分からない問題はここに書いてね１５１

質問です。選択公理に関する質問なのですが、例えば位相空間で、

XがT1空間なら、任意のx∈Xに対して、
任意のy∈X-{x}でxを含まない開近傍が存在する。
「このうちの一つをUyとする」と、
　　U_{ y∈X-{x} } Uy = X-{x}
となるので、{x}は閉集合。

となりますが、「このうちの一つをUyとする」というのは
選択公理を用いなければならないような気がしますが、正しいでしょうか。
「この開近傍全ての合併を取るとX-{x}となるから・・・」
なら選択公理を用いずに証明していると思いますが、どうなのでしょうか。

宜しくお願いします。