけど

>>937

>区別できないって、同じっていう意味か？

これは質問なの、分かる？
俺の意見じゃないの、分かる？
だから、>>935　の質問は言い出しッぺの>>932に聞くのが筋なの、分かる？

↑じゃ、あんたの「同じ」という意味を書いてくれ。それの返事であんたがわかってないことがわかる気がする。

↑
位相空間 X 上のアーベル群の層 F, G が同じとは
F(U) = G(U) が X の任意の開集合 U で 成立ち、
U ⊃ V のとき 制限写像 F(U) → F(V) と G(U) → G(V) が一致
するとき。

アーベル群が一致する　F(U)＝G(U)　とは如何いう意味ですか。

↑
集合として F(U)＝G(U) で、演算写像 F(U)×F(U) → F(U) と
G(U)×G(U) → G(U) が一致する。

>集合として一致

これが曖昧だな。

違う記号を付けただけでも、違う物と考える事も出来る。

数直線上の整数点、と整「数」のの様な違いもあり得る。

943がキチガイだということが良くわかったｗ

おれは、むしろ９４３がまともだと思うけどね。

>>934
>それなら、気は確かか？

俺の勘は当っていたなｗ

↑　集合として一致することをどうやって判断するのか説明してくれ。

947 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2006/07/25(火) 18:23:48
　↑　集合として一致することをどうやって判断するのか説明してくれ。
　

>>947

集合 A と B は A ⊂ B かつ B ⊂ A のとき同じ集合と言う。
初めて知った？ それならあんたはここにくるのは１０年早い。

圏Cを同型≡で同値分割したカテゴリーをC/≡とする。
このとき、C/≡とCはカテゴリー同値である。

従って、全てのカテゴリーは同値分類したC/≡と考えてよい。

どこか違うのだろうか？

>>950
もう答えは出ている。
>圏Cを同型≡で同値分割したカテゴリーをC/≡とする
それだけでは圏になっていない。

↑すまん。理由が良く分からんのだが。Ａの同型類を[Ａ]とかくことにすると、Hom（[Ａ]，[Ｂ]）も定義できると思うのだが。

二年十三日。

>>949
あんたが圏論スレに来るのが10年早いと思うけど

>>954

何故、俺が圏論スレに来るのが10年早いと思うんだ？
正常人がわかるように説明してくれ。無理かもしれないが。

Categoryの勉強するのに完璧な本をいくつか教えて

二つの集合 A と B が与えられたときに A = B かどうかを判定するのは
可能とは限らない。もっと基本的な例でいうと 集合 X の部分集合 A
と X の元 x が与えれたとき x が A に属すかどうかを判定するのは
可能とは限らない。例えば、X として実数体、 A として有理数体
を考えればいい。

しかし、以上のことが必ずしも判定出来ないからといって集合概念が
あいまいなものというわけではない。判定アルゴリズムが存在するか
どうかは集合概念とは別のはなし。

圏論ぅて解析の人間が勉強しても役に立つかな？
名前のかっこよさに憧れます。

>>958
やめとけ
どうせなら普通の代数勉強しとけ

どうしても必要になったら勉強する。
この泥縄式が一番いい。
前もってあれもこれもとやってると準備だけで一生を終る。

Ｈｏｍ（Ａ，Ｂ）とＨｏｍ（［Ａ］，［Ｂ］）は同じにならないね。
だからC/≡とCはカテゴリー同値にならないね。
実際、Ｈｏｍ（［Ａ］，［Ｂ］）はＨｏｍ（Ａ，Ｂ）を左からＩｓｏ（Ａ）で割り、右からＩｓｏ（Ｂ）で割ったものみたいだ。

>>950
>圏Cを同型≡で同値分割したカテゴリーをC/≡とする。

同値分割した各同値類から代表オブジェクトを取りだせば、もとの圏と
カテゴリー同値になる圏になる。
簡単な演習問題。ただしクラスにおける選択公理を認めるとする。

圏論で同型でなく「対象A=対象B」という関係にこだわっても何もいいことないような…

知ったかが暴れてるだけですから

>>932 は同型ということと同一視を混同してるようだな。
はっきりしたことは分からないが。
なんせ説明能力がないみたいなんでｗ

同型なものはいつも同一視出来るとは限らない。
前にもどっかで書いたが、有限次ベクトル空間とその双対空間は
同型だが同一視はできない。ただし、もとの空間はその双対空間の双対と
同一視出来る。

>>963

それならskeleton、つまり>>962で定義した圏だけ考えればよさそうだが、
それだと窮屈になる。拘る必要はないが、違いを認識するのは大事。

内容：
skeletonからなるsubcategoryと　もとのcategoryが同値なら、理論的にはskeletonで考えても何もかわらない？

>有限次ベクトル空間とその双対空間は同型だが同一視はできない。

どのレベルで考えるかによって変わるんじゃない？

>>968

同一視するレベルって例えば？

標準同型が存在しないから普通は同一視はしない。

だからcanonicalを考えているってことはcategoryのレベルで考えているということで。
categoricalに証明できないけどcategorical名結果てのもあるんじゃないかな。その証明では同一視することもあるんじゃない？おそらく

categorical名結果って意味不明。

とにかく、具体的な例を見つけてくれ。話はそれから。

＞標準同型が存在しないから普通は同一視はしない。

何処から普通かは人に依る。

内積のある有限次元ベクトル空間では、同一視が自然。

くだらねぇ

>内積のある有限次元ベクトル空間では、同一視が自然。

特殊な構造を入れれば話は別。
その場合は標準同型があるから同一視出来る。