◆ わからない問題はここに書いてね １３１ ◆
866 ：１３２人目の素数さん：
>>863
(1) S_n=-(2^n)+2(n^2)=a_1+a_2+・・・+a_(n-1)+a_n
より、a_1=S_1=-2+2=0
1<n のとき a_n=S_n-S_(n-1)=-2^(n-1)+2(2n-1)
以上より、a_1=0、a_n=-2^(n-1)+2(2n-1) (n=2,3,4,･･･)
(2) (1)の結果より、a_1=0、a_2=4、a_3=6、a_4=6、a_5=2、a_6=-10
n=k (k=6,7,8,･･･) のとき a_k=-2^(k-1)+2(2k-1)<0 と仮定すると
a_(k+1)=-2^k+2(2k+1)=2{-2^(k-1)+2(2k-1)}-4(k-2)-2=2a_k-4(k-2)-2<0
したがって、数学的帰納法により、すべての 6≦n なる自然数nについて a_n<0
よって、 a_n≧0 満たす自然数nの範囲は 1≦n≦5
(3) (2)の考察より、求める総和は S_5=-2^5+2*5^2=18
(1) S_n=-(2^n)+2(n^2)=a_1+a_2+・・・+a_(n-1)+a_n
より、a_1=S_1=-2+2=0
1<n のとき a_n=S_n-S_(n-1)=-2^(n-1)+2(2n-1)
以上より、a_1=0、a_n=-2^(n-1)+2(2n-1) (n=2,3,4,･･･)
(2) (1)の結果より、a_1=0、a_2=4、a_3=6、a_4=6、a_5=2、a_6=-10
n=k (k=6,7,8,･･･) のとき a_k=-2^(k-1)+2(2k-1)<0 と仮定すると
a_(k+1)=-2^k+2(2k+1)=2{-2^(k-1)+2(2k-1)}-4(k-2)-2=2a_k-4(k-2)-2<0
したがって、数学的帰納法により、すべての 6≦n なる自然数nについて a_n<0
よって、 a_n≧0 満たす自然数nの範囲は 1≦n≦5
(3) (2)の考察より、求める総和は S_5=-2^5+2*5^2=18
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