分からない問題はここに書いてね ３
190 ：１３２人目の素数さん：
>>188
n人(1<n)が1回じゃんけんをするとき、手の出し方の総数は 3^n通り。
そこでr人(0<r<n)が勝ち残るのは、“何で” 3通り、“どのr人が” C[n,r]通り だから、その確率qは
q=(∑[r=1,n-1]3C[n,r])/3^n=(2^n-2)/3^(n-1)
従って、1回のじゃんけんでアイコになる確率pは p=1-q={3^(n-1)-2^n+2}/3^n (0<p<1)で、
アイコがk回だけ続く確率P(k)は、P(k)=(p^k)q となるから、アイコの期待値 E は、E=∑[k=1,∞]kP(k)
さて、∑[k=1,m]kP(k)=∑[k=1,m] kp^k*q=pq∑[k=1,m]kp^(k-1)
f(p)=∑[k=0,∞]p^k=1/(1-p) (0<p<1) とおくと、f'(p)=∑[k=1,∞]kp^(k-1)=1/(1-p)^2=1/q^2 だから、
E=lim[m→∞]pq∑[k=1,m]kp^(k-1)=pq∑[k=1,∞]kp^(k-1)=p/q={3^(n-1)-2^n+2}/(2^n-2)
n人(1<n)が1回じゃんけんをするとき、手の出し方の総数は 3^n通り。
そこでr人(0<r<n)が勝ち残るのは、“何で” 3通り、“どのr人が” C[n,r]通り だから、その確率qは
q=(∑[r=1,n-1]3C[n,r])/3^n=(2^n-2)/3^(n-1)
従って、1回のじゃんけんでアイコになる確率pは p=1-q={3^(n-1)-2^n+2}/3^n (0<p<1)で、
アイコがk回だけ続く確率P(k)は、P(k)=(p^k)q となるから、アイコの期待値 E は、E=∑[k=1,∞]kP(k)
さて、∑[k=1,m]kP(k)=∑[k=1,m] kp^k*q=pq∑[k=1,m]kp^(k-1)
f(p)=∑[k=0,∞]p^k=1/(1-p) (0<p<1) とおくと、f'(p)=∑[k=1,∞]kp^(k-1)=1/(1-p)^2=1/q^2 だから、
E=lim[m→∞]pq∑[k=1,m]kp^(k-1)=pq∑[k=1,∞]kp^(k-1)=p/q={3^(n-1)-2^n+2}/(2^n-2)
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