群論の星

群論について語れ

２げと　ズサー　もしたくない。　つまらん。

81 名前：１３２人目の素数さん ：03/08/30 10:59
「ハッキング」から「今晩のおかず」までを手広くカバーする巨大掲示板群
『２ちゃんねる』

は

本当に群の定義を満たすのですか？

糞スレ保守

>>1
新スレ乙

>>1
糞スレ乙

Re:>1 とりあえず、乗法表が与えられたとき、それが結合法則を満たすかどうかを判定するアルゴリズムを考えて貰いたい。
なるべく計算量の少ないアルゴリズムを考えて欲しい。

美少女戦士　これは郡の定義を満たすのですか？

>>7
夏休みの宿題丸投げはやめてください

>>9
勘違い厨はきえてクフ王。

>>3
>>7
質問は質問スレでお願いします。

◆ わからない問題はここに書いてね １２５ ◆
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1062027784/

厨房攻防、宿題テスト支援スレ２（答え教えたる）
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1049714540/

くだらねぇ問題はここへ書け ver.3.14(23桁略)8327
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1061701221/

小・中学生のためのスレ。 Part３
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1061852484/

【質問受付】高校数学【息抜き】
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1048946673/

【女王様とお呼び】 質問しな！【ゆかりスレ】
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1058774018/

◆ わからない宿題はここに書いてね ◆
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1061952688/

分からない問題はここに書いてね１３３
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1061642510/
こちらでどうぞ。

>>9　こちらへどうぞ
小・中学生のためのスレ。 Part３
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1061852484/
小・中学生のためのスレ。 Part３
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1061852484/
小・中学生のためのスレ。 Part３
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1061852484/
小・中学生のためのスレ。 Part３
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1061852484/

ようは有限群の分類について語れって事だろ

ガロア群についても語ってほすぃ

>>1
ところでなんで星なの？
目をひく為？？

>>1が群論を極めたくて星になりました。さようなら>>1

良スレ保守

「環論の星」ﾏﾀﾞｰ?

>>15
群論に虜になった香具師は多いはず。
群論ペストにかかった熱血研究者がいつか星になる為のスレだ！

>>19の頭の中には星がいっぱいです。

　　　　　　　　, ー―――― 、
　　　　　　　　|＿＿＿＿G＿|＿_
　　　　　　　　川川 ::::::⌒　⌒ヽノ
　　　　　　　川川::::::::ー◎-◎-）　　　　　　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　　　　　 川（６|::::::::　　（ 。。））　　　 |⌒ヽ　　 ／
　　　 ＿＿川川;;;::∴　ノ　 ３　 ﾉ　　　 |　　/　＜　　グ・ン・ロ・ン　＼（＾〇＾）／
　　／　　　￣＼＼＿;;;;;;;;;;;;;;;;ノ＿＿_　|　 /　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿　　　
　/　　　　/　　　＼　　ノヽ　 //　 　.￣| ε
　|ニ二ニ|　　G　I A NTSヽ//＿＿_ヽ/ ε
　|:::::　　|　　　　　　ヽヽ ２ |￣　　　　￣
　 |:::::　　|　　　　　　　ヽヽ　|
　/|:::::　<＿＿＿＿＿_）_）ノ
　|::＼::::. ＼::::::::::::::::::::::::::::/　　　
　|:::::::＼:::　ヽ:::::::::/:::::::::/
　＼::::::（_,_,_,_,ヽ::::|:::::::::::|　　
　　 ＼::::::::::::::::::::::）::::::::::）
　　　　）::::::::::::::／::::::::::/
　　　 /:::::::::::／|:::::::::::/
　　／二二（ 　|二二|＿
　（――――)(――――)

で、「体論の星」はいつ出来るの？

変わったスレだね。ここは

ググングン群

ヤコビアーン！

アーベル群

せっかくの専用スレなので、ややまともな話題を振ってみる。
位数24の群の同型類分類、どのくらい効率的にできます？＞ＡＬＬ
以下、俺のとった(というか多分ありがちな)やり方：

位数24の群をGとする。以下「p-シロー群」を「Syl(p)」と略記する。
(1) Syl(2)もSyl(3)も正規→GはSyl(2)とSyl(3)の直積、楽勝。
(2) Syl(2)は正規、Syl(3)は非正規→半直積。
　準同型Syl(3)→Aut(Syl(2))をSyl(2)の構造ごとに網羅する。
(3) Syl(2)は非正規、Syl(3)は正規→半直積。
　準同型Syl(2)→Aut(Syl(3))をSyl(2)の構造ごとに網羅する。
　といってもAut(Syl(3))は巡回群C(2)と同型なのでやや楽勝。
(4) Syl(2)もSyl(3)も非正規→Syl(3)は全部で４つ。
　Gの各元は、共役作用により４つのSyl(3)の置換を引き起こす。
　つまりGから「４次対称群S(4)の部分群」への準同型φが存在。
　Image(φ)の位数を絞り込んで、「φは単射」を示し、G=S(4)。

これだと、場合(2)のところで Aut(C(2)×C(2)×C(2))とかAut(D(4))とか
Aut(Q(2))とかの構造決定と、それら各々へのC(3)からの準同型の決定を
しなければならないんだよね・・・(D(n)は二面体群、Q(n)は四元数群)
もっと効率的にやる方法ないかなあ、と。

良スレのヨカーン。
群論はまだよくわからないけど・・・

有限生成アーベル群に限定すれば、簡単にできる。
有限生成アーベル群は、あるZ_{n_1}+Z_{n_2}+...+Z_{n_i}+Z^k
(+は直和、n_1|n_2,...,n_(i-1)|n_iになる。)と同型になる。

>>29
おまいの言ってることは>>27の(1)の「楽勝」の中で処理されてる。
アーベル群の場合なんて常識的で自明なことなんだよ。偉そうに書くなよ（ﾌﾟ
せめて半直積くらい勉強してから出直しておいで。

いや待て待て。
これはsupermathmaniaの数学能力を試す良い機会かもしれん。
有限生成アーベル群に限っていいから、位数24の群を同型類に分類してみてくれ。＞supermathmania
できるか？（w

Aut(Q(2))ってどうやって計算するん？
地道にシラミ潰し？

Re:>31 Z_2+Z_2+Z_6,Z_2+Z_12,Z_24 但し、+は直和。[>29]に書いた通りだ。

>>31
おまい、痛い香具師だな。

111111111×111111111って何でしょう？　　

>>35
0 へぇ。

＞31
まず十以下のイスウの群の具体例なんかが良いな

で、supermathmaniaは非アーベル群の扱い方には長けているの？

ttp://www.kojin.or.jp/nyanbaz/fin_grp/classification/cl_12.html

>>37
誤爆？

Re:>38 私は単因子論くらいまでは知っているが、私の専門が解析系であることもあって、群論はあまり詳しくは知らない。

お、んじゃ俺、supermathmaniaに勝てるかも。一応、代数学専攻なんで。
…って、自分に有利な条件で勝っても仕方ねーだろーが！＞俺
つーか>>32に答えられない時点で俺の群論レベルも相当低いんだが。

Q(2)ってなあに？

>>43
四元数群だと思われ。
Q(2)={士1, 士i,士j,士k,}で、i^2=j^2=k^2=-1, ij=k=-ji, kj=i=-kj
初歩的な教科書では単にQと書かれることも多いね。

訂正。
「kj=i=-kj」は「jk=i=-kj 」な。すまん。

http://academy2.2ch.net/test/read.cgi/geo/1000193895/l50

>>46
ややﾜﾛﾀ

11

位数30の群の同型類分類は結構楽しいよ。やってみ。

位数30ゆえの面白さってあるのか？

>>50
30は素因数を３種類もつ最初の数で、洒落にならない24を除けば、
初めて「位数pq(p,qは相異なる素数)の群の自己同型群」への準同型写像に
まともに直面することになる。（12と18はうまくやれば↑を回避できる。）
で、その準同型のうち自明でないやつからできる半直積たちがいかにも
「捻っている」感じで面白い。かつ、位数15の群は１種類しかないので、
分類作業が煩雑になりすぎることもない。

有限群の分類の奥深さの一端を除かせつつも「手に負える」レベルで
Sylowの定理レベルまでの初歩的知識だけで完結できるところが良い。

位数30の群の分類は群論習い立ての頃に習得すべきテクニックを一通り含んでいるんだよな。
1) 任意の位数30の群は、位数15の群を部分群に持つことを示せ。
2) 位数15の群は１種類しか存在しないことを示し、その自己同型群をすべて求めよ。
3) 位数30の群の同型類をすべて求めよ。

3

群論の勉強を始めたんだけど、しょっぱなからつまずいた

正四面体のシンメトリーを考えると12個あって、その群は4次の交代群と同型になる。
(ここまでは分かった)

位数12の群を巡回群、2面体群、4次交代群に分類すると次のようになる
(それぞれの位数の元が対応する群にいくつ含まれるか)
位数　巡回群　2面体群　4次交代群
1　　　1　　　　1　　　　1
2　　　1　　　　7　　　　3
3　　　2　　　　2　　　　8
4　　　2　　　　0　　　　0
6　　　2　　　　2　　　　0
12　　　4　　　　0　　　　0

巡回群は分かった、2面体群がわからん　どっから7が出てくるんだー
今読んでるのこれ
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4000067915/

ついでに代数的じゃなくて、幾何的な観点から群を捉えた本が読みたいのですが
お勧めありますか

>>54

その本で2面体群をどう定義しているか知らないけど、D_6の位数2の
元は確かに7個になります。
実際、 D_6 = < a,b | a^6=1 , b^2=1 , bab^(-1)=a^(-1) > とすれば
a^3,b,ab,a^2b,a^3b,a^4b,a^5b の合計7個が位数2の元になります。

21

スレタイえらくかっこいいけど、いたって普通のスレだね。

余裕があれば、位数132の有限群の構造でも調べてみたら？
素因数分解すると、132=2^2*3*11 です。
11-sylow部分群の取り扱いがポイントになりそう（？）。

>58（自己レス）

こりゃちょっと面倒な感じがします。
まず2,3,11-sylow部分群のどれかが正規になる（したがって非単純群）で
あることを示し、11のほうが正規か正規でないかで場合分けることに
なろうかと思います。結果からいうと、この同型類の個数は10個とのこと。
半直積など中級レベルの知識をフルに使うでしょう。

そういう、一般的な分類を完成させるようなアルゴリズムは与えられている
のですか？ どんな本を読んだら十分ですか？

>>60
本を読まなくても簡単にわかる。有限集合Sを考える。
Sに与えられる算法の数は有限だ。この中から群となる
ものを虱つぶしに見つけるのも可能だ。次にこの中の２個の群が
同型か否かを判定することも可能だ。高性能のコンピュータを
使っても時間は途方もなくかかるけどね。

>>60 from >> 58(=59)

　・「一般的な分類」というのは、位数nを任意に与えたとき、
位数nの有限群の構造を決定するアルゴリズムを作れ、ということかな。

そんなアルゴリズムなんてないよ〜。
そんなのあったら、もうらくらくですって。
ただ、ある程度の「セオリー：は存在します。
早めに半直積の形に持ち込んで、半直積を構成する準同型をすべて
しらみつぶしに探すとか。
原始的でばかばかしいけど、それがある意味一番確実。

コンピュータ的に、となるとGAP関係は当方詳しくないので分かりません。

　＞　位数132の有限群

これ、結構面倒だね。まず11-sylow部分群が正規の場合だけれども、
その補群となる位数12の部分群は5通り。しかもそのうち1,2個は
見慣れない半直積構成…。
これは案外難問かもしれないよ。自信のある人頑張ってみて。

自信のない人は、これを解いてみると良いかも。
背理法による位数の数え上げで、2,3,11-sylow-subgrがすべて正規で
ないとすると、132をオーバーしてしまいます。
こういう論法、よくありますよ。
　「単純群でないことを示せ」
2,3,11-sylow-subgrがどれか正規だと分かると、それは可解、それで
割った剰余群も可解だから、もとの群（位数132）も可解。

Gが可解だと分かれば、一種のズル技「ホールの定理」でも援用すれば
まだ何とかなる？（未確認）

>>62
＞そんなアルゴリズムなんてないよ〜。

あるでしょ。しらみつぶし法(>>61)。

>>63 from 62

「しらみつぶし法」…。まぁそういうのもありか（笑）。
あるかないか？の2択だったら。
でもそんな方法で、位数12の有限群を分類できるかなぁ？
もちろん、「常識的な時間内で」ですよ。
とにかく、「できる、できない」の2択だったら時間はかかるけど
「できる」だね。その点は私が間違ってました(--;。

話は変わってp群の分類の話。
p群はsylowの定理も無効だし、取り扱いが本当に面倒なんですよ。
群論の諸定理をことごとく無力にしてしまいます。

|G|=p,p^2の場合は簡単、p^3の場合は学部の卒論レベルかな？
p=2のときとそれ以外の素奇数の場合にわけてゆっくり考えます。

でも、|G|=p^4,p^5,…ってなったらもう大変だろうね。
もちろんp群独特な理論は援用することになるだろうけど、
それでも肝心のsylowの定理は封じられているし。
さぁ、どうする？
Burnsideの本にp^4の分類が載っているそうです。
今から見てこようっと。

＃　もちろん、p^4,p^5でも p=2の場合とそれ以外の素奇数の場合で
＃　場合わけることになるでしょう。
＃　p=2という唯一の偶数素数2は、有限群論にとっては本当に
＃　やっかいで、またそれがあるから例外もあって楽しいです。

ふたつの群が同型であるかどうかをどうやったら判定できるの？

>>65
同型写像を見つけろ

>>65
各共役類の元の個数が一致してるかを調べるだけでも、そうとう絞りこめる
だろうな。

位数2の元の個数が違うから同型じゃないとか、そういう方法もあるよー。
半直積などを用いて構成した群が同型か非同型かを調べるには、まず
非同型であることを疑うのが良いです。
その方法はいくつかありますが、位数2の元の個数が違うとか何とか。

そもそも可換,非可換すらで違うこともあるからね。

同じ位数、例えば位数２の元の集合というのは、いくつかの共役類の
直和に分解されるね。つまり、>>68の方法は>>67の方法より粗いわけだ。
粗いから悪いというわけでは全然なくて、むしろ手っ取り早い。
つまり、>>67の方法は>>68の方法が効かない場合の方法だ。
なお、可換なら各元はそれ自身で共役類になっている。

>>67の方法が効かなかったらどうする？
既約指標を計算して較べるのかな。

>>71

67の方法も無効化されたらどーするんだろうね。
67の方法で無効化されて、かつ構造論の範囲内で面倒なことに
巻き込まれたくなかったら、もう表現論を持ち出すしかないかな？
当方、群の表現論はあまり詳しくないから、初歩の程度だけで
奥深くまでは無理(--;。規約指標くらいは知っているけど。
規約指標で計算してチェックするのは、どのくらいかかるの？


　about order 132

　132=2^2*3*11 です。この有限群の構造を同型を除いて決められるかな？
とりあえず結果から言えば10通りあるそうです。

11-sylow-subgrの個数が1個とは限らないのがミソです。
すくなくともどれかのsylow-subgr（2,3,11-)は正規部分群になるので、
そこから突破口を開いていくしかないかな？

＃　しかし、132というのは有限群の位数として捉えても興味深い…。

全ての(複素数体での)既約指標が一致してたら同型といえるんだっけ？

>>72
D_8とQ_8は、まったく同じ指標表となりますが、同型でないです。

あらら。ということは、指標表の一致をもって同型とは断定できない
ワケだね。
セオリーどおり同型写像を作ってやることになるのか…。
それ以外の方法って今のところある？（同型であることを必要十分で
与える（表現論上か構造論上の）主張）

非同型をまず疑ってから、まずそれでもダメだと思って初めて同型だと
考えたほうがいいです。特に半直積の場合非同型の場合が多いです。

で既約指標が一致してたら、どうするの？

どうしようもない。

モジュラー表現を考えるのか？

輝く群論の星はここですか？

違います。

　／￣￣￣￣＼　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(＿＿＿＿人　 )　　　　　　　　　　高校生の時、ホンキになった子はいたんだけど、
(-◎‐◎ー　ヽｼ|　　　　　　　　　　オレと価値観が合わなくて別れたんだよ。
(　(_　_)　　　　 ６）　　　　　　　　　 ってのは建前で、オレが浮気してたんだけどな（ｗｗ
(　 ε　　∴　 ｜＿　　　　　　　　 いや〜、あん時はマジ笑ったよ。
　(＿＿＿＿／＼＿）　　　　　　　　男なら同時攻略とか普通にするっしょ？
　||　　　　　 ||　　) 　＼　　　　　　　その女、あんまりシツコイから、
／W O T A |　　|＿＿[]　　　　　　クラブでぶちのめしたオレの舎弟で、ちょっとワル入ってるヤツにあげちゃった（ｗｗｗ
（＿＿＿＿__|＿ |　[] ｜　　　　　　オレは当時、舎弟が10人くらいいたんだけど、
(三[□]三三（＿）＿／　　　　　　　10人の男にマワされる姿の面白いこと。
｜:::::::::::::::::／(＿)＼　　　　　　　　　オレって飽きた女はスグにポイする性格だから、
｜:::::::|:::::::｜ｻｸﾗﾔ｜　　　　　　　　特定の彼女作れないんだよな〜。
　＼::::＼::（＿＿＿__）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　[]＿[]＿＿＿）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

当方、ある程度は構造論はチェックしている（つもり）だけど、
表現論はぜんぜんわからないです（マシュケの定理レベル）。
ここには表現論専攻の方いらっしゃるの？

表現論がマシュケの定理レベルなのに、ある程度は構造論はチェックしている
というのが凄く胡散臭いのだが

単純群の分類でも表現論は中心的役割をしてたんじゃないか？

カレーマシュケ

増毛？

>>85
北海道の地名だよね。

共役類まで一致したら後は一致した共役類の元を対応させて
同型写像があるかしらみつぶしに調べる事も、もう手が届く範囲になるんじゃない？
位数2桁くらいの群なら。

共役類分解が一致してかつ同型でない有限群(の組)なんてあるのか？
ない事は証明されてないかもしれんがあるなら例が欲しい所だ。
誰か例を知ってたらできるだけ位数の小さい奴教えてくれ。
またもしない事が証明されてたらその証明の概要教えてくれ。

各共役類の元の数の一致だけでいいなら、
いくらでもありそうだが。

>>88
まず位数８の群の中にある。すでに誰かがここに書いている。
次は位数32の群の中にあると聞いた。とに角、
素数べきの群にはいくらでも似ている群があるらしい。

位数8の群では無い。
位数8の群は全部で五つあるが共役類どころか元の位数見るだけで全て異なっている。
位数2の元見ただけでも
2×2×2型:7個
2×4型:3個
8型:1個(ここまでabel)
二面体群5個
四元数群1個(この2個非可換)

8型と四元数群は共に1個だが位数8の元の有無が異なる。
いずれも共役類見るより全然粗い評価。

本当に共役類まで一致して同型でない群なんてあるのか？

もしかしてabel群は全部共役類一つの元からなるから共役類一致っつー落ち？

可換非可換、元の位数、共役類全てが一致していて、かつ同型でない、ということだろ？
そんな例あんのか？
元の位数だけでもほとんど区別出来るんじゃねーのか？
もし万が一これで区別出来なくても共役類まで見ればまず間違いなく区別出来るんじゃねーのか？

>>91
すまん。位数８の場合は共役類の数のみ一致だった。
位数３２の場合は共役類どころかほとんどの判定条件が一致
している群があると聞いた。専門家が言ってる。

位数３２の群の同型類を洗い出した人ここにいる？
これはかなり難しそうだな。

位数32の有限群の同型類の分類なんて無理だよ〜。
難しいとかというより、もはや片手間にやっていてはダメなレベル。
全部で51通りあるらしいという事実だけは知っているけどさ。

一般にp群の取り扱いは面倒なのですが、その中でも特に唯一の
偶数素数p=2に対する2-群の扱いはかなり面倒です(--;。
p群は有限群論のほとんどの定理を無効にするため話が面倒です(--;。

共役類の数だけならアーベル群は全て一致。
スクエアフリーじゃなければそんな例はじゃんじゃん！

>>96
だから謝っただろう。しつこいな。

自作自演しないとスレが伸びない！
俺は分かってしまったんだ！！
レス数が多いスレはほとんどが、スレを立てた奴が自作自演をして伸ばしていることを！
まるで子供の頃の純心なピュアさがなくなってしまったようだ。
強いて言えば、サンタクロースの正体を知ってしまった小学校低学年のような悲しみだ！！
みんな自作自演でスレを伸ばしていたんだ！！
ID非表示の板では普通に書き込み、ID任意表示の板ではメール欄に何か書き込み、
さらにはID強制表示の板ではPCの他に携帯電話を使い自作自演をする！！
嗚呼、改めて2chの恐ろしさを知ってしまった！！まだ奥が深い、深すぎる！！
匿名掲示板2ch恐ろしや！！

>>98
そういう意味のないレスをしてくれるおかげで２ちゃんは成り立っているんだね。
体を張ってくれてありがとう。

自作自演しないとスレが伸びない！
俺は分かってしまったんだ！！
レス数が多いスレはほとんどが、スレを立てた奴が自作自演をして伸ばしていることを！
まるで子供の頃の純心なピュアさがなくなってしまったようだ。
強いて言えば、サンタクロースの正体を知ってしまった小学校低学年のような悲しみだ！！
みんな自作自演でスレを伸ばしていたんだ！！
ID非表示の板では普通に書き込み、ID任意表示の板ではメール欄に何か書き込み、
さらにはID強制表示の板ではPCの他に携帯電話を使い自作自演をする！！
嗚呼、改めて2chの恐ろしさを知ってしまった！！まだ奥が深い、深すぎる！！
匿名掲示板2ch恐ろしや！！

>>90-100の中に、
シャイン☆由紀の書き込みが存在する、

に5000アレクシ

　　　　　　　 ＼　　　　 　　 　　　 　.人　　　　　　　　　／
　　　　　　　　　＼　　　　　 　 　 　（＿）　なんと。　／　　＿＿_
ﾌﾞﾌﾞﾌﾞｯ　　　　　　＼ｳﾝｺｱｹﾞﾙｰ　（＿＿）　　　　／ ＿／　　 ::（
　　　　　(　　)　　　　＼（ ･∀･)ﾉ（＿＿＿）　　／　/　　　　　:::::::＼.　　ｳﾝｺｳﾏｰ
　　　　ﾉ(　*　)ヽ　　　　＼　　　　　　　　　 .／　 　~）　　　　:::::::;;（~　∧＿∧
　　　　　ﾉωヽ　ﾌﾞﾌﾞﾌﾞｯ　 ＼ ∧∧∧∧ ／　　　　 ＼＿――（＿__,（・д・　）
(　　) 　　 ｜　　　　 (　　)　＜　ウ.　こ　＞　／￣――ヽ＿＿/　　∪　:::⊂　）
ﾉ(　* )ヽ　●　　　ﾉ( *　)ヽ ＜　ン　の　＞（　　　 　●　ヽ　 /　 ●:::::::::::::::）ﾉ
　ﾉωヽ　ﾌﾞﾌﾞﾌﾞｯ　 ﾉωヽ　 ＜　コ　 ス　＞　＼　　　　　　ヽ/ ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;ノ∪
─―────────‐＜　 な　.レ　＞───────────────
　　　人　　　　　　　　　　 /＜　予　は　＞　
　　（＿_）　　　　　　　　　/ ＜　感　 　　＞　　　　　　　　　　　　　　　　　ひぃ
　 （＿＿）火 /ＶＶＶＶＶ./　　 ∨∨∨∨＼ＶＶＶＶＶＶＶＶＶＮ＼　　　　∧＿∧
　（　・∀∩┌┴┐￣　/ 人　　　　　　　　 ＼.＿　 ／　　　　　 ＼　　（・∀・；）
　/　ヽつ丿　　／　＿/（＿_）　　　　　　　　　＼∠―＼　　　　／　　 （　　　　）
　>　>　>　Ｙ^ＶＶＶＶ/（＿＿）　　　　　　　　　.　＼ ＶＶＶＶＮ／　　　 │ │ │
（＿_） （＿_） .　　　/ （ ・∀・ ）∩ ウンコビ━ヴ　 ＼　　　　　　　　 .（＿（＿_）

本当に糞スレになってきたな。
せっかくの星が泣くぞ。

　　　　　　　「うぅぅぅぅぅぅぅぅぅぅ〜〜♪」
　　　　人　　　　　人　　　　　人　　　　人
　　　（＿_）　　　（＿_）　　　（＿_）　　 （＿_）
　　 （＿＿）　　（＿＿）　　（＿＿） 　（＿＿）
　　（ ・∀・ ）　（ ・∀・ ）　（ ・∀・ ） （ ・∀・ ）
　　（ つ⊂ ）　（ つ⊂ ）　 （ つ⊂ ） （ つ⊂ ）
　　 ヽ （　ノ　　ヽ （　ノ　　ヽ （　ノ 　 ヽ （　ノ
　　（＿）し'　　 （＿）し'　　（＿）し' 　 （＿）し'


　　　　　　　「ヽ( ・∀・)ﾉ ｳﾝｺｰ！！」
　　　　 人　　　　　　人　　 　　 人　 　　 　 人
　　　 （＿_）　　　　（＿_）　　　（＿_）　　　 （＿_）
　　　（＿＿）　　　（＿＿）　　（＿＿） 　　（＿＿）
　　∩ ・∀・）∩∩ ・∀・）∩∩ ・∀・）∩∩ ・∀・）∩
　　 〉　　　　_ノ 〉　　　　_ノ　〉　　　　_ノ 〉　　　　_ノ
　　ﾉ　ノ　 ノ　　ﾉ　ノ　 ノ　　ﾉ　ノ　 ノ 　ﾉ　ノ　 ノ
　　し´（＿）　　 し´（＿）　　 し´（＿）　 し´（＿

