選択公理、Zornの補題

選択公理、Zornの補題、整列可能定理が本質的に必要な定理について

「選択公理と数学」（ISBN4-7952-6890-8）より丸写しされた奴のコピペ

（もちろんＺＦで）
ＡＣと同値
整列定理、ツォルン、テューキーの補題、ベクトル空間の基底の存在、
チコノフ、束の極大イデアル定理


ＡＣから導かれるが、逆は成立しない

無限基数の自身との和は自身になる、デデキント有限なら有限、
加算部分集合定理、ブール代数の素イデアル定理、
集合代数の本来のフィルターは超フィルターに拡張される、
ストーンの表現定理、コンパクト性定理、述語論理の完全性、
アルティン−シュライアーの定理、ハウスドルフ空間でのチコノフ、
ハーン−バナッハ、極大イデアルの弱定理、Ｒは整列される、
ハーメル基の存在、ｆ（ｘ＋ｙ）＝ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）の不連続解の存在、
非可測集合の存在、ベールの性質を持たない集合の存在、
ハウスドルフのパラドクス、バナッハ−タルスキーのパラドクス、
ＤＣ、ウリゾーンの補題、ＣＡＣ、可算和定理、
ＣＡＣから導かれる微積分の諸定理群（＊）、

＊ハイネによる連続関数の定義、ルベーグ測度の可算加法性、
　閉包の点列極限による定義の同値性、
　集積点のの点列極限による定義の同値性、
　コンパクト性と点列コンパクト性の同値、
　可算個の第１類集合の和は第１類集合、
　ボレル集合の階層定理、ボレル集合はベールの性質を持つ、
　分離的距離空間の部分空間は分離的距離空間

ＡＣから導かれる
極大条件を満たす群の部分群は有限生成的、代数的閉包の存在と一意性

で？

それだけ

そんな事より１よ、ちょいと聞いてくれよ。スレとあんま関係ないけどさ。
このあいだ、東京大学大学院数理科学研究科数理科学研究棟行ったんです。数理科学研究棟。
そしたらなんか人がめちゃくちゃいっぱいで入れないんです。
で、よく見たらなんか張り紙してあって、夏学期試験日程、とか書いてあるんです。
もうね、アホかと。馬鹿かと。
お前らな、試験如きで普段来てない大学に来てんじゃねーよ、ボケが。
夏学期試験だよ、夏学期試験。
なんか友達連れとかもいるし。友達みんなで留年回避か。おめでてーな。
よーし俺εδ理解しちゃったぞー、とか言ってるの。もう見てらんない。
お前らな、俺の『解析概論』やるからその席空けろと。
数理科学研究科ってのはな、もっと殺伐としてるべきなんだよ。
黒板を前にゼミしてる奴といつ喧嘩が始まってもおかしくない、
刺すか刺されるか、そんな雰囲気がいいんじゃねーか。女子供は、すっこんでろ。
で、やっと入れたかと思ったら、隣の奴が、コンパクト空間上の連続関数が最大最小値を持つ証明は〜、とか言ってεδ論法を得意げに繰り広げているんです。
そこでまたぶち切れですよ。
あのな、εδなんてきょうび流行んねーんだよ。ボケが。
得意げな顔して何が、εδ、だ。
お前は本当にεδを理解したのかと問いたい。問い詰めたい。小１時間問い詰めたい。
お前、εδって言いたいだけちゃうんかと。
解析学通の俺から言わせてもらえば今、解析学通の間での最新流行はやっぱり、
超準解析、これだね。
超準解析で積分論はもちLebesgue。これが通の答案。
Lebesgueってのは積分を定義できる図形がRiemannより多めになってる。そん代わり理解している人が少なめ。これ。
で、それに超準解析。これ最強。
しかしこれを答案に書くと次からnon regularな香具師とみなされるという危険も伴う、諸刃の剣。
素人にはお薦め出来ない。
まあお前、１は、『大学への数学(東京出版)』でも読んでなさいってこった。

超準解析ね、コーヒーブレイクで扱う話題だろ。きもいんだよ。氏ね。。。

文面から察するに、５がルベーグ積分を分ってるとは思えない。

>>7 なんで？

「Lebesgueってのは積分を定義できる図形がRiemannより多めになってる。」←　ちょっと分ってウキウキしてるガキの文体。ルベーグ積分って内容深いよ。
本当に分ってたらもっと示唆深いこと書くけどね。所詮５もε−δどまり。

>>5のコピペを作った奴に聞いてみたいところだが、
そのコピペが作られたのは随分と昔だしなぁ…

>>10　昔っていつ作られたの？俺は吉野家の原版しか知らぬが。

今時吉野屋のオリジナルしか知らないひとの方が珍しいかと

5の数学力を推定してみよう。
�@敢えてWeierstrassの定理に言及。しかもその証明が
εδを使うということもわかっている。多分εδは分か
っているであろう。
�AそしてWeierstrassの定理を敢えて一般位相で表現し
ている。多分一般位相論もそれなりには知っている。
(連続の定義とか)
�B東大生。或いは東大の数理科学研究科通。
�CLebesgue積分は9の言う通り分かってなさそう。多分
極々入門しかしらんだろう。
�D誰も指摘しないが、5は超準解析も知らないのでは？
　とすると大学3年程度までの数学を知っているがそれ
より上は知らない奴と分かる。東大数学・計数の落ちこ
ぼれか非数学科で数学を教養時代にやったからそれなり
(非数学科でも5より数学へ造詣が深い奴はいる)に知って
いる数ヲタDQNということで如何？賛成してもらえるかな？

