1=0.999999999999・・・・・　その４

前スレ
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1045656871/
前々スレ
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1022253026/
前々々スレ
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1004837995/

息の長いスレだな。

立てるなよ。

まず　１＝０．９と定義する。　するとこれは違うと否定される。
そこで　もうひとつ９を付け加えて　０．９９とする。これも否定される。
しかしいくら否定されても何度でも９を付け足せるので否定不可能。
由に　１＝０．９９９９９９９９９・・・・・・　である。

http://science.2ch.net/test/r.i/math/1065648782/

http://ime.nu/www.google.co.jp/

http://ime.nu/ime.nu/ime.nu/ime.nu/www.google.co.jp

まず　１＝０．９と定義する。　するとこれは違うと否定される。
そこで　もうひとつ９を付け加えて　０．９９とする。これも否定される。
何度でも９を付け足せるが全て否定される。
由に　１≠０．９９９９９９９９９・・・・・・　である

1/3=0.3333333333....
3掛けて
1=0.99999999999...
普通にこれでいいよ

1=0.9999999999999999999999999999・・・その２
http://science.2ch.net/math/kako/1022/10222/1022253026.html
1=0.9999999999999999999999999999・・・
http://science.2ch.net/math/kako/1004/10048/1004837995.html

　どこまで認めてこの話をしてるのかな？

1/9=0.11111....
とか
1/3=0.33333....

は認めてるのかな？.

>>11
1/9≠0.1
1/9≠0.11
･･･
1/9≠0.1111....
ですが何か？

初項0.1 公比0.1の等比数列の和の極限は 確かに1/9 になります。
ですが、0.1111････ のような 無批判な････は 私は認めません。
同様に、 π は認めますが、 π=3.141592653589793････ は認めません。
π≒3.141592653589793････なら認めます。
連分数展開の極限としての √2存在は認めますが、 √2=1.414････も認めません。
言いたいのは、極限を ････と誤魔化すなということです。

　　　　　　　　　ま　　　た　　　こ　　　の　　　ス　　　レ　　　か　　　よ　　　。

例えばxを実数として、関数f(x)を、 x=πの時は1,x≠πの時は0とします。
lim{x→π}f(x)=0 ですが、 f(π)=1 です。
もっというならば
f(3.14)=0
f(3.141)=0
f(3.1415)=0
・・・・
このやり方では永遠に0です。つまり、
無批判に・・・・を用いることはできないということです。

無限小数は存在しないが、無理数は存在する、です。
高校までの教育で皆さんがどんな馬鹿げた理屈を詰め込まれたかはしりませんが、
無理数は循環しない無限小数ではありません。小数ですらないのです。
小数はあくまで位取りにおいて、有限桁のものを保証します。そもそも
"・・・・"というのは省略しているよ、という意味であって数ではないです。
こんな"・・・・"とか、循環を意味する"・"(ドット) を使わなければならないような
小数は、小数ではありません。ドットも"・・・・"も使わなくても、
有理数ならば、位取りの基数を変えることで有限小数にできます。
無限小数は、数学の歴史上は必要だったかもしれませんが、
現代では表記の簡便さ以外に価値はありません。

そもそも小数とはなんでしょうか？
小学校の頃、0.1というのは何のことだと教わりましたか？
1を、10で割ったもの、つまり1の10に対する比ですよね？
0.2は、それを2つ集めたものか、あるいは2を10で割ったものか、
どちらにせよ、小数の発生起源は、 "比"です。(厳密には整数比のことです)
分数も小数も、"比"があるところに存在するものなのです。
比のない、無理数には、当然、分数も小数も対応付けられるわけがありません。
つまり、πを数値的近似で教える(3.14にしろ3にしろ3.14・・・・にしろ)
以上、極限や収束といった概念は、背後に控えてなければならないはずです。

何がいいたいのかというと、
・有理数は、位取りの基数をかえれば、すべて有限小数で表現できるということです。
このレスを読む方の中には、
「えー、んなのうそだよ、だって3進法で1/3が0.1ってあらわせても、
ってじゃあ1/7はどうなるのさ。これは無限小数になっちゃうじゃんか」
という方もいることでしょう。
なら、21進法を考えてください。21進法なら有限小数になります。(煩雑なので省略します)

厳密な証明をすると膨大になるので除きますが、
有理数は、別に無限小数でなくても有限小数で表せる、ということがポイントです。

以上より、
1=0.999999・・・・・？ 議論はナンセンスということになります。

だって 0.999999・・・・・ という数なんてないんですから。

つまり、 ＝ ではありませんし、 ≠とするのも気が引けます。

数と数でないものの比較ほど無意味なものはありません。

そうそう単なる表現の問題じゃないーーーの？

この電波くんは完備離散付値体の展開定理を知らないのです。可哀想なことです。

>>18
ネタ？

>>18
バカ？

もし… １≠０．９９９…　なら対角線論法は破綻するの？

0.999... はまぎれもなく実数であーる。

0.9999…は文字列。その解釈は1。
"0.999…"≠"1"
I("0.999…")=I("1")=1∈Ｒ

しかしながらI("0.999…")≠I("1")となる解釈も存在する、と。

＞しかしながらI("0.999…")≠I("1")となる解釈も存在する、と。

何の話？実数の定義を変えるってこと？

超準解析の話をしたいのだろうか？

0.9999999999...は数列{a_n} = {9*10^(-n)}の和の極限である。
数列{a_n}の和をS_nとあらわすと、a_nは初項0.9、公比0.1の等比数列なので、
S_n= (0.9 - 0.9(0.1)^n) / (1 - 0.1) = 0.9(1- (0.1)^n)/0.9
ここで、n→∞とすると、 (0.1)^n→0より
S_∞=1

以上より
1 = 0.999999999999... が示された//

>>27
したいんだけどね。まだ自分で勉強してないから…

ええと

んじゃあ、0.9999・・・という数字なんだけど
この９が無限に続いているとした極限が１
だというのは認めているのかな？

>>30
ごめん、この言い方かえる

>初項0.1 公比0.1の等比数列の和の極限は 確かに1/9 になります。

これを認めておられるようだから

初項0.9 公比0.1の等比数列の和の極限は 確かに１ になります。
ということになるのかな？

あと12とか4のひとは

証明してるつもりなのですか？

どんな方法で証明してるんでしょう？
もしかして演繹法？

背理法で示す。

今、1≠0.999999...と仮定する。
このことに矛盾は生じない。
よって、背理法では示せないことが示された。

矛盾が生じないことの証明はどうしたのか、
とか突っ込むべきですか？

ある実数a,b(a≠b)に対して、
a - c = bとなる実数c(≠0)が存在することを自明とすると。(1)
1≠0.999...のとき
1 -c = 0.99999....(2)
∴1 - 0.99999... = c
∴1 - (0.9 + 0.09 + ....) = c
ここで括弧の中は公比0.1、初項0.9の等比数列{α_n}の和である。
Σα_ｎ = 1となることは>>28で示されている通りである。
すると、
1 - 1 = 0 = cとなり、c≠0に反する。
ゆえに、1　≠ 0.999...は矛盾である。

>>35
＞存在することを自明とすると。
などというアフォな証明文なんぞ見たこと無い。

自明としないで仮定しろ。

実数の定義も知らぬアホがこんなにたくさんおるとは。情けない。
ちなみに 1=0.999... に超準解析を持ち出すことには意味がないと思う。
本質的にはε-δと変わらないわけで。

初めに
「実数は自然数のベキ集合と定義する。」

とすれば 何も問題ないんでねーの？
定義な以上、突込みどころねーべ。

漏れは今高一で、専門的な数学は全く分からないんだけど、
こんなのじゃダメ？

1=0.9+0.1ということは、
1=0.9999999+0.0000001
も成り立つ。
このとき、0.9999999は小数点以下に7つの"9"が連続していることになる。
この連続している数の個数をｘとする。
すると、0.0000001はｘ-1この連続した数字が並ぶことになる。

0.999...の場合、
ｘ=∞
0.000...は
ｘ-1に代入して
∞-1
しかし、無限は無限なのだから、
∞-1は成り立たない。
つまり、永久に0が続くことになる。
すなわち0.000...=0
よって、
1=0.999...+0
1=0.999...

とか言って見るテスト。
支離滅裂だけど何となく言いたいこと伝わった？

>>40に電波降臨

warota

＞漏れは今高一で、専門的な数学は全く分からないんだけど、
＞こんなのじゃダメ？

全然ダメ。

今のところ

1)0.99999....の....を極限をとる操作と解釈して、これは1と等しいはず派
2)0.99999....は超準解析的には1と等しくないだろうが派
3)小学校で習った説明を繰り返すだけ派
4)厨（主張は雑多）

がいるわけだな。そろそろ強烈な珍説キボンヌ

超準解析的にも 0.9999...=1 でしょう？

最終的には。

>>46
最終的には。

ってなんじゃいゴルァ━━━━━━（゜Д゜)━━━━━━ !!!!!

電波じゃないもん。

「最終的には」でおおよそ正しいね。

>>48
おまいはただの勉強不足だろ。

x=0.9999999...とおく
10x-x=(9.9999...)-(0.9999...)=9
つうことは、9x/9=1　
だめ？

>>51
それは>>44の3),4)に相当するわけで。

テカ君ら「記数法」って言葉聞いたことある？

0.9999.... をどう定義して使ってるの？
その点合意が無いようだけど、だったら事前に自分的定義でも示してから
レスしないと話かみあわないくない？

有理数列の極限じゃー

>>53

すでに何スレも前から出尽くしている議論ではある。

3.14... なんてのも有利数列の極限ってことで良い？

何が有利なんですか？


じゃあeは不利数列ってことで。

ビンボー

π=3.141592・・
e=2.718281・・
X=0.999999・・
いずれも有理数列の極限として定義してよろし。

>>58
確かにそれらの「記述が指している対象」は確かに有理数列の極限として定義して
よろしいと思うんだけど、ではいったいそれらの式で等号の右側に書かれている記述は
どのような記法に基づくものであるか、ということについてはどう思いますか？

有理数を表す無限小数については、循環小数という記法が存在するとして、
「無理数を少数表記する記法（構成的記述ルール）」は存在しないような気がします。
何桁書いても対象の有理数列を特定できないから。

>>59
e:=�納k=0,∞](k!)^(-1) としておいて、たとえば
eに収束する有理数列 a_n=10^(-n)[(10^n)e] ([・]はGauss∀) を考えればeは10進展開できませんか？

訂正　[・]はGauss記号

＞「無理数を少数表記する記法（構成的記述ルール）」は存在しないような気がします。
＞何桁書いても対象の有理数列を特定できないから。

特定できるし。

超準解析は実数より大きい超実数の集合を考える物で、
そこには全ての正の実数より小さい、正の超実数cがある。
しかしそうやって0.999…を実数以外の物（1-c）として定義するのはちょっと反則のような気が。

実数より大きい超実数の集合
↓
実数の集合を真に含む超実数の集合

と訂正しとく。誤解生みそうだから

>>59
小数点以下有限桁の情報だけで値が決定できなきゃ駄目だなんて
規則を持ち出した時点で、無理数の十進表記を排除しますと
宣言しているようなものだ

超実数は微積とかの理論をスムーズに運営するために
形式的に導入したものなんじゃないの？

0.99999･････=1 だな。
散々馬鹿にされたので調べて調べて分かりました。
では(´ー`)/~~

>>67は全くわかっていないと思われ。

1と0.999...は性質が違うだけで同じ値である。

>>69
その「違う性質」とやらを教えてもらおうか(w

>>70
表記の仕方

性質も糞もあるかっつーの
両方とも1だろ

>>71
それは何の性質も表していないだろ。

数の性質の話かと思った。

1と0.999...は表記が違うだけで同じ値である。

>>75
結論はそれで正しいね。

１≠０．９９９９９９・・・・・・・・・
とする。
すると、このとき
０．９９９９９９・・・・・・＜ｃ＜１
となる実数ｃが存在する。

ｃを小数表示したとき
小数点以下に９でない数があるとすれば
ｃ＜０．９９９９９９・・・・・・
となり仮定に矛盾する。

小数点以下に９でない数がないとすれば
ｃ＝０．９９９９９９・・・・・・
となり、やはり仮定に矛盾する。

よって
１＝０．９９９９９９・・・・・・・・・
である

1は最初から用意されていた数字
0.999...は計算をした結果出てきた数字

>>78
ん？

>>78
1は実数の元を表す数字、またはその10進表記だが
0.999…は10進表記でしかない、と言った感じかな。

>>79
マラソン選手(m)がスタート地点(s)からゴール地点(G)に帰ってくる。
しかし、mはsにいるときとgにいるときでは、あきらかに状態が違う。
また、sとgを同地点とし、１はs、０.９９９９…はgとする。
s=gだがgはm(ここでは計算過程など)によって生まれるものであって、sがないとgもない。
しかし、sはそれだけで存在できる。

つまり、０.９９９９…は１という定義がないと存在しえないものだと思う。
また、０.９９９９…という数字は定義するに値しないものだと思う。

わかりにく過ぎるが、せっかく書いたので載せます。
まあマラソン選手は時間が経てば回復するともいえるから結局
１＝０．９９９９…
レスがなくても僕は負けません。

電波な方が再び降臨なされました

>>82
うむ、苦しゅうない

もうちょっと言葉を選べばいいのに…

＞つまり、０.９９９９…は１という定義がないと存在しえないものだと思う。
＞また、０.９９９９…という数字は定義するに値しないものだと思う。

ﾜﾗﾀ

こうやってこのスレは続いてゆくのです

3)小学校で習った説明を繰り返すだけ派
4)厨（主張は雑多）

が盛り上げるスレですか？

>>87

何をいまさら。

2chは教室じゃないですよ？

分かってる人は説得が無駄だと知って去っていくからな。
でも4)は幾らでもいて、スレタイに吸い寄せられて来ると。

ー１＝・・・・・・・・９９９９９９９９９

>>89

むしろ、わかってる人が盛り上げるために
ジサクジエーソしてるんじゃないかと。

>>86
そうです。
おそらく2ch数学板が続く限り、手を変え品を変え
出てくることでしょう。

大ジサクジエン帝國のAA
　↓　↓　↓

自分で貼れﾊｹﾞ

1の定義って何？

>>95

・不可分の存在
・順序の先頭
・存在

何無駄なスレ続けてんの？
おまえら、同じ議論何度もやって
時間の無駄だというのに気付かないのか？
こんな議論やるぐらいなら
ゴールドバハ予想にでも貢献しろよ。
できねーなら数学者やめちまえ。流れ作業の肉体労働やれよゴミども。

ああ、同じこと何度も何度も時間かけてやらないと覚えられないノロマさんなわけね。
それじゃ肉体労働でもつまはじきにされるわ。
スピードない奴、つまんないから死んでくれね？
数学は理解のスピードが命！

馬鹿でも時間かけて覚えられる？
はあ？社会はそんな時間待ってくれませんが？

無駄なことするのが数学なんだよ！
それ覚悟で人生を数学にかけてるやつがこの世のなかにはしぬほどいるんだよ！
そのうち一番無駄なことやったやつにフィールズ賞が与えられるんだよ。

>>98
ばかじゃねーの？フィールズ賞もらうような奴は、
フィールズ賞とは限らないが、名誉の為に数学やってるんだな。
無駄にやってるわけじゃねえだろ。

目的があるからやってるんだろ？ん？
その目的の正当性を数学で証明してみろよ？ぼくちゃん？
とりあえず2chで吹かしているオチこぼれは氏ね

もうええやんけ。好きで数学やってんねやから。
優秀でも劣等でも職業でも趣味でも。
外野の声なんかほっとこうぜ。

でも1=0.999999999999・・・・・なら、
全ての整数は無限小数で表せるよね。それってある意味醜悪だよね。
ガウスが生きていたら何と言うやら。

ん？？

無限の１個前の桁はなんだっけ？

有限　　と適当なことを言ってみる。

無限＋無限＝２無限

>>101
別に何もいわねーだろ。

＞その目的の正当性を数学で証明してみろよ？


いきなり論点がぶっとんでてﾜﾗﾀ
ありえね〜ｗ＞哲厨の論理

>>101
　ガウスがこういうことについて何を言ったの？

　すべての整数が無限小数で表せることが
醜悪だという価値観がどうしても理解できんのです

普通に1=1.0000000000…と無限小数で表示されますが。

>>109
神

すべての整数が分数で表されることについてはどう思うんだろう

√2にこだわる人は、これの連分数表記に1と2しか
出てこないことについてはどう思うんだろう？

>>60
有限桁で記述できない「記法」というものに基づく記述を途中で省略したばあい、
何が省略されたかは文脈依存になるよね、という話。

　e = �納k=0,∞](k!)^(-1) であるところの e を、ここでは
　e = 2.718281・・

　と記す、というような文脈が必要。でもそういった文脈ならば、単に e と書けば
十分なわけであって、適当な桁数で省略した無理数の10進記法は工学的意味
しかないような気が。。

>>62
じゃあ、これはどんな数列なのか特定できますか？-> 2.160595126782...

>>112
特定できる，とはそういうことではない．
選んだ表記進法に関し，どんな桁数nについても，
その桁の数値を特定できるなら（その時点では常に有限列），
その実数が特定できるということだ．
別に判じものをやろう，というわけではない．

>>113
僕も別に判じものをやろうとは思ってませんよ。
無理数の実数表記（省略あり）については well defined だけど、
逆方向の変換 (省略された実数表記から元の無理数を特定すること) は
well defined じゃないじゃん、ってことを言ってる。

>>114
了解。すまん。

1≠0.99999…というのなら1と0.99999…の間にある実数を１つあげてくれ

(1+0.9999...)/2

よし。>>117の数を これから υ (ゆぷしろん) とよぼう

(2*1+1*0.9999...)/3 にも是非名前を付けてくれ。
これが出来ると、微小三角形の重心がエレガントに表現できるんだ。頼む。

0.9999...=υ でいいだろ
>>117は(υ+1)/2
>>119は(2υ+1)/3

υ*υ*υ*υ*･･･=0でつか？wwwwww

0.9999...<1　ならば当然そうなるでしょう

f'(x)={ f(x+(1-υ))-f(x) } / (1-υ)

f(x)=x^2とすると
f'(x)=((x+(1-υ))^2-x^2)/(1-υ)
=2x+(1-υ)

∴1-υ =0

∴υ=1

（゜∀゜ )

つーか１＝１でいいじゃん。０．９９９９９・・・とか書く必要ないだろ。
それが全ての癌じゃないのか。

また電波か・・。

またヴァカが一匹・・・。ガンガレｗ漏れはもう逝く。

と、ヴァカが申しております。

>>128は>>126に対するレスじゃないのか？
過剰反応しすぎ。なにビクビクしてんだ？>>129

>>130
しょうがないよ。だって>>127自身が電波なんだから。

この会話もジサクジエンにしてしまうだろうよ。しょうがないよ、ヴァカなんだから。

>>125
>>116-124で使われている定義からは1-υ=0が導かれるとは限らない。

f'(x)を積分したらどうなるの？

何がおかしい？　1=0.999999999999・・・・・なら
0.999999999999・・・・・は必要ないだろ。長ったらしいし。
いったいこれは何の議論よ。

電波だなあ。
１＋１＝２だからといって２が必要ないということにはならん。

朝鮮信用組合に公的資金（税金）を影でこそこそ投入したり、
政官癒着を未だ引きずる自民党をこのままのさばらしていいのか？
ぜひとも、真摯な目で政局を選んで欲しい。
新しい動きは二大政党に期待してみてはどうだろうか？


●●●２ちゃんねら衆議院総選挙●●●
（調査期間：９月２７日〜１０月１０日、→１０月２７日まで延長）
あなたはどの政党の候補者に投票しますか？〜小選挙区〜
１１月９日に投票があると言われている次期衆議院総選挙で
あなたはどの政党の候補者に投票しますか？

●●●ただ今、中間発表を公表中！！●●●
投票所はこちら→http://vote3.ziyu.net/html/dai02kai.html

参考：選挙でGO!!→http://homepage3.nifty.com/makepeace/

これと同じものを最寄りのスレにコピペをしてください
よろしくお願いします

>>136
公職選挙法違反じゃないのかな？
リンク先もそうだけど、それをはったあなたもね。
最近は全IP記録されているから。

念のため、今は自由を満喫しておいたほうがいいと思う。
塀の中では甘いものがダメらしいよ。
実刑ないまでも、パソコンは押収されるかも。

無限…か…

ええと
0.99999999999.../７を計算して見て
きちんと7の循環小数になるのを確かめて少し喜んでしまったｗ

>>135
必要ならその理由を言わなきゃいけないな。１＋１＝２の場合なら
通常は２だけで十分。文字は出来るだけ消去しなさいと教わらなかったか？

0.999999999……を五倍したら５なの？

a >= 0 とすると

lim[n→∞] a^n は
a > 1 で∞
a = 1 で1
a < 1 で0

lim[n→∞] (1-1/n)^n = 1/e ≒ 0.36

いえ、ちょっといってみたかっただけで、、、、
逝ってきます

有理数と有理数の間ってすきまあるけど

無理数と無理数の間もすきまあるの？

隙間があるってのを数学的にきちんと表現してくれないと何とも言えんが…。

連続性の話だろ

>>140
じゃあ１＋１はいらんのか？
どっちもいるってことだ、ボケ。

>>140
>文字は出来るだけ消去しなさいと教わらなかったか？

なんだこりゃ

>>146
だから要らないっつてんじゃん。要るなら理由を言え、バカ。

極限の定義も知らないDQNなチャンネラが集うスレはここですか？

　　　　　　　.
0.999... = 0.9 =0.9 + 0.09 + 0.009 + ...
　　　　 = 9/10 + 9/100 + 9/1000 + ....
であるから0.999...は初項9/10、公比1/10の無限等比級数で表せる。
公比をrと書くと|r|<1であるからこの無限等比級数は収束する。
よって初項をaと書くと無限等比級数の和の公式より
0.999... = a/(1-r) = 1

>>150は先天的馬鹿。

1÷3=0.333...=1/3

1÷3*3=0.999...=3/3=1

>>152
はいはい、氏んでね。

て優香、何を議論してるの？
こんなもん、極限の定義から一発じゃん。

俺小学校か中学校の時に、ｙ＝1/xってのは、反比例のグラフで、Xが無限に増えても
0になることは無いって教わったのね。

でも、数列の和　1+1/2+1/4.......が２になるって事はどーゆう事なの？

これをすっきり説明して。

一辺の長さが１の正方形を２つ用意する。
そしてその級数を、正方形内の長方形の面積に対応づけていく。
するとすっきりわかるかな？

>>156
その級数が分かりません。

「その」とは何？

正方形内の長方形が分かりません。

任意の長方形？

>>156
おまえもわかってないんじゃん（ﾌﾟ

>>158
うっせー馬鹿！

＞任意の長方形？

「任意」という語を使っていることからして、
数学を少しはかじったこたがあるだろおまいｗ
釣り師に認定。

>>160
釣りとか言うな、本当に>>155で悩んでるんだ。

等比級数でググってね

>>162
もう一個ぐらいキーワードだせ、
>>155の答えになってない。

じゃ、マジレス。
まず一辺の長さが１の正方形を２つ用意する。それらをＡ，Ｂとする。
まず1+1/2+1/4・・の「1」を正方形Ａの面積に対応させる。
正方形Ａを黒く塗りつぶしておく。
次に「1/2」を、正方形Ｂの半分の面積に対応させる。
その半分を黒く塗りつぶす。
その次は「1/4」を、正方形Ｂの白い部分の半分の面積に対応させる。
そこを黒く塗りつぶす。
ここまで来れば、1+1/2+1/4+1/8+・・=2を悟れるはず。