>>93の例が載ってる本は何か無いですか？

>>93
あと、専門家というのはどの程度の？
院生？助手？教授？
教授でも代数が専門程度？群論が専門？日本で群論といえばこの人っていうほどの人？

>>105,106

93じゃぁないけど Hall Jr., M.,Senior,J.K.の "The groups of order 2^n
(n≦6)" [The Macmillan Campany, New York 1964] がいいかと。

位数16(=2^4)の2-群で、元の位数の情報（位数○の元は○個）が
完全一致していても同型でない群（当然非可換）がちゃんとあったよ。
だから、逆に言えばそれだけでは同型性は確保されないわけだね。

ただしこの本はn≦6とあるように、位数64の有限群まで書いてあるから
ものすごく変な形の本（カタログ状態）で規格外サイズ。
コピーも取れなかった。

共役類は？

>>106
群論の教授だと思う。はっきり確かめたわけじゃないが。
日本人じゃないよ。たぶん、>>107の本のことを知っていたんだろう。

>>108

位数32か64か忘れたけど、共役類の情報まで全部一致しているのも
あったよ。
でも前述したように変な形の本でコピー取れなかったから、今はもう
見ることはできないなぁ。
数学科に（数学専用の）図書館があればだったら、これもあると
思うんだけど。

それにこの「カタログ」は位数64の有限群まで扱っているから、符号や
略語をたくさん使っていて、見づらいです。

各共役類の元の個数が一致していたって同型という保証は
ないだろう。それに対して同じ位数の非同型な有限群の組
は無数にある。だから各共役類の元の個数が一致していて
非同型な群があってもおかしくないだろう。

群論は物理の人もかなりやってるんでつか？

sci.mathで面白い論文を見つけた。

http://wwwmaths.anu.edu.au/research.reports/mrr/mrr03.016/MRR03-016.pdf

>>111
異様に大味な書き込みだな。
確かに証拠はなく同型でないものがあっても不思議ではないが
経験上同型でないなら共役類まで見るとどっかしら異なっているからこれはひょっとして常にそうではないか？反例はあるのか？
という話だろ？
あっても不思議はないのは当然だが実際あるかないかが論点だろ？
情報不十分な段階での論理的な話には興味がない。
流れを読め。

>>114
経験上ってどの程度の経験なの？
実際、位数３２の群で例があるわけだ。
少なくとも君は位数３２については調べてないわけだろ。
その程度の経験でひょっとしてなんて思うほうが異様に大雑把だろう。
実際、｢ひょっとして｣なんかなかったわけだし。

経験上〜かも知れないって話なら、共役類まで一緒だけど同型でない例ってありそうな気はしてたけどね。
p-群にはひねくれた構造のものがいっぱい出てくるから。
p^3の、C(p^2)×C(p)を「ねじった」群を自力で発見して、その奇妙さに萌えたことがある奴なら、
この感覚はわかると思う。・・・俺だけだったらどうしよう？

ほうが…？
そうか？てゆーか比較可能？
位数32の例はまた聞きでしょ？
確かめた訳じゃないでしょ？

くだらね。こんなとこで不毛な言い争いされてもな。
まあ一応フォローしとくと、位数16の分類をやってみたら、
感覚的には「ありそう」というか「ないわけがない」って気がしてくると思うよ。>>117

>>116

そうだね。p-群は変な構造を持っていることが多いからね。
しかも、基本ながらも有力なシローの定理は封じられているし、p-群の
取り扱いはとても難しいんだね。
p^3-群ですら、テキストなしでほいほいとできるものじゃないはず。
（ n≧3以上の p^n-群は、p=2,p≠2 で場合わけしなければいけなくなる。）

ちなみに。
有限p-群の中心は自明でないっていうのは有名だけど、無限p-群ってのも
あって、そっちを考えると話が違ってきます。
リース積なんていうものを考えることで、中心が自明だったり、
真部分群の中心化群が真に持ち上がらなかったり、妙なことが起きます。

>>119

間違えた…。中心化群じゃなくて、正規化群（ノーマライザー）の
ほうだね。

この分野で、「感覚」で予測を立てたりする場合、
最低限31までの有限群分類は一通りこなしてるくらいでないと。
特にSylowの定理で何とかなる世界での経験しかない状態で、
すべての群についての「予測」を立ててしまうのはとても危険だ。
Sylowの定理が効かないところにこそ奇妙で広大な世界が拡がっている。
ただしそっち方向へ進むと「群論のための群論」に嵌ってしまう可能性が大きい。

ていうか、このスレ息を吹き返したんだね。
当方、30番台辺りでがんばってた者でつ。なんか嬉しい。

群論の星は再び輝きを取り戻したとさ。めでたしめでたし。

おわってどうする

なんていうか、「例外がたくさんある世界を探索しているんだ」っていう気持ちでいないとね。
予測とか経験はあまり意味がないと思う。

例外を見たことがあればそうも思えるだろうが
遊びで位数十いくつくらいまでしか見てない漏れはまだそう思えない。
自分で見たことないのに話で聞いただけで鵜呑みにして信じて満足するﾔｼは
数学やめた方がｲｲぞ。

ガロア群がモンスターとなるような拡大はあるのでしょうか？

>>126
フェルマーの最終定理はどうだ？　自分で証明を確かめないと
信じないのか？ 有限単純群の分類が完成したことを証明を見ない
で信じるのは数学者失格か？ 非可換有限単純群の位数が偶数なのは
どうだ？　数学だけじゃない。俺は肉眼にせよ望遠鏡にせよ水星は
見たこと無い。じゃあ水星の存在を信じるのはおかしいのか？
地球が丸いことは？　原子の存在は？

第五章≪2chの裏方要員≫

★プロ固定
2chの専業の煽り屋。「誹謗嘲笑」「煽り」「企業叩き」「情報操作」「漏洩した情報のネタ化」「注目を集める為のスレッド立て」が仕事。
金土日、歌丸、良識、犬神明などが有名。
プロ固定自身による内部告発HP（管理人は、上記、四人の内の一人）
http://www.geocities.com/kotehan1/
プロ固定の内部告発コピペ
http://www.megabbs.com/cgi-bin/readres.cgi?bo=2ch&vi=1047117994&rs=180&re=181&fi=no
プロ固定が持ちいる掲示板システム
http://memb21.hp.infoseek.co.jp/tyousei/gensan.html

★マーク屋
大手サイトを巡回し、2chの情報漏洩を監視する役職。
裏情報が出る度に、「バカだ」「ネタだ」と煽り、内部告発者をキチガイ扱い、ネタ扱いする。

★トルマリン記者
2chのニュース速報板に、スレッドを立てる権限を持っている。表向きは、ボランティアから構成されている事になっているが、専業の盛り上げ要員。
トルマリン記者の内部告発のコピペ
http://www.megabbs.com/cgi-bin/readres.cgi?bo=2ch&vi=1057568646&rs=50&re=53&fi=no

★ターミネーター
2chの運営と削除を担う。表向きはボランティアだが、上級ターミネーターは報酬を得ている。
削除ガイドラインに基づき、問題スレッドやレスを削除する事になっている。
が、アクセス数を稼げる「個人攻撃」や企業叩きのスレッドなどは、理由を付けて絶対に削除しない。
削除忍（引退後、「異邦ジン」の名で生息）削除たもん君、削ジェンヌ、削除少年団団長 少年Ｘなどが有名。
http://www.geocities.co.jp/SilkRoad-Oasis/8498/index.html

★復帰屋
2chのスレッドの修復を担う。２ｃｈの裏暴き井上玄が、元復帰屋である事は有名。

sci.mathで見つけた小さい位数の群の分類を載せているリンクだよ。

http://mathworld.wolfram.com/FiniteGroup.html
http://www-public.tu-bs.de:8080/~hubesche/small.html
http://unr.edu/homepage/keppelma/fgb.html
http://www.math.uga.edu/~jfc/groups/Groups16/Groups16.html
http://www.math.usf.edu/~eclark/algctlg/small_groups.html
http://neville.math.indiana.edu/~nathan/groupexplorer/index.html
http://www.math.usf.edu/~eclark/algctlg/small_groups.html

位数３２の群のリストだ。

http://www.math.uni-wuppertal.de/~green/Coho/32gps/

こっちのほうがやや詳しいかな？

http://www.math.uga.edu/~jfc/groups/Groups32/Groups32.html

google で "groups of order 32" で検索すれば一杯出てくるよ。

第五章≪2chの裏方要員≫

★プロ固定
2chの専業の煽り屋。「誹謗嘲笑」「煽り」「企業叩き」「情報操作」「漏洩した情報のネタ化」「注目を集める為のスレッド立て」が仕事。
金土日、歌丸、良識、犬神明などが有名。
プロ固定自身による内部告発HP（管理人は、上記、四人の内の一人）
http://www.geocities.com/kotehan1/
プロ固定の内部告発コピペ
http://www.megabbs.com/cgi-bin/readres.cgi?bo=2ch&vi=1047117994&rs=180&re=181&fi=no
プロ固定が持ちいる掲示板システム
http://memb21.hp.infoseek.co.jp/tyousei/gensan.html

★マーク屋
大手サイトを巡回し、2chの情報漏洩を監視する役職。
裏情報が出る度に、「バカだ」「ネタだ」と煽り、内部告発者をキチガイ扱い、ネタ扱いする。

★トルマリン記者
2chのニュース速報板に、スレッドを立てる権限を持っている。表向きは、ボランティアから構成されている事になっているが、専業の盛り上げ要員。
トルマリン記者の内部告発のコピペ
http://www.megabbs.com/cgi-bin/readres.cgi?bo=2ch&vi=1057568646&rs=50&re=53&fi=no

★ターミネーター
2chの運営と削除を担う。表向きはボランティアだが、上級ターミネーターは報酬を得ている。
削除ガイドラインに基づき、問題スレッドやレスを削除する事になっている。
が、アクセス数を稼げる「個人攻撃」や企業叩きのスレッドなどは、理由を付けて絶対に削除しない。
削除忍（引退後、「異邦ジン」の名で生息）削除たもん君、削ジェンヌ、削除少年団団長 少年Ｘなどが有名。
http://www.geocities.co.jp/SilkRoad-Oasis/8498/index.html

★復帰屋
2chのスレッドの修復を担う。２ｃｈの裏暴き井上玄が、元復帰屋である事は有

>>134
しつこいよ。

>>128
アンタ数学やめなマジで。

>>126
16とか24とか32とかまでやってみるまでもなく、
18とか20とか28とか30とかの簡単な場合をやってみるだけでも、
だいぶ「例外がありそうだな」って思えるようになると思うよ。
「十いくつくらい」までやってるなら、その勢いでもうちょっと遊んでしまおうぜ。

もちろん、あなたの言うように「例外があるに違いない！」という「感覚」に過ぎないから、
実際に自分で例外を見つけない(或いは例外の載っている文献を読んで納得しない)限りは
「感覚」でしかないのだけれど。

>>137

そうだねー。
（有限）群論は、しょっちゅう例外が出てくる分野です。
確証がなかったら、何でも疑っておくのがいいです。

>>126
位数１０いくつまでしか調べてないのに
よくそんなこと言えるもんだと感心してしまったよｗ

>>126
他人の結果を盲信する奴は、確かに数学やめた方がいい。
同様に、たった数個の例を経験しただけで感覚が身についた気になり、
それ以上先に行こうともせずに、
知った風にあれこれ論じようとする奴も、
同じくらい数学に向いてないと思われるので、数学やめた方がいいよ。
マジで。

>>136
マジなら、ちゃんと説明してみろ。
何故俺が数学やめなきゃなんないの？

あれだな。
126の態度をわかりやすく数学初学者に例えると、
実数値関数について、一様連続の概念を覚えたてで、
十数個の一様連続性を自分で調べた段階。
で、すべての点で連続ならば、一様連続じゃないかなあ、と予測。
しかしそれについて、確かめようとするわけでもなく、
「例外があると感覚的にわかるだろ」と言ってる奴とぐだぐだ言い争う。
もうちょっと例に触れてみればわかってくるよとアドバイスされても、無視。

>>140,142
あのぅ、「まだ」と言ったんでつが読んで頂けませんでしたか。
先に進むつもりがないとかもうちょっと例をいじるようアドバイスしても無視とか、
猛烈に誤解されてるようでつね。

二つ三つ例をいじっただけでも共通点や傾向性をいろいろ見い出して、
それらが他の例でもやはり成り立つかどうかﾜｸﾜｸしながら他の例に手を出していくのも
数学の楽しみの一つではないでつか。
例外の存在を鵜呑みにする前にその実例を見たいと思うのは当然ではないでつか？

>>137
サンクス。
やってみるよ。

>>143
自分に都合のいいレスにだけレスすよなよ。

幼稚な想像でﾜｸﾜｸするのは勝手だが、
感覚的に自明なものを感覚的に自明だと言っている奴に
数学やめた方がいいなどとのたまうのはどーなのよ？

今回のは、有限群論を普通に「かじった」奴にとっては、
感覚的に自明に「反例がある」タイプのものなんだよ。
32でなくても、64、128、…と調べていけば、
「必ず」共役類分解が同じで同型でないものがある、と確信できる。
「正しいかどうかわからないのに鵜呑みにする」のとは訳が違う。
あなたのは、あまりに稚拙な感覚なの。わかる？

126って、なんつーか、口だけは偉そうな角の三等分厨とレベル変わらんな…

もういいや。付き合うだけばかばかしい。

先に進んでいくうちに、126も自分がどれだけ非常識なことを言ってたか、
自ずと悟るだろうさ。

>>145
鵜呑みにするﾔｼに対してしか数学やめた方がいいとは言っていませんが。
今回漏れの無知が露呈してたとしても
(実際始めに十いくつまでしかいじってないことは言ってある)
漏れが言ってないことまで捏造するのはﾔﾒﾚ。
つーか藻前もかなり感情的だな(w

第一章≪２ｃｈ、あめぞう乗っ取りの歴史≫

学生時代、『実録！交通違反をもみ消して罰金を払わない方法』HPを立ち上げる。
1999年4月頃、世界初のマルチスレッド式掲示板『あめぞう』に、ひろゆきのNHでデビュー。
☆この当事の博之の主張「おいらは、米国アーカンソー州ユニバーシティーオブセントラルアーカーソンに留学中」

この前後、『あめぞう』に荒らしが到来し、不調を来たし始める。
ひろゆきの登場から一ヵ月後の1999年5月30日。ひろゆきは、勝手に『あめぞう』のマルチスレッド式掲示板をパクリ、
避難所として『２ｃｈ』を創設する。
☆この時の博之の主張「避難所として２ｃｈを作りました」「学生のお小遣いから、日本のサーバーを借りて運営しています」

第一章「あめぞう」乗っ取り-２



その少し前の5月22日、『あめぞう』の内部告発板に「京都市バス事件」スレッドが立つ。同和関係者が不当な利益をむさぼり、横暴を働いている事を訴える内容。
後に、このスレッドが、『あめぞう』閉鎖の原因となる。
翌６月３日、東芝サポートへのクレームHP（かの有名な東芝事件）が『あめぞう』で紹介され、『あめぞう』と２ｃｈで東芝叩きが生じる。
後に、この事件がマスコミでも取り上げられ、２ｃｈは集客に成功する。
5月末から6月初に掛けて、『あめぞう』の内部告発板のスレッド「京都市バス事件」の内容が、“何者かによって”同和団体に密告されてしまう。
これにより、あめぞう氏は呼び出しをくらい、6月19日、内部告発板を強制閉鎖させられる。
http://www16.tok2.com/home/asyura/sora/bd19992/msg/586.html（阿修羅）
その後、『あめぞう』の不調が続き、遂に、あめぞう氏は消息不明となる。
自動的に、『あめぞう』の常連が２ｃｈへと流れ、２ｃｈが台頭し始める。
http://homepage3.nifty.com/BWP_XP/nonframe/links/hiroyuki.htm（The Battle Watcher ANNEX）

同年7月30日。あめぞう氏不在の『あめぞう』のあめぞう速報板において、「２ｃｈ打倒の切り札」というネタスレッドが立つ。
このスレッドにおいて、途中、ひろゆきの友人が“西村博之”のHNで登場。ついでに、ひろゆきが学生ではなく、東京アクセスの社長であり、ひろゆきが経歴と身分を詐称していた事を明らかにする。
http://www.d-t-v.com/takaon/2ch/datou.htm（あめぞうのログのミラー）
留学中ではなく日本在住。学生ではなく社長。小遣いでサーバーを借りてたのではなく、自分のサーバーを使っていた事が判明。
騙されたと、あめぞう住人から批判の声が上がるが、ひろゆきは悪びれた様子もなく、実は、クリックレート（広告料）欲しさに２ｃｈを作った事を告白する。
これ以降、旧あめぞう住人の間から、「荒らしを行い、同和団体に密告した犯人は、ひろゆきではないか？」「『あめぞう』を乗っ取る為に、ひろゆきが仕組んだのではないか？」という疑いが浮上する。

第二章≪２ｃｈ創設期に関わった人物≫

この２ｃｈの独立前後、ひろゆきは二人の重要人物と出会う。

ひろゆきのパートナー切込隊長こと、山本一郎（現在決裂）
メディアプラス東京株式会社社長。
バレッタテクノロジー社の大株主。
流出した経歴↓
http://memb21.hp.infoseek.co.jp/all24/news2.html
［経歴の注目すべき点］
１）慶応義塾大学時代、中道右派系学生自治会の委員長を務めていたこと が判明(1999)
２）投資業、投資顧問業、技術評価コンサルタント
大株主＋右翼＋投資家＝総会屋の可能性あり。

２ｃｈのサーバー運営者、夜勤こと中尾嘉宏。（現在解雇）
サーバー屋の株式会社ゼロの社長。
「bbspink」「pink-TV」などアダルト関係のサイトの運営者。
出資法違反の前科あり（1997.05.06　共同通信記事に記載）
その他、児童買春斡旋、pnik-tvのログ販売などの前科あり。
IP販売を行っている疑いあり。
夜勤（中尾嘉宏）のIP販売疑いを巡るログ↓
http://memo2ch.at.infoseek.co.jp/accuse.html
夜勤の犯罪暦を巡るログ↓
http://memo2ch.at.infoseek.co.jp/accuse2.html

第三章≪２ｃｈのIP販売と総会屋≫

1999年7月。2chで人材派遣会社ヒューマンライト叩き勃発、注目を集める。
2000年5月3日、2chで誹謗嘲笑された17歳の青年が、犯行声明？らしきスレッドを立て、西鉄バスジャック事件を起こす。
TVで2chが取り上げられ、アクセス数が巨大化し始める。
以降、どういう訳か、数あるアングラサイトの中で、“2chに限って”世間の注目を集める事件が続発し続ける。

事件の続発で注目され、また、「完全匿名制」「IPを取っていない」がうけ、2chのアクセス数が一日数百万単位にまで上昇し続ける。
一日、300万から400万ヒット。最大、1600万ヒットともいう。
しかし、2001年7月2日、2chが常時IPを取っていた事が発覚する。
その時の告発スレッド。
http://teri.2ch.net/accuse/kako/994/994043809.html
そのIPが保存されていたディリトリのミラー↓
http://web.archive.org/web/20010712082518/www.dragoncity.ne.jp/~skgjdekd/dat/?D=A
☆関連
http://www.ichigobbs.net/cgi/readres.cgi?bo=2ch&vi=0072
http://1ch.tv/thread.php?th=1172&ar=35&ca=10

第三章・２ｃｈ裏商売-2



実は、この一事件に限らず、既に創設間もない頃から、IP習得の事実は幾度も発覚している。しかし、その度に情報操作によってネタ化され、もみ消されてきた。

2001年8月、2ch閉鎖騒動勃発。原因は、転送量の超過。2chのUNIX板の住人がプログラムを改良し、危機を乗り切る。
しかし、この後に、閉鎖騒動に関する裏話が多々流出する。
「２ｃｈは、陰でIPを取っている。大手通信社にIPログを売り、キックバックを得ている」
「閉鎖騒動は、夜勤氏の自作自演だった」
「閉鎖騒動の前、2chはキックバックの交渉に失敗している。これが閉鎖騒動を誘発する原因となった」
以下、それを裏付けるソース及び告発内容。
☆ライター星野陽平の取材
http://www.geocities.co.jp/HeartLand-Hanamizuki/6143/shiryou/2chan.html
☆内部告発のコピペ
http://memb21.hp.infoseek.co.jp/friend-v/question_1.html
☆２ｃｈ内で漏れたIP販売に関するコピペ
http://memb21.hp.infoseek.co.jp/2001/213.html

以降、2chがIPを陰で売っているという裏情報が流出し始める。

第三章・２ｃｈ裏商売-3



2001年8月9日、ascii24において、2chが企業から削除依頼料を受け取っている事が取り上げられる。
しかし、抗議を受け、記事の内容は削除される。
その記事のミラー↓
http://memo2ch.at.infoseek.co.jp/article.html
☆関連
http://ascii24.com/news/reading/causebooks/2002/07/01/636911-000.html
2001年、情報雑誌サイゾーの12月号においても、２ｃｈ総会屋説が記事となる。
http://www.ultracyzo.com/cyzo/contents/0212/karakuri/01.html

以降、2chが総会屋として機能している情報が幾度も流出し始める。
IP販売と総会屋に関して流出した情報のコピペ↓
http://memb21.hp.infoseek.co.jp/2001/214.html


経歴詐称と身分偽証で『あめぞう』にデビューし、『あめぞう』を乗っ取った西村博之。
創設以来、ひろゆきは「２ｃｈを商業化する気はない」「赤字運営だ」と主張してきた。
しかし、過去、２ｃｈの関係者の一人である金土日（星山●●、李●●）が、「ひろゆきの年収は二億だ」と口を滑らせたが事あり。
実は、２ｃｈには、代表的な裏収入として、二つの噂がある。
それこそが、IP販売と総会屋（企業揺すり）だ。
繰り返すが、切込隊長（山本一郎）は総会屋の疑いがあり、夜勤（中尾嘉宏）は過去pink-tvのIPログを売った疑いがある。

ある体のガロア拡大のガロア群がモンスター群になる事はありますか？

>>147
あのさ、128は別に何でもかんでも鵜呑みにしているわけではないと思うが。
水星の存在とかと同じくらいに「感覚的な自明」だと
言ってるだけじゃないの？

君も他人の頭の中を勝手に決め付けない方がいいよ。
あと、無知だからどうだと言ってる訳でもない。

位数32の非可換群に「共役類分解一致で非同型」の反例あるよ。
位数32の非可換群は44個ある(ぴったり44個であるかはともかく、
少なくとも44個あることは、上記のカタログとかを丹念にチェックすれば、
自力で確かめられる。）
一方、位数32の共役類分解のパターンについては、「どの共役類の元の個数も
32の約数で、かつ2以上の2の冪」って条件を満たすパターンを網羅すれば、上界を求められる。
こんな初等的な評価のみでも、36個という上界が得られる。
36個以下のパターンで44個を網羅してるから、鳩の巣で証明完了。

どうでつか？

>>155
128はあまりに下らないからスルーしたんだがちゃんと128にレスしなきゃダメか？

共役類の元の個数についての条件で「２以上」というのは間違いだよ。
反例{e}
これを「１以上」にして同様に考えると44どころかもっともっと沢山になる。
よってそれは証明として不成立。

>>136, >>157
ちゃんとしたレスを待ってるんだけど。レスしないなら説得力のある説明が
できないということで>>136は．．．

数えてみたら201通りだった。
計算ミスの可能性もあるから他にも誰か計算してみれ。

自分で確かめないと信用しないというのはその人のかってだけど、
それだと世界が小さくなるよ。実際、そのやり方だと数学の専門的仕事は
不可能だろう。

>>158
2以上でいいんだが。
元1個の共役類はまとめて一つと数える。
その群の中心になる。
共役類分解の基本かと。

学問的興味対象に対する鵜呑みする/しないと、ニュースの真贋を混同している。
FLTが証明されたというニュースが真かということとその証明を理解してFLTを納得したいという興味は別物。
前者は疑わなくてもいいと思うが、その分野を扱う者が後者の興味を持たないというのはどうか？
水星については漏れは専門家でもないしたいして興味も無いから
突然学説が覆って水星が存在しないことが判明しても別にどうでもいい。
そんな漏れは水星の存在を鵜呑みにしても構わないが
天文学をすべきではないと思う。

>>162
あ、そうか、そうだ、ごめん。
でもそれだと「位数いくつの」共役類の元の個数について、まで一致するかどうかは考慮されてないよね？
各元の位数及びそれらの共役類の元の個数まで一致する同型でない有限群の存在証明にまではなってないよね？
証明を2chで聞こうなんて漏れもどうかと思うが。

＞水星が存在しないことが判明しても別にどうでもいい。

やっぱ有限群論なんかやるやつはおかしなのが多いね。

>>165

っていうか、このスレで有限群論やっている人って1人でも書き込んでるの？

>>164
そうですね。
最初の目的(?)からするとあんま役に立たんことを証明しただけっぽいね。

>>161
同意。
信頼できる情報筋からの情報しか利用しないよな。
それに確かめずに利用するのはメインの興味対象ではなくその人にとって道具にすぎない部分ではないか？