2chを良く見てる当時教養1,2年ぐらいの奴じゃない？
自分もその頃に数理研のスレとか見たら同じような文章書きそう。

>>14　あ、ありえそう。
　加藤かずやに感化されて、数学家の数学を垣間見た段階の教養学部生とかね。
　今は5の作者は何やってるのかな。

めちゃめちゃ暴かれとる。かっこわるいなあ。

しかし、最初にそれ作った人もまさか
「選択公理、Zornの補題」
のスレでこんな話をしているとは思わないだろうな。

まぁ大目に見てあげようではないか。大学の数学を分かり始めた萌
芽が感じられるよ。

　5を見て不思議に思ったのだが、何でεδ(又は超準解析)とLebesgueが出て来
るんだ？
　直接は関係ないだろうが。

>>10
>>5って
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1052225307/191-
に貼られたのが最初じゃないの?

>>20　だとしたら無茶苦茶最近だけど、それってありえなくない？
　多分それもオリジナルではないでしょう？

ありえないってなんで?
最初の吉野家コピペのこと言ってるの?
とりあえず、>>5のは超準解析にεδってことだし、
そのスレに貼られたのが最初だと思うのだが。

どうも昔見たことあるな、と思ってたら↓のと被ってただけか。

1=0.99999999999999999999999999
http://cheese.2ch.net/math/kako/998/998857461.html
60 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：01/09/28 04:08
昨日、久々に数学版行ったんです。数学版。
そしたらなんか人がめちゃくちゃいっぱいで更新できないんです。
で、よく見たらなんか新スレ立ってて、1=0.9999...とか書いてあるんです。
もうね、アホかと。馬鹿かと。
お前らな、1=0.9999...如きで普段来てない２ｃｈに来てんじゃねーよ、ボケが。
1=0.9999...だよ、1=0.9999...。
なんか真性ドキュンとかもいるし。ドキュンそろって数学版か。おめでてーな。
よーし煽っちゃうぞ、とか言ってるの。もう見てらんない。
お前らな、杉浦解析やるからその席空けろと。
数学版ってのはな、もっと殺伐としてるべきなんだよ。
スレッドに居合わせた奴といつ喧嘩が始まってもおかしくない、
刺すか刺されるか、そんな雰囲気がいいんじゃねーか。ドキュンども、すっこんでろ。
で、やっと見れたかと思ったら、そこにいる奴が、1=0.9999...は定義、とか言ってるんです。
そこでまたぶち切れですよ。
あのな、定義ですべてかたづけるなんてきょうび流行んねーんだよ。ボケが。
得意げな顔して何が、定義でしょ！、だ。
お前は本当に数学わかってるのかと問いたい。問い詰めたい。小１時間問い詰めたい。
お前、数学やってるって言いたいだけちゃうんかと。
数学通の俺から言わせてもらえば今、数学通の間での最新流行はやっぱり、
超準解析、これだね。
実数に無限大と無限小を加える。これが数学通のはやり。
超準解析には無限小が加わっている。そん故0.9999...について無限小も考えに入れなければならない。これ。
しかしこれで考えるとにちゃんねらーに真性ドキュン扱いされるという危険も伴う、諸刃の剣。
素人にはお薦め出来ない。
まあお前らド素人は、明らかに1=0.9999...とでも主張しなさいってこった。

いや、あんまり被ってないけどさ。

ところで>>19も言ってるけど、どうして超準解析と
ルベーグ積分がつながるの?
超準解析よく知らないから分らんのだけど････

>>20
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1006418861/528
>528 ：１３２人目の素数さん ：04/01/10 10:02

極限の概念をεδで説明するか超準解析で説明するか。それだけ

>>26
フィルターって何？

ホルンのツォダイ

28>> 寒いんだよ!

>>25
あら、そっちが先ですか…

>>27
集合の冪集合の部分集合の一種。便利な性質を満たす。

>>27
点列を拡張したもの。

>>31-32
ありが�d

超実数の構成って選択公理は必要なんですか？

272

7

912

age

最近では非可算個の集合族に対する選出公理は認めないが（志賀浩二）
これ、ほんと？

可算個だったら選出公理要らないような。

>>40
いや、要るだろ普通に。

40は､選択公理までは必要無い、可算選択公理で十分､と言いたかったという可能性も捨て切れない。

逆に、可算個にしか使えない選択公理なんていらない、
と言ってるようになら見えるけど…。

可算選択公理は他の定理から証明できる
と言ってるように見えるナ。

選択公理はバナッハ-t(ryの定理を生み出す以上、捨て去るしか無い。

第五公準の否定は平行線が交わらない／二点以上で交わる、
という結果を生み出す以上、捨て去るしかない、という
のは正しいですか？

>>46
意味が分からんのだが...
バナッハ(ryとの共通点を教えてくれ。

しかも、第5公準は簡潔に言えば"平行線は交わらない"ということなのだから、その否定が
>第五公準の否定は平行線が交わらない...
>という結果を生み出す
とかいう部分がそもそも間違い。
まったく意味が分からん。

さらに輪をかけて、
平行線が交わらない
のは平面世界
二点で交わる
のは球面世界
であってパラドックスでも何でもないから、バナッハ-タルスキの定理とは共通点も無い。

一体何が言いたかったんだ?

