大好き★代数幾何

可換図式の二つの垂直矢印がくっついちゃうのは何故なんだろう。
半角でスペースをとったからか？

a = 半角スペース、b = 全角スペースとすると
aa = a
ab = ab
ba = ba
bb = bb
AAを描くときの基本

みんな圏論にいっちゃった予感...

まず記号を導入する。
S を次数付き環とし、f を S の同次元としたとき、
局所化 S[1/f] は自然に次数付き環とみなせる。
S[1/f] の0-次部分を S_(f) と書く。

補題
S, T を次数環で S_0 = T_0 = A とする。
次数環 U をその d 次部分 U_d = (S_d (x) T_d)/A として
定義する。ここに、(S_d (x) T_d)/A は S_d と T_d の A 上の
テンソル積である。
d > 0 を任意の整数とし、f を S_d の元、g を T_d の元とする。
(S_(f) (x) T_(g))/A は U_(f(x)g) に同型である。

証明
簡単なので略

補題
S, T を次数環で S_0 = T_0 = A とする。
次数環 U をその d 次部分 U_d = (S_d (x) T_d)/A として
定義する。ここに、(S_d (x) T_d)/A は S_d と T_d の A 上の
テンソル積である。
Proj(U) は (Proj(S) x Proj(T))/A に同型である。

証明
補題(>>955)より明らか。

補題
r, s > 0 を整数とし、P^r = Proj(Z[x_0, ..., x_r]),
P^s = Proj(Z[y_0, ..., y_s]) と置く。
ここに、Z[x_0, ..., x_r], Z[y_0, ..., y_s] は有理整数環 Z
上の多項式環である。
(r + s)-変数の多項式環 Z[x_0, ..., x_r, y_0, ..., y_s]
において、{x_iy_j; 0 ≦ i ≦ r, 0 ≦ j ≦ s} で生成される
部分環 C = Z[x_iy_j; 0 ≦ i ≦ r, 0 ≦ j ≦ s] を考える。
各 x_iy_j の次数を１と定義することにより、C は次数付き環と
なる。このとき、Proj(C) は、(P^r x P^s)/Z と同型である。

証明
補題(>>956)より明らか。

補題
r, s > 0 を整数とし、P^r, P^s, P^(rs + r + s) を有理整数環
上の射影空間とする。
閉埋入 (P^r x P^s)/Z → P^(rs + r + s) が存在する。

証明
(r + s)-変数の多項式環 Z[x_0, ..., x_r, y_0, ..., y_s]
において、{x_iy_j; 0 ≦ i ≦ r, 0 ≦ j ≦ s} で生成される
部分環 C = Z[x_iy_j; 0 ≦ i ≦ r, 0 ≦ j ≦ s] を考える。
各 x_iy_j の次数を１と定義することにより、C は次数付き環と
なる。(r+1)(s+1) 個の変数で生成される多項式環
D = Z[z_ij; 0 ≦ i ≦ r, 0 ≦ j ≦ s] を考える。
z_ij に x_iy_j を対応させることにより、環の準同型
D → C が得られる。これは次数を保ち、全射である。
よって、Ex.3.12 (a) より閉埋入 Proj(C) → Proj(D) が
得られる。これと補題(>>957)よりわかる。

II Ex.4.9 の解答

(a) 閉埋入は射影射である。

証明
X → Y を閉埋入とする。
P = Proj(Z[x])、即ち0次元の射影空間とする。
P = Spec(Z) だから P ｘ Y = Y であり、
X → Y は X　→　P ｘ Y → Y と分解する。
よって X → Y は射影射である。

II Ex.4.9 の解答

(b) 射影射の基底拡大は射影射である。

証明
X → Y を射影射とし、Z → Y を射とする。
仮定より X → Y は X　→　P ｘ Y → Y と分解する。
ここに、P は有理整数環上の射影空間であり、
X　→　P ｘ Y は閉埋入である。
下の可換図式を考える。