数列の無限和を、部分和の極限として理解するならば、

1/2 + 1/4 + 1/8 +… = 1

だろう。その他の考え方でどうなるかは知らない。

>>164
だから、極限がそう言うのは良いんだよy=1/xと矛盾しないか？
って事なんだよ。y=1/xでｘが無限大ならｙはゼロと言えるなら納得する。

>>166
一体、何が矛盾すると言っているのか、判りませんが・・・？

あっ、ここネタスレだったんだ

結局、lim[x→∞]f(x)と、f(∞)をごっちゃにするからそうなるんだよね。

「無限大」っていう「数」は存在しないのよ。

f(x) = 1/xならば、lim[x→∞]f(x)は0だけど、任意の正の数に対してf(x) > 0

ってことだ。形式的過ぎて分かりにくいかもしれんけどさ。

>>166
最初からそう言え馬鹿！！！！！！！！！！！

>>169
日本語に約すると、極限の場合は良くて、そうじゃない場合は駄目って事で、
なんで駄目かは説明しないって事？

>>171
いや、だから、無限大とかいう実数は無いんよ。

>>172
じゃあ、学校の先生が嘘ついたって事か？
y=1/x　でｘに∞を代入する事が許されていないって事か？

そろそろ晒しあげるか

>>173
二行目、ただしい。学校の先生が言ったことも正しい。
間違ってるのは君の理解。

>>174が晒されておりますw

２匹まとめて再度沙羅氏安芸

>>175
はぁ？
おかしいだろ、学校の先生の言ったことも正しいなら、
そこをちゃんと説明しろ、極限をとったら（lim）という
操作をしたら、無限級数の和が収束するってのなら、
四捨五入したらってのと同じ意味になるぞ。

それで良いのか？

>>177 はあくまでも晒されていそうですw

>>178
どんなに大きな実数を代入しても 0 にならない。しかし極限は 0 である。
何の矛盾がある？

>>178
だから、おかしいのは君の頭。君の極限概念の不理解さだ。

>>179-180

だ・か・ら、分からないから説明しろ（いやして下さい）と言ってるのに、
理解してないから駄目だなんて言うな馬鹿！！。

だから「収束する」、と「値が等しくなる」は別だろ。普通はあんまり区別しないけどさ。
1 + 1 = 2と、lim f(x) = 2 とでは「=」の意味が異なるんだよ。普通はあんまり区別しないけどさ。

だから、先生の言う事もある意味では正しい（実際どんな大きなxに対しても1/xは0にはならない）し
極限をとったら0になる、というのも正しいんだ。

すまそ。かぶりまくり。

>>182
でも、有限の実数は無限分割可能っていう、論拠が収束するなんだろ？
そこが分からないのよ。

収束と値が等しくなるが別の意味っていうのなら、実数は無限分割可能とは言えないんじゃないか？
と思うのですよ。

堂々とageて議論しろや！＞数ｦﾀ

>>184

えーと、無限分割ってのはなんですか？デデキント切断？

無限とは幻であった。

どっかで聞いたことがある。たぶん偉い数学者の言葉。

>>186
そんな難しい事言うな！！知らんって。

1/2+1/4....を足せば1に収束するから、１は無限分割可能で、
有限の値を無限に分割できるだぞ、凄いだろ-って言う奴
がいるんだよ。

下げちったごめん。

>>188

だから、形式的な議論としては上に書いたとおりに二種類の=があったり、
∞なんていう数はなくて、ただ極限があるのみなんだ、と言ったりする。
そういう意味では「1は無限回分割可能」なんていう命題に真偽は定めら
れない。

でも正直言って普通の数学者は=が二種類あるなんて思わないし、どっちも
「等しい」という意味だと思ってる（もちろん区別する時はするけど）。だから
「数は無限に分割できるんだぜー」っていう言説も、まあ間違ってるとは
言えない（ていうか「極限」の表現を使って書き直すことも出来るし）。

だ∞それで「「言

>>190
なんだ？じゃあこうゆうことか

y=1/x　を何処までも大きくしても∞になることは無い。

だけど、極限をとる操作をすれば無限になる。その時はゼロだ！！ちゅうことか？
そんな事、小学生に教えるな！！馬鹿！！ってきがするぞ。

高校の教科書でも、昔嘘付いてごめん。無限なんて無理。
とかちゃんと説明してないぞ。

あ〜やだやだ、嘘つきばかりだ。

＞「1は無限回分割可能」なんていう命題に真偽は定めら れない。
でも、だったら、アキレスは亀を追い越せないじゃんか。

「無限」っていうのは曖昧すぎる言葉だからねえ。
つーか小学生に教えるのは確かにまずいかもな。

アキレスと亀の問題は物理の問題だろ。細かく時間を分割していくと、
量子的うんぬんかんぬんでトンネル効果が起こって追い越せるそうですよ（嘘）。

>>193
だいたい、小学校の先生はこう言ったんだｘを（無限に大きくしても）と、
ｘを無限にすると言ったんだ。

だから、高校でつまずいた、キチンと勉強してたからつまずいたんだ。
文部省は責任とれ！！

その先生がアホだったんだな。その先生捜し当てて、民事訴訟おこしなさい。

>>195
勝てるの？

勝てるならする。

ぶっちゃけ勝てない。もちろん相手を文部科学省にしても勝てない。
ていうか訴える暇あったら勉強しる！

>>197
社会人だから仕事なんだよ(；´Д⊂)

かなシィ子供の頃に2chが有ったらよかったのに.｡o○

ε-δとか知らないの？

>>199
名前は良く聞くが、理解できない。

>>199
http://www2.odn.ne.jp/dokatin/ipusipon1.html
ココ読んでみた。

だったら、y=1/xでｘを∞にしても良いじゃん。
そしてｙはゼロじゃん。

もう、ムカツクおまいら数学得意なんだろ、高校生程度の疑問なんだから
馬鹿にでも分かるようにすっきりせつめいしてくれよーーーーーーーー！！。

０．９９９＝ｘとする
１０ｘ＝９．９９
９ｘ＝９
よｔｔｗ
ｘ＝１

「その４」になっても相変わらず
>>203のような愚にもつかない計算をする人間が現れる．

亀レスをするが、

　　　　　　　　　無限に大きくするのと無限にするのとは違う。

無限を一つの完結したものと捉えることに反対する。
無限とは、いくらでも大きくなりうることへの表現形態の一つであり、
一種の極限にすぎない。

カール・フリードリヒ・ガウス

つかさ、極限について語りたいんだったら
最低でもε-δとか実数の完備性とかくらいわかっておかないと
厳密な話なんて全くできないよ、あなたたち。

うん。

>>205
どう違うんだ？

そんな微妙な言い回しで、人を煙に巻こうとするな。
このディペータ-、てぇめは文系か？

>>207
極限と、y=1/xの関係をしりたい。

実数の性質を調べたら極限と言う（性質）が出てきたのか、
極限と言う操作で、実数を取り扱えるのか？

どっちだ。

∞という数が存在しないなら無理数も存在しませんが何か？

>>211
なぜ？

0.999・・・と1を等しいと認めない人達って、どこまで認めないのでしょうかね？たとえ循環
していても無限小数は認めないとか？

良く出てくる10倍して引いて9で割る方法なんか愚にも付かないとか馬鹿にされるけど、あれっ
て循環小数を分数に書き換える方法を0.999・・・に施しているだけですよね？あれで納得でき
ない人達は循環小数は分数に変換できないと思っているとか？

等比級数の和の公式での解法を認めない人達は無限級数自体を認めないの？これを認めない人は
いそうか・・・哲厨あたりなんか。

哲厨？


屑哲というんだよ


　　　ほっとけ。

>>212
掛け算でも足し算でも，愚にも付かないとけなされているのは
有限のものに対して行われるプロセスを，なんの定義もなしに
．．．の部分にまで，なにか暗黙の合意があるかのごとく
あたりまえのように適用してるからでしょ．
それを変だと思わないなら，0.33333....に4でも掛けてみてよ
4/3を少数展開するんじゃなくね．

>>214
10進数において10をかけることと4をかけることでは意味が違うのですが・・・。
ちなみにあなたは10倍して引いて9で割る方法を認めない派ですか？循環小数を分数に変換するのも
認めないですか？

ホゲ？

xを10倍して10*x．そこからxを引いて9*x．それを９で割ってx．
これが何か?

>>217
x = 0.999・・・
とすれば、>>217の変形でx = 1が導けるでしょ。それを認めないのですか？と聞いています。

それに答えるには
あなたが・・・をどういう意味で書いたかを教えてもらわなきゃ

>>219
初項0.9 公比0.1の数列の極限

だとするとどうです？

誤)数列
正)級数

だったら，べつに10倍して引いて9で割ってなんて面倒な今年なくたって
値は求まってるじゃん．鬼が笑っちゃうなそろそろ．

>>222
いくつですか？

lim[n→∞]{Σ[k=0,n](0.9)(0.1)^k}=1

>>212
まともに大学数学を学んだ人で1=0.999...を認めない人はいない。
それなのに>>203のような「初学者をわかった気にさせる便法」が
何故叩かれるかというと、それはあくまでも便法に過ぎず、
数学的証明から程遠いものだから。無限小数の実体を明確にする前に
無限小数に関する演算法を仮定していることに少しは疑問を持たないと。
もちろん「10倍なら桁シフト」とか「小数点以下が同一なら差は整数」とかの
命題を数学的に厳密に証明した上で>>213のような式変形をするならば
数学的証明として問題ない。しかしこの手の問題で厨房向け式変形だけ書いて
終わりとする人々はそういう演算法を証明する必要性すら認識していないように見える。

つまり、
1=0.99999・・・・ を説明するなら、
厳密に説明すべきで、10倍して9で引くからOKなんだとか、
0.3333･･･=1/3 その3倍だから一緒だとか、
厨房的説明ではやってはいけないってことね。
1=0.9999・・・・を理解できるまでに数学力がつくまでは、
便宜上暗記してろ、と言うのも、屁理屈で分かった気にさせるのも
同じ価値しかないってことだよね
つまり、屁理屈で分かった気にさせるぐらいなら、
「ぐだぐだ言わずにそういうものだと思って暗記しろ！、もっと勉強すればいつか分かるときがくる！
だから今はとやかく言うな！知りたくてもお前の今の力じゃ理解できん！」
と、正直に言ってくれたほうが、厨房にとっても幸せってことかあ

とりあえず馬鹿レスを続けるおまいらに聞きたい。
>>207とか>>225とかちゃんと読んでるのか？
そういうことを理解した上でまるで厨房・工房レベルのナンセンスなレスを続けてるのか？

先生！

完備性ってなんですか？

>>227
ホラ，お前に膣問が来てるぞ

だから、分からないから教えて下さいって(；´Д⊂)

Ｘ＝０．９９９とする
１０Ｘ＝９．９９
９Ｘ＝９
よって
Ｘ＝１　Ｑ．Ｅ．Ｄ．

>>231
はああああああああああああああああああああ？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？

>>230
それはね、おちんちんがついていないからといって、それがあなたが女であることの
証明にはならないというのと同じことなのよ。

このスレって厳密な話が要求されるのか？って言うか、厳密な話が理解できるなら
1=0.999・・・を認めないなんてことはないでしょ？

つまり、厳密な話を理解するには準備が不足しているヤシ向けの説明が求められているんじゃないの？
そうすると、厳密じゃないけど嘘じゃない10倍して引いて9で割るは十分な説明ではないかと。

>>155 は何年生なの？
極限はどんな風に教わったの?

1≒0.99999…

>>236
どこで打ち切る気かは知らないけど、≒ だとするならその誤差の評価も書いてもらわないと。

>>233
そーゆう感じなんだろうなぁとは思うから、それを分かり易く説明しろって
言ってるの。

>>235
社会人だって言ってるだろ。


イライラするなぁ、もう。

xが実数値を取って変化するとき y=1/x という関係で，yの値が決まっているわけだ．
このとき，両辺にxをかけるとxy=1が成立していることに注目してくれ．もし，ここでy=0に
なることがあるとすると，x*0=1ということになる．しかし左辺はxがなんであっても0だから
0=1ということになる．これはおかしい．従って，yは決して0にはならない．
一方xが無限に大きくなるときyは0になる,という言い方をするときがある．
上の方では，yは0にならない,と言い，その舌の根も乾かぬうちにyは0になるという．
これはどちらかが間違っている，ということなのか？
違うのだ．ここでは言葉の曖昧性が悪さをしている．「yが0になる」というのは
xがどんどん大きくなっていくとき，yの値がどんどん0に近づいている，
ということを言っているのだ．
同じく，1/2+1/4+1/8+1/16+・・+1/2^n （有限個の和であることに注目）で，
nがどんどんおおきくなっていくとき，この和の値が1に近づくということだ．
nがどんなにおおきくなっても，具体的にある整数値をとってみた時，その和は
決して1ではない．

>>239
昨日はそれで、理解したけど、なんチャラ論法使えば、有限個、有限値じゃなくて、
∞オッケーって事なんじゃないの？

つまり、∞って有るのかヨ！！イメージなんじゃねぇーのかよ？
ってのになんチャラ論法で、有るんだよーって言ったんじゃないの？

だったら、ちょーわけわから無い。

ってところまで、昨日は理解した。

>>239
うっさい

>>240
限りなく近づく先の値を極限値と呼ぶが、それは n が ∞ のときの値という意味ではないし、
そもそも、∞ というのは数ではない。という事は何度も言われているだろうに。

>>242
だってなんちゃら論法は数だって言ってるじゃん。

>>243
なんだそのなんちゃらろんぽうって？そのなんちゃらろんぽうは、なにをどう、すうだというのかね？

おまいら、ホント馬鹿だなｗｗｗｗ

晒し者がやってきましたw

＞1=0.999999999999・・・・・

背理法で一発　

　　　　　　　　　　　ヴァカが晒されております

背理法で一発だって？

























真性馬鹿だなｗ

>>240
その「なんちゃらろんぽう」というのは，
何番の書き込みのことを言っているんだい？

>>248-249
ふふふ・・・

>>240
まあマジレスするとε-δ論法なんだが､
このスレでこれのまともな説明されてたっけ?

>>240じゃなくて>>250だったｽﾏｿ

「なんちゃらろんぽうを使うと∞オッケー」という>>240の「∞オッケー」が
何を指しているのかが今一分からない．
何番の書き込みを言っているのだ？

無限の状態はこの世に存在していません。私たちの思考の中にだけあるものです。
0.999・・・ = 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + 0.00009 + ・ ・ ・ の計算をして
その和を求めるということは，あなたが次のような操作をすることと同じです。
定規の 0 の目盛りから始めて，まず最初に 0 と 1 の途中 9/10 の位置に印をつけます。
この位置が 0.9 にあたります。するとその 0.9 の位置の右側に 1/10 だけの隙間ができます。
そこで次に 0.9 と 1 の間にできた隙間に対して 9/10 だけ右の位置に印をつけます。
これで印は 0.9 + 0.09 を示しているはずです。しかしまだその右側にはわずかの隙間があります。
そこでまたその隙間の 9/10 だけ右の位置に印をつけます。その位置が 0.9 + 0.09 + 0.009 にあたります。
さらにこの操作をどこまでも続けると0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + 0.00009 +・ ・ ・ の位置に印がつくことになるでしょう。
それが 0.999・ ・ ・の位置です。これでは 0.999・ ・ ・ = 1 であることを納得できませんよね。
それどころか「やっぱりいつまでたっても 1 のわずか手前に隙間ができてるじゃないか。
だから 0.999・ ・ ・ は1よりほんの少し小さいんだよ」と言われかねませんね。
でも，その反応こそ日常の感覚にほかならないのです。

　　　　　　　　　　,,―‐．　　　　　　　　　　　　　　　　　 r-、　　　　＿,--,、
　　　　　,―-、　.| ./''i､│　　r-,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,―ｰ．　　　 ﾞl, ｀"ﾞﾞﾞﾞﾞ￣＾　　　＼
　　　 ／　　　＼ ヽ,ﾞ'ﾞ_,/　　 .ﾞl、　　　　　　　　　`i､　　　＼ _,,―ｰ'''/　　.,ｒ'"
.,,,、.,,i´　.,/＾'i､　｀'i､｀｀　　　　 ｀--‐'''''''''''''''"'''''''''''ﾞ　　　　 ｀゛　　 .丿　 .,/
｛ ""　 ,/｀　　ヽ、 ｀'i､　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 丿　 .,/｀
.ヽ、　丿　　　　＼　 .＼　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ,/′ 、ヽ,,、
　 ﾞ'ｰ'"　　　　　　ﾞ'i､　 ‘i､.r-、　　　　　 ＿_,,,,,,,,--、　　　　 ／　.,／＼　`'-,、
　　　　　　　　　　　ヽ　　.]ﾞl ｀ﾞﾞﾞﾞ"ﾞﾞﾞﾞ￣￣　　　　　｀'i､　　,／ .,,／　　 .ヽ　　＼
　　　　　　　　　　　　ﾞヽ_/ .ヽ_.,,,,--―――――ｰ-ノ_,／ﾞ,,／′　　　　 ﾞl　　 ,"
　　　　　　　　　　　　　　　　 ｀　　　　　　　　　　　　 ﾞ‐''"｀　　　　　　　　ﾞ'ｰ'"

1=0.9999999・・・・・・　がいまだに理解できない人へ。

0.999999・・・・・・＜X＜1
上の不等式に当てはまるXがあればいってみろ。

0.999999・・・・・・＜X＜1 なるX

>>257
そのまえに君は0.999999・・・・・・が実数であることを証明しなければならないよw

循環小数は実数じゃなかったんですか！？

釣り師

>>259
・・・実数の定義も知らないの？

また議論が循環してきたぞｗｗｗｗｗ

1/9 = 0.1111...

次々と参入する新人ゆえ，いたって本気．
飽きたよ，もう．

どうでもいいけど>>257よ。X が実数でなければ幾らでもあるんじゃないのか？
単に記号としたっていいし。

↑新種の珍レス

>>266から電波を感じます！！

>>266
ちょっとずれてる。

>>266

まあ超準解析的にはあるんじゃないのか？

>>257-258
さんざん外出
1＞0.99999・・・ならば
実数の稠密性から 0.99999・・・＜{1+0.99999・・・}/2＜1 が存在する

大切なのは「0.99999・・・と1の間の数」を考えることではない。

1. 極限の何たるかをわかっているか。
2. 実数の何たるかをわかっているか。
3. 0.99999・・・という実数の定義がわかっているか。

これだけがわかっていれば自ずと 0.99999・・・=1 は導かれる。

＞3. 0.99999・・・という実数の定義がわかっているか。

これは不要。晒し上げ

>>271
釣り糸は何号にしますか？

これじゃだめなん？

Ｘ＝０．９９９９９９・・・　とおくと

１０*Ｘ＝９．９９９９９９・・・　なので

１０*Ｘ−Ｘ＝９．９９９９９９・・・−０．９９９９９９・・・

９*Ｘ＝９

Ｘ＝１　　　　　　　よって　Ｘ　＝　０．９９９９９９・・・　＝　１

完璧

>>275
ﾜﾗﾀ

>>275
10X - X = 9 になるかが問題。

>>278
馬鹿？なるに決まってんじゃん。

>>279
なんでー
それって、1=0.9999999999999999…
に決まってるジャンって言うのと同じでしょ？

そんなの証明になってないよー

>>275
厨房ならいいんでない
でも高校生（以上）がそれは恥ずかしい

>>275,279
もう厨房レベルのアフォレスには飽きた

まだこれを信じられない奴なんているの？

つーか結構わかってないよ、このスレの方々は。
特に>>273とか。

∞は数じゃないって言うけど、
∞って実数だって書いてるHPの方が多いのはどゆうこと？

∞*ａ＝∞なんてご丁寧に、計算してる人までいる。

うんじゃあ、と思っても、みんな何気に
ａ/∞だけは載せてない。


∞/ａが不定とは書いてるけど。

なんか隠してるだろ！！

そのHPの作者が本気で実数と書いているなら，
単ににそれはバカだということです．
そういうのが多いとすると，それだけバカが多いということですよ．
数学は多数決じゃありません．

もし，まともなHPで計算式らしきものが書いてあるとすれば，
それは実数の計算ではなく極限値がどうなるかについて
はっきりと結果がわかるものについてだけ，極限式の省略形として
書いてあるのでしょう．その場合には便法としてこれこれの書き方をする，
などと注がかかれているのではないかと思います．

大学の数学に触れたこともないような一般人も数学HP作っているから、
そういうのを安易に信用するのは禁物。仮に中学高校の数学教師の
HPであっても、彼らの守備範囲を越えた記述には注意した方が良い。

　そうそう
　俺も自分のHPで堂々と間違えていたよ。

　でも誰からも指摘がなかったんだよな。
　今は直してあるけれども、

あれを見て間違っていることを指摘できなかった
　↓
思いっきり信用してしまったヤシがたくさんいる

とおもうとあらら、と思ったり

　間違えた内容？
　検索されると矢なので教えませんｗ

>>287
＞仮に中学高校の数学教師の
＞HPであっても、彼らの守備範囲を越えた記述には注意した方が良い。

おひおひ、数学の教師が馬鹿って事？
そんな馬鹿に勉強させられてたら、馬鹿になるのは仕方ないじゃん。
訴えたいよーーーーー(；´Д⊂)

てか、本当に信じて良いのか？∞は実数じゃない、四則計算には使えない
と。

>>289
∞は実数ではありません。
但し、極限の混じった四則演算式で便法として、書くことはあります。
たとえば、lim[x→∞](1/x)=0 等で
分子は定数、分母がどこまでも大きくなるとき、
標語的に1/∞=0などと簡略的に書いたりする。ただし、大抵の場合はその場限りの
約束として注記してある筈。

>>290

それに限らずとも実数に+∞を付け加えたものを考える事はあるよね。
ルベーグ積分の本とかでやった事ある気がする。（付け加える、という
表現で分かるように、言うまでもなく+∞は実数ではない）

ただし、0*(+∞)とか、(+∞)-(+∞)とかでおかしなことになるから、気をつけないと
いけないけど。

>>291
そうですね。そういう使い方も指摘しておかないとまずいですね。
積分の記述では、発散する場合も込みで式を書いたりするので、
（特に有限になるとき可積分という、などと言う使い方をしますからね）
一見、∞まで四則の対象になっているかのような気にさせる。

つか
四則の対象になってるものが実数
っていうわけじゃないし

記述∫［1,∞］(1/(t)^2)dtを「積分範囲は１から無限」などというが
これも lim[x→∞]∫[1,x](1/(t)^2)dt のこと。

0.9999999……と書く労力を考えれば、もう「1」でイイだろ　って事で。

つまんないよ

>>295
そこが核心なんだと思う。労力をはたいても０．９９９・・・・と
書かなきゃいけない理由があるんだろう。誰もその「具体的理由」を
語ろうとしない。階段を作る理由は上に昇りたいから。でも
その階段がなければ決して上には昇れないという事実を認めなければ
進歩もなかろうに。

