分からない問題はここに書いてね　３

>>59

f(x)=x^2-x-p とおくと、f(x)=0 の2つの解が α、β だから解と係数の関係より α+β=1 、αβ=-p　−�@　
ここで、0<p より β<0<α、さらに f(x)=(x-α)(x-β) よりf(-α)=2α>0 　∴　 -α<β<0<α　−�A　
a_1=1、a_(n+1)=p/a_n+1 (n=1.2.3,…)　−�B
(1) β<a_1=1 より a_1-β>0 、a_n-β>0 とすると�@�Bより
a_(n+1)-β=p/a_n+1-β=-αβ/a_n+α=α(a_n-β)/a_n>0
よって、全ての自然数nについて a_n-β>0 (n=1,2,3,…)
上の考察と同様にして a_(n+1)-α=β(a_n-α)/a_n となるから、b_n=(a_n-α)/(a_n-β) とおくと
b_(n+1)={a_(n+1)-α}/{a_(n+1)-β}={β(a_n-α)/a_n}/{α(a_n-β)/a_n}=(β/α)(a_n-α)/(a_n-β)=(β/α)b_n
∴　b_(n+1)=(β/α)b_n (n=1,2,3,…)　−�C
これは{b_n}が初項 b_1=(1-α)/(1-β)=β/α、公比 β/α の等比数列であることを示している。
(2) �Cなどより、b_n=(β/α)^n (n=1,2,3,…)　⇔　(a_n-α)/(a_n-β)=(β/α)^n
∴　a_n=α{1-(β/α)^(n+1)}/{1-(β/α)^n} (n=1,2,3,…)　−�D
(3) �Aより　-1<β/α<0　だから　(β/α)^n→0 (n→∞)
∴　�Dより　lim[n→∞]　a(n)=α