アマチュアでも数学上の成果を出せる？

数学の本を見ていると、たまに、素人が出した成果について書かれています。
数学はアイデア勝負の世界なので、そういうことも可能なのでしょう。

この板に来ている人は、少なくとも数学好きで、
あわよくば、何か数学上の成果を出すということを考えていると思うんですが、
そういう時、何かチャレンジする甲斐のある問題（分野）ってありますか？
実は、漏れも「コラッツの予想」とか考えてみたクチです。ｗ