伸びてると思ったらほとんどが言い争いとコピペかＹＯ

　　　　　　　　　　　　　　　／￣￣￣￣＼　　　　　　　／￣￣￣￣｀＼
　　　　／￣￣￣＼ 　　　彡　 ＿＿＿＿_>　　　　　（　　;; ＿|＿|＿|＿|
　　　 |　ﾉﾉﾉﾉ人((((）　　　彡.／　　＿　＿|　　　　　 ｜;;ノ　　　 ＼,, ,／ヽ
　　　 |（6 ー○-○|ﾉ　　　（６　　ー□―□　　　　　　（６　　　 ー◎-◎-）
　　　 |:::|ヽ　　　.> |　　　　彡　　　　　 , ）｜　　　　　｜　　（∵　（ o o）∴）
　　　 |ミ　　　(ｰ-/　　　　'ゝ 　　 　 / ｰ-｜.　　　　　｜　.　<　　∵　３　ﾉ
　　 　 ゝ ､ ,;;;;;;;;;/　　　　　　＼_　　　　_／　　　　　　　 ゝ 　ヽ 　　　　_ノ
　　　／　　 　　＼ 　 　　　　／　　 　　＼ 　 　 　 　　／　　　　　 　＼
　 ⊂ 　） 　　 ﾉ＼_つ 　　 ⊂ 　） 　 _ノ＼_つ　　　⊂　　　） 　 　 _ノ＼_つ
　　　 （＿⌒ヽ 　 　 　　　　　（＿⌒ヽ 　　　　　　　　　　（＿⌒ヽ
　　　　　ヽ　ﾍ　} 　　　　　　　　ヽ　ﾍ　} 　 　　　　　　　 　 ヽ　ﾍ　}　　ずんずんずん
　.,,ε≡Ξ　ﾉノ ｀J 　　　　..ε≡Ξ　ﾉノ ｀J 　　　　　　...ε≡Ξ　ﾉノ ｀J
盛り上がってるぜ！！！！！わっしょ〜い

>>163
有限群論の専門家でも有限単純群の分類を自分で確かめた者は極少数
だろう。君の論で言うと、それ以外の有限群の専門家は数学者失格
なのか？

p,q:奇素数, p<qのとき
F_qでx^p=1となるxは1だけというのは成り立つでしょうか？
もしそうなら位数が奇素数の積の群は巡回群のみというのが簡単に言えるんだがなぁ。
厨な質問ｽﾏｿ。

2^3≡1(mod 7)ではないですか

>>172
ていうか、
> もしそうなら位数が奇素数の積の群は巡回群のみ
めっちゃ偽の命題ですが。

p,q:奇素数, p<qのとき、位数pqの群は、
q≡1(mod .p)なら２つある。
そうでないなら巡回群のみ。

>>173
あ、ホントだ(爆)。サンキュ。
こんな小さいところで…。自己嫌悪…。

ｎを有限群Ｇの位数の約数とする。x^n = 1 のＧにおける
解の個数がきっかりｎならこの解全体はＧの部分群になる
という予想があるらしい。証明も反例も見つかってないらしい。

>>174
サンキュ。
2個？何故2個なんだああぁぁぁ？
さっきのx^3mod7は解が三つあったからそれぞれに対応して群があるかと思ったのに…。
さすがに位数21で乗積表全部書いて確かめるのはやりたくない…。

>>177
1以外の解でできる奴はみんな同型になるよ。
同型であることを示すのはちょっとめんどいけど、
数論の知識を使ってうまく同型写像を創れば何とかなる。

>>176　ホール「群論」上 の154ページによると、

>　もしnが群Gの位数を割り切り、Gの中でx^n=1 が丁度n個の解を持てば、
>　それらの解全体はGの正規部分群をなす。

　…という問題が挙げられていて、その時点では「予想」となっているね。
ただし、1976年の本だからそれから解決しているのかも。

>>179
x^n = 1 の解全体が部分群となれば、それは自動的に
正規部分群になりますね。

>>180

うん。その点書き忘れていました。
だから、実質的には部分群であることを証明すればいいわけだね。
部分的にでも解決or否定されているのかな？

>>181

自己レス。ホール「群論」上 の162ページにちゃんと部分的に
解かれていたね。

　>(定理9.4.1)　Gを位数gの可解群、nをgの約数でx^n=1が丁度n個の
　>解を持つような数とすれば、それらの解全体はGの正規部分群をなす。

有限可解群（≧べき零≧可換≧巡回）に対してはOK。
有限非可解群に対してが問題になるわけだね。

>>182
昔Hallの本を読んだことがある。その定理を思い出した。
ファイト−トンプソンの定理から位数が奇数の群は可解だから、
調べるのは偶数位数の群で可解でも単純群でもないものですね。
組成列の成分の一つとして非可換単純群を持つものと言ってもいい。

良ｽﾚ(喜)

シャインの名を出すと暴れだす馬鹿がいるな（ｗ

age

ってか、シャインって一体誰？

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∧＿∧
◎ 　　　　　　　　　　　　　へ　　　　　　　　 　（´<_｀　） >>1逝けよ
　 ＼ 　　　彡三三三三彡ヽ￣￣￣￣￣￣⌒　　　　＼
　　　　　　 （⌒　⌒　::::::::川 ￣￣￣￣￣＼　　　　　　 ）
　◎-○一（　*　*　　　:::::ミ　　　　　　　　　 |.　　　　　　|
　　　　　　（（。。（( （　;;-＝-￣＝─￣ '⌒ヽ〉 　　　　|　|
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位数８の群の同型類をどうやって求めるの？
参考書を見ないで解ける？

>>189
まず可換群の場合をさっさと片付け。これはらくらく。

後は非可換の場合。
非可換にすれば、それには位数4の元aが必ず存在することを言って
（なぜ存在する？）、そこから話を展開すれば大丈夫。

特殊線形群SL(n,R) 直交群O(n)　特殊直交群SO(n)
ユニタリ群U(n) 特殊ユニタリ群SU(n)　　の
次元　、　連結成分の数を求めよ。
Lie群の初歩らしいのですが。
お願いします！

ぐ、群論の星だと〜！！！

群論つーと無意識で有限群あるいはせいぜい有限生成アーベル群までに限定してしまっていた漏れって一体…？
てゆーかそうでない群扱うのって主にトポロジーの人たちだよね？
うん、きっとそうだ。

イデール群

普通、群論というのは位相を考えない。位相群論は別の分野
と考えたほうがいい。

りぃぐん？いそうぐん？
なにがちがうの？
なんどきいてもすぐこんらんしまつ。

>>190
俺は今のところ一個しか位数８の非可換群を見つけてない。
群論の本を見ればいいんだろうけど、それはしたくない。
この問題は結構むずかしい（俺には）。

>>197
口を突っ込みたくなるﾔｼがｳｼﾞｬｳｼﾞｬ出てくるぞ。
かく言う漏れも…

でもこの程度の書き込みが気軽に出来ると学部生も書き込めて良ｽﾚ化のﾖｶﾝ。
少し前の状態だとある程度専門知識ないとﾁﾄきつい。

>>197

そちらが見つけた非可換群はどちらのほう（D_4 or Q）？
位数8の有限群の非可換群はもう1つあるから、あと1つ残っているね。
（見つけたとして）その2つが非同型だというのは、位数2の元の個数を
比較してわかるよ（ほかの方法もあるけど、これが一番カンタン）。

あ〜あ、答え言っちゃった。
197は個数も含め自力で調べたかったんじゃない？

>>200

ごめんごめん。199は見なかったことにしてね。
非可換な場合は位数4の元aが必ず存在するから、そこからはじめます。
幸運を祈ります。
（位数4の元aが存在性も証明しなきゃいけないけれども。）

>>201
もう一つの非可換群も今日自力で見つけた。ついでにもう一個見つけた
（計３個）けど、最初の２個は確実に同型でないが３個めは、
最初の群と同型らしい（確かめたわけではない）。

>>202

もう1つのも見つけたの？よかったね。
じゃぁ答えからいうと、位数8の有限群は、可換群が3つ、
非可換群が2つで、合計5つあるよ（正確には、同型を除く意味で）。
非可換群2つの非同型性は確かめられた？
この2つは位数2の元の個数が違うからね（確かめてみてね）。

可換群のほうの構造は、「有限生成アーベル群の構造定理」を
知っていれば一発で終わるんだけど、そちらはまだ知らないかな？
だから、この手の問題は非可換群に関する話がメインになります。

>>203
非可換群が２個という、その証明の概要を出来たらここで
お教え願いたい。（ペコリ

>>204
ttp://www.kojin.or.jp/nyanbaz/fin_grp/classification/cl_8.html
ここなんか参考になるんでないかい？

>>204

場合分けして、それぞれの場合について「この場合にはこの群しかない」というのを１つ１つ確定していって、
全部の場合を尽くせば、その時点で可能性のある群すべてを洗い出すと同時に他には存在しないこともわかることになる。
だから、分類作業を隈なくやっているのなら、分類作業が終わった瞬間に「２個しかない」ことの証明も完了してることになる。

要するに虱潰しなんだけど、そこをどう効率よく場合分けして少ない場合わけで済ませちゃうかが醍醐味っちゃ醍醐味。

>>205
それを見る前に自己解決しそう。
１以外の元がすべて位数２なら可換群。したがって、位数８の
非可換群Ｇは位数４の元をもつ。この元で生成される部分群Ｈは
指数が２だから正規である。Ｈの生成元をａとし、Ｈに含まれない
Ｇの元の一つをｂとする。bab^(-1) はａ^3である。
ｂの位数が２または４により２個の同型でない群が得られる
のではないか？

>>205

代わりに参考URLを紹介してくれてありがとう。
テキストでは正規部分群の記号や半直積の記号が出せないからなぁ。

で、位数8ができたら、位数2p[p:素数],pq[p,qは素数] なんてやって
みると、もっと面白いよ〜。

12もおもろい。

>>207
> 指数が２だから正規である。Ｈの生成元をａとし、Ｈに含まれない
> Ｇの元の一つをｂとする。bab^(-1) はａ^3である。
> ｂの位数が２または４により２個の同型でない群が得られる
ｂの位数が２のとしても、Ｈに含まれない別の元の位数が４のこともある罠。

>>210
bの位数が２なら、ba, ba^2, ba^3 の位数も２であることが
bab^(-1) = b^3 より出る。

↑bab^(-1) = a^3 の間違い。

ｂの位数が４のとき群が１つしかないのはどうしてわかるの？

ていうか、G=<a, b>＆a^4=b^4=1＆bab^{-1}=b^3だけじゃ群構造決定しきってないよね・・・

>>213
bab(-1) = a^3 より
G = {1, a, a^2, a^3, b, ba, ba^2, ba^3}の乗法は完全に
決まるから。

↑bab^(-1) = a^3 とb^4 = 1より

>>214
確かにまだ一意に決まってないね。
まあでも、たぶん>>197はわかってるんじゃないかな。できる奴っぽいし。
>>215の発言だけ見るとかなり危ういけど。

>>217
たんま。もうちょっと考えてみる。

bab^(-1) = a^3 と (b^2 = a または b^2 = a^3)で決まる。
b^2 = a の場合と b^2 = a^3 の場合は同型だろう、多分。（ｗ

>>219
ダウト。

>>220
b^2 = a^3 は有りえない。よってb^2 = a で決まり。
解決だな。（ｗ

「(w」 は余計だろう。

>>221
全く解決してないよ（ｗ
1=b^4=(b^2)^2=a^2 となるが、それでいいのか？

>>223
b^2 = a^2 の間違いだった。少し（というか大分）酔ってる。

ほろ酔い気分で群論とは、なかなか風流だねい。

おやすみ、皆。

おつ

>>197
おつかれさま。
まぁゆっくり休んで、また興味が出てきたら、上述したように、
位数2p,pq,12あたりに挑戦すると面白いかもね。
既出かどうかは知らないけど、30(=2*3*5)も面白いんじゃないかな？

でも、（有限）群論を4年で選ぶのでなければほどほどに(^^;。

数学はほろ酔いなどリラックス状態でやるのが醍醐味。
197には2年の群論の単位あげていいでつか？
漏れ的にはいいと思いまつ。
やらせればどんどんやりそうなので位数12,p^2,pq位で追試して少しだけいじめてから(w

数学はほろ酔いなどリラックス状態でやるのが醍醐味。
197には2年の群論の単位あげていいでつか？
漏れ的にはいいと思いまつ。
やらせればどんどんやりそうなので位数12,p^2,pq位で追試して少しだけいじめてから(w

>>230

ん？
p^2-群はすぐ終わるような気がするよ（可換群だと分かるからね）。

これは2pかp^3-群の間違いかな？
だったら、難易度的には 12 ＜ pq ＜＜ p^3 [p:素奇数] かな。
2pだったら、 2p ＜ 12 ＜ pq　でしょう。

2pが4pや8p、さらには16pなんていう間違いだともっと難易度は上がります。

位数16はどうやるのかな？
位数８の非可換群を部分群として持つ場合が最も難しいかな。

>>232

ん？p^4-群に挑戦しようというのね。
正直、これはやめておいたほうがいいよ〜。ムチャクチャ難しいです。

片手間では無理なレベル。
（Burnsideなどによる既知の事実だけれども、）卒論レベル以上だと思う。
私だってどうするか知らないよ（結果だけは知っているけれども）。

p^4の場合、p=2,3,5以上 の3通りに分けて考えることになるのだけど、
そのp=2の場合がまた特に難しいんだね。
（一般に、p-群関係では（唯一の偶数素数）p=2の場合の扱いが面倒で
あったり、例外扱いされることが多くて面倒なのですね。）

>>233
今日ちょっと考えたんだけど、位数１６の群Ｇが位数８の
非可換群Ｎを正規部分群として含むとする。
Ｎの自己同型群をA(N)、内部自己同型群をI(N)と
すると、I(N)はA(N)の正規部分群である。A(N)/I(N)の
位数２の元を求めることが最初のステップかなと思ったん
だけど、どうかな？

>> 234

その方針で正しいかどうかは私は知らないよ。
でもそうだという仮定でアドバイスしますね。

すると、位数8の非可換群Nを正規部分群として含む場合だけれども、
それはきのうがんばったように、NはD_4かQに同型だよね。

すると、それらの自己同型群Aut(D_4)やAut(Q)を求めることが必要に
なってくるね。
これらも相当（とは言わなくても、学部の共通の群論のレベルを超えている）
難しいよ。
結果からいうと、Aut(D_4)=D_4 自身、Aut(Q)=S_4 （それぞれ、= は
正しくは同型の意味で）なんだけど、まずそれから言わなければ。

前者の証明は私も以前やったことがあるけど（もうすでに忘れた）、
後者の証明はちょっと知らないな。


でも。本当に、4年のゼミで（有限）群論のゼミに入ることを希望
するのでなければ（いや、仮にそうだとしても）、位数16だけはやめた
ほうがいいと思うよ(^^;。ホント、群論マニアになっちゃうからさ。
他の科目に差し支えない程度にやりましょう(^^;。

群論マニアになってどこが悪いんでしょ？
俺は学部時代に31までの群の分類をやって、修士は全く関係ない方向に進んだ。
でも後悔したことは一度もない。無駄なことをやるって大事よ。

もっとも16については鈴木通夫さんの練習問題のヒントを見ながらやったし、
他にも24とか27とかは色々調べながらやったから、完全な独力ではないけどね。

とはいっても、さすがに４年でやってたらまずそうだけどな。

俺は５０過ぎの会社員なんだが．．．

というのは冗談だよ（ということにしておこう）。
で４年では何やったらいいの？

>>231
p^2の時が可換だってしっかり証明出来る学生少ないのよ(泣)
先に書いたのくらいで単位出さなかったら大部分の学生単位なくなっちゃう。
てゆーかあれくらいが出来ればかなり優秀な部類になってしまう現実…(泣)

>>231
pqより12の方が難しいと思うが、どうか。

勘だけど、位数３１以下だと一番難しいのが１６、次が２４かな。

1<p<4<2p<15<p^2<<8<21<30<12<28<20<18<<27<<<24<16
で、どうだろう？

>> 241

あ、そうだね。よく考えたら12のほうが難しいね(^^;。

ただ、pqにも捨てがたい（？）点があって、p,qが「ある性質」（まだ
知らない人もいるだろうから、一応伏せ）を満たすとき、巡回群以外の
群が現れるわけなんだけど、そこで出てくる群の扱いがやや面倒です。
（いくつも出てくるように見えても、実はどれも同型である、など。）

>>236

あ、ごめんごめん。別に他意はないから許してね。
これに余りにも熱中しすぎて、他分野（解析とか位相とか）単位を
落とすような人が（ほかに）出てきたら、あれかなと思って書きました。
（もっとも、大学生になったらそんなのは全部、自己責任だけどね。）

>>242

うーん。そうだろうね。
一番手が16、24あたり。次候補が27(=3^3)かな。
ちなみに、31以下では異なる3素数の積となる30(=2*3*5)は、上記に
比べるとだいぶ易しいけど、Sylowの定理をばりばり使えて面白い
ところですね。

Gの正規部分群の正規部分群は必ずGの正規部分群になる？

>> 245

一般にはならないよ。
G=S4,N=V(=C2×C2)[俗に言うクラインの四元群]、M=C2 とすれば、
NはGに対して正規、MはNに対して正規だけど、MはGに対して正規じゃないよ。


群Gの部分群Hが、群Gのどの自己同型でも不変となるとき、つまり、
Aut(G)の任意の元fに対してf(H)=H なるとき、HをGの特性部分群と
いって、H char G であらわすのだけど、これについては、次のような
「遺伝」が成り立ちます。

　　K char H , H char G　→　K char G

おまけ。

　(1)　H char G ならば HはGの正規部分群であることを示しなさい。
　(2)　逆にHがGの正規部分群であれば、H char G となるか？
　　　 必ずなるなら証明し、ならなければ反例をあげなさい。

(1)は、fとしてあらゆる内部自己同型がとれるから自明として、
(2)は遺伝的性質を鵜呑みにすればS4の例が反例になるだろうな。
そしたら遺伝的性質の証明とS4の例の確認をしなきゃ。
めんどくさいな…。

てゆーか自己同型と内部自己同型の違いについてが良くわからない。
内部自己同型以外の自己同型ってどんなのがあるんだろう？
自己同型群の内部自己同型による剰余類群の一般論なんかは何見ればいいかな？
やっぱり鈴木通夫？

内部自己同型と自己同型の違いが正規部分群と特性部分群の違いになり、遺伝的性質の有無を分けるのか。
かなり重要な違いだな。

以下は俺が昨日考えたこと。
N を群 G の正規部分群として G/N = H とする。
N の自己同型群を A(N)、内部自己同型群をI(N)で表す。
G から A(N) への準同型ΦをΦ(g)(x) = gxg^(-1) で定義する。
G → A(N) → A(N)/I(N) の合成写像をθとする。
N はθの核に含まれるから準同型 G/N → A(N)/I(N) が得られる。
つまり、準同型 H → A(N)/I(N) が得られる。
H が位数2の巡回群の場合、G - N の元 g を一つとると。
g^2 は N に含まれるからこれを n とおく。
G の任意の元は x ∈ N として xg^i と書ける。ここに i は
0 または 1. (xg^i)(yg^j) = x Φ(g^i)(y) g^(i + j) である。
i + j = 2q + r (0 ≦ r < 2) とすれば、g^(i + j) = (n^q)g^r
と書ける。よって(xg^i)(yg^j) = x Φ(g^i)(y) (n^q)g^r
である。x Φ(g^i)(y) (n^q) は N の元だからこれを z とすれば
(xg^i)(yg^j) = zg^r と書ける。Φ(g^2) は N の内部自己同型
だから、Φ(g) は A(N)/I(N) において高々位数２である。
つまり、n ∈ N とΦ(g)が与えられると N だけの情報から
G の乗積表が得られる。

以上は昔、群の拡大を少し勉強したことが影響してることは確か
だけど、大分昔なので詳しいことは殆ど忘れている。

>>247
K char H , H char G　→　K char G
これの証明は簡単というか自明かな。Φ が G の自己同型なら、
Φは H の自己同型Φ'を誘導する。Φ'(K) = K だから、Φ'(K) = Φ(K)
より Φ(K) = K となる。

>>251
あ、そやね。
メチャメチャ自明やん(爆)

>>248

＞ 自己同型群の内部自己同型による剰余類群

つまり、Aut(G)/Inn(G) のことだよね。
（Inn(G)はAut(G)の正規部分群になることはちゃんと言わないとダメ。）

これを外部自己同型類群といって、Out(G)と呼ばれることがあるという
ことが、確かにその本には書いてある（上.P45）けど、それ以上のことは
言及されていないね。Out(G)が活躍するところはあるのかな？

>>253
>Out(G)が活躍するところはあるのかな？

>>250で書いたように群の拡大の問題に現れる。
群の拡大の問題というのは群 N と H が与えられたとき
G/N が H と同型になるような G を求めること。

>>254

あ、そうだったね。そういえばそういう話もあったね。群の拡大の理論で。

ところで、245は当方のレスを理解した（実際に確かめた）のかなぁ。
あれがレポート問題で、そのまま（理解せず）出されたら嫌だなぁ(--;。

＃　あの問題で、最小の位数で反例を作ろうと思ったら、12かな？
＃　つまり、G=A4の場合。
＃　「最小位数の反例」ってのは、有限群論では予約用語に近いから、
＃　勝手に違う意味で用いるとまずいんだよね。

そういえば、p^4-群についてはBurnsideに書いてあるみたい。
（「群論」下、P477より）
でもあれの日本語訳の本は10,000円もするからなぁ。
数学の本って全般的に高いけど、10,000円は高すぎ(--;。

数学書で15,000円する本があるって聞いたことがあるけど、そりゃぁ
もっとすごいね。

>>255
バーンサイドじゃなくて鈴木通夫さんじゃないの？

>>256

うん。微妙だなぁ。

同本のP477には「n=4の場合はすでにBurnsideの§113-118にのっているが、
ここではその一部を述べるだけにしよう。」と書いてあって、「一部」と
いうことで、p≧5の場合についての理論が展開されているよ。

だから多分（私も未確認）、Burnsideのほうにはp=2,3の場合も載って
いるんじゃないかなと勝手に邪推(--;。間違っていたらごめん。

>>257
p=2,3の場合は演習問題として節末に載ってるよ。p.488-499。
演習問題といっても、ヒントが割と丁寧に書かれているので、
この本を読めるレベルの人なら独力でも解けるはず。
鈴木さん的には「難しい部分は本文で紹介するから、あとは独力でやれ」って
言いたいんだと思う。

バーンサイドの本(「有限群論」)はハッキリ言って読めたもんじゃない。
半直積の概念すら明確でなかった頃の書物なんで、議論がひっじょーに泥臭い。
シローの定理も今のような洗練された形で述べられておらず、とても回りくどい。
今となっては数学史の史料としての価値しかない。
もともと歴史的価値の観点から翻訳されたものだしね。

といいつつ、俺は暇なときに図書館へ行って眺めたりしてるんだけどね。

あと、ついでに補足すると、p=2,3の場合のp^4の群の分類は一応バーンサイドにも載ってるよ。
但しあれを読解できたら神ｗ　>>258で挙げた演習問題を自分で考える方が数百倍簡単。

>>258

あ、確かに。
私もあれは読んだことがあるけど、Sylowの定理が妙に回りくどかったり、
半直積の概念もあやふやだったし、なんとなく有限群論の黎明期（？）に
書かれた本を読んでいるような気がしました。

だから確かに「数学史の史料としての価値だけしかない」というのは
その意味であたっているかも。

p=2,3の場合も鈴木先生の本には練習問題として載っていますね。
私はあいにく今はそれどころではないのだけど、勇気がある人は
チャレンジしてみたらどうだろう？

p^4-群なんて、【本を見てやったとしても】きっちりできたら、
十分すぎるほど並以上だと思うよ。

>>255
心配ないよ。卒業生だからレポート関係ないから安心して。
しかし本当に(12)(34)を(123)と(132)ではさんだら(13)(24)になったねぇ。
気持ち悪っ、と最初思ったけど、そうでもないね。

InnＧがAutＧの正規部分群であることについてはいちいち証明する気にならん。
だってもし違うならInnＧの共役部分群てどんなのだよ？証明にはならないがありえないやん。
感覚的に自明、と言っていい事ではないか？

同型類調べる時、Sylow群が巡回群じゃなかったらどうするの？
20未満で(16は置いといて)12と18以外は簡単なんだけど12と18では出てくるよね。

>>261
＞InnＧがAutＧの正規部分群であることについてはいちいち証明する気にならん。

昔やったけど忘れたので、一応やり直してみた。
a, x を群 G の元としたとき、I(a)(x) = axa^(-1) とおく。
S を G の自己同型とする。
SI(a)(x) = S(axa^(-1)) = S(a)S(x)S(a)^(-1) = I(S(a))S(x)
よって、SI(a) = I(S(a))S。つまり、SI(a)S^(-1) = I(S(a))
であり、 I(a) の共役が確かに内部自己同型になっている。

>>263の証明をみると、Inn(G) は Aut(G) の特性部分群とは
必ずしもいえないようだ。これが特性部分群とならない例を示せという
問題を俺が出そう。簡単な問題かどうか知らないが。

有限群の理論というのは数学のいろいろな分野で顔を出す。
それもかなり深いところで顔をだす場合が多い。
Chevalleyによるリー型の単純群の理論はリー群と有限群の
関係を示したものと言える。これは、かなり驚くべきことだと
俺なんかは思う。数論幾何におけるWeil予想(Deligneにより解決)
とある意味似ている。連続と離散の深い関係。

>>262
どうするって、巡回群のときと同じように半直積をつくって自己同型群を求めて関係式を決定するだけです。
まあ、巡回群でない群の自己同型群を求めるのはなかなか手こずりますが。

>>258
>シローの定理も今のような洗練された形で述べられておらず、とても回りくどい。今となっては数学史の史料としての価値しかない。

Burnsideの本（の翻訳）は去年Amazon.jpで取り寄せた。
今、Sylowの定理の証明を見てみた。俺には結構わかりやすかった。
ただし、現代の数学の言葉に翻訳しながら読んだが。
参考のために俺が解釈したBurnsideの証明を次回に投稿しよう。

