フィボナッチ・リュカ数列の定理を並べるスレ

一般にα, βをx^2-Px+Q=0の二解とし、D=P^2-4Q、
U(n)=(α^n-β^n)/(α-β), V(n)=α^n+β^nとおく。
（一般Lucas数列）

特に、P=1, Q=-1のとき、U(n)はFibonacci数列、V(n)はLucas数列。

以下、一般Lucas数列について成り立つ定理。

1. V(n)^2-DU(n)^2=4Q^n,
U(n)^2-U(n-1)U(n+1)=Q^(n-1).

2. DU(n)=V(n+1)-QV(n-1),
V(n)=U(n+1)-QU(n-1).

3. U(m+n)=U(m)U(n)-Q^n U(m-n),
V(n)=U(n+1)-QU(n-1).

4. 2U(m+n)=U(m)V(n)+U(n)V(m),
2Q^n U(m-n)=U(m)V(n)-U(n)V(m),
2V(m+n)=V(m)V(n)+DU(m)U(n).

5. m≧1, q: oddならば
U(mq)=D^((q-1)/2)U(m)^q+q Q^mD^((q-3)/2) U(m)^(q-2)+...
+q/r (q-r-1)C(r-1) Q^mr D^((q-2r-1)/2) U(m)^(q-2r)+...
+q Q^(m(q-1)/2) U(m).

（4, 5は>>20の一般化）