くだらねぇ問題はここへ書け ver.3.14(25桁略)2795
偏微分方程式の解をフーリエ変換などを使って求める問題に関しての質問です。
以下は教科書にあった問題なのですが、途中の過程が省略されているので教えてください。問題は
「三次元の等方拡散における拡散方程式は
∂n(r↑,t)/∂t = D *(∇^2){n(r↑,t)} …(1.1) (r↑は位置ベクトル, tは時間, Dは定数)であり、これを
n(r↑,0) = A*δ(x)*δ(y)*δ(z) …(1.2) (Aは定数, δ(x),δ(y),δ(z)はデルタ関数)
なる初期条件のもとで解くことを考える。
ここで n(r↑,t) の空間に関するフーリエ変換を N(k↑,t) と置くと、
N(k↑,t) = ∫∫∫[-∞,∞]n(r↑,t)*exp{-i*( (k_x)*x + (k_y)*y + (k_z)*z )}dxdydz …(1.3)
その逆変換は
n(r↑,t) = {1/(2π)^3}∫∫∫[-∞,∞]N(k↑,t)*exp{i*( (k_x)*x + (k_y)*y + (k_z)*z )}dk_x dk_y dk_z …(1.4)
((1.3),(1.4)式の積分範囲は x,y,z 全てに関して-∞から∞まで、iは虚数単位)とかける。
このとき (1.1)式の解が n(r,t) = {A/((4πDt)^(3/2))}*exp(-r^2/(4Dt)) となることを示せ。」
というものです。
以下は教科書にあった問題なのですが、途中の過程が省略されているので教えてください。問題は
「三次元の等方拡散における拡散方程式は
∂n(r↑,t)/∂t = D *(∇^2){n(r↑,t)} …(1.1) (r↑は位置ベクトル, tは時間, Dは定数)であり、これを
n(r↑,0) = A*δ(x)*δ(y)*δ(z) …(1.2) (Aは定数, δ(x),δ(y),δ(z)はデルタ関数)
なる初期条件のもとで解くことを考える。
ここで n(r↑,t) の空間に関するフーリエ変換を N(k↑,t) と置くと、
N(k↑,t) = ∫∫∫[-∞,∞]n(r↑,t)*exp{-i*( (k_x)*x + (k_y)*y + (k_z)*z )}dxdydz …(1.3)
その逆変換は
n(r↑,t) = {1/(2π)^3}∫∫∫[-∞,∞]N(k↑,t)*exp{i*( (k_x)*x + (k_y)*y + (k_z)*z )}dk_x dk_y dk_z …(1.4)
((1.3),(1.4)式の積分範囲は x,y,z 全てに関して-∞から∞まで、iは虚数単位)とかける。
このとき (1.1)式の解が n(r,t) = {A/((4πDt)^(3/2))}*exp(-r^2/(4Dt)) となることを示せ。」
というものです。
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556 ：555：03/12/09 15:34
質問は、(1.1)式を(1.3)式に従ってフーリエ変換すると答えは恐らく
∂N(k↑,t)/∂t = -((k_x)^2+(k_y)^2+(k_z)^2) * D * N(k↑,t) となるのですがこの過程が分からないので
教えてください。ただし、この過程では(1.2),(1.4)式は使わないと思います。
長文で読みにくいかと思いますがよろしくお願いします。
ちなみに一次元の場合は教科書に載っていて、拡散方程式は
∂n(x,t)/∂t = D * ∂^2{n(x,t)}/∂x^2 …(2.1)
フーリエ変換は
N(k_x,t) = ∫[-∞,∞]n(x,t)*exp{-i*(k_x)*x}dx …(2.3) であり
(2.1)式をフーリエ変換すると
∂N(k_x,t)/∂t = -(k_x)^2 * D * N(k_x,t) が得られる となっています。
∂N(k↑,t)/∂t = -((k_x)^2+(k_y)^2+(k_z)^2) * D * N(k↑,t) となるのですがこの過程が分からないので
教えてください。ただし、この過程では(1.2),(1.4)式は使わないと思います。
長文で読みにくいかと思いますがよろしくお願いします。
ちなみに一次元の場合は教科書に載っていて、拡散方程式は
∂n(x,t)/∂t = D * ∂^2{n(x,t)}/∂x^2 …(2.1)
フーリエ変換は
N(k_x,t) = ∫[-∞,∞]n(x,t)*exp{-i*(k_x)*x}dx …(2.3) であり
(2.1)式をフーリエ変換すると
∂N(k_x,t)/∂t = -(k_x)^2 * D * N(k_x,t) が得られる となっています。