それでカントールの対角線論法に繋がるってか？
そういや、あのスレはどうした？

295や297のように「1=0.999....である」を「1を0.999...と書くべき」と捉えて
見当違いな反論する奴ってどういう思考回路してんだろ。

０．９９９
等比級数の解の公式より
　０．９
ーーーーー＝１
１−０．１

もう少し面白いネタを考えようね

　0.00000000000（省略）000000000001　が「0」だろ　って事で。

>>302
残念。
ｈｖ

最近はどうも自分で考える事を忘れて人に聞いたり、
人から聞いた事を無批判に信じ込む社会人が多いな

ネットのせいじゃないだろうか　
なんでもぐぐってしまう
で、文字を信じてしまう

>>305

ネットがあろうがなかろうが、騙され易い奴は騙されますって。
それに、人生は有限だから必ずしも常に自分で考えるのがよい事
とは限らないしなあ。数学者（志望）の人だったら数学についてくらい
は自分で考えたほうがいいだろうが、普通の人にとっては数学なんて
本調べておしまい、でも事足りるだろう。

話はそれるが、活字や文字って抵抗無く信じてしまいがちだと思う。
新聞や本などは特に。日本人の悪い癖だと思う。

>>307

それは日本人に限った事なんだろうか

そもそも、
1/3=0.33333…
はいいとして、有限桁と同じような感覚で
0.33333…×3=0.99999…
というのが間違いなんでしょ？

お前の存在自体間違い

>>309
何という低脳なレス

低脳はお前ｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ

Which不一致ほどじゃないがね。

ぷっ。
お前達は極限の定義すら分かっていない。
それが理解できているならこんな論争にはならない。
晒し上げ。

基本対称式がわかってない香具師のセリフか？（ﾌﾟﾌﾟﾌﾟ

どっちもどっちさんって明大生というのは本当ですか？

極限の定義はε-δ(ε-N)で必要十分でしょが

>>316
違うよ。

このスレッドは１０００を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。

1000get

>>319-320
おまえらが馬鹿やってるからこんなのたってるぞ

http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1066827477/

１
ー＝０．３３３
３
は自明、したがって両辺を３倍することにより
１＝０．９９９　Ｑ．Ｅ．Ｄ．

１
ー＝０．３３３
３
は自明

これはいかんな。

◆v.V7zKGUME ってどこのヴぁか？
うざいんだけど

Which不一致◆v.V7zKGUME ＝ ちょいと算数のできる消防

最近急に現れたよね。何か現実世界でつらい事でもあったんだろうな。

＞何か現実世界でつらい事でもあったんだろうな。

・・・。涙出てきた。

もうだめぽ
もうだめだめぽ
もうだめぽ

クソスレ

既出の証明（1/3=0.3333..とか）は、既に論破されたの？

極限派を除けば、右辺の定義を誰も提案できていないので、
論破もなにも議論にすらなっていないと見た。

あ

age

本スレage

1/3=0.3333..ってのは学校で暗記したんだけど
1/x=0.3333..を解こうとすると
両辺にxをかけて
1=0.3333..*x
1/0.3333..=x
でしょ？
1/0.3=3.333...で
1/0.33=3.030303...で
1/0.333=3.003003003....でしょ？
1/0.3333....=って3よりわずかに大きい数字って事になんないの？
そしたら1/3=0.333..は間違え？
中1程度の数学しか分かんない漏れに誰か分かりやすく説明して下さい。
1=0.999..から派生した疑問です。

>>309
これ直感的で良いと思う。
0.3333333…は1÷3で計算されるけど(というかその計算途中の表示だけど)、
0.9999999…は計算じゃ出てこない。計算途中の値(0.3333…)をさらに3倍する
とかいうやり方でしか出てこない。
しかし、計算途中の値をさらに計算につかうっていうのはいいかげんなやりかただから、
0.999999…と1という食い違いが出てきてしまう。
わりと納得できる。疑問を持っているのは素人(漏れもそう)なんだからそれ向けの説明を
すべき。

「・・・」が同じ数字が無限に続くことを意味しているとすれば、
1/3=0.3333・・・は明らかに真。

1/3=0.3333・・・ より 1/0.3333・・・・=1/(1/3)=3　これでは納得できないのか？

＞1/3=0.3333・・・は明らかに真。

電波の方でしょうか？

＞337
>1/3=0.3333・・・は明らかに真。
なんのことわりもなくこんな言明が可能なら
”1 = 0.9999...... は明らかに真”
のひとことで決着

1−無間小＝0.999...
とは違うんですか？

違う

>>336
しかし
0.33333333…
を3倍しても各桁の数字は9になるだけでどこまで行っても繰り上がりなど無いのでその結果を
0.99999999…
とするのはそれほど「いいかげんなやり方」ではないと思う。
繰り上がりに関して言えば
0.33333333…
と
0.66666666… (2 ÷ 3)
を足すことを考える方がより分かり易いかも。

>>336
ガイシュツだけど、0.999…も工夫すれば計算で出てくるよ。
　　0.999…
　─────
1 ) 1.000…
　　　9
　　──
　　　10
　　 　 9
　　　──
　　　　10

>>338

電波はお前だと思うのだがw

>>343
なるほど…
「こういう風に計算していけば無限に9が並ぶよね」
「この計算はいつでも途中で気が変わったら商のところに9じゃ無くて10を立てて終わらせる
ことができるけど、立てたとたんに繰り上がりがダーッて起こって商は1になるでしょ。」
って感じで説明すれば直感的だな。

あとは割り切れるのにわざと余りを残す割り算をどう納得してもらうかだけど、
それほど問題ではない気もする。見積もりまちがいの割り算(つまりあまりを
残しすぎの割り算)をして商を修正する(つまり商に1プラスする)のを見てもらえば
良いのではないかと思う。

>>337=>>344

電波キター!!

0.999… ≠ 1 と思うのも無理はない気がしてきた。

0.999… をlim{1-10^(-n)} という意味とするならば、
0.999… = 1 は正しい。つまり0.999…は1という極限値に収束するといっている
だけだから問題ない。

一方、無限数列 {0.9, 0.99, 0.999, …, 1-10^(-n), …}
を考えたときに、おそらく0.999…はこの数列に含まれると思われる。(※)
この数列は1に限りなく近づくけれど1はこの数列の要素には含まれない。
なぜなら数列の要素a_n には必ず次の要素 a_(n+1) があって a_n < a_(n+1)
であるが1の場合次の要素が存在しないからである。

すなわち1はこの無限数列の極限値ではあるがこの数列には含まれないということになる。

0.999… がこの数列に含まれる数とするならば 0.999… < 1 である。

ただし(※)がミソで、…が無限を意味するなら極限とみなさざるをを得ず、
そうすると0.999… は上の数列の要素ではないことになり、感覚とちょっと合わない。
それが誤解のもとだとおもう。

結局…をいろいろな意味であいまいに使えてしまうから誤解が生じるのだな。
小学生に…をlim(n→∞)の意味だというわけにもいかんし。

>一方、無限数列 {0.9, 0.99, 0.999, …, 1-10^(-n), …}
>を考えたときに、おそらく0.999…はこの数列に含まれると思われる。(※)
何でそう思う？
＞なぜなら数列の要素a_n には必ず次の要素 a_(n+1) があって a_n < a_(n+1)
＞であるが1の場合次の要素が存在しないからである。
だったら　適当なnがあって a_n = 0.99… となるわけだが
その場合 a_(n+1)は？
ということになるから、(※)のように思ったりする人は多くない

>>348
「無限個のものに1個足しても無限個だ」のような言い方はよくすると思う。

>>347
の説明でもすでに…を2つの意味で混同して使ってしまっている。

> 0.999… をlim{1-10^(-n)} という意味とするならば、
> 0.999… = 1 は正しい。つまり0.999…は1という極限値に収束するといっている

下の行の最初の…はlim(n→∞), 2番目の…は(1-0.1^n)という数列の一般項の意味で。

X=0.999… �@
�@を10倍して10X=9.999… �A
�Aー�@とすると
9X=9
X=1

え？無限小数の値ってその収束値なんじゃないんですか？
たとえば、0.9,0.99,0.999･･･っていうような数列の

テレフォンカードとかプリペイドカードって濡らしても使える？

すまん、スレ違い（藁

チリン、チリン >>351

高々このくらいのことがうまく説明できないってのはおもしろいな。
解析の教科書の最初のほうに実数の切断だの上界下界だのうだうだ書いてあって
当たり前のことをなんで？とおもってたけど、結構深いはなしだったのね。
俺は今まで知っていただけで理解はしてなかったってことが良く分かった。

とある解析の教科書の最初のほうには

{1-10^(-n)}(n->無限大)は1と決めたとかいてるぜ
それは、正しいとか間違ってるとかいうもんだいではないって
コーシれつがなんとかというのもくっついてるけど

おい！コーシー列も知らん香具師は口出しするなよｗ

このスレに出入りしている香具師の半分くらいは
実数の定義も知らんのだろ。
そうじゃなきゃここまで続かないよ、このネタ。

イイカゲンニシロ

じゃあ　代わりに 1+1=2の証明 ageとく？

――○
(-∞,1)
　　　●―――
　　　[1,∞)

>>361
覚えてください

なんで１と0.99999999・・・・が等しいんですか？
問題矛盾してないですか？

>>364
お前、何回ループさせる気だ?

0.9999999999999・・・・
＝lim9*(10^(-1)+10^(-2)+・・・・+10^(-n))
　n→∞
=9*(1/10)/(1-1/10)
=1

高校の先生にこのスレに関する内容を質問したら、
「おまえ、極限イコールと普通のイコールを近藤するな」
と叱られたんですが、僕は叱られてよかったんですか。

叱られていいと思います。その二つは混同してはいけません。
「実は違う」事を頭の片隅に置きつつも、普通はあえて、意識的に
混同していく（なにしろそっちのほうが直観に合うので）、ってのが
正しい態度だと思いますだ。

>>367
叱られはダメでした。その先生たしか教員免許ないよ

極限イコールって何よ?
その教師はεδはおろか直観的な極限のイメージすら出来てなさそうだな。

>>370

収束する場合が極限イコールなんじゃね？

lim[n→∞] 1/n = 0

のイコール。

>>371
ただのイコールとどこが違う?
その式は左辺のlim[n→∞] 1/nという実数と右辺の0という実数が等しいという意味だが。

>>372

そういう流儀もあるけど、「lim[n→∞] 1/n = 0」ってのを
「任意のεに対して或るNが存在してn > Nでは1/n - 0 < ε」
っていう命題を表すものだ、と考える流儀もある。世の教科書
は大抵少なくとも導入部ではこういう流儀だと思うけど。

（つまり「lim[n→∞] 1/n」単体では意味をなさないと考える。)

普通に数学やってる上では、どっちの流儀だろうが別に困る事は
無いと思うが（どうせlimなんて書くのは、等式か不等式の中でだけだし）。

ああ、でも漏れも普通は「lim[n→∞] 1/n」ってのは「数」だと思うし、
両辺等しい、っていう感覚で「lim[n→∞] 1/n = 0」等号書いちゃうし、

だから二つを区別する、しないなんて話は、「なんで1 = 0.999999999なの？」
とか聞かれたときに思い出すくらいです。普段は全く区別してません。

>>368>>370は真性のドキュソ。
特に偉そうな>>368は逝ってヨシ。

漏れが学部４年の時の指導教官が、
「高校の先生に極限のイコールや普通のイコールが
あると思ってる人が多すぎるので、親睦会で説教してきた」
と言っていた。
「極限の意味もわかってない人が数学を教えるべきではありません」
と激しくお怒りだった。

漏れは教員志望の修士だが、そんなＤＱＮ教師にはならないよ。

>>375
なんで俺が。。。

>>375

ほんじゃあ「極限の意味」とやらを教えてくれよ。

このスレは
１＝0.9999999999999・・・
が合ってる事を証明するスレですか？
それとも間違ってることを証明するスレですか？

　1.000000…
ー0.999999…
＿＿＿＿＿＿＿
　0.000000…　←Ａ

Ａにおいて、どこかで０以外の数字がでると仮定する。
すると上の式に置いて無限に０、９が続くことと矛盾する。
（どこかで止まっちゃうから）
なので、Ａにおいて０が無限に続く。すなわち０。
なので1=0.99999…
でどーですか先生？

>>379
アホくさい証明だね、証明っていうのもおかしいな
ただただアホくさい

1と0.999…が違うという感覚が捨てきれないＤＱＮには、極限の定義をいくら
繰り返しても無駄だから（もはや論理ではなく心理らしい？）、>>379のよう
な「証明」が効果的かも。

そしたらこんどは 0 ≠ 0.0000… とか言い出すかもしれんが (w

>>381
自己レスご苦労

部分和をとってからその極限を考えていないから
>>379は数学的な証明だとは言えないと思います。

>>383
お猿さんもピントはずれ

コレとかどうですか？
http://webnews.fc2web.com

0.999・・・ = 1 を「証明」する前に、「0.999・・・」の「定義」を考えろ。
そうすればわかるはず。

>>384
>>383の言ってることは正しい。
>>379は S[N]=9*�納N=1,n]10^(-N)
が収束するという仮定のもとでの式変形にすぎない。

まず0.33333333333････×3＝0.99999999999････
のところから考えたほうがいいと思う。

＞まず0.33333333333････×3＝0.99999999999････
＞のところから考えたほうがいいと思う。

電波がﾕﾝﾕﾝ漂ってます。

>>389
申し訳ありません。逝って来ます。

>>381

10.000000…
ー0.999999…
＿＿＿＿＿＿＿
　9.000000…　←Ａ

Ａにおいて、どこかで０以外の数字がでると仮定する。
すると上の式に置いて無限に０、９が続くことと矛盾する。
（どこかで止まっちゃうから）
なので、Ａにおいて０が無限に続く。すなわち９。
なので10=9

>>391の論法によれば

000000000001
+…999999999
＿＿＿＿＿＿＿
…0000000000　←Ｂ

Ｂにおいて、どこかで０以外の数字がでると仮定する。
すると上の式に置いて無限に０、９が続くことと矛盾する。
（どこかで止まっちゃうから）
なので、Ｂにおいて０が無限に続く。すなわち０．
なので…999999999=-1

なんだってさ

1)0.99999....の....を極限をとる操作と解釈して、これは1と等しいはず派
2)0.99999....は超準解析的には1と等しくないだろうが派
3)小学校で習った説明を繰り返すだけ派
4)厨（主張は雑多）

このスレ馬鹿ばっかｗ

1÷3=1/3
1/3×3=1
ゆえに(1÷3)×3=1

1÷3=0.3333……
0.3333……×3=0.999999……
ゆえに(1÷3)×3=0.999999……

極限を考えた時、∞＊０＝０の場合もあるが、∞＊０＝∞の場合もある
つまり、∞は明らかに実数じゃないのだから、９が無限個続くなどという表現はできない
よって、０．９９９９９・・・という表現自体があいまいである

>>395
自然数は無限個ある、って表現もできないのですか?

>>395

まあでも、0.999…ってのは普通は0.9, 0.99, 0.999, 0.9999っていう数列の極限
だと解釈するんじゃね？

>>396
この定義によるとできなくなっちゃうね
「自然数の個数は有限ではない」あるいは、「自然数は無数存在する」
でいいのでは？
>>397
級数の極限を取る時の途中段階？の考え方としてならそう解釈してもいいが、
あくまで０．９９９９・・・という表現があいまいである以上、
１＝０．９９９９・・・と等式で結ぶことはあまりよろしくない

395は極限が一つの数であるという認識ができてなさそうだな。

いや、０．９、０．９９、０．９９９、・・・という級数の極限は、
間違いなく一つの数だよ

>>399

言いたいことはわかるけど、ちょっと言い方が大雑把過ぎる気がする。

>>400
で、その極限値はいくつなのさ。

>>402
もちろん１だよ

>>403
では>>398は世迷言か？

・0.99999・・・の定義
0.99999・・・=lim_[N→∞](�農[n=1,N](9*10^(-n)))

・0.99999・・・の値
0.99999・・・=lim_[N→∞](�農[n=1,N](9*10^(-n)))
=lim_[N→∞](9/10)(1-10^(-N+1))/(1-10^(-1))
=(9/10)*1*(10/9)
=1

ここまで言ってもわからない香具師は
単に「極限」の意味がわかってないのでは。

＞・0.99999・・・の定義
0.99999・・・=lim_[N→∞](�農[n=1,N](9*10^(-n)))

こんな定義あったっけ！？
０．９９９・・・という表現を正確なものとして認めて、
0.99999・・・=lim_[N→∞](�農[n=1,N](9*10^(-n)))
って定義されてるの！？
あったとしたらおれの世迷言だす・・・

406 ：395 ：03/12/01 00:37
＞・0.99999・・・の定義
0.99999・・・=lim_[N→∞](�農[n=1,N](9*10^(-n)))

こんな定義あったっけ！？
０．９９９・・・という表現を正確なものとして認めて、
0.99999・・・=lim_[N→∞](�農[n=1,N](9*10^(-n)))
って定義されてるの！？
あったとしたらおれの世迷言だす・・・

407 名前：晒しage ：03/12/01 00:41
406 ：395 ：03/12/01 00:37
＞・0.99999・・・の定義
0.99999・・・=lim_[N→∞](�農[n=1,N](9*10^(-n)))

こんな定義あったっけ！？
０．９９９・・・という表現を正確なものとして認めて、
0.99999・・・=lim_[N→∞](�農[n=1,N](9*10^(-n)))
って定義されてるの！？
あったとしたらおれの世迷言だす・・・

４０５の定理が成り立つなら、
0.9999999999999....=1でこのスレは終了

そんな定義あったっけ！？ってそれ以外どう解釈しろと言うんだ。。。

きっと>>395は「これこれこういう形の水筒には水が何dl入るでしょう？」
って問題で、「表面張力が。。。」とか言い出す奴だな。

>>409
定理じゃなくて定義なんだけど

0.999999・・・≦1は明らか。

0.9999999・・・・＜1と仮定する。
1-0.99999・・・＞0となり、常用対数をとるとlog(1-0.99999・・・)が定義できることになる。
ここで、log(x)=1-0.99999・・・とし、k=xを超えない最大の整数とすると
小数点以下k位で０以外の数字になる。
つまり、1-0.99999・・・・＞0.000・・（(k-1)個の0）・・1となり、
0.99999・・・・＜0.99999・・（(k-1)個の0）・・9となり、左辺の小数点以k位
は9より小さい数字となる。よって9が無限につづくことに矛盾。

よって、0.99999・・・・＝１である。なんちて。

3点。

2点。

>>414と同じく
1.99999･･･点

>>413.9999999…と同じく
1.99999･･･点

age

テイコウハムイミダ

>>4169999999… (10)と同じく
agd.fff… (16)

このスレの次スレ立てなくていいぞ
不必要だから

テイコウハムイミダ

ログとかシグマとか意味わからんからやめてくれ

>>422
　これは気づかなかった。
　１キ0.999999・・・
　といっている人にlimやΣで説明しようとしても
この記号もわからねえヤシが言っているわけか。

　だめだこりゃ

>>423
というかσとかの意味知ってたらここまでグダグダにならないよな

0.999‥=1　でない単純な理由

0.999‥　の小数点以下の各桁が関数f(n)によって決められる(nは自然数)
としてその値が常に9であれば
0.999‥=1　成立

ある実数があり上と同じように小数点以下の各桁が関数g(n)に（値域は0〜9）
よって決められるとして人が途中まで計算して0.999になったとする
更に計算して0.999999999999999999になったとする、
それでもこの実数が1に限りなく近づくと証明された訳ではない
論理的に証明されてない段階ではこの実数は1とは言い切れない
しかし小数では0.999‥と表現できる

つまり
0.999‥=1　は成立しない場合がある

↑いい加減恥じ晒すのやめたら？

↑1行レスでいい気になるバカ

>426
後続するシーケンスが何らかの規則によって推論できないなら
‥‥で省略する表記自体が意味ない。

あげ

age

もうええやん

2=1.99999999･･････････8

>>433
意味不明。消えろ

age

＞433
もしかして、ゼーレ＆ゲヒルンですか？

あげ

age

1000 999
2000 1998
y=a/x
何進数

0.9999999・・・・・=Aとする
10A=9.9999999・・・・・だから
10A-A=9
9A=9となるので
A=1
よって
0.9999999・・・・・＝1
である

＞440
ちりんちりん
またでた

��0.9999999・・・・・＝��1
　　　　↓　　　　　　　　↓
　　　∞−1　　　　　＝∞

よって矛盾。

>>442
恥晒しage

0.999999… ＝ 0.9 + 0.09 + 0.009 + …
＝{n-(n-0.9)}+{(n-0.9)-(n-0.99)}+{(n-0.99)-(n-0.999)} + …
＝ n + (n-0.9) + (n-0.99) + (n-0.999) + …
- (n-0.9) - (n-0.99) - (n-0.999) - …
＝ n + 0
＝ n

つまり数列の議論を持ち込むとどんな数でも当てはまる
0.999999 ・・・・・＝ 100
だって成り立つ。
よって矛盾　

>>444
恥晒しage2

アホかと

-----以下のコピペ禁止-----
�@
0.9999999・・・・・=Aとする
10A=9.9999999・・・・・だから
10A-A=9
9A=9となるのでA=1
よって
0.9999999・・・・・＝1
である
�A
1÷3=0.3333……
0.3333……×3=0.999999……
ゆえに(1÷3)×3=0.999999……
�B
　1.000000…
-0.999999…
＿＿＿＿＿＿＿
　0.000000…　←無限に続く
--------------------------

━━━━━以下のコピペ禁止━━━━━
�@
0.9999999・・・・・=Aとする
10A=9.9999999・・・・・だから
10A-A=9
9A=9となるのでA=1
よって
0.9999999・・・・・＝1
である
�A
1÷3=0.3333……
0.3333……×3=0.999999……
ゆえに(1÷3)×3=0.999999……
�B
　1.000000…
-0.999999…
＿＿＿＿＿＿＿
　0.000000…　←無限に続く
━━━━━━━━━━━━━━━━━━

�@
0.9999999・・・・・=Aとする
10A=9.9999999・・・・・だから
10A-A=9
9A=9となるのでA=1
よって
0.9999999・・・・・＝1
である
�A
1÷3=0.3333……
0.3333……×3=0.999999……
ゆえに(1÷3)×3=0.999999……
�B
　1.000000…
-0.999999…
＿＿＿＿＿＿＿
　0.000000…　←無限に続く

>>447
低能な香具師にはlimやΣで説明しようとしても無駄なのだから
これしかないだろ

>>449
いずれも説明としては不適。

━━━━━以下のコピペ禁止━━━━━
�@
0.9999999・・・・・=Aとする
10A=9.9999999・・・・・だから
10A-A=9
9A=9となるのでA=1
よって
0.9999999・・・・・＝1
である
�A
1÷3=0.3333……
0.3333……×3=0.999999……
ゆえに(1÷3)×3=0.999999……
�B
　1.000000…
-0.999999…
＿＿＿＿＿＿＿
　0.000000…　←無限に続く
━━━━━━━━━━━━━━━━━━

挙げ

http://imai48.hp.infoseek.co.jp/english/kou/suron/no003.html

>>450
もちろんこの証明に疑問点をさし挟むのは悪いことではないが、
証明の方法など限られているのだから、理解するしかないかと。

コピペ禁止するなら納得できる証明を考えるくらいの責任を持てよ。

1/3*3=1だからでいいじゃないか(´･ω･｀)

( ´∀`)他の証明でもいいじゃないか

>>448のコピペ禁止対象は厳密か大雑把かというレベルでなく、
証明の体を成してないよ。示すべきことは無限小数の定義さえ
明確にすれば終わる基礎的事項。無限小数の定義を明確にする前に
無限小数の演算規則を仮定するというのでは、論理の流れがおかしいだろう。
そもそも無限小数演算規則の根拠に無限小数の定義やらlimやらε-δやらがあるのだから。
>>448に問題を感じない人って、証明する時点で何を仮定しているかとか
どんな道具を使えるかとか全く気にしたことがないのだろうね。
循環論法に陥っても平然としているのだろう。

>>457
お前馬鹿か?
1/3=0.3333.....みたいな循環小数が現われるのは10進数という記法上の問題であって、
実数の本質とはまったく関係ない。

実際3進数で記述すると1/3は循環小数にはならない。
1/3(10)=1/10(3)だから
10進数では0.3333....になっても3進数では0.1になる(3を掛ければ1になる)。

コンピュータの演算においては2進数が使われるので、
10進数では有限小数になるものでも、2進数では表せないなどという問題が発生するのも、
基数をどこに置くかによって、有限小数になるか無限小数になるかが変わるから。

>無限小数の定義さえ明確にすれば終わる基礎的事項。
同じ無限小数でも有理数か無理数かによって話は変わるが、
ここでは有理数(->循環小数になる)の話をしているんだな?
上で言ったように、同じ数でも循環小数になるかならないかは、
記法の仕方次第なので、数学的定義の範疇外だし、それは無理。

>>458
よく読め。循環小数か非循環の無限小数かは457の主旨とは何の関係もない。

もうアホかと

━━━━━━以下のアホコピペ禁止━━━━━━
�@
0.9999999・・・・・=Aとする
10A=9.9999999・・・・・だから
10A-A=9
9A=9となるのでA=1
よって
0.9999999・・・・・＝1
である
�A
1÷3=0.3333……
0.3333……×3=0.999999……
ゆえに(1÷3)×3=0.999999……
�B
　1.000000…
-0.999999…
＿＿＿＿＿＿＿
　0.000000…　←無限に続く
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

実数の本質は極限だよ。それ以上でも以下でもない。

有理数の範囲内でも極限は考えられるから、それは違うんじゃないかと。
完備性が重要なんじゃないかねえ。

age

━━━━━以下のコピペ禁止━━━━━
�@
0.9999999・・・・・=Aとする
10A=9.9999999・・・・・だから
10A-A=9
9A=9となるのでA=1
よって
0.9999999・・・・・＝1
である
�A
1÷3=0.3333……
0.3333……×3=0.999999……
ゆえに(1÷3)×3=0.999999……
�B
　1.000000…
-0.999999…
＿＿＿＿＿＿＿
　0.000000…　←無限に続く
━━━━━━━━━━━━━━━━━━

>>464
ウザいからいい加減消えれ。

それについては「再考の必要がある」というだけの話で、
コピペ自体は何も悪くないと思うぞ。

age

>>464
10A-A=9　は本当に成り立つのか？
といいつつあげてみる

>>467 えっ。成り立たないの？成り立つんじゃないの?

