自明な体について考えるスレ

有限体の乗法群が巡回群になる事の証明って簡単に出来ないんですかね

>>91
（＊）有限アーベル群の各元の位数の最大値をNとすると、すべての元の位数はNの約数になる。
を認めれば簡単。

（＊）は「有限生成アーベル群の構造定理」からすぐ出るが、単独で示すこともできたはず。
たしかアルティン「ガロア理論」に書いてあった。

自明な体って何しても0になればOK？

>>91
Step1. G：有限群 が次の性質☆を持つならばGは巡回群である。(単位元は1とかいた)
☆：∀k∈N ,#{ g∈G | g^k=1}≦k

<proof>有限群Gが☆を満たすとする。
A(k)={ g∈G | gの位数はk} B(k)={ g∈G | g^k=1}
とおくと #G=Σ[kは#Gの約数]#A(k) ,A(k)⊂B(k) ,#B(k)≦k である。
今 #A(k)≠0 とすると 位数kの元h∈G が存在する。
hの生成する部分群をHとおくと、H⊂B(k) であり k=#H≦#B(k)≦k
よって B(k)=H であり A(k)⊂H　従って #A(k)=φ(k) (φ：オイラー関数 i.e. φ(k)=ｋと互いに素なｋ以下の自然数の個数)

以上より #G=Σ[kは#Gの約数]#A(k)≦Σ[kは#Gの約数]φ(k)=#G がわかり
∀k：#Gの約数 ,#A(k)=φ(k)　特に #A(#G)=φ(#G)≠0 つまり Gは巡回群となる。

Step2. F：体 F*=F-{0}：Fの乗法群 とする F*の有限部分群Gは巡回群である。
(特にF：有限体 ⇒F*：巡回群)
<proof>
∀k∈N ,X^k-1=0 のFにおける根の数はk以下 従って #{ x∈G | x^k=1}≦#{ x∈F* | x^k=1}≦k
よってStep1より Gは巡回群