Ｗ　→　ＰｘＺ　→　Ｚ
↓　　　　↓　　　　↓
Ｘ　→　ＰｘＹ　→　Ｙ

ここで、Ｗは、ＸとＰｘＺのＰｘＹ上のファイバー積である。
上図の右の四角はファイバー積だからＷは（ＸｘＺ）／Ｙと
同型なことが分かる。
Ｘ　→　ＰｘＹは閉埋入だからＷ　→　ＰｘＺも閉埋入である。
よって、Ｗ　→　Ｚは射影射である。

II Ex.4.9 の解答（続き）

(c) 射影射の合成は射影射である。

証明
X → Y, Y → Z をそれぞれ射影射とする。
X → Y は X　→　P ｘ Y → Y と分解し、
Y → Z は Y　→　Q ｘ Z → Z と分解する。
ここに、P, Q は有理整数環上の射影空間であり、
X　→　P ｘ Y と Y　→　Q ｘ Z は共に閉埋入である。

補題(>>958)より、ある射影空間 R に対して、
閉埋入 P x Q → R が存在する。
下の可換図式を考える。

Ｘ　→　ＰｘＹ　→　ＰｘＱｘＺ　→　ＲｘＺ
　　　　　↓　　　　　　↓　　　　　　↓
　　　　　Ｙ　　→　　ＱＸＺ　　→　ＱＸＺ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↓
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｚ
中央の四角はファイバー積である。
Y → Q x Z は閉埋入であるから、P x Y → P x Q x Z も
閉埋入である。よって、上段の３個の射はすべて閉埋入である。
これから、X → Y と Y → Z の合成は
X　→　R ｘ Z → Z と分解し、X　→　R ｘ Z は閉埋入だから
射影射である。

>>954
帰ってきた。この辺の問題難しいんで気晴らしに行ってた。

>>962
やはり、行ってらっしゃいましたか。

補題
f: X → Y をスキームの射とし、 Y' を Y の部分スキームとする。
射影 p: (X x Y')/Y → X は埋入(immersion)である。
p は位相空間として f^(-1)(Y') への同型を与える。

証明
以下の図式より、p は埋入 Y' → Y の基底拡大であるから、
埋入である。

（ＸｘＹ’）／Ｙ　→　Ｘ
　　↓　　　　　　　　↓
　　Ｙ’　　　　　→　Ｙ

x を f^(-1)(Y') に属す点とする。
f(x) = y とおく。標準的な準同型 O_y → O_x
は、体の準同型 k(y) → k(x) を誘導する。
これは、さらに射 Spec(k(x)) → Spec(k(y)) を誘導する。
これを標準射 Spec(k(y)) → Y' と合成して
射 Spec(k(x)) → Y' を得る。
これは、合成射 Spec(k(x)) → X → Y と一致する。
よって、ファイバー積の定義より、
射 Spec(k(x)) → (X x Y')/Y が存在する。
この射に対応する (X x Y')/Y の点を z とすれば、
p(z) = x である。よって、p の像は f^(-1)(Y') である。
p は埋入だから p は f^(-1)(Y') への位相同型である。

補題
f: X → Y をスキームの射とし、 Y' を Y の部分スキームとする。
(X x Y')/Y → X を射影とする。
Z → X をスキームの射とする。
Z → X → Y が Z → Y' → Y と分解する為には
Z → X が Z → (X x Y')/Y → X と分解することが必要十分
である。

証明
以下の可換図式とファイバー積の性質より明らかであろう。

（ＸｘＹ’）／Ｙ　→　Ｘ
　　↓　　　　　　　　↓
　　Ｙ’　　　　　→　Ｙ

補題
f: X → Y をスキームの射とし、 X' を X の f による
閉像(scheme-theoretic image)とする(II Ex. 3.11 (d))。
U を Y の開集合とする。f_U: f^(-1)(U) → U を
f の制限射とする。f_U の閉像は X' ∩ U である。
ここで、X' ∩ U は X' の開部分スキームと見なす。