いや、だって

0.999…　≠　1

は認めないのに

10A - A = 9

は認める人なんているのか？

↑いいかげんにせぇ。このあほ。

０．９９９９・・・＝Ａ
だからいいじゃないの？いくないか。

表記が変わると値も変わると思っているお馬鹿さん。
あの一万円とこの一万円は汚れ方が違うから価値が違うと
いっているお間抜けそっくり。馬鹿につける薬はないわね。

おまいらとりあえず
ttp://www.h6.dion.ne.jp/~hsbook_a/
の第一章「数」29ページの「実数の連続性」を読むべし。

>>473
せめて実関数論当りを読んだら。
面白いから。
ただし集合論は卒業してね。

別にこのスレにいるにあたって474まで強制する事はあるまい。

極限を理解していない人は、このスレに来る資格がない。
極限を理解している人は、このスレを必要としていない。

きみたちは女子高生のウンコでも食べたほうが良さげかもだ

２進法　１＝０．１１１１１１１１１・・・・・・・・
３進法　１＝０．２２２２２２２２２・・・・・・・・
４進法　１＝０．３３３３３３３３３・・・・・・・・
５進法　１＝０．４４４４４４４４４・・・・・・・・
６進法　１＝０．５５５５５５５５５・・・・・・・・
７進法　１＝０．６６６６６６６６６・・・・・・・・
８進法　１＝０．７７７７７７７７７・・・・・・・・
９進法　１＝０．８８８８８８８８８・・・・・・・・

数学ならこれ全部正しく同じ　１　になる。
＞＞１　は全部違うと言うんだろうな。算数やってるのが
お似合いなんだが。

おい、全角うんこ。
別に>>1はどう思ってるか分からんだろ。
このスレの分かってない奴らは全部>>1ってわけじゃないんだぞ。

>>479
どうせ同じレベルほとんど一緒。ようはアホに収束する訳だ。
アホを全部並べれば極限のアホに収束する数列になる分けだ。
あっ。算数しか分からないだった。言っても無駄か。

Which不一致

　　　　　　　　　　,,―‐．　　　　　　　　　　　　　　　　　 r-、　　　　＿,--,、
　　　　　,―-、　.| ./''i､│　　r-,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,―ｰ．　　　 ﾞl, ｀"ﾞﾞﾞﾞﾞ￣＾　　　＼
　　　 ／　　　＼ ヽ,ﾞ'ﾞ_,/　　 .ﾞl、　　　　　　　　　`i､　　　＼ _,,―ｰ'''/　　.,ｒ'"
.,,,、.,,i´　.,/＾'i､　｀'i､｀｀　　　　 ｀--‐'''''''''''''''"'''''''''''ﾞ　　　　 ｀゛　　 .丿　 .,/
｛ ""　 ,/｀　　ヽ、 ｀'i､　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 丿　 .,/｀
.ヽ、　丿　　　　＼　 .＼　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ,/′ 、ヽ,,、
　 ﾞ'ｰ'"　　　　　　ﾞ'i､　 ‘i､.r-、　　　　　 ＿_,,,,,,,,--、　　　　 ／　.,／＼　`'-,、
　　　　　　　　　　　ヽ　　.]ﾞl ｀ﾞﾞﾞﾞ"ﾞﾞﾞﾞ￣￣　　　　　｀'i､　　,／ .,,／　　 .ヽ　　＼
　　　　　　　　　　　　ﾞヽ_/ .ヽ_.,,,,--―――――ｰ-ノ_,／ﾞ,,／′　　　　 ﾞl　　 ,"
　　　　　　　　　　　　　　　　 ｀　　　　　　　　　　　　 ﾞ‐''"｀　　　　　　　　ﾞ'ｰ'"

>>480
少なくともおめーよりは分かってるわい。
このスレのアホどもと一緒にするな。

だから


















　　　　　　　　　　,,―‐．　　　　　　　　　　　　　　　　　 r-、　　　　＿,--,、
　　　　　,―-、　.| ./''i､│　　r-,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,―ｰ．　　　 ﾞl, ｀"ﾞﾞﾞﾞﾞ￣＾　　　＼
　　　 ／　　　＼ ヽ,ﾞ'ﾞ_,/　　 .ﾞl、　　　　　　　　　`i､　　　＼ _,,―ｰ'''/　　.,ｒ'"
.,,,、.,,i´　.,/＾'i､　｀'i､｀｀　　　　 ｀--‐'''''''''''''''"'''''''''''ﾞ　　　　 ｀゛　　 .丿　 .,/
｛ ""　 ,/｀　　ヽ、 ｀'i､　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 丿　 .,/｀
.ヽ、　丿　　　　＼　 .＼　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ,/′ 、ヽ,,、
　 ﾞ'ｰ'"　　　　　　ﾞ'i､　 ‘i､.r-、　　　　　 ＿_,,,,,,,,--、　　　　 ／　.,／＼　`'-,、
　　　　　　　　　　　ヽ　　.]ﾞl ｀ﾞﾞﾞﾞ"ﾞﾞﾞﾞ￣￣　　　　　｀'i､　　,／ .,,／　　 .ヽ　　＼
　　　　　　　　　　　　ﾞヽ_/ .ヽ_.,,,,--―――――ｰ-ノ_,／ﾞ,,／′　　　　 ﾞl　　 ,"
　　　　　　　　　　　　　　　　 ｀　　　　　　　　　　　　 ﾞ‐''"｀　　　　　　　　ﾞ'ｰ'"

478は2ch初心者。どうか甘く見てやってください。

そんなアホどものために愛をこめて…



















　　　　　　　　　　,,―‐．　　　　　　　　　　　　　　　　　 r-、　　　　＿,--,、
　　　　　,―-、　.| ./''i､│　　r-,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,―ｰ．　　　 ﾞl, ｀"ﾞﾞﾞﾞﾞ￣＾　　　＼
　　　 ／　　　＼ ヽ,ﾞ'ﾞ_,/　　 .ﾞl、　　　　　　　　　`i､　　　＼ _,,―ｰ'''/　　.,ｒ'"
.,,,、.,,i´　.,/＾'i､　｀'i､｀｀　　　　 ｀--‐'''''''''''''''"'''''''''''ﾞ　　　　 ｀゛　　 .丿　 .,/
｛ ""　 ,/｀　　ヽ、 ｀'i､　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 丿　 .,/｀
.ヽ、　丿　　　　＼　 .＼　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ,/′ 、ヽ,,、
　 ﾞ'ｰ'"　　　　　　ﾞ'i､　 ‘i､.r-、　　　　　 ＿_,,,,,,,,--、　　　　 ／　.,／＼　`'-,、
　　　　　　　　　　　ヽ　　.]ﾞl ｀ﾞﾞﾞﾞ"ﾞﾞﾞﾞ￣￣　　　　　｀'i､　　,／ .,,／　　 .ヽ　　＼
　　　　　　　　　　　　ﾞヽ_/ .ヽ_.,,,,--―――――ｰ-ノ_,／ﾞ,,／′　　　　 ﾞl　　 ,"
　　　　　　　　　　　　　　　　 ｀　　　　　　　　　　　　 ﾞ‐''"｀　　　　　　　　ﾞ'ｰ'"

>>484
無意味な議論をできるだけながく引っ張るそれだけ。
あとはアホなやり取りを楽しむところ。
とても結論はほしがってないような。

age

こっちにもコピペ。

[ここまでの結論]
0.999...とか0.333...といった循環小数はその本質からして極限の概念を含んでおり、
極限抜きには考えられない。
よって、極限を認めないと
1=0.999....という等式を議論する以前に0.999...という数を考えること自体が出来ない。
0.999...という数自体認めなければそもそもこの議論は無意味であるから、
極限を否定する者がこのスレにおける主題(1=0.999...)を論じることはそれ自体矛盾である。

こっちにもコピペ

成果として、一応m進数->n進数を使った証明を再掲

1/3(10)=0.3333....(10) --- [1]
1/3(10) = 1/10(3) --- [2]
1/10(3) = 0.1 (3) ---[3]
[1][2][3]より
0.333...(10) = 0.1(3) --- [4]
0.1 * 10 (3) = 1(3) --- [5]
10(3) = 3(10) ---[6]
[4][5][6]より
0.333... * 3 (10) = 1(3) --- [7]
1は単位だから
1(3) = 1(10) --- [8]
[7][8]より
0.333... * 3 (10) = 1(10)

この証明における成果とは、循環小数に対する演算を最初から仮定せずに証明をしたこと。
どうやら1/3=0.333...自体極限の議論を含んでいるそうなので、極限そのものを回避できたわけではない。
極限を認めない奴は>>488でも読んどいてくれ。

>>488
おい、「極限を認めない」とは
どのような立場のことを言うのか説明しる

「実数」の概念を認めないってこと？

>>490
極限という概念抜きには考えられないものを否定する者。

>>490
循環小数さえ認められない者。
ｎ進法のようにｎが変わっただけで違う結論に至る
役に立たない論理を信じる者。
ピタゴラス学派以下の数学をまだ信ずる者。
無意味な議論を長々続ける者。

◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆

おい。0.999･･･＝1って言ってる香具師，今ＩＱサプリ見てたか？

◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆
2.99999･･･→ほぼ３(保母さん)

だとよ。ってことは

0.99999･･･→ほぼ１だろ？

やっぱりお前ら間違ってたな。ｱﾌｫｱﾌｫｱﾌｫ
【1=0.999999999999・・・・・　その４ 】
まで粘った甲斐があったってもんだ。

>2.99999･･･→ほぼ３(保母さん)

すなわち 2.99999・・・≠3
　　　　　　　　　　　　 ↑の式を証明してください

ハ？
ほぼ３は３じゃないに決まってる罠

馬鹿みたいな議論と思いつつ、
このスレを読んでしまう自分。

何か喋る時は論点をはっきりしよう。
賛成派も反対派も。
A＝0.99999999…として

１．一般に無限小数というものについて。(例：>>13)
２．一般に極限という考え方について。
３．10A−A＝9Aという教え方について。（例：>>51）
４．数列の極限としてのAについて。（例：>>4）
５．級数の極限としてのAについて。（例：>>31）
６．(1/3)*3=Aについて。（例：>>9>>11）
７．n進数変換議論について。（例：>>17）
８．0.99999999…という表現方法について。（例：>>18-19）
９．各桁に対する議論。（例：>>40）
１０．スレの議論と激しく異なるもの（例：大量に）

とか書き込んでみる。

賛成も反対も
実数の完備性から自明じゃん

>>498
自明は止めれ。
このスレにはキミみたいな天才ばかりじゃないということさ。

>>489
要はごちゃごちゃ言ってる香具師らは
実数の位相構造を知らんってだけのことでしょ。

完備性と関係あるの?

>>501
今ごろ何言ってるんだ？ネタか？

完備性を認めたら終わるから認める分けには行かない。
いつまでも、いつまでもだらだら続ける為に。
割る切れる小数しか認めないなら少数などなんの役にも立たない。

あほか

ここで長年頑張っている人の論理は
0.9999999999・・・・・・・
はどこまでも１には少し足りないと言っているだけ。
一方
0.9999999999・・・・・・・　-----> 1
と言っている人は何処までも１に近づくから１だと言っているでけ。
本当は殆ど同じことを言っているのだが。
数学では長々と同じことを繰り返すのが面倒だから途中は省いて
結局は１になると言っている。
これが分かれば微分、積分なんでもOKなんだけれど何時までも
１より小さいと言っている人は既に能力の限界。
算数でストップした哀れな脳みそなのだ。

>>505も途中でストップした哀れな脳みそなのだな。

　　　　　　　　　　,,―‐．　　　　　　　　　　　　　　　　　 r-、　　　　＿,--,、
　　　　　,―-、　.| ./''i､│　　r-,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,―ｰ．　　　 ﾞl, ｀"ﾞﾞﾞﾞﾞ￣＾　　　＼
　　　 ／　　　＼ ヽ,ﾞ'ﾞ_,/　　 .ﾞl、　　　　　　　　　`i､　　　＼ _,,―ｰ'''/　　.,ｒ'"
.,,,、.,,i´　.,/＾'i､　｀'i､｀｀　　　　 ｀--‐'''''''''''''''"'''''''''''ﾞ　　　　 ｀゛　　 .丿　 .,/
｛ ""　 ,/｀　　ヽ、 ｀'i､　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 丿　 .,/｀
.ヽ、　丿　　　　＼　 .＼　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ,/′ 、ヽ,,、
　 ﾞ'ｰ'"　　　　　　ﾞ'i､　 ‘i､.r-、　　　　　 ＿_,,,,,,,,--、　　　　 ／　.,／＼　`'-,、
　　　　　　　　　　　ヽ　　.]ﾞl ｀ﾞﾞﾞﾞ"ﾞﾞﾞﾞ￣￣　　　　　｀'i､　　,／ .,,／　　 .ヽ　　＼
　　　　　　　　　　　　ﾞヽ_/ .ヽ_.,,,,--―――――ｰ-ノ_,／ﾞ,,／′　　　　 ﾞl　　 ,"
　　　　　　　　　　　　　　　　 ｀　　　　　　　　　　　　 ﾞ‐''"｀　　　　　　　　ﾞ'ｰ'"

>>506
哀れな人を一人でも救おうとしている立派な人です。

有理数しか出てこないのにどこで完備性が関係しているか
私にはさっぱり分からないな…

>>505
ぷ

　　　　　　　　　　,,―‐．　　　　　　　　　　　　　　　　　 r-、　　　　＿,--,、
　　　　　,―-、　.| ./''i､│　　r-,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,―ｰ．　　　 ﾞl, ｀"ﾞﾞﾞﾞﾞ￣＾　　　＼
　　　 ／　　　＼ ヽ,ﾞ'ﾞ_,/　　 .ﾞl、　　　　　　　　　`i､　　　＼ _,,―ｰ'''/　　.,ｒ'"
.,,,、.,,i´　.,/＾'i､　｀'i､｀｀　　　　 ｀--‐'''''''''''''''"'''''''''''ﾞ　　　　 ｀゛　　 .丿　 .,/
｛ ""　 ,/｀　　ヽ、 ｀'i､　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 丿　 .,/｀
.ヽ、　丿　　　　＼　 .＼　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ,/′ 、ヽ,,、
　 ﾞ'ｰ'"　　　　　　ﾞ'i､　 ‘i､.r-、　　　　　 ＿_,,,,,,,,--、　　　　 ／　.,／＼　`'-,、
　　　　　　　　　　　ヽ　　.]ﾞl ｀ﾞﾞﾞﾞ"ﾞﾞﾞﾞ￣￣　　　　　｀'i､　　,／ .,,／　　 .ヽ　　＼
　　　　　　　　　　　　ﾞヽ_/ .ヽ_.,,,,--―――――ｰ-ノ_,／ﾞ,,／′　　　　 ﾞl　　 ,"
　　　　　　　　　　　　　　　　 ｀　　　　　　　　　　　　 ﾞ‐''"｀　　　　　　　　ﾞ'ｰ'"

　　　☆彡■■■　田中康夫はインチキの改革ゴロ　■■■☆彡
マスコミにない情報満載　田中康夫が恐れをなし、リンク拒否する「田中県政追撃コラム」
http://members.goo.ne.jp/home/tuigeki
世間では、田中康夫を改革派だの市民派だのって言ってるけど、あんなのぜんぜんインチキ、まるでダメ。「改革」をネタに売名してるだけの新タイプのゴロつき。
一ツ橋大学時代は学内誌の部費数百万円を横領して停学喰らい就職もフイ。プ〜タローしているときに書いた
小説がたまたま、文藝賞の「なんとなくクリスタル」。ところが、受賞騒ぎで横領事件が世間にバレルのでは？
と受賞辞退までしていた、なんて知ってた？
私は昔ロッキード事件なんてのを取材したこともある元記者で、こんな質問を会見で訊いたけどバックレ
られちゃって田中康夫の正体モロ見え。
この有様、長野県ＨＰ　http://www.pref.nagano.jp/hisyo/press/20011228n.htm　で確認できます。
今やってるのはメルマガだけど取材のほうはバッチリでマスコ゛ミの上を行く情報沢山出してます。長野県庁では大評判。
マスコミって言ったって、長野県辺りにいる連中はオイラから見れば出来の悪い大学生ぐらいにしか見え
ないんだけど、やってることは目茶苦茶でこんなんでよく・・・と今更ながら思う今日この頃。
うわべだけの田中康夫と、程度の低い新聞印刷会社の文案係が織り成す、ドタバタ長野県政物語を読
みたい方は読者登録の上お読みください、なんてね。

　　　　　　　　　　,,―‐．　　　　　　　　　　　　　　　　　 r-、　　　　＿,--,、
　　　　　,―-、　.| ./''i､│　　r-,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,―ｰ．　　　 ﾞl, ｀"ﾞﾞﾞﾞﾞ￣＾　　　＼
　　　 ／　　　＼ ヽ,ﾞ'ﾞ_,/　　 .ﾞl、　　　　　　　　　`i､　　　＼ _,,―ｰ'''/　　.,ｒ'"
.,,,、.,,i´　.,/＾'i､　｀'i､｀｀　　　　 ｀--‐'''''''''''''''"'''''''''''ﾞ　　　　 ｀゛　　 .丿　 .,/
｛ ""　 ,/｀　　ヽ、 ｀'i､　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 丿　 .,/｀
.ヽ、　丿　　　　＼　 .＼　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ,/′ 、ヽ,,、
　 ﾞ'ｰ'"　　　　　　ﾞ'i､　 ‘i､.r-、　　　　　 ＿_,,,,,,,,--、　　　　 ／　.,／＼　`'-,、
　　　　　　　　　　　ヽ　　.]ﾞl ｀ﾞﾞﾞﾞ"ﾞﾞﾞﾞ￣￣　　　　　｀'i､　　,／ .,,／　　 .ヽ　　＼
　　　　　　　　　　　　ﾞヽ_/ .ヽ_.,,,,--―――――ｰ-ノ_,／ﾞ,,／′　　　　 ﾞl　　 ,"
　　　　　　　　　　　　　　　　 ｀　　　　　　　　　　　　 ﾞ‐''"｀　　　　　　　　ﾞ'ｰ'"

＞＞５０９
有理数しかも割り切れるものしか許さないから
そのような数の集合は穴だらけで表現不能な数がある。
って言いたいのだよ。
循環小数と分数とが演算規則から等しいというだけで
この問題は1/3*3=0.3333・・・・*3=0.9999・・・・=1
でおしまい。

>>498 では
1=0.9999…かどうかは実数の完備性に基づいているといってるのだと思っていたが、
私にはどこに完備性が使われているのか分からない。
それを説明して欲しいのだが

>>515
0.9999…と表記されたものが何なのかが問題なんでしょ。
一般的には級数の極限と見なされて、実数の完備性から
ある数に収束する事が保証される。
そして、その収束値が１である事は簡単に証明できる。

ただ、級数の極限や実数の完備性などの概念を認めないまま、
0.9999…という表記がそれ自体で何かを表わしていると
信じ込んでいる人がいるようなので、ここまで紛糾するんだろうね。

>>516
一般の(循環小数でない)小数に対してなら完備性は必要かもしれないけど
この場合は循環小数なんだから必要ないじゃん

>>517
ああ、つまり1=0.9999…である事を証明するには完備性が
必要なのかって事ね。それなら完備性までは必要じゃなくて、
いわゆるアルキメデスの原理で充分のはず。

まあ、こういう細かい区別をしていると一層混乱するだけだし
実数の完備性を認めれば簡単に解決する問題だって事を
言いたいんだと思うよ。

アルキメデスの原理が使われてるのはその通り。しかし
完備性によって簡単に解決するというのは、何がどのように解決するのかね？

四則演算した結果が必ず求まることが保証される。
1/3=a a*3=1 が言える。

任意の無限小数に実数を掛けた結果が実数の中に存在するというわけか。
確かにそれを使えば
0.333… * 3
は何らかの実数であるが、
その実数が0.999…と等しくなるというのはどうやって示すのだね？

>>519
なんだ。本当に説明して欲しかったわけじゃないのか。
>>498はオレじゃないけど、一応オレの考えを書いておくね。
>>516でも書いたけど議論が紛糾するのは、
0.9999…という表記それ自体が何かを表わしていると
考えようとする人がいるからだと思う。
大学以降の数学を学んだ人にとっては、これは級数の極限を
非形式的に表わしたものにすぎないし、実数に関する極限については
連続の公理（完備性）を前提にして学んでいる。
だから、完備性を前提にすれば1=0.9999…の証明と言うのは
ごく簡単な演習問題になるって事ね。

>>521
それも簡単な演習問題。項別に演算したものの収束値が
収束値の演算と等しくなる事を証明すればよい。

で、いったい何を問題視しているの？
完備性を持ち出して決着を付けようとするレスに
文句を言いたかっただけ？

>>521
見れば分かるだろ。桁上がりも無い。お前は掛け算は一番下の
位から掛けないと計算できないと思っているな。アホ。
上からでも出来るんだ。

完備性を使って言えることは 0.333… * 3 がある実数だってことだよ
これが 1 と等しいかどうかは分からない。
0.333… = 1/3
がいえればいいわけだけど、これには完備性は必要ない