直感にそぐわない公理を認めてはいけない。と考えた結果の発言ではない？
選出公理も第五公準の否定もそういう意味で共通していると思ったのでは？

まあ、ここでまとめてみようじゃないか

>>49の言う意味だとして考えてみる

>>45の主張
選択公理はバナッハ-タルスキの定理という、まったく現実的にはありえない定理を生み出してしまった。
だから、選択公理は排除する他は無い。

>>46の主張
第5公準の否定は"平行線が交わらない(<-これは生み出さないぞ、平行線公準の「肯定」がこれなんだから)／二点以上で交わる"
を生み出すと主張。
だがその主張自体がそもそも誤りなのだから、後に話が続かないのも無理は無い。

しかも
>>48で言った通り、
[平行線が交わらない]
のは平面世界
[二点で交わる]
のは球面世界
であって平行線(ryの否定は直観にそぐわない公理でも何でもないから、バナッハ-タルスキの定理とは共通点はそこには無い。

だから、意味が分からんわけ。

>>45
それはバナッハ・タルスキの定理がルベーグ非可測集合を
仮定して初めて成り立つという事実を忘れている。
多分、金属の球だとかガラスの球だとかの分割をイメージしている
のだろうが、ルベーグ非可測集合での分割だから、現実の
物質の分割とは無関係と見るべき。

バナッハ・タルスキの定理は、>>45とあっさりと言い切ってしまうほど
パラドキシカルではない。

　　　　　　　　　ナ ゝ　　　ナ ゝ　/　 　 十＿"　 　 ー;=‐　　　　　　　　　|! |!　 　
　　　　　　　　　　cト　　　　cト　/＾､_ﾉ　 | ､.__　つ　 （.__ 　 ￣￣￣￣ 　 ・ ・　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　
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　　　　　　　／　　　　　　　　　　　ヽ､_／)ﾉ　　 ≦　　　　　　　　　ヽ‐'´　　　　　　　　　 　 `‐､
　　　　　　/　　　　 ／￣~`'''‐- ､.._　　　ノ　　　≦　　　　　　　　 ≦　　　　　　　　　　　　　　 ヽ
　　　　　　i. 　　　／　　　　　　　　 ￣l　7　　　　１　 ｲ/l/|ﾍ ヽﾍ　≦　　　,　,ﾍ ､　　 　 　 　 　 i
　　　　　　,!ヘ.　/ ‐- ､._　　　u　　　　|/　　　　　 l |/ !　! | ヾ ヾ ヽ_､l　ｲ/l/|/ヽlﾍﾄ､　　　　　　│
.　　　　　 |〃､!ﾐ:　　 -─ゝ、　 　 ＿_ .l 　 　 　 　 ﾚ二ヽ、 ､__∠´＿ |/ |　! |　 | ヾ ヾﾍﾄ､　　　 l
　　　　　　!_ﾋ;　　　 Ｌ(.:)＿ `ｰ'"〈:)_,` /　　　　 　 rｉヽ_(:)_i　　'＿(:)_/ ! ‐;-､ 　 ､__,._-─‐ヽ.　,.-'､
　　　　　　/｀ﾞi　u 　 　 　 ´　　　 ヽ　 !　　　 　 　 !{　　　,!　　 `　　 （ } ' (:)〉　　´(.:)｀i　 　 |//ﾆ !
　　　　_／:::::::!　　　　　　 　 　 　 ,,..ゝ!　　　　　　 ﾞ!　　 ヽ '　　　　　 .ﾞ! 　７　　　 ￣　　　　| ﾄy'/
_,,. -‐ﾍ::::::::::::::ヽ、　　　 r'´~｀''‐､　 ／　　　　　　　 !、　 ‐=ﾆ⊃　 　 /!　 `ヽ"　　　　u　 　 ;-‐i´
　!　 　 ＼::::::::::::::ヽ　　　`ｰ─ '　／　　 　 　 　 　 　 ヽ　　‐-　　 ／　ヽ　 `￣二)　　　 　 /ヽﾄ､
　i､　　 　 ＼:::::::::::::::..､　　~"　／　　　　　　　　　　　　 ヽ.＿__,.／　　//ヽ、　ー　　 　 　 　

ルベーグ積分の本だと選択公理を仮定してるのが多いんじゃないの？

今更選択公理を使ってない分野なんてあるのか？

>>55
多分ないと思う。
でも、よーく考えれば、ユークリッド空間に対する非ユークリッド空間みたいな
選択公理が成り立たないような面白い数学体系が出来上がるかもしれないよ。
漏れには構築できそうにないけど。
っつーか、極大値が存在しない世界って何？

あるとすればロジック寄りの計算機ぐらいか
あまり詳しくないけど

Mycielski, J. (1964) "On the Axiom of Determinateness",
Fund.Math. 53. 205-224.
------------- (1966) "On the Axiom of Determinateness II",
Fund.Math. 59. 203-212.

をどうぞ。選択公理と矛盾する決定性公理を使った数学の構成。
特にRの全ての部分集合はこの公理のもとでルベーグ可測になる。

>>58
この公理系のおいしいところは、

選択公理は不成立だが、可算選択公理は証明できてしまうこと。

だね。

>>58-59
なんか面白そう。書籍でまとまってるの無い？

>>60
『岩波数学辞典 第三版』の「解析集合」の項(で良かったかな?)と、
そこの参考文献なんかは? 最初のところに選択公理を認めない立場の
説明がある。

巨大集合論って本で扱ってたような気がする。

ちなみに
>>2
のコピペ元は漏れがかつて書いたものだが、前スレでも書いたように、

加算部分集合定理

の「加」は、もちろん「可」なので直しておいて欲しかったと思う今日この頃。

>>61
ごめん、手元に岩波数学辞典無いんだわ。よかったら参考文献挙げてくれん？

ググったよん。ここ

ttp://www.ltn.lv/~podnieks/gt6_2.htm

にADの説明と文献がある。英語の本だと

E.M.Kleingerg. Infinitary combinatorics and the axiom of determinateness.
"Lecture notes in mathematics", vol. 612, Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg
- New York, 1977, 150 pp.