証明
射の閉像の作り方(>>751)から明らかであろう。

補題
A を環、P^n = Proj(A[x_0,...,x_n]),
P^m = Proj(A[y_0,...,y_m]) をそれぞれ A 上の
射影空間とする。P^n と P^m の直和は、P^(n+m+1) の
閉部分スキームと標準的に同型である。

証明
A上の次数代数の準同型
Φ:A[x_0,...,x_n, y_0,...,y_m] → A[x_0,...,x_n] を
Φ(F(x_0,...,x_n, y_0,...,y_m)) = F(x_0,...,x_n, 0,...,0)
で定義する。ここで、F は同次元。
同様にΨ:A[x_0,...,x_n, y_0,...,y_m] → A[y_0,...,y_n] を
定義する。ΦとΨは共に全射である。
よって、P^n と P^m はP^(n+m+1) の閉部分空間と標準的に同型
である(Hartshorne II Ex.3.12a)。
p を P^n の元すなわち、A[x_0,...,x_n] の素イデアルで
イデアル(x_0,...,x_n) を含まないものとする。
Φの定義より各 j に対してΦ(y_j) = 0 であるので
Φ^(-1)(p) はA[y_0,...,y_n] のイデアル(y_0,...,y_n)を含む。
よって、P^n と P^m の P^(n+m+1) における像は交わらない。
よって各像の合併は P^n と P^m の直和と標準的に同型である。

補題
S をスキームとし、X と Y を S 上射影的なスキームとする。
X と Y の直和は S 上射影的である。

証明
定義より構造射 X → S は X → P^n x S → S と分解する。
ここに、X → P^n x S は閉埋入。
同様に構造射 Y → S は Y → P^m x S → S と分解する。
補題(>967)より、P^n x S と P^m x S の直和は P^(n+m+1) x S
の閉部分スキームに同型である。
よって X と Y の直和は S 上射影的である。

補題
f: Spec(B) → Spec(A) を有限型の射とする。
f は準射影的である。

証明
B = A[b_1, ..., b_ n] とする。A[x_1,...,x_n] を A 上の
多項式環とすると、A-代数としての全射
A[x_1,...,x_n] → B が存在する。
これは、閉埋入 Spec(B) → Spec(A[x_1,...,x_n]) を誘導する。
一方、開埋入
Spec(A[x_1,...,x_n]) → Proj(A[y_0, y_1,...,y_n]) が
存在する。よって合成射
g: Spec(B) → Proj(A[y_0, y_1,...,y_n]) は埋入である。
g による Spec(B) の閉像を Y とすると、Spec(B) → Y は
開埋入であり、f: Spec(B) → Spec(A) は
Spec(B) → Y → Spec(A) と分解し、Y → Spec(A) は射影的
である。よって、f は準射影的である。

補題
X → Y を 準射影的な射とし、Y → Z を開埋入とする。
このとき、合成射 X → Z は準射影的である。

証明
X → Y は準射影的であるから、X → Y は X → Y' → Y と
分解する。ここに X → Y' は開埋入であり、Y' → Y は射影的
である。Y' → Y は射影的だから、Y' → P x Y → Y
と分解する。ここに、 P は有理整数環上の射影空間
であり、Y' → P x Y は開埋入である。
ここで、次の可換図式を考える。

ＰｘＹ　→　Ｙ
　↓　　　　↓
ＰｘＺ　→　Ｚ

これは、ファイバー積になっている。
X → Y → Z は X → Y' → P x Y → Y → Z と分解する。
これは、上記の可換図式より、X → Y' → P x Y → P x Z → Z
に等しい。Y → Z は開埋入だから、P x Y → P x Z も開埋入
である。よって、X → Y' → P x Y → P x Z の合成射
X → P x Z は埋入である。よって、X → P x Z → Z の合成射
X → Z は準射影的である。