＞項別に演算したものの収束値が
＞収束値の演算と等しくなる事を証明すればよい。
これをいうにも完備性は必要ないし、これを認めれば他に何もいうことはなくなる。

＞完備性を持ち出して決着を付けようとするレスに
＞文句を言いたかっただけ？
有理数しか扱ってないんだから、完備性がでてくるわけないでしょ
いくらネタスレといっても、こういう誤りは見過ごせない

>>523
は？
君の掛け算と私の掛け算はやり方以前に定義から違う。
掛け算の定義はひとつしかないと思っているな。アホ。

ここは、1=0.999999999999・・・・という問題を題材にして、日本語の授業を展開するスレですか。

>>524
うーん、それなら完備性を持ち出さなくても級数の極限は考えられると
指摘すればよかった事じゃない？オレもいちいち説明しなくてすんだし。

完備性はおそらく、大学で習う極限の議論を象徴するものとして
持ち出されてるんだと思うよ。そういう事を踏まえれば、
こんなスレはすぐ終了するって言いたくなる気持ちは分かるし、
目くじらたてる事じゃないと思うけどね。

>>524氏の肩を持つわけじゃないけど、「完備性を認めれば簡単に解決する」が気に食わなかったんでしょ？
分かってるとは思うけど確かにこの言い方は変だよ。
そもそも有理数体の中でも収束するわけだし、実数に広げて完備性を持ち出したところでなんの解決にもな
らないから。

　　　　　　　　　　,,―‐．　　　　　　　　　　　　　　　　　 r-、　　　　＿,--,、
　　　　　,―-、　.| ./''i､│　　r-,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,―ｰ．　　　 ﾞl, ｀"ﾞﾞﾞﾞﾞ￣＾　　　＼
　　　 ／　　　＼ ヽ,ﾞ'ﾞ_,/　　 .ﾞl、　　　　　　　　　`i､　　　＼ _,,―ｰ'''/　　.,ｒ'"
.,,,、.,,i´　.,/＾'i､　｀'i､｀｀　　　　 ｀--‐'''''''''''''''"'''''''''''ﾞ　　　　 ｀゛　　 .丿　 .,/
｛ ""　 ,/｀　　ヽ、 ｀'i､　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 丿　 .,/｀
.ヽ、　丿　　　　＼　 .＼　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ,/′ 、ヽ,,、
　 ﾞ'ｰ'"　　　　　　ﾞ'i､　 ‘i､.r-、　　　　　 ＿_,,,,,,,,--、　　　　 ／　.,／＼　`'-,、
　　　　　　　　　　　ヽ　　.]ﾞl ｀ﾞﾞﾞﾞ"ﾞﾞﾞﾞ￣￣　　　　　｀'i､　　,／ .,,／　　 .ヽ　　＼
　　　　　　　　　　　　ﾞヽ_/ .ヽ_.,,,,--―――――ｰ-ノ_,／ﾞ,,／′　　　　 ﾞl　　 ,"
　　　　　　　　　　　　　　　　 ｀　　　　　　　　　　　　 ﾞ‐''"｀　　　　　　　　ﾞ'ｰ'"

　　　　　　　　　　,,―‐．　　　　　　　　　　　　　　　　　 r-、　　　　＿,--,、
　　　　　,―-、　.| ./''i､│　　r-,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,―ｰ．　　　 ﾞl, ｀"ﾞﾞﾞﾞﾞ￣＾　　　＼
　　　 ／　　　＼ ヽ,ﾞ'ﾞ_,/　　 .ﾞl、　　　　　　　　　`i､　　　＼ _,,―ｰ'''/　　.,ｒ'"
.,,,、.,,i´　.,/＾'i､　｀'i､｀｀　　　　 ｀--‐'''''''''''''''"'''''''''''ﾞ　　　　 ｀゛　　 .丿　 .,/
｛ ""　 ,/｀　　ヽ、 ｀'i､　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 丿　 .,/｀
.ヽ、　丿　　　　＼　 .＼　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ,/′ 、ヽ,,、
　 ﾞ'ｰ'"　　　　　　ﾞ'i､　 ‘i､.r-、　　　　　 ＿_,,,,,,,,--、　　　　 ／　.,／＼　`'-,、
　　　　　　　　　　　ヽ　　.]ﾞl ｀ﾞﾞﾞﾞ"ﾞﾞﾞﾞ￣￣　　　　　｀'i､　　,／ .,,／　　 .ヽ　　＼
　　　　　　　　　　　　ﾞヽ_/ .ヽ_.,,,,--―――――ｰ-ノ_,／ﾞ,,／′　　　　 ﾞl　　 ,"
　　　　　　　　　　　　　　　　 ｀　　　　　　　　　　　　 ﾞ‐''"｀　　　　　　　　ﾞ'ｰ'"

あなたたちは

　　　　　　　　　　,,―‐．　　　　　　　　　　　　　　　　　 r-、　　　　＿,--,、
　　　　　,―-、　.| ./''i､│　　r-,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,―ｰ．　　　 ﾞl, ｀"ﾞﾞﾞﾞﾞ￣＾　　　＼
　　　 ／　　　＼ ヽ,ﾞ'ﾞ_,/　　 .ﾞl、　　　　　　　　　`i､　　　＼ _,,―ｰ'''/　　.,ｒ'"
.,,,、.,,i´　.,/＾'i､　｀'i､｀｀　　　　 ｀--‐'''''''''''''''"'''''''''''ﾞ　　　　 ｀゛　　 .丿　 .,/
｛ ""　 ,/｀　　ヽ、 ｀'i､　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 丿　 .,/｀
.ヽ、　丿　　　　＼　 .＼　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ,/′ 、ヽ,,、
　 ﾞ'ｰ'"　　　　　　ﾞ'i､　 ‘i､.r-、　　　　　 ＿_,,,,,,,,--、　　　　 ／　.,／＼　`'-,、
　　　　　　　　　　　ヽ　　.]ﾞl ｀ﾞﾞﾞﾞ"ﾞﾞﾞﾞ￣￣　　　　　｀'i､　　,／ .,,／　　 .ヽ　　＼
　　　　　　　　　　　　ﾞヽ_/ .ヽ_.,,,,--―――――ｰ-ノ_,／ﾞ,,／′　　　　 ﾞl　　 ,"
　　　　　　　　　　　　　　　　 ｀　　　　　　　　　　　　 ﾞ‐''"｀　　　　　　　　ﾞ'ｰ'"
ですか？

貴方たち少数は足し算も掛け算を割り算も出来ない
わけですか。

おまいら基本ができてねーな

a=(10^n-1)/10^n

このような数列のｎを何処までを認めるわけでしょうか？。
貴方がたの少数の適用範囲を示してください。
ｎは無限は無いのでしょうね。
もっともｎをどこで止めてもそれより大きい桁の割り切れる有理数は存在
するので自己矛盾しますが。

>>534
その形のままだとlim(n→∞)a=∞/∞なので不定形となりよろしくない。
上辺を下辺で割って整理しましょう。

>>535
当たり前でしょ。そんなの。不定形ならロピタルの定理を
使えばOKだし。分からない人用に書いているんだから。
０．９、０．９９、０．９９９、０．９９９９、、、、
が見れば分かるから。でその後分からない人の認める少数を
聞いているんだが。割り切れて、しかも無限に続けられる
少数を何処まで認めるかを。

全部の分数を2分割します。
例えば1/2より大きい分数全部と
1/2以下の分数全部に‥
もう一つ別の分割として1/2以上の分数と1/2未満の
分数に2分割します。
こういった分割の仕方を例えば小さいほうの分割
した集合の最大値で表すとします。すると
1/2より大きい分数全部と1/2以下の分数全部の
分割は1/2と表されます。では1/2以上の分数と1/2未満
の分数の分割はどう表したらいいのでしょうか？
察しのいい人はもう判ると思いますが
それは0.49999999‥　　　です。

分割の仕方として
1/2が下側の集合の最大値になってる場合と
1/2が上側の集合の最小値になってる場合は
同じと定義します。
このように定めたものが実数というものです。

つまり分数全部を2分割した時の下側の集合の
最大値か上側の集合の最小値で表したものが
実数なのです。

1の場合もまた然り

>>537
貴方は、数学の先生ですか。
２ｃｈではいくら説得しても無駄でよ。
分からない。分かりたくない。これをネタで暇つぶし
してるんですから。

　　　　　　　　　　,,―‐．　　　　　　　　　　　　　　　　　 r-、　　　　＿,--,、
　　　　　,―-、　.| ./''i､│　　r-,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,―ｰ．　　　 ﾞl, ｀"ﾞﾞﾞﾞﾞ￣＾　　　＼
　　　 ／　　　＼ ヽ,ﾞ'ﾞ_,/　　 .ﾞl、　　　　　　　　　`i､　　　＼ _,,―ｰ'''/　　.,ｒ'"
.,,,、.,,i´　.,/＾'i､　｀'i､｀｀　　　　 ｀--‐'''''''''''''''"'''''''''''ﾞ　　　　 ｀゛　　 .丿　 .,/
｛ ""　 ,/｀　　ヽ、 ｀'i､　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 丿　 .,/｀
.ヽ、　丿　　　　＼　 .＼　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ,/′ 、ヽ,,、
　 ﾞ'ｰ'"　　　　　　ﾞ'i､　 ‘i､.r-、　　　　　 ＿_,,,,,,,,--、　　　　 ／　.,／＼　`'-,、
　　　　　　　　　　　ヽ　　.]ﾞl ｀ﾞﾞﾞﾞ"ﾞﾞﾞﾞ￣￣　　　　　｀'i､　　,／ .,,／　　 .ヽ　　＼
　　　　　　　　　　　　ﾞヽ_/ .ヽ_.,,,,--―――――ｰ-ノ_,／ﾞ,,／′　　　　 ﾞl　　 ,"
　　　　　　　　　　　　　　　　 ｀　　　　　　　　　　　　 ﾞ‐''"｀　　　　　　　　ﾞ'ｰ'"

ようは自然数の最大をどこまで認めるかと割り切れる割り算で
何桁までの少数表記を認めているか。
これを示してください。

1≠0.999999999999999999999999999999999999・・・・・・・・
派の人。

おまいら見当違い

>>おまいら見当違い

その理由を論理的に書き示してください。
なにが見当違いなのでしょう。

　　　　　　　　　　,,―‐．　　　　　　　　　　　　　　　　　 r-、　　　　＿,--,、
　　　　　,―-、　.| ./''i､│　　r-,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,―ｰ．　　　 ﾞl, ｀"ﾞﾞﾞﾞﾞ￣＾　　　＼
　　　 ／　　　＼ ヽ,ﾞ'ﾞ_,/　　 .ﾞl、　　　　　　　　　`i､　　　＼ _,,―ｰ'''/　　.,ｒ'"
.,,,、.,,i´　.,/＾'i､　｀'i､｀｀　　　　 ｀--‐'''''''''''''''"'''''''''''ﾞ　　　　 ｀゛　　 .丿　 .,/
｛ ""　 ,/｀　　ヽ、 ｀'i､　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 丿　 .,/｀
.ヽ、　丿　　　　＼　 .＼　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ,/′ 、ヽ,,、
　 ﾞ'ｰ'"　　　　　　ﾞ'i､　 ‘i､.r-、　　　　　 ＿_,,,,,,,,--、　　　　 ／　.,／＼　`'-,、
　　　　　　　　　　　ヽ　　.]ﾞl ｀ﾞﾞﾞﾞ"ﾞﾞﾞﾞ￣￣　　　　　｀'i､　　,／ .,,／　　 .ヽ　　＼
　　　　　　　　　　　　ﾞヽ_/ .ヽ_.,,,,--―――――ｰ-ノ_,／ﾞ,,／′　　　　 ﾞl　　 ,"
　　　　　　　　　　　　　　　　 ｀　　　　　　　　　　　　 ﾞ‐''"｀　　　　　　　　ﾞ'ｰ'"

既出かしらないんですが　長くなるんで読み飛ばしていいです

ピーターフランクルの自伝で、彼が小学校の時
1/3=0.3333333.....で　1/3*3=1だから　1=0.9999999.....だ
と自力で発見した話が載ってます
で、さらに
「数には表し方が１とうりでなくある。3も2.999999....も同じ数をあらわしている。」
みたいなことが書いてありました。（うろ覚え）

で、私は私の様な一般人がいつも使っているような数では
表しきれない数が有って、それのために1=0.9999.....みたいなのが
出てくるのかと思ったんですが。

もうくだらんネタはやめてくれ

　　　　　　　　　　,,―‐．　　　　　　　　　　　　　　　　　 r-、　　　　＿,--,、
　　　　　,―-、　.| ./''i､│　　r-,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,―ｰ．　　　 ﾞl, ｀"ﾞﾞﾞﾞﾞ￣＾　　　＼
　　　 ／　　　＼ ヽ,ﾞ'ﾞ_,/　　 .ﾞl、　　　　　　　　　`i､　　　＼ _,,―ｰ'''/　　.,ｒ'"
.,,,、.,,i´　.,/＾'i､　｀'i､｀｀　　　　 ｀--‐'''''''''''''''"'''''''''''ﾞ　　　　 ｀゛　　 .丿　 .,/
｛ ""　 ,/｀　　ヽ、 ｀'i､　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 丿　 .,/｀
.ヽ、　丿　　　　＼　 .＼　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ,/′ 、ヽ,,、
　 ﾞ'ｰ'"　　　　　　ﾞ'i､　 ‘i､.r-、　　　　　 ＿_,,,,,,,,--、　　　　 ／　.,／＼　`'-,、
　　　　　　　　　　　ヽ　　.]ﾞl ｀ﾞﾞﾞﾞ"ﾞﾞﾞﾞ￣￣　　　　　｀'i､　　,／ .,,／　　 .ヽ　　＼
　　　　　　　　　　　　ﾞヽ_/ .ヽ_.,,,,--―――――ｰ-ノ_,／ﾞ,,／′　　　　 ﾞl　　 ,"
　　　　　　　　　　　　　　　　 ｀　　　　　　　　　　　　 ﾞ‐''"｀　　　　　　　　ﾞ'ｰ'"

暇やの

まったく暇やの。

なんで
1=0.999999999999・・・・・　その５
がすでにあるん？

有限値を０で割ってもいいと思うんですよ。
そもそも有限値を０で割ってはいけないというのは数学者の勝手だと思うんです。自分らに解けないからっていって、それを誤魔化すためにみんなで変な決まりを作ったんじゃないかと。
健常者になんで０で割ってはいけないの？と聞かれても０で割ってはいけないからいけないんだ、なんて受精卵の言い訳ですよ。
数学者っていったい何のために存在してるんですかね？今だにπの値を求めれないみたいですし。

>>549
ずーと前からあるよ。結論などどうでもいいんだから。
相手するやつさえいればなーんも構わない。

　　　　　　　　　　,,―‐．　　　　　　　　　　　　　　　　　 r-、　　　　＿,--,、
　　　　　,―-、　.| ./''i､│　　r-,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,―ｰ．　　　 ﾞl, ｀"ﾞﾞﾞﾞﾞ￣＾　　　＼
　　　 ／　　　＼ ヽ,ﾞ'ﾞ_,/　　 .ﾞl、　　　　　　　　　`i､　　　＼ _,,―ｰ'''/　　.,ｒ'"
.,,,、.,,i´　.,/＾'i､　｀'i､｀｀　　　　 ｀--‐'''''''''''''''"'''''''''''ﾞ　　　　 ｀゛　　 .丿　 .,/
｛ ""　 ,/｀　　ヽ、 ｀'i､　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 丿　 .,/｀
.ヽ、　丿　　　　＼　 .＼　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ,/′ 、ヽ,,、
　 ﾞ'ｰ'"　　　　　　ﾞ'i､　 ‘i､.r-、　　　　　 ＿_,,,,,,,,--、　　　　 ／　.,／＼　`'-,、
　　　　　　　　　　　ヽ　　.]ﾞl ｀ﾞﾞﾞﾞ"ﾞﾞﾞﾞ￣￣　　　　　｀'i､　　,／ .,,／　　 .ヽ　　＼
　　　　　　　　　　　　ﾞヽ_/ .ヽ_.,,,,--―――――ｰ-ノ_,／ﾞ,,／′　　　　 ﾞl　　 ,"
　　　　　　　　　　　　　　　　 ｀　　　　　　　　　　　　 ﾞ‐''"｀　　　　　　　　ﾞ'ｰ'"

>>550

また得意の無関係な話が出てきたな。

いえ、私はここにいるアンポンタンではないですよ。
アンポンタンも出てこないし、暇だから新しいネタを提供しただけです。
ここのアンポンタンが出てきたら一時小休止ということで。
さぁ、反論ｶﾓﾝ

>>554
アホッ

>>555
ウホッ

>>556
しねッ

>>556
ゴフォ。風引いたかな。

>>557　モエッ
>>558 チンフォ

　　　　　　　　　　,,―‐．　　　　　　　　　　　　　　　　　 r-、　　　　＿,--,、
　　　　　,―-、　.| ./''i､│　　r-,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,―ｰ．　　　 ﾞl, ｀"ﾞﾞﾞﾞﾞ￣＾　　　＼
　　　 ／　　　＼ ヽ,ﾞ'ﾞ_,/　　 .ﾞl、　　　　　　　　　`i､　　　＼ _,,―ｰ'''/　　.,ｒ'"
.,,,、.,,i´　.,/＾'i､　｀'i､｀｀　　　　 ｀--‐'''''''''''''''"'''''''''''ﾞ　　　　 ｀゛　　 .丿　 .,/
｛ ""　 ,/｀　　ヽ、 ｀'i､　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 丿　 .,/｀
.ヽ、　丿　　　　＼　 .＼　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ,/′ 、ヽ,,、
　 ﾞ'ｰ'"　　　　　　ﾞ'i､　 ‘i､.r-、　　　　　 ＿_,,,,,,,,--、　　　　 ／　.,／＼　`'-,、
　　　　　　　　　　　ヽ　　.]ﾞl ｀ﾞﾞﾞﾞ"ﾞﾞﾞﾞ￣￣　　　　　｀'i､　　,／ .,,／　　 .ヽ　　＼
　　　　　　　　　　　　ﾞヽ_/ .ヽ_.,,,,--―――――ｰ-ノ_,／ﾞ,,／′　　　　 ﾞl　　 ,"
　　　　　　　　　　　　　　　　 ｀　　　　　　　　　　　　 ﾞ‐''"｀　　　　　　　　ﾞ'ｰ'"

コピペ野郎何処にでも居るんだな｡

　　　　　　　　　　,,―‐．　　　　　　　　　　　　　　　　　 r-、　　　　＿,--,、
　　　　　,―-、　.| ./''i､│　　r-,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,―ｰ．　　　 ﾞl, ｀"ﾞﾞﾞﾞﾞ￣＾　　　＼
　　　 ／　　　＼ ヽ,ﾞ'ﾞ_,/　　 .ﾞl、　　　　　　　　　`i､　　　＼ _,,―ｰ'''/　　.,ｒ'"
.,,,、.,,i´　.,/＾'i､　｀'i､｀｀　　　　 ｀--‐'''''''''''''''"'''''''''''ﾞ　　　　 ｀゛　　 .丿　 .,/
｛ ""　 ,/｀　　ヽ、 ｀'i､　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 丿　 .,/｀
.ヽ、　丿　　　　＼　 .＼　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ,/′ 、ヽ,,、
　 ﾞ'ｰ'"　　　　　　ﾞ'i､　 ‘i､.r-、　　　　　 ＿_,,,,,,,,--、　　　　 ／　.,／＼　`'-,、
　　　　　　　　　　　ヽ　　.]ﾞl ｀ﾞﾞﾞﾞ"ﾞﾞﾞﾞ￣￣　　　　　｀'i､　　,／ .,,／　　 .ヽ　　＼
　　　　　　　　　　　　ﾞヽ_/ .ヽ_.,,,,--―――――ｰ-ノ_,／ﾞ,,／′　　　　 ﾞl　　 ,"
　　　　　　　　　　　　　　　　 ｀　　　　　　　　　　　　 ﾞ‐''"｀　　　　　　　　ﾞ'ｰ'"

>>562
手持ちコピペはたった一つだけ。

　　　　　　　　　　,,―‐．　　　　　　　　　　　　　　　　　 r-、　　　　＿,--,、
　　　　　,―-、　.| ./''i､│　　r-,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,―ｰ．　　　 ﾞl, ｀"ﾞﾞﾞﾞﾞ￣＾　　　＼
　　　 ／　　　＼ ヽ,ﾞ'ﾞ_,/　　 .ﾞl、　　　　　　　　　`i､　　　＼ _,,―ｰ'''/　　.,ｒ'"
.,,,、.,,i´　.,/＾'i､　｀'i､｀｀　　　　 ｀--‐'''''''''''''''"'''''''''''ﾞ　　　　 ｀゛　　 .丿　 .,/
｛ ""　 ,/｀　　ヽ、 ｀'i､　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 丿　 .,/｀
.ヽ、　丿　　　　＼　 .＼　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ,/′ 、ヽ,,、
　 ﾞ'ｰ'"　　　　　　ﾞ'i､　 ‘i､.r-、　　　　　 ＿_,,,,,,,,--、　　　　 ／　.,／＼　`'-,、
　　　　　　　　　　　ヽ　　.]ﾞl ｀ﾞﾞﾞﾞ"ﾞﾞﾞﾞ￣￣　　　　　｀'i､　　,／ .,,／　　 .ヽ　　＼
　　　　　　　　　　　　ﾞヽ_/ .ヽ_.,,,,--―――――ｰ-ノ_,／ﾞ,,／′　　　　 ﾞl　　 ,"
　　　　　　　　　　　　　　　　 ｀　　　　　　　　　　　　 ﾞ‐''"｀　　　　　　　　ﾞ'ｰ'"

