1=0.999999999999・・・・・　その５

大学受験板より意味わからないのでコピペ
・・・・・・・・・・・・・

唐突だけど、まず、収束する有理数列は必ずしも有理数に収束しない。
そこで、実数とは何か？という問いに対して
「収束する有理数列のことである」と宣言するというアイデアがある。
すぐわかるように、１という実数は
(1, 1, 1, 1, ・・・・)という数列に対応するんだけど、同時に
(0.9, 0.99, 0,999, 0.9999・・・・)という数列も同じ実数１に対応して”欲しい”。
そこで
「n を十分大きくとれば An と Bn の差がいくらでも小さくなる」
ことをもってAn＝Bnとする（同値関係を入れる）

こうすると例えば１に対応する数列として(1.1, 1.01, 1.001, ・・・・)
なんかもある。だから１に対応する数列たちの代表として(1, 1, 1, 1, ・・・・)
を選んで、さらに表記を簡単に「１」と書いてる。
0.99999....は上の(0.9, 0.99, 0,999, 0.9999・・・・)という数列だと思えばいい。

そう思えば万事解決。

>>435
Qの完備化を素人さんに説明しようとしてるのね。

>>429
いや０．９９９９９９・・・・・だからじゃないから！存在しないんだよ！０．９９９９・・・ともならない！

>>436
バカか！？Qの完備化じゃない！有理数によるコーシー列で実数を表現してるんだよ！出直せ！

>>438は完備化といったら順序集合の完備化だと思ってる大学1年生。

>>439
じゃあ435は何というんだ！？言ってみろハゲ！

>>440
距離空間の完備化。

というか、なんで俺がハゲてることが分かったのか
90文字以上100文字以内で述べなさい。

そろそろ、柿ピーも自分の過ちに気づいて、逃走の準備してるところかな？

>>441
いや距離空間の完備化じゃなくて数の完備化だよ。

ハゲに９０字も使いたくありません〜〜〜〜〜〜〜〜

１＝０．９９９９９・・・・・がわからない低脳はいますか！？

両辺を二乗するとどうなる？

両辺を２乗しても１＝０，９９９９・・・・・にきまってるだろ＾＾；何考えてるんだよ＾＾；

0.9999999・・・・・の二乗が1って不思議灘

ネタだろ。

>>442
柿ピーじゃないけど答える。
出来るだけレスを簡潔にしようと心がける人は
ハゲor将来ハゲになる傾向が強いんですよ。

確かに。

「有理数によるコーシー列で実数を表現」
も
「距離空間の完備化」
も
>>435の説明として正しいような気がしますが。

タイトルが、0.999999999999・・・・・
になってるが、決まってるわけではないけど省略を表す記号は、点３つ…が普通。

日本の文献だと、和文中の省略等を表すのは……と3点リーダを2つつなげるのが正式
なんで、数学の文献でも式中の省略に……を使っているものもあるけどね。点５つはありえない。

点の表記法（ピリオドを並べるとか中点を並べるとか）に多少の違いはあれ、海外文献
だとほとんどは、点３つにしてるはず。

以上、ネタスレの中の豆知識ですた。

もう皆１＝０．９９９９９９９９・・・・・・・は納得したんだな！？まだ分からないバカはいないか！？

あのう、せんせい。
0.999999......は、1にずっと近づいていくってことじゃないんですか？
いつまでも1に近づく
つまり1ではない
∴1<>0.999999......と言えないですか？

１０進数で考えるからいけないんだよ。
無限進数で考えると、１０進数で表記するところの１と０．９９９９・・・は別の数だからさ。

>>444
有理数は順序集合でもあるし、距離空間でもある。
んで、>>435は順序集合としてのではなく距離空間としての完備化なわけ。

っていうか、>>435-441の流れを踏まえてレスしてね。

>>柿ピーさん

ご　め　ん　な　さ　い　は？

横からすいません

>>435は「AnとBnの”差”」と言っているから距離空間としての完備化である、ということですか？

>>460
そうですね。
有理数の上で「差」の絶対値を距離として考えて、距離空間と言ってるので。

>>453
> 有理数によるコーシー列で実数を表現
にケチをつけてたんじゃなくて、
> Qの完備化じゃない！
にケチをつけてたんでしょ。

どうでもいいかもしれないが

完備距離空間を定義するには実数が必要。
だから実数を定義する時には距離空間の完備化はまだ定義されていないのでは？

>>463

一旦実数が構成されて、それをもとに距離、完備、と言った概念が構成されれば
RはQの距離に関する完備化だと解釈できるよ、ってことです。

つーか一目見てイコールじゃねぇだろ
≒←これだろ

>>464
そういう意味ならいいと思うんですけどね、
なんか距離空間の完備化で定義してるように読めなくもなかったんで。

「距離」という言葉を使わずに位相でやれば実数の定義になるかな・・・

>>465
ﾆｱﾘｰｲｺｰﾙでよろしいでしょうか？

こんな不細工な式を必死で擁護するやつらの気が知れん。
Σ[k=1〜∞]{9/(10^k)} = 1
こう書けば混乱せずに済む話だろ。

０．９９・・・＝１は俺的に×だな。

>>463
「距離」自体、実数値であることが前提であるから、
実数が定義される前に距離という言葉を使うのは議論が前後してるって事ですよね。

じゃあまだ距離という概念が入る前の擬似距離として、有理数の差の絶対値を
有理数距離とでも呼んで、その有理数距離に対して完備化した・・・という言い方はどうでしょう？

>>468
＞０．９９・・・＝１は俺的に×だな。

何もわかってないんじゃんオマエ。

>>469
実は同じことを後で考えました。それならいいかも。

べつに１≠０．９９９９・・・・・・だと信じたいやつは
信じてりゃいいじゃん

信じるか信じないかの問題なんだ。へぇ。

>>469

難しいと思うよ。有理数距離が入った空間を、有理数距離について完備化
すると、相変わらず二つの元の間の距離は常に有理数値なんだけど、
コーシー列はちゃんと常に収束する、という空間が出来上がるはずで、
これは明らかに実数全体の為す空間とは違う気がする。ていうか、そんな
空間あるのか？

かといって、有理数距離の入った有理数の空間を拡張するときに
距離関数の値域も一緒に「実数全体」に拡大することにすると、
鶏が先か卵が先かみたいなことになりそうだ。

>>474
その辺でちょっと引っかかってました。
有理数距離に関して完備化した空間は定義できるけど、
そこには必ずしも有理数距離は入ってないんですよね。
実数の場合なら開区間ぐらいは定義できるので位相は入るんですが･･･

話ずれるけど、p進数環は距離が有理数かつ完備な空間の例では。

0.9999999･･･*100
はいくつだよぼけ

>>476
百

>>477
違う
99.9999999‥‥

>>478
一緒じゃん

これ俺がリア厨の時に証明したよ
1/3=0.33333.......
0.3333....X3=0.99999999999....
よって1=0.9999999999.....

無限小数→実数の写像を実数の少数展開の逆写像で定義すれば
0.999...が定義域に入らないから好き勝手言えるぞ。喜べ厨ども。

＞実数の少数展開の逆写像で定義すれば
実数の少数展開は単射なんですかそうですか。

で、結局どっちなのか結論出たか？

>>483
目玉焼きにはソースか醤油かの問題のようなもの
漏れはソース派だがな

目玉焼きには塩だ

胡椒もありだよな

何もかけないだろ。目玉焼きオンリーで十分美味い。

つまり
1は1、0.999･･･は0.999･･･比べる必要はない。
それぞれ単独で十分興味深い。
ということか

4a2+4a+1のとき方をお願いします。
因数分解です。

18a2-50b2
のようなとき方も教えてください・・。
自分ばかだな・・。

よろしくおねがいします。

>>482
単射。実数xがあったときa≦x＜a+1を満たす整数aは一意に定まるだろ。

単射。
単射。
単射。
単射。
単射。
単射。
単射。
単射。
単射。
単射。
単射。

まぁあれだ、９が無限に続くってのがすでもう実感しにくいからよ、
色々考えたってビミョーな答えしかでねーんじゃねーの。

とりあえず１＝０．９９・・・でいいじゃん。そっちのが便利なんだしよ。

1=0.9999
イクナイ！！
結論だせ

>>493-494
お前等の馬鹿さ加減には笑いがこみ上げてくる。

>>495
じゃぁお前完璧な証明をしてくれよ。
中途半端なのはやめろよ？
がんばれよ。

9/9=1、(1/9)*9=0.999…
むずいね。

>>496
証明も何も、過去ログ呼んでまだ493-494見たいな事を言っている奴は(ry

>>496
定義によりけりな話を証明とか言ってる奴見てらんない

>>497
関数電卓でそれやったらどっちも１になった。

寝よう。

こいつらアホ

>>480
（ ´,_ゝ｀）ﾌﾟｯ

>>499
元発言者は定義によりけりみたいなことを言って、証明できるって帰って
きたから証明せよと言っただけなのでは？よく読んでいないのは君。

1/3=0.33333.......
0.3333....X3=0.99999999999....
よって1=0.9999999999.....

つーかこれに矛盾がないなら1=0.999･･･だろーが

ロビーのスレで【昔の】級友を探して【見ないか】というスレで
級友の名前晒して偶然晒された級友がそこにいて、感動のご対面！
http://tmp2.2ch.net/test/read.cgi/lobby/1074914875/l50
しかし、名前を晒された事に友人は激怒、只今祭り状態！
（名前を晒したのが男、晒されたのが女）


　

いい加減糞スレ

0.999...の意味をきちんとすればそれで終わりじゃん。
って、おわんねーのかこのスレはよ。

糞は腐っても糞。

少なくとも10進法の中では
1=0.999...っていうのを“認めるべき”だな。

現在厨１なんですが、凄いです
見れば見るほどに不思議で・・・

ところで、
1=0.9999999・・・
だったら、このうちの一以下の「1」の数字も0.999999999・・・なんじゃないですか？
ぜんぜん意味解らなくてすいません

0.1=0.0999999…　とはなるのか？

1/30=0.03333.....
ということからして同じことが言えるか、と。

>>469>>474>>475
実数の定義を勉強してください｡

>>512
じゃあ1は無限に小さくなる数字って事ですか？

まだ議論しようとする奴らへ
>>9を読め
4)は問題外として
3)はリア厨リア小まではそれで納得しとけ。
リア工以上は1)を理解しとけ。

ということでここは超準解析の話をするスレッドとなりました｡

>>513

漏れも実数の正確な定義って知らないんだよね。大学の教養レベルの「実数の
定義」は判るんだが、集合論の公理系から導き出される定義がどうなってるの
かは知らない。

超準解析でも結局は標準部分とって1=0.99…とするんじゃないのか？
とりあえず超準解析で語るなら
ある超自然数Hをとって0.999…=1-10^(-H)と定義する
（小数点以下9がH個並んでいる）のでいいのかな。

>>516
整数Zまで定義されてれば、有理数Qをその商体として定義して
整数からの順序を入れて全順序集合としてから
絶対値距離を入れて距離空間にする｡
この後、有理数のコーシー列全体のなす可換環Pを考えると
0に収束する元全体:IがPの極大イデアルとなるからP/I=Rとおいて
RにQから定まる順序および距離を入れて実数Rの出来あがり。
こうやってRを定義するとRは完備距離空間になる｡

俺が知ってるのはこんな感じ。
ゼミで一通り証明させられたんだけど結構しんどかった｡
(特にRの完備性のとこ)

奥が深いですね。
もう終わりにしてもいいですか？

>>518

それは知ってるんだけど使用されるすべての操作が、集合論的に
許されてるのかどうか知らないって事。

既に終わってるようなもんだが

>>RにQから定まる順序および距離を入れて実数Rの出来あがり。
ここのところ変だな、
RにQから定まる順序をいれ全順序集合にする｡
そこで改めて(R*)：Rの0以上の元全体として
|・|:R→R*という絶対値写像でRを距離空間とする｡といったところだな｡

このやり方だとRを作る前までは距離は有理数距離までしか定まっていなくて
Rを全順序集合としたところで一般の距離空間の定義を作ったばかりの
Rを用いて再定義する必要がある｡

>>520
操作といっても順序、距離を入れる以外は
代数的な操作しかしてないわけで、元の整数が定義されてれば
よいのではないかと思うんだけれど、どうだろう？

>>518
その構成法を細かいところまで証明したんですか・・・辛そう

>>518
ＺＦＣからＮ、Ｚ、Ｑ、Ｒ、Ｃ
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1074200704/

OK 0.999999……を初項0.9、公比0.1の等比級数として計算だ

0.9/（1-0.1）＝1だヽ（｀д´）ﾉｳﾜﾝ

>>526
等比級数として「極限」を取るんだろ？
アホか

釣れますた。

久々に来た＾＾
0.9999999999・・・=1だから99.9999999・・・=100という説明ではバカには分からないかね？

>>459
は！？何言ってんの！？お前が謝れよ！ハゲ！

数学板も地に落ちたな

>>530
441と436は別人ですよ。くだらないことですけど一応。

あ〜あ。またアホがやってきた。

1 ：ひろゆき＠管理人★：04/01/27 20:13 ID:???
ハンマー投げゲーム機能つけてみました。
名前の欄に『murofusianasan』と書き込めば
【６０ｍ】とか【７５ｍ】とか記録が出ます。
数値はランダムで０〜１００くらいまでありますよ。。。
お暇なら遊んでください。

2 ：あきるの＠古参 ：04/01/21 14:14 ID:aoKs3/sl
>>1ひろゆきキター
氏ね。

3 :【５８ｍ】 ：04/01/21 14:14 ID:oeP2saMV
新機能やってみる。

4 :【７４ｍ】 ：04/01/21 14:15 ID:kiOps05/
どうだ！

87m世界新記録

>>535
バカ。h はいらねーぞ。

又ボーグを呼ぶぞ

どうかね？

　

通りがかりですみませんが、
数列の極限・微分積分・近似の高校程度の内容を知ってる方はいますか？

>>540
逆に知らない香具師がいるのかと問いたい

>>541
いや、しらん奴はおるだろ。

0.999999999・・・・・・
= 0.9 + 0.09 + 0.009 + ・・・・・・
= 初項0.9，公比0.1の無限等比級数
= 0.9 / (1 - 0.1)
= 1

（　´ Д ｀）＜ま〜もっとわかりやすい話だと〜1/3＝0.333・・・・・だけど〜
　　　　　　　　0.333・・・・・・×３≠１だからね〜ま〜これは多分これであってるはず〜
　　　　　　　　limｎ→∞＝0.999・・・・・・・＝１だったはず〜要は収束する〜
　　　　　　　　ま〜確かこうだったはず〜0.999・・・・・＝１じゃないんだけどね〜

　　　 　 ∧▲β 　
〜′￣￣(メﾟДﾟ）＜良スレ保守
　UU￣￣　U U　　

>>543
その無限等比級数が収束する理由を述べよ。

>>544
1/3=0.3333.....であること理由を述べよ。


おまいらいい加減気づいてくれよ。
順序がメチャクチャなんだよ。

>>546
では、順序正しく説明してやってください。厨がこれ以上跋扈せぬためにも。

無限ループとはまさにこの事

>>544
突っ込む気にもなれない、
という突っ込みを敢えてしておこう

ループしてると言うよりははまってる（止まってる）。

ということはさ

99.9％の確率で…
というのは確実に起こることを指すわけだ

正直すまんかった

ところで今更なんですが、435を読んで少し疑問に思ったんですけど、例えば自然対数
lim[n→∞](1+1/n)^nを[nはいくらでも0にちかづく](1+n)^(1/n)という風に書き換えて
から、nに、0に収束すると一般に言われる（ただし有限で収束しないで常に正）適当な
数列を当てはめて考えると、nが0とみなされたらn*(1/n)=1という性質が使えなくなって
eを考えられなくなってしまうような気がするんですけど、どうでしょうか？

（あくまで435を読んでみての疑問で、完備性とかいうのを理解した上でのものではない
ので、おかしなことを言っているかもしれなせん。）

>>553
日本語を書いてください｡

>>553
n=0での値が定義されてなくても、n→0での極限が存在することはありますよ。

>>553
有理数列を実数とみなす場合には、数列なら何でもいいわけじゃなくて
差がどんどん小さくなっていくコーシー列に限るんだよ
（コーシー列の正確な定義は教科書にあたるか検索するかしてくれ）。
nの方に0に収束する数列を当てはめたら、
1/n の方はコーシー列じゃなくなるんで
こっちには対応する実数が存在しなくなるわけね。
これで質問の回答になってるかな？

ultraproductとかの話は蛇足になると思うので割愛。

>>553
T_n=(1+1/n)^nを2項展開してみるとΣ[k=0〜n]nCk(1/n)^k
これの第ｋ項目を見るとnCk(1/n)^k=(1/k!)Π[m=0〜k-1](1-m/n)
となっている｡
従ってｋを固定してn→∞とすると"第ｋ項目"→(1/k!)

