複素関数論スレッド§２

複素関数論だけでなくリーマン面のはなし、さらには複素多様体論まで豊富な話題で盛り上がりましょう！

旧スレ　複素関数論スレッド
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/997190739/

>>1
代数曲線も追加おながいします。

>>2
代数曲線とリーマン面は同じだと思うんだけど…
むしろ楕円曲面とかＫ３曲面ならわかるけど。

リーマン空間と複素多様体は神が創ったものだとチャーンが言ったらしい。

リーマン空間と複素多様体は神が創ったものだとチャーハンが言ったらしい。

って見えた。

関数論は数学者に与えられたまたとない贈物である (ジーゲル)

このスレがdat落ちしそうでｲﾔﾝ

もっかい保守。

不安なので10まで行かせとく

えい

とりゃ

おりゃ

川又さんの代数多様体論の【定理5.3.3】
(1)ν(X)＝０のとき.
(1.1)Ｋ３曲面.
(1.2)エンリケス曲面.
(1.3)アーベル曲面.
(1.4)超楕円曲面または２重楕円曲面
(2)ν(X)＝１のとき.一般型楕円曲面.
(3)ν(X)＝２のとき.一般型曲面.

>>12
代数曲面の分類は今から１００年も前に知られていた。
２０世紀半ばまでの代数幾何はこの結果に厳密な証明
を与えることを主要な目標にしていた。

>>13
イタリア学派による代数曲面分類理論には、厳密性とは別に不完全なところがあった。Ｋ３曲面と楕円曲面という二つのクラスの構造論が不完全だったことである。

Ｋ３曲面は、代数的Ｋ３曲面全体だけでは綺麗な族を成すことは出来ず、非代数的なものを込めて考える必要がある。つまり代数曲面分類理論に拘っている限り構築できないのが代数的Ｋ３曲面の分類であり、複素曲面分類理論構築の必然性である。
Ｋ３曲面全体は20次元の族を作り、代数的Ｋ３曲面は19次元の解析的部分集合が可算無限個集まったものであることが明らかにされた。

楕円曲面もＫ３曲面と同様にコンパクト複素曲面論を導入するとより良く見えてくるが、コンパクト複素曲面の幾何構造に関する情報の主要部分は特異ファイバーのところに集中しており、その解析はイタリア学派の研究では空白となっていた。

従って、代数曲面の分類理論に厳密な証明を与えるとは、単なる再証明に留まらず複素曲面分類理論の構築を意味している。

　　　 (⌒V⌒)
　　　│ ＾ ＾ │＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　⊂|　　　　|つ
　　　（＿）（＿）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎パン

出てくるなよ。

山崎バスター

ageage

>>12
ν(X)って数値的小平次元のことですね。

小平次元ってκ(Ｓ)って普通は書くんじゃないの？
飯高さんの平面曲線の幾何のP.208によると、
「代数曲面Ｓの分類ではκ(Ｓ)＝０なら
Ａ)アーベル曲面とその退化としての超楕円曲面、
Ｂ)Ｋ３曲面とその退化としてのエンリケス曲面、
となる。

川又さんの代数多様体論の【定理5.3.3】の証明では
　κ(Ｘ)＝ν(Ｘ)
という主張が主要な部分になっている。
その一般次元での対応物は【予想6.3.17】のアバンダンス予想という。

間違えているかもしれないけど書いてみよう。


【３次元代数多様体の分類】

(1)κ(Ｘ)＝０のとき：
(1.A)アーベル多様体とその退化としての多様体
(1.B)カラビ・ヤウ多様体とその退化としての多様体
(2)κ(Ｘ)＝１のとき：３次元楕円多様体
(3)κ(Ｘ)＝２のとき：ファノ多様体
(4)κ(Ｘ)＝３のとき：一般型多様体の場合は部分的結果があるが未解決。


ちなみに４次元以上の代数多様体の分類は知られていない。

【一次元代数多様体の分類理論】

代数曲線とは一次元代数多様体のことで、代数関数論によって本質的な理解が得られる。
この代数関数論というものは、代数曲線を理解するには三位一体を理解しろと言っている。
三位一体とは、一変数代数関数体、射影曲線、コンパクト・リーマン面、の３つの概念が同じであるということを意味している。それぞれ代数的、解析的、(代数)幾何的な方法論に結びついている。
そして、代数曲線の分類における本質的な指標とは、リーマン面の穴の数(種数)であることがいえ、これを基に代数曲線を分類することができるのである。

>>23
この三位一体が成り立つのが１次元と高次元が違うところですね。
nが２以上だとn次元コンパクト複素多様体で、
その有理型関数体の超越次数が０からnまでの任意の値をとる
多様体が存在するらしい（？）。超越次数がnのときこの多様体を
moishezon多様体という。これは、代数多様体と同じかまたは
非常によく似た性質を持つ。

変形理論とは局所的なモジュライ理論のことである。
モジュライ空間が特異点を持たない場合、モジュライ空間は局所的な１次近似によって記述できる。その局所的な１次近似は、微小変形を記述するコホモロジー群である。

1950年代の小平−スペンサーによる高次元複素多様体の複素構造の変形理論は、非線型偏微分方程式を幾何学に応用した最初の例である。
その後、アティヤーやドナルドソンたちオックスフォード学派がアティヤー・シンガーの指数定理からヤン・ミルズ方程式の解のモジュライの問題へと進むのは70-80年代のことである。
小平−スペンサーの理論はモジュライ理論の基礎であり、時代を20年も先取りしていた。

リーマン面のモジュライの問題は重要な問題で、その高次元化をしたのが小平−スペンサーの理論である。小平は、リーマン面の理論の高次元化として高次元複素多様体論を築いてきたが、複素構造の変形理論も高次元化した。
小平が発見したコホモロジー的観点の重要性はその後広く認識されることになり、ホッジ構造の変形理論へと大きく発展していった。

>>25
人の文章を引用するなら、引用元を書けよ。
おそらく、深谷さんの文章だと思うけど。

【リーマン・ロッホの定理】
コンパクト・リーマン面Ｓ上の正則微分形式全体の成す複素ベクトル空間Ａ(Ｓ)の次元は、Ｓの示性数ｇに等しい。□

リーマン・ロッホの定理の一般の形は、コンパクト・リーマン面Ｓ上の有理型関数の存在についての主張を含んでいる。

【リーマンの存在定理】
任意のコンパクト・リーマン面は、ある既約代数曲線のリーマン面と正則同型である。□

【リーマン・ポアンカレ・ケーベの定理】
単連結リーマン面は、複素球面、複素平面、上半平面のいづれかに、正則同型である。□

一般のリーマン面は、単連結リーマン面から(自己同型群の不連続部分群で割ることによって)得られる。
特に上半平面Hは、非ユークリッドの不思議な天上世界であり、Aut(H)の不連続部分群の変形からタイヒミュラー空間が生ずる。

>>26
自分で探そうね。

1857年にリーマンはリーマン面を定義し、種数ｇ≧２のリーマン面は3g-3個のパラメータを持つことを見いだし、モジュライの理論が誕生した。
1930年代の後半から1940年代の前半にはタイヒミュラーによる擬等角写像とタイヒミュラー空間の理論によってモジュライ理論の新しい進展が始まった。
タイヒミュラーの理論ではリーマン面上の２次微分が重要な役割を果たすことが明らかにされたが、複素１次元空間から一般次元にそのままの形で拡張することは出来なかった。
リーマンから100年後の1950年代になると小平−スペンサーの複素多様体の変形理論が登場し、一般次元にモジュライ理論を拡張することが出来るようになった。
小平−スペンサーの理論は、複素構造の無限小１次変形がベクトル場の芽の層がなす１次元コホモロジー群の元で記述できることを示した。
セールの双対定理によれば、この１次元コホモロジー群はタイヒミュラーの理論におけるリーマン面上の２次微分がなす空間の双対空間である。
このようにタイヒミュラーの理論において２次微分が登場する理由が明らかとなったのである。

高次元複素多様体のモジュライ空間についてどの程度のことが
分かっているのかな？

>>28
勝手に引用するなっていってんだよ

局所的モジュライ理論の変形理論に対して、大域的モジュライ理論を考えるとその中心に位置するものはTorelliの定理である。
Torelliの定理とは、主偏極アーベル多様体としてのヤコビ多様体がもとのコンパクト・リーマン面を一意的に定めることを主張する定理である。
Torelliの定理は二つのコンパクト・リーマン面がいつ同型になるかを示す。
高次元の代数多様体のモジュライ空間の性質はまだ分からないことが多く、高次元の代数多様体のTorelliの定理は証明できていない。
これに関連する未解決問題としてHodge予想が挙げられる。

>>31
＞勝手に引用するなっていってんだよ
なにを熱くなってるのかな？必死だな（ｗ

でも、引用はウザイな。

>>26,>>34
人の文章を引用したというなら、まず引用元を書けよ。

>>32
高次元モジュライは良く分かっていないと。
奥が深い分野ですな。

√i = ?

i=cos(π/2)+isin(π/2)
両辺の1/2乗を考えよ。

そもそも実数でない数の1/2乗とは？

>>37-39
質問スレにどうぞ。くだらん。

スレタイに問題ありかな。
ねー>>1さん。

>>41
1じゃないけどなんで？
前スレも同じ名前だったし

チャーチル・ブラウンの「複素関数入門」はどうですか？

>>43
アールフォースと比べてどうですか？

>>44
アールフォルスはリーマン面を扱っていないときいたんですが・・・
チャーチルのレベルが知りたいです。

ahlfors
http://www.mhhe.com/catalogs/sem/math/index.mhtml?file=/catalogs/0070006571

churchill-brown
http://www.mhhe.com/catalogs/sem/math/index.mhtml?file=/catalogs/0072872527

目次を見れば大体わかるだろ。と、無責任なことを言ってみるテスト。

とりあえず、どっちもリーマン面については、
一つの章の最後のほうにチョロっと載ってるだけっぽい? (3章と8章)

churchill-brown の邦訳は 4th edition を元にしてるみたい。
>>46のリンク先は 7th って書いてあるわ…。

>>46-47
ありがとうございます。
どうせならチャーチルの原書を買おうかと思ったら
１４０００円くらいしてました。
邦訳は２８００円なのに・・・

>>48
McGraw-Hill の本では、ハードカバーのが高くても、
ペーパーバックの International Edition が出てて、
3000円ぐらいで買えることがあります。
(友隣社なんかで。http://www.yurinsha.com/)
Ahlfors の本は3500円で今も買えるようですが、
Churchill-Brown は今は買えないみたいです。
でも一応、4th から 6th までそれぞれ、
2100, 3500, 3200円で売ってたようです。
7th のハードカバーは今年の2月に出たばかりだし、
まだペーパーバック版は出てないというだけで、
もうすぐ出るのかもしれません。(出ないかもしれません。)

って、6th のペーパーバック版らしきものが Amazon にありましたわ。
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0071140654/
7000円近いですが。しかし、Amazon で
> 通常3〜5週間以内に発送
ってなっていて、他の書店では絶版となってるものは、
手に入らない率が結構高そうな…。

http://homepage3.nifty.com/llllllllll/

international edition らしきものがあった。35.99ポンド。
http://www.mcgraw-hill.co.uk/html/0071233652.html
Hardcover版は amazon.co.uk では97.45ポンドってなってたし、
たぶん間違ってないと思う。

しかし、同じ international edition でも地域によって値段が違うような気が。
Amazon.co.jp で、Rudin の Principles of Mathematical Analysis と
Real and Complex Analysis はイギリスから輸入したのと、
アメリカから輸入したのがあるのだが、
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0070856133/ (PMA U.K.)
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0071002766/ (RCA U.K.)
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/007054235X/ (PMA U.S.)
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0070542341/ (RCA U.S.)
US版は17000円ほどし、UK版は6000円程度となってる。
しかし、自分が友隣社で買ったのは、シンガポールで刷ったと書いてあり、
友隣社での値段は3000円ぐらいだった。

とにかく、まあ、廉価なUK版の 7th edition があることは間違いなく、
それは多分 Amazon.co.jp で売られるだろうから、「急がないなら」ということかな。
シンガポール版は http://www.mcgraw-hill.com.sg/
を見ても載ってない(つっても他の本の情報も載ってない)し出るか分かりませんです。

うわあ、みなさんご親切にどうもありがとうございます！
チャーチルの和訳はすでに注文しちゃってるんですが、
まだキャンセルはできる状況です。
４版を訳したものだそうですが、現在の７版とどれだけ質が違うか
気になるところです・・・

なぜチャーチルが欲しいかと言いますと、
自分は物理科の者ですが、一応複素は入門コースでやったんです。
ところがそれには解析接続やコーシーの主値積分も書いてないんです。
そこでいろいろ聞いたところ、チャーチルは解析接続もしっかり扱ってるし、
演習問題も多いから、ということで演習書代わりにもなるかな、と思いまして。
物理板の住人によると、カルタンやアールフォルスは数学科向けということなので
チャーチルがいいかな、と思っています。
しかし、友隣社って初めて知りました。ブックマークしました。

kansulon!

