不等式スレッド
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【Ky Fan】
x_k=S/n (k=1〜n)のときは明らかに成立。 x_k≠S/n (k=1〜m)とし、mに関する帰納法による。
x_m>S/n, x_{m-1}<S/n（またはその逆）としても一般性を失わない。
x_m,x_{m-1} をそれらの間にある y_m=S/n, y_{m-1}=x_m+x_{m-1}-S/n で置換えてみる。
y_m･y_{m-1} - x_m･x_{m-1} = （x_m-S/n)(S/n-x_{m-1})≧0. ∴ 和sは不変で、積pは増加する。
P = [x_m/(1-x_m)]･[x_{m-1}/[1-x_{m-1}]] =p/(1-s+p) は、s≦1では、sについて単調増加。
∴ 上記の置換え(x_1,････,x_m)→(x_1,････,x_{m-2},y_{m-1},y_m) により mが1つ減り Pは増加した。
帰納法の仮定より、m-1については成立するので、mについても成立する。（終）
大関信夫・青柳雅計: ｢不等式｣ 槇書店 p.60,p.128
大関信夫・大関清太: ｢不等式への招待」近代科学社(1987) p.88 例題9
【Ky Fan】
x_k=S/n (k=1〜n)のときは明らかに成立。 x_k≠S/n (k=1〜m)とし、mに関する帰納法による。
x_m>S/n, x_{m-1}<S/n（またはその逆）としても一般性を失わない。
x_m,x_{m-1} をそれらの間にある y_m=S/n, y_{m-1}=x_m+x_{m-1}-S/n で置換えてみる。
y_m･y_{m-1} - x_m･x_{m-1} = （x_m-S/n)(S/n-x_{m-1})≧0. ∴ 和sは不変で、積pは増加する。
P = [x_m/(1-x_m)]･[x_{m-1}/[1-x_{m-1}]] =p/(1-s+p) は、s≦1では、sについて単調増加。
∴ 上記の置換え(x_1,････,x_m)→(x_1,････,x_{m-2},y_{m-1},y_m) により mが1つ減り Pは増加した。
帰納法の仮定より、m-1については成立するので、mについても成立する。（終）
大関信夫・青柳雅計: ｢不等式｣ 槇書店 p.60,p.128
大関信夫・大関清太: ｢不等式への招待」近代科学社(1987) p.88 例題9
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