ここでS_n=Σ[k=0〜n](1/k!) という数列を考えてみる｡
この数列は上に有界で単調増加であると容易に分かる
従ってS_nは収束することが分かる。そこで数列{S_n}に代表される実数をEとおく。

実は数列{T_n-S_n}は0に収束することが示される｡
よってT_n=(T_n-S_n)+S_nもまた収束することが分かり、{T_n}が表す実数もEであると分かる｡

誤解を恐れずにかけば
Eは1+1+1/2!+1/3!+1/4!+･･･+1/n!+･･･ という実数であるといえる。
このEが普段、自然対数と呼ばれる実数にあたる。

>>553
ちなみにlim[x→0](1+x)^(1/x)という風に書き換えると
xを有理数列にとっても一般項は必ずしも有理数とはならないので都合が悪い｡

52 名前：ゲーム好き名無しさん 投稿日：04/02/05 07:26 ???
みんないいか？式を使わないで説明するぞ
これはアキレスと亀のパラドックスとおなじ問題をはらんでいる

アキレス〜の方は時間の取り扱い方に問題がある。
アキレスがt秒前亀のいた位置についたとき亀はその前にいて、
またt秒後には・・・なんてループは無限に続けられる。
限りなく亀に近づけるけど追い越せも追いつきも出来ない。
けれど現実にはアキレスが亀を追い越す。

ここで出てきたループの個数が小数点以下に並ぶ9の個数と同じ役割をはたしていて、
0.999・・・の9の個数に注目しすぎているとあたかも1ではない（1にはならない）かのように
錯覚してしまうだけ。表現方法に違いはあるけれど同じ量をあらわすもの。

ハッテン
ではなぜアキレス〜の方は直感の方が正しく、0.9999・・・では説明を聞いても疑問が残るのだろうか。
これはおそらくアキレス〜は考える舞台が時間経過を持っているため
経験的にも追い越すことが自明である。
しかし0.9999・・・・については”0.9999・・・”の厳密な値よりも先に
”9が何々個並んでるよ”という実数というより自然数的な第一印象が先行してしまい
上に書いたような思考をしてしまう人が多いのではなかろうか。

レスどうもありがとうございます。

>>554
しれなせん→しれません

>>555
それは別途定義するということでしょうか。それで済ませるのも確かにありだとは
思うんですけど、どうして式の延長線上に無いのか考えてしまうのです。

>>556
確かに定義上は無いとしか言えないのかも知れませんが、それでは1/∞とはなんなの
か不思議です。あらゆる有限の数ではもちろん無いですし、０に近づく数列が全て０と
みなされては、新たに何か当てはまる数を考えることもできない気がします。

>>557
(1/∞)*∞=1だけどm/∞=0。この無限って不思議です。これでｅが数直線上に存在する
と信じる程度に実在性を感じるのなら、確定した無限小の実在も信じていいような気が
します。確かに1+1+1/2!+1/3!+1/4!+･･･+1/n!+･･･なら問題はないですが･･･。

>>558
それでも0と∞を表裏一体の概念として捉えたいのですが、なんとかならないものでしょうか。

定義もへったくれも無い直感のみの話ですいません。おそらく穴だらけです。

直感のみの話が悪いとは言わないが、それは数学ではない。だから、
結局最終的に「論理的に納得する」気がないなら、数学板に来る意味は
ないと思う。

無限大とか無限小なんて’数’は存在しない。

>>(1/∞)*∞=1だけど
一般には(1/∞)*∞は不定形で値は定まりませんよ。

>>それでも0と∞を表裏一体の･･･
都合が悪いといったのはeをRの元として表現するときには
対応する有理数列をとるのが分かりやすくかつ一般的ということが理由。



実数の構成の仕方から有理数のCauchy列全体(において差が0に収束するものを同一視をしたもの)
をRとしているから、対応する有理数列がCauchy列であることが示されれば、それは実数であると云える｡

実数の小数展開などもその一例
小数展開のｎ桁目までを一般項とすればそれは有理数列でありCauchy列であるから対応する実数が一意に存在することとなる｡
このスレッドの主題である1と0.9999･･･を比べてみても
前者は一般項としてA_n=1をとっているのに対し、後者は0.999･･･のｎ桁目までをa_n(つまりa_n=Σ[k=1〜n]9*(10)^(-k))ととっているから、
A_n-a_n=10^(-n)→0(n→∞)となり両者の表す実数は等しいということになり
これを1=0.99999･･･と書いているに過ぎない｡

>>対応する実数が一意に
これは有理数のCauchy列を一つ指定すれば一意にということ｡
実数に対して小数展開が一意的という意味ではありません｡

>>563
(1/∞)*∞が不定形だと、そもそもの二項展開が出来ないような気がするんですよね。
微分でもそうだと思うんですが、変数の時点で散々通分やらなにやらやっといて、
最後にm/∞=0なりn=0と持っていくのがなんか不思議なんです。

>>実数の構成の仕方から・・
定義しなけりゃ始まらないのは確かにそうだと思うんですけど、なんていうんで
しょうか、先験的に持っている実数観と違うってゆうか、ようはこのやり方で数
直線上の点が尽くせるのかっていうか。数直線上の点って何だ？と言われれば
それまでですけど。無限大方向にも無限小方向にも例えば逆数を使って同じ構造
を見て取ることはできないだろうかとか考えてしまうんですけど、やっぱりおか
しなことなんでしょうか。

>>565
超準解析やれ。

えー、高等数学なんてモンに縁のない俺としては、
1と0.9999……を同値と見なしても何ら影響ないということでFA？

実際のところ、両者を違うモンとして計算して、その結果に有意な差が出てくるモンなのか？

>>567
「高等数学」でその差が0に収束するって議論してるんだから
君の態度だったらなおさらだろう。

>>565

lim[n→∞] (n)/(n^2) = lim[n→∞]1/n = 0

が通分できるのは、分母と分子が一緒に連動して大きくなっていくからだろ。

lim[n→∞]lim[m→∞] f(m,n)
lim[m→∞]lim[n→∞] f(m,n)

は一般に異なる極限を持つ。だから単に(1/∞)*∞と書いても

lim[n→∞](1/n)*n = 1
lim[n→∞]lim[m→∞] (1/m)*n = 0
lim[m→∞]lim[n→∞] (1/m)*n = 発散

のどれだかわからない

>>569
大きくなっていくという有限のイメージの延長線上に∞があるわけではないんですよ。
なぜなら最後に1/∞を厳密に0とするからです。

ちょっと、みんな何難しいこと言ってんのさ。
1の方が0.99999999…より大きいんじゃないの？
うちのばあちゃんもそう言ってるよ。

>>570

何が言いたいのか全然わからんが、「有限のイメージの延長線上に∞があるわけではない」
からこそ、「1/∞」なんて表現に意味が無いんだろ？

もし、>>569の「分母と分子が一緒に連動して大きくなっていく」という表現が気に入らない
なら、こういう風に言ってもいい。

任意のnに対してn/n^2は1/nに等しい。したがって数列{n/n^2}の極限と{1/n}の極限は等しい。

1/∞ = 0 です。定説です。高校で習いました。

ちょっと、みんな何難しいこと言ってんのさ。
1は0.99999999…と同じなんじゃないの？
うちのばあちゃんもそう言ってるよ。

lim[x->±∞]1/x = 0 です。定説です。高校で習いました。

>>570
お前いい加減にしろや｡
極限の定義すら理解してないのに極限について語る資格はない｡

お前らは愚地独歩の言葉を知らんのか

>>572
極限という言葉で、変形途中の式と結果を分けて考えるのなら、それでは純粋な
値の置き換えになってしまうとは思いませんか？１について考えていたものが
突然２を突きつけられるようなものだと思うのです。
（着目している性質にも拠るとは思いますけど）

>>578
お前がヴァカだってことはよーくわかったから、もう黙ってろ。

数式ができた

f(x)=x/x+1　とすると
f(2)=0.66666....

f(9)=0.9
f(99)=0.99
f(999)=0.999
f(10^n-1)=S(n)=1/1+(10^n-1)^-1
n≧１、nは整数

(^^)

>>580
括弧を使ってくれ。

>>578

何が言いたいのかほんとにさっぱりわからないんだけど、

結局、数列{a_n}の極限aっていうのは任意のεに対して、
或るNが存在して、n>Nなるnに対しては、|a_n - a| < ε
となる、という事でしょ？

君はこの定義と照らし合わせてどこにどういう矛盾が出てるって
言いたいの？

ちょっと559を読んで考えたことがあるんですけど（この説明自体は1=0.999…の証明
にはなってないと思いますが)、飛んでいる矢は止まっているっていうパラドックスが
ありますよね。あれと無限小を０とみなす発想って同根だと思うんですよ。動きってい
うのは移動距離と時間の関係性で捉えなきゃいけないのに、この話では、時間を細分化
していけばいずれ移動距離が０になる「瞬間」というものに至るって考えるのが肝です
よね。もちろん、０は何を掛けても０ですから、もはや｢動き｣という関係性を失っている
わけで、けっして細分化の延長線上には無いと思うんです。という訳で、｢量｣ではなく
｢性質｣に注目すれば、無限小と０との違いが認識できると思うんです。

>>583
その定義では、必ずしも一般に言われる収束先を一意に指すことにはならない
と思います。なぜかというと、その定義ではまず、何はともあれεを指定しな
ければなりません。そして、εに対して|a_n - a|<εという関係を満たすように
適当にaを関連付ける方法は複数有ります。もし、"任意のε"という条件を満たせ
るのは|a_n - a|=0の時だけだとお考えでしたら、逆に、|a_n - a|=0を要求する
εを指定できるだろうかということを考えてみればいいと思います。

>>585
あなたの考える「一般に言われる収束先」ってどんなもの？定義を教えてよ。

>>585
君は実数の定義も知らずに収束について考えているのかね？
(Y/N)？
まずはこの質問に答えてもらおうか｡
拒否した場合、以下では君は議論する気が無いものとみなす。

>>585
ε-δ位は学習してきてからレスしてくれよ。

>>585

定理:
数列{a_n}がa,bの二つの収束先を持つとするとa = bである。

証明:
|a - b| = hとおく。h != 0とせよ。
{a_n}はaに収束するので、あるNがあって、Nより大きいnに対して|a_n - a| < h/3
また{a_n}はbに収束するので、あるMがあって、Mより大きいnに対して|a_n - b| < h/3
M,Nのうち、大きいほうをLとする。Lより大きいnに対して、|a_n - a| < h/3かつ|a_n - b| < h/3
したがって、|a - b| < (2/3)*h。
ところが、|a - b| = hだったので、これは矛盾である。したがってh=0である。

上の定理から下の系が得られる

系
数列の収束先は、存在するとしたら一つである。

あと、ゼノンのパラドックスは「時間は数学的に扱える」という仮定自体
間違っている可能性があるから、数学の問題ではない。

>>586
それは「あなたの考える収束先です」ってのは駄目ですか？

>>587
Yesです。なんていうんでしょうか、数直線上の点っていうか、作図でも
迫れて、そのものズバリが言えなくても条件を並べて言及できたり。一言で
言えば、”一言でいえないほど奥の深い何か”です。ていうか、現代数学で
実数はどう定義されているのか教えてください（理解できるかは別としても）。

えーとですね、私は定義から理屈を組み上げているんじゃなくて、全部直感
に頼ってます。数学用語を駆使されたらお手上げなんで、そちらで私の書いた
事を理解してから、わかりやすく反論してください、っていうのは虫がよすぎ
ますよね。という訳で、議論は無理っぽいですし、とりあえず言いたいことは
言ったんで、またしばらくROMってることにします。

591みたいのが一番性質が悪いんだよね。言いたい事は言うくせに、
厳密な話になると「お手上げです」って逃げ出して理解しようとしない。

だいたい「直感」という表現が悪いんだ。なんだか「直感」と言って
しまうと「人間に生まれつき備わった、真実を見極める感覚」という
ような気分になってしまうが、実際のところはそれはただの「偏見」。
聞こえのいい表現は止めて、「全部偏見と思い込みに頼っています」
と正直に言いなさい。

>>591
御返答ありがとうございます。

数学における実数の定義は知らないようなので、このスレッドで議論する気があるのなら
↓を参考にするか、過去ログを読むか、適当な数学書を読むことを要求します｡
ＺＦＣからＮ、Ｚ、Ｑ、Ｒ、Ｃ
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1074200704/

それとこちらもあなたのHNに対し返答しましょう。
感想だけならよいでしょう｡

最後に
実数が実在するというような夢は捨ててください｡
実数はただの現実のモデルの一つです｡

>>584
　ツェノンのパラドクスの一つか・・・

　この話にもしも乗るのだとするなら、曰く、
「無限小」と「０」は違う概念でとらえないといけない、
ということをいっているのだと思われるのだが、
写真でとらえた瞬間の絵が止まっているのに対し
その被写体が動いていたのは間違いない。
すなわち、「０」と「無限小」を区別して分けて考える
こと自体矛盾を含んでいるんじゃないの？
　と返すのはいかがだろうか？