理工系の方がコーシーの主値積分を知るのに、そこまでの本がいるのかな？
解析接続もなんかの物理数学の本に載ってるでしょ？実際、理論物理でつかう
解析接続やコーシーの主値積分の知識は、知識というよりどういうとき注意
すべきかとかどういうとき現れるか、そのときどう扱うとうまくいくか程度で、
散乱の問題とか場の量子論とかみたら書いてるんじゃない？その主値積分は。
確か工学系の本にも書いてあったよ。解析接続は、一致の定理を勉強して、
ガンマ関数なんかを例にとって考えてたらわかりやすいんじゃない？
あとは、以外に使ったりする時があるのが鏡像の定理。それも勉強すると
いいですよ。そんなに難しくないし。（その意味にもよりますが・・。）
それ以上は、こういう解析接続のやり方がありますよってのをいくつか
頭に入れとけば、十分でないでしょうか。どの程度の感覚でその
解析接続とか主値積分を捉えているかにもよりますね。

東大出版の高橋礼二の本ってどうよ?

>>56
良書だ。一読してみる価値ありだぞ。

礼司を礼二と間違えんなｺﾞﾙｧ

>>57
せうですか。読んでみますわ。

>>58
すまそ。何か違う気はしたんだけど。

良書ではない。

高橋礼司氏って、Cartan の複素関数論の訳者だっけ？

>>61
そうだよ。

> 良書だ。

> 良書ではない。

素晴らしい情報量!

良書ではない。
と私が書いたのは、良書、良書に非ずをこだわるほど、
基本的な複素解析に拘泥する余裕はなかろうということだ。

大抵の本をめくれば、書いてあることは同じだろう。

>>64
微積分の教科書にしても、へたな本だと回り道することになる。
必要な苦労ならいいんだが、そうでないから困る。
本の選択は大事だと思う。

面白いから旧スレを読もうとしたら読めない…
削除されてる。

>>1で
旧スレ　複素関数論スレッド
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/997190739/

となっていたけど、今はこっちに行けば良いみたいだよ。
でも後半が失われている。

複素関数論スレッド
http://natto.2ch.net/math/kako/997/997190739.html

キャッシュのこってなかった…
http://life.2ch.net/live/kako/1021/10211/1021139133.html
ってスレが何故かリンクしてた。終わり

複素関数ね・・・・・・
基本的なものを教えていただけませんか？
なんでもいいので。

無理

>>69
あなたのためのスレ：
定数関数 y=c
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1066754740/l50

ﾋﾞﾝﾋﾞﾝﾏｯﾁｮﾃﾞ(ﾟдﾟ)ｵｰｴｰｵｰｴｰ

【問題】次を求めてくださいです。
I(5)=∫[0,∞){1/(1+x^5)} dx
I(n)=∫[0,∞){1/(1+x^n)} dx, n∈Ｎ, n≧2.

>>73
以下ζ=exp(2πi/2n)、f(x)=1/(1+x^n)とおく。
とりあえず複素積分路Γ(i):[0,∞)→CをΓ(i)(t)=tζ^iで定義する。
偶数iに対してI(i)=∫[Γ(i)]f(x)f(x)dxとおく。もとめたいのはI(0)。
で偶数i,jにたいして置換z→(ζ^j)zをI(i)の積分に適用すると
I(i)=∫[Γ(i)]f(x)dx=∫[Γ(i+j)]f(x)(ζ^j)dx=(ζ)^jI(i+j)
とくに
I(2)=(ζ^2)I(0)･･･(1)
路Γ(0)-Γ(2)にコーシーの定理を適用して
I(0)-I(2)=2πiRes(f,ζ)･･･(2)
(1),(2)より
I(0)=(2πi/(1-ζ^2))Res(f,ζ)
あとはRes(f,ζ)だけど
Res(f,ζ)
=lim[z→ζ](z-ζ)f(z)
=lim[z→ζ](z-ζ)/((z-ζ)(z-ζ^3)(z-ζ^5)･･･(z-ζ^(2n-1)))
=lim[z→ζ]1/((z-ζ^3)(z-ζ^5)･･･(z-ζ^(2n-1)))
=1/((ζ-ζ^3)(ζ-ζ^5)･･･(ζ-ζ^(2n-1)))
=(1/ζ^(n-1))×1/((1-ζ^2)(1-ζ^4)･･･(1-ζ^(2n-2)))
=-ζ×(1/(1+z+z^2+･･･+z^(n-1)|z=1)
=-ζ×(1/n)
まちがってたらｺﾞﾒｿ

>73
∫[0,∞){(x^(m-1))/(1+x^n)} dx
= (1/n)･∫[0,∞){1/(1+t^a)} dt
= (1/n)･Ｂ(a,1-a)
= (1/n)･Γ(a)･Γ(1-a)
= π/[n･sin(πm/n)].
ただし m,n∈Ｎ, m<n, a=m/n.
｢解析概論｣(改訂3版)５章の練習問題(8)

小平先生の「複素解析」の演習問題のレベルはどのくらいですか?
あそこに載っているような問題をたとえば院試で出したとして、どのくらいの学生が
解けるものなのでしょうか?

詳しい解答がついているからいいけど、自分には非常に難しいのだけど。

age

g

g

ﾋﾞﾝﾋﾞﾝﾏｯﾁｮﾃﾞ(ﾟдﾟ)ｵｰｴｰｵｰｴｰ

2

(Z*はZの共役複素数）
f(Z)＝Z*　
はZがどんな値でも値を持つので極を持たないと思うのですが
極はないと考えて正しいのでしょうか
範囲は原点から半径2の円周内で考えるのですが

>>82
それはそもそも正則関数じゃないから複素関数論の対象外。

f(Z)＝Z*　を原点から半径2の円で周回積分すると0になると思うんですが
あってるんでしょうか

∫f(Z)＝∫Z*dz 積分範囲：Z=2expia (0≦a<2pi)
dz=2iexpiada Z*=2exp(-ia)
∫f(Z)＝∫Z*dz=∫2exp(-ia)2iexpiada＝([4ia]0〜2pi)=8ipi

あれ0にならないな

>>85
多分それであってるんじゃないかな

2

>>84
それは正則関数じゃないからコーシ−の定理は成り立たない。

z*dz＝(x-iy)(dx+idy)＝(xdx+ydy)+i(xdy-ydx)

実部は周回積分で０になるが
虚部は囲む面積の２倍になるね。

こういうやり方もありかな

∫[∂D] z~dz ＝ ∫[D] dz~∧dz ＝ ∫[D] (dx-idy)∧(dx+idy)
＝ 2i∫[D]dx∧dy

>75
|x|^a＋|y|^a≦1 の領域の面積は,

S(a) = 4∫[0,1](1-x^a)^(1/a)･dx
= (4/a)∫[0,1](1-y)^(1/a)･y^(1/a-1)･dy
= (4/a)Ｂ(1+1/a,1/a)
= (4/a)Γ(1+1/a)Γ(1/a)/Γ(1+2/a)
= 4{Γ(1+1/a)^2}/Γ(1+2/a)

大学1年なんですが、複素関数論という授業で

_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/
f ( z ) = 1 / ( z ^ 2 - z + 1 ) とおくとき、
| z | = R ≧ 3 ⇒ | f ( z ) | ≦ 2 / R ^ 2 を示せ。
_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/

という課題が出たんです。
どなたか回答を教えて頂けませんか？
先生曰く「高校生レベルの問題」なんですけど、
自分じゃ手も付けられません。
宜しくお願いします。

書き忘れました、追記です。

_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/
Hint : | α + β + γ | ≧ | α | - | β | - | γ |
_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/

黒板に、上記の様な記述もありました。
改めて宜しくお願いします。

>>92
|f(x)|≦2/R^2⇔|z^2-z+1|≦(R^2)/2なので右の不等式を証明すればいい。
Hintにしたがえば
|z^2-z+1|≦|z^2|-|z|-|1|
ここで
|z^2|≦R^2　←これは容易
|z|=R^2/R≦(R^2)/3　←∵R≧3
|1|=R^2/R^2≦(R^2)/9
↑これを使う。以下ry

訂正でつ
|f(x)|≦2/R^2⇔|z^2-z+1|≧(R^2)/2なので右の不等式を証明すればいい。
Hintにしたがえば
|z^2-z+1|≧|z^2|-|z|-|1|
ここで
|z^2|=R^2　←これは容易
･･･でつ。

遅くなりましたが、有り難う御座いました。
学校から書き込もうかと思ったら、書き込み規制されてた・・・

しかし、ぜんぜんそういう発想は出来ませんでした。
日頃から、解答を見て、あーなるほど、と、やっと分かるといった場合が多い・・・

兎も角、有り難う御座いました。

初歩的な複素関数論のテキストに載ってる(逆関数を無理や
り一価関数にする方法として紹介されれいる)リーマン面と、
ワイルによる1次元複素多様体としてのリーマン面の関係を
分りやすく説明してください。

無理やりなんて感じる時点でお前は扇子ないよ。

>>98
説明できん奴はだまってろ。前者のリーマン面も知らないくせによ。

>>98は、複素関数論は美しいと思わされている。
多分それだけ。前書きで読んだだけだろうね。

同じ。

logZにより定義されるリーマン面は位相的にはリーマン球面に同相ですか？

>>102
それって、そもそも、コンパクトになるのか？
定義でどうやって折りたたんだのかは知らないけど

>102,103
複素平面に同相では？
単純に位相を比較するだけなら単位円も同じになってしまうが。

>>97
よくわからんが、逆関数のブランチを定めることって多様体でいうと局所自明化をとることに
相当してるんじゃない？

>>103
>>104

すいません。勘違いしてました。

age

∫[z_0、z]f(z_1)dz_1つまり、z_1＝z_1(t)で、z_0≦t≦zとすると、
C＝f(z_1) は z_1(t) で与えられる曲線で、
∫[z_0、z]f(z_1)dz_1 は曲線 C に沿って z_0 から z まで曲線 C に沿って、
z_1 で線積分したことになりますﾈ
|z|≧|z_0|とすると平均値の定理は、
区間[z_0、z]のいたるところで成立し、
この区間において、中間値の定理と平均値の定理は等しく成立すると考えていいでしょうか？

質問取り下げｷﾎﾞﾝﾇ
|z|≧|z_0|という不等式がある以上、
中間値の定理と平均値の定理も異なって存在し、
特に中間値の定理からは、不等式|z−z_0|≧|z_1−z_0|
が導かれますﾈ

360

(・∀・)age!

