数学の本 6版目

算数パズル「出しっこ問題」傑作選　著：仲田紀夫
についてなんですが，この本の中で
問１６
A，B，Cの３つの箱がある．
「一つだけ１００ドルが入っている．当てたらお前にやる」
と友人に言われた．
彼はどの箱に１００ドル入っているか知っている．あなたはAを
選んだとする．すると友人はCの箱を開け，Cには何も入って
いないことを示した．そして言った．
「今なら，１ドル払えばBの変えてもいいぞ」
さて，あなたは変えるべきか，変えざるべきか？

と言う問題があります．それについて解答は
「１ドル払っても変えるべきである」
とありました．理由は，

自分がAを選んだときの，それぞれの箱の
100ドルが入っている確率は３分の１ずつ．ということは「BかCに入っている」という
確率は３分の２だ．しかし，Cには入っていないことが解ったので，
この時点でBに１００ドルが入っている確率は３分の２．
つまり１ドルを払っても変えるべきだ．（本文要約）

とありました．しかし，自分は

そうしたなら，「AかCにはいっている確率」も３分の２になるのでは？ということは
AとB，１００ドルの入っている確率は同じだ．だから答えは，
「どうせはずれるのであったなら１ドル払わないではずれた方が良い．つまり変えない方が良い．」

のほうが正しいと思うのですが・・・・・・
皆さんの意見を聞きたいです．
解りにくかったらレス下さい．