分からない問題はここに書いてね１６４
だいぶ前にも聞いたのですが、答えがわからないのでまた質問させてください。
下の問題は自分が考えたものです。
nを正の整数とする。次の不定方程式
x_1 + 2 * x_2 + … + n * x_n = n …(1.1)
を満たす0以上の整数 x_1, x_2, …, x_n に対して
（このときガウス記号[ ]を使うと i = 1, 2, …, n に対して 0≦x_i≦[n/i] が成り立ちます。）
f(x_1,x_2,…,x_n) = (x_1+x_2+…+x_n)! / (x_1!*x_2!*…*x_n!) …(2.1)
が最大値をとるときの x_1, x_2, …, x_n の各々を n を使った式で表せますか？
表せるとしたらそれを求めたいので。
このような問題を考えたわけは
「足してn（ある正の整数）になるような正の整数の組合せを考える。（ただし数の順序は考慮しないものとする。）
例を挙げますと、n=5 のとき、足して5になるような正の整数の組合せは、数の順序は考慮しないとしたので、
(5), (4,1), (3,2), (3,1,1), (2,2,1), (2,1,1,1), (1,1,1,1,1) の7通りがあります。
このとき、正の整数の組合せの各々に対し、数の並べ方が何通りあるのかを考える。
先ほどの例で考えると、(5), (1,1,1,1,1)では数の並べ方は1通り、(4,1), (3,2)は各々 2C1=2通り、
(3,1,1), (2,2,1)は各々 3C1=3通り、(2,1,1,1)は 4C1=4通りになります。
ここで正の整数の組合せ中の 1の個数をx_1, 2の個数をx_2, …, nの個数をx_n とすると、
（例えば、正の整数の組合せが (2,1,1,1) なら x_1 = 3, x_2 = 1, x_3 = x_4 = x_5 = 0 となります。）
x_1 + 2 * x_2 + … + n * x_n = n …(1.1) が成り立ち、
数の並べ方が何通りであるかを x_1,x_2,…,x_n の関数 f(x_1,x_2,…,x_n) を使って表すと、
f(x_1,x_2,…,x_n) = (x_1+x_2+…+x_n)! / (x_1!*x_2!*…*x_n!) …(2.1) となる。」
のですが、僕は(1.1)式の条件のもとで f(x_1,x_2,…,x_n) が最大値をとるときの x_1, x_2, …, x_n の
それぞれをnを使って表せるはずだと思って、それならその表し方を知りたいと思ったからです。
ラグランジュの未定乗数法を使って考えてみたのですが答えに至りませんでした。
長文で読みづらいかと思いますがお願いします。
下の問題は自分が考えたものです。
nを正の整数とする。次の不定方程式
x_1 + 2 * x_2 + … + n * x_n = n …(1.1)
を満たす0以上の整数 x_1, x_2, …, x_n に対して
（このときガウス記号[ ]を使うと i = 1, 2, …, n に対して 0≦x_i≦[n/i] が成り立ちます。）
f(x_1,x_2,…,x_n) = (x_1+x_2+…+x_n)! / (x_1!*x_2!*…*x_n!) …(2.1)
が最大値をとるときの x_1, x_2, …, x_n の各々を n を使った式で表せますか？
表せるとしたらそれを求めたいので。
このような問題を考えたわけは
「足してn（ある正の整数）になるような正の整数の組合せを考える。（ただし数の順序は考慮しないものとする。）
例を挙げますと、n=5 のとき、足して5になるような正の整数の組合せは、数の順序は考慮しないとしたので、
(5), (4,1), (3,2), (3,1,1), (2,2,1), (2,1,1,1), (1,1,1,1,1) の7通りがあります。
このとき、正の整数の組合せの各々に対し、数の並べ方が何通りあるのかを考える。
先ほどの例で考えると、(5), (1,1,1,1,1)では数の並べ方は1通り、(4,1), (3,2)は各々 2C1=2通り、
(3,1,1), (2,2,1)は各々 3C1=3通り、(2,1,1,1)は 4C1=4通りになります。
ここで正の整数の組合せ中の 1の個数をx_1, 2の個数をx_2, …, nの個数をx_n とすると、
（例えば、正の整数の組合せが (2,1,1,1) なら x_1 = 3, x_2 = 1, x_3 = x_4 = x_5 = 0 となります。）
x_1 + 2 * x_2 + … + n * x_n = n …(1.1) が成り立ち、
数の並べ方が何通りであるかを x_1,x_2,…,x_n の関数 f(x_1,x_2,…,x_n) を使って表すと、
f(x_1,x_2,…,x_n) = (x_1+x_2+…+x_n)! / (x_1!*x_2!*…*x_n!) …(2.1) となる。」
のですが、僕は(1.1)式の条件のもとで f(x_1,x_2,…,x_n) が最大値をとるときの x_1, x_2, …, x_n の
それぞれをnを使って表せるはずだと思って、それならその表し方を知りたいと思ったからです。
ラグランジュの未定乗数法を使って考えてみたのですが答えに至りませんでした。
長文で読みづらいかと思いますがお願いします。
|
|
|