◆ わからない問題はここに書いてね １２４ ◆

前スレ >732　03/08/25 22:01
ちょっと遅かったっすか？

a(1)=0,b(1)=1/4,c(1)=1/2　　−�@
2a(n)+2b(n)+c(n)=1　　−�A
a(n+1)=(3/4)a(n)+(1/4)b(n)　　−�B
b(n+1)=(1/4)a(n)+(1/2)b(n)+(1/4)c(n)　　−�C
c(n+1)=(1/2)b(n)+(1/2)c(n)　　−�D
これらから
a(2)=1/16 、b(2)=1/4 、c(2)=3/8
a(3)=7/16 、b(3)=15/64 、c(3)=5/16
�A�Cより
b(n+1)=(-1/4)a(n)+1/4
これを�Bへ代入して
a(n+1)=(3/4)a(n)-(1/16)a(n-1)+1/16　　−�C
α+β=3/4 、αβ=1/16 となる α=(6-2√5)/16 、β=(6+2√5)/16 に対して上式は
a(n+1)-αa(n)=β{a(n)-αa(n-1)}+1/16
∴　a(n+2)-αa(n+1)=β{a(n+1)-αa(n)}+1/16
A(n)=a(n+1)-a(n) とおくと　A(1)=1/16 、A(2)=3/8
A(n+1)-αA(n)=β{A(n)-αA(n-1)}
∴　A(n+1)-αA(n)=β^(n-1)*{A(2)-αA(1)}=(1/16)(6-α)β^(n-1) >0 (∵0<α、β<1)
∴　A(n+1) > αA(n)
∴　a(n+1)-a(n)=A(n) > A(1)α^(n-1) =(1/16)α^(n-1) >0
∴　a(n+1) > a(n) 　　−�E
・・・

つづく。。。

前スレ >732　03/08/25 22:01　　つづき。

さらに、�A�Cより
b(n+1)=(1/4)b(n)+(1/8)c(n)+1/8
�Dから得る　b(n)=2c(n+1)-c(n) を代入して
c(n+1)=(3/4)c(n)-(1/16)c(n-1)+1/16
これは�Eと同型なので、C(n)=c(n+1)-c(n) とおくと、C(1)=-1/8 、C(2)=-1/16
∴　C(n+1)-αC(n)=β^(n-1)*{C(2)-αC(1)}=(-1/16)(1-2α)β^(n-1) <0 (∵0<α<1/2<β<1)
∴　C(n+1) < αC(n)
∴　c(n+1)-c(n)=C(n) < C(1)α^(n-1) =(-1/8)α^(n-1) <0
∴　c(n+1) < c(n)　　−�F
さて、�Bと�Eより
a(n+1)-a(n)=1/4{b(n)-a(n)} >0　　∴　a(n) < b(n)
�Dと�Fより
c(n+1)-c(n)=1/2{b(n)-c(n)} <0　　∴　b(n) < c(n)
以上より　　a(n) < b(n) <c(n)　( n=1,2,3・・・)　である。

うぅぅ　何でこんなに長くなったかなぁ〜？
もっと賢く解きたいっす！！