全部偏見と思い込みに頼っています。

これでいい？以降本当にROM。

>>５９２

同意。
というわけで、このスレでは「直感」という言葉は使用禁止。「思い込み」「偏見」を代わりに使うように。

>>595

うむ。良い数学者は自分の直感が偏見と思い込みの塊である事を知っているものだ。

これ、外出先で思いだして
小学生に説明するときはどうすればいいんだろ？
と思って、1分ぐらい混乱したけど
自分のなかで解決した……

>>598
小学生に説明すると、どんな説明をしてもごまかしになってしまいそう｡
まあ、小学校の間はごまかされてりゃいいんだけどね｡

地味に600

601

６００

無限大の定義をお忘れですか？

じゃぁ違うってことで。

>>603
ﾌﾟ

　　　　　　　 　　＿,,,,,,,,,,,,,,,＿＿
　　　 　 　 ┌''ﾆ三三三三三ミﾐﾐ=､,
　　　　　,.-┤三三三三三三ミミミﾐ,＼
　　　 ,／,彡l三三三三三三ミミミﾐﾐﾐﾐﾐ＼
　　　/〃,彡ﾚべｷ三三三三ミミミミﾐﾐﾐﾐﾐヾ､
　　,//〃彡{" 　 　 ~ﾞ''=ﾆ三ミミミミﾐﾐﾐﾐﾐﾐﾐ;;}
　　レ〃三l; ,, 　　 　　　　~ﾞ"''ｰｰｰ=弌ﾐﾐ三;}
　　ｌ/彡三;j , . - ' '　　 , 　 :._,,..-―‐‐､ヾ;三j
　　,!;三;三j ,.-'''~￣`ヽ ｉ　　::.,,..-―‐'' ､_!'i"
　　'ヾ;三;;j　,.:-'ﾆ二ﾆ'⊥　　≡~￣　　　 !ｉ
　　　 ヾツ　;　　 　 　.:;ｌ 　 　　ｉ;_ 　 　 　 !ｌ
　 　 　　l!　;!:: 　　 　':;ｌ,_;;..　 r-'　ヽ､,　 　ｌ !
　　　　　 .} ;{:::.　　　, 　 　￣　　 ヽ, 　 　 |"
　　　　　 {,,.j::::;::　::''　_,. -―　''''ユ∧　　 ! 　 　 　あんた達、気持ち悪いわよ。
　　　　　 　 ﾞ:, ヽ.　:.弋;;;:::ﾆニニ‐"　 　 /
　　　 　 　 　,入.ヽ, ､　　= = =　 　 　 ,/
　　　　　 _,,.:ぐi. ﾞヾ:; ゝ.. 　 　 　 　　ノト､
,,,.. --::ｧ'':::::::::::ｌ#ｉｉ_　ﾞヽ:;,_　　　　,.-''　j#;ｌヽ
:::::::::::/::::::::::::::::::!####ｌｌｌｉｉｉ~~ﾞ""~,,,,.::ｉｉｉ##ｌ::::＼
::::::;/:::::::::::::::::::::::::l#################!::::::::::::ヽ､

高校レベルで恐縮ですが、
0.666...の分数を求める問題で 0.666...をXとおき
10X-X=9X 6.66...-0.66...=6
9X=6 X=2/3 とする解法があります。
色々な無限少数をこのやり方で分数にできるんですが
0.999...だけは 1になるのは何でですか？
また0.999...は分数になりますか？

なんていうか・・・
低レベルな議論をやってるな
もし
1=0.999999999999・・・・・
だというなら
1-0.999999999999・・・・・=0
という事になるだろ
これはまぁいいとして
では
0.999999999999・・・・・-1 <0
これはどう処理するんだ？（苦笑
違うものを同じだと強弁するのはいいけど
辻褄は合わせてほしいものだな

>>608
1-0.999999999999・・・・・=0
を「まあいいとする｣のなら
0.999999999999・・・・・-1=0
だって「まあいい｣としなくちゃ。

それができない人はこの議論と
は無縁の生涯を送る。

1-0.999999999999・・・・・=0.00000000・・・・・
右辺の小数点の下はどこまで行っても０
だから　0　でいい
こんなことは小学生でもわかる
0.999999999999・・・・・-1
はどこまでいってもマイナスだろ
こんなものをまぁいいとしなくちゃ証明できないのでは
低レベルと言われても仕方が無い（苦笑

>>610
どこまでいってもマイナスだからなんなの?
0.00000000・・・・・=0なら
0.999999999999・・・・・-1 = -0.00000000・・・・・
= -0 = 0
じゃん。609の言うとおりだと思うけど。
0 を正数だと思ってて、負から正になるのはオカシイとか思ってるの?
0 は正でも負でもないんだよ?

あと、「608ではないが」と言いつつ、句読点を使わず、
「（苦笑」とか608に文体を合わせてるのは、釣りですか?

0.99…を10倍したら9.99…だけど、0.99…と9の数は変わらない訳ですよね？
それじゃ、
0.9*10-0.9=8.99999…991じゃないんですか？

俺言ってること間違ってる？

＞0.99…を10倍したら9.99…だけど、0.99…と9の数は変わらない訳ですよね？

「変わらない」と言えば「変わらない」けど、
無限個あるから、この先の話が違ってくる。

「0.9」のｎ＋１桁目は９。→「0.9*10」のｎ桁目は９。
「0.9」のｎ桁目も、もちろん９。
だから、0.9*10-0.9は、小数点以下はどの桁をとっても０。
繰り下がりも起きないから１の位は９のまま。
だから 0.9*10-0.9=9 。

というのは、あくまでも「証明」ではなく「説明」なので、
これで納得するならそれでよし。
納得できないなら、別の説明を探してくれ。

１さんへ。

僕は１さんに憧れて、0.99…を始めました。
僕が0.99…を初めて、もう５年が経ちます。月日は早いものですね。
やっと、僕も１億桁を突破しました。
この間、なかなか１になれないから止めようか本気で悩みました。
本当に辛い仕事です、１さん。
でも母に電話で
「お前は確実に１に近づいてるよ。もう少しだから頑張りなさい」
と言われました。涙が出ました。
一休みもこのくらいにして、僕は仕事に戻ります。
１日でも早く１になれるように頑張ります。

さようなら。また手紙書きます。　0.99…より

>>612
> 0.9*10-0.9=8.99999…991
二箇所とも 0.9 のあとの「9…」が抜けてる。

0.99… = �納m=1,∞]9*10^(-m) = lim[n→∞]�納m=1,n]9*10^(-m)
であり、lim をとるのと足すのは順序を入れ替えれるので、
10*�納m=1,∞]9*10^(-m) - �納m=1,∞]9*10^(-m)
= lim[n→∞](10*�納m=1,n]9*10^(-m) - �納m=1,n]9*10^(-m))
= lim[n→∞](8.99999…(9がn-1個)…991) = 9
となる。こういう風に見ると君の言ってることも正しいと言えなくもない。
もちろん、
10*�納m=1,∞]9*10^(-m) = �納m=1,∞]9*10^(-(m-1))
= �納m=0,∞]9*10^(-m) = 9 + �納m=1,∞]9*10^(-m)
として、10*�納m=1,∞]9*10^(-m) - �納m=1,∞]9*10^(-m) = 9
とするのも正しい。

>>614
おかしいな。
７千桁あたりで1になってるはずだけど。

> lim をとるのと足すのは順序を入れ替えれるので、

この場合は引くだった。

>>615
すいません、俺はたまたま覗いていた馬鹿者なので
limとかΣとか訳わからんのです。
1=0.99…なら、0=0.00…1もまた然りですか？
∞=∞-1もまた然り？

>>611
成る程な。
ループするわけだ。
0 を正数だと思っててって何？
馬鹿？
正数なわけ無いじゃん。
1-0.999999999999・・・・・=0.00000000・・・・・
右辺の小数点の下がどこまで行っても０なら０であって正数でない。
0.999999999999・・・・・-1
はどこまでいってもマイナスだから０ではない。
マイナスと０は違いますよ（藁
逆に０を負数とでも思ってないと言えないな貴殿の説は。

>>618
> 1=0.99…なら、0=0.00…1もまた然りですか？
わからんところをこういう表現するのは申し訳ないんですが、
右辺を lim[n→∞]10^(-n) と見れば正しいと言えます。
ただ、8.99999…991 とか 0.00…1 という表現は基本的に使いません。
…のところに無限個の数字がある場合は、
…より右に何が書かれていようと値は同じになるので。
∞=∞-1 となると両辺の記号が何を表してるかにもよりますが、
どう定義しても発散してると思われるので通常の意味では正しいとは言えません。

lim や �� は別に難しいもんじゃないので、機会があれば勉強してください。

>>619
お前はどうしようもないアホだな。

お前が言ってるのは

0.999999999999・・・・・-1=-0.00000000・・・・・
右辺の小数点の下がどこまで行っても０なら０であって負数でない。
1-0.999999999999・・・・・
はどこまでいってもプラスだから０ではない。

と同じことなんだよ。

> マイナスと０は違いますよ（藁

0 はマイナスでもプラスでもないけど、
負数の数列でも正数の数列でも 0 に収束することは可能だよ。
さすがに 0 を正数だとは思ってないみたいだが、
負数から負数で無いものになるのがオカシイとか思ってるみたいだな。

>>620
表記の仕方に間違いがあって、申し訳ありませんでした。

ただ、最後のほうに聞きたかったのは、
「無限大は無限に大きいから、何を引いても数は変わらないのか
無限大から無限大を引いても０にはならないのか」
ということです。
わけわからん質問ですいません。

>>622
> 表記の仕方に間違いがあって、申し訳ありませんでした。
間違ってるからダメって言ってるわけじゃないっすよー。

最後のほうのことは、通常の意味では正しいとは言えないのですが、
通常とは違うある意味では正しいと言えます。
ただ、そういうような意味でも、
無限大(+∞)から有限の数を引いても無限大とはなりますが、
無限大から無限大を引くのは一概には言えません。
無限大にもいろいろあって、それらの間で引き算をしたときには、
+∞, 0, -∞ の三つのうちのどれかになるとは言えないこともないです。
割り算をするような場合はその三つとは限りません。

またまた馬鹿が沸いてきたな、お前>>619過去ログくらい嫁と・・・｡
というより0.999･･･を取り違えているのか？

>>619
引き算ってのは順序を入れ換えても絶対値は同じなんですよ。中学校で習ったでしょ。
1-0.999…が0で0.999…-1がマイナスだと絶対値が違っちゃうから変だと思わない？

>>624
過去ログにも 0 と正負の関係が分かってないバカなんていないんじゃないか。

まったくです。
過去ログも読めない馬鹿が沸きましたね。
0.00000000・・・・・
は行くも行かないも最初からずっと０ですよ。
決してプラスが０になったわけではありません。
0.999999999999・・・・・-1
はマイナスです。
それともそのうち０に行きますか？（苦笑
それはいつですか？７千桁あたりですか？

> さすがに 0 を正数だとは思ってないみたいだが、
> 負数から負数で無いものになるのがオカシイとか思ってるみたいだな。

正数から正数でないもの(0)になるのは認めるくせしてね。

>>626
正負の関係も何も、0.999･･･=1が分かればよいわけだ。
そこから0.999･･･-1=0 が導けないのは池沼以外の何者だ？
>>627
お前のことだよお前(w

>>627
まったくですってお前のことバカって言ってるんだよ。

>>627
1-0.999999999999・・・・・
と
-0.00000000・・・・・
は
> 行くも行かないも最初からずっと０
ですか?

今までも、何人も電波はいたけど

a - b = xなら、b - a = -x

すら認めないやつがでてくるとは。世も末だな。

っていうか無理数も知らんやつは氏ね

ＤＱＮが現れるとスレが盛り上がる法則

ここに書き込んで、スレが盛り上がったら自分がDQNだとわかるという
DQN判定スレだな。便利かも。

記数法の帰結としてスレタイにある等式が気づかれたのは
いつごろの話なんでしょうか?

極限の考えが出てきてすぐなんじゃないの。

小数が考え出されてからそんなに時間はいらないと思うけど

この世に無限なものなんて存在しないんです
存在しないものを存在するもの（有限なもの）と絡めて議論することは不可能なんです
無限なんて人間が創り出した妄想に過ぎないんです

さあ、納得しろ

何で「有限のものは存在する」とわかるのかが不明だ。

「無限に続く」ものを考える際に
その続くときの「スピード」を導入したら俺の中でいろいろスッキリ解決

存在するとか言ってるのみてらんない

抽象化された　数学上の概念事物について
”この世に存在する/しない”
とはどういう状態のことをさすんだ＞639

　　　　　 　 　 / .:.:.:l:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:.:. :.:.:.:..　|　 i　　　　 l:.　 l 　 l
　　　　　　 　 l　.:.:.:l:.:.l:.:.:.:.:.:.:.l:.:. :.:. i:.　 |:.　!:.　 i　l:. l:.:.　l 　 l
　　　 　 　 　 ! .:.:.:.l:.:.l:.:.:.:.:.:.:.l:.:.　:.: |:.　 |!:. |:.:.:i |:　l:. l:.:.　l 　 l
　　　　　　　｜:.:.:.,':.:.|:.:.:.:.:.l:.:l!:.. l!ノ|l:.　 |l:`ト-l-l!､_l:.: l:!　 l 　 !
　　　　　　　｜:.:./ :.:.|:.:.:. :.:!;:|ｌイ|l! | !:.: ハ|,.lr元ミ:|lヽ |:ヽ l　ｉ l
　　　 　 　 　 ! ./ ｲ:.:.l:.:.:／|:.l,r｣汽ﾐ l^/　 !彳:::ﾄｲl}|:.ヽ| .:ヽ!｜l
　　　　　　　　l/':.:.|:.:.:l:.j!:.:.:〃::::ﾄｲｌ　　　　　辷;ソ,. |:.　i .:.:　 ﾄ､!
　　　　　 　 　 l :.:.:.l:.:.:!ﾊ:./{!辷ｲン 　 　 　 　 　 　 |:.　| 　 |｜
　 　 　 　 　 　 l :.:.:.l:.:.l:.:.':.　l ￣　　　　　 ,　　"""/|:　j　　ｌ l
　　　　　　　　　l ﾊ:.:l:.:.l:.:.:.　|、"""　　 r‐ 1　　 ｲ:/|: /:. l:ﾊ l
　　　　　　　　　l'　|人:.:ﾞ､:.:. |　l` ｰ-　..＿_. ィ´ |:ｌ':::|/:|:./|　'|
　　　　　　　　　　 }::::::ヽ:.＼:|`ヽ!　　_ヽ-<　/　j::::::::::: |/l
　　　　　　　　 　 _|:::::::::::ヽ!::ヽ::::ｌＶ'´ 庁‐く`　〃::::　　::::|
　　　　　　　 　 ,.｢ l::::::::::::::::::　 :::ヽ　 | | 　 |　/-──- ､|
　　　　　　 ／　｜ l',:::::::::::_,. -─‐ヽ |_|_旦| 〔-rｰ─‐r ､j
　　 　 　 /　　 　 !　l〉:／　_,. -‐一く〃 ￣ /｀ﾞ|　　　 |¨´
　　　 　 '　　　　　＼Y ∠ﾍ　　　　　ﾏ_,. -7　　| 　 　 |
　 　 　 |　　　　 ー　､`ｰ‐-ヽ　　　　 V イ　　　l 　 　 |
　 　 　 l　　　 　 　 　 ＼　　 '、　　 　 !　| 　 　 |　　　}
　　　　 ',　　　　 　 　 　 ヽ‐i´　、　 　 ヽ | 　 　 ｌ　　　|
　　　 　 ﾞ、　　　　　 　 　 ヽl　　',　　　　ヽ 　 　 |　　　|
　　　　　 ヽ　 　 　 　 　 　 ヽ　　', 　 　 　 ',　　　|　 　 |
　　　 　 　 ヽ　　　　　　　　 ヽ 　 ヽ.　　 　 ',.　　 |　 　 !
　 　 　 　 　 ヽ　　　　　　　　 ヽ 　 ヽ.　　　 ヽ 　 |　 　 !