>>266

264と話題が重複するけど、巡回群など特殊な場合を除いては、ある
有限群GのAut(G)を求めることは非常に難しいです。
たとえばそれは半直積を構成するときに出てくるわけだけど、
結構難しいです。あらゆる総知識を総動員しなきゃ。

Burnside §３５の定理１
p を素数として群 G の位数が p^m (m ≧ 1) で割り切れるなら
G は位数 p^m の部分群を持つ。

Burnsideの証明（の現代的用語による翻訳）
|G| で G の位数を表す。|G| に関する帰納法で証明する。

(1) G の中心 Z が自明な場合。
G の共役類を C_1, ..., C_n として C_1 = {1} とし、
i > 1 のとき h_i = |C_i| とする。
類等式 |G| = 1 + h_2 + ... + h_s において、各 h_i > 0 で
ある。p がすべての h_i を整除すれば、|G| = 1 (mod p) と
なり、矛盾。よって、ある h_i は p で整除されない。
よって |G|/h_i は p^m を因数として持つ。
C_i に含まれる G の元の一つを g とし、g の中心化群を C(g)
とすれば h_i = |G/C(g)| であるから、|C(g)| = |G|/h_i で
ある。よって帰納法の仮定より、C(g) は位数 p^m の部分群を
持つ。
（続く）

Burnsideの証明の続き

(2) G の中心 Z が自明でない場合。
Z に含まれる素数位数の元 g をとる。H を g で生成される
部分群とする。H は G の中心に含まれるから正規である。
g の位数が p なら、|G/H| は p^(m-1) で割り切れる。
よって、帰納法の仮定より G/H は位数 p^(m-1) の部分群 H'
を持つ。 H' の G → G/H による逆像 H'' は位数 p^m の
部分群である。
g の位数が p と異なる素数 q とする。
|G/H| は p^m で割り切れるから帰納法の仮定より
G/H は位数 p^m の部分群 H' を持つ。
H' の G → G/H による逆像 H'' は位数 (p^m)q の群で
ある。(p^m)q < |G| なら、帰納法の仮定より G は位数 p^m の
部分群をもつ。よって、 残るのは |G| = (p^m)q の場合である。
G の類等式を (p^m)q = |Z| + h_2 + ... + h_s とする。
g を G の中心に含まれない任意の元とすると、g の中心化群 C(g)
は H を含むから |G/C(g)| は p のベキである。よって、各 h_i
は p で割り切れるから |Z| は p で割り切れる。よって
アーベル群の基本定理より Z は位数 p の部分群 N を持つ。
G/N の位数は (p^(m-1))q だから帰納法の仮定より G/N は
位数 p^(m-1) の部分群を持つ。よって G は 位数 p^m の部分群を
持つ。（証明終）

Burnside §１２０の定理Ｉ(Sylowの定理)
p を素数として群 G の位数が (p^n)m とする。
ここで n > 0, m と p は互いに素である。
このとき G の位数 p^n の部分群は必ず存在し
これらは互いに共役である。しかもこの部分群の
個数は p を法として 1 に合同である。

Burnsideの証明（の現代的用語による翻訳）
位数 p^n の部分群の存在は§３５(>>269)で証明されている。
H を位数 p^n の G の部分群とする。
g を位数が p ベキの G の元で gHg^(-1) = H とする。
g で生成される部分群を P とする。PH は G の部分群である。
|PH| = (|P| |H|) /|P ∩ H| だから P ∩ H ≠ P とすると
p^n が |G| を割る最大べきという仮定に矛盾する。
よって g ∈ H である。
H と共役な部分群全体の集合を S とする。S の元の H の元による
共役をとることにより、H は S に作用する。S を H による軌道
により類別する。H' ∈ S のとき H' の stabilizer は H ∩ H'
であることが上記より分かる。よって H' の属す軌道の元の個数は
|H/(H ∩ H')| である。よって H ≠ H' ならこれは p で
割り切れる。よって、|S| = 1 (mod p) となる。
(続く)

Burnsideの証明(>>271)の続き

H と共役でない位数 p^n の部分群 H' があったとする。
H' と共役な部分群全体の集合を T とする。
上記から |T| = 1 (mod p) である。
ところが T は H を作用に持つから上記と同様にして
|T| = 0 (mod p) でもある。これは矛盾であるから
位数 p^n の任意の部分群は H と共役である。
（証明終）

> ただし、現代の数学の言葉に翻訳しながら読んだが。
うーん、その作業がめんどいので回りくどいと言ったつもりなんだが…
俺はダメだったが、あんたなら読みこなせるのかもしれん。健闘を祈る！

その調子で全文現代数学語に訳したらどっかの出版者に売り込めるかも。
…なわけないか。

Burnsideのあの証明の用語法はともかく実質的内容はかなり
わかりやすいと思う。俺にはBourbakiの代数とか永田の
可換体論のSylowの定理の証明よりよほど分かりやすい。
永尾の群論（かなり古い岩波の本）の証明に近い。
一般的に言って現代的なスマートな証明というのは、
初心者には分かりにくいんじゃないかな。

因みにSylowの定理の一番難しい部分はSylow部分群の存在を
示すところだと思う。それさえ証明出来れば、共役性とか
個数が p を法として１に合同とかは、上で見たように
比較的簡単だ。

>>274
> Burnsideのあの証明の用語法はともかく実質的内容はかなり
> わかりやすいと思う。
そうなんだけど、回りくどく記号も使ってない表記法に拒絶反応が出てしまう。
ま、数学屋さんならあんなのでも読み進めていかなきゃいけないんだろうね。

因みに、Sylowの定理については、俺は「すうがくぶっくす」の証明が初見だったけど、
普通に素直に理解できた記憶がある。まあ内容までは覚えてなかったりする辺りがアレだけど。
最近、数学やってないなあ・・・

>>270

Sylowの定理は大きく分けて4つ（存在性,p群がどれかに含まれる,共役性,
個数の情報）に分けられるわけだけど、まず存在性。

存在性の証明は、大きく分けて2つあるっていうのはみなさんご存知の
通りだと思います。位数に関する帰納法と、Wielandtによる証明ね。
270で触れられているのは、前者のほうですね。

位数に関する帰納法ってのは、有限群論ではきわめて有力なテクニックで、
ここでもそれが使われているわけだけど、Wielandtの証明も有名だし
捨てがたいです。
私はゼミで両方の証明をやらされた記憶があります。

Burnsideの生きた時代とWielandtのそれはぜんぜん重なっていないのかな？
（ちょっと、そのあたり年表（？）がないのでわからない…。）

>>269
>類等式 |G| = 1 + h_2 + ... + h_s において、各 h_i > 0 で
ある。

各 h_i > 1 の間違いでした。

>>277
googleで調べたところによるとWielandtは1910年に生まれて
2001年に亡くなってますね。
Burnsideは1852-1927だからWielandtが大学に入る前に亡く
なってます。

http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Wielandt.html

しつこいですが、現代的証明というのは洗練されすぎて
わかりにくいという傾向はあると思う。例えば類体論の
ガロアコホモロジーを使った証明なんか代表的だと思う。
勿論、この証明も知っている必要はあるんだけど
古典的証明を知らないでいるというのも片手落ちでしょう。
まあ、現代的証明のほうがすっきりしてわかりやすいという
場合も多いけど。

Wielandtの経歴を調べるついでにBurnsideも調べてみたけど
彼は凄いな。始めは複素関数論を使って流体力学をやって
いたんだけど、複素変数の一次分数変換の群を調べている
うちに有限群論にのめり込んだらしい。その時彼は42歳だよ。
それから３年で有限群論の第１版を出している。
第２版を出したのは59歳のときだ。年寄りの俺の励みに
なるな。（ｗ

http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Burnside.html

正直こんな良スレになるとは思わなかった・・・

一段落した？とこで別の話題を振ります。

「群の発見（原田耕一郎）・岩波書店」のP179より。

>　ガロアは非可換単純群の一番小さなものの位数が60であることを知って
>　いた。しかも、その群の構造も知っていた。シローの定理を知らずに
>　位数30や42の群の構造をしらべるのは面倒である。しかし、ガロアは
>　なんらかの方法をもっていたにちがいない。

　この部分。
ちなみに、ガロアの死は1832年、シローの定理は1870年頃です。

確かに「なんらかの方法をもっていたにちがいない」んだろうけど、
どんな方法ガロアはでそれを知っていたのかなぁ。
挙げられている30や42どころか、12や15でさえシローの定理なしでは
非単純性を示すのは相当難しいです（できるのか？）。

彼亡き（といっても、仮にあのとき決闘しなくても170年も前の話…）
今となっては、ガロアがどうしてそれを知っていたのかは知る術も
ないけれども、とても気になります。
実はシローの定理（に実質相当するもの）を彼は密かに証明していたとか…。

モンスターと表現論の関連をわかりやすく解説出来るエロイ人いますか？

>>283
その前にSylowの定理の前駆としてCauchyの定理というのが
あるけど。Galoisはこれは知っていたのじゃないか？
Cauchyの定理というのは有限群の位数をある素数ｐが割れば、
その群は位数ｐの元を持つというもの。
CauchyとGaloisは同時代人ですよね。
ただCauchyがその定理を発表した時期が問題だけど。
因みにCauchyの定理の彼自信の証明はどのようなものなんだろう。
やはり数学的帰納法を使ったのか？

>>285

なるほど。同本のP129には

>　…シローの定理として、コーシーの定理より約50年後に証明されることに
>　なる。…

　と書いてあって、シローの定理は1872年（これは確定）だから、
逆算すればコーシーの定理は1822年頃。
ガロアが生きた時代は1811〜1832年だから、確かに知っている可能性は
あるね。

でも、コーシーの定理だけで30や42の解析がうまくいくのかなぁ？

Galoisというのは恐るべき天才だからね。位数６０の単純群
の次に大きい非可換単純群も知っていた。
Cauchyの定理をヒントにSylowの定理を導いていた可能性も十分ある。

話は変わるけどSylowとLie群の創始者Lieは共にノルウェー出身
でオスロのクリスチャニア大学に同時期にいた。
彼等は協力してAbel(彼もノルウェー出身)の全集を刊行した。
有限群論に重要な貢献をしたSylowとLie群の創始者Lieが同郷で
Abel全集の共同出版というのは、ChevalleyがLie型の単純群を
単純Lie群の分類理論から導いたことを考えあわせるとちょっと
不思議な因縁めいている。因みにSylowが有限群論に興味を
持ったのは彼がAbelの方程式論に興味を持ったことが
きっかけだったらしい。
以上は昨夜、Burnsideの経歴を調べていて初めて知ったことでした。

ガロアの最期は少ししょぼいよね

>>287

あぁ。確かに。コーシーの定理→シローの定理への拡張なら、
数学者ガロアならひそかにやっていたのかも。

コーシーの定理どまりだと、30や42の非単純性を示すのは
相当難しいと思います（できるかな？）。

どうして？ ロマンチックじゃないか。映画にならないのが
不思議なくらいだ。

>>291
なるほど、確かにあなたは中年っぽい思想をしてますなあ。
いや、現代の日本では貴重な存在です。

>>292
中年っぽい？　まあ事実（というかもう中年どころじやないんだけど）
だからいいけど。
わかってると思うけど念のために書くと>>291は>>289への
レスです。

ガロアのbibliographyっぽいのをWikipediaに書いてみました。皆さん、突っ込みよろ。
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2

愛の男　エブァリスト・ガロア

この驚くべき才能を、大変な苦痛をともないながら、犠牲にしていった、天才的で、不幸な青年に対する好感が、絶えず私の中で増していった。
少なくとも、彼の性格と冒険の中で、理解できることを明確にしようと努めた。
私の望みは、この数学者について、人が漠然と持っている素描を、正確な肖像におきかえることである。

Galoisの生涯というのは人の心を惹きつけるものがある。
俺は高校生の頃に数学の教師から彼のことを聞いた。
それが俺が数学に関心を持った原因の一つかもしれない。
決闘の前夜に彼が死を覚悟して友人に書いた手紙、特に時間
が無いという彼の言葉は．．．、何と言ったらいいかわからないが、
とに角、俺の心に深く残っている。

アーベルについてのエピソードもお願いしまつ。

ああべるッテがろあノヨウナどらまちっくナえぴそおどアッタッケ？

>>299
貧乏で死んだ。イット　ドラマティック

ども。

当方、これから最後の追い込みの1週間となります。
後はよろしくお願いします。
提出しても、審査会etcがあるから当分来られないなぁ。

何か埋もれてるぞ。
せっかくの良スレがもったいないな。

sci.math newsgroup で見つけた問題。
任意の有限群において、x^3 = 1 の解の個数は奇数であることを
証明せよ。

やたー。ようやく終わったよぉ。
当方、TeXというソフト（←？）の使い方知らないから全部手書き。
後は最終チェックと目次をつけて、製本して提出すればおしまい。
もちろん審査会など残っているけど、やっと荷が降りたっていう感じ。

>>303
では、x^n=1の解の個数については何が言えるか？

>>304
TeX打ち位マスターしる！馴れると便利だぞ。
手書きは読みづらい。

ところでTeXってテフ？テック？どっちで呼んでる？おいらはテフ。

>>303>>305
nが素数pの時はx^p=1の解全体は(Z/pZ)^mと同型な部分群になる。(位数p^mだからpが2以外なら当然奇数)
303への回答はこれで十分として、305に対しては、nが合成数の時はどうなるんだろう？
めんどくさいから降参しちゃえ。

>>307
>nが素数pの時はx^p=1の解全体は(Z/pZ)^mと同型な部分群になる。

アーベル群ならそうなるけど非アーベル群では必ずしも成り立たない。
S_3で(12)(23) = (132) となることを見ても分かる。

明日、製本して提出しにいきます。これで長い闘いも終わった…。
もっとも審査会があるから発表の練習しなきゃいけないけど。

>>303

ホール「群論」上 の153ページより。

>　定理 9.1.2　nが群Gの位数を割り切るならば、Gの中でx^n=1の
>　解の個数はnの倍数である。

>　単位元はx^n=1を満たすから、解の個数は少なくともn以上で
>　あることに注意しよう。

　これは証明されているけど、それ以上のことが言えるかどうか？
Gに特別な性質（べき零,可解…）を持たせるならもっとキツイ評価が
できるかもしれないなぁ。

nがGの位数の約数でない場合にどうなるかは知らないよん。

>>306

修士1年のときにTAのお手伝いで数ページくらい使っただけだよ〜。

>>303の証明

G を有限群、S を有限集合で G が作用しているとする。
即ち群の準同型 G → Sym(S) が与えられているとする。
ここで Sym(S) は S の置換全体のなす群。
S を G による可遷類で類別する。
つまり S の元 x, y に対して x = gy となる G の元 g がある
とき x と y は同値と定義してこの同値関係で S を類別する。
このとき |S| = |Z| + Σ|C_i| が成り立つ。
ここで、|S|, |Z|, |C_i| はそれぞれ集合 S, Z, C_i の要素の
個数を表し、Z は G で固定される S の元の集合であり、
C_i は |C_i| > 1 となる可遷類である。
さらに、|C_i| は |G| の約数である。
証明は置換群論で良く知られている。
ここで、G が位数２の群の場合を考える。
このとき各|C_i| = 2 である。つまり、|S| = |Z| (mod 2) と
なる。
(続く)

>>303の証明の続き

G を有限群とし x^3 = 1 の解の集合を S とする。
|S| = 1 ならこれは奇数であるから、 |S| > 1 と仮定する。
写像 f: S → S を f(x) = x^2 で定義する。
x^3 = 1 なら (x^2)^3 = 1 だからこれは well-defined である。
x ≠ 1 なら x^2 ≠ x だから f ≠ 1 である。
x, y ∈ S で f(x) = f(y) とすると、x^2 = y^2 より
x = x^4 = y^4 = y となる。よって f は単射であり、よって全射
でもある。f^2 = 1 だから {1, f} は位数２の群である。
よって >>310 より |S| = |Z| (mod 2) となる。
f(x) = x となるのは x = 1 のときに限るから |Z| = 1 である。
即ち |S| = 1 (mod 2) であり、|S| は奇数である。
(証明終)

配位子場理論って知ってます?

>>312
知ってる。何で？群論使うから？？

>>312
おれ知らん。なにそれ？おもろいの？

>>314
物理の理論で、群論を使ってエネルギーの分裂とか議論する

>>309
>>310-311

62って大したことないんだねｗ

>>306
テフ。テフのページに書いてあるはず。

>>313-315
いや、おれは知らなかったんだけど、
みんなは知ってるもんなのかなーと思っただけっす。
面白いんですかねぇ?
物理の知識はどれぐらいいるんだろ?
使ってるのは化学の人のが多いのかな?

>>316

いやー。決して否定するわけじゃないけど、その時点では最終確認でとっても
忙しかったんだよ（これは本当。夢の中にまで修論が出てきた）。
だから、借りていた本からの単なる引用で済ませてしまいました。

でも310,311の方の投稿が、私のそれよりも数段高いことは、これまでの
投稿から十分認めますね。実は大学の先生だったりするのかな。

>>319
どういたしまして。私は会社員です。
310,311は、ヒントを知ってたので出来たのです。

☆キキ+キﾟДﾟ♪のHPがBGMを変更！

流れる音楽が変わればまた新たな一面がHPにて見れるかも？

みんなで人間を極めた天才哲学を見に僕のHPにこよう！HPは↓

http://www.geocities.co.jp/HeartLand/8862/

音源はMP３なので流れるまでに時間がかかるかも？
僕が作曲したのをある人に楽器の音を変えてもらいました。

23

　　　　　　　 ／￣￣￣￣＼
　　　　　　／　　　 　 ＿　　 ＼
　　　　　( 　 　／＝＝＠＝l ／
　　　　　　､_へ＿＿＿＿＿＼ 　
　　　　　　川川::::::::ー◎-◎-）
　　　　　 川（６|::::::::　　（ 。。））　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　 .＿川川;;;::∴　ノ　 ３　 ﾉ　　＜　発射オーライ！！
　　／;;;:::::::::::::::＼＿;;;;;;;;;;;;;;;;ノ　　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　/::::　　/::::::::::::　　 　|::::|
（::::::::　（ξ:　　・　ノ:::・/:::|
　＼:::::　＼:::::::　　　（::: |
　/:::＼:::::　＼:::　　　 ヽ|
/::::　 　＼:::::　＼:::　ヽ　）
|:::　　　 　 ＼::　　￣￣⊇)＿＿　　〜
|:::::::　　　 　　＼;;;;;;;;;;;（＿＿（;;;・）　　〜　ﾓﾜｰ
＼::::::::::　　　ξ（;;;　）;; ）　　　　　　〜
　　＼::::::::::::　　　　）　）
　　　　）:::::　　　／／
　　　/:::::::::　／／
　／:::::　　（＿（＿

どうも。323みたいなのを貼られると恥ずかしくて来たくないです。


バーンサイドの「有限群論」、図書館においてあったので早速借りました。

…ちょっと見ただけだけど、こりゃぁ意味不明だ（笑）。
p^4-群の構造もちらっと見たけど、これを「解読」するのは私には
無理だね(--;。
おっしゃるとおり、例の鈴木先生の「群論」下の「ヒント」を使ってでも
何とかやったほうがいいと思う。

この本、裏表紙を見たら8000円だって。数学の本にしては高いね。
そういえばamazonで15,000円する数学の本を見たけど、あれはもっと
価値があるものなのだろうか…。図書館にあればぜひ見たいけど。

>>324
>…ちょっと見ただけだけど、こりゃぁ意味不明だ（笑）。

最初から読めばなんとかいけると思います。
数学の本は現代の本であっても初めから読まないと、
その著者の用語法が分からない場合が多いんじゃないでしょうか。

http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1076356314/609で
位数8の非可換群について質問したものです。
もしよろしければ話の続きを聞かせて頂けないでしょうか、よろしくお願いします。

>>326
リンク先のスレをざっと読んだけど、完結しているようですが。
あと、一通りレスを読んでから書き込めと。>>205とか。

どうも。
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1076828649/
こっちの続きで。あっちはネタっぽいので。

1億とはいわなくても、一般に 10^n = 2^n * 5^n と書けるから、
バーンサイドのpq定理を認めるならば、 |G|=10^n なる有限群の
可解性は言えるね（それなしでも言えるか？＜一般のnについて）。

特に1億の場合はn=8で、 10^8 = 2^8 * 5^8 となっています。
5シロー部分群を考えると、その個数は mod 5 で 1 に合同で、かつ
256(=2^8)の約数。
ここで1個（すなわちそれが正規）なら話は早いんだけど、そう簡単では
なく、1個,16個,256個の場合があるようです。

まず1個の場合だけれども、1個の場合は |P| = 5^8 なるほうがGに対して
正規部分群で、GはそのPと |Q| = 2^8 なるQとの半直積になっています。
したがって、 f : Q → Aut(P) を定めれば位数1億の群Gの構造は決まる
けど、

　(1)　位数 2^8 や 5^8 のp-群の同形類って一体いくつあるの？
　(2)　しかも、 位数 5^8 の5-群のAutなんて簡単にもとまるの？
　(3)　仮に決まったとして、準同形fはどのくらい存在するの？
　
…という3点が問題になってしまって、結局位数1億の有限群の構造を
決めるのは難しいみたいです(^^;。

もっと簡単に何とかならないかなぁ。まぁ2が絡む（しかも2のべきが
大きい）と面倒なのは、有限群論だとよくあることだから、別の方法を
取ったとしても面倒なことこの上ないだろうけど。

位数1000 = 2^3 * 5^3 くらいなら何とかなるかもしれないね。
こちらは誰か挑戦してみると面白いかも。

>>328

ごめん（笑）。1000は死ぬほど面倒だった。
事実としてだけど、同形類を除いて全部で199個あるらしい（笑）。
そんなのどーやっても無理か（笑）。


かといって10だとすぐ終わる（巡回群か2面体群）だから、間をとって
100ってのはどうだろう？ 100 = 2^2 * 5^2 です。
こちらは資料によると16個だそうだから、がんばれば何とかなるかも。
この場合、5シロー部分群が正規であることは直ちに従うので、方針は
立ちやすいかと思います。ただ16個もあるとのことなので、半直積構成が
困難を極めるでしょう。自信のある人やってみてはどうだろう？

うーん・・・
1000が何とかなるかもと思ってしまう辺り、まだまだ有限群論の感覚がつかめてないんじゃないかなあ。
「結果」を調べて満足するのではなく、もう少し、自分の手と頭を「無駄に」動かして、
「泥臭い作業」をやって、有限群分類の「土地勘」を掴まないと、良い群論研究者にはなれませんよ。

そうだな。
有限群論を語る「研究者」が、100の分類すら自分の手でやったことないというのは、ちょっとね…
「効率的にやる」ことばかり考えていては、センスの体得や新しい発見は一生できないよ。
代数専攻でないというなら、まだわかるけど。

群論学者になろうってわけじゃないんだろうから、いいんじゃねーの？
ちなみに位数100はそんなに難しくないよ。
俺が出た大学(そんなにレベル高くない)でも、群論の講義中に演習問題として出されたくらいだし。

Aut(C(p)×C(p))がGL(2, F(p))と同型だってことはすぐわかるから、
あとは線型代数の簡単な応用問題だよね。＜位数100

>>330-331
どうでもいいがものすごく自演に見える書き込みだな

>>334
む。そう読めてしまうか。すまん。
330とは別人なんだが、まぁ、自演だとすると書いてる内容に問題が生じる類のレスではないんで、
どっちでもいいや。

つーか330-335すべて自演だろｗ

自演かどうかなんて簡単にわかるわけないだろ。自演でないのを
自演に見せかけるのも簡単。その逆も簡単。
ということで断言する奴は．．．ＡＦＯ

そもそも自演かどうかなんて大した問題じゃないわけで。

位数100の群の分類は、俺の大学では講義ではやらなかったけど、演習の時間に出題された。
少なくとも16や24より遙かに簡単。

>>337
逆は難しいだろ。
まあ、自分を煽るような自演ならともかく、
自分を擁護するような自演だと
自演じゃないようにどうやって見せかけるんだ?