　　　 `　　　　　　　　　 　 　 ,.．-──- ､　　　　　　　　　_|＿
　　　　　　　　　　　　　 　 ／. : : : : : : : : : ＼　　　　　　　　|＿　ヽ
　　　　　　　　　　　　 　 /.: : : : : : : : : : : : : : ヽ　　　　　　（j　　）
　　 　　 　　　　　　　　 ,!::: : : :,-…-…-ミ: : : : :',
　　　　　　　　　　　　　 {:: : : : :i '⌒'　 '⌒' i: : : : :}　　　　　_ヽ＿∠
　　　　　　 　 　 　 　 {:: : : : |　ｪｪ　 ｪｪ　|: : : : :}　　 　 　 ｌニl ｌ ｜
. 　 　 　 　　, ､　 　 　 { : : : :|　　　,.、 　 |:: : : :;!　　　　　 l─| l 亅
　　　 　　　　ヽ ヽ.　　_ .ヾ: :: :i　r‐-ﾆ-┐ | : : :ﾉ　　　　　　　 _
　　　 　　　　　 }　 >'´.-!、 ゞイ! ヽ 二ﾞノ ｲゞ‐′　　　　　　l　 ｀ヽ
　　　´　 　　　 |　　　 −!　　 ＼` ｰ一'´丿 ＼　　　　　　　l/⌒ヽ
　　　　-'　　　 ﾉ　　　 ,二!＼　　 ＼___／　　　/｀丶､　　　　　 _ノ
　　　　　　　 /＼　 ／　　 　＼ 　 /~ﾄ､　　 ／　　　 l ＼
　　　　　　 /　、 ｀ソ!　　　　　 ＼/l::::|ハ／　　　　　l-7 _ヽ
　　　　　　　　　　,,―‐．　　　　　　　　　　　　　　　　　 r-、　　　　＿,--,、
　　　　　,―-、　.| ./''i､│　　r-,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,―ｰ．　　　 ﾞl, ｀"ﾞﾞﾞﾞﾞ￣＾　　　＼
　　　 ／　　　＼ ヽ,ﾞ'ﾞ_,/　　 .ﾞl、　　　　　　　　　`i､　　　＼ _,,―ｰ'''/　　.,ｒ'"
.,,,、.,,i´　.,/＾'i､　｀'i､｀｀　　　　 ｀--‐'''''''''''''''"'''''''''''ﾞ　　　　 ｀゛　　 .丿　 .,/
｛ ""　 ,/｀　　ヽ、 ｀'i､　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 丿　 .,/｀
.ヽ、　丿　　　　＼　 .＼　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ,/′ 、ヽ,,、
　 ﾞ'ｰ'"　　　　　　ﾞ'i､　 ‘i､.r-、　　　　　 ＿_,,,,,,,,--、　　　　 ／　.,／＼　`'-,、
　　　　　　　　　　　ヽ　　.]ﾞl ｀ﾞﾞﾞﾞ"ﾞﾞﾞﾞ￣￣　　　　　｀'i､　　,／ .,,／　　 .ヽ　　＼
　　　　　　　　　　　　ﾞヽ_/ .ヽ_.,,,,--―――――ｰ-ノ_,／ﾞ,,／′　　　　 ﾞl　　 ,"
　　　　　　　　　　　　　　　　 ｀　　　　　　　　　　　　 ﾞ‐''"｀　　　　　　　　ﾞ'ｰ'"

研究室ではなるべくきちっと朝（教授より早く）から夜（先輩より遅く）まで毎日
洗浄当番はちゃんとまもり、ごみはたまったら自らすてる（当番でなくても）。
そして共通試薬などなくなりそうだったら作る（ちょっとだけ残して戻すようなせこいことしない！）または
ちゃんと注文しておく。

挨拶はみんなに笑顔でする。（たとえ無視されても）どうせただなんだから
研究室で漫画や研究に関係ないネットを見てないか？
自分の研究があるからってクリーンベンチをヒトに譲らないことないか？
教授から言われたことはたとえ、実験があってもなるべく実行すること。

とにかく自己中になってるヒトは大体研究室の被害者になってるような
気がしました。たぶん学生の甘えか、本人の精神的未熟さなんだろうと。
以前の私もそうでしたから。

でも脅さないと実験しないやつってどうなん？それこそ会社に入って
実験するのはリストラが怖いからってことなのか？
そんなひとを自分の研究室から出すほうが、研究室にとって良くないこと
かもしれない。うわさってすぐ広がるし、有名な研究室ほどそういうの気に
するよ。

だっていやじゃない？おまえの研究室でたやつって使えねーやつ多いよねとか
いわれたら。

左辺の椰子はのほほんとしてればいいけど
右辺の椰子は大変だな、ちょっとでも手を止めた途端に等号が破綻する。
己のプライドを賭けて９を書き続けなければならない

>>567
おもしろい。確かにそのとおりだ。

>>567
個の手の人間は総ての足し算を指で毎日計算しなければならない。
計算規則が恒に正しいかは不明だからだ。
掛け算の九九は毎朝チェック大変な生活なのだ。
抽象性が理解出来ないために。

age

1/3が、0.333333.......で、
3*0.33333.....＝1であり、0.99999.....にならないのでは？

動作を一続きでやると、
(1÷3)×3だから。

3*0.33333.......は1だね。

>>571　　ねた・・・だよな？

z

四則演算の交換の法則より

１÷３×３＝１×３÷３＝１

（証明終わり）

>>574
少数表示が正しく 1/3 を表すかが論じられているから
見当違いの論理です。

論じられてるんじゃなくて
そうなるって結論出てんだよ
まだわかんねーのか？

>>576
それは貴方でない誰かが言っているだけ。
貴方は、分からずに信じているだけ。

神は存在するか。信ずる人は救われる。教会への寄付はいるが。

’分からずに信じてる’だってさ
もうアホかと

>>577
0.333333・・・・・と、0.333333・・・・3 の違いがわかりますか？
わからないならいくら議論したって無駄だよ。

>>579
違いがあるのならどうやって収束すると言うわけですか。
0.333333・・・・3　の極限が　0.333333・・・・・　でないのなら
証明不能では。

わかってないのか。

わかってないね。一部の馬鹿が。

>>580
0.333333・・・・3 で止まってるでしょ。だから極限とは言わないの。

>>583
その過程でしょ。あんたら結果だけ覚えているな。

やっぱり式で表すべき所を言葉で議論しようとすると無毛な
時間とスペースを費やされるな。そのくせ結論が出ない。

物理板で「相対性理論は誤っていた！」なんてほざいている
バカがいるけどあれと同じ。

'どうやって収束する'

収束??収束の意味わかってんのかと

>>586
0.333333・・・・3
・・・・　を準じ増やせば収束するだろ。

↑ネタだよな？

↑
上界を持つ単調増加数列は
上限を持つも知らんのか（Ww,,

>>589
それだけ知ってりゃ 1/3=0.333333..................................
は当たり前だわな。
しかし知らん奴には上界を持つとか単調増加とか上限とか
分からんのじゃないかな？。
そんな議論より遥か下で迷っているんだから。

ペニス　（AA省略）

無限を永遠と言い換えるとロマンチックだわね

>>592
現存するものと時間を混同してはいけない。

上界を持つ単調増加数列の定理とか、デテキントの切断とかの話は
みんな同値なんだよね。これらが嫌いな人は一緒くたに消去も可能？

1/3=0.3333...............
は単なる割り算だから等しいと思えれば正解。極限のど不必要な世界。
開平でｓｑｒｔ（２）の計算を極限操作だと思っている奴いるのか。
極限が居るのは三角形の面積を区分求積などで求める時算数では1/2
が出てくるのに計算のやり方で
0.49999999999999999999999999999................................xxx
と
0.5............................................................xxx
xxxは何かの数字
が出てこれは同じじゃないかなんて考えたのが始まりじゃないの。

>>595
間違いなく極限をとっていますね。

age

>>596
どうゆう理由で極限を取っていると言えるわけ。

別に、「0.333…」という記号を「1/3」を意味するものとして定義しても別に
かまわないとは思うし、そういう観点から言えば確かに極限は必要ない。

んだけど、それって屁理屈じゃね？

599.99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999…
ゲット

age

>>595
超ド級の馬鹿だな

開平においてあの計算が近似計算であると言う根拠は
ｎ回の操作で求まる小数の極限が平方根に一致すると云うことだぞ。

1/3=0.33333...
1/3*3=0.33333...*3
1/3*3=1 , 0.33333...*3=0.99999...
∴1=0.999999999999・・・・・

でいいんでないの？
何か間違ってるかなぁ・・・厨房にゃﾜｶﾝﾈ( ´Д｀)

>>603
もうね、見飽きたのよ。その手の馬鹿レスは。
とりあえず過去ログ全部読め

>>604
読んだよ。
その上で「いいんでないの？」ってんだよ。
限界なの。
ﾜｶﾝﾈっつってんだろ。
馬鹿か？

>>605
読んだのなら、>>603がどれほどおヴァカなレスなのか判ってるはずだと思うけれど。

>>606
判ってないから馬鹿って云うんですよ。

馬鹿どもよ
実数の本質を知りなさい

X=0.999…
10X=9.999…
10X-X=9.999…-X
10X-X=9.999…-0.999…
9X=9

∴X=1

>>609
ヴァカの極み

↑人を貶すだけで反論できない奴

>>611
カコ（・∀・）イイ！！

>>611
お　ま　え　も　な　

>>613
>>610は反論するような対象じゃないし、
おまえもな、ってことはないと思うよ。

そうだね。

２進法上では1=0.9999......にしとけ

だだ

>>616
エエｴｴェェｪｪ(´Д｀)ｪｪェェｴｴエエ

２進法に９を持ち出すのは反則ダロ

10進法の間違いでしょ。

1=0.1111111111111111111111111111111111111111111111111111111...
何個書けばいいですか(´Д｀)

>>621
２進法か。

人が作り出した数字というものに、「絶対」の2文字は無い。


さよなら。

>621
何個書けばいいですか(´

ニシン法がだから数の子

>>603
>>609
それを大して考えもしないで使うのは、

Xを一の位以上十の位、百の位、千の位……全てに9を並べる数だとしたときに、

.......9999999 = X
......99999990 = 10X

辺々引いて　9 = (1-10)X

∴X = -1

と言ってるのと同じだぞ？

非常に厨房っぽい発言(しかも数学的といえるか微妙)だが:
0.999… という値は,つまり"1"と書けないが,1に限りなく近い数を表記するために考え出されたものだと思うので,
0.999… < 1 となるべきだと思う。
0.999… = 1 であるとすれば,全て近似値(として表記されているもの)が等しくなってしまうと考えられるのではなかろうか。
そして,近似値と言うのは絶対的な定義があるわけではなく,
π = 3.14… でも 3.14159… でも構わないわけだから,
数学的には矛盾する,と思われる。
ひょっとしたら 0.9999… という数(近似値表記)の８億桁目などが１つだけ8になっていると言うことは絶対に無いとは言いきれないと思うので。
よって 0.9999は1と等しくは無い。
支離滅裂且つ低レベルですが,どうでしょうか。

sage忘れた……スマソ

>>626
支離滅裂だが下から２行目は常に真ですな。

時々このスレを見てると「こりゃネタだろw」というような意見を垂れている方々が居るが
こういう奴らは
1) 数学的知識は十分に持っていてこの問題に関しても理解しているがわざと小学生レベルの発言をして釣る。
2) 数学的知識はまったくなくこの問題に関して理解が不十分であるが思い付きで小学生レベルの結果を書き込む。
3) 数学的知識はまったくなくこの問題に関して理解が不十分であるが真剣に考えて小学生レベルの結果を書き込む。
4) 数学的知識があるないに関わらず、このスレを荒廃させることが目的でレベルの低い意見を書き込む。
のどの内に入るのだろうか。

ところで>>626よ。お前はどれに該当するんだ?
1) -> もっとやれ
2) -> 帰れ
3) -> 下を参照
4) -> お前は反社会的だな

3)の場合について以下啓蒙
>非常に厨房っぽい発言(しかも数学的といえるか微妙)だが:
なら書き込むな
>0.999… という値は,つまり"1"と書けないが,1に限りなく近い数を表記するために考え出されたものだと思うので,
前提からして違っている。0.999...はどこの誰が考え出したというものではないし、"1に限りなく近い数"など(少なくとも実数の範囲では)存在しない。
というか"実数aに一番近い実数"が存在しないことくらいは高校生レベルなら既に知識として持っていないと恥ずかしい。
...ということでその先については説明無用。

>>626
お前は0.999…の定義を知らんとみた。誰かに教えてもらえ

ついでに近似値の意味も知らんとみた。

>>628-631
レス有難う。
>>629
恐らく3)でしょうか。申し訳無い。
出来る限り簡単に,小学生でも理解できるように……と書いてみたつもりだったのだが。
もっとも,私の数学的知識はここにいらっしゃる皆様よりは著しく低いだろうから,「なるだけ上手い説明を考えてみました。どうでしょうか？」という生徒が解答を述べているようなものだと思って頂いて結構です。数学選考ではないので。
>> 非常に厨房っぽい発言(しかも数学的といえるか微妙)だが:
> なら書き込むな
これは,何か物をあげる時に「つまらないものですが……」と言う事とほぼ同義,のつもりです。
>> 0.999… という値は,つまり"1"と書けないが,1に限りなく近い数を表記するために考え出されたものだと思うので,
> 前提からして違っている。0.999...はどこの誰が考え出したというものではないし、"1に限りなく近い数"など(少なくとも実数の範囲では)存在しない。
> というか"実数aに一番近い実数"が存在しないことくらいは高校生レベルなら既に知識として持っていないと恥ずかしい。
0.999…が実数とは言っていないのですが。説明不足は猛省します。
まあ,それなら"1は実数だが,0.9999…は実数ではありません"といえば解決しそうではあるが,それで終わってしまってはこのスレが勿体無い。
とりあえずいろいろ言いましたが,「なるべく簡単に書こうとした結果」こうなった,という点だけ御理解頂ければ嬉しいです。
>>630
もう１度学んできます。
>>631
近似値……真の値に近い数。
では無い場合,私の意見はほぼ無意味になってしまいますね。私は,上だと考えておりますが。
以上です。

次のスレタイは
1/3=0.33333333333333…
で。

>>633
エエｴｴェェｪｪ(´Д｀)ｪｪェェｴｴエエ

【ε-δ】1=0.999･･･vs1≠0.999･･･【超準解析】

ってのはどぅ？
超準解析が1≠0.999･･･という立場をとってるかどうかは
知らんのだがね。

>>634
超準解析では0.999…は実数じゃないよ。

>>634
>エエｴｴェェｪｪ(´Д｀)ｪｪェェｴｴエエ
1/3=0.3333....
と
1=0.99999....
は等価なのだが

>>635
勘違い甚だしい。
non-standardの立場からしても
0.9999...=1であることに変わりは無い。

>>637
それは標準部が等しいってことじゃないの？

0.3333.... × 3 = 0.99999.... に異論が無いなら、
1/3 = 0.3333.... は正しいかどうか、という問題に置き換えられますよね？

そこで１÷３を筆算で計算してみました。
だいたい１０ケタくらいまで計算したところで次のように感じました。
（１） ３以外は出てこないのではないだろうか？
（２） どこまで計算しても割り切れないような気がする。

しかし、漏れには証明できません。

＞639
>0.3333.... × 3 = 0.99999.... に異論が無いなら、
ことわりもなくこれが成り立つなら
例の
　Ｘ＝0.999....　　＊１　とおく
　10Ｘ　＝　9.999....　＊２
　＊２から＊１を辺辺ひいて云々で
ですんでしまう。
つうか　”0.3333.... × 3 = 0.99999.... に異論が無い”なら
0.9990.3333.... = 1　もことわりもなく成立で決着する

1/3∈0.33333...
1∈0.99999...

〜終了〜

>>641
記号の使い方も知らんのか、と。

1/3∩0.3333333・・・
1∪0.9999999・・・

終了しないね。

>>626=632みたいな人って
床屋で政治談議、タクシーで日本経済の行方を予想してる分には
幸せなんだよな。

0.99999・・・を無限小数ってことで議論してるのにが小数の末尾が
８か７で終わるかもしれんと寝言を書いたと思えば
「0.99999・・・が実数ではない」と更に傷口を広げるとか
（じゃ、虚数なのかよ？アホ）痛すぎる。
言葉の定義も知らない上に、知ろうともせず、恥も外聞も無く書き散らすのは
「アメリカの総理大臣が・・・」って書くのにほぼ等しい（近似）。

漏れ（当然数学非専攻）は>640の発言で終了だと思うんだけど。
高校の数学で理解できるし、簡単で美しい。
でも、馬鹿がつれるとそれはそれで暇つぶしになっていいよね。

さらしあげ

>>644みたいな人って
2chでえらそうなこと言ってる分には
幸せなんだよな。

>>644
レスどうも。結構辛い意見ですけれどね,私のスキルが低かったわけですから。
アメリカは大統領ですね。
また「出来る限り簡単にわかりやすく」書いてみたつもりです。
高校数学を用いず,中学数学,出来るなら小学数学までで理解できる,
すっきりした証明をなんとか作り上げたいものです。

"1"は,整数であり,無限小数ではない(これは,常識的に事実とする)。(左,おかしければ指摘願います)
"0.999…"が無限小数であるとすると(>>644),無限小数ではない"1"と同じ数では有り得ない。

考えられる限り最も簡単な「否定」の方を書きましたが,如何でしょうか。

その論理で行くと、1は整数であり、分数ではない(これは,常識的に事実とする)。
"1/1"が分数であるとすると、分数ではない1と同じ数では有り得ない。

とか

"1"は,整数であり,無限小数ではない(これは,常識的に事実とする)。
"1.000…"が無限小数であるとすると,無限小数ではない"1"と同じ数では有り得ない。

とかいう事になるわけだが。

0.999・・・・とは循環小数なので、整数である１とは普通に考えて違うと思いますが。
でも方程式では成り立ってしまうのですが。
これをいってしまうと終わってしまいますが、つまり矛盾しているということでしょう。

矛盾が出たから、仮定の「普通に考えて違う」って部分が間違いだったと
わかるわけだね。

>>648
それを言うなら、"0.3333...は循環小数なので、分数である1/3とは普通に違うと思いますが"
も成り立ってしまうし、そもそも"普通に違う"ってなんだ。

まあ>>636な訳だし、1/3=0.333....を認めないようじゃそもそも話が出来ないわけだが。

>>646
>すっきりした証明をなんとか
だからそういった適当な解釈をして良しとするのをやめろ。
お前のやっていることは嘘を何とか本当っぽく表現できないだろうか?
といったものに過ぎん。そんなものを小学生に語ったりするなよ、余計混乱を招く。

>>651

同意。人類が何千年無限について悩みつづけたと思ってるんだ？

1/3 = 0.3333…
１　= 0.9999…

1/3 = 0.3333…の方は、１÷３を筆算で計算することにより、0.3333…
という結果が得られるし、循環小数の典型として見慣れてしまっているので
証明が無くても、誰もがなんとなく認めてしまう。

これに対し、1 = 0.9999… には非常に違和感を覚える。

これは、1 と 0.9999… の大小を比較するとき、このようにしている為だと思います。
まず、両方の数で最も大きい位である、一の位同士を比較する。1 と 0 。
もし一の位が同じだったら次に小数第一位同士を比較しますが、
一の位は 1 > 0 なのでここで終わり。 1 > 0.9999…

1/3 と 0.3333… の場合は、分数と小数なのでこのような比較はできないので、
「違和感」は感じないのだと思います。

ttp://white.sakura.ne.jp/~rryu/compfund/backnumber/compfund047.txt
↑
1/3は、10進法では0.3333…と循環小数ですが、
3進法というもので表すと0.1と有限小数になるそうです。

ttp://www.dfnt.net/t/photo/extra_img/he-dfnt2.swf

>>653
実数の定義がわかっていればまったく違和感など感じない｡
実数の表示は一意的ではないのだから。

＞644
>"1"は,整数であり,無限小数ではない(これは,常識的に事実とする)。(左,おかしければ指摘願います)

”整数と無限小数が同じではいけない”
なんて　小中学校の教科書にもブルーバックス書いてない。
（もちろんウソだから書けるわけないが）

なんのことわりもなく"常識的に事実”で片付けられるなら
0.999.... = 1　自体が”常識的に事実”のひとことで終わり。

”小数表記が無限に続くものが何を表すか”を論じるているときに
”小数表記が無限に続くもの”の性質についての言明を
　＜明らかの真＞　だの　＜常識的に事実＞　
などといって。何の論証もなく　もちこんでいいわけがないだろ。

656は646へのレスだね。。。

＞646、648
＞0.999・・・・とは循環小数なので、整数である１とは普通に考えて違うと思いますが

そもそも　
小数展開した表記が無限に続くものと　そうでないものが
異なるものとして重ならずに分類できるなら

１０進表記をつかってる人　（１/３は有限桁で表記できない）
３進表記をつかってる人　　　（１/３は有限桁で表記できる）

では　”実数”とは違うものなのか？
ということになる

レスを下さった方々へ多謝。
>>651
そう言われてしまっては,私がここにて>>626の発言をした意味が全く御座いません。
皆様の意見を読ませていただいていると,色々と納得する事も多くありますね。
皆様の書きこみから考えて,私は皆様よりも明らかにスキルが低いと思われます。
このまま書きこみを続けても,スレッドが荒れるだけだと思いますので,私は書き込みを中止致します。
これからは皆様の書きこみを拝謁させていただき,自身のスキルアップに努めてから,また議論に参加したいと思います。
1/3=0.333… ではないと考えている(正確に最後の一ケタまで表記しきれていないから)と考えている私にとっては,
1=0.999…を真とする方の意見に納得は出来ても,賛同する訳には行かないのです。
色々と学んで参ります。
有難う御座いました。

>>626
ここで出てくる数学用語をまずウィキペディアとかで調べてみな。
実数とかn進法とかね。

お前さんが好き勝手に言葉を並べるから
ここの数学ヲタはいらつくんだ。

お前さんだけが知らないと思うんだけど
循環小数を表す記号があるんだよ。
中学校で習うのかな？
そういうのも調べておくといい。

いろんな人が言ってることだが
0.9999…（無限）っていうのは8では終わらないものであり、
ずっと９が続く数の事。
それが１になるかどうかについて議論してるのに、なんで8で終わるとか
「近似」とか変なことを言い出すのか？
数学より日本語の勉強が先だな。

>>658は
0.99999999999999・・・・(有限）・・・・・8≠１
∴←「ゆえに」と読む
0.9999・・・・・・・・・・・・・（無限）・・・・・・・≠1
というまるっきりおかしな「証明」を書いているのだよ。　　

>>659
>>626が間違っているのはわかるが,有限とは書いてない。よく見てみるとよい。
まあどっちにしろおかしいわけだが(w
0.9999・・・=1 を厨房に解からせるのは無理だっちゅうに

>>658

極限の無い立場では「0.333…」などというものを考える事すら不可能なので、
それが1/3と等しくないのは当たり前。

0.3333… = 1/3が納得できない人は、「0.3333…」という記号で表される
「何か」（それが数であるかどうかすらわからない）の正体をちゃんと
考えてみればいいんじゃないかと思う。

>660
あ。そうっすね。漏れ誤解してた。俺こそ日本語勉強しに逝ってきます。
>>626はどこかの桁に８が出てくる可能性があると思ってるのだな。

訂正
626の考え方
0.9999・・・・・・（無限）⊇0.9999999・・（任意の桁）・89999・・・・（有限か無限か漏れには不明）
　　　　　　　　　　　　　　0.9999999・・（任意の桁）・89999・・・　　　　　　≠１

∴
0.9999999・・・（無限）≠１

ということでよろしいのかな。


626の説を評価するとしたら
　　　626の説は前提が間違ってる
　　　　∴
　　　626は厨房

っていうことですか？

更に訂正
⊇の向きが逆かもしれん。
いや、マジで逝くしかないのかなぁ

なにがどう部分集合なのかと。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A1%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%9A%E3%83%BC%E3%82%B8

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%89%B9%E5%88%A5:Recentchanges

>>659,662
>660
あ。そうっすね。漏れ誤解してた。俺こそ日本語勉強しに逝ってきます。
>>626はどこかの桁に８が出てくる可能性があると思ってるのだな。
あの文面からすると,「８が無いとは言えないよ」と言っている,と考えるのが妥当だろう。
…の意味をただの「省略」としか考えていないから,こうなるわけだな。
>>1 に「…」の意味がちゃんと書いてないからこう言うことになるのかも知らんな。
まあ,>>626は勉強してくるって言ってるから,あんまり叩くのはよすかな(若しくは,漏れ,甘いか？)

> 訂正
> >>626の考え方
うーむ微妙。８が絶対に来るとは言ってないからなあ。「来るかもしれない」とかそんな事を書いている。
式で>>626の考え方を否定するより,「〜かもしれない」とか「〜は常識的に」とかは駄目ですよ,といったほうがすっきりすると思うが,どうか。