Barwise J.(ed.) Handbook of Mathematical Logic, Elsevier Science Ltd.,
1977, 1166 pp.

ということらすい。

>>65
リンクがちょと違う
ttp://www.ltn.lv/~podnieks/gt6_2.html
（最後のlがぬけてた）

61-0

929

598

957

直積のはなし。
R×Rとかだったら、元は数の組なのに、
どうして教科書みたら元が関数になっているのか、
教えていただけませんか？

>>71
スレ違いな気もするけど、空でない集合の集合族の一般直積が
選択公理で空でないことが保証される、という話かな？

{1,2}からRへの写像をfとすると、fはf(1)とf(2)で完全に定まる
から、R×Rの元(f(1), f(2))が得られる。逆にR×Rの元(x_1, x_2)
が与えられたとき、f(1)=x_1, f(2)=x_2で{1,2}からR×Rへの写像
fが得られる。つうわけで{1,2}からRへの写像全体F({1,2}, R)と
R×Rを同一視できる。線型代数で有限次元空間から有限次元空間
への線型写像と(基底を固定した)行列を同一視するのも基本はこ
の考え方。

で、これを敷衍して一般に集合XからYへの写像fが与えられたとき
fはXの各元xとそのfによる値f(x)＝y_xで完全に定まることになる
から、添字集合Xの各元xに対するYの元の族(y_x)とXからYへの写像
が同一視できる。つまりF(X, Y)とY^Xが同一視できる。

そこでXを添字集合とする一般の集合族(Y_x)に対しても各xに対し
Y_x≠φならば選択関数fと族(y_x)を同一視して、それを直積
ΠY_xの元とする、というわけ。

>>72
> f(1)=x_1, f(2)=x_2で{1,2}からR×Rへの写像

× R×Rへの写像
◯ Rへの写像

わかりやすい説明ありがとう。

154

492

外延性公理と選択公理から排中律が証明される

253

239

873

集合論の公理に一致の公理：
元が同じ集合は一致する
と言うのがあるが、こんなもん必要ない。
（適当なスレが見つからなかったから取りあえずここに書いた。）

集合の本質とは何か
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1047674196/

また集合スレが落ちてやがる

341

651

514

>>81
∀x.(x∈A⇔x∈B)⇒A=Bってこと？
何で必要ないと言えるの？

>>81
集合が等しいとはどういうことか
の定義がいるんじゃない？
（じゃないと、集合関係の計算が出来なくなるけど？）

933

>>87
∀x(x∈A⇔x∈B)
で定義にすればよい。

>>89
だから、∀x.(x∈A⇔x∈B)⇒A=BってA=Bの定義でしょ？
ちょっと、何を言ってるのか分からない。

>>89
いちいちそんなの書くのめんどくさいじゃん

>>91
あースマンそう言う意味か。（何を言ってるのか全然分からなかった。）
=の記号は集合に関しては放棄しようってことか。

そりゃーいい。グッドアイデア。虚礼廃止だよな。












ほほほほんとかよっっっ！！

>>90
あんねぇー、何を定義といい、なにを公理っていうかっていう論争は
さておいて、ふつーう、
∀x(x∈A⇔x∈B)⇒A=B は Axiom of Extensionality つまり外延性公理
っていうじゃない?
A=B⇒∀x(x∈A⇔x∈B) は Equality Axiom からでてくるからまあ矢印が
⇔ になってる場合もあるみたいですが、、、。

>>93
それ、>>81に言えば？

>>91>>92
そのとおり。


−−81

虚礼は廃止せよ。

>>96
虚礼ならね。

選択公理がなぜ必要なのか理解できないです。

当たり前の、当たり前じゃないの中間くらいの感覚で
非常に気持ちが悪いです。

感覚があまり鋭くないので、ああいうのも公理にしなくちゃ
いけないのなら、普段何気なく当然のこととして認めている
ことも実は公理にしなければいけないのかもしれないではな
いかという気がして落ち着きません。（もっとも頭が良く感
覚の鋭い数学者が特に注意書きをしていないのであれば、そ
れは当然のことと考えていいのでしょうが。。。）

しかし公理というものの役割というのがよく分かっていない
からかもしれません。例えば、群の公理のように、ゲームの
ルールのような役割を担ったものという公理には全然抵抗が
ないんですが。。。

よく代数の本でも、厳密には選択公理を使った、という注釈
がありますが、そのありがたみがわかりません。

何かそういう方面の感覚を鋭くする、よい本はないでしょうか？

>>98
いや、どうもそもそも根本的に勘違いをいくつも
しているんじゃないかと思います。

＞ああいうのも公理にしなくちゃ
＞いけないのなら、普段何気なく当然のこととして認めている
＞ことも実は公理にしなければいけないのかもしれないではな
＞いかという気がして落ち着きません

ここがそもそも意味不明だし、それに感覚がどうのこうのと言っている
のも気になる。数学を勉強して、選択公理が必要な場合を見て、
なぜ必要なのかを考えて、といった常識的なことをやってみる
以外に理解の方法などないし、それは選択公理に限らないのでは？