思いっきり脱線レスでごめんね。

>>339
自演というのは読んで字のごとく演じるわけだ。
だから何も自分の意見に都合のいいように演じることだけが
自演でははない。
それはそれとして、自分に都合のいいように演じてしかも
さとられないようにすることは演技力次第で可能。
どうやるか？ 教えないよ。真似する奴が一杯出てくるだろうから。

何故こんなくだらない展開に・・・

問題があるとすれば、62が「教師が生徒にものを教えるような」態度で書き込んでいることかな。
本人さんには自覚ないんだろうし、俺は特に不快だとは思わないけど。

>>342

特にそういう気持ちで投稿している気はなかったのだけど、
気を悪くした方がいればお詫びします。しばらく投稿を自粛します。

>>343
そんなに気にすることはないと思われ。

http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1076862490/789
６２さんどうぞ

岩波基礎数の群論はどうですか？
近藤さんのやつ

＞オール

ごめんよ…。ごめんよ…。
328と329、修士論文の審査会と発表会がやーっと全部終わって、それで
もう開放感ムード（あとは修了式だけだもん）だったんで、ついつい
えらそうな書き方をしてしまいました。

不快な思いをされた方がいらっしゃいましたらお詫びします。

　＞1000のほう　1000 = 2^3 * 5^3 なんだけど、どちらもextra-specialと
　いう性質を持っているので何とかなると"直感的に"判断。
　が、後から資料を持ってくれば同形類を除いて199通り(--;。
　とほほ…。
　
　＞100のほう　こちらは興味がある方向けということで、わざと何も
　書かなかったんです。ごめんなさい。


>>346

近藤武さんの「群論」ですか？
構造論,表現論のどちらの立場で読むかで変わるんじゃないかな。

私は修士の課程でこれを読みたいって言ったら、先生に「いまどき
"信号関手定理"なんて（同171ページ）知っている人いないよ」と
いわれました（こちらは4回生お疲れコンパのときで、お酒が入って
いたので詳しいことは忘れましたが）。

つまり、書かれた当時よりももっと構造論の研究が進んで、この定理は
必要なくなったということなんでしょうね。

表現論の立場から見たこの本の解釈は私には分からないです。ごめんね。　

>>347
レスありがとうございます。
構造論を少し知りたいのですがでは何を読んだらいいでしょうか？

>>348

学部程度の群論の知識はあるという前提だよね？（＜だめかな？こういう
こと書いたら。批判の対象にされるかも。気に障ったらごめん）

和書？それとも洋書で選ぶ？
和書で選ぶなら、もう選択肢は限られていて、上記の「群論」と
鈴木先生の「群論」上/下があります。

群論の構造論に特化して書かれている本ということえで選ぶならば、
事実上この2冊だけだと思います。
上記で出ているホールの「群論」上/下やバーンサイドの「有限群論」も
日本語訳されていますが、特に後者は解読できたらお化けレベル(^^;。


洋書は…。いくつかいいの知っているんだけど、詳しい著書名その他は
明日図書館に行かないと分からないや。ごめんね。

いえいえ、ありがとうございます。

知識はシローの定理くらいまではあります。

有限でなくて一般論を知りたいのですが、バーンサイドでもいいものでしょうか？
あとできれば位相群にも少しふれてくれてるものがいいのですが、
とりあえず上述のものを学部の図書館でみてみます。

対称群の中心化群や正規化群の性質について詳細に調べている文献や論文ってどなたかご存知ないですか？

>>350

いえいえ。
バーンサイドのはタイトルが「【有限】群論」だから有限群について
だし、それに上記でも触れられているように、今では使わないような
語句や概念がばんばん出てくるので、はっきり言って「解読」レベルに
近くて、今となっては歴史的価値しかないと思います。

ホールの「群論」上/下はまだ十分読めると思います。

一般論ということは有限性を仮定しないということですが、群論は
【有限】性を仮定するかどうかだけでもだいぶ議論が変わってくるので、
（そもそも、シローの定理だって有限群論の基本定理だよね。）
一般論ということになると、ちょっとそんな本は私は知らないですね。
（有限群も無限群も合わせて構造論を展開している本は。）

また位相群は（普通の意味での）群論とは違うと考えていいと
思います。位相幾何的な面が強いです。

>>351

えぇっと、どのくらいのことを知りたいのでしょうか？
当方、3月31日までは院生の身分なので色々調べられます。

>>338
12だったらどう？
100と12どっちが難しい？
これは100か。
16や24は2冪が3以上だもんな。

と稚拙な話で群論ﾈﾀに戻してみるﾃｽﾄ

>>352

一応、今日図書館で洋書も調べてみました。
この2年間で少なからずお世話になりお勧めの本です。

ただ、普通の書店にはないのでネット通販（アマゾンとか）にしか
ならないと思います。図書館にはあると思うので、【買う場合は】
中身を図書館でよく確かめてからでお願いします。
なお、当然全部英語です(^^;。

＃　ドイツ語のを読むハメになったことがあった…(--;。

　(1)　C.Grove : Groups And Characters
　(2)　J.Rotman : THE THEORY OF GROUPS An Introduction
　(3)　W.R.SCOTT : GROUP THEORY

>>352
レスありがとうございます．
例えば，
　x \in S_n が性質Pを持つとき，x の中心化群は性質Qを持つ
とかそんな感じのステートメントが述べられている，あるいはそのような
性質を調べるための重要なテクニックが解説してある，ということが知りたいです．
一応手元にはDixon & MortimerのPermutation Groupsがありますが，（まだ未読です）
ちょっと眺めた感じではそこまで詳しい話は出てないようなので
他に良い文献を教えて頂けるとありがたいです．

>>352
名前を書き忘れました．上の書き込みは351と同一人物です．

>>353
100と12なら100でしょうな。
100はあれだ、4pの分類と2p^2の分類を組み合わせた感じ。

良スレだね。

ところで、勿論場合分けが必要だろうけど、
一般にp^2q^2位で分類できないの？

>>358
うぅむ。
「できない」と言えば嘘になるが、しかし、なかなかにキツそうだ・・・
いや、俺には、ね・・・

>>62　そうですか・・・。
　辰馬伸彦『位相群の双対定理』（紀伊国屋）という本があるんですが、
　これは有限群論とは全く別の世界の書物ちゅうことになりそうですね。

　またまた紀伊国屋シリーズで申し訳ないんですが
　宮寺功『非線形半群』は、見たことがおありですか？

>>360

位相群についてはほんのちょっとしか知らないけど、有限群論とは
全然違う展開を見せるといっていいと思います。

＃　ある本で、群上で積分しているのがあって笑ってしまった（笑）。
＃　何か別世界…。

半群は…。こちらもまた全然違う展開を見せます。
「普通の」群論では、巡回群の部分群は巡回群です。
でも、"巡回半群の部分半群は巡回半群とは限らな"かったり、群論で
成り立つ性質がことごとく成り立たず、やっぱりこれも別世界です。


>>358

p^2*q^2 かぁ。もちろん、p≠q ということで、p＜qとして一般性を
失いませんね。
専門に2年間やった直感だけど、p=2,3(,5)くらいの「小さな」素数で
場合わけすることになると思います。
唯一の偶数素数であるp=2は場合分けをする必要性を生む要素で、
有限群論では嫌われ者〜。でもその存在が面白いんだけどね。

形がシンプルなので、論文を探しに探せばあると思いますが、
少なくとも私が知る限り、具体的なそのような位数の構造は
知らないです。可解群であることくらいはすぐに従うけど、そんなの
知ったっていまさら仕方がない(^^;。

ただ私は今は修論を出し終わってもう開放感いっぱいなので、考えるのは
しばらくお休み〜。余裕があるときに考えてみますね。

有限群Ｇの全ての元に対して和をとってＧの位数で割る、ってのは
一種の“積分”ですよ。（Haar測度）

groupoidってのがあるらしんだけど、この理論は発展してるのかな。
群というのはただ一つのobjectを持ち全ての射が同型となる圏と
みなせるけど、groupoidは全ての射が同型となる(小さい)圏のこと
だと記憶している。

「位数pqrの群」みたいなタイトルの論文なら見たことあるが…
もちろん原題は英語ね。

積分なんて使っていても、
実際は単なる無限和の計算で、
和の順序変更等を効率的に行っているだけの事が多いよね。

>ある本で、群上で積分しているのがあって笑ってしまった（笑）。

R上のリーマン測度dxとか
Rの乗法群のdx/xを使った積分も
（位相）群上の積分だべさ

>>363

groupoid、ありますよ。単に演算について閉じているだけっていうの。
ただ、この用法を含め groupoid には2つの流儀があるそうです。

　・　演算で閉じているだけ　→　groupoid　亜群
　・　結合法則も満たす　→　semigroup　半群
　・　単位元を持つ　→　monoid　モノイド
　・　逆元を持つ　→　group　群

　…です。
しかし、演算で閉じているだけだと何にもできないような気が（笑）。
多分もう1つの流儀のほうの話なんだろうね。


　＞　位数pqrの群

これは Ho''lder （ '' の部分はウムラウト）が研究していますね。
この人は他にp^3,pq^2,p^4 も研究しています。
ウムラウトがあるくらいだから、内容はドイツ語じゃないかなぁ？

↑組成列を持つ群に対する「ジョルダン・ヘルダーの定理」の人ですかねぇ？

どうも。

>>368

多分そうだと思うんだけど確証はないです。おそらくその人でしょう。

一般に、 p1*p2*…*pn [各piは異なる素数] である有限群は可解群で
したがってpqrも3つの場合にあたるのでそうなんだけど、これら各素数が
ある条件を満たすと、その位数の有限群は巡回群に限ることも証明できます。


　　＞　位数2004の有限群

　|G|=2^2*3*167 です。シロー167部分群をPとすると、それが正規なのは
まったく明らか。同様にシロー2,3群も存在するんだけど、一気に
位数12の群Qの存在がいえないかなーと思っています。

結論から先に言えば、必ず存在する（有限群論のちょっと高い定理がいる）ん
だけど、初等的に位数12の部分群の存在性を言うにはどうしたらいいだろう？
無理なのかな？

あとは半直積に持っていくだけ。2003は素数だから面白くないね。

>>367
演算で閉じているだけのを亜群って言うことあるんすか…

あ、http://mathworld.wolfram.com/Groupoid.html にも書いてあった…

ウルフラムなんざあてになんないっぺ

>>363は単なる演算で閉じている代数系について述べてるわけでは
ないんだが。君たち圏論を少しはかじったことあるよね？

ない。

>>373
分かってますよ。
二つの流儀があって、って話ですよ。

単に演算で閉じている代数系、つまり必らずしも結合律や
単位元の存在を仮定しないものをgroupoidと呼ぶのは
無理があると思うんだが。Bourbakiはこれらをmagmaと
呼んでいる。しかし、こんなものは一般過ぎて
研究しても面白い結果は出てこないだろう。

ネタスレなのかと思ったら、良スレだったからビックリした。

どうも。

単に与えられた演算で閉じている代数系（といえるのか？）をgroupoidと
呼び、亜群ということがあるということは、先ほど確かめてきました。

その割合は 呼ぶ派 : 呼ばない派 で 3:7 くらいで劣勢です。しかも、

> しかし、こんなものは一般過ぎて

…で、そもそもそれには名前をつけていない本のほうが多かったです。
半群にはほぼ確実にちゃんと解説が入っています。


　＞ところで全然関係ないんですが

最近、上のほうでケンブリッジ大学で講演が何とかという投稿を
よく見るんですが、本当に名門ケンブリッジ大学で講演するのでしょうか？
内容は有限群論だったらいいなぁ。

ブルバキは自然数に0を入れてるしな。
0を入れないと自然数は乗法について単位的可換半群だが加法については単なる可換半群。
0を入れると自然数は加法について単位的可換半群だが乗法については単なる可換半群。
ブルバキが0を自然数に入れるとした理由は何だろう？
「半環」とでもいうべきものを考えていたのであろうか？
なら納得いくが、なら「半環」についてもっと扱って欲しいもんだ。

単位元を持つ半群をmonoidと言うよね。
monoidは、ただ一つの対象を持つ圏と同一視される。
だから圏というのは、monoidを一般化したものと言う
ことも出来る。

>ブルバキが0を自然数に入れるとした理由は何だろう？
>「半環」とでもいうべきものを考えていたのであろうか？

考えるのは勝手だがそれで（以下略

>>381
何を略したのかわからないんでつが。
問いの答えにもなってないし意味不明。

>>376
たしかにmagma（＝最初のほうの定義のgroupoid）なんか「研究」しても
面白い結果は出ないだろうけど、代数系の定義はそこから始めたほうが、
かえって結合性・可換性・単位性...etcの必要性が浮き彫りになってわか
りやすい。俺はBourbakiを読んでそう思った。

ちなみに"magma"って言葉、1970年頃に出たAlgebreの新版で初めて使
われたんだが（和訳の代数第一章はひとつ前なのでこの言葉はでてこない）、
もっと前からBourbakiが使ってたらそれなりに普及してたかもね。

>>379
加法が単位的可換半群、乗法が単位的半群で、分配性を満たすのが
「半環」かな？

自然数全体Nや、A が普通の環のとき「A のイデアル全体」が「半環」になるね。

考えてもあんま意味なさそうだが・・・

>>384
定義としてはそんな所でしょう。
即座に2つも例が出てくるようなものだし、あながち無意味ではないのでは？

６２が質問スレでここと同じような恥かいてたな

すんません、位数p^n(p:素数)のアーベル群が巡回群かどうかを判定する方法を
探してるんですけど何か無いですか？

は？ｗ

>>387

うーん。あんまりにも原始的過ぎて何を書いていいのかなぁ。

　(1)　[定義より]　（元としての）位数がp^nのものがあればOK。
　(2)　定理.　指数pの部分群がただ1つ→p群は巡回群
　(3)　定理.　pを素奇数とする（2ではダメ）。位数pの部分群を1つ
　　　　　　　だけ持つ→p群は巡回群

　…っていうのがあるのはあるけど、アーベル群だっていう前提条件なら
相当やさしい（定理(2),(3)を持ち出すまでもない）と思うんだけど…。

ちょっと関連問題でも。ちょっと考えたらすぐ分かるよ。

　（問）　(3)において、pの奇素数性が必要なのはなぜか？
　つまり、p=2では例外が存在する。その例外とは？

よくある

各nでx^n=1の根が高々nなら巡回

つうのはどうよ？

monoidの可逆元全体は群をなす。
monoidの一般化が小さい圏だから、小さい圏から群の一般化で
あるgroupoidが得られないかと俺は考えた。
で得られました。簡単だから詳細は各自に任す。

群てなんですか
高校数学レベル
でおしえてください

高校レベルも何も、知ってるか知らないかだけだろ？
そんなにレベルの高い難しい概念は使わんぞ。
がんがって入門書嫁。

どうも。

>>391

まぁ、そういう方法もあるね。でも今回の場合、p群がなにせ可換群だと
いう大前提があるから、391の主張のほうが「重い」主張だと思う(^^;。
（391の定理を証明するには、オイラー関数などの知識が必要です。）

可換群という前提で巡回群となる条件が分からないってことは、
「可換群の基本定理」をご存知ないのかな？知っていれば一発なんだけど。

　　＞　位数2004の有限群

　ちょっと繰り返し。 |G| = 2^2 * 3 * 167 です。
　シロー167部分群Nは当然存在し、正規部分群です。
　同様に、シロー2,3部分群（それぞれ位数4,3）も存在します。

　しかし、GのNに対する補群、つまり位数12の部分群Hの存在も
　いえないかな、と思っています。
　結論から言うと、この群は可解群なので「ホールの定理」を使うか、
　または「シューア・ザッセンハウスの定理」から出てくるんだけど、
　初等的に出てこないかな。

　出てくると、GはHとNの半直積で、 f: H→Aut(N) なんだけど、
　Aut(N)=C_166 （正しくは同形の意味）で、この166が3も4も6も12も
　約数に持たないという、とっても楽な状況になっています。
　興味がある方、これから後考えてみたらどうだろ？
　私はもうちょっと考えてみましたが、楽しみを奪うかもなので
　これ以上は書きません。

　ちなみに去年2003年は素数、来年2005年は5*401で、|G|=pq 型なので
　面白くないです。ではでは。

>>392
Braid群の一般化として、そういう圏（タングル）の表現を構成する話なら、見かけたことがある。

>>389-391,>>395
質問スレの方に書いたほうがよかったですね。ありがとうございました。

>>393と394

そうですね。初心者向けの本を読んだらどうだろう？
「群の発見」という本がありますが、初等群論に関してはシローの定理まで
ちゃんと載せているのでお勧めです。高校生でも読めると思うよ。
同時に「ガロア理論」（古典理論ですが、学部3年で習う重要な理論）も
垣間見ることができます。

ほかに高校生でも読める入門向け本があったらフォローよろしくです。


それにしても、今年の「数学セミナー」の群論の1年間の連載特集は本当に
がっかりしたなぁ。あれで（有限）群論に興味を持つ人がいるかなと
思ったんだけど、「妖精」とか「呪文」とかという語句を使いすぎた
結果、何がなんだか分からなくなり、シローの定理も「妖精」が出てきて
なんじゃこりゃレベルでした。

私も（ある意味、難しすぎて）最後まで読めませんでした(--;。
あんまり妖精にこだわらなかったほうがよかった気がしました。

数学とか物理などの話を無理やりわかりやすくしようとしても
かえっておかしくなるだけだな。
正統派の難しい本を何度も何度も読むほうが面白い。

400!

>>400

400ゲットおめ〜。
じゃぁ、位数400（400!じゃない）の有限群の非単純性を示してみて。
400 = 2^4 * 5^2 です。できるだけ初等的に。
あることを知っていると簡単だよ。

>>401
単純群のリストに載ってない…じゃやっぱダメか？(爆)

>>402

ごめん。それ、私の勘違いだったんだ。
シローの定理（個数定理）を2-sylow-subgrに適用するときに漏れがあった。
その漏れを問題にすると面倒なことになっちゃう。

結論から言えば、バーンサイドのpq定理で終わっちゃうんだけど、
それはどう考えても「初等的」じゃないし。これもオープン問題に
しようかな。誰か分かった人お願い。
ごめんよ。私が間違えた発言して迷惑かけちゃって。


なお、389もオープン問題です。こっちはカンタン。
(3)の定理を証明するよりもね。

(3)　定理.　pを素奇数とする（2ではダメ）。pに対応するp群Gが
　　　　　　位数pの部分群を1つだけ持つとすると、Gは巡回群となる。

　　（問）　p=2が上記で排除されなければならない理由はなぜか。

あと、395で触れられている、位数12の部分群の存在性を初等的に示す
こともオープン問題。こっちは私も分かりません。
シューア・ザッセンハウスかホールの定理がなければ無理か…？

オープン問題ってどういう意味？
未解決な問題っていう意味だと思いこんでるんだけど。

>>404

あ、言葉に恐ろしい語弊があった(--;。
あくまでもこのスレッドの中だけ、という意味ね(^^;。

>>405
でどういう意味なの？　出題者自身も解答がわからないという意味？

>>406
公開のオープンとか？
このスレを見ている一般のみなさん、証明方法がわかったら書き込んでください、とか。

>>407
ここに問題を書けば自動的に公開なんだけど。

>>379
０を入れて加法に関して単位的可換半群にしたほうが応用が効く。
単位的可換半群は多元環の基底にもなるし、次数環の次数と
しても使える。さらに差をとることにより可換群に拡張できる。
これらは自然数の乗法でも考えられるが応用では加法の場合が
圧倒的に良く使用される。

どうも。熱がでて寝ていました。

>>407

407さんが私の言いたいことを代弁してくださったかな。ありがとう。
うん。そういう意味で使いたかったのね。語弊があって申し訳
ありませんでした。修士も2年行っていれば「オープン問題」の
意味くらい知っているのに、（曲解して）勝手に使ってしまうなんて。
本当にごめんなさい。＞みなさま


>409

私も賛成〜。私はNには0は入れる派。絶対入れる派です。
3年間のゼミ（学部4＋修士2年）でも一律してずっと「入れる」で
通してきました。
0を入れると加法単位元ができるし（もちろん群にはならない）さ。

>>410
まぁ、問題としては面白いから、そこまで謝らなくてもいいんじゃない？

>>395
初等的ってのがどこまでを初等的っていうのかよくわからんけど。
位数2004の群の分類自体さしてむずかしい定理をつかわずに
（せいぜいシローの定理ぐらい）初等的に議論していきゃとけるんだからそれでいいんじゃないの？

>>412

数学的に間違っているかもしれません〜。＜発熱中

えぇ。確かにシローの定理だけでも何とかなりそうですが、正規となる
167-subgrの補群となる位数12の部分群の存在がいえると、すぐに半直積に
もっていけて（正規なのは167-subgrのほう）、そっちのほうが実は
楽なんですよ。準同型が限られてしまうという事情がありますので。

だから、位数12の部分群の存在を何とか初等的にいえないかなと思って
いるわけです。
結論から言うと存在はするんだけど、やや高度な定理がどうしてもいります。

群てgr.って略す？gp.って略す？
漏れは後者。

>>414

私は前者かな。grってやっていました。ゼミでも気軽に
sylow-subgrなんて書いたし、おとがめなしでした。
もちろん修士論文では使っていないよ。たとえば、

　[定理.Wielandtの定理]

　・　Gを有限群とするとき、つぎの3つは同値。
　
　(1)　Gはべき零群。
　(2)　GのどのMax-subgrも正規。
　(3)　Φ(G)⊃D(G)

こんな感じ。

>>413
＞結論から言うと存在はするんだけど、やや高度な定理がどうしてもいります。
　
位数2004の群の分類がシローの定理だけでおしていけるんだから
“どうしてもいる”ってことにはならんだろ？

2004元集合上の2項演算で群の公理を満たすものを求め、
同型の存在を判定する。難しい数学なんて一切不要。
簡単なプログラムで可能。





だめ？

>>417
計算時間を計算してみな。

やだよ。

　

>>416

確かに。「どうしてもいる」というのは間違いだね。
「あったほうが（存在がいえたら）便利」というくらいが
妥当かな。

初等的な方法で位数12の部分群の存在を示すのは無理じゃないかと
思っています（誰かできたら教えてください）。
シューア・ザッセンハウスかホールの定理か、どちらかがいるでしょう。

　
　＞　位数400の有限群の非単純性

　400 = 2^4 * 5^2　です。
　自分で問題作っておきながら解けないとは情けないなぁ（笑）。
　5-sylow-subgrに着目するべきなんだろうけど、そこからどうするか。

　有限群論で「位数？？の○○をしろ」という類の問題は、
　？？の部分が1つ変わっただけでもぜんぜん違うからね。
　奇数,偶数だけでもぜんぜん違います。
　ある意味でパズル的な要素が他に比べて強い分野だと思います。

>>414
学部時代は gp と書いていた。ただ subgp がちょっとすわりが悪い気がして
gr. に変えた。（一時期 grp と書いていた。）
俺はそれより、部分加群を submodule と書くか submod. と書くか悩んだ。
有限生成ネーター的既約G加群 とかになるともう日本語で書いていた。

初等的な方法にこだわることはない。

>>422
f.g.Noeth.irr.G-mod.ってとこか？
有限生成や既約を漢字で書くのはめんどくさい。

表記法とかって本質的ではないのかもしれないけど
意外と悩みどころではある。

>>424
そんなに面倒なら、f.g.N.ir.G-m. と書けばいい。

それでも面倒だったら？

f.g.n.i.g-mと書け。

それでも面倒なんだけど。

ふぐにぐーむ

Ａと置く。

そんなに面倒なら死ねばいい。死ねば、何もしなくていい。

。 o　彡川出川三三三ミ〜 ﾌﾟｩ〜ﾝｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃ
　。　川出川／゜∴゜＼ b〜　ﾌﾟｩ〜ﾝｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃ
　。‖出‖.゜◎---◎゜｜〜 ゜ ／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　出川‖∵∴゜。3∵゜ヽ〜＜　そんなに面倒なら死ねばいい。
。　川出∴゜∵∴）д（∴）〜゜ |　死ねば、何もしなくていい。
　。出川∵∴゜∵o〜・%〜。 　 ＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
o　川出‖o∴゜〜∵。/。　ﾌﾟｩ〜ﾝｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃ
　川出川川∴∵∴‰U 〜ﾌﾟｩ〜ﾝｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃ
。U　〆∵゜‥。 ゜ o＼。゜〜。ﾌﾟｩ〜ﾝｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃ
。。/∵＼゜。∵@゜∴o| 。o゜。゜ ﾌﾟｩ〜ﾝｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃ
　/::::∴/:::::::::::‥　∵゜ | 〜 。oﾌﾟｩ〜ﾝｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃ
（::::::::　（ξ: 　・　ノ:::・/:| 。゜o 。。ﾌﾟｩ〜ﾝｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃ
o＼:::::　＼:::::::∴。　（::: | o。゜　o。ﾌﾟｩ〜ﾝｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃ
　/:::＼:::::　＼:::　∵゜ ヽ| 。゜。゜ﾌﾟｩ〜ﾝｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃ
/::::　 　＼:::::　＼:::　ヽ　）∴ ｼｺｼｺ ｼｺｼｺ ｼｺｼｺ ｼｺｼｺ ｼｺｼｺ ｼｺｼｺ ｼｺｼｺ ｼｺｼｺ ｼｺｼｺ ｼｺｼｺ
|:::∴o゜　　＼::　　￣￣⊇)＿＿　〜　ﾓﾜｰ　ﾓﾜｰ　ﾓﾜｰ　ﾓﾜｰ　ﾓﾜｰ　ﾓﾜｰ　ﾓﾜｰ　ﾓﾜｰ
|:::::::　∴゜∵。＼;;;;;;;;;;;（＿＿（;;;・）　〜　ﾓﾜｰ　ﾓﾜｰ　ﾓﾜｰ　ﾓﾜｰ　ﾓﾜｰ　ﾓﾜｰ　ﾓﾜｰ　ﾓﾜｰ
＼::::::::::。ξ（;;;　）;; ）　゜。。　　　〜ﾌﾟｩ〜ﾝｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃ
∵＼::::::::::::。∵　）　） ゜o゜ o。ﾌﾟｩ〜ﾝｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃ
。o。。）:::::∵゜ ／／ 。o。゜ﾌﾟｩ〜ﾝｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃ
。゜　/:::::::::　／／ 。 ゜ﾌﾟｩ〜ﾝｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃ
　／:::::　　（＿（＿ 。oﾌﾟｩ〜ﾝｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶﾏｯﾃｶ

>>424-432
warata

死ぬのも面倒なのだが

('A`)ﾏﾝﾄﾞｸｾ

>>435
一回だけの面倒だ。

死んで（群論の）星になれ！

>>438
了解

★

>>421
これで初等的かどうかしらないけど。
補題１　位数12の群Gは位数3か4の正規部分群をもつ。
∵ Gの3-sylow群の数は1か4。1なら終わり。
4としてP1、P2、P3、P4を3-sylow群のリストとするとS=G＼(P1∪P2∪P3∪P4)∪{1}
は共役について閉じており2-sylow群QはSに含まれる。#Q=#S=4ゆえS=Q。
よってQは共役について閉じており正規部分群。□
補題２ 位数12の群Gは次のいづれかと同型
G1=C4×C3、G2=<x,y|x^3=y^4=1、 yxy^(-1)=x^(-1)>、
G3=K4×C3、G4=D3×C2、
G5=<x,y|x^3=y^2=z^2=1、yxy^(-1)=zxz^(-1)=x^(-1)>、G6=A4
∵ 補題１よりGは位数3の群と位数4の群の半直積。反直積によって上記6個の群がえられる。
2-sylow群がC4なのはG1とG2でG1は可換、G2は非可換。
G3〜G6のうちG3のみが可換。
G4〜G6のうちG6のみが非自明中心をもつ。
G5〜G6のうちG5のみがD3と同型な部分群をもつ。
よってすべて非可換。□