留数積分でも特に、実軸上に極がある場合、極は一位で無くちゃだめ
なのはなんでですか？極付近をローラン級数に展開する最後の
式変形で効いてるってのはわかるんですが。

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　　　　 ,;ゝr;,;_二∠r;,_ｪ=-ｰ'" r,_,/　　　☆
【ラッキーレス】
このレスを見た人はコピペでもいいので
10分以内に3つのスレへ貼り付けてください。
そうすれば１４日後好きな人から告白されるわ宝くじは当たるわ
出世しまくるわ体の悪い所全部治るわでえらい事です

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そうすれば１４日後好きな人から告白されるわ宝くじは当たるわ
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587

あげ

複素解析では、正則関数の曲線上での積分（線積分）を考えますよね。
ところで、一般に線積分は「有界変動」でないと定義できませんよね。
ところが正則関数の線積分は任意の連続曲線でOKです。
なぜでしょう。

聞きたいんですけど、複素解析学って数学以外にどんなとこに応用できるんですか？
量子力学とかですか？

とかです。

流体力学も。

それしか知らねーのかよｗ
他にもたくさんあるだろ。まず相対性理論だな

>>117
>ところが正則関数の線積分は任意の連続曲線でOKです。

え、そうなの？

>>122 そうですよ。積分する対象が「正則関数」だからうまくいくんです。
なぜでしょう？
>>121 それだけ？

>>123
すみませんそれだけしか知りません
他にたくさん教えて下さい。

> まず相対性理論だな

> まず相対性理論だな

これ違うの？

皆さん、１１７の出した問題はわかりましたか？
ヒントは「正則関数は局所的に原始関数を持つ」、「始点と終点の
与えられた連続曲線はコンパクト集合」です。これでわかったでしょ？

>>118
留数定理とか、解析接続とか含めれば、計算の絡むいたるところで。

f(z) は複素平面上正則な関数で無限遠点は真性特異点だとします。
（したがって f(z) は多項式ではない。）
z=x が正の実軸上を無限大に近づくとき f(x) がxの多項式のオーダーで
無限大になる、ということはあるでしょうか？

f(z)=z+exp(-z)

>>130
どうも、つまらないことで悩んでました。
ありがとう。

44

836

フラクタルな曲線上の線積分は、満足に定義されるでしょうか?

複素関数をルベーグ積分することはできますか？

できるよ

ｃインフィニティな２次元ｍｆｄと
複素一次元ｍｆｄって同じに考えられるっけ？

>>137
複素構造:CR関係式の有無がある

教えてください。
〔問題〕∫[0、∞](cos(ax)/(b^2+x^2))dx を求めよ。
　where a,b > 0

私はこれを
　∫[C]〔(exp(iaz)+exp(-iaz))/2(b^2+z^2)〕dz
なる複素積分から解こうとしたのですが、
模範解答とは解き方も答えも違っていました。
模範解答では、
　∫[C]〔exp(iaz)/(b^2+z^2)〕dz
なる複素積分で解いていました。

どちらの解法も正しく見えるのですが、
私のやりかたはどこが間違っているのでしょうか?

>>139
積分路をどう取ったのかがわからないと、間違いが指摘できないかも。
一番ありそうなのは、上半平面に積分路を取って極限に飛ばすと
exp(-iaz) が発散することに気づかなかったとか。

>>140
>>exp(-iaz) が発散することに気づかなかったとか
そのとおりでした。
ありがとうございました。
つい実数のときの感覚でやってしまいました。

どなたかこの答えを教えてください。
値だけで結構です。独習しているので
答え合わせができないのです。
〔問題〕∫[C]〔1/sin(z^2)〕dz　を求めよ。
where C:|z-i|=3/2を正の向きに一周

>>142
まず君の答えとその解法を書いてみてくれ。

>>143
Cの中の極は、Z=0とZ=√πiだけ。
その２点での1/sin(z^2)の留数の和を
求めて2πi倍すればそれが求める答え。
Res(Z=0)=0,Res(Z==√πi)=-1/(2=√πi）。
以下省略。こんな感じで解いたのですが・・・。

>>144
ごめん、Resってなに？

>>145
インターネット初期に、ニフティとかからﾊﾟｿ通廃人が
大量に押し寄せてきて、その質問がいたるところで繰り返されたなあ。

>>144
>Cの中の極は、Z=0とZ=√πiだけ。

これに自信ありますか？

>>144
その方針でいいと思う。sin(z) の零点は
nπ (n = 0、±1, ±2、．．．) だから sin(z^2)の零点
は±√(nπ) (n = 0、±1, ±2、．．．)。これから
Cの中の1/sin(z^2)の極を求めるのは単純な計算問題。
各零点における留数を求めるのも単純な計算問題。

関数の一意性の必要性はなんですか

日本や英米系の複素解析の本には、複素函数の導関数がどういう幾何学的意味を
もっているのかってことが書かれているものは無いが、ロシア（旧ソ連）の本
には、それが書いてあるってこと知ってる？

この本はどうよ？
ttp://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/00/5/0059500.html

>>151
著者は２人とも数値計算のプロなのに、こんな本も書いてるんだね。

>>113
>>114
数学スレでコピペしても誰も信じないから意味ないぞ。

228

>>150
例えば何て本？読んでみたいから是非教えて。

あげとこう。

複素関数が専門の人って日本に十数人しかいないんでしょ

複素関数論の参考書としては、小平先生の本とAhlsforsの
本ではどちらが良いでしょうか

どちらか選べと言われれば、個人的にはAhlsfors。

個人的には Ahlsfors より Ahlfors

>>158
とりあえず両方読んだほうが良い罠

神保先生の岩波からでてるやつはどうなの？初心者向けか？
まあアールフォルスも最初は初歩的なことから書かれてるけど。

神保先生の本は良いよ
ざーっと流れを見る感じ　それでいてちゃんと書かれてる　良い入門書だと思います
大学二年生くらいならこれでOKだと思う

でも内容的に浅いからアールフォルスは結局読んだほうが良いｗ

アールフォルスのどこがいいのか俺にはわからない。
あの本読んで面白いと思ったことがない。
まあ、最初に読んだ複素関数論の本でないってことも
あるんだろうが。

>>164
あのなんとも言えん分りにくさが良い。まあ何にしても両方とも
通読するような本ではないと思うけど。

>>158
代数好きな人なら、カルタン（岩波）もいいよ。Dover の英訳版もある。

結局、読む人との相性の問題。

>>112
かなり不正確で不親切な説明だが。

1/zの“不定積分”はlog z、1/(z^2)の“不定積分”は-1/z。
それぞれ原点の周りでぐるっと一周することを考えよう。
log zの方は必ず分枝の取り直しで2πi分のズレをカウントしないといけないが、
-1/zだと、分枝の取り直しは発生しない。
こんな感じで(-1)乗のところのみに“留数”が出てくる。

↑このまま答案に書いてはいけません（笑

164

この本はいかがでつか？
ttp://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/425411575X/qid=1087296711/sr=1-1/ref=sr_1_8_1/249-9352929-9203535

どなたかこの答えを教えてください。
院試問題にしてはあまりに簡単すぎるので不安です。
〔問題〕a>0 に対して　
　　(1/2πi)∫[-∞，+∞]〔e^(ix)/(x - ia)〕dx　を求めよ。
〔私の答〕「1/e^a」
ところで、同様にして
(1/2πi)∫[-∞，+∞]〔e^(-ix)/(x - ia)〕dx = 0
でよいのでしょうか？こっちはすこしおかしい気が
します。

Re:>>171
留数定理で解いた？
どうやって留数定理を使って計算するのか、よく考えてみよう。

Re:>>171
そして、どうしておかしいと思った？

複素関数の導関数って、幾何学的にはどんな意味があるんですか？

図書館でJohn Conwayの複素函数論の本が良さそうだったので
借りたらJohn Horton ConwayじゃなくてJohn B. Conwayの方だった…
（↓のページの中ほどにリンクがある人）
ttp://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~tomatsu/link.html

>>174
> 複素関数の導関数って、幾何学的にはどんな意味があるんですか？

局所的な拡大･縮小と回転

>>176

局所的な拡大･縮小と回転って、具体的には？

>>176

f'(z)≠0 の点では…ですね。

>>178
f'(z)＝0 の点では少なくとも縮小といえる。
f (z)＝0 の場合、「点では」を近傍を含まない表現とすれば f'(z) は縮小も、回転も意味しないかも。

ポントリァーギンの「無限小解析」という本

http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4627042213/qid=1088103739/ref=sr_8_xs_ap_i1_xgl14/249-1197320-2505144

が図書館にあったので、借りて読んでみたんだけど、実数解析と複素解析とを一括して
扱うという、異色の本で、面白かった。

ここは複素多様体のスレか？

（コンパクト）ケーラー多様体と非ケーラー多様体の違いは、
標数0の（非特異射影）代数多様体と正標数の代数多様体の違いに似た点が多い。
例えば h_pq ≠ h_qp.
その他を列挙せよ。

>>174
> 複素関数の導関数って、幾何学的にはどんな意味があるんですか？

1) |df(z)|=|f'(z)||dz|, よって、dz の偏角いかんによらず、長さ|df(z)|は長さ|dz|んの定率倍（=|f'(z)）である。

2) Arg{df(z)}-Arg{dz}=Arg(f'(z)}. よって、df(z) の偏角からdz の偏角を引いた差は、f'(z) の偏角に等しい。

＞h_pq
知っている人居るんだろうか・・

dimH^{p,q}のことじゃないのかい？

>>183
ケーラー多様体なら Dolbeaut complex を用い、その様にも書くが、
一般には dim H^q (Ω^p)

そのヤコビ多様体は同型だが、複素構造のことなる閉リーマン面にはどのようなもの
があるか？

>>186一つの2次元アーベル多様体を固定する時、それに埋め込まれる種数2のリーマン面のも面のモデュライを計算すれば分る。

質問です。
実数の範囲までの積分（リーマン積分）は面積を求めているという
イメージが出来たのですが、それに対して複素数の積分の線積分は
いったい何をしているのかイメージがわきません。これは積分路を
たどって線の長さを求めていると考えていいのでしょうか？
教えて下さい。

＞188
道筋に有る物を漏らさず拾い集めているだけだ。
面積で理解できるなら、積分経路に建てられている壁の面積と思っても良かろう。
尤も、値が負の所は溝なり、地中におかれた壁として地上の壁と差し引きしなきゃ
ならないね。