sinシータ二乗＋ｃｏｓシータ二乗＝0.99999999・・・・
円周率が割り切れないのも1＝0.99999・・・
の命題が解けないから。

このスレまだあったのか？
単に10進法の表記上の問題･･･では誰も納得せんのか？

>>647
納得する人は納得する｡
けれどそれで納得する人はそれを言うまでもなく分かっているという罠｡

最近の流行りは

1=0.99999…は、絶対間違っている。しかるに数学ではこれは正しい事に
なっている。よって数学は間違っている。

という論法だな。間違っている理由としては「無限は軽々しく扱っちゃ
いけない」が人気。

最近って、ここは中世かよ

0.999・・・は定数として使っちゃだめじゃないの？

1.000・・・は定数として使っちゃ駄目じゃないの？

お前ら具体的な実数を挙げて"定数じゃないの?"とは馬鹿丸出しだなw

>>653

釣られてますよ、と。

ttp://www.bstmcnexp.com/

この人も0.9999･･･≠1って言ってるみたいなんですが
電波が酷くてさっぱり理解できません。
誰かわかりやすく説明してくだちぃ

>>655
どこ？
ってか画像重杉

>>655
このスレで何度となく繰り返されて来た議論を持ち込むな。

# 大体、良く見たら9.999...≠10を"前提"にしてるし、説明になってないw

↓j-sky用らしいが普通のブラウザでOK
http://www.bstmcnexp.com/j-sky/ronb/R1jsk3.htm

http://www.bstmcnexp.com/j-sky/ronb/R1jsk3.htm

デムパゆんゆん晒しあげ
論文とか言ってんの見てらんない。(　´,_ゝ`)ﾌﾟ

0.9…=1の解釈は
「0.9+0.09+0.009+…を限りなく（ここの詳細は省略）繰り返すと、限り無く1に近づきますよ」
ってこと。
だからある意味定義であって、議論することではない。
現在の数学の定義は妥当ではないと思えば、他の定義を採用して、
0.9…≠1
とすることもできる。

>655
>電波が酷くてさっぱり理解できません
デムパを理解できないのは当たり前。
貴方がデムパを正しく理解できたら
そちらの方がヤバイでしょう。

お約束のように「相対論は間違ってる」説も主張してますね

このテーマは「大きさを持たない点」や「太さを持たない線」が存在するかってのと同じだな。

>>662
幾何学での点は大きさを持たず位置を表すものっていう定義だろ
戦もまた然り
定義を曲げたらいけない

>>663
浅学でスマソ。
そしたら結局ここでの問いは極限の定義をどう考えるかってことなのかＮＡ？

>>663
名前欄は気にしない方向で・・・

>>664
極限の定義も決まってる。要するに、極限の概念を知らないヴァカは氏ね
ということでFA。

>>664
極限はすでに定義されている。
0.999･･･をどう定義しているかというだけのこと。

まあ1≠0.999･･･を主張する人は概ね0.999･･･の定義を曖昧にしているわけだが。

>>667

「定義が曖昧ですよ」と突っ込むと、「その定義は本当に正しいのでしょうか？」とか言われるわけだが。

0.999･･･ とは、0.9 0.99 0.999 ･･･ という風に
桁が増えていく動作をあらわす表現であって
固定の数値を意味するものではない
だから１と等しいなどということはありえない

ageてしまった
スマン

>>669

1も、1.0 1.00 1.000…と言う風に
桁が増えていく動作を表現しているものだとも考える事が出来て、
0.999…と1.000…は、動作として（換言すれば二つの数列の極限
が）等しい。

＞1も、1.0 1.00 1.000…と言う風に
＞桁が増えていく動作を表現しているものだとも考える事が出来て、
勝手に出来るなよ。
1 という「値」と、1.0 1.00 1.000… と桁が増えていく「動作」は
違うモノだ、と言われればそれまでだ。

0.999…=lim�倍0.9*(0.1)^(n-1)}
初項0.9、公比0.1であるから
0.999…=lim{0.9*(1-0.1^n)/(1-0.1)}
n→∞として
0.999…=1

じゃだめなの？
0.999…=lim�倍0.9*(0.1)^(n-1)}　が既に疑問なのか？
それとも等比級数の総和公式が疑問なのか？

lim0.1^n = 0 が気に食わないみたい

>>668
定義に正しいもクソもないだろ。
あー、相手はそういうことすらわからないという意味で言ってるのか。

ま、3*0.333…=0.999… も 0.9+0.09+0.009+…=0.999… も
レベル的には変わらんってこった。

>>672

そうだね。でも普通は同一視するでしょ。「しない立場」ももちろんアリだけどね。
でも「しない立場」だったら、わざわざ「0.999…」というあたかも「値」であるか
のような表記をする意味が無いよね。そういう表記法を取る時点で「私は同一視する
立場なんですよ」って言ってるのと同じだ。

>>671
「動作として（換言すれば二つの数列の極限が）等しい」
っていうか、動作と数列の極限が同一視できる、
という事を説明しないと意味がないだろ。

それを説明しさえすれば 1.0 1.00 …… なんて事は関係なくなるし

>>678

{a_n}がaに収束して{b_n}がbに収束するならば、

{a_n + b_n}はa+bに収束
{a_n * b_n}はa*bに収束
{1/a_n}は1/aに収束

とかそういうのを示せってことかい？

＞669は「しない立場」だから、
「値」と「動作」がイコールになるわけがない
と言ってるようにしか読めないわけだが。
＞671＝＞677は他人の言っていることが理解できてないぞ。
もちろん、私は＞669に同意するわけではないが、
1=0.9999…… であるという立場をとりさえすれば何を言ってもＯＫなのか？

>>680

いや、一応理解してるつもりなんだけど。
「値」と「動作」は違うという立場もアリだと思いますよ。一般的でないだけで。
今井じゃないけど、自然数の1と整数の1と有理数の1と実数の1と複素数の1は全部
区別します！って立場もアリ。一般的ではないけど。

位相構造

1が値で、0.999…が動作で、値と動作は比較不能だったら
1=0.999…は「文法的に正しい式」ですらないわけで、そんな議論しても意味無いと思うんだけど。
だから1が属する何らかの集合の要素として0.999…は定義されている、としておくべき。
まあ普通は「何らかの集合」は実数で、0.999…はlim{n→∞}�倍k=1,n}(9*10^-k)とするものだが。

>0.999･･･ とは、0.9 0.99 0.999 ･･･ という風に
>桁が増えていく動作をあらわす表現であって

ここんとこもっときちんと定義してもらえんか？

あれ？ ここにも馬鹿がいるよ。
669は『1=0.999…は「文法的に正しい式」ですらない』
だから、1=0.999… かどうかなんて『そんな議論しても意味無い』
と主張してるんじゃないか。

0.999…=1-lim0.1^n
こうなのか？

＞今井じゃないけど、自然数の1と整数の1と有理数の1と実数の1と複素数の1は全部
＞区別します！って立場もアリ。一般的ではないけど。

そんなもん、成り立ちが別でも同一視できる、と言ってしまえば終わりじゃん。

>>669相手の場合は、値としての１と0.999・・・という動作とが同一視できる事を説明すればよいだけ。
もっとも、>>684の言うように、「動作」というのを抽象的に定義してくれんと始まらんが。
たぶん、ちゃんと定義すれば、動作と極限値とが同一視できるように説明できると思うな。

>>669は
　0.999999……=1
なら納得するのでは？
　0.999999……⇔lim(1-0.1^n)
だからこのときの=は極限値を表している、と。
でそのあとで
　e=lim(1+1/n)^n
のように右辺に極限の式がきて定義される値もある、と言えば納得するんじゃない？

＞６８５
文法的に議論できない、が正しい。

�@…X＝0.999...
�A…10X＝9.999...とおいて、

�@−�AよりX＝1じゃだめなの？
論外だったらスマソ…。

>>690
過去ログを百遍読んで出直しな。

>>690
論外

気がつくのが遅かったけど松下電工インフォメーションサービスは
バブルっぽくて面白そう
１株が２００株になるんですよね
ちょっと出遅れたかもしれないけど本当のヤマは３月末みたいだし
負けて２０万　勝てば２００万という感じで買うかも

>>687

「同一視できる」と「同一視する」は別なんじゃないの？
>>669は、「同一視できるのは知ってるけど、俺は同一視しないぞ！」って
言ってるんじゃないの？

>>690のどこがいけないのかわからないのだが・・・。

いつも過去ログ読めとか言われるが過去ログ読んでも過去ログ読めとしか書かれていない罠。

>>695

�@…X＝…999
�A…10X＝…9990とおいて、

�@−�AよりX＝-1

>>696
もしや、マジではあるまいな？

...999

って何？

>>690のいけない理由を聞いているのだが。

>>697

…999というのは9が無限に続いている数。{9,99,999,9999,…}の極限（もちろんこんな自然数は存在しない）。
けれど、形式的には690の「説明」と同じことをやっている。

>>698
形式的には同じって(w

>>690は存在する数に許される演算を施しているのに、>>696は存在しない数に演算を施しているのだが。
どこが同じなのかな？(w

9.99... - 0.99... = 9
とか
0.99... * 10 = 9.99...
が、存在する数に対する許された演算の正しい結果だと言う事が分かる奴は
0.99... = 1
も分かってるんじゃねえの？それがわかってない奴に説明するんだから、
9.99... - 0.99... = 9
を仮定するのはおかしいんじゃね？

>>700
なるほど、証明自体は正しいが、説明としては相手に対して適切ではない・・・ってことですな。
了解。

>>701

「証明」としても、ちょっと回りくどすぎるというか、同語反復というか、
あまりよろしくないと思う（もちろん、間違った事を主張しているわけでは
ないのだけれど）。

>>701
むしろ逆だ。
もし、それで納得すれば「説明」として成功してる言っても良いが、
「証明」としては正しくない。
循環論法だからな。
結論が正しくとも、証明が間違ってるのはよくあること。

定義に立ち戻ったり極限とかの話をせずに
1＝0.9999・・・だという話をしようと思ったら
どうしても循環論法になるよな

おまえら本当に頭悪いな

1-0.999999999999・・・・・を考えてみたらどうかな
0.000000・・・・・と無限に0が続くけど
最後（無いけど）の桁は1になるわけだから
1-0.999999999999・・・・・は0じゃない
だから1=0.999999999999・・・・・ではない

>1-0.999999999999・・・・・は0じゃない
>だから1=0.999999999999・・・・・ではない

論理の飛躍があるね。
０じゃないからといって等しくならないとは限らない

>>707
突っ込むところが違うだろ。
0で無ければ等しくは無い。

>>706
君にとっての0.999･･･の定義は何かね?

＞最後（無いけど）
不覚にもﾜﾗﾀ。

何度もこのスレで言われていることだけどさ、
ε-N論法も知らずに極限について語ろうってのが間違ってんだよ。
無限小数の筆算とかやってて楽しいかい、君たち。

>>710
同意。
位相空間とかある程度勉強してからこういう話をしてほしい。

極限について語ってるのは0.999...を極限で定義してる(正常な側の)奴らだけなので
ε-Nを知らずに極限を語ってるやつは少数かと。

超限ってなんか俺俺数学って感じじゃない？

「超」がつくと
なんでも安っぽくなるな。

0.999...=9/9
君たちはこういう式を考えたことがあるのか？

>>715
あるよ

超特急

超かめはめ波

1)0.99999....の....を極限をとる操作と解釈して、これは1と等しいはず派
2)0.99999....は超準解析的には1と等しくないだろうが派
3)小学校で習った説明を繰り返すだけ派
4)厨（主張は雑多）

>>719
しかし超準解析の話をまともにする奴は現れない罠。

>>720
斉藤正彦が倉田怜二郎に唆されて書いた
「超積と超準解析｣って絶版？

1/3=0.33333333…
1/3*3=0.33333333…*3
1=0.99999999…

>>720
拡大された部分の議論ではないからそれは当然。
NSAの初歩しか理解していなくても判別できること。

>>711
むしろ無限長文字列集合の位相に意識を向けたときに起こる疑問なのでは？
もっとも、疑問をもつひとは位相という言葉をしらないのだろうが。

三角関数も分からないアフォ工房にこれまでの経緯を説明してください。

無限の感覚を摑むのであらば、
　　　　
　　1÷1=1　とせずに

　　1÷1=0.…と始めてみよ。

やだ

ならば、氏ね！

極限を使って考えるのもいいけど､
そもそも1=0.999…　という、まるで５＝４のような式を
初めから決めつけるのは良くないと思われ｡
そこで逆手にとってこういう証明はいかがなものか｡

A=0.9999999…とする
10A=9.9999999…だから
10A-A<9　（A=0.99の場合を考えれば自明）
9A<9となるのでA<1
従って、
0.9999999…＜1
である。　　　　（証明終える）

>>721
絶版だよ。東京図書の本はほとんど絶版。
もはや石村本とかしか売ってない。

>729
>A=0.9999999…とする
>10A=9.9999999…だから
>10A-A<9　（A=0.99の場合を考えれば自明）
どこが自明だよ？
0.99で成立していることが 0.99…で成立するかどうかは不明


何度もでてるが

0.999…と表記するところものが何かを論じている時に
それについての演算や性質を何の論証ももちこめるわけない。
そんなことがＯＫなら
そもそも、”0.99… = 1 は自明”の一語で決着
　

＞731
s/それについての演算や性質を何の論証ももちこめるわけない。/それについての演算や性質を何の論証もなくもちこめるわけない。/

0.9999999…は数でない。
従って、数学としての一切の議論は成立しない。

同じレスが2度目以降に出てくる場合、「何レス前から何レスにわたって同じである」という
表示に置き換えることによって圧縮できます。転送料削減のためにそうしましょう。

1レス前から1レスにわたる書き込みに対して同意

>733
おｍのさんすうが通用しないだけ。
無限をも扱うのが現代数学。

lim[n→∞]{1-0.1^n}=1 は紛れもない事実。
したがって、0.999…≠lim[n→∞]{1-0.1^n} ということだ。
値が1と確定しているものを、簡単に0.999…と表してよいわけがない。