主張３ 位数2004の群は位数12の部分群をもつ。
∵ 167-sylow群は正規部分群。また補題１よりGはつぎのような列K⊂H⊂Gをもつ。
1)KはHの正規部分群、HはGの正規部分群。
2)K≡C167
3)[H:K]=3 or [G:H]=3
(i)[G:H]=3のとき。
GはHと位数3の群の半直積。つまりある同型φ:<x|x^3>→Aut(H)が存在して
G=H×_φC3とかける。SをHの2-sylow群の全体とする。
φ(x)のSにおける作用をかんがえると#S=1or167なのでφ(x)の不動点がある。それをLとすると
φはθ:G/H→Aut(L)を引き起こす。G=L×_θG/Hは位数12の群でGの部分群。
(ii)[G:H]=4のとき。
GはHと位数4の群G/Hの半直積。つまりある同型φ:G/H→Aut(H)が存在して
G=H×_φC3とかける。SをHの2-sylow群の全体とする。
#S=1なのでS={L}とすると各x∈G/Hに対しφ(x)の作用でLは不変ゆえ
φはθ:G/H→Aut(L)を引き起こす。G=L×_θG/Hは位数12の群でGの部分群。

位数12の非可換群Gはsylowの定理から3-sylow部分群が1個or4個の場合が考えられますが、
このうち、3-sylow部分群が4個の時は4次の交代群になるみたいですが、何故、4次の交代群になるのでしょうか。
　

>>443
「何故」って、具体的に解析して決定するんですが。
例えば、位数12の群Gの4つの3-sylow部分群をH_1, H_2, H_3, H_4とおくと、
Sylowの定理よりこれらは共役なので、共役作用によりGの各元はH_iからH_jへの置換となり、
その軌道は4次置換群の部分群ということになります。あとは位数計算で。

G1=<a,b,c>、a^3=b^2=c^2=1、ab=ba、ac=ca
G2=<a,b,c>、a^3=b^2=c^2=1、ab=ba^(-1)、ac=ca
G3=<a,b,c>、a^3=b^2=c^2=1、ab=ba^(-1)、ac=ca^(-1)

どれとどれが同型でしょうか。ご教授ｷﾎﾞﾝﾇ。

>>445
見てわからんのか？

>>445
コピペｲｸﾅｲ！

>>446
わからん。

>>445

コピー・ペーストであっちこっち書くのはやめましょう(^^;。
これ、今はやっているネタなのかなぁ。

>>449
たぶん、最初の質問主による書き込みではないと思うよ。
愉快犯なので放置放置。愉快犯でなくてもマルチであることは間違いないんだし。

>>445がわかる奴は一人もいない。

　　　　 　,一-、
　　　　 /￣　l |　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　■■-っ　＜　んなーこたーない
　　　　´∀｀/ 　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　　 ＿_／|Ｙ/＼.
　Ё|＿_　| /　　|
　 　　　| У..　　|

>>445がわかる62は一人もいない。

お〜い。>>62〜。挑戦状たたきつけられてんぞ〜。

お〜い。>>62〜。挑戦状たたきつけられてんぞ〜。

お〜い。>>62〜。挑戦状たたきつけられてんぞ〜。

>>456

だってあれネタなんでしょ〜。付き合っている暇ないって（笑）。
Coxter-Toddの方法とか使ってみたらどうかなとは思うけど。

　＞　自己レス

>(3)　定理.　pを素奇数とする（2ではダメ）。pに対応するp群Gが
>　　　　　　位数pの部分群を1つだけ持つとすると、Gは巡回群となる。

>　　（問）　p=2が上記で排除されなければならない理由はなぜか。

　答え。p=2のとき、|G|=8=2^3 なる2-群が反例。位数8の四元数群Qは
　位数2の部分群を1つしか持たない（要チェック事項）けど、当然
　それは巡回群じゃないからね。

しまった…。「別のところの」を取り外すのを忘れてしまった(--;。

出来ないからネタ

＞だってあれネタなんでしょ〜。付き合っている暇ないって（笑）。
　
解け！！群論専攻の誇りにかけてとけ！！！

もういいよ。おまえはがんばった。
昔からの真面目スレ住人は指名された62以外誰も反応してないでしょ？
空気嫁な。

>>445って解けないの？

解ける。全部非同型。

>>462
しつこいから一回だけ書いてやるよ。

それぞれの群の構造が決定していないので、同型かどうか調べるとか以前のお話。

これ以上のことを知りたければ，質問スレの過去スレをひっくり返して読んでおいで。

さー、荒れる気配が漂ってきました。

…って、完全にコピペ荒らしの手の内じゃん OTL
これ以降445についてレスした奴は荒らし認定な。
本当に知りたい奴は、わからない質問スレの過去ログを探ってこい。

>>464
過去ログでは
　
G1=<a,b,c|a^3=b^2=c^2=1、ab=ba、ac=ca>
G2=<a,b,c|a^3=b^2=c^2=1、ab=ba^(-1)、ac=ca>
G3=<a,b,c|a^3=b^2=c^2=1、ab=ba^(-1)、ac=ca^(-1)>
　
と解釈するってことに落ちついたとおもうんだが。でこの解釈の元全部非同型なんだが。

ちなみにオレは>>445じゃないよ。

>>466
「落ちついた」とか決めつけるから荒れるんだよ。
実際は、紛糾した上に、質問者がそれは違うと否定した上に
それ以上の真意を書かないまま失踪して真実はわからずじまいだったろ？

>>468
おちついたかどうかは確かに意見はわかれるかもしれないけどね。
しかしなんにせよ｢問題の意味がわからないから答えられない。｣で終了ってのは
オレ個人的には気持ちわるいけどね。到底質問文をきちんと解釈するのが不可能ってなら
ともかく。>>466みたいな解釈は自然だと思うししかもそれでちゃんと答えもでるし。
ま、なんにせよオレは(>>466の解釈のもとで)｢全部非同型｣って答えでたし。
オレはそれでいいんだが群論専攻ってなのってる香具師が｢問題文が不明瞭｣で
幕引きすんのかな？って思ってさ。
終了でもいいよ。べつに。

明らかにコピペとわかる質問に対して答える方が俺には気持ち悪いけどね。
荒らしじゃなければ何かしらのフォローレスがあるはずだがそれもないだろ？
そんなのに真面目に取り合ってたら、それこそコピペ厨の思う壺だよ。

ハッキリ言うと、答えがあるとかないとかは、実際のところどうでもいいの。

ええと、俺は群論専攻でも何でもないですが…前のほうの方と混同してるのかな？

ただ、このスレは楽しく読んでいたけど、今回荒れそうだったから、過去の荒れた例の原因から忠告してみただけです。
荒らしには徹底した放置態度を取って欲しいのですよ。個人的感情としてどんなに気持ち悪かろうとも。

>>ALL

すいません。どうもあれは荒らしネタなので私も以後放置します。

まあ終了か。ちなみに>>445は群G,Hに対して集合S(G,H)を
S(G,H)={f:G→H | 全射準同型}
とでもおいといてS(Gi,A4)、S(Gi,D6)などを比較すれば全部非同型がでます。

>>473
最後にこのスレらしいフォローレスをありがとう。

それから良スレだなとか言うのもやめたほうがいい。
誰かがそう言うと不思議なことに急に下降線をたどる。

707 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：04/02/25 16:40
既出でｽﾏﾝが

G(1)=<a,b,c>、a^3=b^2=c^2=1、ab=ba^(-1)、ac=ca、bc=cb
G(2)=<a,b,c>、a^3=b^2=c^2=1、ab=ba^(-1)、ac=ca^(-1)、bc=cb

は同型？

717 名前：別のところの62 投稿日：04/02/25 17:47
>>707

一般に、生成系とその基本関係式が与えられたとしても、それで
決まる群の位数や構造を決定するのは難しいんだよ。
そもそも同形,非同形を言うどころか、位数すら分からない。

だからまだ誰も答えられないんだと思う。私も分からないよ。

Coxeter-Toddの方法はもしかすると使えるかも。＜ぽつりというだけ。

724 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：04/02/25 19:10
>>717
あっちのスレでもそうだったけど
あんまいい加減なこと言うなって。
>>707のG(1)とG(2)は同型で、しかも
二面体群D(6)と同型だってこともすぐわかるよ。
泥臭くやればいいんだよ。

726 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：04/02/25 19:25
ちなみにG(1),G(2)いずれの場合も、任意の元を
(a^i)(b^j)(c^k) i=0,1,2 j=0,1 k=0,1
という形に表せられて、こんなの全部で高々12個しかないんだから
手を動かしてそれぞれの位数調べたり演算見てるうちに
二面体群だってわかる。

具体的には例えば
G(1)はx=ac,y=b
G(2)はx=abc,y=b
とおけば、いずれも
D(6)=<x,y | x^6=y^2=1,xy=yx^(-1)>
と同型になる。証明にしたってこれくらい元を全部書き出したっていい。
これくらい大した労力でもないだろ。
もちろん他人のために労力使う必要はないけど
やってもないのに位数もわからないとか言うなよ。

荒らしも必死なんですね・・・

＞とでもおいといてS(Gi,A4)、S(Gi,D6)などを比較すれば全部非同型がでます。
　
S(Gi,S3×S3)もつけといてください。S3×S3の位数３の元xは
x=((123),(123))、((123),(132))、((132),(123))、((132),(132))、
((123),id)、((132),id)、(id,(123))、(id,(132))
しかなく、そのなかでC_G(x)が位数２の元をもつのは後半の４つだけ。
よってφ:G2→S3×S3でφ(a),φ(b),φ(c)が全部非自明なのは
φ(a)=((123),id),φ(b)=((12),id),φ(c)=(id,(12))
･･･略･･･
などの場合だけでこれらのときφは全射でなくφ(a),φ(b),φ(c)のうちいづれかが
自明なら像はS3×C2かS3かC3かC2か自明群なので全射でないことがわかります。
S(G1,S3×S3)はφ(a)=((123),(123))、φ(b)=((12),id)、φ(id,(12))はwell-definedで
全射なのでS(G1,S3×S3)のみがnon empty。

訂正。φ(a)=((123),(123))、φ(b)=((12),(12))、φ(c)=((34),(12))。

訂正。最後から２行目のφの定義。φ(a)=((123),(123))、φ(b)=((12),(12))、φ(c)=((23),(12))。
それと
×自明なら像はS3×C2かS3かC3かC2か自明群
○自明なら像はS3×C2かC2×C2かS3かC2か自明群。
∵φ(b)が自明ならG2/(bで生成される正規部分群)がC2なのでこの場合桶。
φ(c)が自明のときも同様。
φ(b)もφ(c)も自明でなくφ(a)が自明ならφ(b)=((12),(12))か((12),id)としてよく
(i)φ(b)=((12),(12))のとき
φ(c)=((12),(12))、((12),(23))、((23),(23))、(id,(12))、(id,(23))としてよく像はそれぞれ
C2、S3、S3、C2×C2、C2×S3。
(ii)φ(b)=((12),id)のとき
(i)に帰着されるcaseをのぞいて
φ(c)=((12),id)、((23),id)、(id,(12))としてよく像はそれぞれ
C2、S3、C2×C2。

おまえらも　ひまなやつら　だなあ

しまった。まだまちがってる。
＞S(G1,S3×S3)はφ(a)=((123),(123))、φ(b)=((12),id)、φ(id,(12))はwell-definedで
＞全射なのでS(G1,S3×S3)のみがnon empty。
　
これ全射じゃないや。よってGをS3×S3の((123),id)、(id,(123))、((12),(12))で生成される
位数18の群とするとS(G3,G)はnon emptyだがS(G1,G)、S(G2,G)はemptyに訂正。
しかしG1,G2,G3が同型でないことをいうだけなら
#S(G1,S3)=0、#S(G2,S3)=12、#S(G3,S3)=24
でよかった。計算も楽だし。

181 名前：別のところの62 sage 投稿日：04/02/27 19:09
群論スレでやればいいじゃんと思われるかもしれませんが(--;。

X　= R - Q を無理数の集合とします。Xに適当な演算を入れて
これを群（可換,非可換は問わない）にすることは可能でしょうか？

一般に、与えられた空集合に対して必ずある演算を入れられて
群にすることが可能であると言えるものなのでしょうか？

群にしたい集合Xと濃度の等しい群をG見つけてきて
f ： X→G （全単写）を用いて a,b∈X ab = f^(-1)(f(a)f(b))
と定義すれば群になりそうだが。

空集合というのはタイプミスだろう。というわけでその問題は

命題
　任意の集合に対してそれと濃度の等しい群が存在するか

と同値ということでOK？

自明すぎ。

>>488
自明にすぎることなんてあるんですか？
単に自明なのと自明すぎってのはどこが違うんですか？

Ｘに対して、単位群｛１｝のコピーを｜Ｘ｜個用意して直積群を作る。

１×１＝２。

>>490
えーと、その濃度は｜Ｘ｜ではありませんが。

やれやれだ

つまり
「自明すぎだよ〜　
Ｘに対して、単位群｛１｝のコピーを｜Ｘ｜個用意して直積群を作ればいいんだからさぁ〜」
ってことだったんですかそうですか

>>488=>>490
自明なのは君の頭じゃないのか。

なんか荒れ模様ですね。漏れのせい？だったらスマン。

わたしのせいかな。そうだったらごめんよー。

きみらのせいじゃないぽ。
488のせいじゃないの？

レーベンハイムスコーレム？

>>499
なるほど。
確かに群を群論のモデルと見なしてレーベンハイムスコーレムで濃度を落としてくれば証明できますな。
そこまで大定理使わなければできないのか疑問だけど。

>>499
>>500
本当にできるの。

>>501
釣りだろうけど…
レーベンハイムスコーレム知ってる？
まんまの主張なんだけど。

知ってるレーヴェンハイムスコーレムだと全然証明にならない。

釣りですか？それともあんたら、アフォですか？

｜Ｘ｜が無限なら、自明でない有限群を｜Ｘ｜だけ直和すればいいだろ。

｜Ｘ｜＜２＾｜Ｘ｜。

ここの連中って、直積と直和の区別もつかないのかｗ

病院から抜け出してきた奴がいるな

任意の空でない集合に対してその集合の二項演算で
その集合を巡回群にするものがある。

ネタスレに転化しようとしているヤシが居るな

>>504
言われてみればそうですね。ありがとうございました。
釣りではありません。

>>504
その濃度が|X|と等しいことはどうやって照明するの？

自由群。

>>511
|X|^n=|X|（n\inN）と|X|*|N|=|X|

みんな>>490に突っ込んでたわけだけど
そこでいきなり別のことを書いて「きみらアフォ？」
って言われてもなあ
ところで「無限なら」って書いてるところ見ると
「有限なら」>>490でＯＫと思ってる（思ってた）わけ？

>>513
それが自明なの？

>>514が正しい事を言った。
きちんと答えるように。

490=514だな

群論スレに粘着して何が楽しいんだろうな
ネタにしても芸が無さ杉

>>517
なんでだよｗ

Ａ「３×４＝１１だよ」
Ｂ「え？何言ってんの？違うよ」
Ａ「アフォですか？５×６＝３０ですけど」
Ｂ「はあ、そうですね・・・」

>>500は何か勘違いをしていると思う。

>>519-520
図星か（プ

ネタのレベルの低さからして、
コラッツスレと同一人物臭いなｗ

>>500-523は何か勘違いをしていると思う。

>>488
>>490
>>504
>>506
>>522
>>523

>>525は何か勘違いをしていると思う。

群論に直接関係ないけど、長年当たり前と思ってた事が全く勘違いである事に気付いた。
位数p^nの有限体はn>mの時当然位数p^mの有限体の拡大体だと思っていたら全然違った！
驚愕！










こんな漏れが修士号持っててｽﾏｿ。

ｍ｜ｎ。

続けてｽﾏｿ。
拡大体である事とm|nである事が同値になるのかな？
自分で考える、又は調べるべきなんだろうけどもう数学はなれて時間経ってて頭鈍ってるし調べるのも大変で…
教えて君で申し訳ないが親切な現役の方教えて下され。

>>528
気付かなかった。ｽﾏｿ。サンキュ！
で、そのことはどうやって確かめればいいのかな？

なんだかだんだんずうずうしくなってきた…

位数qの有限体上のk次元ベクトル空間の元の個数は?

自明な方に拘る傾向があるな

ｎがｍの倍数のときｐ＾ｎ−１はｐ＾ｍ−１の倍数で
Ｘ＾（ｐ＾ｎ）−Ｘ＝Ｘ（Ｘ＾（ｐ＾ｎ−１）−１）は
Ｘ＾（ｐ＾ｍ）−Ｘ＝Ｘ（Ｘ＾（ｐ＾ｍ−１）−１）の倍数。
ｐ＾ｎ個の元をもつ有限体の部分体でｐ＾ｍ個の元をもつ有限体があれば
その元はＸ＾（ｐ＾ｍ）−Ｘの根。
Ｘ＾（ｐ＾ｎ）−ＸがＸ＾（ｐ＾ｍ）−Ｘの倍数なので
ｐ＾ｎ個の元をもつ有限体の元でＸ＾（ｐ＾ｍ）−Ｘの根はｐ＾ｍ個で
ａ，ｂがＸ＾（ｐ＾ｍ）−Ｘの根のときａ＋ｂ，ａ−ｂ，ａｂ，ａ／ｂ（ｂ≠０）は
Ｘ＾（ｐ＾ｍ）−Ｘの根なのでＸ＾（ｐ＾ｍ）−Ｘの根全体は
ｐ＾ｍ個の元をもつ有限体。

>>531
>>534
サンキュゴメンｽﾏｿ
全然自明じゃん！
欝出し脳

どうも。

今日、正式に修了が確定しました（修了者名簿に名前が載りました）。
ということで、修士確定です。

終わってみたらなんとなくむなしくなってきたなぁ（−−；。
ゼミのころはきつかったけど。終わったら終わったでむなしいし。
博士に行きたかったんだけど、諸般の事情でやめました。

というわけで（？）、社会人になってもある程度の知識は忘れないうちは
持っているのでまた遊びに来ます。それではまたいつか会う日まで。

>>536
オメ

　　　　　　　　　彡川川川三三三ﾐ〜
　　　　　　　　 　川|｜ ＼　　／　||〜　ﾌﾟｰﾝ
　　　　　　　　　‖｜　 ◎---◎ ||〜
　　　　　　　　　川 ‖　　 　3　　 ヽ〜　
　　　　　　　　　川川　∴）〆（∴　）〜 ＜群論の星です！
　　　　　　　　　川川　 　　　 　　 /〜　　
　　　　　　　　 川川‖　　　 　　 /‖〜 　
　　　　　　　　川川川＼　_____／川‖〜
　　　　　　　　　_／ | ＼　 　 ／|＼_
　　　　　　 /￣/　　| ／｀又´＼|　 | ￣＼

62って実はシャインYUKI?

　　／⌒へ√⌒───＝＝＝＝＼＝＝|
　／‖／ ／／~＼＼＼＼＼へミミミミ＼ ﾐﾐﾐ
　|彡彡彡／ .¨∵∴∵∴＼＼＼＼＼＼＼ミミミﾐﾐﾐ
　|彡彡ﾉ 　∵∴∴：：∴∵ ＼＼＼＼＼＼ミミミ〆
　＼彡ﾉ 　∵∴∴∵星：∴¨　＼＼＼＼＼＼ﾐﾐﾐ）
　　　|ﾉ　　　υ　　　ι ∵　　u　　＼＼＼＼＼ﾐ＼
　　　ﾐ　　：■■■　　Ｊ '■■■：＼＼＼ｿ）|
　　　|│　　≦≧ ﾐ　　　　≦≧　　　　 ﾐ〆ｿ
　　　|│　　　　　 ﾐ　　　彡　　　　　　　|ソﾉ
　　　∪∴∵∴ノﾐ● ●　＼ ∴∵∴　 | ~
　　　　|　　　 ﾉ 　　＿＿　　＼　　　　　|
　　　　 |　ー'､＿／┼┼＼_＿,`ー　　丿 ＜群論の星です
　　　　　＼　　　＼ ＿＿ ／　　　　ノ　
　　　　　　　＼　ιι　u　　Ｊ　／
　　　　　　　　　`―――――‐'

どーも。ちょっと遊びに来ました。

この2年間で一番よく使った定理（事実）って何だろう？
ラグランジュやシローの定理は当たり前なんだけど、M2ではp群関係を
触っていたのでこれらの出番はありませんでした（p群にシローの定理は無効）。

例えば、案外ちょっとしたことだけど、

　・　群Gの部分群Hに対して、 N_G(H)/C_G(H) は Aut(H)のある部分群と
　　　同型。

…なんていう事実もよく使ったなぁ。ほかにも

　・　有限群Gが指数3,4の部分群を持てば、それが正規とは限らないが、
　とにかくGは非単純群（指数2の場合はそれは正規）。
　
　　（問）　指数5のときの反例は？

…なんていう地味な定理もよく使いました。


私は専門家じゃないから偉そうなことはいえないし言わないけど、
有限群論って、代数学の中でも特別な分野だと何度も思いました。
有限性を仮定しないと成立しないことをよく使いますから。

＃　有限環論っていうのはあるのかなぁ？

またここで有限群論を4年生と院で学んでいる人が書き込むことを祈ります。
それではまた。

一番良く使った定理がパップスの定理な俺は初等幾何マニア。

環は、可換か非可換かが問題じゃなったか？

非可換な有限環てどんなのがある？

>>545
有限体上の行列環とか有限アーベル群の自己同型環とか。

＞有限アーベル群の自己同型環とか。

自己準同型環だった。

ははぁ、そうだ、そんなのあったな。
じゃあ有限環でも群論と同じように、それ以上直積分解出来ない環の分類とか出来たりするかな？
群論の半直積にあたるものが環でもあるのかな？
単純に正規部分群にあたるイデアルをもたない環を「単純環」などと名付けようとすると、それは斜体になっちゃうしな。
なんとか有限環の分類出来ないもんかな？

>>548
極小条件を満たす環の一般論はよく知られている。
その環の根基による剰余環は半単純環であり、半単純環の
構造は、ほぼ完全にわかる。つまり半単純環は単純環の
直積であり、単純環は斜体上の行列環に同型。
よって有限環の場合、単純環は有限体上の行列環に同型となる。

>>549
サンキュ。
群より簡単なんだね。
してそういう内容はどんな本を読めばいい？

>>550
例）　McDonald,　Finite Rings with Identity
どこの出版か忘れた

>>550
少なくともファン・デル・ヴェルデンの本には載ってる。

>>548
もちろん半単純環は>>549のように記述されるし、
同様に幾つかのクラス（遺伝的、根基の２乗が０、等）についても可能だが、
一般には綺麗な分類は、まず存在しないだろう。
また有限体上よりも代数的閉体上の方が扱いやすい事が多い。

そもそも環が何故数学的に重要かというと、環とはアーベル群の
自己準同型環またはその部分環と見なせるからだ。
これは丁度、群が置換群と見なせることと同様である。
圏論的に言うと群はある圏の対象 X の自己同型群 Aut(X) と
して現れるし、環はアーベル圏の対象 X の自己準同型環 End(X)
として現れる。

後半は割と良い事言ってるけど、
前半２行は、ハァ？だよ。

ハァ？なのは君の．．．
自分の無知というか浅慮を棚に上げて。
環Ｒの正則表現を考えればわかりそうなもんだが。

も少し勉強しろよ。

＞そもそも環が何故数学的に重要かというと、環とはアーベル群の
＞自己準同型環またはその部分環と見なせるからだ。

やれやれ、どこの専門馬鹿の発言ですか？

しょうがねえなあ。手取り足取り教えないとわからないのかよ。
単位元を持つ環 R に対して R をアーベル群とみたときの
自己準同型環をEnd(R) とする。 R から End(R) への環準同型 f
をf(x)(y) = xy で定義すると f は単射となる。
つまり R は End(R) の部分環と同型である。

>>555と>>557と>>558は代数の初歩から勉強しろ。
それが終わってからこのスレに来い。その時までこのスレ
があるとは思えないがｗ

>>554

はやく巨数情報論のお話をはじめて。おながい。
蛾魯亞表現でもいいでつ。

私が有限環論と書いただけで唐突に「環論の星」になっちゃった(^^;。

>>549

>その環の根基による剰余環

環に根基があるように、（有限）群にも根基が定義されます。
群Gの位数最大の可解正規部分群を（群の）根基といいます。

>>561
君も虚数乗法論に興味あるのか。なかなかよろしい。
この理論は１９世紀数学の最高峰にもかかわらず
現代では勉強する人間が少ない。
解析と幾何と数論が高度に関連し数学における桃源郷
を構成している。しかも、その桃源郷は未来に開いている。
ガロア表現はラングランズ予想につながる。これもいいね。

>>563

正直いいとは言えないんですが、いいことにします。
たぶんいい人もたくさん見てると思いますので。

>>564
よくないなら持ちだすなよ。ったく。

例えばある体に付値が与えられた状況で
付値環を>>554 >>559のように見なすことは
どう数学的に重要になってくるんですか？
煽りじゃなくて純粋に疑問なんでよろしくお願いします

＞そもそも環が何故数学的に重要かというと、環とはアーベル群の
＞自己準同型環またはその部分環と見なせるからだ。

（　´,_ゝ｀）ﾌﾟｯ

いかりやの長さんが死んじまったーーー！！！

>>566
環 R をアーベル群 M の準同型環の部分環と見なすことは、
M を R-加法群と見なすことになる。これは R-加群の
線形代数の理論の出発点となる。付値環上の加群の
理論も当然付値論で重要だ。