Harstshorne II Ex. 4.10 の解答
Chowの補題
X をネータースキーム S 上固有なスキームとする。
このとき、S 上射影的なスキーム X' と射 g: X' → X 及び
X の稠密な開集合 U で g は同型 g^(-1)(U) → U を誘導する
ものが存在する。

(a)
X は既約と仮定してよい。

証明
X はネーターだから有限個の既約成分 X_i を持つ。X_i を X の
被約な閉部分スキームと考える。仮定より、各 i に対してS 上
射影的なスキーム X'_i と射 g_i: X'_i → X_i 及び X_i の稠密
な開集合 U_i で g_i は同型 g_i^(-1)(U_i) → U_i を誘導する
ものが存在する。X' を各 X'_i の直和とする。補題(>>968)より
X' はS 上射影的である。g:X' → X を各 g_i から誘導される射
とする。
U'_i = {x ∈ U_i; x はどの X_j (j ≠ i)にも含まれない}
とし、U を U'_i の合併集合とする。U'_i は空でないから U も
空ではない。V を X の空でない開集合とすると、V はある X_i
と交わる。X_i は既約だからV は U'_i とも交わる。よって U
は X で稠密である。i ≠ j なら U'_i と U'_j は交わらない
からg が誘導する射 g^(-1)(U) → U は
同型 g_i^(-1)(U'_i) → U'_i の直和であり、やはり同型である。

Harstshorne II Ex. 4.10

(b)
X をネータースキーム S 上固有かつ既約なスキームとする。
X の有限個のアフィン開被覆 U_i で各 U_i に対して
開埋入 U_i → P_i が存在する。ここに各 P_i は S 上射影的
なスキーム。

証明
f: X → S を構造射とする。
S はネーターだからアフィン開集合 S_i による有限被覆を持つ。
f は有限型だから、f^(-1)(S_i) はアフィン開集合 U_ij による
有限被覆を持つ。補題より、U_ij → S_i は準射影的である。
よって、補題より U_ij → S も準射影的である。
U_ij → S の閉像を P_ij とすれば U_ij → P_ij は
開埋入であり、P_ij は S 上射影的である。
添え字集合を適当に変えて U_ij, P_ij を それぞれ U_i, P_i
とすればよい。

補題
f: X → Y をS-スキームの射とし、Y は X の f による閉像と
なっているとする。Z を S 上分離的スキームとし、
g_1, g_2 : Y → Z をS-スキームの射で、(g_1)f = (g_2)f と
すると、g_1 = g_2 となる。

証明
g_1, g_2 により h: Y → (Z x Z)/S が定まる。
Δ: Z → (Z x Z)/S を対角射とする。
Z は S 上分離的だからΔ(Z) は(Z x Z)/Sの閉部分スキームで
ある。よってh^(-1)(Δ(Z))は Y の閉部分スキームである
(>>964)。T = h^(-1)(Δ(Z)) とおく。

Ｔ　→　　Δ（Ｚ）
↓　　　　　↓
Ｙ　→　（ＺｘＺ）／Ｓ

(g_1)f = (g_2)f だから hf: X → Y → (Z x Z)/S は
X → Δ(Z) → (Z x Z)/S と分解する。よって補題(>>965)
より、f: X → Y は X → T → Y と分解する。
一方 Y は f の閉像だから T = Y となる。よって g_1 = g_2
である。