「0.999…=lim[n→∞]{1-0.1^n}？」ってスレはないのか？

0.999… := lim[n→∞]{1-0.1^n}

>>738
たしかに 0.999… := lim[n→∞]{1+0.1^n} とするよりは一見まとも。
でも lim[n→∞]{1-0.1^n}=1 なんだぜ。
なのに 0.999… := lim[n→∞]{1-0.1^n} することに抵抗はないのか？
ないとすれば、0.999…=1 という思い込み、あるいは願望が既に出来上がって
いるからなんだろう。俺にはそんな芸当はできないね。

>>739

別に、思い込みや願望が先にあること自体はOKだろ。大抵の公理や定義は、
思い込みやら願望が先にあって出来るものだと思うし。

それに「俺にはそんな芸当が出来ない」なら使わなければいいだけのこと。
どーしても無限小数で数を表さなければいけない状況ってのはなさそうだし。

ままま、前スレがアボン

0.999… := 1-lim[n→∞]{0.1^n}
でいいじゃん

1≒=0.999999999999・・・・
にすれは全員が文句ない。

書き間違えちゃった。
ま、いいや。どうせネタだし。

>>740
てえことは、結局 lim[n→∞]{1-0.1^n}=1 は極限の定義にしたがって
厳密に示せるが、lim[n→∞]{1-0.1^n}=0.999… は示せない。
0.999… := lim[n→∞]{1-0.1^n}をもって定義するほかないというわけなのね。
なるほど。

>>745

0.99…で何を表すのかを決める前に、それが何と等しいかなんて考えられないわな。

何度も言うが



　　　　お　ま　い　ら　ε　-　N　論　法　知　ら　な　い　だ　ろ



>>729>>737>>739>>743

　　　　　　 ＼_　　　 _／ _／
　　　　　　　　 ＼　/　／
　　　　　　　　　　 ξ
　　　　　　　　　Λ⊥Λ　　 ／￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　 　　（ 　ﾟ∀ﾟ ） ＜　　ε - N 論 法
　　　◯ 　 　／ 　　　/　　 ＼＿＿＿＿＿＿＿
　 　　　＼／ 　　　　 |
　　　　 　/　//￣|　| |
　　　 　 （＿）__）（＿）_）

そんなことより対象の定義も与えずに
数学的な何らかの結果を求めようとしてる人がいるのが問題だと思うけど。

定義は与えていますよ。
ただ、１と等しくなるような定義を別に与えてやれば
１と等しくなるという、あたりまえの話をしている人がいるだけです。

別に1と等しくなるように定義を与えてるわけじゃないだろ。
0.999…で表現されるものとして妥当な定義を有限小数からの類推で与えてるの。

ここ楽しいけど見てると
数学できる人って
普段人を見下してんじゃないかと鬱になる

１＝０．９３７３７２４８５２２５３４５・・・・・・・

くらいにしたら誰も文句ねぇだろ？

文句はないが意味もない

笑ってしまった

>>754
>>755
どっちもダメ

>>1-756
全部ダメ

ε-δ論法に沿って考えれば糸冬了だと思うのだが。



















とループしてみる。

無限（以下略

>>758

ε-δ論法で分かったつもりになるのが一番怖い。
この論法もあくまで一つの提案に過ぎない。

＞ε-δ論法で分かったつもりになるのが一番怖い。

しかしε-δ論法がわからんのは始末が悪い（ｗ

７６１がいいこと言った。
このスレで0.999...≠1を主張しているヤシの半数以上は、
ε-δ（またはε-N）の考え方を理解できていない。

頭悪いんだからしゃーないわ

ε-N論法を振りかざす奴ほど、ε-N論法の本質を理解してなかったりするけどね。
与えられたものを与えられたままに主張するしか無いからね。

>>764

>>ε-N論法を振りかざす奴ほど、ε-N論法の本質を理解してなかったりするけどね。

そうだとしてもε-N論法を知らない奴よりはマシだろ。

よくわからないけど
中学高校レベルの数学知識で止まってる俺に
0.999...は1ではないってのを分かりやすく教えてくり
スレ最初から読んでるけど
知らん単語やらたくさんでてきてさっぱり

>>766
君は 0.999... ≠ 1 が正しいと思った上で、その理由を聞きたいのか？

どーなんだろ。よくわからん
>>9でいうと　小学校で習った説明を繰り返すだけ派 　なのかな？
「1に限りなく近いもの」と「1」が「いっしょ」って時点でもう意味がわかりません

>>768

まあ、無理に理解する必要はないよ。

ああ・・なんかもう「おまいに理解させるには20レス以上いりそうだな(ﾏﾝﾄﾞｸｾ)」って感じであしらわれてしまった・・・
まあ、それだけややこいことなのね？

>>770

いや、1-769はとりあえず全部読んだのか？それで分からないなら、
まあ無理だろ。

いやーもう最初の方で専門用語やらわけわからん記号やらたくさんでてきてるのよね
ググってそれを調べてたら、それを説明するのにまた知らん用語やら定理やら出てくるし
こんな調子だと一つのレスを理解するのに数学のテキストでも取り寄せて一から勉強しなおさなあかん

つーかこれを、式とか難しい計算とか無しで、文章で直感的に説明はできないんすか？
定理とかを「こういう決まりだから！」とかじゃなくて、絵とかでうまーく説明してくれる先生とかいたよね？
そういう次元の問題じゃないんでしょうな。すみません。

>>772
直感に頼るのと「こういう決まりだから」というのと何が違うと言うのだ。

>>772

だから、無理してわからなくてもいいじゃん。「なんとなーくわかったつもり」になれば。
数式とか定義とかはイヤなんだろ？

物事にはな、具体的な身近なものによって直観的（直感的とは違うぞ）な実現を
もつような概念と、そうでない抽象的な概念とがあるんだ。

>>768
0.999... は常識的な見方だと、
0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ...
と無限に続く数列が限りなく近づいて行く先にある数をあらわす。
この数列が近づいていく先にあるのは 1 だから、0.999...=1 ということになる。
（限りなく近づいていく「数」が 1 と「同じ」という言いかたではないわけだ）
この「限りなく近づいていく先」っていういい加減くさい言い方を
もう少し数学的なものにしたときに ε-N 論法とか極限とかいう言葉が出てくる。
かなり天下りな感じだが、「実数」とは何かってことを考えると、
こういう流儀の考えかたになる。このレスの最後に具体例がある。

0.999...≠1 という主張を頭ごなしに否定するつもりはないが、
0.999...≠1 派の人たちの考えは、0.999... は 1 に限りなく近いが、
1 ではない「数」ということで、これは普通の意味での「実数」とは違う構造の
「数」の体系を考えていることにならざるを得ない。
だから、0.999...≠1 と主張する以上は、普通の「実数」とは違う体系を
ちゃんと構成する責任があると、俺は思う。
ちなみに、こういう「〜〜に限りなく近い数は〜〜とはあくまで別物」
という立場をとったときは、0.333...≠1/3 になるだろうし、
自然対数の底 e のような重要な数を定義するのも大変（あるいは不可能）だと思う。
e は、
1, 1+1, 1+1+(1/2), 1+1+(1/2)+(1/6), ...
か
(1+1)^1, (1+(1/2))^2, (1+(1/3))^3, (1+(1/4))^4, ...
という数列が「限りなく近づく先にある数」というのが普通の定義のしかたなのだから。
もちろん、微分を定義するときも同様の困難を乗り越えなければならない。

＞「なんとなーくわかったつもり」になれば。
だからわかったつもりならいいけど、わからなかったんだよぅ・・・
そもそも0.999・・・の・・・の部分がムカツク！なんだよテンテンって！頭で想像できねえんだよ！

っていうかもっとややこく難しい式や構文ならスルーしてただろうけど
「数字＝数字」って見た目すげー簡単な式だから俺みたいな無学な奴でもムキになって
「ん？ん？どうなってるの？」ってなっちゃうんだろうなー。映画板でこのスレにリンク張った奴根性悪すぎ・・・

>>777

本当に理解したいなら、定義や式を黙って勉強しろよ。
数学に王道はないんだよ。

>>776
あーありがとう
並行して他のスレやサイトも見てたけど少し判った気がする。
やっぱり「・・・」の部分が俺を惑わせていたのか。

>>772
もともとは、実数とか極限とか微分とかいう概念も直感的なものだったんだろうけど、
この直感性を犠牲にして、厳密な定義に置き換えることで、
こういう概念を数学的に取り扱いやすくすることができたんだと思う。
だから、このへんの議論が直感では分かりにくいのはある程度仕方ないかも。
（まあ、直感的でわかりやすい説明ができるときにはしたらいいと思うけど）
もし、厳密な定義が存在しないで直感だけだったら、
みんなの直感が食い違ったときに議論が水掛け論になって、数学が分裂しちゃう。
まあ、これがこのスレの実状なんだけど。
あと、直感的でわかりやすい話ってのもいいけど、
直感と禿しく食い違うことがあって、何これ？って悩むのも数学の面白さだと思うよ。

計算で理解は出来たけどまだ頭の中で2割くらいは腑に落ちない所もあったり。まあそれはそれで・・・
そもそも「1/3」とかってのが頭の中にだけある数字で現実の単位には置き換えられないってことも
あんまり考えたこともなかったしナー。こういう事を授業で教えてくれたら数学好きになれたのにな
いやー勉強になったわ。
今が一番人生の中で「数学に興味持ってる」瞬間かも
あんがとな！

極限をとると量子力学の世界イに入るような気がするから実数の定義といわれても切断したあと
１か0.999・・・かは猫の溝汁？

>>776
「常識的な見方だと〜近づいて行く先にある数をあらわす」
それは、かなり勝手な見解だぞ。

>>783
「実数」の位相構造を構成する上では基本的な見解といえる。

>>783
0.999…は、lim[n→∞]{Σ[k=1,n](9/10^k)} の略記ってのが普通の解釈かと。
0.999…は通常の意味でのなんらかの実数を表すと思ったらこれ以外にない。
って、もしかして、0.999…≠1派の方でつか？

776と785が同じ解釈であるとは思えないような脳構造をしている人なのでは?

等しくないよ派
　　　│
　　　├―→ 0.99999・・・は数じゃないよ派
　　　│
　　　└―→ 数だけど１ではないよ派
　　　　　　　 │
　　　　　　　 └―→ １に近づいていくよ派


等しいよ派
　　　│
　　　└―→ 計算すると等しくなるよ派
　　　　　　　　 │
　　　　　　　　 └―→ ＝１は定義だよ派

lim[n→∞]{Σ[k=0,n](1/k!)}
も数じゃなかったり、≠e だったりするのかな？
それ以前に e が存在できないか。
それとも、〜.999…とくるやつだけがなんか特別とか？

極限を受け入れられないひとの考えを邪推してみる。
無限集合 { Σ[k=1,n](9/10^k) | n∈N } は 1 を元に持たない。
どの元の10進表記も 9 が有限個しかついていないのだから当たり前なんだが、
そのような元が無限にあるという予感が思考を停止させるのではないか。

>>788
だね。循環小数の形になるものだけが同じ問題をはらんでくるよね。
でもほとんどの数(無理数になるもの)については問題ない。
そのこともε-Nをつかった極限の定義の正しさに確信を与えてるだろうね。

>>789
まさにε-N論法の考え方だよね(ry

ﾏﾝﾄﾞｲので
0.999999999999999999999999999999999999999999999999999999
9999999999999999999999999999999999999999999999999999999
9999999999999999999999999999999999999999999999999999999
9999999999999999999999999999999999999999999999999999999
9999999999999999999999999999999999999999999999999999999
9999999999999999999999999999999999999999999999999999999
9999999999999999999999999999999999999999999999999999999
9999999999999999999999999999999999999999999999999999999
9999999999999999999999999999999999999999999999999999999
9999999999999999999999999999999999999999999999999999999
9999999999999999999999999999999999999999999999999999999…
は限りなく1に近い

>>789
いや、その集合には1は含まれないだろ。
自分でn∈Nって条件入れてるじゃん。
それを一つの数列と見たとき、その極限が1だってことだろ。

「0.999…」は単なる記号にすぎないわけで、それ自体としては数学対象ではない。
数学対象として捉えるためには、なんらかの「解釈」が必要なわけで、普通は
「0.999…とは、{0.9, 0.99, 0.999, 0.9999,…}という数列の極限値である」、と
解釈する。数学の世界では、これが標準的な解釈。他の世界では知らんが、ここ
ではこれがスタンダード。

0.999… ≠ 1と思っている人は、上の標準的解釈以外の解釈をしているわけで、
そういう人は独自の定義をきちんと与えて欲しい。。。んだけど、大体そういう
主張をする人は厨なので、記号とその解釈だとか、定義だとかそういうのは理解
できない場合が多い。よって、このスレは延々と続くのである。

そして、このスレは無限列
{1=0.999999999999・・・・・　その１,1=0.999999999999・・・・・　その２,
1=0.999999999999・・・・・　その３,・・・・・}
を構成し、この無限列は収束値を持たない。

>>792
よく読めよ。そうかいてある

>>787
馬鹿

等しくないよ派=適当に定義するよor定義なんてしないよ派

>>793
それもあるが、"1=0.999･･･"を主張する奴の中に>>776のように
中途半端な理解でもってあらぬ電波を撒き散らす方が始末が悪い。

このスレを見る奴はピンからきりまでいて知識の差もあるわけだから、
話がかみわないのも無理はないだろ。
ε-δの理解の有無だけで、相当話が違って来るわけだし。




















え?俺は理解してるのかだって?
厨房の時に(遠山啓の"数学入門"で)二日で理解しましたよ。

俺は工房の時に(遠山啓の"数学入門"で)一日で理解した。

時の部屋の一日のことで、実際には一年かかってしまった。

>>797（；゜д゜）ﾊｧ?