> 626の説を評価するとしたら
> 626の説は前提が間違ってる
> ∴626は厨房
> っていうことですか？
厨房かどうかは知らんが,とりあえず数学版でおおっぴらに発言できるほどのスキルは積んでないな。

>>626よ,このスレは見てるんだろう。
「なるべく簡単に」などと言ったって,限度があるのだよ。
フェルマーの予想を小学生に理解させられるほど簡単にはならないことくらい解かるだろう？
この問題も,そう簡単には出来ないんだ。勉強してくるって言ったんだから,きちんと勉強してからまた来なさい。
そして,また討論しようではないか。勉強が不十分で来たら承知せんぞ。

偉そう過ぎだな,ｽﾏｿ。

>>666
俺は「666、偉そうなこと言いやがって！」とは思わない。
むしろ誠実だと思う。
俺がそう思うには様々な理由があるけど、面倒だから書かない（苦笑）＜俺、不誠実

　　　　まぁ現実的にはさぁ、626みたいな人のほうが社会の多数派であるし、
　　　　社会的な地位、あるいは金銭的な収入が多かったりする可能性は高いとおもうんだよ。
　　　　626はここで叩かれてガリレオのつもりかも知れないけど、
　　　　「それでも地球は動く」と世迷いごとを言って、
　　　　宗教裁判にかけられてるのはこの板の住民なんだよな、実際には。

おい、数学ヲタども、まず最初に
0.9999・・・〈無限小数：１０進法）はいかなる数に対しても近似ではないことを626に理解させる方法を考えろ。
いや、それ以前に、626に実数の定義をわかるように説明しろ。

その程度のスキル、ヲタにはあるはずだろ。

ではゆっくりと書き込んでいってみよう。
まずペアノの公理からいこうか

↓次の人どうぞ

(*＾＾*)ぽぽぽ

>"1"は,整数であり,無限小数ではない(これは,常識的に事実とする
無限桁表記が何かを論じているのに
無限桁表記についての性質や演算を”常識的に事実”などと
論証なしにもちこむのは、626の知識レベル云々以前の問題だろ。

桁に対する操作として実数の加算を定義しようとするなら、
まずは可能な操作を定義しないといかんだろうね。

>>626
>0.999… という値は,つまり"1"と書けないが,1に限りなく近い数を表記するために考え出されたものだと思うので,

ちがう。まず0.999…を x と書くことにしよう。
ところで数直線上からどんな異なる2点aとbをa<bとなるように選んでも、
そのあいだにも必ずa<c<bとなる点が存在する…※
いま、xと1が異なる数だとすると、それは数直線上の異なる2点であり、
さらに、x<1と仮定すれば※より、x<c<1を満たすcが存在する。
しかしそのようなcは存在しない。なぜなら、そのような数は次の二つの
性質をみたす必要がある。
　(1) c<1 より整数部は0でなくてはならない。
　(2) x<c より小数部に9以外の数字が現れてはいけない。
これらを同時に満足するのは、0. の後ろに 9 が限りなく続く数、
つまり x しかない。すなわちx=cである。しかしこれはx<cを満たさない。
よって、x<c<1を満たす数 c は存在しない。つまりx<1という仮定が
間違っており、x≧1である。いっぽう、ここまでの議論と同様の方法で
x≦1であることも示せる。ゆえにx≦1かつx≧1となり、結局 x=1 である。

>>671
循環小数だけ扱うならこんな感じかな。

Σを数字0〜9の集合とし、Σ^*で長さ0以上の数字の列の集合を表す。
以下で使う記号。x∈Σ^*に対し
|x|:xの文字列としての長さ。|ε|=0
[x]:xで表される整数。特に[ε]=0、[0x]=[x]
[x.y]:x.yで表される数[x]+[y]*10^-|y|。特に[x.ε]=[x]
'0','1'等:文字としての0,1等。文字列にも同じ記号を使う（'123'など）
記号^を文字または文字列に使う時は連接を表す。1^4=1だが'1'^4='1111'

この時10進無限循環小数を(x,y,z)で表す。
ここでx,y,z∈Σ^*であり、xが整数部、yが有限小数部、zが循環部を表す。
例:('3','1','45')は3.1454545…を表す。
有限小数を表したい時はz=ε(空文字列)とする。

(x,y,z)は実数[x.y]+([z]*10^(-|y|))/['9'^|z|]を表す。
例:('3','1','45')は3.1+(45*10^-1)/99=31/10+1/22=173/55を表す。

同値性
・任意の自然数n≧1に対し、(x,y,z)=(x,y,z^n)
・a∈Σとするとき(x,y,az)=(x,ya,za)

以上の準備の下で('1',ε,ε)=('0',ε,'9')

任意の実数を扱う場合は結局は極限派と変わらない気がする。

おい、>626、
勉強どこまで進んだ？

>>673
＞(x,y,z)は実数[x.y]+([z]*10^(-|y|))/['9'^|z|]を表す。
[x.y]+([z]*(10^-|y|))/((10^|z|)-1)のほうがスッキリするな。

ちょっと他スレから失礼します。

>>672
>これらを同時に満足するのは、0. の後ろに 9 が限りなく続く数
>つまり x しかない。すなわちx=cである。
ここは飛躍ですよね。っていうか、使っている論法は

A=0.999… : 10A=9.999… : 10A-A=9 : A=1
と同じですよね。0.999…が何を表すか論じているのですから、この論法を無条件に
使うことは出来ないのではないでしょうか？

皆様,色々と有難う御座います。

現在の勉強内容は,このスレッドの過去ログを読んでいったりしているのが現状です。
自分の仕事等もあるので,じっくり学んでいきたいと思います。
先を焦っても,詰めが甘いものになってしまうでしょうし。

皆様の書きこみは,嬉しく,楽しく拝見させて頂いております。
ですが,私１人の為にこのスレッドの一部の書きこみの内容が転換されることは忍びないですので,
どうか,私の事はお気になさらずに,今まで通り討論を続けてくださいませ。

今後,このようなお礼ばかりを書いていても仕方ないかと思われますので,私に向けて何か返信を求めるものが無い限りは,
勉強が終わるまで,書きこみは致しません。
スレッドは継続して見つづけたいと思っておりますので,どうかこのスレが無くなってしまわないように,それだけを祈っております。

いつになるかはわかりませんが,学びなおした時,語り合えれば嬉しいです。では。

>>676
>っていうか、使っている論法は
>A=0.999… : 10A=9.999… : 10A-A=9 : A=1

違うと思うよ。というか、ちがう証明ができるんじゃないかな。
整数部が１の小数は、小数部がなんであれ、１よりも小さいことはない。
つぎに小数部に９以外の数があった場合、その違う桁までで断ち切った有限小数と、
その最後の桁を９に変更した有限小数は、変更した後の数のほうが大きい。
このふたつから、０．９９９…よりも大きく１よりも小さい数は、整数部が０であり、
９以外の数字を小数部に含んではいけないことが分かる。
また０．で始まり数字９のみを小数部に持ついかなる有限小数も
無限小数０．９９９…よりは小さいこともよいだろう。
よって、０．９９９…よりも大きく、１よりも小さい数の候補は
整数部が０であり、小数部が９のみで構成された無限小数、
すなわち０．９９９…自身ということになる。

>>678
　＞よって、０．９９９…よりも大きく、１よりも小さい数の候補は
　整数部が０であり、小数部が９のみで構成された無限小数、
　すなわち０．９９９…自身ということになる。

なんだと？
また意味不明がでてきなぁ。
全体が崩壊してるんだけど
最後の意味は
　　　　　　　　　　a＝0.99999・・・（無限）　とおくと
　　　　　　　　　　　　　　a＜a＜１　
ってことか？
ﾜｹﾜｶﾒ。

このスレでは
知識がありながら遊んでいる連中とか
単なる厨房とか
就職先がなくていらだってる数学科の人とか
それぞれの思惑が絡み合って静かな盛り上がりを見せている。

>>678のことが↓が責任持って退治します。

<>>672のやったことの問題点>
0.999･･･の定義もしないで議論を始めてしまった事

>>676が論理の飛躍を感じるのももっともなこと
論法が"A=0.999… : 10A=9.999… : 10A-A=9 : A=1"と同じかどうかはさておき
もう少し論理的に書くべきである｡

上のことは678等にも云える事。

とりあえず実数を分からせるにはまだ早いようなので、
有理数の小数展開について定義した後
>>673の記号のもとで話をしてみてはどうかと思う｡

0.999･･･を有理数の小数展開と見ると収束についても
有理数の範囲での収束のみで話ができると思われるので。

あの、がいしゅつですみませんが
無限等比数列の和を計算して
0.99999（無限）＝１
を高校の数学で習った程度で理解するのは
だめなのですか？

駄目な場合、駄目な理由を理解できるよう順序を追って説明ｷﾎﾞﾝﾇ。

恥ずかしながら漏れの知識レベルを公開します。

ｍ、ｎを任意の整数（ｎ≠０）と
有理数とはｍ/ｎであらわすことが出来る数のことで、
実数とは有理数と無理数で構成され、数直線上の一点である。
ってことくらいです。

その程度の知識しかない
俺も議論に参加させてくれ。

>>682

参加してもいいけど、少しも議論に寄与できないと思うよ。

わかった。
寄与するつもりはないから説明してくれ。
683はどうせ仕事がないか、就職していても薄給に喘いでいて
暇なんだろ。

683は俺より社会に適応できてはいないと思うんだけど
頭がいいのは認めるから。

俺の仕事、日曜、月曜が休み。
とりあえず説明してくれよ。
理解するよう、頑張って努力するから。
「理解できない」ことを理解できたら素直に退散します。

暇なものどうし、仲良くしようぜ。

なんでそこで煽るのよ…

別に高校のレベルで理解しようが、中学のレベルで理解しようが、別にいいけど
いずれにせよ、根拠の無い主張をするのが良くない。（例:「0.999…は、1より
どう考えても小さい。」とか）

中学の範囲では0.999…が1と等しい等しくない以前に、それが数であるかどうか
すら判定できない。

高校の範囲では0.999…=1は言えるが、一般の無限小数に収束先があることが保証
できない（実数の公理を知らないから）。

それ以上のことを主張したいなら、当該の範囲を勉強してから来ると良い。

>>682
高校の知識で理解したいということでいくつか質問を。
Q1
a_n=9*10^(-n)、S_n=Σ[k=1〜ｎ]a_n
とおいたときlim[n→∞]S_n=1となることは理解できますか?
Q2
有理数の小数展開と有理数の無限級数の和の形での表示
についてその関係を説明できますか?

すれ違いの話をして申し訳ないんだが、
漏れ、将棋好きなんだよね。
で、ある日、あるデパート（っていうか相鉄ジョイナスなんだが）の屋上に行ったら
ホームレスのおじさんとおぼしき方々が将棋を指していた。
で、
「すみませんが、僕にも一局教えていただけませんか？」と聞いたら
「ん？だったら茶のいっぱいでも持って来い」と言われた。
自販機でお茶を買い、ついでにおもちゃコーナーで将棋板と駒を買い、
あらためて「お願いします」と・・・。

いろんな人と指したけど結果は２勝１０敗ぐらいでぼろぼろだった。
ホームレスらしき方々は確かに身なりはあまりきれいではないけど、
将棋は強く、漏れ程度では太刀打ちできず、尊敬に値した。
将棋の世界では将棋が強いことが唯一の価値である。

数学の世界では数学が強いことが偉い。
例え国立の研究機関や大学で
一般人＝漏れたちの税金で暮らしているとしても
数学に詳しい君たちは偉いのだ。

まず、685さんに教えて頂きたい。
「当該の範囲」とはなんですか？

686さんに言いたい。

「数学科の卒業生のある程度の割合が高校教師になる。
　686が一流の数学者になるか、不本意ながら高校教師になるかどうか、俺には不明だが、
　俺程度の人間に順序を追って説明できる技術を持つことはマイナスではないと思う。

　俺は俺の知識レベルを公開しているのに、
　その知識レベルを超えたことを言うのは大人気ない」
さらに言えば俺は33歳、高校卒業後なんの勉強もしない（数学に関して）から
数学の知識は衰えてる。

おい、お前ら、お茶買ってやるから教えろ。
普通のリーマンだって0.9999・・・・（無限）＝１かどうかについて考えたっていいじゃねぇか。
お互い暇なんだからまったりやろうぜ。

過去ログ嫁

>>688
お前は本気で理解しようという気があるのか？
こっちは説明してやろうと思ってるからお前の知識レベルを
計ろうとしているだけだろうが。

まず質問に答えろ、やる気がないなら帰れ

中学レベルの数学で、この問題を解こうとすると、
まず、0.999…＜１　と考えられる。
整数部分が０のためだ。
"A=0.999… : 10A=9.999… : 10A-A=9 : A=1"
↑なのに、これを見せ付けられると、納得せざるを得ない訳だ。
１より小さいことは明らかなのに、数学的に説明すると＝１になる訳だ。
もちろん、他の無理数ではこのことは成り立たない。
0.777…をＡとおいて上と同様の式を立ててみても、答えは9分の7となる。
7÷9をすると当然0.777…となる。0.999…が1となるのは、9分の9が答えとなるからだ。
0.999…を表す分数は無いのだ。ｘ÷ｙ＝0.999…は「解なし」となる訳だ。
ならば、この問題も中学数学の範囲では「解なし」が答えとなる訳だ。

>>688
　収束の話、そして
　実数の公理は二つも同じようなスレ
が現役で存在する故に、そこかしこで
説明がなされている。
　むろん数学の記号が使われていて
みたことのないやつには難しいのであ
ろうが、その理解は数十時間勉強した後
やっとこさ理解できるかどうか？
というほど難しい内容ではなく、説明をみ
れば１時間もかからずに理解できる程度
の代物だ。
　記号の説明がほしければその質問をす
るがいい。
　しかし、自ら何の努力をする気配もなく
全部説明しろ、とは虫のいい話ではあるまいか

>>691
また新たな�dでも産ですか?

>>691

中学レベルで問題を解こうとする。

「0.999…」が何であるか中学生には理解できない。数列も、極限もなしに
この記号が何を表現するのか明確に出来ないからである。

ゆえに、問題自体が理解できない。

>>691
また自分の意見を相手に伝えられない奴が出てきたな。
"この問題"とはなんぞや？それは解を求めるものなのか？
方程式か？

いいか、お前ら。
お前らは実用上役立つ青色発光ダイオードを発明する見込みもないし、
数学の何とか賞も取れない。
それなのにお前らは自分の名声や真理追求の欲求のために時間を使い、
給料を得たり、国費をもらって学問にいそしんでいるんだろ？

暇な夜にもうちょっと優しく説明してくれたってばちあたらねぇだろ。
特に693、お前に言いたい。
このスレに登場した人の中には（漏れ含む）忙しくて
十分に過去ログ読んだり出来ない香具師がいるわけだろ。

優しく接しろと。
独立行政法人化が進む現在、
漏れみたいな素人にもやさしく接したほうが得だよ。
今の社会において
「わかろうとする努力をしろ！」という議論より
「（学問の価値を）わからせようとする努力をしろ！」という議論のほうが
主流になりつつある。

お前ら暇なんだから
草の根から学問のすばらしさを理解させようとする努力無しで
文部科学省から予算取れると思うなよ。世間知らずどもが。
（まぁ、数学にそれほどの予算はいらないかもしれないけどね。）

というわけで
漏れは692さんの書いた記号の意味がわかりません。
考えたんですがとりあえず「　_　」の意味がわかりません。
a_nって何ですか？
どうせ暇なんだから教えてください。

数列も極限も無いと
0.999…＝１について考えれないといったらそうではない。

１−0.999…＝0.000…←0が続くわけだ。
つまり１−0.999…＝0
1＝0.999…が成り立つ。ダメか？？ダメなら出直します。

>>695


そんなに長い文書く暇があれば、過去ログ見られるだろ。。。

>>697

１−0.999…＝0.000…←0が続くわけだ。

まず、なぜ0が続くのか説明汁。んで、0がずっと続くならそれは0に等しい
理由を説明汁。

>>698
１−0.999…＝0.000…←0が続くわけだ。

まず、なぜ0が続くのか・・筆算をすると永遠に繰り下がって行く為。
(９−９)Ｘとなる。すると、０Ｘ＝０が成り立つため、０に等しい。

>>698
ありがとう。
なぜ０が続くのか。
難しいのです。

難しいことの前に質問です。


　　lim(n→∞)　　1/n=0
という式は簡単には使えないのですか？

>>700
僕には質問の意味を理解する知識がありませんので、何とも言えませんね。

>>699

100桁まで計算してみたら0が百個続くかもしれないし、10000桁まで
計算してみたら0が一万個続くかもしれない。だからといって、0が
無限に続くとは結論付けられない。せいぜい、どんな大きい数Nに
対してもN桁以上0が続くことがいえるだけ。

>> (９−９)Ｘとなる。すると、０Ｘ＝０が成り立つため、０に等しい。

すまん。意味が判らん。Xってなに？

>>700
貴方には聞いていません。

>>700

簡単の意味がよくわからないんで逆に聞くけど、どういう困難があると
思うんですか？

>>702
ｘ＝文字
数字が決まっていないため、０〜・・・・・・・・と無限における。

すまない。
７００は俺だった。
701には聞いていません。
数学ヲタどもから見たら同じレベルだと思うけど
俺は701 より厨房のころ成績良かった自信はあります。
人に教える余裕はリーマンの私には無いのです。

>>705

なおさらわからなくなったんだけど、それは0.000… = 0の証明なの？
(9-9)が何を表すのかも良くわからんし。うーむ。君の脳内では明白な
のかもしれんが、もう少し判りやすく説明してくれ。

>>704
ありがとうございます。

先ほどの式が成り立つのなら、
例の無限等比数列の和の計算で

0,99999(無限）＝１
が成り立つと思うのです。

「簡単」は余計ですね。すみません。

>>696
数学の本にはよく a の右下に小さい n がくっついてる記号が使われてるでしょ。
a_n はそれを表わしてるんだよ。

高校なら無限級数についてやってるはずだけど、それは覚えてる？

>>709
丁寧にありがとう。
無限級数なら覚えてます。

lim (n→∞）
a1,a2,a3,a4,・・・・・an（実際にはaを大きく書いて数字を小さく書く奴でしょ？）

>>708

極限を使えば、（というかそもそも0.999…という値自体が極限値なんだけど）
1=0.999…は簡単に示せます。というか、極限抜きに理解する事は不可能です。

でも、極限を理解してない人たちが多いので、次から次へと0.999…!=1と主張
する人たちが現れるのです。

>>707

　1.0000000000
−0.9999999999　　この筆算をとくと、0.1〜0.0000･･･の位まですべて(9−9)で表せます。
　￣￣￣￣￣￣￣
つまり答えは(９−９)＋0.1(９−９)＋0.01(９−９)＋･･･と永遠に続き、
(９−９)でくくってやると、(９−９)Ｘとなる訳です。
中学数学の段階ですが・・わかりますか？？

>>710
0.999…というのも無限級数の極限と見なすが一般的な考え方なのね。
つまり0.999…=1 という式は、0.9, 0.99, 0.999, …という数列の収束値が
1 と等しいという事を表わしていると考える。
これを厳密に証明するには、高校の数学の範囲を超えるかも知れない。

>>712

だから、それは有限の範囲での話でしょ？無限に続いてても同じ事が言えるって
どうして判るんですか？中学でそんなこと習いましたか？「無限桁同士の足し算
引き算も、有限桁の足し算引き算と同じようにやっていい」って中学で習いまし
たか？

かるーく「永遠に続き」とか書いてますが、「永遠」って何ですか？あなたはランボーですか？

誰が誰に対するレスだかわかりにくくなってきたので
俺は「しがないリーマン」と名乗ることにする。

自己紹介
　　いわば普通のサラリーマン、ただし日、月が休み。

　　高校の数学の無限等比数列の和の計算の結果
　　0.999999・・・・・（無限）＝１
　　だと理解している。

ところが数学ヲタの皆さんはその程度の知識では
0.999999・・・（無限）を語れないという趣旨の発言をしている。
俺の有理数、実数に関する知識は前述の通り。
知識は無いくせに0.99999・・・（無限）についての議論に参加したい。
数学ヲタは俺たちに説明する義務があると信じている。

以上スレけがしすみません。

以下私に対するレスは
>>リーマン
と書いてください。


ちなみにリーマンはサラリーマンの略です。
リーマン幾何学とは無関係です。

>>715

無限級数の和は、部分和が作る数列の極限であらわされるわけだから、まずは
数列の極限を考えなければいけない。ところが数列の極限の厳密な定義（いわゆる
ε-δ論法）は、残念ながら今の高校のカリキュラムでは習わない事になっている。
したがって、高校レベルの理解ではこの問題を考えるのに十全ではない、と結論
付けなければいけない。

>>714
すいません。僕はただ、「A=0.999… : 10A=9.999… : 10A-A=9 : A=1」の論法に興味を持って
中学数学しか知らないのにもかかわらず、意見を述べさせていただいた訳ですが、
「A=0.999… : 10A=9.999… : 10A-A=9 : A=1」の論法自体、有限の範囲でしか
正しくないことは理解できました。
しかしながら、永遠(終わりが無く、ずっと続く)の言葉の使い方は
間違っていないと思われますが・・。

>>714
そうかっ！！Ｘと置けないのか！！！！！！！！！！

>>717

「永遠」は時間的な概念だろ。数列には関係ない。

>>719
なるほど。では「ずっと続く」の表現が適切だな。
あと、無限小数をＸとおくこと自体が、間違っていると思うのだが、
高校数学もしくは、それ以上では間違っているのか？？
Ｘを定まらない数とおくのは、・・・・・・・・。
どの道0.999…≠1と置くのが正しいと思う。

いぷしろん−でるた
とかわかるわけ無いじゃん。

例の数列の和の計算で
0.9999・・・・（無限）を評価することは出来ないということか。
あの計算方法は若かった漏れには美しく見えたんだけど
どこに隙があったんだろう？


しつこくてすまないけど
lim(n→∞）　１/n=0 って俺には正しいように見えるんだが。
そして
上の式が成り立つから、例の無限等比数列の和で
0.99999・・・（無限）＝１
になると、思っちゃうんだけど、

「極限に関する定義」ってなんなんだろう。
わからん。

ヲタどもは「お前には無理」と言うかもしれないけど、
ヲタだって、子供の頃からεーδについて考えていたわけじゃないはず。
順序だてて説明する努力をしろ。
お互い暇なんだから。

正直言って過去ログ読んでも
例の数列の計算とか10倍するとか１/3＊3で論じるレベルから
超準解析とかイプシロンデルタに飛躍していて
間をつなぐものが無いと思うんだよ。
おいお前ら、なんとかしてください。

>>リーマン
じゃあ証明してみるけど、高校の数学の範囲を超えるものも使うんだよね。

まずは S_n=Σ[k=1〜ｎ]9*10^(-n) と置く。
（*は掛け算、10^(-n) は10の -n 乗を表わしていて
S_n は 0.99…9 と9 が n 回繰り返している数の事）
証明すべき事は lim (n→∞）S_n = 1 だけど、これを示すには

任意の正の実数 εに対し、ある自然数 m が存在して
m 以上の自然数 n について | 1 - S_n | < εが成立する　…（※１）

を証明すればいい（これは数列 S_n の極限値が 1 である事の定義）。
正の実数 εには、ε> 10^(-m) となる自然数 m が存在するが　…（※２）
m 以上の自然数 n については、1 - S_n = 10^(-n) ≦ 10^(-m)　なので
| 1 - S_n | < εが成立する。（証明終わり）