ある対象を○○と見なせる、ということと、それ自身の重要性は全く別問題なわけだが
その部分の説明が全然ないですな

わかってない奴が多いんで>>554を補足する。
アーベル群の自己準同型の全体が環をなす。
これが環の典型的な例だけど、この環の部分環
まで含めるとこれが環の例のすべてを尽くすことになる。
環というのは初学者が思うほど人工的なものじゃないってこと。

>>570
説明しなきゃならない義務は無い。
別に俺の意見に同意しなくてもいいよ。

数学としてはからっきし。ネタにしても中途半端。

「〜だから、環は重要」
じゃなくて
「環が重要である理由の一つとして〜だからということがある」
ってことでしょう。素朴な出発点から自然に環が出てきたときには
あえて自己同型群全体のなす環と見るよりも
別の見方をしたほうが重要度が高いことも多いのだから。

そういう意味で突っ込んでる人もいると思うのだけど。
実際>>559なんてのは環論のどの本を見ても書いてあることなんだから。

まあ別に突っ込んでもいいんだけど(それを承知で書いた面もある)、
有限環で非可換の例を聞いてきた人がいたけど、環とは
自己準同型の環であるという見方を持っていればまずこういう
質問はしないだろうと思ったのが書いた主な理由。

アイタタ、ネタじゃなかったのか

＞実際>>559なんてのは環論のどの本を見ても書いてあることなんだから。

ところがこれを知らないか忘れている学生が多いのは見てのとうり。
学んでも頭を素通りしちゃしょうがない。
環の元を自己準同型と見なすのは非常に強力な観点なんだけど
これを理解してない学生が多いのは驚きだね。

イタイのはお前(>>555と>>557と>>558)

＞そもそも環が何故数学的に重要かというと、環とはアーベル群の
＞自己準同型環またはその部分環と見なせるからだ。

などと恥ずかしいカキコをしてしまった人間が、
なにやら必死に開き直っているなｗ

そういうお前(>>555と>>557と>>558)こそ必死だなｗ

暇ですね

>>574
環を自己準同型の集まりと見なすことは群を置換群と見なすこと
と同様。これらの見方は環と群の理論において非常に重要なんで
いろいろあるうちの一つの見方というのは適当でないと思うぞ。

>>581
お互いさまだろ。

>>582
凡人の抽象センス丸出し

数学としてはからっきし。ネタにしても中途半端。

>>582
>>574にはそういうことは書いてないと思うが

環の意味が分からずに苦労していた彼がやっとのことで納得できた環の意味が
＞そもそも環が何故数学的に重要かというと、環とはアーベル群の
＞自己準同型環またはその部分環と見なせるからだ。
ということだったんだから認めてあげましょうよ、みなさん。

>>555もやんわり諭してあげたつもりだろうに、
ここまで粘着されて気の毒だなｗ

環は自己同型環として見るから重要か・・
最近の学生は永田さんの可換環論なんか読まないんだろうな

永田さんの本には「自己同型環」が出てくるんですか。ふーん。

でもかつて学部で環論やった時って可換環論しかやらなかったよな。
「非可換環論もやると複雑になるから」との理由で。
これでは先の書き込みにある環の意味なんて理解できる訳がない！
でもそーいや群論を可換限定でやったら甚だツマランやな。

ところで昨日今日の書き込みの中に三位一体の加藤教の信者がいる様子。
漏れの師匠も信者でつ。
だから何って？
別に…

こういう何が重要とか重要でないとかいう議論は平行線だな。
まったく無意味とも思わないが。

＞圏論的に言うと群はある圏の対象 X の自己同型群 Aut(X) と
＞して現れるし、環はアーベル圏の対象 X の自己準同型環 End(X)
＞として現れる。

ここはナカナカ良い事言ってるんだが、

＞そもそも環が何故数学的に重要かというと、環とはアーベル群の
＞自己準同型環またはその部分環と見なせるからだ。

こうなっちゃうあたり、修行が足りん。

>>592
議論になっていたとは驚き。

>>591

「三位一体の加藤教」て何ですか？　加藤さんて誰ですか？

>>589
可換環でも加群はやはり重要でしょう。環 R の上の加群 M と
いうのは R から End(M) への準同型を与えることで得られる。
これは R の自己準同型環としての表現そのもの。

>>593
どこがおかしいのか説明してみなはれ。

見識が狭い人間が、「数学的に」とかいうからオカシイ

>>594
議論でなくてもいいよ。俺の言ってる意味がわかれば。
平行線だろ。

>>598
それが説明かよｗ

地道に勉強しなはれ

しかし皆夜遅く迄、妙にエキサトしてるじゃないか。
>>554をイタイと煽るだけにしちゃ。イタイのは君達の自尊心じゃないのか？

>>602
典型的過ぎてワロタ

と言うより図星だろ。イタイ笑い。

いいぞ、もっと煽れｗ

>>595に>>591でも誰でもいいから答えてやってくれ。

三位一体 加藤
で検索しる

出来の悪い弟子のいる加藤さんも大変だな

>>607
googleで３０００件以上ヒットしたぞ。加藤の下の名前は？

（　´,_ゝ｀）ﾌﾟｯ

>>609
加藤先生を知らないなんてモグリだな？

俺の知ってる加藤：和也、文元、毅、茶

加藤某を知らないと数学出来ないのか。
アメリカの学者もフランスの学者も皆知ってるのか。
数学といってもいろいろあるしな。それでも皆知ってるのか。
そりゃ大変だ。

>>612
敏夫先生も追加しる!

加藤ネタでお茶を濁そうとしてるなｗ

>>613
知ってるだろう、きっと。「変わった人」として(w

（　´,_ゝ｀）ﾌﾟｯ

最近このスレって。。。。

言いかけて途中で止めるスレになっt

っていうか、「環論の星」化しているような気が(^^;。

群論やるなら環論は知っておく必要はある。半単純環の構造定理なんかは
群論をやるものにとって常識だね。

次スレは「群・環・体論の星」にするか。w

このスレはレベルの高い代数学の経験or研究者？が集ってる気がする。
とっても良スレだと思う。

水を差すわけじゃないが、ここに書かれている内容は
学部後半からせいぜい修士レベルのものだと思うぞ

いや、それ未満だと思うぞ

どうだっていいじゃないですかそんな事

で、まぁ、何とか修士の学位を頂いてきました（学位授与式にて）。
この2年間（学部4年を含めると3年）色々ありましたが、修了できて
よかったです。
有限群論のゼミにいらっしゃる他の方も目標に向かって頑張ってください(^^;。

印象に残っていることといえば…。ゼミで位数264の非単純性を示したことかな？
（修士で呼んでいた洋書の練習問題に出てくるもの）
興味がある方はやってみてください。

>>624
まぁ、確かに少なくとも私は修士卒だから、それ以下の話題しか提供
できないよなぁ（−−；。

修士でも大学のレベルにもよるんじゃないの。

>>623
いいスレだとか言うと不思議なことにそのスレは下降線をたどる。
だから言わないほうがいい。

ていうか糞スレだよな。

>>630
そうそう。何せ>>630みたいなアホがいるスレだもんな。w

有限集合Sがあり、元の個数はNとする。
Sに定義できる群構造（同型を除く）の個数を求めよ。

>>632
やだ。っていうか一般には不可能。

＞一般には不可能。


決め付けるな。考えろ！

考えるだけ無駄。

＞考えるだけ無駄。


決　　め　　付　　け　　る　　な　　っ　　て　　言　　っ　　て　　い　　る　　だ　　ろ　　う　　が

世の中にはお前の自由にならないものもある。っていうか自由に
ならないものだらけ。決め付けるなと決め付けるな。

言い出した奴が考えろ。他に考える人はいないだろうが。

>>637
>>638
責　　任　　転　　換　　す　　る　　な

何故634は他人に強要するの？
考えるって時間かかるし、疲れるよ。
見ず知らずの人をタダ働きさせて平気なの？
「位数Nの群をすべて求めよ」という問題は
このスレの最初のころから話題になってるけど
ものすごーく大変そうだよ。

＞見ず知らずの人をタダ働きさせて平気なの？

全然平気ですが？

ふーん
そういう人だったのか

>>639
最初からおれには何の責任もありませんが。

どうもぉ。

　＞一般論で

一般に、位数nの有限群に対してf(n)でその同型類の個数を返すfを考えたと
しても、そんなものを作るのははっきりいって無理です。
nが特殊な形（例えば、pq,pqr,pqrs,p^3,…）という場合に可能な程度です。

なお、p群に対してはいわゆる2/27公式なんていうのもありますが、
ほとんど役に立ちません。

［ｐ＾ａ］⊂Ｄかつ［ｐ＾ｂ］⊂Ｄならば［ｐ＾ｌｃｍ（ａ，ｂ）］⊂Ｄ。

アーベル圏はある環の上の加群の圏に充満に埋め込まれるという定理がある。
これも環の重要性を示しているな。

自明な定理で感動できて幸せですね

>>646は自明ではない。
自明なのは君の頭の構造。非常に自明だｗ

相も変わらず芸が無い事で

３／２８＝１＋２／２７＋１

>>648
君、相当頭悪いね

>>648は真自明

>>651
よく言った。証明してみてくれ。

少しはお勉強しなはれ。

>>647=>>651=>>654
>>646が自明なら証明してくれ。自明ならこの場で証明できるはずだ。
証明出来ないときは．．．分かってるね。

ところで、自明かどうか重要かどうかは別物だと思うが。
自明であるというだけで感動するに値しないと考える頭の方が幸せかと。

定理があると重要。

>>656
そう。君はわかってるね。これが分からない者が多いんだな。
証明が簡単だと価値がないと考える。これは一種のスノビズムだよ。
Grothendieckが｢収穫と．．．｣でこのことを批判していたな。
彼の発見で一番重要なものは自明なものだと書いている。
つまり観点が重要であってその証明が自明か否かは問題ではないと。

>>554が斬新な観点に思える時点で、554＝落ちこぼれ説が確定したなｗ

>>658
証明が簡単だと価値がないと考えるのはスノビズムというより短絡的。
スノビズムなのはむしろ>>554のほうだと思う。



スノビズム：教養人を気どる俗物根性。紳士気どり。

スノビズムというのは日本語には訳しにくい。イギリスの貴族階級の
存在から出てきた言葉。平民が貴族のまねをするのが典型的な
スノビズム。

>>647=>>651=>>654
御託はいいから>>646をとっとと証明してくれ。
証明出来ないならお前は．．．わかってるよなｗ

>証明が簡単だと価値がないと考えるのはスノビズムというより短絡的。

その短絡の裏にスノビズムがあるんだよ。

>>663
貴方にはスノビズムの裏に何か変なものがある

よほど証明できないのが悔しいのか、やけに粘着してるなｗ

>>665
俺は>>647=>>651=>>654とは別人だけど

>>666
随分間抜けなレスですね。

>>664
>>585

（　´,_ゝ｀）ﾌﾟｯ

そろそろやめたら〜

もういいよ、
>>647=>>651=>>654 とか >>665=>>667=>>668=>>669 って
いつも同じパターンでインネンつけてる喧嘩屋だろ。
554にツッコミ入れてたら喧嘩屋が出てきちゃったな。
おわりにしよう。

つか、アンタが、終わってますｗ

>>647=>>651=>>654 とか >>665=>>667=>>668=>>669 って
このスレで何かの拍子に傷ついたんだろうね。それも自業自得で。
でその傷を癒すために突っかかるわけだ。２ｃｈていうのは匿名だから
そういう低劣な感情が生で出る。だが、これも人間の本音を観察できて
面白いともいえる。

このスレで最も痛い発言は>>570だな。
ある対象を○○と見なせる、というのは、背後に一般化が控えている可能性がある。

ところで、環というのはどのように定義すべきだと思う？
代数トポロジーで全く違う環論が発展しているようだが。

しかし>>554も、懲りずに延々と自作自演を繰り返すな。
きっとこのスレで何かの拍子に傷ついたんだろうね。それも自業自得で。
でその傷を癒すために突っかかるわけだ。２ｃｈていうのは匿名だから
そういう低劣な感情が生で出る。だが、これも人間の本音を観察できて
面白いともいえる。

またかよ。だからその痛い理由をわかりやすく説明してみな。

芸風に変化を入れてみましたが、いかがでしょうか？

念のために言うと>>677は俺(>>554)じゃない。

念のために言うと>>677以外は俺(>>554)の自作自演。

喧嘩の星

有限アーベル群は巡回群の直積であることの証明でよく使われるのは
有限生成自由アーベル群の部分群の基底としてうまいものが取れる
という単因子論と本質的に同じものだけど、この証明は小鳥を
打ち落とすのに機関銃を使うようなものに思える。
もっと簡単な証明がありそうに思える。なにせ相手は有限アーベル群
だよ。

つーか一番痛いのは地方大学の修士程度で
自慢げに数学語るシャイン逝きなわけだが（ﾌﾟ

>>682
誤爆？

地方大でなくてもダメなやつはダメ。
それに数学を語るのに学歴は関係ない。

ねえねえ、ネンチャックンがしつこく>>554に絡んでる理由を、
ちょっと考えてみたんだけど。まず直後の>>555ってのはさ、

> 後半は割と良い事言ってるけど、
> 前半２行は、ハァ？だよ。

ってな具合。後半って、「圏論云々」だよね。だからさ、「前半部が
圏論的表現でない」っていうのが、痛くお気に召さなかったっんじゃ
ないかなぁ。ああ、すげーシンプルな推論(^^;

・・・圏論マンセー？　それって、どういう人物像やろうな？？
あと、途中からは単なる愉快犯（複数）やろな(w

>>685
もっと単純な理由だと思うよ。つまり>>559, >>560で切れちゃった。
自分の無知を思い切り指摘されて。
だから>>646も>>559のように自明だと思ったんだな。
それで>>647のコメントになる。

てゆーか、>>559, >>560がモロ切れてるレスで笑えるんだが・・・

苦しいなｗ

もしや554さんは岡スレでお見かけした417さんではありませんね？
いや、自分の思い込みで語るところがそっくりなんで。

要するにアンタ（達）は、「良スレは許せない！」系の住人ですね。

それはそれで2chの一側面ではあるけど、ボクは微妙に残念ですよ！(^^;

なんで名無しになってるんだ。

>>690
きっとよっぽど普段の生活が満たされていない可哀想なデブオタなんだよ。

>>689
俺は>>554じゃないけどお前は岡スレのあの粘着だな。

自分の意見に同意しないスレは良スレじゃない。

もともと荒れたのは554のせいだろ。主張のオカシサを指摘されても
開き直って暴れたから。ひとのせいにするんじゃない。

いつまで粘着してんだよ。

そうだね。
粘着するの止めた方がいいよ。＞５５４

あなた、詳しい方？
だったら、もうちょっと詳しく解説してくれませんか。

ボクの浅薄な理解だと、>>554の前半と後半ってのは、そんなに
違ったこと言ってるようには見えないんです・・・。

「圏論的に」ものごとを叙述することで、前半部のような具体的
（っていう表現が正しいのかどうか(^^;）な記述を本質的に超える
ようなニュアンスが醸し出されるもんなんすか？

当方、圏論の初歩を勉強中（Stoneとかを圏の枠組みで理解できる
ようになったあたり）。初学者にも分かるような解説ｷﾎﾞﾝﾇ。

よしわかった。どんなに荒れてもいいけど750まで行ったら
全て切り上げて群論の話に戻そうな。

てか700で切りもいいし 今すぐ戻せば？ 素因数5がたくさんあった方が お好き？ それとも何、 スリーコーターだから？

素朴な疑問。
そもそもこのスレに書き込んでる奴って群論が好きなの？

圏論的には必ずしもそうとはいえない。

圏論てなんだ？

702は701に対する答え？

ちょっと質問。
体の拡大L/K
ってどう読むの？

>>705
圏論的には読み方は余り重要ではない

圏論ってなんだ？

>>705
L over Kだろ。

日本語ではK上のLでいいんですか？

>>707

基礎論に挫折して代数幾何などに落ちぶれた数ヲタが、
基礎論紛いの事を言って偉くなった気になるための道具。

圏論は位相幾何の問題を解く必要から生まれたもので始めから
基礎論との関係が意識されていたわけではない。基礎論をやってる
連中の中には圏論を目のかたきにする者がいるが、圏論を応用する
人間にとっては基礎論など眼中にないのが多い。

>>711
圏論的には、グロタンディークは多分全く基礎論になど
興味がないものと思われる。

>>705 L over K ってとこか？ 圏論的な見方もいいけど それだけになるのはどうかと思うぞ。

>>713
そんなことは何にだって言えるだろ。群論的な見方もいいけど
それだけになるのはどうかと思うぞとか、幾何的な見方も
いいけど、解析的な見方もいいけど、etc.etc....

>>714 ここは群論スレなんだから 基本的に群論的見方がベースでよろしいかと。 群論スレで圏論的見方限定の発言は 明らかにおかしいかと。

らばーＫ

>>715
誰もおかしくないと言ってないでしょ。当たり前の言わずもがな
のことを言うから混乱する。

>>715 >>717 会話になってないような

わけのわからない>>713が元凶。

俺がせっかく>>681を振っても誰も食いつかないな。
皆さん煽りがお好きなようで。

レヴェル低すぎ

2chにしては低くはないだろ。

>>720
おまえの話題は面白くないんだよ。数学センスがないからだろう。

>圏論的には、グロタンディークは多分全く基礎論になど
>興味がないものと思われる。

日本の数学者のレベルの低さを如実にあらわした発言だな（笑

>>723
>>554の話題が面白くないわりには．．．

プ

>>724
じゃあ、外国で認めてもらえば。がんばってね。

自分が誰にも認められないからって、そう突っかかるな（笑

なんかわかりやすいれすだ。

基礎論系にはおかしなのが多いね。
ヤマジンとかエムシラとかマツシンとかさ。

数学系には無能が多いね。
ヤマジンとかイマイとか730とかさ。

なんだ松本真吾か

鉄道総研ｷﾀ━━━━━━(ﾟ∀ﾟ)━━━━━━ !!!!!

>なんだ＊＊＊＊か

自分の無能をマツシンのせいにするのは良くないな。

職の無い奴がマツシンに嫉妬しているな（笑

数学をやってる連中の中には基礎論を目のかたきにする者がいるが、
基礎論を応用する人間にとっては無用な現代数学など眼中にない。

>>736
目の仇じゃなくて関心がないのが多い。お互い関心がないなら
問題ないだろ。

税金で趣味に耽っている乞食連中を見過ごす事は出来ないな。

じゃあどうするんだ。消すのかｗ

現に消えてってるだろｗ

>>739みたいな無能には関係の無い話か（笑

久しぶりに覗いてみたがすっかり喧嘩上等スレだね。(w
でも、盛り上がるのはいいことだ。
所詮２ちゃんねるなんだから、喧嘩的議論もいいんじゃない？
まあ、どっちにしてもこんなにレスがついて、スレ建て人としては何よりです。
ちょっと気が早いけど、次スレも建てようと思ってるんですがどうでしょう？
このスレの常連さんの為に、単純に"群論の星２"でいいですかね？
それでは、レス９００近くなったらまた現れます。

>>736
鉄道総研で基礎論を応用（笑）されている松本真吾さんですか？

浅ちゃん・・・（涙）

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>>742
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>>740
ならほっておけばいい。

ほっておけないヤシがいる模様ｗ

>>750
趣味でやってる奴に金をやるのはいやだが奴等が消えていくのは
ほっておけないってどういうことだ。消えて欲しいのか欲しく
ないのかはっきりしろよ。

馬鹿が騒いでるな。日本語能力磨いて出直して来い。

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　　　　　　　ノ;;;;;;)〜〜　ﾌﾟｩ〜ﾝかまってかまってかまって
　　　　　　(;;;;;;;;;;;;;;;)〜〜〜〜　ﾌﾟｩ〜ﾝかまってかまってかまって
　　　 　（;;;;;;うんこ;;;;;ヽ〜〜〜〜　ﾌﾟｩ〜ﾝかまってかまってかまって
　　 　/:::::::::::::::::::::::::::::::ヽ 〜〜〜〜　ﾌﾟｩ〜ﾝかまってかまってかまって
　 　人;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;)ｸｻｲ ｸｻｲ
　。　川出川／ﾟ∴ﾟ＼ b〜　ﾌﾟｩ〜ﾝ
　。‖出‖.ﾟ◎---◎ﾟ｜〜 ﾟﾌﾟｩ〜ﾝ　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　出川‖∵∴ﾟ｡3∵ﾟヽ〜。ﾟ　。　。　＜ 僕は馬鹿でーす
。　川出∴ﾟ∵∴）д（∴）〜ﾟ 　　　　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　。出川∵∴ﾟ∵o〜・%〜｡
　　川出‖o∴ﾟ〜∵｡/。〜 >>753
　出川出川∴∵∴‰U 　。
　。ﾟ／ﾟ｡　‥; ∵ﾟ｡∵＼。〜ﾟ　
。　|:　|::∵゜‥; ∵ﾟ｡ |ﾟ｡|。〜　。
　　|ﾟ；|::∴゜; ∵。ﾟ｡　|ﾟ；|〜
|⌒＼|:: ∵。 ‥; ∵ |／⌒|。ﾟ
|‥∵|:∵; ゜ |∵;∴: |∵∴|。　
|ﾟ｡＼（∵:∴; ﾟ∵ﾟ｡　:）ﾟ／:ﾟ|
|ﾟ；　|＼＿__人＿___／|∵ |。
|∴ﾟ|　　　　λﾟ　　　　|;∴|
　　　　　　 (;;;;;;ヽ　〜　　〜
　　　　 　 (;;;;;;;;;;;;)〜　〜　　〜
　　　　　（;;;;;;;;;;;;;;;;_）　〜　〜 　　　
　　　　（;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;_）　　〜 　　

圏論的には、荒らしは止めてくれ！

>>753-754
マツシンと一緒に消えてくれ。

第三者を装ってるつもりの>>742が、おかしくてたまらんｗ

もう７５０は超えてるんだが。

なんで圏論なんてもんがあんのよ？
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1057731708/

699 名前：１３２人目の素数さん 投稿日：04/03/31 02:21
よしわかった。どんなに荒れてもいいけど750まで行ったら
全て切り上げて群論の話に戻そうな。

基礎論系のスレってたまに
脊髄反射・オウム返し・誰にでも噛みつく
な人が現れるよね。で、>>730-731みたいなわかりやすいやりとりが続くと。
でもなんで群論スレにまで…

何の話題も振れない>>699みたいなアフォがいるせいと思われ。

Frattini群って、どんな応用例がありますか

　　　　／￣￣￣￣＼　
　　　（　　人＿＿＿＿）
　　　 |ミ/　　ー◎-◎-）
　　　（６　　　　　(_　_)　）
　　　 ｜　∴　ノ　　３　ﾉ　＜風邪ひいちまったぜ
　　　 ノ＼＿＿＿＿_ノ､
　　 （　*　　ヽー--'　ヽ ）
　　　(∵ ;)　 ﾟ　ﾉヽ 　ﾟ ）：）
　　　(:　・ )--―'⌒ｰ--`,_）
　　　（＿__）ーニ三三ﾆ-）
　　　（∴　ｰ'￣⌒ヽﾆ3　)
　　　　`l　・　　．　/ﾒ　/
　　　　　ヽ　∵　 /~- /
　　　　　（＿＿))))）_）))))

つーか
＞脊髄反射・オウム返し・誰にでも噛みつく
なんてどこにもいるよ。
全てマツシンの仕業とかいってるのは
マツシンに＊＊＊されたヲタだけだろ

すっかり糞スレだね。w

　　　にｰチャン！　　　　　　　　|
　　ﾎﾝﾏ、気持っちえぇわ〜　　|　　　 彡川川川三三三ﾐ〜
＼　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿ノ　　　川|川　／　臭　＼|〜 プゥ〜ｿ
　￣￣V　　　彡川三三三ﾐ 　　　　　川川　　◎---◎｜〜
　　　　　　　川川 ::::::⌒　⌒ヽ 　　　　川川　　　　　3　　ヽ〜　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　川川::::::::ー◎-◎-） 　　　川川　　∴）　A（∴）〜＜　　う〜ん
　　　　　 川（６|::::::::　　（ 。。））ﾊｧ　　川川　　　　　　Ｕ /〜　　|　もっと奥まで
　　　 .＿川川;;;::∴　ノ　 ３　 ﾉ　ﾊｧ ;川川　　　　 ﾀﾞｯﾗ〜　　　　|　　　　　　お願いします！ 　
　　／;;;:::::::::::::::＼＿;;;;;;;;;;;;ノ／　　川川　　　＿＿／　 　　　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿　　　　　　
　/:::D　/::::::::::::　　 　|::::| 　/　男　／　　　　 |　|
（:::::E:::;（ξ::　　・　ノ:::・/:::（　大　（　　　◎　 /　 ＼＿ 　 　 　 純ｹﾂ＼（＾〇＾）／　 　
　＼::B;＼:;::;::::　　　（::: | 　＼　好　＼　　　／ ＼　　　￣＼
　/:::＼:::U＼:::　　　 ヽ| 　　 /:＼き　　＼　）ﾄﾞﾋﾟｭ￣＼っ））））　　　　　繁殖＼（＾〇＾）／
/::::　 　＼:OT＼:::　ヽ　） 　/:::　 ＼最高　つ＿__　　　　/　＼
|:::　　　 　 ＼::A￣￣⊇)＿|:::　　　 ＼　　 （＿＿3｡ ;｡　|人:::）←ﾃｨｯｼｭ
|:::::::　　　 　　＼;;;;;;;;;;;（＿＿|::　　　　 ＼＿＿/　　　　　　　￣
＼::::::::::　　　ξ（;;;　）;; ）ﾌﾞｽﾘ＼:::　　　　（;;;　）;; ）
　　＼::::::::::::　　　　）　） 　　　　 ＼　　　　　　＼＼
　　　　）:::::　　　／／　　　　 　　　　＼　　　　　　） ）　　　　
　　　/:::::::::　／／ 　　　　　　　　　　　/　　　　　/ /　　　　
　／:::::　　（＿（＿　　　　　　　　　　　/　　　　　/ /　　