二次元アーベル多様体に種数２の閉リーマン面が埋め込まれてる様子
が想像できない。

>>190
P^1 と P^1 の直積に埋め込まれている様子は想像出来ますか？

>>191
すみません。馬鹿なんで想像できません。

できないのは馬鹿だからではない。

アホだからだ。

もしかして種数２の閉リーマン面ってP^1×P^1にうめこめないとかいうことなの？
P^3かなんかにはうめこめるって話は聞いたことあるけど。

>>195
P^3
なら任意の非特異コンパクト（連結）リーマン面は埋め込める。

開リーマン面がシュタインだと言う事は簡単に証明出来ないの？

>>196
証明はなににのってるの？代数的な場合の証明はみたことあるんだけど。

>>198
コンパクトなリーマン面が射影空間に埋め込まれることは、
どのリーマン面の本にも書いてある。
その埋め込まれた射影曲線をP^3に埋め込むのは、
代数幾何的な問題だろ。

>>199
＞その埋め込まれた射影曲線をP^3に埋め込むのは、
＞代数幾何的な問題だろ。
どうして？

>>200
射影曲線、つまり代数多様体を射影空間に埋め込む問題だから。

>>201
射影曲線ってのは代数的なの？つまり
＞コンパクトなリーマン面が射影空間に埋め込まれることは、
＞どのリーマン面の本にも書いてある。
の像はかならず代数的になるの？

>>202
当たり前だよ。もっと一般に射影空間に埋め込まれた
複素多様体はかならず代数的になる(Chowの定理)。

>>199
つまり任意の複素１次元コンパクトリーマン多様体は代数曲線と複素多様体といて
同相って意味？どんな本にのってるの？

>>204
例えば岩沢の代数関数論。

>>204
リーマン多様体じゃないよ。リーマン面。
この二つは別物。

>>206
あ、ごめん｢リーマン｣は余計だ。
複素１次元複素多様体⇔リーマン面
だよね。

ともかくリーマン面はつねに代数曲線と思っていいってことね。
しらべてみる。勉強なった。tanks＞Ａｌｌ。
で、上の方の問題はどうなったの？種数２のリーマン面でP^2(C)には埋め込めない
ものがあるの？

俺も気になる。種数２のリーマン面が一次元複素射影空間Pの直積P×P
に埋め込まれるか否かだよね。

>>197
閉リーマン面はシュタインじゃない

>>210
だから何？　因みに>>197が聞いてるのは閉じたリ−マン面
じゃなく開いたリーマン面だけど。

>>197>>211
正確に言えば連結非コンパクトリーマン面

>>208
連結コンパクト非特異リーマン面が P^2 に埋め込まれるとすると、
その種数は種数公式により、は (m - 1)(m - 2)/2.
但し m は多項式で書いた時の次数。（plucker の公式）
よって取りうる種数は、0, 1, 3, 6, ... 又これらの値は実際に取りうる。
残念ながら2は取らない。

有名な参考書はアールフォスと小平以外に何かあったけ？

>>214
カルタン。ドーバーで買うと安い。

あとラングの奴もあった予感。

両方とも洋書か。

>>217
数学の本で名著と言われるのは英語で書かれているか英語
に翻訳されているのが多い。日本の中だけで名著と言ってもな。

カルタンは訳書があるが、高い。

前どこかに書いたが、
Nehari の本もいい。

他にも良い本はイッパイある。
岩澤健吉「代数函数論」は邦書の最高峰の一つだと思う。
他にもヘルマン・ワイル「リーマン面」には翻訳が出ている。

個人的意見だけど、アールフォスと小平を読了したら岩澤に目標を設定して勉強すると
得る所が多いと思うよ。

アールフォルスから岩でええやん

>>220
Nehari 入門から等角写像論まで、値段は張らない。

Nehari の本はこれのこと？

http://www.amazon.com/exec/obidos/tg/detail/-/048661137X/
Conformal Mapping
by Zeev Nehari

だから値段が張らないでしょ

前スレ
複素関数論スレッド
http://natto.2ch.net/math/kako/997/997190739.html

多変数複素解析の入門書なら手元に色々ある。

>>227
じゃあいいの教えて。

>>228
多くは英語版だが、
日本語版なら、たとえば
岩波講座　現代数学の展開　多変数複素解析　大沢健夫

>>229
あの先生の本は、自明なことは一切書かないから、数学の基礎が
しっかり出来てないと読むのは難しい。

>>230
自明なら書く必要ないだろ

>>231
永田の可換体論になります

>>227
洋書の新しいのでお勧めの本はあるでしょうか？
私はいまだに Gunning-Rossi ,Hormander と一松だけです。

>>232
良書だ。が、少し古い。
これに加えてグラウエルト･レンメルトの２冊本と、
あと、
Henkin-Leiterer など。

>>233
ありがとうございます。Henkin-Leiterer は一度見てみます。

開リーマン面上の複素線束って、自明束のみですか？

>>235
自明とは限らない。
H^1 (M, Z) だけある。

失礼
H^2 (M, Z) だから自明だ。

>>237
レス、ありがとうございます。

>>235
Cartan の行列分解定理と lim^1 Theorem より、
任意の複素解析的ベクトル束は自明。

正則関数って吸い込み湧き出しなしの流水や電磁場のイメージを先行させて
考察されていったらしいが、このあたりの事を教えてくれる本知らないでつか？
正則性を一生懸命イメージしてもどうもわかった気がしない。。。。。。。。。。

マクグローの赤い複素解析と応用をよんだら？

>>240
正則関数をそういう風に捉えているのがおかしい。
例えば (z^2 + 1)^(-n) の不定積分を求めるのに、
複素数の範囲で部分分数展開して終わり。

失礼
(z^2 + 1)^(-1)
の n 階導関数でした。

連結開リーマン面はStein
そのくらい知っておけ

ベーンケ−シュタインの定理

シュタイン空間（特異点を持っても良い）ぐらい知っとけ。

まともにおやってくれ。

必読！！！　複素解析の諸概念の幾何学的意味を徹底的に追求した、驚くべき本↓

http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0198534469/qid=1093104708/sr=1-1/ref=sr_1_8_1/250-8078389-6961836

邦訳はこちら↓

http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4563011029/qid%3D1093105091/250-8078389-6961836

>>248
何だ。応用系じゃないか

>>248
値段とページ数の割には、内容がしょぼい

>>248
お奨めにあらず。

>>248
ってよくないの？
スッゲー気になってるんだけど。

応用系には悪くない。

>>252
理論系でもこういうイメージを納得するためにはいい本だと思うよ
他の分野でもこういうの流行るかもね

>>254
確かにそういう見方もあるが、
将来多変数関数論も勉強しようとする人にとってはやはりお奨めではないな。

一変数を扱っていても、特異点がある場合は多変数の知識が必要。

>>248
ちょっと本屋で立ち読みしてみたけど、あれは著者のオナニーだ

>>257
そうかなあ。
漏れはいい本だと思う。

大学院に行くまで何を知っとけば良いのかな

ミッタグレフラーの定理　楕円関数の基本的なこと

楕円関数の基本的なことは抑えてるんだけど
演習とかだされたらたぶん解けないだろうなぁorz

質問です。
超越整関数f(⇔複素平面全体で定義された正則関数)についてM_t(f)、ord(f)を
M_t(f)=max{|f(s)| | |s|=t}
ord(f)=limsup[t→∞]loglogM_t/logt
で定義するとき２つの超越整関数f,gについて
ord(fg)≧max{ordf、ordg}
とか言えます？言えるとうれしい気分なんですが。

あげてみる。この位数ってのはどの教科書でくわしいんだろう？

>>262
f=e^t, g=e^{-t}

>>264
そうだ。そんな自明な反例があるや。ちゃんと問題かく。
>>262+さらに有理形関数φ（⇔超越整関数の分数でかける関数）に対し
ord'(φ)=min{max{f,g}|f,gは超越整関数でφ=g/f}}
と定義するとき任意の超越整関数fはf=f/1なので当然有理形関数なんだけど
このときord(f')=ord(f)になるのかという問題。当然ord'(f)≦ord(f)なんだけど。
逆が正しいのかなと。

２つの超越整関数f,gについて
ord(f)>ord(g) のとき、ord(fg)=ord(f)
を示す

>>266
どうやって？

そうか。わかった。でけた。>>265の疑問は正しい。
超越整関数fの超越整関数としてのord(f)と有理形関数としてのord'(f)は等しい。
スッキリスッキリ！

ネバンリンナ理論はそもそも有理型関数の値分布論だからな。

>>269
何ソレ？

>>270
カルピスアニメ小劇場

閉リーマン面上の有理型関数は、任意の複素数値を取り得ますか？

閉リーマン面がcompactであること、定数でない有理型関数が開写像で
あることから、定数でない有理型関数のimageは開かつ閉。
連結性から、任意の複素数値を取る。

>>273
詳しいレス、ありがとうございます。

>>271
ヨハンナスピリ？

>>248
その本、買いました！
著者はニュートンの『プリンキピア』に触発されてその本を書いたと序文で述べています。
実解析では全く関係のないテーラー展開とフーリエ展開が、複素解析では表裏の関係にある
ことを図入りで解説しているところなんか、まさに圧巻です。（こんなことの書いてある
複素解析の本、他にあったっけ？）

>>272
>>273にあるように(連結)閉リーマン面の間の正則写像は定値写像か全射。
しかし高次元複素多様体の間の正則写像がある点の近傍で開写像であっても
写像全体は開写像とは限らないというのが面白いところだ。

おみゃ〜らよ、人の顔はリーマン面になっているか？
どうじ？自分じ答えてね♪

おみゃ〜らよ、大下容子の顔はリーマン面だが、武内絵美の顔はリーマン面ではないぞ。
また樋口可南子の顔はリーマン面だが、大島さと子の顔はリーマン面ではない。
自分じわかるかな？

リーマン面といってもgenus∞だ

俺はボーナスゼロだ

「領域Dにおいて正則な函数f(z)の零点がD内に集積点を持つならば
Dにおいてf(z)=0である。」
というのが一致の定理ですが、
領域D内に零点の集積点を持たず、且つDの境界上に零点の集積点を持つような
D上正則な函数は存在しますか？

最近疑問に思い考えてみたのですが分かりませんでした。
誰かご教授お願いします。

>>282
そんなもんいくらでもあうだろ？
D={z||z|≦1}
で定義された関数
f(z)=sin(1/(z+1)
とか。

>>283
レス有難うございます。
確かにいくらでも存在しますね。
全然思いつきませんでした・・・

>>283
そんなもんいくらでもあうだろ？
D = { z | |z| ＜ 1 }
で定義された関数
f(z) = sin{1/(πz - 1)}*sin{α/(πz - 1)}

もう少し頑張れよ

415

saikin deta Joe Taylor ni hindemo kae!!!!!

243

772

693

740

907

>>282
そんな物イクラもあるだろう
Im ＞ 0 で e^(1/z) - 1

467

腐糞関数

フックス関数

分割数の母関数なんて、
皆さん興味ないのかしら

generic な超幾何関数の逆関数ってご存知かしら?