高校の範囲を超えてると考えられるのは（※１）と（※２）。
（※１）は一般にε-δ論法と呼ばれるもので多分高校ではやらないと思う。
（※２）はアルキメデスの原理と呼ばれてるものと同値で
一見当り前に見えるけど、これを示すには実数の公理を使わないといけない。
ちなみにアルキメデスの原理とは、

任意の正の実数 a, b に対して、n*a > b　となる自然数 n が存在する。

>>700の lim(n→∞) 1/n = 0 もアルキメデスの原理と同値な式で
その意味では簡単には扱えない式と言えるだろうね。

>>722
ありがとう。
掛け算の記号はわかってました（苦笑）。

いぷしろんについてかんがえちゅうです。

722さんの文章について考え中


> >>リーマン
> じゃあ証明してみるけど、高校の数学の範囲を超えるものも使うんだよね。
>
> まずは S_n=Σ[k=1〜ｎ]9*10^(-n) と置く。
> （*は掛け算、10^(-n) は10の -n 乗を表わしていて
> S_n は 0.99…9 と9 が n 回繰り返している数の事）
> 証明すべき事は lim (n→∞）S_n = 1 だけど、これを示すには

ここまでは理解しているつもりだけど確認。

シグマは和のことである。
Ｓｎは初項0.9、公比0.1の等比数列のｎ項までの和である。
従ってＳｎ（ｎ→∞）は0.99999・・・（無限）　　　　　　　　　　　←（このスレでの表記法）
を表している。
すなわち証明すべきことは0.99999（無限）＝１

ってことでいいのかな？ここから先はあらためて書きます。

任意の正の実数イプシロン
(この場合、小さい数（ゼロに近い）を念頭に置いたほうがよさそうだな。と思う）

で、Sn（ｎはある自然数m以上）と１の差の絶対値が任意の正の実数ε
より小さいということを証明できれば
0.999999・・・（無限）＝１が証明できる。
ということを書いているわけだよね。

ふむふむ。Snのｎがどんどん大きくなってｍ以上になったとき、
Snと１の差の絶対値が
任意の正の実数より小さいことが証明できれば
0.9999999・・・（無限）＝１ということが証明できるということなのかな。


ここから先はまだまだ考え中です。

>>722
さらに考え中
上から続き

１とSnの差の絶対値が任意の正の実数より小さければ
１＝Snと言える。ということが書いてあるんだよなぁ。

　　　　任意の正の実数より小さいのはゼロしかありえない。
　　　　実数の稠密性で言えるのかどうかはまだ考え中。

理解しつつあるような気分（錯覚）になってきた。

次の※２も問題だ。
どんな小さな正の実数εよりも小さな
ある実数、0.0000・・・(０がm個並ぶ）・・・１となるｍが存在すると書いてあると思う。
確かに当たり前のような気がする。

あれれ？ここで出てきたｍとさっき※１で出てきたｍって同じ自然数なの？
考え中。

> １＝Sn
1=Sn(n→∞) って書いたほうがいいよ。
実際任意の n に対し 1≠Sn なんだし。

> 次の※２も問題だ。
> 確かに当たり前のような気がする。

うん。アルキメデスの原理はあたりまえです。

722さんの式の
※１と
※２の
ｍって同じ自然数なんですか？
ひたすら考え中なのです。
助け舟キボンヌ。

同じ

>>728
（※１）の方の m は存在する事を証明すべきもので、言わば目標としての m。
（※２）は、そのような m が実際に存在する事を言っている。

0≦x を満たすある実数 x がある。
今、任意の正の実数 ε に対して x<ε が成立しているとする。
このとき実数 x の値は何か

↑まずこれを納得がいくまで考えたらいいんじゃない。
ε-δで使ってるのは要するにこういうことだから。

>699
線路は続くよ　どこまでも
って歌あるけど線路は終点で終わる

>>731
ｘ＝０
でどうですか？

理由はうまくかけないのだが
いぷしろんが任意の正の実数あって

0≦ｘ＜いぷしろん

うまくいえんがやっぱり
ｘ＝０

いい天気だけど 休みで暇だし金も無いから考えている。
>>722の
証明の後半部分を理解しようとしている。
　　　　1 - S_n = 10^(-n)
っていうのは要するに
1-0.9=0.1　とか　1-0.99=0.01　っていうことだよな。

で
>>722の証明で次に続く式は
　　　　　　　・・・10^(-n) ≦ 10^(-m)　なので・・・
　　っていう部分は
　　ｎ≧m だから、俺でも理解できるようなきがするぞ。

　※2で
　　　　　　・・・ε> 10^(-m) となる自然数 m が存在するが　・・・
　　　ってことだから

えーと全部の式をあわせると

1 - S_n = 10^(-n) ≦ 10^(-m)<ε　　ってことだよね。 だから
| 1 - S_n | < ε　で証明終了。
って言うことなのか。

でも、なんか飲み込めない部分があるので まだ考え中。
暇な数学ヲタども、さらに教えろ。

一晩ですっかりスレのレベルが落ちてしまってるな｡
>>リーマン
貴様帰れ

お前らは結局(無限)の先を見ようとしているだけだ。
どこまでも続くのが無限だ。先なんか見えやしないぜ？？
つまりこのスレはクソスレの極限だ。

>>699
新手のデムパか？
頭悪いレスしてんなよ

19 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：04/02/09 13:23
http://members.at.infoseek.co.jp/~dan723/suga4.gif
↑教えてください。


20 名前：699 投稿日：04/02/09 13:55
>>19
まず三角形ＱＡＢが二等辺三角形になるということについて考えましょう。
ヒントは直角三角形の合同です。
他にもとき方があるのならば教えてください。

>>736　おまえ、邪魔ですよ。

おい、735、まだかえらねぇぞ。
残念ながら永遠に居座ることもできないけどね。

レベル落ちてるのは俺のせいかもしれんが、
俺だけのせいじゃないだろ、ま、どうでもいいが。
未明の数学ヲタは親切だったぞ。

735、貴様はどう考えても一流の数学者ではないし、
　　　　　　　一流の数学者になれる見込みも無い。
　　　　　なぜならこんな時間に２ちゃんに書き込んでるからだ。

でも俺よりはるかに数学の才能があり、知識があるわけだろ。
735が社会のパラサイト的存在であっても、
数学の話題に関しては、俺は735を尊敬するよ。

おい735、俺に教える気がないんなら
>>リーマン
と発言するな。
スルーすればいいじゃねぇか。
数学できてもこの辺が>>735の幼さ、馬鹿さなんだよな。
さすがに俺だってずっとスルーされればすぐに消えるよ。

少しでも、しがないリーマンの俺に優しくしてくれる余裕があるなら、
どこからおかしくなっちゃってるか指摘しろ。
「はじめからおかしい」とか「全部おかしい」とか「リーマンの頭がおかしい」とかいう
古典的な落ちは、飽きたから遠慮する。

>>738
では訊こう、上で何人かが教えてくれているが
ε-δでの収束の定義はしっくりきたか？

>>733
その「なんとなくこうだ」っていうのが一番いけない。
確信をもって「絶対にこうだ！」と言えるまで手を動かし
とことん考える必要がある。
本来なら自分で気づいて欲しかったのだけど
x=0 になるのは以下の通り。

もし x=h>0 だとするとε=(1/2)h に対して x<ε が成立しなくなる。
これは h がいかなる正の実数であっても事情は同じなので、結局
x=0 しか有り得ない。
(今の場合は条件が x≦εではな xくε なので ε=h でももちろん
議論は進むけど、より印象的にするために (1/2)h を用いた)

ε-δ 論法はこういう論理を使って「無限」という概念を表舞台から
見えなくさせるもの。例えば実数 x が無限大に発散するということは
「任意の正の実数 M に対して x>M が成立」とすれば良い。
これも上記の議論と同様な論法で x が発散するということが示せる。

ありがとう。
やっぱり優しい人は優しいな。

ｘ≧０　で　任意の正の実数εより小さい

今こそはっきりｘ＝０

理由：ｘが0じゃないとすると
　　　　ｘと０の間に正の実数εが存在することになる
　　　　これは
　　　　0≦ｘ＜ε
　　　　に矛盾する。
　　　　よってｘ＝０（自信を持って！！）

０,９９９９９９…っていうのはずっとこの後９が無限に続くだろ。
ってことは１−０,９９９９９９…＝０,００００００…
で０が無限に続くんだから０なんじゃないの？
ってことは１＝０,９９９９９９…なんじゃないの?

>>742　貴方もじゃまです。釣って遊ばないで下さい。
このスレに現れた厨房の中で俺が一番まじめだと思う。

で、数学ヲタども、俺が書いた上の
ｘ＝０は正しいわけだな。

ここでやっと

722さんの文中にある

　　　　任意の正の実数 εに対し、ある自然数 m が存在して
　　　　m 以上の自然数 n について | 1 - S_n | < εが成立する　…（※１）

　　　　を証明すればいい（これは数列 S_n の極限値が 1 である事の定義）。

の意味が理解できた。

また考えようっと。

　　　　　＿＿＿
　　　 ／　　　　 ＼　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿
　　 /　　 ∧　∧　＼　　／
　　|　　　　 ・　・　　 |　＜　氏ねよおめーら
　　|　　　　 ）●（　　|　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿
　　＼　　 　 ー　 　ﾉ
　　　 ＼＿＿＿_／

なんかなつかしくね？

これって実無限と可算無限が関係してんの？

コーシー列で考えてるんだろ？
だったら 1 = 0.999999999999...　は当たり前では？
ε-δ論法知らないの？

>>746
知ってるよ。Qの完備化でしょ。
そういう問題じゃなくってさ。
収束列{0.9, 0.99, 0.999, ...}ってのを考えるときに
"実数全体の集合"を相手にしてるわけだから
可能無限的な立場からすると
「円周率の第n桁目は初めから決まっているのではなく
実際に計算してみないとわからない」
って発想と同じで、0.999...=1とは言えないんじゃないか、とか思って。
わかわからんかったらｽﾏﾝ。

>>747
それとは全然別問題だと思うが。だいたい自分で
＞収束列{0.9, 0.99, 0.999, ...}ってのを考えるときに
と「収束列」という言葉を使っている以上
有理数コーシー列の極限値として実数を構成する立場を取っているわけだ。
その立場からしたら{0.9, 0.99, 0.999, ...}の極限値=1というのは問題無いだろう

>>748
R全体で考えればコーシー列で説明つくけど
たとえばQのみの（連続性を有しない）世界で考えたとき
{0.9, 0.99, ...}が1に収束することは
どのように説明するんですか？

「収束」と書いた以上はQでの「収束」の定義を書いてください。
そしたらそれに従って考えます

>>750
えっと・・・ε-δによる収束の定義ではマズイですか。

>>749
> R全体で考えればコーシー列で説明つくけど

あのですねぇ、Rじゃないところで、
誰が 1 = 0.9999999....　だなんて主張してるの?

もともと、このスレッドは、R上でのその定義すら
理解できない(知らない)人が始めたものなのでは？
1と0.999999....　は見た目から違うだろ？ってか?

だから、コーシー列でも学んで出直してきてくださいって
いってるわけです。

＃そりゃ、見た目は確かに違うよ(爆

>>752
だから、たとえば、の話です。
コーシー列云々ではなく、
単にQ上で0.9999...=1となることは
どうやって説明できるんでしょうか。

>>753
だから舞台をQに限定したいなら
まずそこでの位相をどうするのか言えよ。
位相も確定してないのに収束も糞もあるか

>>751
√2を10進数展開して小数で表示したときの
小数点第n位までの値をa[n]とすると
(もちろんa[n]は有理数のコーシー列)
lim[n→∞]a[n]はQだけの世界でどう処理したらいいですか？

>>753
普通の距離から距離位相作ったらいいんでない？
行く先が有理数なんだから問題ないでしょ。

>>754
ですから、収束に関しては
通例どおりのε-δ(ε-N)による定義では
まずいのですか。

>>753
Q 上の収束の定義は何？ε-δでの定義を、実数じゃなくて有理数に制限したもの？
それなら>>722の証明中の「実数」を「有理数」に置き換えれば
証明になってるでしょ。
Q がアルキメデスの原理を満たす事は明らかだし。

>>753
> だから、たとえば、の話です。
> コーシー列云々ではなく、
> 単にQ上で0.9999...=1となることは
> どうやって説明できるんでしょうか。

Q上で0.9999...をどう定義する?
それができたら何か助言できるかも。

>>755
収束しない。

>>757
それでマズイから完備化するんだろｗ
そうやって初めて数列の極限値を自由に扱えて
だからこそある数列の極限値と別の数列の極限値が
等しいかどうかって話が出来るわけだろうが
Qに限定してたらそもそも等しいか否か以前に
極限値自体扱えないって話

>>758
そうですね。どうもありがとう。

>>759
a[n]=9*�納k=1,n]10^(-k)という数列を用いて
ε-Nで極限値を定義すればよいと思いました。

>>756
アホか。
いくつか問題ない数列があればそれでいいのか？
数列一般に対する定義なんだから一つでも上手くいかない数列があれば駄目だろ

>>758>>761
話が食い違っているようだが。
どちらを採用すればいいんかな？ｗ

0.9999...=1 に限定するんなら
別にQ上で収束って言ってもいいんじゃね？

>>764
Q だけで定義した「収束」が一般に定義される収束と一致するとは限らない。
実際は Q は R において稠密であるから一致すると見なしていいんだろうけど、
それを証明するには R がアルキメデスの原理を満たす事を証明しなくてならないので
結局、連続の公理や完備性が必要になる。

極大アルキメデス順序体は同型を除いて一意なんだから
アルキメデスの原理を公理のひとつとしてもいい。

>>763
一般の数列じゃなくて、S_n=Σ[k=1,n]9*10^(-n)。
>>753 は、この特別な有理数列が有理数の極限をもつことを言いたいわけでしょ。
有理数の中で考えちゃまずいの？
そもそもひとつでも上手くいかない（コーシー）列があったらまずいってんなら、
例えば、Ｒ上の (a,b) みたいな有界な開区間内での収束は議論できないわけか？

手元の本の収束の定義は、
　　位相空間 (X,Ｏ) において、X に属する点からなる点列 {x_n} が X の点 x に収束するとは、
　　x の任意の近傍 U(x) に対し
　　　　n>n_0 ⇒ x_n∈U(x)
　　が成り立つような自然数 n_0 を定め得ることを言う。
となってる。
どこにも「一つでも上手くいかない数列があれば駄目」とは書いてないが。
Ｑ に普通の距離位相を入れられることは明らかだから、Ｑ で収束の議論をすることに何の障害もない。
Ｑ に収束点を持たない数列があったとしても、それは単にその数列が Ｑ では収束しないというだけのこと。

また馬鹿が増えてきたな。
>>752>>761>>763
こいつ等は超ど級の馬鹿

>>768の云うとおり
QにおいてCauchy列を定義することはでき、その収束も定義できる。
有理数列{a_n}が収束するとは、
∃q∈Q s.t (∀ε>0,ε∈Q ∃m∈N s.t (n≧m ⇒ |a_n-q|<ε) )
と定義すればよい｡
ただ>>766の云うとおりRでの収束が、これの拡張となっていることは確認しなくてはならないが
寧ろRの構成はこのようにして位相を定義した(若しくは順序・絶対値を入れた)Qからの拡張として
定義するので構成から明らかとも云える｡
Rの完備性はその定義から導かれる定理であって、RがQの拡張となっているかどうかには関与しない｡

当然、このQにおいてはCauchy列は必ずしも収束するとは限らない｡
Cauchy列であって収束しないものがあるからといって、
収束が定義できないとか言ってるのみてらんない｡
例えば今の{0.9,0.99,0.999,･･･}という数列は上のQにおいて1に収束するといえる｡

>>768
「まずい」の意味がわかってないな。
だいたいQ⊂Rと(a,b)⊂Rじゃ部分集合っていっても
位相的には全然別の話じゃないか

>寧ろRの構成はこのようにして位相を定義した(若しくは順序・絶対値を入れた)Qからの拡張として
>定義する

その拡張方法がまさに「完備化」なんじゃないのか？↓

>Rの完備性はその定義から導かれる定理であって、RがQの拡張となっているかどうかには関与しない｡



なんか言ってることに一貫性がないように思うけど

>>770
馬鹿はおまえ。明らかだろうが自明だろうが
Qだけで済まない話がある以上、要請には何ら答えられていない。
「QだけではなくRにも触れるけど
確認すれば直ぐ済むから大丈夫」
とか言いたいわけ？
上の連中がどういう意味で「まずい」とか「上手くいかない」
とか言ってたのか全然わかってないね

>>771
開区間の例は、収束点を持たないコーシー列が存在するような位相空間の一例として出しただけ。
その位相が Ｑ の位相と全然別だったらなにか？
とりあえず、そっちがどんな収束の定義を採用してて、なんで有理数の世界で収束が議論できないのか教えてもらいたい。

なんか今>>753読み直してみたら
＞コーシー列云々ではなく、
＞単にQ上で0.9999...=1となることは
とか言ってるんだよな・・・
どうも周囲が暴走しただけのような気がしてきた。
というか、どういう意図だったのかよくわからないな

>>763 の言う「数列」を好意的に解釈して「コーシー列」と書きました。

>>772
完備化という手法はRが完備なものとして定義された後に構成できるもの｡
Rの完備性は完備化という言葉では説明できない｡RはQの拡大体として
ある手法で定義して、それが完備である事を示さなくてはならない｡
(わたしは公理として与えるのはどうかと思う｡)

>>773
Rの話は出したければ関連して論じられるというだけ。
{0.9,0.99,0.999,･･･}について論じるだけならばQの中だけで話は済む。
お前、分かってるのかと･･･

皆さんCauchy列という言葉がある意味を考えてみてください｡

>>766だけどちょっと間違いを書いてた。
完備性とは一般には「任意のコーシー列が収束する」事だよね。
この事からはアルキメデスの原理は導けないんだった。
Q から R を構成する場合は、R がアルキメデスの原理を満たす事はほぼ明らかだ。
R を実数の公理を満たす体を見なした場合に、連続の公理が必要になるだけだね。

>>777
>ただ>>766の云うとおりRでの収束が、これの拡張となっていることは確認しなくてはならない
自分でこう書いてるじゃん。ある特定の数列について語るにしたって
まずは収束の定義をして、その後に上記の引用部分を確認する必要がある。
そしてそれが済んだら「さて、では各項はいったいどんな値の数列なのか」と具体的な話に入れる。

言ってることわかる？　てゆうかすでに自分の書き込み内で矛盾してるようだけど
>Rの話は出したければ関連して論じられるというだけ
>Rでの収束が、これの拡張となっていることは確認しなくてはならない

>>780
少しは行間を読んでくれよ。
>Rでの収束が、これの拡張となっていることは確認しなくてはならない
これは、R⊃Qということを念頭においてRの中でQに制限した話をしたいなら
上のことを確認する必要があると言ったまで｡

Rなど構成しなくてもQのみで収束は定義できる｡
その定義は>>770に書いてあるだろう？
全てのCauchy列が収束しなくては収束について議論できないとでも思っているのか？

>>777
いやだからさ、今の場合RはデデキントカットじゃなくてQのコーシー列の
極限値全てからなる集合として定義（それを>>770では「拡張」と言ってるけど）
してるわけじゃない？それはつまり完備化なわけだけど。
その流れに沿ってみたらすごくおかしい文章だなって思ったわけ。

>>770の二個目と三個目の「拡張」を「完備化」にして読んでみなよ。

Rの完備性はその定義から導かれる定理であって、
RがQの拡張となっているかどうかには関与しない｡
↑これが
Rの完備性はその定義（Qの完備化)から導かれる定理であって、
RがQの完備化となっているかどうかには関与しない｡
↑こんなふうに読めるってこと

ま、流れと関係ない話なんでいいけどさ

>>782
何か誤解しているようだけれど、>>770で云った「拡張」
は「完備化」そのものという意味ではなく順序体としての拡張という意味で読んでみてくれ｡
あえて拡張といったのはそういった事情から｡

>RがQの拡張となっているかどうかには関与しない｡
関与しないというのは、言い過ぎなところもあったかもしれない｡(完備性の証明にはQのRでの稠密性が問題となるから｡)
伝えたかったところは、Rが完備かどうかは自明なことではないが、Rには入る位相が
Qに入る位相の拡張となっていることは構成の仕方から明らかと言いたかった｡
更に補足するなら
>定義するので構成から明らかとも云える｡
この部分はそういう意味。
>Rでの収束が、これの拡張となっていることは
これは完備かどうかを問題としない｡
ということ｡

しかし、もう一度読み返してみれば、言葉足らずで誤解を招きそうだ｡
それについてはこちらの落ち度だ、すまなかった｡

>>749 >>750 >>753 >>754 >>759
x∈Ｑ, n∈Ｎ に対して、
　　U(x,n) = {y｜y∈Ｑ ∧ |y-x|＜1/n}
とする。
　　Ｂ = {U(x,n)｜x∈Ｑ ∧ n∈Ｎ}
として、
　　Ｏ = {U｜∃Ａ(Ａ⊆Ｂ ∧ U=∪Ａ)}
とする。
Ｏが開集合の公理を満たしていることは明らかなので、(Ｑ,Ｏ)は位相空間。
（Ｂは(Ｑ,Ｏ)の開基）

(Ｑ,Ｏ)で、点列 {x_n} が x に収束するということの定義は
　　∀U∈Ｏ (x∈U ⇒ ∃m∈Ｎ ∀n∈Ｎ (n≧m ⇒ x_n∈U))
となり、これが通常の ε-N 論法による収束の定義
　　∀ε∈Ｑ,ε＞0 ∃m∈Ｎ ∀n∈Ｎ (n≧m ⇒ |x_n - x|＜ε)
と同値なのは簡単に証明できる。

つまり、
　　lim[n→∞]Σ[k=1,n]{9*10^(-k)} = 1
の証明にはＱでの ε-N 論法を使えば足りる。

ようやくまともな話題になってきたな。

Rとの関連を考慮しなくていいのなら
離散位相でもなんでも入れればいいのでは

>>788
挿れてみて。

pを2,5以外の素数としたときのp進位相入れるのは面白いかもね。

>>788
密着位相と言うならともかく、離散位相か・・・
それに、>>786 の位相が普通のＲの位相をＱに制限したものだってことくらい分かるだろ。

Ｒの制限とかそういうことは関係ないんじゃないの？
というよりＲを出しちゃダメって話だし。
でもそうすると本来の問題からは離れるんだよなあ

p≠2,5
a[n]=1-10^(-n)
ord_p(1-a[n])=ord_p(10^(-n))=0

件の数列の話にかぎって言えば、Ｑに普通の位相を入れて、普通の ε-N 論法で話は済んでる。
Ｒに言及する必要はない。
これがＲでの収束と同じことを言ってないと気がすまなければ、
　　有理数列 {x_n} が、位相空間(Ｑ,Ｏ)で、有理数 x に収束する
　　⇔ Ｒの中の有理数列 {x_n} が、位相空間(Ｒ,Ｏ')で、Ｒの中の有理数 x に収束する
　　　（Ｏ'はＲの普通の位相）
という簡単な定理を証明すればよい。
Ｑにどんな位相を入れてもいいだろうと言うのは、この定理の存在に気がついてない。

>>794
普通の位相ってのはレラティブトポロジーってこと？

>>795
Ｑの「普通の」位相ってのは、>>786 でＱに入れた位相のことなんだけど、
結局、Ｒの相対位相（この言い方でいいのか？）ってことです。
Ｒの「普通」の位相のほうは、距離位相。