で、おにいさん、それで空は飛べそうですか？

補題
f: X → Y, g: Y → Z がスキームの射で、gf が埋入なら、
f も埋入である。

証明
Γ: X → (X x Y)/Z を f のグラフ射とし、
q: (X x Y)/Z → Y を射影とする。qΓ = f である。
次の可換図式を考える。

（ＸｘＹ）／Ｚ　→　Ｙ
　　↓　　　　　　　↓
　　Ｘ　　　　　→　Ｚ

gf: X → Z は仮定より埋入だから q: (X x Y)/Z → Y も埋入
である。Γも埋入であるから qΓ = f も埋入である。

Harstshorne II Ex. 4.10

(c)
U_i, P_i は (b) (>>972)と同じものとする。
P = (P_1 x P_2 x ... x P_n)/S とおく。
U を 各 U_i の共通集合とし、 f: U → (X x P)/S を U → X と
U → P_i から得られる射とする。
X' を U の f による閉像とする。
g: X' → X を X への射影、h: X' → P を P への射影とする。
このとき, h は閉埋入である。

証明
U → (X x P)/S → X は埋入だから、U → (X x P)/S も埋入
である(>>975)。
p_i: P → P_i を射影とする。V_i = (p_i)^(-1)(U_i) とおく。
まず、h^(-1)(V_i) が X' の被覆であることを証明する。
U_i は X の被覆だから、g^(-1)(U_i) は X' の被覆である。
よって、g^(-1)(U_i) ⊆ h^(-1)(V_i) を示せばよい。
(続く)

Harstshorne II Ex. 4.10 (c) の証明の続き

U'_i = g^(-1)(U_i) とおく、
以下の図式が可換なことを示せばよい。

Ｕ'_i　 →　 Ｐ
　↓　　 　　↓
Ｕ_i　　→　Ｐ_i

U'_i = X' ∩ (U_i x P)/S であり、f: U → (X x P)/S の
閉像はX' であり、f(U) ⊆ U'_i であるから、U → U'_i の
閉像は U'_i である。
よって以下の図式を考える。

Ｕ　→　Ｕ'_i　 →　 Ｐ
　　　　　↓　　 　　↓
　　　　Ｕ_i　　→　Ｐ_i

補題(>>973)より、上の図式から得られる次の図式が可換である
ことを示せばよいがこれは明らかである。

Ｕ　　→　 Ｐ
↓　　 　　↓
Ｕ_i　→　Ｐ_i

Harstshorne II Ex. 4.10 (c) の証明の続き

h^(-1)(V_i) → V_i が閉埋入であることを示す。
Q_i を P_i を除いた残りの P_j の積とする。
V_i = (U_i x Q_i)/S であるから、
h^(-1)(V_i) = X' ∩ (X x U_i x Q_i)/S である。
(U_i x Q_i)/S → U_i → X のグラフを Z_i とする。
Z_i は (X x U_i x Q_i)/S の閉部分スキームであり、
その (U_i x Q_i)/S への射影は同型である。
X' ∩ (X x U_i x Q_i)/S は f(U) の (X x U_i x Q_i)/S に
おける(部分スキームとしての)閉包であり、f(U) ⊆ Z_i で
あるから、X' ∩ (X x U_i x Q_i)/S ⊆ Z_i である
(スキームとしての包含)。
よって、X' ∩ (X x U_i x Q_i)/S → (U_i x Q_i)/S は閉埋入
である。
V_i の合併集合を V とする。
h^(-1)(V_i) は X' の被覆であるから、h(X') ⊆ V である。
h^(-1)(V_i) → V_i が閉埋入であるから、
X' → V は閉埋入であり、V → X は開埋入であるから
h: X' → P は埋入となる。
一方、X' → S は 固有であるから、X' → P も固有であり、
h(X') は P の閉集合である。よって h は閉埋入である。

Harstshorne II Ex. 4.10 の解答の続き
(d) g^(-1)(U) → U は同型である。

証明
g^(-1)(U) = X' ∩ (U x P)/S は f(U) の (U x P)/S における
（部分スキームとしての）閉包であることに注意する。
f(U) は U → P のグラフであるから、f(U) は (U x P)/S の
閉集合である。よって g^(-1)(U) = X' ∩ (U x P)/S = f(U)
である。よって、g^(-1)(U) → U は同型である(逆の同型は f)。