一変数複素関数論に興味のある方は少ないのね

　　　　　　 　　　 ...,､ -　 ､∞
　　　　　　,､ '　 ヾ　、;;;;;;;　 丶,､ -､
　　　　 ／;;;;;;;;;;;　　οヽ　ヽ;;;;＼＼:::::ゝ
　∞ヽ/;;;;;　i　 i　;;;;　　ヽ;;;;;;; __.ヽ ヽ::::ヽ
　ヽ:::::l　i.ο　l;;; ﾄ　　ヽ　 ヽ .___..ヽο丶::ゝ
　r:::::ｲ/ l:::.|　i ヽ　　＼　＼/ﾉﾉﾊ;;; ヽ
　l:/ /l　l.　　l;;;;;　i　 ヽ'"´__ヽ_ヽﾘ }. ',　　',
　'l. i　ト l;;;　ﾚ'__　　　　'"i#::::iﾞ〉l^ヾ　 |.i.　l
.　l l　lミ l ／r'++::ヽ　　　　'n‐／.}　/　 i l　l　／￣￣￣￣￣￣￣
　 l l　l.ヾlヽ　ヾ:‐°　 ,　　　　 !'" ♭i i/ i＜　　このスレ相変わらず
　 iﾊ　l　 (.´ヽ　　　　　_　　 .／　◎　 ,' ,'　'　|　馬鹿ばかりだわねぇ・
　　 |l. l　　♭ ''丶　　.. __　 イ　　∫　　　　　　 ＼＿＿＿＿＿＿＿
　　　ヾ!　　◎　　　　　 l.　//├ｧ ､
　　　　　　∫　　　／ﾉ!　◆　/　　｀　‐- 、
　　　　　　◎　 ／ ヾ_　 ◎/　≪≪ ,,;'' /:i
　　　　　　　 /King命;｀　∬/　　　,,;'''／:.:.i＼
　　　　　　　　　　　　というほど馬鹿じゃないわ。アホ

219

515

タイヒミューラー空間が廉価で

誰の?

ｎを自然数とする。
∫dz/z^n-1
を半径２の原点中心の円周を反時計回りに線積分。。
おねがいします！！

>>306
n ≠ 2 なら 0

>>307
あの、、そうしてですか。。
証明のアウトラインお願いします

学科に女の子いなくて、なんか、誰にも聞けないんです

　〜〜〜終了〜〜〜

>>309
女か?
kingの出番だ
ただし分母をはっきりさせてくれ
(z^n) - 1 ? z^(n - 1) ?

>>311
はい、女です。
分母は(z^n)-1です
おねがいします。

この場合は n ≠ 1 なら 0.
なぜならこの場合、留数和を変えないように
1/{(z^n) - 1} を 1/(z^n) に変形できるから
極は2次以上となる。よって 0.

ありがとうございました！！
来年入ると思う研究室にも、女の子いないでつ
さみしぃ。。

>>314
気にするな　俺がついてるさ

(　´д)ﾋｿ(´д｀)ﾋｿ(д｀　)　

>>314
n = 1 の時は出来ますか?

たぶん＾＾
がんばりまっす
学部の3年後期って暇ですね
勉強しないといけない、、
最近、女の人がたくさんいると不思議な感じが。。。
はぁ。。

796

835

>>318
出来ましたか?

Laurent級数のところで、

f(z) が R_1 < |z - z_0| < R_2 において
　　f(z) = Σ[n=-∞, ∞] b_n( z - z_0 )^n
と表されるとき、R_1 < r < R_2 である r に対し

(1/(2πi))∫_(|w-z_0|=r) (f(w)/((w-z_0)^(m+1)))dw =
(1/(2πi))Σ[n=-∞, ∞]b_n∫_(|w-z_0|=r) ((w-z_0)^(n-m-1))dw

において、左辺が右辺のようにあらわされる理由が分かりません。
よろしくお願いします。　　

説明不足と思われるので追記します。

m = 0,+-1,+-2,・・・

(1/(2πi))∫_[|w-z_0|=r] (f(w)/((w-z_0)^(m+1)))dw = c_m
とおけば、
f(z) = Σ[n=-∞, ∞] c_m( z - z_0 )^n
のような意味になるかと思います。　

369

おみゃ〜らよ、人の顔はリーマン面になっているか？
どうじ？自分じ答えてね♪

真似したり、関係の無い事言ったり、適当な事書いたり、無茶苦茶書くな　

荒らしは
　〜〜〜終了〜〜〜
　
ageるな馬鹿タレ

お前が数学出来ないのはわかるが八つ当たりするな

リーマン面といってもgenus∞だ

高橋礼司：複素解析P36問2からの質問です。

領域Dで正則な関数fが与えられたとき，E＝｛z~｜z∈D｝とすれば，
関数 z→(f(z~))~ はEで正則であることを示せ．

さっぱりわからない・・・。この本、問題多いくせに回答が１つも与えられていないという
あまりにも不親切な本で悪戦苦闘しています。ご教授お願いします

f(x+iy)=P(x,y)+iQ(x,y)とおくと(f(z~))~=P(x,-y)-iQ(x,-y)になる。
P(x,y)+iQ(x,y)がコーシー・リーマン方程式を満たすなら
P(x,-y)-iQ(x,-y)もコーシー・リーマン方程式を満たす
という事を示せばいい。

解答無いのが嫌なら他の本にすればいいのに・・・

>>328
問題の解説も詳しいイイ本はいくらでもあるのに、
マイナーな人 （少なくとも俺は初めて聞いた） の本で勉強することもなかろう？

他の本に買い換えるのをケチって時間を浪費するか、
それとも他の良書に買い換えてガンガン先に進むか、お前次第だ。

>>331
いや、その本自体は結構いい本だよ。
328には合わないみたいだが。

age

>>331
たとえば、どんな本ですか？
問題の解説が詳しい本ってほとんどないような・・。

D={z∈C ； 0<Re(z)< 2, 0<Im(z)<π/4}とする．
w=cosh(z) によるDの像の面積を求めよ．

>>331
関数論の分野で高橋礼司がマイナーなら何がメジャーなんすか?
Ahlfors と Cartan と小平ぐらいしか思い浮かばない…。

>>329
ありがとうございます・・・でもまだなんだかよくわからん・・・
P(x,-y)、-Q(x,-y)をコーシー・リーマンの方程式に当てはまるか調べるんですよね？
yのところが-yになると偏微分するとき何がどう変わるんでしょうか？こんがらがってきた・・・

あと、もうひとつ質問です。
P10の4行目で、「AもD-Aもともに開集合であることが容易にいえる」って書かれてるんですけど、
本当に容易なんでしょうか・・・？証明教えてください

>こんがらがってきた・・・

そういうときは定義に戻る。

{P(a,-(b+h)) - P(a,-b)}/h
= {P(a,-b+(-h)) - P(a,-b)}/h
= (-1)*{P(a,-b+(-h)) - P(a,-b)}/(-h)

と変形して h→0 とするとこれは

(-1)(∂P/∂y)(a,-b)
に収束することがわかる。ただし∂P/∂yとは

(x,y) → lim_[h→0] {P(x,y+h)-P(x,y)}/h

なる関数のこと。



>あと、もうひとつ質問

そっちはわからん。［高橋］持ってる奴に聞いてくれ。

>>336
田村二郎（裳華房）は入門書として挙げられる事が多いからメジャーなんだろう

C上の正則関数で，いかなる点においてもテイラー展開すると，
少なくとも一つの係数が0になるものを求めよ．

>>340
多項式

>>341
正解
他スレでベールの定理を使っているのを見て思い出した問題です．

>>339
改訂によって退化してしまった。
困ったものだ。

>>338
ありがとう、やっと理解できました。
もうひとつの問題を書かせてもらいます。

★定義★
C(複素数全体)の部分集合Dが連結であるとは、Dの任意の2点 x、y にたいして、
開区間 [0,1] からDの中への連続な写像 t→f(t) が存在して、f(0)=z_0、f(1)=z_1となること。

★問題★
開集合Dが連結⇔A、Bは開集合で、D=A∪B、A∩B＝φならば、A=φであるかB=φである。

これの証明で、⇒は言えたのですが、逆向きの証明で、
「Dの点でDの1点z_0と連続名曲線で結べるような点zの全体をAとすれば、
AもD-Aもともに開集合であることが容易にいえる」
と書かれていたのですが、私にとってはさっぱりでした。
AとD-Aが開集合であることを証明するにはどうすればいいのでしょうか？

>>344
訂正です。下から４行目
「連続名曲線」⇒「連続な曲線」

>>344

会集合の定義を述べよ。

>>346
うお、失礼しました。普通の距離空間での定義と一緒で、
Dが開集合であるとは、Dの任意の点aに対して、
｛z | |z-a|＜ε｝⊂Dとなるような正実数εが存在するときです。

>>347
トリップの前に何かハンドルネームを入れてくれ
トリップだけだとすぐに混同してしまう

了解しますた。

数ヶ月前に解析概論と杉浦解析IIで留数定理あたりまで複素解析を独学で覚えたのですが、
最近ほとんど忘れてしまったので高橋礼司「複素解析」で勉強してみようと思って、
ずっとやっているところです。とても内容はいいと思うんですけど、問題の回答がないのがつらい・・・

>>347

D - A が開集合であることを確かめられ無いのか？

背理法で考える。

>>350
背理法かぁ・・・まだわからん・・・。
「容易」って書いてあるから１行２行とかの説明でできるものだとｵﾓﾃﾀ
もうちょっと格闘します

数学の本には三ページくらいルーチンワークを続ければよいものは
よく容易に、とか書いてあります。専門の論文だともっと酷い。

あと、
　独学で覚えたのですが
数学の本はあまり覚えたとは言わないと思うけどねえ

>>353
そんな些細な言葉をいちいち突っつかんでも

>>352

D - A が開集合でないとすると、ある d ∈ D - A 即ち d ∈ D かつ d ¬∈ A
があって、 d ∈ D' なる如何なる開集合 D' ⊂ D も D' ∩ A ≠ φ (空) となる。
これは A の元の列 a_k で | d - a_k | → 0 なる物が存在することを示している。
A の元の列だから線分の和集合(折れ線) m = a_1 a_2 ∪ a_2 a_2 ∪ … ∪ a_k a_k ∪ …
は A 内にある。 m ∪ d は a_1 と d を結ぶ連続な曲線ゆえ、 d ∈ A

でどうかな？請検証。

>>355
下から二行目

>A 内にある。
---->A 内にある様に出来る。

路γとγ*={γ(t)|a≦t≦b}の上で連続な関数ψとが与えられたとき、
開集合D=C-γ*で定義された関数
　　　∫[γ]ψ(ζ)/(ζ-z)dζ
は正則である。Cは複素数全体。

これの証明がわかりません。・・・どなかたご教授お願いします

てすと

355は難しくてわからん・・・

>>344
（D-Aが開集合であることの証明）
D の点 z_1 をとる。D は開集合だから正の数εを十分小さくとると、
z_1 のε近傍 U:={z ; |z-z_1|<ε} は D に含まれる。
U は円板だから U 内の任意の２点は明らかに U 内の（従って D 内の）曲線で結べる。
よって「D 内の曲線によって z_0 と結べる点」が U のなかに１個でもあれば
その点を中継して U 内の全ての点が D 内の曲線によって z_0 と結べる。
だから z_1 が A の点でないなら U 内に A の点は無い。
よって D-A は開集合。

>>355
>>359
Thank you！！やっとわかってきました。
開円板内の2点は連続曲線で結べること(★)がわかれば、背理法で証明できますね。
でも、>>344に書いた連続の定義のみで、(★)が証明できるかな。できるなたぶん。

