★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問

次の性質を満たす正の実数 p がある．

任意の正の整数 n に対して，
a_n＝(p−1−1/1!−1/2!−．．．−1/n!)・(n+1)!
で定まる数列 {a_n} について 0＜a_n＜3 が成り立つ．

このとき，任意の 0 でない有理数 q に対して，
p^q は無理数となる事を示せ．
ただし，題意を満たす p，{a_n} の存在は既知としてよい．