あと、
＞選択公理がなぜ必要なのか理解できないです。
ここも、いわんとする事が実は良く分からないのですが、私なりに解答すると
選択公理を仮定することが本当に自然なことなのかどうかは
決着はついてません。バナッハ・タルスキーの定理なんてもの
があるわけだし。だから、特別
＞当たり前の、当たり前じゃないの中間くらいの感覚で
＞非常に気持ちが悪いです。
この印象が間違っているとも言えないわけで。。。

選択公理が正しいかどうかに関らず
「選択公理を認めると、こういう事実が成り立つ」
という言明は意味を持つと思うけど。

構成的でない証明や手段は、計算機上では実際には実行できない。
所詮記号論理学で形式証明をする為だけの非構成的な数学を実施
するための道具。人間のものの考え方(特に無限に対する)の
傾向により産み出された産物の公理。

>>101みたいな意見は

「計算機で出来る事は限られている」とも
「非構成的な数学はナンセンス」とも読めるね。

実際はナンセンスなんかじゃないね。
非構成的でも例えば何かが存在することを証明できれば
それを手がかりに理論が展開できるし、
存在しないことが示されたら、もうないのに無駄に探すことはしないですむ。

非構成的な手段を使うことでのみ、存在しないことを証明できる例って
どんなのがあるの? 大抵は存在のみを示すのに非構成的な証明を使うのだが。

選択公理って大雑把に言って、
”グループ分けされた集合のそれぞれから代表元を返す関数”が存在するってことでしょ？
ある条件を満たす代表元が存在することが示せれば、
このような関数が存在するとして議論を進めるなんて
全称命題／存在命題や、構成的証明／非構成的証明に関らず使うと思うが

スミマセン、噛み合ってないこと書いてますね
>104の人は「のみ」って所に反応してるのかな？

>>104
考え方が素朴すぎ。任意命題とは存在命題というのは形式にのみ
着目している。(直観主義の)論理的に同値な論理式には色々な形
のものがあるので、雰囲気として理解できないことはないがその
主張を正確に表現できないのではないか? と思う。

>>90
＞そりゃーいい。グッドアイデア。虚礼廃止だよな。
そのとおり。無定義関係に等号はいらない。

>>108
あーだから、>>81は「公理」と呼ぶのが気に入らんと言ってるだけ
ってことなのか。
（ようやっと意味が分かった。分かりが悪くてスマンカッタ。）

624

>>109
やっと分かってくれたか。
有難う。

選出公理：

∀λ∈Λ（Ａ_λ　≠　φ）　⇒　ΠＡ_λ　≠　φ


Λが有限集合の場合には、選択公理は全く自明である．
しかし、Λが無限集合であるときには、“すべての
Ａ_λからa_λを‘いっせいに’選出する”ということは、
（何等かの規則によって、その選出の方法が具体的に指示
されているのでない限り）、いわば‘理念上の操作’とも
いうべきものであろう．このような理念上の操作の可能性
を、１つの原理として認めることにしたのが、選出公理に
ほかならないのである．

↑は松坂先生の本の４７ページの記述ですが、Λが有限の場合は
自明なのにΛが無限だと自明ではないというのがよく分かりません。
また、上で言っている「何等かの規則」というのが指示されているが
ゆえに選出公理がなりたつことが証明できるような例はどのような
ものでしょうか？

Λが有限の場合にあえて選出公理の証明をしようとすれば、
どのような証明になるのでしょうか？

たぶん簡単なのかもしれませんが、お願いします。

無限の場合が自明でないことを理解するのに役立つと
思いますので。

>>113
たとえば、Λ が自然数の空でない部分集合の族のとき。
各 S∈Λ に S の最小元を対応させればよい。

>>114
Λの個数に関する数学的帰納法。

>>113
一般に「�@有限の場合に成り立つ」からって「�A無限の場合でも成り立つ」とは言えないでしょ？
�@から�Aが簡単に言えるのなら自明だし、そうでないなら自明でない、ただそれだけのこと
有限の証明をみても、無限が自明でないことの理解にはならないと思うが、Λ=｛1， 2，･･･，n｝のとき、

1） ∀λ∈Λ（A_λ　≠　φ）
2） ⇔　A_1≠φ ＆ A_2≠φ ＆ ･･･ ＆ A_n≠φ
3） ⇒　∃a1∈Ａ_1 & ∃a2∈Ａ_2 ＆ ･･･ ＆∃an∈Ａ_n
4） ⇒　∃a=(a1, a2, ･･･, an)∈Ａ_1×A_2×･･･×A_n=ΠA_λ
5） ⇒　ΠA_λ　≠　φ

無限の場合でも、3）のように無限にある集合A_λのそれぞれから元aλを一つずつ選び出した後
4）にように一つにまとめることができるというのが選択公理のキモ
無限直積の定義に沿って ΠA_λ = ｛f ：Λ→A=∪A_λ ｜ ∀λ∈Λ（f(λ)∈A_λ）｝ として上の証明を考えると、
有限の場合、4）のa=(a1, a2, ･･･, an)は、写像 f(i)=a_i (1≦i≦n)とすれば良いが、
無限の場合でもそのような写像を作ることが出来るというのが、>113と同値な別の形の選択公理となる

わかりやすい例ありがとうございました。

数学的帰納法ですか、いわれてみればそうですね。
Λが可付番集合の場合も自明ですよね。

>>117
>Λが可付番集合の場合

それは可算選択公理という”公理”
自明というのは、「明らかに成り立つだろう」ではなく、
「簡単に証明でき、その証明を示せるが、簡単に出来るから特に示さないし、自分でやってね」
の意味で、証明をすでに持っている人間がめんどくせの意味で使う言葉
自明ですよね？と聞くということは、分かってない証なので、
定義から始めて証明を試みるべきです