>開円板内の2点は連続曲線で結べること(★)がわかれば

それはさすがに自明だとおもう。線分で結べばいいんだし。

［高橋］見たけど、イイネ、面白い。

開集合Dが連結⇔A、Bは開集合で、D=A∪B、A∩B＝φならば、A=φであるかB=φである。

Ｄが連結でなければ、孤立した２個の開集合でもいい。右は不成立。
対偶で右ならば左。

>>357これも高橋の問題だな
F(z)=∫[γ]ψ(ζ)/(ζ-z)dζとおくぜ。
　　F(z)-F(z')=∫[γ]ψ(ζ)/(ζ-z)dζ-∫[γ]ψ(ζ)/(ζ-z')dζ
　　　　　　=∫[γ]{ψ(ζ)/(ζ-z)-ψ(ζ)/(ζ-z')}dζ
　　　　　　=∫[γ]{ψ(ζ)(z-z')/{(ζ-z)(ζ-z')}dζ
　⇔
　　{F(z)-F(z')}/(z-z')=∫[γ]{ψ(ζ)/{(ζ-z)(ζ-z')}dζ
より、
　　lim[z→z']{F(z)-F(z')}/(z-z')=∫[γ]{ψ(ζ)/{(ζ-z)^2}dζ
となり、有限確定値を得る。よって正則。

こんなんでどうでしょうか？わかる方採点ｷﾎﾞﾝﾇ

iの平方根はどうやって求めればいいんでしょう。

Sqrt[Sqrt[i]]
ただし、i^2=-1ってこと？

>>365
i = cos(π/2) + i sin(π/2)

ド・モアブルの定理より
i の平方根は ±{cos(π/4) + i sin(π/4)}
= ±(1 + i)/√2

理解できました。ありがとうございます。

高橋の複素解析に「Ind」ってのが頻繁に現れてるんだけど、
このIndの使い方がいまいち理解できない・・・。
ホモトピー同値とかホモロジー同値とかも何をいってるのか掴めん・・・
ちょっぴり詳しく書かれてる本ないですか？

Ind ?
induced *** ?

良スレ
院試近いから、
おいらも高橋の複素解析買おうかな

遅い

>>371
また来年どうぞ（・∀・）

（ふふふ・・・思惑通りだ・・・印税が入るぜ・・・ククク・・・）

高橋礼司先生はすでに故人ではなかったか

>>375
遺族に印税が入る。

印税ってどれくらいなんだろう？
働かなくても食っていける？

数学書でそれはない・・・

数学ミステリー、数学ロマン、数学ポエムを刊行する
勇気ある数学者はでてこないものか？

数学ポエムどうぞ
↓

>379
だから、お前の希望など知ったこっちゃないつってるだろうが？
(　´,_ゝ｀) ププッ

γ:[a,b]→C-{0}（連続）γ(a)=γ(b)
なるγに対して
e^(f(t)) = γ(t) for any t∈[a,b]
を満たす連続関数 f が存在する。
この f を使って
Ind(γ,0)={f(b)-f(a)}/(2πi)
と定義する。

・・・だったかな。
よーするに閉曲線γが原点の回りを回る回数か。
Indって何の略だ？

winding index （回転指数，回転数）　の略かな？

高橋問題
a_0<a_1<...<a_n
ｆ（ｚ）＝a_0＋a_1ｚ＋...＋a_nz^n＝0
の根ｚは
｜ｚ｜≦1を満たす

よろしくおねがいします

>>383
0<a_0<a_1<...<a_nとしないと，2z^2 + z - 3 = 0のような反例があるので，
そうします．
0 = |(z - 1)*f(z)|
　= |-a_0 + (a_0 - a_1)*z + ・・・ + (a_(n-1) - a_n)*z^n + a_n*z^(n+1)|
　三角不等式と0<a_0<a_1<...<a_nより，
　≧ -a_0 - (a_1 - a_0)*|z| + ・・・ + (a_n - a_(n-1))*|z|^n + a_n*|z|^(n+1)
　= -a_0 + (a_0 - a_1)*|z| + ・・・ + (a_(n-1) - a_n)*|z|^n + a_n*|z|^(n+1)
　= (|z| - 1)f(|z|)
f(|z|)>0 より |z|≦1
|z|=1 のときは，
|(a_(n-1) - a_n)*z^n + a_n*z^(n+1)| = -(a_n - a_(n-1))*|z|^n + a_n*|z|^(n+1)
から，z=1となるので，より強く |z|<1 が言えます．

余談ですが，これの応用として，
0<a_0<a_1<...<a_n
ｆ（ｚ）＝a_0＋a_1ｚ＋...＋a_nz^n
がZ上の多項式のとき，Z上既約である
ことが示せます．

>>384
GJ!!!!!!!!!

>余談ですが，これの応用として，
0<a_0<a_1<...<a_n
ｆ（ｚ）＝a_0＋a_1ｚ＋...＋a_nz^n
がZ上の多項式のとき，Z上既約である
ことが示せます．

ご教授ｵﾈｶﾞｲｼﾏｽ

>>385
なんでも他人に教えてもらおうとすんなよ。
ちっとは自分で考えてみれ。
だいたい、ＧＪってよくやった！て意味じゃねーか、おめえ誰だよ。

正則関数と言えば線積分だが、面積分ってどうなの。
正則域では面積分も0になりそうな予感。

>>387
関数論勉強したことあるのか?

４次元でやれば０じゃねーの？

鍛錬ケツ

>>386
(´ﾟc_,ﾟ` ) ﾌﾟﾌﾟﾌﾟｯ!!!!!!!!

解いてから吼えてね!!!!!!!!!!!

>>391
煽るな　にせもの　

「にせもの」 と本物を使い分けて、本音を吐くとは、たいした自演野郎じゃないか？
えぇ？

勘違いでした，とは言いにくい状況にあるなあ．
反例：(1 + 2z)(1 + 3z)

正しくは，
1<a_0<a_1<...<a_n
ｆ（ｚ）＝z^n - a_(n-1)*z^(n-1) - ・・・ - a_1*z - a_0
がZ上の多項式のとき，Z上既約である
でした．

佐々木の学生の学位の審査にはいつものように岡本が参加している。
佐々木は上野とも非常に仲が良い。
佐々木はこうして数学に「浸透」しつつあった。
今回のセクハラ騒動で岡本や上野にも影響が
何か及ぶのかどうかは不透明。
期待している人は多いようだけどね。

岡本和夫と佐々木力
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1107052485/17

史春は崩れとﾌｧｲﾄｸﾗﾌﾞで研究の中身で真っ向勝負しないと、
ｱﾎｱﾎ君決定です。そんな事したら負けるの目に見えてるけど

岡本和夫と佐々木力
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1107052485/470

鍛錬ケツ
鍛錬ケツ
鍛錬ケツ
鍛錬ケツ

小平先生の複素解析を買ってきました！勉強します。

いきなりあれ読むのは・・

小平先生の複素多様体買いました！勉強します

400はどこの大学の数学科ですか？

>>401
琉球大学です

>>399
いきなりはダメですか？今のところ最初の方を順調に進んでますけど。

いいんでない。別に特別難しい本じゃないよ。
バランスがよくないんで、複素解析の入門としては
あまりよい本だとは思わないんだけど。

>>バランスがよく
詳細ｷﾎﾞﾝﾇ

>>387
＞正則関数と言えば線積分だが、面積分ってどうなの。
＞正則域では面積分も0になりそうな予感。

拡張されたコーシーの積分定理は、線積分と面積分の関係を表すストークスの定理と同じ
形に書ける： ∫_[∂D] f(z)dz = - ∬_[D] ∂f/∂z~ dz∧dz~
ただしz~はzの複素共役。領域Dでfが正則のとき∂f/∂z~=0なので右辺の面積分は0となり、
通常のコーシーの積分定理になる。
参考：↓
ttp://forum.shimozono.com/contents.cgi?room=room1&area=106-128&mes=&mode=&frame=no

高橋礼司複素解析の第３章§3から§5までの話がさっぱり理解できん。
むずいなぁ。もうちょっと説明多くつけてくれよ；お

高橋のは現代的に書きすぎ。初学者にはつらいだろう。
90年代にヤサシゲな本もいろいろ出たが、けっきょく吉田洋一が泥臭いようで一番
よくわかる。省エネ志向には向かないかもしれんが。

理解には順序というものがあり、それはしばしば発達の歴史にほぼ沿う、と思わせる例だ。

>>407
はじめて見る証明だった。

476

>>188

正則関数の実部と虚部（の符号をかえたもの）をベクトル場と見ると
積分領域の接線成分と法線成分の平均値に比例する量を求めているんだと思います。

藤本坦孝さんの本も結構すきなんですが…。

緑色のやつでしょ？前に古本屋で眺めただけではどこら辺に味があるのかわからんかたな。

複素関数入門 現代数学への入門
神保 道夫 (著)

この本って同ですか?

>>414
でたな、馬鹿！
またおまえか？
( ﾟ∀ﾟ)ｱﾊﾊ八八ﾉヽﾉヽﾉヽﾉ ＼ / ＼/ ＼

>>414
とりあえず読んでみたら？
それほど時間掛かりそうじゃないでしょ

fを領域Uで定義された解析関数
一点a∈UとUの補集合の距離をR=d(a,U^c)とすると
fはaを中心とする半径Rの開円板でテイラー展開される。

とあるのですが
開円板内ではテイラー級数は収束するのでRは収束半径より小さい事は分かりますが
aとの距離がRと収束半径の間にあるのUの点bでは
テイラー級数は収束してf(b)と一致するのでしょうか

>>417
なる例
U ： 単位円盤, a ： 原点
f (z) = z, b ： 任意

ならない例

おなじく
f (z) = 1/(1 - z), b = 1

回転数Indを積極的に利用した教科書として、高橋のほかに一松信「微分積分学第四課」
（近代科学社）がある。
その中のコラムによると、そのような展開方法の元祖はアルティンとされているが、
この種の新規のアイデアに満ち溢れていた教科書であったのに当時の米国の大半の大学
の水準を超えたため、ほとんど売れずに忘れ去られたと伝えられている。このような手
法が普及したのは第一回フィールズ賞受賞者アールフォルスの教科書（初版1953）以降
のことである。
…だそうだ

問題
複素数を z=x+yi とする．|z|＜1 で f(z) が正則で，f(0)=0 および，|f(z)|＜1 のとき次の問いに答えよ．
f(z)=z*g(z) とおき，正則関数 g(z) が |z|＜1 において不等式 |g(z)|≦1 を満たすことを示せ．

意味がわからん

大学院の問題そのまま写しただけ
俺も一瞬意味わからなかったけど、すぐわかるべ
ずっとわからなかったら池沼

g(z)はz=0では定義されていないが、f(0)=0よりz=0はg(z)の除去可能特異点だから、
g(z)も|z|<1で正則になるわけだな。

何か問題文が変だけど｜ｚ｜＜１のとき｜ｚ｜＜ａ＜１となるａをとると
｜ｃ｜≦ａでの｜ｇ（ｃ）｜の最大値は境界上でとるので
ｍａｘを｜ｃ｜＝ａでの最大値を表すものとすると
｜ｇ（ｚ）｜≦ｍａｘ（｜ｇ（ｃ）｜）＝ｍａｘ（｜ｆ（ｃ）｜）／ａ≦１／ａ。
ａ−＞１として｜ｇ（ｚ）｜≦１。

age

アーベル賞 ： 津川光太郎 ＝ Ｐｅｔｅｒ Ｄ． Ｌａｘ
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1111320908/

