◆ わからない問題はここに書いてね １４４ ◆

n≧2とし、a[i]＞0(i=1,2,‥,n)、a[1]a[2]‥a[i]=1とするとき、a[1]+a[2]+‥+a[n]≧nを数学的帰納法をつかって証明せよ。

解答
(i)n=2のときa[1]＞0、a[2]＞0,a[1]a[2]=1とすると
a[1]+a[2]≧2√(a[1]a[2])=2
ゆえに、命題は成り立つ。
(ii)n=k(kは自然数、k≧2)のとき、与えられた命題が成り立つと仮定する。
n=k+1の場合について考えると
a[i]＞0(i=1,2,‥,k+1)、a[1]a[2]‥a[k]a[k+1]=1に対して、a[i]のうち、最小、最大のものをそれぞれb[1],b[k+1]とし、a[i]をb[i]と表すことにする。
このとき、b[1]b[2]‥b[k]b[k+1]=1からb[1]≦1≦b[k+1]
よってb[1]+b[k+1]-b[1]b[k+1]-1=-(b[1]-1)(b[k+1]-1)≧0　　

‥とその後も続いていくんですが、
このとき、b[1]b[2]‥b[k]b[k+1]=1からb[1]≦1≦b[k+1]
よってb[1]+b[k+1]-b[1]b[k+1]-1=-(b[1]-1)(b[k+1]-1)≧0　　がどのようにして導き出されたのか良く分かりません。
お願いします。