>>116
有限の場合のその証明はよく解釈すれば正しいが、その正しい解釈という
のは少し難しいと思うのだけれどどうでしょうか?
つまり、その n は何か? ということ、量化子に n がついているところを
正確に説明する必要がある。つまり、下手をすると限られた有限の n に
ついてのみの証明となってしまう可能性がある。
そこへいくと、>>115 の主張のように帰納法で証明しておけば無難。

>>117
帰納法で示せるのはいくらでも大きな、しかし有限の数に対してのみなので
可算選択も自明とは言えない。

これを乗り越えるのが超限帰納法だが。

Re:>120 「有限の数」は幾つある？

>>119
>はよく解釈すれば正しいが〜その n は何か? ということ、量化子に nがついているところ〜

有限集合の定義によるけど、普通Λが有限とは、
ある自然数nが存在してΛ={λ1，･･･，λn}とナンバリングできる、とかでしょ？
>116ではλも取っちゃって、Λ={1，･･･，n} としてしまったけど、どちらにせよ
nというのははΛが有限集合であるという仮定から出てくる”Λに依存した自然数定数”のことであり、
2)3)では、∀λ∈Λ．P(λ) という命題を、それをP(λ1)＆･･･P(λn)の形で書き直しただけなので、
（この議論の本質としては）帰納法は必要ないのだけど

そりゃ、ナイーブな集合論でなくZFの公理から全て書き出せとか、
直積の定義をペアから帰納的に定めてるというなら、帰納法はいるけど、
そこまで要求されてないだろうから

>>120
超限帰納法が自然に使えるように添字を順序数にしたとき、
(X_α)_{α≦β}を空でない集合族とし

1. X_0から元x_0が選べる
2. α<βとなる順序数αについては(X_γ)_{γ≦α}から元の列(x_γ)_{γ≦α}
が選べると仮定する。するとβに対しても(X_α)_{α≦β}から元の列
(x_α)_{α≦β}が選べる

を示せば良いの？ 2.が最初の超限順序数β=ωについて既に証明できない、って
ことで良い？

>>123
超限帰納法について慣れてくると、(X_γ)_{γ≦α} ではなく、
(X_γ)_{γ<α} とした方がよいということがわかる。
そのように修正すれば ok.

>>123
それだけではダメじゃないの？

当然それだけの前提で、なおかつ選択公理も使わないでということであれば、
その方法では、>124さんの言う通りωについて既に証明できないからダメってことになる（でしょう、未確認）

が、超限帰納法を使うだけではダメだとしても、
別の方法では可算選択公理を証明できるかもしれない可能性は残されていて、
>123だけでは可算選択公理が証明できないことにはならない

けど可算選択公理と同値な命題を用いない限り可算選択公理が証明できないでしょう（←多分ね）

>>124
Merci!

>>125
>>123 は可算選択公理が証明できないことの証明を述べているのではなく、
有限のときのアナロジーで超限帰納法を用いて証明しようとしても、
証明がうまくいかないという事実を述べているだけだと思う。

>>127
なるほど、サンクス

>>125
> が、超限帰納法を使うだけではダメだとしても、
> 別の方法では可算選択公理を証明できるかもしれない可能性は残されていて、
> >123だけでは可算選択公理が証明できないことにはならない

ああ、なる程。まあ、もともと超限帰納法でも証明できないってことを
はっきりと理解したかったんで。

>>122
有限の定義によるという話しではありません。
∃a1∈Ａ_1 & ∃a2∈Ａ_2 & ･･･ &∃an∈Ａ_n という調子ですと、
各々の n について段々論理式の長さが長くなります。つまり、あなた
の証明は、各々の n について、異なった証明をつけていることになる
わけです。ZFの公理 という言葉をご存じのようなので、それを使って
いうと、あなたの有限の n というのはZFの公理を数えあげるときに
使う n であり、ZF の理論のなかにある、有限の n に見えないという
ことです。そして、なかにある n を使って論理式を ZF の中で書いて
いると思えば、あっているというのが、よく解釈すればという意味です。
あなたのいわれていることが、そのことだ、といわれれば、そうですか、
といいますが。明らかに、ここには2つの異なった概念があるということ
です。そして当然ですが、帰納法はいります。「いらない」のはZFの公理
を数えあげるときに使う n に対しての選択公理の場合です。

>>130
任意の自然数（数項）に対して、∀λ∈{λ1，･･･，λn｝．P(λ) はP(λ1)＆･･･P(λn)と同値である
ということを細かく言うことが選択公理の理解の本質ではないだろうし、
今は既知の定理･スキームとして認めてもだろうという意味で帰納法はいらないと書きましたが、
伝わってないようだから、まずいなら私の>122発言は完全否定してください
問題は98氏の理解と、誤った知識が広がらないことだと認識してますので

>>1-131
基礎論かーレベル高いなー、
学部何年の人たち？
学部以上に見えるのは私だけでしょうか？

453

>>132
程度高すぎ。
131 が 130 を納得しちゃうってのは、なんなんだ。
程度高すぎ。

712

742

撰択公理に依っている証明手段は、構成的な手続き(たとえば計算機による
計算)には乗らない。なぜなら拠り所である公理が、計算機などの有限システム
にはそもそも無縁のものだからである。
撰択公理と異なる公理を取っても無矛盾なのだから、当然ではあるが。