マツシン必死だな

クロゲン必死だなｗ

＞何故純粋数学がエリートってことになってるか

馬鹿な黄色いサルが１９世紀に白いブタどもに
騙されたんだよ。２１世紀の今頃気づいたのか（爆笑

７７０はウヨ

このスレの住人はろくなのがいねーな

━━━━　　/━　_/_/━ 　 /━━＿/━　 /━━　 /━━━━＿／━━━━＿／
　　　　　　　　　 /　　　__　　 __/　　 　　 　 /　　　 __/
　　　　　　/￣￣ 　　　 ノ　/ 　　　 ＿＿／　　　 __/
　　　　　　　　　　／￣￣￣￣＼　　　　　　　　三二ニニ＝−　　-　　　-
　　　　　　　　　（＿＿＿__,人　　）　　　　　　　　　　三三ニニ―　-　-　　-
　　　　　　　　　（-◎-◎一　ヽミ|　　　　三二ニ-　- -　　三二ニ-　- -　　　-
　　　 　 　　　 （　(_　_)　　　　,　⌒ヽ( ´⌒　　　　⌒）　　　　三二ニ― -　　-
　　　 ｲｪｰｲ　　（　３ （∴　 　（　　　　'　　　　｀　　　　　) 　　　　三二ニ―
　　　　　　∩＿__ヽ＿∩＿(´⌒　´⌒　ゝ　　　　｀ヽ( 　　　）　　　三二ニ-　- -　　-
　　　 　　（,ﾖ｀,,＿＿_（,,＿　（　( 　(´⌒　　　　｀ヽ　　　､ 　　　　ヽ　　三三二ニニ−　-　-
　　　　　　　　　　（(,⌒　　　⌒ヽ　　ヽ　　　　）　､ , ,,ノ　　　,,ノ　　三二ニ-　- -
　　　　　　　　"　　(´⌒　　　⌒　　　���＝@　　）　　　　　　ノ　(´⌒(´⌒　-　　-
　　 　 　 　 　 ′ 　 '' (´⌒　　　⌒ヽ　　､　,）　　　,,ﾉ　　���＝@　　,,ノ　(´⌒　　(´⌒　-
　　　 　 　 　 　 ''　 　''ゝ　〃　ヽ　"　ヽ　　　〃　′,,ノ　(´⌒　-　-　〃　-

物理の人ってこのスレにいるんかいな？

マツシンはもう何年も前から活動してないよ
マツシンだマツシンだといわれてるのは
みなマツシンヲタの妄想の産物だな。
恥ずかしいよなマツシンから受けたトラウマのために
今だにマツシンの幻覚を見るヲタどもって（ﾜﾗ

良スレage(w

777

物理屋でも分かる良い群論の本ってあります？

>>778
化学　物理のための群論入門（岩波書店）　とかいいんじゃない？

　　　　　　　 　　　　⊆ニ(二(ニニ⊇ 　　⊆ニ(二(ニニ⊇
　　　　　　　　.／￣￣￣￣￣/￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ヽ
　　　　　　　／　＿＿＿＿/＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ヽ
　　　　　　,/￣￣ ┏━, /￣￣￣|| ||::::::⌒　⌒ヽ￣|||￣￣￣￣　　￣...| |
　　　　　,/ ∧ ∧.　i┸i //. ∧ ∧　||:::ー◎-◎-）　 ／￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　 _.,/.　(・Д・ )　| :::|//　(ﾟДﾟ　) |::　　（ 。。））＜郡論の星〜
　　　|/,,,,,へ⊂　ヽ　 .// 　,/　　ノ/ ||　ノ　 ３　 ﾉ　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿
　　,/￣￣￣￣￣￣//|＿／￣￣￣| ￣￣>>1↑￣ |￣￣￣￣￣￣￣￣|
　　|~ ゜￣゜￣￣￣~~|￣￣　　　＝。|┃　　　　　　　|━━━━━...............|
　　|＿＿＿＿＿＿: |,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,|,,,,゜,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,|,,,東京精神病院,,,,,[|
　._|]0::∴:::0::[二二il:]　　 　,-―-、 ,,|　　　　　　　 　|　　　　　　　.　　 　 [|
　|=＝＝＝＝= ;...........|　　/, ￣ヽ |~~|.　　　　　　　　|　　/, ￣ヽ |　　　 　{|
　ヽニ[＿]ヾニニヽ''''''|―-|.（※）|':|''''|.'''''''''''''''''''''''''''''|''''''''|.（※）|:|'''''''''''''''''/
　　　　　ゞゝ三ノ￣￣￣ ゞゝ＿ノ￣￣ゞゝ三ノ￣￣￣ ゞゝ＿ノ

なんかこのスレ好きだｗ

>781
なんで？

おいおい埋まってるぞ

>783
これがこのスレの宿命

ところで、簡単な証明・本質的な証明って結局何なのでしょうかね。

おお、蒸し返しますな！(w

つっても、妙なアオラーが出てこなけりゃ、そこそこ面白い話題
ではあるんだが。

5×4×3

=60

A_5

おはよう

Πはかけるですか？

有限群論なんて全ての有限群を部分群として含む群を考えれば終わりじゃないか！

なんて簡単なんだムワハハハハハハハ！！！！！

そうだね！ムワハハハ・・・

>>792
じゃあ、自然数論は自然数全体の集合を考えれば終わりだな。ムワハハハ！！

>>794
なんて見事な切り返しなんだムワハハハハハハハ！！！！！

無限群論なんて全ての無限群を部分群として含む群を考えれば終わりじゃないか！

なんて簡単なんだムワハハハハハハハ！！！！！

数学なんて全ての数学的対象を含む集合を考えれば終わりじゃないか！

なんて簡単なんだムワハハハハハハハ！！！！！

―――ネタはここまで―――

さて、位数36の群の同型類分類でもやりましょうか。

Nを自然数の集合としてS(N)をNの対称群とすればS(N)は
任意の有限群と同型な部分群を持つな。

>>554
任意の環はあるアーベル圏の対象Ｘの自己準同型環 End(X) と見なせるな。

同様なことは群についても言えるか？
つまり任意の群はある圏の対象Ｘの自己同型群 Aut(X) と見なせるか？

>>798
しっかりネタが終わってﾜﾛﾀ

群論なんてやってて就職あるのか？

ま、理学部の研究が就職後に活かされることはほとんどないがな。

就職のことを気にする時点で理学部なんて選択はあり得ないだろ

そもそも数学科出て、かつ代数なんてやってる奴がどんな職に就けるのかが疑問。

このスレで群論やってて、今は就職してた人いたけど、
今は何やってるんですか？
よかったら参考までに教えて。

俺は学部〜修士と代数幾何やって、民間研究所で働いてます。
今は数学と全く関係ないっていうか、ほとんどＳＥ。違いはあまりプログラムしないところ。

スレ違いかもしれないが、微分幾何とかやってる人もやっぱＳＥとかやってるのかな？

　　　　　　　　　　　　　　　　 _.／￣￣￣￣＼
　　　　　　　　　　　　　　 　/（　　人＿＿＿＿）
　　　　　　　　　　　　　　／　.|ミ/　　ー◎-◎-）
　　　　　　　　　　　　　,/　　（６　　　　　(_　_)　）＼
　　　　　　　　　　　　　`､ 　`,|　∴　 ノ　　３　ﾉ‐'`ﾉ　＜みよ！この美しい肉体を！！
　　　　　　　　　　　　　　 ＼　ヽ,.＿＿＿＿_ノ　ノ　　ﾌﾟ〜ﾝ
　　　　　　　　　　　　　　　　 豸.　　｀`Y"　 　拜."..::.::.::.::.::･･'ﾟ｡.･'ﾟ｡.::｡.::･'･'ﾟ｡.::｡.::･'･'ﾟ｡.::｡.::･'･'ﾟ｡.::｡.:
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　:´　`:　　.｀`:.　 ;'　~ヾ　 （　　　ノ　 　　　　|　（_,,-,,,
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　`　;..｀`:.　　　;　'　;.~　　　;ヾ (.,,_／~

＞数学科出て、かつ代数なんてやってる奴がどんな職に就けるのか

就職はできるよ。でも仕事で数学なんて使うことないよ。
漏れの同期で、数論やってたヤシも微分幾何やってたヤシも
メーカーに就職したけど今頃何やってるやら･･･

２ｃｈやってる

>>811は数学科出た人間の末路か？

信じたくない

群論やってる人は物理に転向することはできないのかな？
数理物理とかで群論は多用されてそうだけど。

でも有限群論じゃなあ･･･

>>817
点群がある。

今の群論の研究でメジャーなものってどんなのがあるんですか？

>>819
俺はよくしらないが
ムーンシャインと保形関数
きいたことがある

ムーンシャインって解決したでしょ。

>>821
マッカイ・トンプソン予想は解かれたけど、ムーンシャイン
がらみの話題は全然終わってないよ。

複素鏡映群関係はほぼ終息？　まだまだやること残ってる？

ルービックキューブって群論？

>>823
鏡映群が終息ということの意味がわからないのだが・・・
何を持って終わったというの？
分類とかは完成しているので、自分で問題意識を持たずに
漫然と勉強してるだけなら、終息したとしか思えないだろうね

いやあ、Septetとか、あのへん＞複素鏡映群

具体的な表現を扱うのなら、いくらでもやることあるのでは？

>>824 正確な日本語を使って下さい。 とはいえルービックキューブに対して群論的な見方をするのはなかなか面白い。 どこかにそういうサイトなかったっけ？

>>824
最初に流行った頃、灯台で授業に使ったってことがあったらしい。
特定の群の実体化したものであるようだ。

皆様に質問です。
群を知って得することは？
群の有効性は？
群を発見してその後どう応用できるか？

よろしくお願いします。

あるいはそれが紹介されてるHPなどを教えてくださると助かります。

>>830
数学を学ぶ上では知って得するというよりも必須なわけで、、、
なぜ群に興味を持ったのかが気になる。

というか質問が曖昧だから答えようがないね。

数学を勉強する上で群を知って得しますか？
代数を勉強する上で〜
生きていく上で〜

これでもまだ曖昧だけど。

あ、これ群になってる！って発見したとき群だから何なんだって話になります。
よね？

>>834
群論は物理や化学で非常に多用されている。
例えば物質の対称性を群論を用いて表現することで、
エネルギーの分裂を理解できる。
素粒子物理なんかでも群論や環論、体論が積極的に用いられてるらしい。
そういう訳で、群論は自然科学を表現する数学として、非常に研究価値のある学問だと思う。

ルービックキューブは置換群です。

>>835
対称性の表現なんて、つまらん応用じゃん。
群論を持ち出すまでもない話に、かっこつけて使ってるだけ。

>>837
空間群は結構使えると思うんだが。
あんたは物理の人かい？

>>838

数学屋さんですけど、
空間群って何ですか？
定義知りたいんですYO！

空間群の全てを列挙してたらきりがないと思われるんだが。

誰も列挙しろとは言ってないと思われるんだが。

Ａさん：ガロア群って何ですか？
Ｄｑｎさん：ガロア群の全てを列挙してたらきりがないと思われるんだが。

ここは数学板に珍しく良スレですね。

>>837
対称性を表現する為だけに群論を使ってる訳じゃないだろ。

定義を知りたけりゃ自分で調べろ
それ以上のことをききたいなら質問のしかたが悪い
どっちにしろ質問する側の責任

>>845
別に定義を聞いたっていいじゃない。正確でなくても大体の
ことがわかればいいんだよ。けちくさいこと言いなさんな。
それとも定義を知らない？

>>845
逆ギレもいいけど、誰もあなたをアテにしてないから。

っていうか空間群も知らんようなDQNに、たくさんのレスがついただけでも幸せなんじゃない？

このスレ阿呆なやつばかりだな

空間群は数学以外の世界への群論の応用で出てくるようですね。
グーグルしてはじめて名前を知った。

数学板に俗語を持ち込まないで下さい。

>>851
俗語が既に俗語

空間群を検索してみました。
ぜんぜん、数学プロパーじゃないよ。
数学科の人、知ってる人いるかなー。

つーことで、>>848がDQN大王に決定。

で、結局空間群て何だったの？

>>855
>>850

>>855
素人じゃないんだからグーグルとか言わず、一応Dでも岩波数学
辞典くらい持っているだろう。「結晶群」の項目を見ておけ。

ちなみに、ヒルベルトの第18問題にもある古典的問題。応用の人は
2次元（17）、3次元（230）しか興味がないようだが、数学的には
一般次元以上の場合の分類が残っている（つーか、分類できる
代物じゃない）。

第3版が出た20年前には4次元までしか分類できてなかったが、
第4版には6次元までの分類が書かれると思う。

ところで第４版って出る予定あるんすか

>>854
ムキになるなよ。w
おまえのような救いようのない知障も俺はあたたかく迎えてやるぞ。

>>857タン

ヒルベルトの第18問題？
未解決？
数学辞典は、実家にある、、、ゴメン。

部分集合全体を上手に*と＋を定義すると、
可換環になる、ってどこかでよんだ。
*と＋はどのような演算かな、。
union、intersectionだけじゃないよね。

>>859
馬鹿相手にムキになるほど野暮じゃない。
DQN大王に知障といわれてもなｗ

>>861
A+B=(A \cup A) - (A \cap A)
A*B=(A \cap A)

どんな2項演算ちゃうやん
A \cap A や A \cup A は
A \cap B 、 A \cup B のうち間違いです。。

またtypo…一旦寝るか。

>>863タン

入力間違い、了解です。
ノートに一応書いて見ました。
大丈夫そうですね。
ご指南、ありがとうございました。

チンポタンって頭悪そう　プッ

2chにそんなに頭のいい人いないだろうに

オレオレ！
オレすっげーあまたいいぜやっほー！！

>>863=864
単に対象差と共通部分といえばいいだけでは？

対称差。

へーこれ対称差っていうんだ知らなかった。
英語で何ていうの。

ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ。

チンポタン必死だな。w

群の発見
高校生にはむずかしくて

よめません

　　 ...........／￣￣￣￣＼
　 ............（　 人＿＿＿＿） とて
　 とて....|ミ/ 　 ー◎-◎-）
　 ...........（６　　　　　(_　_)　）.....／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　 ...........｜　∴　ノ　　３　ﾉ ＜群だにょ〜♪
　　 ...........＼＿＿＿＿_ノ .......＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
≡　　　{| ￣［`［>ﾛ<］'］￣|!　　
.　=　　　`,─Y ,└┘_ﾄ─'
　　　　　└／/ ｌ T ヽ＼　　とて
⌒ヽ 　 　,く._ '　　　　　_ >
　　人　　｀ヽ｀二二二´'´
Y⌒ヽ）⌒ヽ　し' ｌ⌒)
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣

ａａ
やさんは
ほかで
がんばったほうがいいように
おもう
ひょうかしてくれるひとがきっよいます

>>877
×「きっよいます」
○「きっといます」
群論勉強する前に日本語勉強してください。

こんにちは。読売巨人群の星、ぺタジーニです。

糞つまんねー巨人戦のせいで仔犬のワルツの放送開始が遅れたじゃねーか！

変な香具師ばかりでつね。

　　　　　　　　============彡川川川三三三ﾐ=============
　　　　　　＼============ |川｜川／　　＼　==========　 ／
　=＼　　　　＼==========‖｜‖　◎---◎｜=========／　　　　／===
　===＼　　　　＼========川川‖　　　　3　　ヽ======／　　 　　／=====
　=====＼　　　　＼======川川　　　∴）д（∴）=== ／　 　　　／=======
　=======＼　　　／＼===川川　 　　　　　　　　/=／＼　　　／=========
　=========＼／　　　＼川川‖　　　　　　　　/／　　　＼／===========
　==========＼　　　　　川川川川 　　　＿＿/　　　　　／=============
　============＼　　　　　　　　＼＿＿＿／　　　　　／==============
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　================｜;;;;;;; 　　　　　　　　　ﾘ川川ﾘ　　　　　　｜============
　================｜;;;;;;;　　　　　　　　　　（∪）　　　　　　 ｜============

雨は鬱だ。数学の勉強もはかどらない。

今、1が死んだ。
これほどのスレッドを立てる才能がありながら、1は死んでしまった。
分かっているのか？殺したのはお前達だ。
こんなに才気溢れる、将来性豊かな、ゆくゆくは日本が誇る世界の巨匠に
なったであろう1を、お前達はつまらん煽りや叩きで殺したのだ。
恥じるがいい。悔いるがいい。悲しむがいい。嘆くがいい。
お前達を俺は恨む。1を殺したという理由から、この板の住人を、2ch
住人を、ひろゆきを、日本人を、人類全てを。
1よ。あなたのことは忘れない。
あなたを殺した奴等にはいずれ俺がきっちり復讐してやる。
安らかに眠るがいい、1よ。
あなたの立てたスレッドは来年から歴史の教科書に載るそうだ。
1を殺した者共よ。俺が怖ければ、1の死を踏み越える覚悟でここを
超えるスレッドを立ててみろ。それが素晴らしい物であったら素直に賞賛
してやろう。暖かいレスもつけてやろう。sageも晒しも俺はするまい。
だが、ここの1を殺した罰によって俺はお前を倒す。それに変わりはない。
無闇に叩きや煽りやコピペをした夜は、お前の背後に俺が出る。

ずいぶんとまた古いコピペを、何故今ごろ？

>>879
読売巨人群は有限群でつか？無限群でつか？
アーベル群でつか？非可換群でつか？

>>886
清原やぺタジーニや小久保など各球団の4番を入れ替えながら贅沢な起用をしているので、アーベル群です。

華麗に888ｹﾞｯﾄｰ

>>887
それは巨人群Gの中心Z(G)だからだと思われる。

僕の肛門も正規化されそうです

今後も世界中から4番とエースを補強するので、巨人群は無限群です。

Re:>>890 群と云うからには、当然二項演算が入っているはずだが、それは何？

>>892
ω==３ * ((��))

若鷹群団は何群ですか？

歯槽膿漏予備群

アメリカ群は何群でつか？

　　　　　　　 彡川三三三ﾐ　　　　　　　　　　　　　　＿
　　　　　　　川川 ::::::⌒　⌒ヽ　　　　　 　 　　／ ￣　　￣ ＼
　　　　　　川川::::::::ー◎-◎-）　　　　 　 　 /､　　　　　　 　　 ヽ
　　　　　.川（６|::::::::　　（ 。。））　　　　 　 　 |･ |―-､　　　　　　 |
　　 , ―-､川;;;::∴　ノ　 ３　 ﾉ　　　　　 　 ｑ -´　二 ヽ　　　　　 |
　　 |　-⊂)　＼＿;;;;;;;;;;;;;;;;ノ　　　　　　 　　 ﾉ＿　ー　 |　　　　　|
　 　 |￣￣|／ （_ ∧ / ､　＼　　　　　　　 ＼.￣｀　 |　 　 　　/
　 　 ヽ　　｀　,.|　 　　￣　　|　　|　　　　　　 　　O＝＝＝＝＝ |
　 　 　 ｀− ´ |　　　　　　　| ＿|　　　　　　　　/　　　　　　 　　 |
　　　　　　 　　|　　　　　　 （t 　）　　　　　　　/　 　 /　　　　　　|
「またまたAA貼っちゃったよぉ」　　　　　「君は精神病院に入院した方がいいよ」

>>897
きえろぼけ

>>898
おまえが消えろ。ぼけ。

900！

物理では物性と素粒子で群論つかうの？

>>901
物理板で訊け。ぼけ。

>>902
即刻死ね。ぼけ。

みんなから呼ばれてるナァ。 もしかして漏れ人気者？

Fを2^5元体とすると、

|SL(2,F)|=31･32･33でｼﾛｰの定理から

S31群の個数は、1、32、16･33が考えられますが、
1はありえないのですか？

　　　にｰチャン！　　　　　　　　|
　　ﾎﾝﾏ、気持っちえぇわ〜　　|　　　 彡川川川三三三ﾐ〜
＼　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿ノ　　　川|川　／　臭　＼|〜 プゥ〜ｿ
　￣￣V　　　彡川三三三ﾐ 　　　　　川川　　◎---◎｜〜
　　　　　　　川川 ::::::⌒　⌒ヽ 　　　　川川　　　　　3　　ヽ〜　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　川川::::::::ー◎-◎-） 　　　川川　　∴）　A（∴）〜＜　　う〜ん
　　　　　 川（６|::::::::　　（ 。。））ﾊｧ　　川川　　　　　　Ｕ /〜　　|　もっと奥まで
　　　 .＿川川;;;::∴　ノ　 ３　 ﾉ　ﾊｧ ;川川　　　　 ﾀﾞｯﾗ〜　　　　|　　　　　　お願いします！ 　
　　／;;;:::::::::::::::＼＿;;;;;;;;;;;;ノ／　　川川　　　＿＿／　 　　　　　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿　　　　　　
　/:::D　/::::::::::::　　 　|::::| 　/　男　／　　　　 |　|
（::: E::::;（ξ::　　・　ノ:::・/:::（　大　（　　　◎　 /　 ＼＿ 　 　 　 純ｹﾂ＼（＾〇＾）／　 　
　＼::G;＼:;::;::::　　　（::: | 　＼　好　＼　　　／ ＼　　　￣＼
　/:::＼:::A＼:::　　　 ヽ| 　　 /:＼き　　＼　）ﾄﾞﾋﾟｭ￣＼っ））））　　　　　繁殖＼（＾〇＾）／
/::::　 　＼::W＼:::　ヽ　） 　/:::　 ＼最高　つ＿__　　　　/　＼
|:::　　　 　 ＼::A￣￣⊇)＿|:::　　　 ＼　　 （＿＿3｡ ;｡　|人:::）←ﾃｨｯｼｭ
|:::::::　　　 　　＼;;;;;;;;;;;（＿＿|::　　　　 ＼＿＿/　　　　　　　￣
＼::::::::::　　　ξ（;;;　）;; ）ﾌﾞｽﾘ＼:::　　　　（;;;　）;; ）
　　＼::::::::::::　　　　）　） 　　　　 ＼　　　　　　＼＼
　　　　）:::::　　　／／　　　　 　　　　＼　　　　　　） ）　　　　
　　　/:::::::::　／／ 　　　　　　　　　　　/　　　　　/ /　　　　
　／:::::　　（＿（＿　　　　　　　　　　　/　　　　　/ /　　

ぼけだらけのスレですか？

<x, y | x^3 = y^3 = (xy)^3 = 1>という表示の群は無限群であることを示せ。

(x^2)(y^2)(x^2)(y^2)(x^2)(y^2)(x^2)(y^2)…

>>909
正確に書くと、
(x^2)
(x^2)(y^2)
(x^2)(y^2)
(x^2)(y^2)(x^2)
・・・
という、相違なる元が無限にあるってことだね。
しかし、当たり前のような感じもするが、「厳密に」示すにはどうすればいいんだろ？

(x^2)(y^2) = x^(-1)・y^(-1) = (yx)^(-1)
だから、この元は有限位数だろ

ぷぺ？

>>911
あれ、ほんとだ。関係式表示はむずいな。
じゃ、x^2 y はどうだろ。無限位数かな？

　　　にｰチャン！　　　　　　　　|
　　ﾎﾝﾏ、気持っちえぇわ〜　　|　　　 彡川川川三三三ﾐ〜
＼　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿ノ　　　川|川　／　臭　＼|〜 プゥ〜ｿ
　￣￣V　　　彡川三三三ﾐ 　　　　　川川　　◎---◎｜〜
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　　　　　　川川::::::::ー◎-◎-） 　　　川川　　∴）　A（∴）〜＜　　う〜ん
　　　　　 川（６|::::::::　　（ 。。））ﾊｧ　　川川　　　　　　Ｕ /〜　　|　もっと奥まで
　　　 .＿川川;;;::∴　ノ　 ３　 ﾉ　ﾊｧ ;川川　　　　 ﾀﾞｯﾗ〜　　　　|　　　　　　お願いします！ 　
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>>913
x
x x
x x y
x x y x
x x y x x
x x y x x y
x x y x x y x
...
が全部違う元だってことだよね。
どうやって証明できるんだろ？

Ｘ＾２＋Ｘ＋１＝０。
Ａ＝｛１，Ｘ，Ｘ＾２｝×Ｚ［Ｘ］に
（ａ，ｂ）（ｃ，ｄ）＝（ａｃ，ｂｃ＋ｄ）と積を定義すると
（１，０）が単位元で（ａ，ｂ）＾（−１）＝（ａ＾（−１），−ｂａ＾（−１））で
結合律を満たすのでＡは群。
ｐ＝（Ｘ，０），ｑ＝（Ｘ，１）とするとｐ＾３＝ｑ＾３＝（ｐｑ）＾３＝（１，０）で
Ａはｐ，ｑで生成される。
（ｐ＾２ｑ）＾ｎ＝（１，ｎ）なのでｐ＾２ｑの位数は無限。

見事な解答じゃないか。
どうして誰もほめてやらないんだ。
Qマン優秀じゃん！

落ち着け。BhMath2chk≠KingMathematicianだぞ

>>916
お〜すばらしい！ BhMath2chkはほんとになかなか優秀だな。
ちなみに A は、Z[ω] (ω: 1の原始三乗根) の加法群と Z/3Z の、
作用 n ・α := (ω^n)α（n∈Z/3Z、α∈Z[ω]）による半直積ってことか。

ttp://hw001.gate01.com/g01/dat/lettuce702_2.jpg

まじ、別人なん？
ああごめんね＞Bhたん