このスレが1000になると読めなくなるんだよね、確か？
俺はテキストファイルとして保存するつもりだけど。

>>980
1000 にならなくてもある程度以上になったら 1000 を待たずにデータ落ちしますよ。

Complex analytic and algebraic geometry という面白そうな
オンラインブックを見つけたたんだけど圧縮されていて解凍方法
がわからない。gunzipというプログラムで実行したらgzipの
フォーマットでないと言われた。誰か教えて下さい。

http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/books.html

>>982
直接開け。拡張子書き換えでも多分可能。

>>982
ファイル壊れているんじゃない?

$ file agbook.ps.gz
agbook.ps.gz: PostScript document text conforming at level 2.0

とでるけど、 ps ビューアーだと見れないし、かといって、アーカイバでも解凍できない。

>>982
実は圧縮されていない。

>>985
なるほど、読めました。有難うございます。目次を見ただけ
だけどこの本よさそうですね。

９８７。

Hartshorne II Ex. 4.11 (a) で以下の事実を証明する
必要がある。

A を局所ネーター整域、m を A の極大イデアルとし、
K をその商体とする。m の生成元 x_1, x_2, ..., x_n を適当に
とると、B = A[x_2/x_1, ..., x_n/x_1] としたとき、
mB = (x_1)Bとなり (x_1)B ≠ B となる。

x_1, x_2, ..., x_n は m の極小基底をとればいいんだろう
けど、mB = (x_1)B はすぐ示せるが、(x_1)B ≠ B の証明方法
が分からない。(x_1)B = B とすると、ある整数 r >= 0 があって
(x_1)^r ∈ m^(r+1) となることは示せるが。これが成り立たない
ことの証明が分からない。因みに EGA II p140 でも宮西の
｢代数幾何学｣　p123 でも(x_1)B ≠ B を証明せずに使っている。
しかも、生成元 x_1, x_2, ..., x_n を極小と仮定も
していない。つまり両方とも証明として不十分ということ。

>>988
自己解決出来そう。しばらく考えてみる。

　　　　　　　　　　 ...,､ -　 ､
　　　　　　,､ '　 ヾ　、　 　 丶,､ -､
　　　　 ／　　　　ヽ　ヽ　　＼＼:::::ゝ
　／ヽ/　　　i　 i　　　　ヽ　.__.ヽ ヽ::::ヽ
　ヽ:::::l　i.　　l　 ﾄ　　ヽ　 ヽ .___..ヽ　丶::ゝ
　r:::::ｲ/ l　　l.　 i ヽ　　＼　＼/ﾉﾉﾊ　 ヽ
　l:/ /l　l.　　l　　i　 ヽ'"´__ヽ_ヽﾘ }. ',　　',
　'l. i　ト l　　ﾚ'__　　　　'"i:::::iﾞ〉l^ヾ　 |.i.　l
.　l l　lミ l ／r'!:::ヽ　　　　'‐┘ .}　/　 i l　l　　／￣￣￣￣￣￣￣
　 l l　l.ヾlヽ ゝヾ:ﾉ　　 ,　　　　 !'" 　　i i/ i＜　　今年も数学がんばってね
　 iﾊ　l　 (.´ヽ　　　　　_　　 .／　　　 ,' ,'　'　 |　　
　　 |l. l　　｀ ''丶　　.. __　 イ　　　　　　　　　 ＼＿＿＿＿＿＿＿
　　　ヾ!　　　　　　　 l.　　 ├ｧ ､
　　　　　　　　　　／ﾉ!　　　/　　｀　‐- 、
　　　　　　　　 ／ ヾ_　　　/　　　　 ,,;'' /:i
　　　　　　　 /,,　　',. ｀　 /　　　　,,;'''／:.:.i

補題
Kを体、v をその離散付値、L を K の有限次拡大体とする。
L の付値で v の拡大になっているものは離散付値である。

証明はたとえば、Bourbaki, Commutative Algebra VI §8.1
を参照。特に Proposition 1 とその Corollary 3。

