分からない問題はここに書いてね１４８
>>99
(x^2+y^2)^(1/3)+z^(2/3)=a^(2/3) の両辺をxで偏微分すると
(1/3)2x(x^2+y^2)^(-2/3)+(2/3)z^(-1/3)∂z/∂x=0
∂z/∂x=-xz^(1/3)(x^2+y^2)^(-2/3)
同様に∂z/∂y=-yz^(1/3)(x^2+y^2)^(-2/3)
1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2=1+z^(2/3)(x^2+y^2)^(-1/3)=a^(2/3)(x^2+y^2)^(-1/3)
求める面積をSとすると、対称性より
S=2∫[x^2+y^2≦a^2]√{1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2}dxdy
=2∫[x^2+y^2≦a^2] a^(1/3)(x^2+y^2)^(-1/6)dxdy
極座標に変換すると
S=2∫[0,a]a^(1/3)r^(-1/3)*2πrdr
=4πa^(1/3)∫[0,a] r^(2/3)dr
=4πa^(1/3){(3/5)r^(5/3)}
=(12/5)πa^2
(x^2+y^2)^(1/3)+z^(2/3)=a^(2/3) の両辺をxで偏微分すると
(1/3)2x(x^2+y^2)^(-2/3)+(2/3)z^(-1/3)∂z/∂x=0
∂z/∂x=-xz^(1/3)(x^2+y^2)^(-2/3)
同様に∂z/∂y=-yz^(1/3)(x^2+y^2)^(-2/3)
1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2=1+z^(2/3)(x^2+y^2)^(-1/3)=a^(2/3)(x^2+y^2)^(-1/3)
求める面積をSとすると、対称性より
S=2∫[x^2+y^2≦a^2]√{1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2}dxdy
=2∫[x^2+y^2≦a^2] a^(1/3)(x^2+y^2)^(-1/6)dxdy
極座標に変換すると
S=2∫[0,a]a^(1/3)r^(-1/3)*2πrdr
=4πa^(1/3)∫[0,a] r^(2/3)dr
=4πa^(1/3){(3/5)r^(5/3)}
=(12/5)πa^2
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