分からない問題はここに書いてね１６５

高校生の質問スレで教えてもらえないのでこっちに来ました。
Σはk=1からnまでで
lim[n→∞]{(1/n~2)Σk・log(n+k)-1/2logn}
の値を求めたいのですが
解答の計算の過程で
logn/n~2Σk-1/2lognが次の行でlogn/2nになっています。
どう見るとこのようになると考えられるのでしょうか？
あとxlog(1+x)を積分することになるのですが
このログの前のxを{(x~2-1)/2}'と見て積分しています。
これも見ていてどうしてこういった形と思いつくかが分かりません。
どのように考えればいいのでしょうか。教えてください。