補題
Kを体、v をその離散付値、L を K の有限生成拡大体とする。
L の離散付値で v の拡張になっているものが存在する。

証明
A を K の付値環、m を A の極大イデアルとし、πをその生成元
とする。L の K 上の超越基を x_1, x_2, ..., x_n とする。
B = A[x_1, ...,x_n] とおく。
A は UFD だから B も UFDである(Gaussの定理)。
よってπは B の既約元であるから、πB は B の素イデアルで
あり、B の πB による局所化 B_πB は離散付値環である。
B の商体を M とすると、B_πB は M の離散付値 w を
引き起こす。w は v の拡張である。
L は M の有限次拡大体だから補題より w は L の
離散付値に拡張される。

補題
A を局所ネーター整域、m を A の極大イデアルとし、
K をその商体とする。m の生成元 x_1, x_2, ..., x_n を適当に
とると、B = A[x_2/x_1, ..., x_n/x_1] としたとき、
mB = (x_1)Bとなり (x_1)B ≠ B となる。

証明
m の生成元 x_1, ..., x_n で 各 x_i が 0 でないものをとる。
Hartshorne I Th. 6.1A より K の付値環 R で A を支配する
ものが存在する。v を R に付随する付値で G をその値群と
する。g_i = v(x_i/x_1) と置く。g_k = min{g_1,...,g_n} と
する。各 i に対して v(x_i/x_k) = g_i - g_k >= 0 である。
よって、x_i/x_k ∈ R であり、
A[x_1/x_k, ..., x_n/x_k] ⊆ R となる。
必要なら x_1, ..., x_n の番号を付け替えて x_k = x_1 と
仮定してよい。よって B ⊆ R である。R は A を支配するから
R の極大イデアルは mB を含む。よって mB ≠ B である。
i ≧ 2 のとき、x_i ∈ (x_1)B だから
mB = (x_1, x_2, ..., x_n)B ⊆ (x_1)B である。
逆の包含関係は明らかだから、mB = (x_1)B である。

補題(Krull-Akizuki)
A を１次元のネーター整域、K をその商体とする。
L を K の有限次拡大体とする。A の L における整閉包は
Dedekind整域である。

証明は例えば、Bourbaki VII §2.5 を参照。

Hartshorne Ex.4.11 (a) の解答

A を局所ネーター整域、m を A の極大イデアルとし、
K をその商体とする。L を K の有限生成拡大体とする。
補題(>>993)よりm の生成元 x_1, x_2, ..., x_n を適当に
とると、B = A[x_2/x_1, ..., x_n/x_1] としたとき、
mB = (x_1)Bとなり (x_1)B ≠ B となる。
(x_1)B の極小素イデアルを p とする。
Harsthorne I Th.1.11A(Krullの単項イデアル定理)より B_p の
次元は１である。m ⊆ p であるから B_p は A を支配する。
補題(>>994)より B_p の K における整閉包 B~ は
Dedekind整域である。B~ の任意の極大イデアルを M とする。
B~_M は離散付値環である。B_p ∩ M は B_p の極大イデアル
である(Cohen-Seidenberg)から B~_M は B_p を支配する。
補題(>>992)より L の離散付値環で B~_M を支配、即ち A
を支配するものが存在する。

Hartshorne Ex.4.11 (b) の解答

Ex.4.11 (a) と本文の Th.4.3 と Th.4.7 の証明から
明らか。

これでこのスレでのHartshorneの問題の解答は終わりだな。
後で参照したい人はこのスレを保存しておいたほうがいいよ。
因みに私のやり方は、｢全部読む｣をクリックしてから
編集メニューの｢すべて選択｣を選び、コピーしてから
空のテキストファイルに貼り付ける。

埋め

生め

1000GET!

このスレッドは１０００を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。