>>800

精神と時の部屋だな。

厨房にも分かるように教えてください。
つまり、１＝０，９９９・・・は証明できるけど、それを認めない派もいて、議論してるってことですか？
ちなみに>>690が、数学的に間違ってるってのは、理解は出来ませんけど納得はしました。
厨房に分かるように説明お願いします

過去ログ嫁。

>>803
0.999… ってのは、
0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, …
って数列が近づいていくところにある数って意味だからな。
（１）x=0.999…
（２）10x=9.999…
（２）-（１）で 9x=9 よって x=1 とやるのは、よく考えると問題が解決してない。
計算すると（２）は
9, 9.9, 9.99, 9.999, …
で、（２）-（１）は
8.1, 8.91, 8.991, 8.9991, …
が近づいていくところにある数ってことになるから、9x=9 を認めろってのは、
8.999…=9 を認めろってのと同じことになる。
これでは最初から、0.999…=1 を認めろってのとたいして変わらない。
それで、この"証明"は証明になってないって言われるわけ。

0.999…+0.000…=1 でいいのか？

0.99… = 1で0.000… = 0なわけだから
1 + 0 = 1だろうな。

言い方を変えてみる。0.999…は9を何個つけたよりも多い。
だから0.999…と1との差はどんな正の数よりも小さい。
どんな正の数よりも小さい正の数というのは存在しない。
だから差は正ではない。よって差はゼロ。

教　　　科　　　書　　　読　　　み　　　ま　　　し　　　ょ　　　う　　　。
　教　　　科　　　書　　　読　　　み　　　ま　　　し　　　ょ　　　う　　　。
　　教　　　科　　　書　　　読　　　み　　　ま　　　し　　　ょ　　　う　　　。
　　　教　　　科　　　書　　　読　　　み　　　ま　　　し　　　ょ　　　う　　　。
そ　　　の　　　程　　　度　　　自　　　分　　　で　　　や　　　り　　　ま　　　し　　　ょ　　　う　　　。
　そ　　　の　　　程　　　度　　　自　　　分　　　で　　　や　　　り　　　ま　　　し　　　ょ　　　う　　　。
　　そ　　　の　　　程　　　度　　　自　　　分　　　で　　　や　　　り　　　ま　　　し　　　ょ　　　う　　　。
　　　そ　　　の　　　程　　　度　　　自　　　分　　　で　　　や　　　り　　　ま　　　し　　　ょ　　　う　　　。
脳　　　味　　　噌　　　あ　　　り　　　ま　　　す　　　か　　　？
　脳　　　味　　　噌　　　あ　　　り　　　ま　　　す　　　か　　　？
　　脳　　　味　　　噌　　　あ　　　り　　　ま　　　す　　　か　　　？
　　　脳　　　味　　　噌　　　あ　　　り　　　ま　　　す　　　か　　　？
　　　　無　　　い　　　ん　　　で　　　す　　　か　　　？
　　　　　無　　　い　　　ん　　　で　　　す　　　か　　　？
　　　　　　無　　　い　　　ん　　　で　　　す　　　か　　　？
　　　　　　　無　　　い　　　ん　　　で　　　す　　　か　　　？
な　　　ら　　　学　　　校　　　辞　　　め　　　ま　　　し　　　ょ　　　う　　　よ　　　。
　な　　　ら　　　学　　　校　　　辞　　　め　　　ま　　　し　　　ょ　　　う　　　よ　　　。
　　な　　　ら　　　学　　　校　　　辞　　　め　　　ま　　　し　　　ょ　　　う　　　よ　　　。
　　　な　　　ら　　　学　　　校　　　辞　　　め　　　ま　　　し　　　ょ　　　う　　　よ　　　。

>>808
本質的にε-δ論法と変わらんね。

これ理解出来ないやつって「999…」という列を9がたくさん並んだ列の
延長くらいにしか考えてないんだろうな。
数学的に扱うには「左端に有限個の9の列を付け加えても変わらないもの」といった感じで扱うべきで
これと「10進法では10倍と左シフトが同値」という規則を認めた上で

9の無限循環列をAで表すことにする。
x=0.999…とする。x=0.A
この時10*x=(0.Aを1回左シフトしたもの)=(0.9Aを1回左シフトしたもの)=9.A
従って9*x=9

が導ける、といった説明をすべきだろう。
正確にやるなら10進循環小数の有限の記号列による10進循環小数の表記と、その記号列に対する操作を定義して
有理数との同型作って、とかになるのかな。

>>810

循環小数にしか使えないめんどい新しい演算規則導入してもなあ。
結局いつかは極限の議論に行くわけなんだから、最初からそれでやればいいじゃん。

>>810

電波さんでつか？

>>797
君が廚でないなら、どこが電波だったのか指摘してほしい。

まあ、もともと厳密さを犠牲にした「説明」だから、
君みたいな揚げ足とりが出てくることは承知の上なのだが。
相手によって説明のしかたを変えるのは普通に行われることで、
高校で極限を導入するときも、「限りなく近づく」という言い回しが使われる。
いきなり位相空間の定義から始めたり、ε-N,ε-δ論法を展開したりしないわけだ。
しかし、それは教師や教科書の執筆者が中途半端な理解で電波を飛ばしてる
ということを必ずしも意味しない。
そして、こうした導入法でも、普通の思考力がある生徒が
極限の概念をおおまかに理解することが可能なわけだ。
実数云々と書いたところに触れておくと、デデキントやコーシーが出る以前にも
当然実数の概念はあったわけだが、それを厳密なものとして再構成するときに、
（コーシー流の構成法だと）ε-N論法、あるいは、（厳密な意味での）
極限の概念と同様のものが使われる。俺が書いたのはそういう意味。

>>811
もちろんその通りだけど、0.999…(無限)…9とか言ってる人に対して
無限の繰り返しとは何か強調したかった。

>>812
きっちり書くのが面倒だっただけ。
推論規則とか一々並べて説明しても、別にそれを使って何か議論をするという
流れになるとは思えないし。

>>812>>814
|r|＞1 なら、x = lim[n→∞]{Σ[k=1,n](a/r^k)} としたとき、
rx = a + x ってのは ε-N で定理として証明できることだからな。
0.999… とか 0.9 の 9 の上にドットをつけたやつを
lim[n→∞]{Σ[k=1,n](9/10^k)} の省略記法とかとして、
10*0.999…=9.999…,(9.999…)-(0.999…)=9
とかを演算規則として認めるってことなら、別に電波とは思わんが。
実際中学あたりでは、上の定理とか省略記法ってのはきっと暗黙のうちに
使ってるんだろうし。
もちろん、演算規則として認めるってのと、
X=0.999…,10X=9.999…,10X-X=9 で X=1 の証明とするってのは別物だけど。

0.00000・・・は0なのですか？
それとも無限小なのですか？

0.999…^0.999…=0.999…
は合ってますか？
右辺の方が小さいような気がするのですが・・・。

>>816
0.000…を 数列{0, 0.0, 0.00, …}の極限と考えるなら、まさに0そのもの。
極限の定義によれば、
任意の正数εと、ある自然数Nに対して、「n≧N ならば | 0 - x |＜ε」 ・・・(ア)
が成り立つような数 x のこと。

数列{0.1, 0.01, 0.001, …}の極限と考えるなら、
任意の正数εと、ある自然数Nに対して、「n≧N ならば | (1/10)^n - x |＜ε」 ・・・(イ)
が成り立つような数 x のこと。

(ア)を満たすような数 x が (イ)を満たすこと、そしてその逆も成り立つことは
厳密に示せる(はずだ(ry)から、どちらの意味においても 0.000… = 0 だね。

ただし、直観にたよる説明のなかでは、十分小さな値として選んだ正数εや、
かなり大きな自然数N,nを選んだときの | x - (1/10)^n | のことを指してる
ように見受けられることがある。
そのときは(便宜上) 0.000… ≠ 0 なんだけど、これは数学的にはお勧めできない。

ε-δ(ε-N)を否定するって人は、例えば1/3の小数展開
0.3333･･･
も「ウソ」であって、「10進小数展開できない」が
正しいといいたいのだろうか？

>>816
0
>>817
合ってる

>>817
無限の概念を（以下略）

>>819
理解してないだけ or 超準解析厨。

よくわからないが
0.000・・・とか0.999・・・を0や1にするのは
3.1416・・・をπとか3とかにするのと
似たよーなもん？
厳密には違うけど、書き表せない、または書き表すのが面倒だから
四捨五入しちゃえ的な感じ？

>>823
数学的に厳密に言えば、そう。

0.999・・・と1は
違うものだけど
差が極小だから
もう一緒にしちゃえ
ということですよ
それで現実世界で
差し支えないわけですし

>>824
ﾃﾞﾑﾊﾟ発見

>>823
|π-3.1416...|>0.000007
|1-0.999...|<ε (∀ε>0)

|π-3.1416...|>0.000007
|1-0.999...|<ε (∀ε>0)

↑
こんな難しい式出されても分からないよ・・・

また辺に煽ったりするから
間違った認識とかが広まるんじゃないか

255 名前： １３２人目の素数さん 投稿日： 03/10/19 21:57
無限の状態はこの世に存在していません。私たちの思考の中にだけあるものです。
0.999・・・ = 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + 0.00009 + ・ ・ ・ の計算をして
その和を求めるということは，あなたが次のような操作をすることと同じです。
定規の 0 の目盛りから始めて，まず最初に 0 と 1 の途中 9/10 の位置に印をつけます。
この位置が 0.9 にあたります。するとその 0.9 の位置の右側に 1/10 だけの隙間ができます。
そこで次に 0.9 と 1 の間にできた隙間に対して 9/10 だけ右の位置に印をつけます。
これで印は 0.9 + 0.09 を示しているはずです。しかしまだその右側にはわずかの隙間があります。
そこでまたその隙間の 9/10 だけ右の位置に印をつけます。その位置が 0.9 + 0.09 + 0.009 にあたります。
さらにこの操作をどこまでも続けると0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + 0.00009 +・ ・ ・ の位置に印がつくことになるでしょう。
それが 0.999・ ・ ・の位置です。これでは 0.999・ ・ ・ = 1 であることを納得できませんよね。
それどころか「やっぱりいつまでたっても 1 のわずか手前に隙間ができてるじゃないか。
だから 0.999・ ・ ・ は1よりほんの少し小さいんだよ」と言われかねませんね。
でも，その反応こそ日常の感覚にほかならないのです。

これの続きが聞きたい

Ａ「いつまでたっても 1 のわずか手前に隙間ができてるじゃないか。」
Ｂ「では尋ねるが、最終的に”ある大きさをもつ隙間”があると
　　いいきれるかね？そんなものはないだろう？
　　途中の隙間はみな次のステップでは小さくなっている。
　　それが”隙間がない”ってことなんだ」

>>826
3.1416... ってのは 3.1416666... のことを言ってるわけではないだろ。

つか、3.1415... って書きたかったんじゃ。

3.14155555555‥
まあ通常は困らんだろ

>>829
そこである数学者はこう言い放ちました。

こんなことにこだわっていてはいけない。このままでは数学は停滞するだけだ。
早く次のステップに進むために、もう 0.999… の … を考えるのはあきらめよう。
0.999… = 0.99…9 + α でいいではないか。αなんて実用上あっても無くても同じだ。
俺の頭にはかろうじて毛が数本残っているし、うぶ毛ならもっとある。
それでもみんな俺のことを「つるっ禿」というではないか。

でも数学だからもう少し形を整えないとな。禿でも髪型は重要だ。
変に禿をごまかしていると思われるのも心外だ。
0.999… = {1-0.1^n} + α(n) と体裁を整えよう。
これでほとんど 0.99…9 になることはあきらかだ。
だが、そのために重要なのは残りわずかの毛の本数、いや違う。α(n) の範囲だ。
例えば α(2)=0.00999… だが、こいつもまったくいい加減な数だ。
余裕を持って、0 < α(n) < 0.1^(n-1) ぐらいに見ておくか。
ちょっと本数を多めに申告するくらい、それは禿の心情として理解してくれ。
(続く)

(続き)
完璧だ。これでいつでも「私は禿だが、「つるっ禿」では無い」と主張できる。
ん、何の話だったかな。そうだ 0.999… の話だ。すまない、実は新しい育毛剤の
効果がかんばしくなく、心が落ち着かないのだ。話を元にもどそう。

0.999…とは、
「 任意の自然数 n に対して、 x = (1-0.1^n)+α(n), ただし ０<α(n)<0.1^(n-1)」
を満たすような数x だ。何人たりとも反論は許さん。こういってもいい。
この式を満たすならばとにかく 0.999… だ。これは定義だ。
この約束を守る限り、なんら議論に矛盾は生じない。
文句があるなら、上の式を満たす 0.999… 以外の実数を持ってこい！

…ん、1が満たすだって！？
な、な、なんということだ！ なぜだ？ なぜだ？
これでは、私はやはり「つるっ禿」だということになってしまうではないか！
なぜ数学は私をこうまで苦しめるのか…あ、あ、あ、ガクッ。

そのとき、数学者の頭にわずかに残っていた数本の毛がはらりと…。(完)

途中の隙間はみな次のステップでは小さくなっている。
それが”隙間がない”ってことなんだ

ココガヨクワカラナイ・・・

>>831
0の数を数えてみ。

>>832
823は「四捨五入しちゃえ的な感じ？」とかいてたからむしろ3.1416かと思った訳だが。

"0.999...は1より小さく、1に一番近い数である"
ことと、
"実数nより小さく(or大きく)、nに一番近い数字は存在しない"
ことが理解できれば、背理法により自明なんじゃないの?

>>836
平たく言うと、ε-δ論法と言われている、数列の収束に関する約束事。
だから、証明がどうのこうのという物ではないのです。

http://www.google.co.jp/search?sourceid=navclient&hl=ja&q=0%2E99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999%3D

>>810
ε-δを言い換えたんだから、そら当たり前でんがな。
ε-δというと小難しく聞こえるが、極限の妥当な定義なんだから、
言い方を日常っぽくするだけで受け入れやすくなるかな思った。

Hackenstrings, and the 0.999... ?= 1 FAQ
http://www.maths.nott.ac.uk/personal/anw/Research/Hack/

切断という言葉を知っているのかい？

>>838
その手の話は何度も出て来てるが、納得しようとしない奴らに納得させようとしても無駄。

>>844
考えない奴らに考えさせようとするのは不可能ってわけだな。
だったら数学なんか手をださなきゃいいのに。

十進数という網の目にひっかかる１と、十進数という網の目にひっかかることのない0.9999…。
本質的に、フラクタル構造‡（自分の中に自分の似姿のある構造）を内包した、0.9999…。
１を３で割って三倍したときに現れる　0.9999…　と、最初から意志をもって記された　
0.9999…　は、ひょっとしたら別物なのではないか
私はそんな気がしている。

>>844
納得したいんだけどいまいち理解できないっていう人もいるんだからやめれ

いまいち理解できないのは本当は納得する気がないんだから諦めれ

lim[n->∞]1-(1/(10^n))=1 or 0.9999...?
ってやつか？

生徒は、無限小数を有限小数の極限だと理解して、0.9999････はいつでも１よりは小さいのだと思いこみます。
教師はそれに対してうまく説明できないことがありますが、
無限小数とは無限に延びて行っている小数ではなくて、無限個の桁が完成されているのだということが重要なのです

数学のおもしろさや考え方をこれから得る人もいるだろうから
理解するかどうかはともかく、馬鹿はｶｴﾚ！のような空気はどうかなあ・・・

0.9999… = 1について考えてみます

実数を
Ａ：1以上の実数
Ｂ：1未満の実数
の2つに分けます。

「1」はＡに属します。

「0.999...」がＢに属するかどうか考えてみます。
・0.9はＢに属します。
・0.99はＢに属します。
・0.999はＢに属します。
・…
・0.999...9はＢに属します。
以下どこまで行ってもＢに属します。
したがって0.999...はＢに属します。
∴
0.9999… ≠ 1

あ、あれぇ・・・？

「無限」の解釈がバラバラで、数学的知識もバラバラなままで
みんなで話してるんだから収束もつかないよそりゃ

結局
0.9999… ≠ 1
とおもっってるやつは、
>>852
のかんがえなんだろうな。
０．の右側に、どこまで９を書いても決して１にはならない
ということだろ。
このとき、「どこまでも」といっても、じつは有限個の９しかそうていしてないことに気がつかない。
いくら９を書いても、といったところで、ものすごくたくさん９を書いたところを創造するが
いくら９を書いてもとか言ってるうちは、まだまだ9を書き足す余地があるわけだ。つまりまだ無限個の９をかいたわけじゃない。
これでは１になるはずがない。

