◆ わからない問題はここに書いてね １３９ ◆
952 ：１３２人目の素数さん：04/02/18 21:48
はふ〜ん
953 ：１３２人目の素数さん：04/02/18 22:22
954 ：１３２人目の素数さん：04/02/18 23:12
>>936
円に内接する正１２角形の周長から、開平計算なしで求めてみる。
半径１の円に内接する正１２角形の周長は、24sin(15°)。
sin(15°) = sin(45°-30°) と考えて、加法定理で計算すると、sin(15°) = ((√6)-(√2))/4。
1 + x = (√6)-(√2) ・・・（１） とする。
円に内接する正６角形の周長 ＜ 円に内接する正１２角形の周長 ＜ 円周
であることから、3 ＜ 3(1+x) ＜ π ・・・（２）。
これから、x＞0。
（１）を両辺２乗して、(1 + x)^2 = 8 - 4√3。
両辺から 8 を引いてまた２乗すると、((1 + x)^2 - 8)^2 = 48。
これを書き直して、1 + 4x^3 + x^4 = 28x(1 + (5x/14)) ・・・（３）。
x＞0 から、-(5x/14)^2 ＜ 4x^3 + x^4。これを（３）の左辺に使って、
1 - (5x/14)^2 ＜ 28x(1 + (5x/14))。
両辺 1 + (5x/14) (＞0) で割ると、1 - (5x/14) ＜ 28x。
これを解いて、x ＞ 14/397。
（２）から、π ＞ 3(1+x) ＞ 3 + (42/397) = 3.10579・・・。
（ちなみに 3(1+x)=3((√6)-(√2)) の正確な値は、3.10582・・・）
ところで、これの標準的な解答って誰か知ってる？
円に内接する正１２角形の周長から、開平計算なしで求めてみる。
半径１の円に内接する正１２角形の周長は、24sin(15°)。
sin(15°) = sin(45°-30°) と考えて、加法定理で計算すると、sin(15°) = ((√6)-(√2))/4。
1 + x = (√6)-(√2) ・・・（１） とする。
円に内接する正６角形の周長 ＜ 円に内接する正１２角形の周長 ＜ 円周
であることから、3 ＜ 3(1+x) ＜ π ・・・（２）。
これから、x＞0。
（１）を両辺２乗して、(1 + x)^2 = 8 - 4√3。
両辺から 8 を引いてまた２乗すると、((1 + x)^2 - 8)^2 = 48。
これを書き直して、1 + 4x^3 + x^4 = 28x(1 + (5x/14)) ・・・（３）。
x＞0 から、-(5x/14)^2 ＜ 4x^3 + x^4。これを（３）の左辺に使って、
1 - (5x/14)^2 ＜ 28x(1 + (5x/14))。
両辺 1 + (5x/14) (＞0) で割ると、1 - (5x/14) ＜ 28x。
これを解いて、x ＞ 14/397。
（２）から、π ＞ 3(1+x) ＞ 3 + (42/397) = 3.10579・・・。
（ちなみに 3(1+x)=3((√6)-(√2)) の正確な値は、3.10582・・・）
ところで、これの標準的な解答って誰か知ってる？
955 ：１３２人目の素数さん：04/02/18 23:16
標準的なんてものは無い。
やりかたはいくつもあるのだ。
やりかたはいくつもあるのだ。
956 ：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc ：04/02/18 23:17
Re:>>954 円周率は、y=√(1-x^2),-1<=x<=1の長さとして定義される。
これを積分で表して適当な変数変換をすると、
π/4=Arctan(1)が示される。
Tanの加法定理をうまく適用すると、
π/4=4Arctan(1/5)-Arctan(1/239)が得られる。
この級数展開を十分な精度まで計算して、0.775より大きいことを示せばよい。
これを積分で表して適当な変数変換をすると、
π/4=Arctan(1)が示される。
Tanの加法定理をうまく適用すると、
π/4=4Arctan(1/5)-Arctan(1/239)が得られる。
この級数展開を十分な精度まで計算して、0.775より大きいことを示せばよい。
957 ：１３２人目の素数さん：04/02/18 23:22
>>954
円周率は、単位円の面積として定義される（以下略
円周率は、単位円の面積として定義される（以下略
958 ：KingMathematician ◆5lHaaEvFNc ：04/02/18 23:25
Re:>>957 一体誰がそんなことを吹き込んだ？
確かに単位円の面積は円周率になるが。
確かに単位円の面積は円周率になるが。
959 ：１３２人目の素数さん：04/02/18 23:37
円周率＝円周/直径
だから、単位円の円周が２πで定義。
小学校からやりなおし。
だから、単位円の円周が２πで定義。
小学校からやりなおし。
960 ：１３２人目の素数さん：04/02/18 23:39
問題なければ好きな方で定義しれ
どっちが先でもどーでもいー
どっちが先でもどーでもいー
961 ：えらいこっちゃ！：04/02/19 00:31
円周率！ 円周率！
パイ！パイ！パイ！パイ！
円周率！ 円周率！
パイ！パイ！パイ！パイ！
962 ：１３２人目の素数さん：04/02/19 04:09
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さようなら
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