899

質問です。
　I＝∫[-∞→∞](xsinx)/(1+x^4)dx
を求める問題で、以下のような不等式が導かれていました。

　γを半径R原点中心の円の上半分とする。f(z)＝(xsinx)/(1+x^4)とおくと、

　　　｜∫[γ]f(z)dz｜≦(2R^2/(R^4-1))∫[0→π/2]e^(-2Rθ/π)dθ

が成り立つらしいのです。解説では、

　｜z^4+1｜≧R^4-1、変数変換z=Re^(iθ)、
　ジョルダンの不等式(0≦θ≦π/2⇒e^(2θ/π)≦e^(sinθ)≦e^θ

を順位使えと書いてあります。そんなに難しくなさそうなのに、どう足掻いても上の不等式になりません・・・
ご教授お願いします。

f(z)のところを訂正です、もう一度書き直します

質問です。
　I＝∫[-∞→∞](xsinx)/(1+x^4)dx
を求める問題で、以下のような不等式が導かれていました。

　γを半径R原点中心の円の上半分とする。f(z)＝(ze^(iz))/(1+z^4)とおくと、

　　　｜∫[γ]f(z)dz｜≦(2R^2/(R^4-1))∫[0→π/2]e^(-2Rθ/π)dθ

が成り立つらしいのです。解説では、

　｜z^4+1｜≧R^4-1、変数変換z=Re^(iθ)、
　ジョルダンの不等式(0≦θ≦π/2⇒e^(2θ/π)≦e^(sinθ)≦e^θ

を順位使えと書いてあります。そんなに難しくなさそうなのに、どう足掻いても上の不等式になりません・・・
ご教授お願いします。

わかる方いらっしゃいませんか？

age

わかる方いらっしゃいませんか？
わかる方いらっしゃいませんか？
わかる方いらっしゃいませんか？
わかる方いらっしゃいませんか？
わかる方いらっしゃいませんか？
わかる方いらっしゃいませんか？
わかる方いらっしゃいませんか？
わかる方いらっしゃいませんか？
わかる方いらっしゃいませんか？
わかる方いらっしゃいませんか？
わかる方いらっしゃいませんか？
わかる方いらっしゃいませんか？
わかる方いらっしゃいませんか？
わかる方いらっしゃいませんか？

428

くどいぐらい説明の丁寧な複素関数論の教科書を教えてください。三流大学の
新入生レベルでお願いします。複素関数論の周辺についても突っ込んで書いて
あるような丁寧さがあると嬉しく思います。たとえば、オイラーの公式の証明
で、いきなり「マクローリン展開すると…」などとやらずに、まずマクローリ
ン展開とは何か、その証明には何の勉強をすればいいかを書いてあるような親
切さを求めます。

培風館の黄色の薄いのがいいんじゃねぇかな
あとキーポイントの複素関数とか

小野寺嘉孝「なっとくする複素関数」講談社 2000

とかは？

簡単になっとくしては騙されるだけだ。

DQN向けなら腐るほどあるぞ！


なるほど複素関数

村上雅人著／A5判304頁、本体2800円／ISBN4-87525-206-4
●複素関数を図示するには4次元の世界が必要である
……4次元というと複雑という印象を受けるかもしれないが、
そのおかげで等角写像という理工系分野に波及効果の大きい応用が開けるのである。
■また、複素積分には面白い性質があって、その特徴をうまく利用すると、
解法の困難な実数積分を複雑な計算をすることなく解くことができる。
この手法にはじめて接すると、その神秘性に魅了されるが、本書では、
この事実を体感できるように実例とともに紹介している。
■本書を通して、複素関数が虚構の学問ではなく、実際に、
理工系の幅広い分野で応用される重要な学問であるということを認識していただければ幸いである。

理工系のための　解く！複素解析

安岡康一，植之原裕行，宮本智之，石井彰三
発行年月日：2005/04/10
定価（税込）：2,520円

周波数、偏光、積分計算…複素数を使うと便利で早い。
理工系で教える著者たちによる親切な自習書
交流回路、屈折率、ポテンシャル関数、流れ、
複雑な積分を簡単に求める方法、留数の求め方、…

第1章 まずは複素数を理解しよう
第2章 いろいろな複素関数の計算の仕方を身につけよう
第3章 複素解析の主役：正則関数
第4章 これで複素関数の積分がわかる
第5章 留数へのステップ：級数展開を理解しよう
第6章 これは使える：留数
第7章 これが複素積分の応用だ

うちの学校はこれが教科書だった。
http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4781908470/249-9119211-6502760

まだまだあるよ〜 巫女巫女茄子

書籍名 やさしい複素解析
著者名 梅沢敏夫（埼玉大学名誉教授　理博）著
出版社 培風館
判型 Ａ５判 頁数 176 発行日 ***** 税込価格 \1890

微分積分学の基本的な事項を学んだ学生なら誰でも理解できるというのが本書の基本方針である。
そのため，複素数に関する解説を多くして基礎固めを十分にし，例題を多くして理論よりも実例で判るようにしてある。
また，定義や定理の意味だけでなく，そのアイデアの背景をなす考え方も紹介している。
複素解析の基本ともいえる古典的な定理はほゞ収められ，等角写像，とくに１次分数変換について理解の徹底をはかり，
その応用の具体例として流体力学をとりあげてある。
〔主要目次〕　
１．複素数　
２．複素関数　
３．初等関数　
４．複素微分　
５．１次分数変換　
６．複素積分　
７．関数の展開　
８．留数定理とその応用　
９．解析接続

いいのかねぇ。つまらない教科書ばかりになって！
思えば昔の教科書はよかった。たとえば、

竹内端三「凾數論 上･下」 裳華房 1926年

それがどんどんペラペラになり、つまらなくなって行った。

複素関数ヲタの俺に言わせれば、
能代清の初頭関数論演習に(´д｀；)ﾊｧﾊｧですね。
( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ

同じテーマなのに、80年前の教科書の方がはるかに立派だった！

80年前の学生のほうが立派だからだろ。
少なくとも、三流DQN私大のための教科書はありえなかった。

多価関数で
Log z = log r +i θ(0 < θ < 2π)
とθを定義したと場合、複素平面に入れる半直線は
C ＼[0, +∞)
であっていますか？

>>446
言わんとしていることはわかるが、
言葉の使い方がおかしい。

age

sage

age

ワイル「リーマン面」の１６節がさっぱりわからん…
読んだことある方、説明をお願いします

津川光太郎（名大多元数理・助教授）

非線形波動方程式の可解性、解の漸近挙動について研究しています。最近は特に、
水の表面波に興味を持っています。とても身近な対象であり、物理実験も行い易い
ため、多くの研究結果があります。これらの結果に対して数学的正当性を証明する
事と、その過程で解析手法を発展させる事が目的です。Bourgainによる理論以後、
ここ10年大きく発展中である調和解析的手法を用いて、新たな発見が得られるのでは
ないかと思っています。
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/ja/people/faculty-07.html#tsugawa

>>451
私もさっぱりわからなかった。そこである先生に説明を御願いしたところ、“あの本はそこからが
面白いんやないか”と一喝されてしまいました。古き良き時代の話かもしれないが。

実メールアドレス公開して大丈夫か？

＞＞４５４
これも２チャンネル空間の自由を楽しむための一方です。

2ch空間の位相入れようぜ

○２ｃｈ空間に位相いれようぜ

それではまず、これを時空多様体としてモデル化してほしい。

てか２ｃＨ空間の位相は離散位相だろ。連帯ゼロ、みんなバラバラ

多価関数の積分が良くわからないのですが、
その辺りが詳しく書いてある本を教えてくれませんか？

ttp://www.geocities.jp/gachapinworld/osiete.pdf

↑の様な定積分をしたいのですが、良く分からなくて、、、
よろしくお願いします！

現在お使いの本を教えてください。それより詳しい本があれば御教えしたいと思います。

奇人、変人、役者、普通の人、秀才、聖人が入り交じった一種のファジーな論理空間というものと
して２chをモデル化することができるのではないか。

>>462
書き込む人のことじゃなくて、対象とされている人のことね？
それにしても、聖人というのがわからん。
たとえば誰？

聖人というのは(単に便宜上の用語で)いつも本当のことだけを書き込む人。ナイト(騎士)といっても
可。奇人はいつもウソだけしか書き込まない人。役者は虚構の世界で筋を通す人、等々。

>>464
書き込まれたテキストの作る仮想空間のレスを書き込む側の
特徴から命名したわけですね。
いつもウソを書き込む人なんているの？嘘人とでも命名しては？
無内容なことを延々書き込む人なんかは何と呼ぶべきやら？
埋人か？ということで、、

嘘人、埋人、演人（役者）、凡人、才人、聖人

という命名ではどう？才人（秀才）の定義がよくわからないが。

数理モデル化というものの意図は、事象の論理的関連を俯瞰できる立場の構築にあるのだから、
ここに論理ゲームの要素を入れようとした訳です。嘘人はストレートでよいかも。ただ、埋人
というのは(結果的には埋もれてしまう人であるにしても)よくない。もう少しいいのを提案して
ください。

>>gagaさん

>現在お使いの本を教えてください。

初等関数論(林一道 著、裳華房) です。

電通大名誉教授の方が書かれた本ですね。それならば、それを補う意味で
複素解析学入門(小堀憲)を御薦めします。第六章が参考になるでしょう。
ちなみに多価関数の積分といっても積分路の上では一価関数ですから、
あまり難しく考える必要はありません。

>>468

早速の返信ありがとうございます。お勧めしてくださった本を読んでみます。

>多価関数の積分といっても積分路の上では一価関数ですから

実関数の積分を複素積分でやろうと思ったのですが、実軸上にbranchが
ある場合はどうすればいいのか！？という疑問なんです。
もしかして、疑問自体がおかしいのでしょうか？

今mail欄をみて気がついたのですが、プロの方だったのですね。

http://www.math.nagoya-u.ac.jp/img/portrait/ohsawa.jpg
この人？

いや多分某スレのノリでこっちに書いちゃっただけだと思うぞ．

まぁメール欄に大沢○夫のメアド入れて書き込んでるだけだろうけど

>>469
なるほど、実はそんなことではないかとも思ったのですよ。あなたの疑問は掘り下げる価値があるでしょう。
リーマン面(数学辞典を見よ)上で積分路を見てご覧なさい。

>>473
あらあら。大沢ちぇんちぇい。はやく檻に戻りまちょうね。
お注射のお時間でちゅよ。

>>474
パッチなんとか(アダムスだったかな)という映画のシーンを思い出してしまった。

>>451
この部分、楠幸男の函数論(朝倉書店)の記述がすぐれている。

>>451-476
Weylの本で詰まって岩沢の“代数函数論”で息を吹き返したことあり。

>>451
まあこの手の話はさておいてO.Forsterのテキストを一通り読んでみたら。

いやはや、皆さんありがとうございます！
おかげでまた複素解析のやる気がでてきました。
朝倉書店は「函数論」の復刊をしてほしいなあ。

>>479
小松勇作？
してると思ったが？

いえいえ、楠幸男さんのです。

朝倉の数理解析シリーズだっけ？
他に代数があったような
今出てるのは溝畑茂の数学解析だけだよね？

代数は西村孟。”屋上屋を架す”という控えめな序文が印象的でした。

＞コネも作れない、一発凄い仕事もできないじゃあ
＞論文10本一流誌3本崩れで終わっちゃうよ、今は。

崩れ博士・PD研究スレッド　PART2
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1115731497/848

