不等式スレッド

【問題】 0<a<x,y,z<b のとき、
(x+y+z)(1/x + 1/y + 1/z)
の取りうる値の範囲を求めよ。

さくらスレ１４５
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1085311797/465

どんな難しい問題も・・・
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1081052206/151

>>167
たしか一般化されたのが、幾つかあったような…
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　|::::: (●　(● |　ｳｰﾝ、ｳｰﾝ…
　ヽ::::... .ワ....ノ 　

1977 USAMO 問5 （解答あり）
http://www.kalva.demon.co.uk/usa/usa77.html

1978 ASU 問13 （解答なし）
http://www.kalva.demon.co.uk/soviet/sov78.html
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　|:::: 　＼ .／　|　この不等式ヲタのコレクションに２つあった。
　|::::: (●　(● |　ASUの方の模範解答をキボンヌ。 ﾊｧﾊｧ…
　ヽ::::... .ワ....ノ 　ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞですか？

（下限）
F(x,y,z) = (x+y+z)(1/x+1/y+1/z) = 3 + (x/y+y/x) + (y/z+z/y) + (z/x+x/z)
= 9 + (x/y-2+y/x) + (y/z-2+z/y) + (z/x-2+x/z)
= 9 + {(x-y)^2}/xy + {(y-z)^2}/yz + {(z-x)^2}/zx ≧ 9. (Cauchy)

（上限） x/y+y/x はx/y=1のとき最小で、両側でx/yに関して単調。すなわち、１から遠ざかるほど増加する。
a<x≦y≦z<bとすると、
F(x,y,z) ≦ F(a,y,b) = 3 + (a/y+y/a) + (y/b+b/y) + (b/a+a/b)
= 3 + (b/a+a/b) + {(a+b)/ab}(y+ab/y) = 1 + (b/a+2+a/b) + {(a+b)/ab}{a+b-(b-y)(y-a)/y}
≦ 1 + (b+a)^2/ab + {(a+b)^2}/ab = 1 + 2{(b+a)^2}/ab.

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　|::::: (●　(● |　みんな ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ！
　ヽ::::... .ワ....ノ 　 　n　　
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フ 　　　 /ヽ ヽ_／／