そうではなくて
０．９９９９９・・・
と書いたとき、最初から、すでに９が無限個あるという完成された無限であって
９をじょじょに書き加えていく無限個ではないということが理解できないと
>>852
の間違いにおちいってしまう。

１万個の９を書いたときと１００万個の９を書いたときでは
１００万個の９を書いたほうがより１に近づくが、
無限個の９とのあいだにはまだ無限個の９を書かねばならないという点でどちらも同じ。
つまり無限個の９に近づいたわけではない。
よって、>>852の操作をいくら繰り返してもけっして
0.9999・・・（すなわち１）になるわけではない。

「1」は現実にそんざいする物質の数を表現できてるけど、
「0.999999…」なる数字は、単に数学上の概念のしての存在でしかないでしょ。
「1」という絶対的なものがあるからこそ、「0.999999」なんてものが成立するわけで。
現実に存在しないものと存在するものとがイコールだなんてのは、現実にはあり得ないよ。

９が無限個あるという完成された無限ってどういう状態だろ？
想像がつかないな・・

計算とかで証明するとやっぱり1=0.999...になるのだが
それでもなんかうまくごまかされてるような感じがするのはなんでだろう
無限に近づくってなんだ。
0.9999・・・がなぜいつのまにか繰り上がって1になってしまうのだ
なんだこの気持ち悪さは

>>856
無限を直観で量ろうとするから気持ち悪くなる。そんなことはあきらめて、

>計算とかで証明するとやっぱり1=0.999...になる

で納得しておけ。

>>852
位相について勉強してみるといいよ。そこら辺の事は
コンパクトという概念を習う時に扱うから。

>>856
まあ 0.999… は「小数第何位を四捨五入しても１になる数」と
定義されてるも同然だからね。それが妥当かどうかは考えてみてね。

無限の空間に無限に増えていく、あるいは存在する黒の碁石の中に、
黒い碁石が存在しない地点に、1個の白い碁石が混じっていたら、
永遠に黒い碁石の密度は1にはならないよね？

>>860
それはそうだと思うけど、だから何？

0.99999…を現実の事象から表現してくれ誰か

>>860
無限に存在する黒石なら密度1にもなりうるよん。

まず、これを読め。
話はそれからだ。

ゼロから無限へ―数論の世界を訪ねて ブルーバックス 177

出版社／著者からの内容紹介
日常なにげなく使う数には、こんな面白い性質がひそんでいる
《インド人が発明したゼロ》0割る0の数学的意味は？奇妙な数ゼロを探って……
《便利な2進法》ライプニッツの2進法はコンピュータの世界で見事に開花
《完全数の不思議》6の約数は1、2、3。それらをたせばやはり6。
《無限と矛盾》自然数も平方数も無限にあるなら、それらの個数は等しいのか？
《対数の底e》統計学・生物学・経済学などにも使われるeの物語

著者紹介
【コンスタンス・レイド】
平凡な家庭の主婦でありながら、同時にフリーのジャーナリストとして活躍。特に数学の啓蒙書に健筆をふるい、アメリカの科学雑誌サイエンティフィック・アメリカンにも寄稿している。本書のほか『A LONG WAY FROM EUCLID』などの著書がある。カリフォルニア大学卒。


http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/406117777X/ref=sr_aps_b_/250-5170214-8981830

>>862
極限をとるのが気持ち悪がられるところは、桁の増え方が
「時間に対して」線形なところが想像されるせいじゃないかと思うのだけど、
「単位時間あたりの」桁の増加が指数的だと「有限時間内に」
無限桁に到達する。

たとえばボールを落として床で跳ねかえるのが繰り返す様子。
頂点の高さは回数の指数関数で減少し(はねかえり係数の話)、
次の衝突までの時間間隔も同様だから、
時間間隔の総和(つまり経過時間)の回数無限大での極限は収束。
よって有限時間内に無限回衝突し、そして跳ね上がる高さは０になって静止。
もっとも実際はボールの変形に吸収されるので有限回しかはねないけど。

０．９９９をこの例に当てはめるなら９の個数が跳ね返りの回数、
１との差が頂点の高さ。

「無限」って言葉を安易に使うのはやめたほうがいいと思う。
「無限」って言葉がきみたちを惑わしている。

>>838
1行目の"0.999...は1より小さく、1に一番近い数である"
がもうすでに間違っているわけだが。
3行目の"実数nより小さく(or大きく)、nに一番近い数字は存在しない"
は"数字"を"実数"と書き換えれば正しい。

＞1行目の"0.999...は1より小さく、1に一番近い数である"
＞がもうすでに間違っているわけだが。
背理法を分かってない香具師でも1=0.999...はわかるんだなw

>>867
>1行目の"0.999...は1より小さく、1に一番近い数である"
>がもうすでに間違っているわけだが。
まったくその通り。だから、"背理法"なのが分からんか?
一行目が正しいと仮定すると矛盾が発生する(=一行目は正しくない) -> 1=0.999... が分かるわけ。

詳しく書くと、

1≠0.999....と仮定する……[1]

"0.999...は1より小さく、1に一番近い数である"
が分かる。 ……[2]

ところで、
"実数nより小さく(or大きく)、nに一番近い数字は存在しない"
は高校生なら理解しているはずの定理。 ……[3]

[2],[3]は矛盾する。

よって、仮定[1]は正しくない。

1=0.999....

ということ。

おっと。"数字" -> "実数"だったんだな。訂正

1=0.99999999999999999999999999 ・・・

結局、二等辺三角形の寄せ集めが円になっていくのと同じか？
しかし、俺には今だに、なんで三角形の角が、どの時点で取れてしまう事になるのか理解できない
誰か端的に、かつ的確に教えてくれ

>>871
↓はい、どうぞ

--------------
任意の正数εに対して、自然数Nが存在し、
n≧Nとなるすべてのnについて
|a(n)-α| < ε
となるとき、数列{a(n)}はαに収束するという。

で、ここで議論されている例は上を満たすということ。
--------------

と言われて(ε-δを知らずに)分かったあなたは天才ですので、是非とも数学の道を歩んで下さい。

ε-δ論法を理解していないと(無限の話に踏み込むのは)難しい。
だから、こうしていつまでも議論が続くわけ。

>>871
1=0.999…というのは lim(n→∞)1/10^n=0 と同値と考えられるし
この式はアルキメデスの原理と同値なので、
結局はアルキメデスの原理に行き着くんだよね。
アルキメデスの原理ってのは球の体積なんかを求める時に
使った仮定だという話だから、>>871の質問は結構的を射てると思う。

面積に関して言えば、二等辺三角形を寄せ集めた正多角形の角がとれて
最後に円になるってわけじゃないよ。
どんなに小さい正の実数に対しても適当な正多角形を選べば
面積の差をその実数よりも小さくする事が出来るって事なんだけど、
やっぱりちゃんと理解しようとしたらε-δ論法の話になっちゃうね。

0.9 = ９×10^-1
0.99 = ９×10^-1 ＋ ９×10^-2
0.999 = ９×10^-1 ＋ ９×10^-2 ＋ ９×10^-3
↓
0.999・・・ = ９×10^-1 ＋ ９×10^-2 ＋ ９×10^-3 + ・・・
　= lim[n→∞]{Σ[k=1,n](９×10^-k)}

とかいう方向性の解釈は、
3)小学校で習った説明を繰り返すだけ派
に当たるのかな？

>>874

最近の小学生は「lim」なんてやるんですか？

>>875
イヤ、それがやるらしいよ。
円周率はおよそ３なのに。

Ｘ＝０．９９９９９９・・・　とおくと

１０*Ｘ＝９．９９９９９９・・・　なので

１０*Ｘ−Ｘ＝９．９９９９９９・・・−０．９９９９９９・・・

９*Ｘ＝９

Ｘ＝１　　　　　　　よって　Ｘ　＝　０．９９９９９９・・・　＝　１

そもそも無限に続く０．９９９９９９・・・という数を１０倍すること自体無理なのでは？
上の計算は０．９９９９９・・・という数に有限をつくり、それを１０倍して、
その小数点以下にちょうどよく合うようにXを定めて、
無理やり　９＊X＝９　という式にしたっていう感じが・・・
だから計算がどうとかの問題じゃなくて
０．９９９９９９・・・が１だという証明をする式を作り出すこと自体が無理なのでは・・・
文が変になってスマソ

>>877

すまんが、スレ違いじゃないかな？ここは数学板ですよ。

いやだから、数学的にも無理では？

それとも名前のことを言っているのですか？普段はほの板にいますから・・・

>>879

普通の数学的には無理は有りません。ですが、あなたの「オレ数学」の
中では無理なのかもしれませんね。「オレ数学板」で書き込むことをお勧めします。

普通の数学におけるこの問題の扱い方は、過去ログ読んでください。

えっといろいろ読んだんだけど・・・これは収束で片付けるのですか？
無限数列この場合０．９９９・・・において、０．９９９・・・が一定な値この場合１に
限りなく近づくとき、この０．９９９・・は１に収束する？
んで１を０．９９９・・・の極限値という？
０．９９９・・・→１　（０．９９９・・・→∞）
・・・かなぁ・・・。ごめん、解釈が間違ってるかもしれないけど・・・。

0.9999・・・を１にできるなら、1を0.99999・・・にできますか？
変換前と変換後の式では常に可逆できないとおかしいと思うのです
どなたかお願いします！

>>882

変換って何だ？

1 1.0 1.00 1.000 ・・・
は、0.99999・・・に収束しますか？

0.99999・・・が不定なので問題として不適

>>882
1 と 0.999… は同じものの別表記。
1 と書いてあるのを 0.999… に書き直すのも、その逆も桶。
>>884
収束する。

>>886
882は
定義だから、同じものだけど表現方法違うだけ
という前提を使わないで証明して欲しいんだろうたぶん

0.999…≠１とか言ってる香具師は
0.999…が１より小さい数だと思ってるから訳のわからないことを言ってる

じゃあ0.999…と１の間には実数が存在するのか？

永遠に９が続くのに
なんで１にたどり着くの？
たどり着けないんじゃないの？

別に亀と競争してる誰かさんではない

>>889
まず>>864の本を読め。
それから>>854を読め。

>>889

「永遠」は時間に対して使う形容詞だ。この問題には時間は関係ない。
勝手に数学の問題を、時間の問題（あるいは距離の問題）にするから、ややこしくなる。

アキレスは亀と競争してろ

0.999…と１の間には実数が存在するのか？

無限（×　永遠）に９が続く・・・となぜ１になるのか未だに分かりません

無限（×　永遠）に９が続く・・・となぜ１になるのか未だに分かりません

↑こんなレスが出ることが未だに分かりません

分かろうとしないだけだろ

0.99999・・・は不定などではなく、１なのですから、
1 1.0 1.00 1.000 ・・・ ＝ lim[n→∞]{Σ[k=1,n](１＋０×10^-k)} は
１に、すなわち 0.99999・・・ に収束しますね。

それでも0.999…はこの世から消えない。

0.999・・・が1になってしまう
ということは
・・・は無限など表してないという事？

無限なんて知覚できない事を
文章だけで理解させるなんて無理だよなあ・・・

おまえら、馬鹿だろ。
簡単に考えろ。
1=0.99999999999999・・・
これが成り立つには、1と、0.99999999999999・・・の差がなくならなきゃいけないわけだよ。
1=2だったら、差が1あるから、同じじゃない。これと同じ考え方をすると。
1-0.99999999999999999・・・
つまり、0.000000000・・・と、0が無限に続く。
だから、あるはずの、1が、0が無限と続くから来ない。
だから、0.000000000000・・・は、1が付かない数字になるから、=0になる。
差が0ということは、1=0.99999999999・・・・ってのはあたってるって事だけどな。

age

age忘れた（笑

>>902ですが。
簡単に言うと、0.99999999999999999・・・・って数字は、脳内であっても実用できない。

つまり・・・、４分の２のようなものとおもってくれ。普通は約分してつかう。

普通は、1って使うってわけだよ。

無限に続く、数字でも、いつか、1がくるだろ。って言うヤシが出てくるだろうけど。

無限に続くから、出てこないよ。つまり0なんだよ。

>>879
（0.999… = lim[n→∞]{Σ[k=1,n](9/10^k)} と思うと）
0.999…=1 なのだから、10*0.999… は 10*1 と書くのと一緒だし、
10*0.999… - 0.999… は 10*1-1 と書くのと一緒。
だからその計算には問題ない。
>>881
0.999…を「1に近づいていくもの」と思うと混乱すると思う。
0.999…自身はひとつの実数（つまり1）で、それが1に収束したりしない。
0.999…は、{0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, …} という数列の収束値を表す。
この収束値が1。

>>902,905

結論は正しいが、主張は他の厨とレベルは似たり寄ったりでつね。

(0.1)^n→0 (as n→∞) は理解できるんだろ？
なら 1-(0.1)^n→1 (as n→∞) も理解できるんじゃねーか？

>>838
0.999...＝1を認めない人達は、
>"実数nより小さく(or大きく)、nに一番近い数字は存在しない"
を認めない（知らない）んじゃないだろうか？
「0≦x＜1（xは実数）のとき、xの最大値は無い」に納得しない気がする。

デデキントに切断してもらえ

>>909
え? 認めないも糞も、周知の定理だと思ったんだが。
知らん奴のために証明するぞ。

難しい議論などしなくても分かるからよーく読んどけ、お前ら。

定理 実数nに対して x<nを満たすxの最大値はない

証明
x<nを満たすxの最大値Lが存在したと仮定すると、当然L<n。
この時、LとnについてM=(L+n)/2をとると、MはLより大きく、しかもnより小さい。 ∵ 中間値
Lより大きいMがN<nを満たしているから、Lは最大値ではない。

これはLが最大値とした仮定に矛盾するから、背理法によりLは存在しない→xの最大値はない
[Q.E.D]

要約すると、どんな2つの実数の間にも無限に数が存在するってこと(実数の基本性質です)。

まだ0.999…=1を認めてない人はここにどれだけいるのかな？

そんなこと俺にはデデキント

[蛇足]

中間値についてはっきりとさせておく

定理 任意の実数B,A(B>A)について A < (A+B)/2 < B

証明
O=(A+B)/2とすると
O-A = (A+B)/2 - A = (B-A)/2 > 0 ∴ A<O …… [1]
B-O = B-(A+B)/2 = (B-A)/2 > 0 ∴ O<B …… [2]

A < O=(A+B)/2 < B
[Q.E.D]

[訂正]

うわ、ミス発見。意味不明だ。

＞証明
＞x<nを満たすxの最大値Lが存在したと仮定すると、当然L<n。
＞この時、LとnについてM=(L+n)/2をとると、MはLより大きく、しかもnより小さい。 ∵ 中間値
＞Lより大きいMがN<nを満たしているから、Lは最大値ではない。

× Lより大きいMがN<nを...
○ Lより大きいMがM<nを...