956

500

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439

816

　　　　　　 　　　 ...,､ -　 ､∞
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　∞ヽ/;;;;;　i　 i　;;;;　　ヽ;;;;;;; __.ヽ ヽ::::ヽ
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.　l l　lミ l ／r'++::ヽ　　　　'n‐／.}　/　 i l　l　／￣￣￣￣￣￣￣
　 l l　l.ヾlヽ　ヾ:‐°　 ,　　　　 !'" ♭i i/ i＜　　このスレ相変わらず
　 iﾊ　l　 (.´ヽ　　　　　_　　 .／　◎　 ,' ,'　'　|　馬鹿ばかりだわねぇ・
　　 |l. l　　♭ ''丶　　.. __　 イ　　∫　　　　　　 ＼＿＿＿＿＿＿＿
　　　ヾ!　　◎　　　　　 l.　//├ｧ ､
　　　　　　∫　　　／ﾉ!　◆　/　　｀　‐- 、
　　　　　　◎　 ／ ヾ_　 ◎/　≪≪ ,,;'' /:i
　　　　　　　 /King命;｀　∬/　　　,,;'''／:.:.i＼
　　　　　　　　　　　　というほど馬鹿じゃないわ。

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463

387

353

深夜や休日など、込み合った時間を避けてカウント厨や
糞スレが立ったり上がったり
ウザイあぼーん候補レスが沢山つくのは数学版の仕様でつか?

495

589

136

330

＞そりゃーいい。グッドアイデア。虚礼廃止だよな。
そのとおり。無定義関係に等号はいらない。

真似したり、関係の無い事言ったり、適当な事書いたり、無茶苦茶書くな　

荒らしは
　〜〜〜終了〜〜〜
　
ageるな馬鹿タレ

お前が数学出来ないのはわかるが八つ当たりするな

やっと分かってくれたか。
有難う。

951

w

『「知」の欺瞞』関連情報

●ｂｋ１の『「知」の欺瞞』のページ
* 佐々木力、ポストモダン思想の軽薄さを完膚なきまでに暴露した、知的刺激溢れる書物、2000/07/10
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/FN/#links



このページは黒木玄個人の責任で維持しております。
クレームその他は黒木個人におよせください。

★2002年新学習指導要領の中止を［上野、戸瀬、黒木］→NAEE2002で署名を！★
http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/index-j.html

393

153

246

613

395

大学の数学の講義で、どのくらいの頻度で帰謬法(背理法)を使った証明をみました?

age

375

893

128

109

あちこちのスレで使われているな。
選択公理。

5

大学１年でやったけどわかんなかったorz

6

age

ﾁｺﾉﾌ

500

永田雅宜の可換体論で
任意体の代数的閉包の存在を
Zornの補題を用いて証明している。

だから何？

728

だ　か　ら　何　？

age

二年二時間。

age

>>184
乙

age

686

197

242

konnnitiha

age

763

178

444

金払え

736

580

LNMでAxiom of Choiceって出たよね
読んだ人居るかな

Amazonで探してたらこんなの出てきたｗ
Axiom Of Choice - Beyond Denial
http://www.amazon.co.jp/Axiom-Choice-Beyond-Denial/dp/B000005J9O/

http://www.amazon.co.jp/Niya-Yesh/dp/B00004T9SS/

(´･ω･`) 知らんがな

ドンマイ

選択公理は気持ち悪いのでZornの補題を使うとか言ってる数学者

排中律抜きでも同値だったっけ？

選択公理から排中律が証明できる

竹内の体系は普通直観主義者が採用しないものだからね。
普通は出来ない。

外延性の公理を採用しないから証明できなくなるとか。
林、小林の構成的プログラミングの基礎とかかな。

外延性の公理の無い集合なんて集合じゃないってのが
普通の数学者の考え方じゃないかなあ、、

排中律について語ってるときに外延性の公理を持ち出すのは変というのが
むしろ普通だろう。古典論理ならもちろん前提と思うよ。
このあたりは直観主義を少しでも勉強しないとわからない感覚かも。
かく言う俺もドの付く素人だけどな。

いや外延性の公理は集合を規定するときに使うものであって
排中律の議論するために立てるもんじゃないから

直観論理じゃなく直観主義と書いているのだが。試しにそちらの集合論の本読んでみな。
何で外延性の公理を使わないかがわかる。

まあより正確には構成主義かな。このあたりの話は知らない人にはわかりにくいんだろう。

>>210
直観主義も立場は1つでないので
（特に直観主義集合論は公理系たくさんあり杉）
どの直観主義、どの集合論か指定してくれると助かります

先ほどの林・小林なんかはそうだし、選択公理を採用した直観主義（というより構成主義）の代表格であるビショップ流はそう。

104

208

>>98

選択公理のありがたみを理解するための一つの手段：
選択公理と同値な論理式（命題）で、数学的に重要なものを見て見る。

例えば、「任意の体上のベクトル空間は、基底を持つ」
という命題は、選択公理と同値。
これがないと、代数学はかなり不便。

うるさいこというと、正則性の公理がないと同値と言えない。

>>217

ご指摘ありがとうございます。

>>217
Blass の証明では正則性公理を使っているのは知っているけど、
本当に必要なことは証明されているの？

使わないと　axiom of multiple choice までしか証明できない。
証明途中で逆が成立しない部分がある。

選択公理の話で「正則性の公理がないと同値と言えない」という場合は、
「任意のベクトル空間は基底を持つが選択公理の成立しない ZF^- の
モデル がある」と取るのが普通では。

だからあることになる。

ふーん。そのモデルはどの論文に載っているのですか。
正確なことがわからなければ、論文が発表された時期だけでもかまいません。

つうか、逆が成立しないところに反例があるので。
その反例を利用してモデルが作れる理屈になるが、具体的な構成までは知らん。

では、がんばって作ったらどうでしょう。
あっという間にacceptされますよ。

そんな暇はないよ。
君こそやればいい。

ただ同値性の証明が上手くいかないということじゃなくて
反例が存在することまでわかるような証明なの？

だから逆が成立しないところは反例があるとかいてあるのだが。

だいたい既知のことを書いて論文が通るとも思えん

だから何を見れば反例が載っているのか尋ねているのだが。

んなもん覚えてないし、自分で調べろよ。もとの論文からすぐに確認出来たはず。人に頼ってばかりじゃダメだって。

要するにあなたは「反例をどこかで読んだ」というあやふやな記憶があるだけで、
肝心の反例を説明できないってことですね。

それが専門でもないのに10年以上前の論文のことを文献のタイトルまで含めて覚えてるかよ。それよりなんで論文読まないの？それですぐ確認とれるのに。

自分の言葉で反例の概要を説明すりゃいいじゃんｗ

覚えてないって言ってるのに。日本語わからないのか？まあ論文読めばすむこと。がんばれや。

>>234
知ったか君にレスつけても無駄でしょう。

ZF-Foundation の下で現在わかっているのは次のことだけ。

AC -> 基底の存在 (well-known)
基底の存在 -> MC (Blass)
not (MC -> AC) (permutation model による)

あー。言われてみればその通りだ。スマン。逝ってくるorz

何にせよまったりいこうぜ

MC って？ いや axiom of multiple choice の略だってことは分かってる。

選択公理の1個だけ選べるが何個か選べるになる。

ちょっと変か。1個ずつ選べるが何個かずつ選べるになるって言った方がいいな。

ttp://www.math.purdue.edu/~jer/Papers/KW-AC-MC.pdf

無限集合は可算無限集合を含む。
これは可算選択公理から従います。

似たような命題で
極大元を持たない順序集合は無限昇鎖列を含む。
これは可算選択公理からは証明できますか。
それとも選択公理が必要ですか。

可算選択公理って、ωと1対1に対応する集合には選択関数が存在するってやつだよね。そこで初心者の質問で
スマソなのだが、
>>244
＞無限集合は可算無限集合を含む。
＞これは可算選択公理から従います。
の証明の概略誰か教えてチョ。どういう集合の選択関数をとるのかなあ。ちょっとわかんないなあ。

普通は従属選択公理を経由するのだろうけど、直接証明。
A を無限集合、{1,2,3,...,n} から A への単射全体を A_n とする。
仮定より、A_n は空でない。
可算選択公理より、f_n∈A_n を選ぶことができる。
これら f_n の像の合併は可算集合。

>>245
どんな元よりも大きな元があるので、従属選択公理で十分だと思う。

よりも -> に対しても、それより

>>247
従属選択公理って、可算選択公理から導出されるんですか？

ごめん。逆だった。

>>244
この命題は従属選択公理と同値ですね。
集合 A 上の関係 R が ∀x∃y xRy を満たすとして、
B={(a_0,a_1,...,a_n) | n∈N, ∀i<n ( a_i R a_{i+1})}
(a_0,a_1,...,a_m) S (b_0,b_1,...,b_n)
⇔ (a_0,a_1,...,a_m) は (b_0,b_1,...,b_n) の initial segment
と定めれば、(B,S) は極大元のない順序集合になり、
(B,S) の無限昇鎖列から (A,R) の無限昇鎖列が容易に作れます。

>>251
有難う。

>>246
をを！有賀と産！

>>246
のだと、加算集合を含むことはいえても（自明w）
加算「無限」集合を含むことの証明にはなっていないような気がする

＞＞２５１

ありがと〜！
R　で生成されるノイマン級数を考えるんですね！

>>254
A_n の定義を A の n 元集合全体ではなく、
{1,2,3,...,n} から A への単射全体とした理由が
わかっていないのでは。

>>254
各 f_n の像から 1 個ずつ元を取り出し、互いに異なるようにできる。

>>246 は証明になっていない。
f_n と f_{n+1} は何の関係もないから、関数として拡張とはならない。
何も証明していない。

>>258
勝手に証明を読み違えているのだが。

>>258

f_n の像の基数は n . したがって、f_n の像の合併 F の基数は、
いかなる自然数 n よりも大きい.
したがって、F は無限集合.
（ここでは、有限でない集合を無限と呼ぶことにする）
で、F はデデキント有限にはならないのかな？

F は自然数の全体と基数が同じなんだから
デデキント無限だった。

246 に書いてあることでは、従属選択公理でなく、それより弱い可算
選択公理で何故すむのかということがはっきりしない。257 を式を書
けば 254 の疑問がとけるだろう。

従属選択公理と可算選択公理の強弱関係について知りたいです。
お勧めの文献かサイトがあれば教えて下さい。

>257 には、選択公理は不必要なのだが。

f_{n+1} の像は n+1 個の元からなるので、
not(f_{n+1}(i)∈{a_1,a_2,...,a_n}) となるものがある。
そのような元のうち i が最小となるものを a_{n+1} とする。
{a_1, a_2, ..., a_n, ...} は可算無限。

三年。

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168

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