補足
(1+1)/2=1

>>912
認めないというより
「よく分からない」「実体がつかめない」「腑に落ちない」
人が多いんだと思う

どちらにしても、証明自体は正しいんだから、1=0.999...は真として、後はどうやって納得するかの問題でしょ。

Ｘ＝０．９９９９９９・・・　とおくと
１０*Ｘ＝９．９９９９９９・・・　なので
１０*Ｘ−Ｘ＝９．９９９９９９・・・−０．９９９９９９・・・
９*Ｘ＝９
Ｘ＝１　　　　　　　よって　Ｘ　＝　０．９９９９９９・・・　＝　１

結論が正しいので、証明も正しい。

>>919
俺はその証明は正しいと思っているが(循環小数だろうがなんだろうが実数の加減乗除は公理だからね)、
納得しない奴のことも考えた方がよろし。

>>920
実数における加減乗除は公理としてよいが
問題は無限10進小数における筆算が
それに一致するかどうかということだ。
完全に順序が逆転している。

ん? 演算規則ってのは"無限10進小数への演算を○○のように定める"という意味で言ったのだが。
一致も何も規則は規則。

>>921は、"実数に置ける整数とか有限小数への演算規則(当然、公理)を循環小数に使うのは疑問が在る"と言いたいのだろうが、
もちろんそれは当を得た疑問だ。

"だ か ら こ そ"新たに規則を作るんだよ。
違うか?
指数関数に置ける
n^-3 みたいな負数乗とか、n^1/3みたいな有理数乗とかは、これまでの規則で扱えない新たな数
に対して既存の演算を拡張している例だ。それで既存の数学体系と矛盾しなければ問題無い。


で、循環小数の例では一番"安全そうな規則"として
10^n*(循環小数)の演算を規定する訳。

0.999...*10=9.999...
が既存の数学と矛盾するなら大問題だが、そんな話は聞いたことが無い。

補足

このスレで度々議論のスレ違いが起こるのは、上のことを理解せずに
0.999...*10=9.999....を直感的に当り前のようにとらえたり(新たな演算を定めるときには直感的な考えは重要だが)、
又は、にべもなく拒絶したりする奴がいるからだと思われ。

３分の１＝０．３３３３３３３３・・・
　両辺を３倍
３分の３＝０．９９９９９９９９・・・
　　∴１＝０．９９９９９９９９・・・

>>919
納得してもらうための証明、としてはいいけど、
>>結論が正しいので、証明も正しい。
ってなんだそれ？

そもそも9.999....って何だ？実数って何だ？という
疑問が質問者に芽生えてきたら、チャンスだと思って
きちんとした定義を与えてやった方がいいよ。

一応アナウンスしとくけど、次スレタイトルは

1=0.999999999999・・・・・　その5.999999999999・・・・・

でよろしく。

>924
なんの論証もなく　0.333・・・ ｘ3 = 0.999・・・
をいっていいんなら
そもそも
はじめから
0.999・・・ 　=　1
と言明して決着

>>908
つまりこのスレの人たちは(0.1)^n→0を理解してないんでしょ

質問だけど
ここでいう0.99999.....は
f(x)=-1(x<1);0(x=1);1(x>1)
だとどこにいれればいいんだべ？
厳密に１なのか、それとも近傍に過ぎないのか？

> 厳密に１なのか、それとも近傍に過ぎないのか？

近傍なら1でないと思うんだが。
極限をとれば1だけど、
どの時点で極限を取るかが問題なのか。

>>930
てか、そんな f を持ち出す意味が無いじゃん。

>>933
いや、関数代入のときの教科書の記述に疑問を感じたことがあるので。

あなたはどこに入れますか？

わからん・・・・

なーんだ、読んでみたらはじめのほうに書いてあるや。
でも、極限に関することは本読んでも納得できない部分も結構多いんだよねえ。

>>930
0.9999...=1である。しかるにf(0.9999...)=0.

蛇足
lim[n→∞]f(x_n) と f(lim[n→∞]x_n) とは必ずしも等しくないってことだね

>>938
その通り
この場合は f(0.999...)=f(lim[n→∞]{1-(0.1)^n})=f(1)=0.

>>907
終わりよければすべてよし

そもそも 0.999.. は数でない。従って数学としての議論は一切成立しない。

いや、lim(少数展開をn桁で打ち切ったときの有理数)として
考えれば（普通こう定義するんだけど）実数だよ。

上に有界な単調非減少函数だから。

電波にかまうなって。
好意的な言い方をすると、>>941が一般とは違う数学体系を持っているだけの話。

「電波」の一言ですませていいのかよ、そこで

もう一行付け加えてるだろ

0.9999...はどんなに桁を増やそうが１に近づくだけで1にはなりえない

何回同じことを言っても進展はないってば。

１になり得ないんだったら何になるんだろ？
１に一番近い数？なんだろね？

>>948
>>911,914,915を熟読せよ。

そもそも、
なるもならないも、０.９９９９９・・・は動いてるわけじゃないんだから
他の何かに（たとえば１とかに）「成る」わけがない。
０.９９９９・・・が＝１なら「成る」前から１のはず。

０.９９９９・・・が１になるなんてありえないよ

「１番近い」とか言うから生半可な奴らに突っ込まれるんだよ
近かろうが遠かろうが、違うものは違う。

素直に「違う」って言ったら「＝１派」にいじめられるから
「１番近い」とかいって譲歩したつもりになてるんだろうけど、
お子様は手心を加えてやると際限なく付け上がるもんだ。

だから一度ε-Nで1と0.999...の関係を記述してみろって
一目瞭然だろ？そんなこともできんアホは逝ってよし

もう発狂しそうなくらい何度も何度も何度も何度も何度も何度も何度も
何度も何度も何度も何度も何度も何度も何度も何度も何度も何度も何度も何度も何度も何度も
何度も何度も何度も何度も何度も何度も何度も何度も何度も何度も何度も何度も何度も何度も
何度も何度も何度も何度も何度も何度も何度も何度も何度も何度も何度も何度も何度も何度も
何度も何度も何度も何度も何度も何度も何度も何度も何度も何度も何度も何度も何度も何度も
ループしてるが、お前ら良く聞け。
「一番近い」 -> ある実数nに一番近い実数は存在しません >>911,914,915を無視ですか?
「成る」 -> 等号、不等号に成るも成らぬも在るわけねーだろw 記号の意味から勉強してこい。
「違う」 -> じゃあε-δ論法にあてはまらないことを説明しろと。それも分からん奴は微積分の入門書を読んで来い。高校の教科書じゃだめだぞ。
「1に近づくだけ」 -> 微積分の入門書を読んで収束に付いて理解して来い。お前の論理じゃあアキレスは亀に追い付けねーぞ。
「桁が増える」 -> お前も上に同じ。
「…は数じゃあない」 -> じゃあそもそもこのスレに来て議論するな。"オレの実数体系"を説明無しに持ち込むな。
「…は演算できない」 -> お前も上に同じ。
「納得できない」 -> 納得できることと、真偽は別。リア厨が線形代数に納得できなかったら線形代数の定理はすべて偽なのか?

>>954
世の中、バカが多くてつかれません？

>存在したと仮定すると
に、0.999999....の...の部分が含まれないので、証明として不適。

>>956
意味が分からないので、説明を求む。

>>956
すばやく説明を求む

もう一回挙げとく。ちょっと見直し。

[補題] 任意の実数B,A(B>A)について A < (A+B)/2 < B
証明
O=(A+B)/2とすると
O-A = (A+B)/2 - A = (B-A)/2 > 0 ∴ A<O …… [1]
B-O = B-(A+B)/2 = (B-A)/2 > 0 ∴ O<B …… [2]

A < O=(A+B)/2 < B
[Q.E.D]

--ちょっと関係ないかも--
系 任意の実数B,A(B≧A)について A ≦ (A+B)/2 ≦ B
証明 方法が同じなので略
--終了--

[定理] 任意の実数nに対して x<nを満たす実数xの最大値はない
証明
x<nを満たすxの最大値Lが存在したと仮定すると、当然L<n。
この時、LとnについてM=(L+n)/2をとると、L<nより[補題]から L<M<n
∴ Lは最大値ではない。

これはLが最大値とした仮定に矛盾するから、背理法によりLは存在しない→xの最大値はない
[Q.E.D]

--ちょっと関係ないかも--
系 任意の実数nに対して x>nを満たす実数xの最小値はない
証明 方法が同じなので略
--終了--

0.999999.... は １に近づいていく（最終的には１になる）数です。
ですからスレタイの式は正しい。

あのね..."なる"って何?
0.999...は定数ですよ。成るも成らぬもあるわけねーだろ。>>954でも読んどけ。

>>961
≠派の方ですか？（ｗ

>>962
＝派ですが何か?

派閥なんてあったのかw

ところで、過去ログも含めて今まで出た証明は、
1/3*3論法
0.999...*10論法
ε-δを使った収束に関する議論
実数nに一番近い数字が無いことを利用した背理法
10進数<->3進数を使って循環小数への演算を回避する方法
あたりかな。

これの全てを理解できない奴って一体どういう(ry

＞「納得できない」 -> 納得できることと、真偽は別。リア厨が線形代数に納得できなかったら線形代数の定理はすべて偽なのか?

言いたいことは分かるけど
なぜこの問題は納得できない状態に陥りやすいのか、とかを考えるのは大事じゃね？
あと「過去ログ嫁」とかじゃなくて、さらにさらに納得させやすい論法を考えるのもいいと思うんだが

0.99‥というのが
1/3*3とかそういう式とかの中で出てきた場合は1=0.99・・と理解できるが
ただ単に
0.99‥
とだけ出てくると、実体が分からなくなる。また頭がループに陥ってしまうよ

アホの巣窟

>>967
釣り堀として最適。

春ですからね

お前らにとっては釣堀かも知れんがな・・・

もう直ぐ1001ですね。それは兎も角

0.999……と1が異なる、と主張する人は、
(0.999……+1)/2がどんな数になるか考えてみてください。
実数は加法と、0でない数による除法に関して、閉じています
ので悪しからず。

>>971
それ、禿しく外出だが実はあまり意味が無い。

0.999...<1派に言わせれば、当然
0.999...<(0.999...+1)/2<1となるだけの話。

これもがいしゅつだが

０．９９９９９・・・
が1じゃない派は
自分がどんどん９を書き足してる状態で考えているのに違いない。
それだったらたしかに、いくら９を書いていっても有限時間では１にならない。
そうじゃなくて、・・・に意味するところは
はじめから９が無限個あることを意味している。
この佐賀わからないからなっとくできないのにちがいない。

初めて書き込むけどね、０．９９９９９９９・・・は「数」じゃないよ。

だから、０．９９９９９９９・・・に四則演算などはできない。

このことを理解しないといけないよ。

>>973
更に言うとそいつらの頭の中では「無限」=「とにかくたくさん」といった感じなんだろうな。
前にも書いたが「Aが9を無限に並べた列である」とは「Aがたくさんの9を書き並べたものである」じゃなくて
「Aの左に9を付け足したものもA」という考え方をすればかなり差がはっきりすると思う。

うげ、名前欄消し忘れてた…
>>975はここの>>236とは無関係です。

俺の感想

０．９９９９９・・・ が1じゃない派は自分がどんどん９を書き足してる状態で考えているのに違いない。 ←よくわかる
それだったらたしかに、いくら９を書いていっても有限時間では１にならない。 ←よくわかる
そうじゃなくて、・・・に意味するところは はじめから９が無限個あることを意味している。 ←はじめから「無限個」が想像できない。つかめない

２行目と３行目の間を
もっと分かりやすく解説きぼんぬ！

>>977
いい機会なので>>975の3行目に書いた性質を持つAがどういうものになるか考えてみてくれ。

更に言うとそいつらの頭の中では「無限」=「とにかくたくさん」といった感じなんだろうな。 ←そう思ってました
前にも書いたが「Aが9を無限に並べた列である」とは「Aがたくさんの9を書き並べたものである」じゃなくて ←書き並べられないってこと？
「Aの左に9を付け足したものもA」という考え方をすればかなり差がはっきりすると思う。 　←無限＋1の答えも無限ってこと？

3行目じゃなくて4行目だ。
「Aの左に9を付け足したものもA」という性質を持つ（数字の列）Aはどのようなものか？
「無限個」を直接想像出来ない人がこれについてどう考えるか知りたい。

まぁ、無限に続く数字って事は、計算できないんだろうけどね。

０．９９９９９・・・ って有理数かい？それとも無理数かい？もしや虚数！？

>>978
列を空間的に把握しようとしてる人にはそれは無理。
ω回の事象が有限時間内に完了する物理モデルならわかると思うんだが。

>>982
虚数ではない。
有理数でも無理数でもある数。

＞有理数でも無理数でもある数。
何それ？どっちかはっきり汁

>992、984、985
1なんだから有理数だよ。

≫>992、984、985
1なんだから有理数だよ。
０．９９９９９・・・≠１派の人間に聞いてるんだけどね

0.9999…≠1派というのは、表現と実体を別物と考えているんじゃないかな。

表現としてはたしかに異なるので、たとえば「数字の無限列全体からなる集合」
と「実数全体の集合」の間の一対一対応を作るときなどはこのことが問題になる。

ただ、0.9999…という「数字の無限列」を「実数」と考えるとき、その実数は
1しかない（「1より無限に小さい実数」などという実数は存在しないから）とい
うのが普通の数学なわけだが、0.9999…≠1派はそのへんをどう考えているのだ
ろうか？

循環小数は有理数ですよ。つーか中学生レベルだぞ、そんなこと。

９８６と９８９はこのスレで何をやっているのか分かってない。

何度も何度も言わせてもらうが

「無限個」

って言葉を使うのはやめたほうがいい。
それが混乱や誤解を引き起こすし、
”0.9999...=1”を理解する上で、
「無限個の9」なんてわけのわからん状況を想定する必要は皆無。

1/3=0.333･･･　の右辺を「3が無限個ある」と捉えるのもおかしいのかもな。
1/2=0.5000･･･　を「0が無限個ある」という認識は普通しないからな。


結論：有理数は小数表記禁止！

あのね、そんなことしても数学は発展しないよ。
それは単純に退歩してるだけ。

>>992
循環小数で表せるのが有理数
循環小数で表せないのが無理数

>>991
可能無限で話がすむのだから、実無限など考えないほうがいいという意見かな？

しかし考えていけないというわけではない。別に「わけのわからん状況」でもない。
むしろ「数字の無限列全体のなす集合」は理解できたほうが数学的だし、無限硬貨
投げを数直線上の実数に対応させるルベーグ確率空間の構成などでは実際必要になる。

>>989
循環小数が有理数であることを中学生までの知識で証明してください。

２つに相違なる有理数の間には無数の有理数が存在する。

↑これ常識ですよね？
で、0.9999…≠1ならば0.9999…＜α＜1
となる有理数αが存在することになります。
でαって何が入るんだろ？

中学校では循環しない小数のことを無理数と言うようだが？

まず先に実数の連続性と収束（ε-N）、
それから位相について勉強しろ、というのが俺の意見。
「無限」についてあれこれ考えるのはその後で十分だと思う。

アホの巣窟で１０００ゲット
次スレも頑張れよ（ﾌﾟ

このスレッドは１０００を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。