∫１/[z+2]dzを|z|＝１で積分ってどうやるの？

>>485
[z+2]って何よ？

>>485
留数定理で一発
知らないなら、z=e^it(tは0から2π)とおいて変数変換して計算してみる。

∫１/[z+2]dz=∫(e^ix+2)^-1(ie^ix)dx
=(e^-ix+2/5)ie^ixdx=i(1+2e^ix)/5=ix/5+.4e^ix=i2π/5

みなさま、ありがとうございました。
留数定理なんてのがあるんですね。勉強になりました。
ただ、この場合ってどう使うんですか？|z|＝１
で、孤立特異点って閉曲線外ですよね？

集合列｛An}、｛Bn}に対して,
limsup(An U Bn) = limsupAn U limsupBn
ってどう証明するの？？？

>>490

limsup An の定義を述べて見よ。

lim k→∞sup n>k An

ですか(・ε・？)

>>488
うん？
>>489のいうように、のこの場合曲が閉曲線に囲まれる範囲にはいってないので、
留数定理(積分定理)から、積分値は0になるはずだが。
>>487のいうように変数変換すると、複素対数関数が出てきてかえって計算がややこしくなる。
(最後に、分枝の「ずれ」を確認する必要があるから)

>>492

sup n>k An の定義は？

>>496

＞limsup(An U Bn) = limsupAn U limsupBn

左辺の元が右辺に含まれる事が ⊂ を、
右辺の元が左辺に含まれる事が ⊃ を意味する。

これらが共に成り立つ時 ＝ であると云う。
証明には上の二つの事を示せば良い。

ﾘｭｰﾋﾞｭﾙの定理がよくわかりません。 関数論特有の色々な性質は覚えてしまった方がよいのかな？

おまいら
今日複素解析に磨きをかけるために
野口　複素解析概論　買ってくるからよろしくな

野口って誰？

これからは、博士取ってもほとんどは研究職に就かないよ。学部と修士は本当に
簡単に取れるから、博士が大変と思われるようになるだけ。

これからは、大量生産が基本なので昔のように手をかけて研究者に育成する、と
いうことがない。その分、平均的な学生の質は落ちるようになるね

>>500
教育体制がどう変化してもとびきり優秀な人は
良い仕事を残していく
Weierstrassを見よ！

>>500
教育体制がどう変化してもとびきり優秀な人は
良い仕事を残していく
Weierstrassを見よ！

教育体制がどうであろうと、ダメな奴は何をやってもダメ！
俺様を見よ！

取り寄せしたら
新版はなぜかﾍﾟｰﾊﾟｰbookだった
買うのをやめますた　古本屋で買いますﾊｰﾄﾞｶﾊﾞｰ

裳華房の本は装丁がすばらしいのにね。

黒田正先生の入門書もけっこういい本だった

ｹﾞｯﾄしました
ﾊｰﾄﾞｶﾊﾞｰ最高

明日から読みますよ

この本
解析概論に載っていない話題が載っていそうだな
目指せ多変数複素解析でっせﾑｯﾊｰ

ジョルダン曲線ってなに？

途中で交わってない曲線
つまり単写な写像

>>509
単純閉曲線
例
。

アフェインについて教えて

二年。

ジョルダン曲線は複素平面(2次元ユークリッド空間)を2つの部分に分ける(ジョルダンの定理)
って、なんかどの本見ても「証明は難しい」ってことで、「直感的に認めるように」ってなってるんですけど、
きちんとした証明を見たことある人いますか？

ないですね。

感覚的には分かるけど、それって数学じゃないしな〜。

ジョルダン閉曲線定理
これほど直感的に明らかな定理は珍しいな。
そのくせ証明は難しいなんて…

>>514
区分的に滑らかな曲線を折れ線で近似する証明なら大昔の本で見た。
（１）曲線上に有限個の点を取って折れ線で結ぶ。
（２）平面を帯状に分割し、それぞれに一個ずつ（１）の頂点が含まれるようにする。
（３）帯を一つ一つ２色で塗り分けてゆき、塗り分けが矛盾なくつながることを示す。

一般の場合は
河田敬義「位相数学」共立出版にあるそうだが。

まぁ、この証明を読んでみたところで、
「ふ〜ん、そうなの」って感じしかしなさそうな気がするけど

一見当たり前のように思うが証明が難しい定理
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1032082680/

ホモロジーって結局何なの？
http://cheese.2ch.net/math/kako/1009/10092/1009270205.html

age

ハイチーズ

リーマン面の分類について書かれた本はないですか？

>>522
数学辞典（岩波、第三版）の
４３２E.Riemann面の分類理論（１３０６ページ）　および　
参考文献（１３０８ページ）を参照。

>>523
ありがとうございます。
数学辞典ってあんまり見たことないんですが、結構使えそうですね。

>>524
いや、使えないだろ。

おっぱおの特異点おせーて
留数を求めて
積分して

5+2=7

>>524>>525
昔、故・及川広太郎先生が
「数学辞典は読めない」
とおっしゃった後すぐに
「君たちなら読めるかもしれない」
とその言葉を訂正されました。
後日、数学辞典のある項目を実際に証明をつけながら読み切ったと言う
猛者に出会い、はじめて及川先生の言葉がうなずけました。

つまり、結果だけを知りたい雑魚には
ちょうどよい目くらましということですね？

　　　ｒ;;;;;ノヾ　　　　　　　　
　　　ﾋ‐=r=;'　　　 　∬　　　君も男なら聞き分けたまえ！
　　　'ヽニ/　 っ━~~　　　
　＿と~,,　 ~,,,ﾉ_　　∀　　　
　　　　ﾐ,,,,/~).　│ ┷┳━　
　￣￣￣.じ'Ｊ￣￣|　┃
　￣￣￣￣￣￣￣　┻

>>529
それは心外なり。
近日出版予定の数学辞典の第四版、
とくに複素解析学の項目を是非御読みください。
及川先生に「これならわたしにも読める」と言って頂けるかどうか分かりませんが
一旦は「こんなのならない方がましだ」と酷評された所から
泣きの涙で仕上げたものです。

>>530
近日って、９月か10月くらい？

gaga先生に数学科の学生が読むべき本を教えてほすぃ

>>531
初校が上がるのが１０月です。

>>533
高そうだけど、買ってみるよ

>>532
専門的なアドヴァイスは個々の人にしかできませんが、一般的には
高木貞治、岡潔、小平邦彦をはじめとする
一流の数学者達の文章にふれ、感性を養うことを御勧めしたいと思います。

>>530
叩き台をお書かきになって叩かれたという一件でしたっけ？

>>536
こんな風にして叩かれ強くなって来たわけです。

>>537
値段がびっくりするほど高いから、只で下さい。

大学に買ってもらうの

名大の図書館には入りますか？

お前がリクエストしる！

名大生ってちゃねら多いの？もすかすて？

比較的少ないと思うが
あんま分からんがね

おっぱおの特異点おせーて
留数を求めて
積分して

5!/4!=5

>>545
高校生か？
程度が低いな

>>535
不定積分と原始関数の定義は、直っているだろうか？

不定積分か原始関数の定義なんて間違いようないじゃん
定数の違いなんてどうでもいいこと

複素関数論は大学教員が教えがいのあるもの。

lim[n→1-0]log(|cos((Γ(1/2)^2)|-n)=-∞

age

i^2=i^(4*(1/2))=(i^(4))^(1/2)=1^(1/2)=±1
だれか何でこの計算がおかしいのか説明して！

これだけど質問スレで聞いても答えがないからここで聞くけどなんででしょう？
上の場合は２乗根だけど何乗根にでもできるじゃないですか。例えば、2=4/2=6/3=8/4とか。

√a√b=√(ab)は、一般の複素数では成立しない
これが成立するのは、a>0のときに、√aの値は平方根の正の方をとる、
という代数的でない一寸不自然な決め方をしているから

>>553
552への回答だと思うんですけど。
z^(ab)=(z^a)^b はa,bが整数のときにしか成立しないということなんですかねえ？

>>554
どこを読んだらそうなるんだ？

a > 0 の条件は整数ではなく自然数ですよ

>>554
等号が成り立ってないよ。もう一度確認してみよう。

ごめなさい、普通に等号が成り立ってなかったです。

すごく幼稚な質問なんですけどなぜ、z^kでkが整数だと答えが一つ整数じゃないと複数になるんですかねえ？
そりゃあ、z^(1/2)は２個、z^(1/3)は３個・・・なのはわかっていますよ。明快な答えがほしいわけで。

>>558
日本語の勉強をしてから来い！
消えろ、ビチ糞未満！！

>>559
朝鮮人ですまんかったなあ。
死ね。

朝鮮マツタケやすかったけど。。。香りがしない。。。もうおわりなのかな？

「死ね」という言葉に反応して通報しました（byそ）

死ねと言われただけで通報すんのかよ。
おまえ、気弱だな。ｗ

しかし、ネット上の掲示板で特定の相手に向かって「死ね」と書いたやつが
通報された捕まったという実例もあるぞ。

分った、「死ね」って言うのはやめるよ。
しかし、559はおれに向って「消えろ、ビチ糞未満！！ 」と吐いたんだぜ、おれにとっては「消えろ」＝「死ね」と感じた。
おれも通報しとくわ。

>>558
何が言いたいのか分からないが、とりあえず高校の教科書をもう一度読もう。
「数I」か「数II」がちょうどいいかな

やっと、まともな流れになったな。

Resf(∞) = - 1/2πi �吐(z)dz
について
符号がマイナスになっているのは、複素平面上のある点を反時計回りに1周するのは
無限遠点からみたとき逆向きに１周することになっているからである。
という説明がよく分かりません。
何故無限遠点からみると逆周するんでしょうか？

よくわからないけど地球の自転のこと？自分は逆回りしてると感じる？

>>568
リーマン球面上で積分路を考えてみればわかるはず

5

age

失礼致します。当方、大学生なのですが
複素関数論を習い始めたところです。
大学の教科書がイマイチなので
皆様のお薦めの参考書などありましたら
教えていただきたいと思う所存でございます。
では失礼致しました。

>>573

＞教科書がイマイチ

とは、どの本か？勧めたいのがそれかも知れんぞ。

>>573
まずは、その教科書名を晒せ！
話はそれからだ！

要諦とか薦めてみるテスト

age

本屋の棚の中で一番レベルの低そうなのを選んで
それを３日で読み切って見なさい

神保とか良いかも

神保さんのは俺使ってる。
結構いいと思うけど、証明を他書参照にしたりとか、微妙に書かれて無いことがあったり。
どうせ読むならアールフォルスで良いんじゃないかと。
コストパフォーマンス的には、Doverから出てるHカルタンのやつが最強。1000円で買える。

Doverはやたら安いからなｗ
まあ解析概論とかも岩波では例外的に安いが

岩波はマイナー理論の解説書になると7000円以上する。
おまけにすぐ絶版。

5=8-3

>>583
きえろ、計算に変なロマンを持った蛆虫め！

585 円です。
はい、600円。
15円のお釣りです。

>>585
>>584

Bak-Newmanの和訳がでないかな。

でなくとも一向に不都合はない。

でも高いじゃん

なんだかんだで和訳はありがたい。
流し読みができるから。

誰かリーマン写像定理教えて

複素平面内の領域が空集合でなく、かつその補集合が空でない連結集合ならば
そこから単位開円板の上への等角かつ１対１の写像が存在する。
正規族を使う証明が一般的であるが
最近ではサークルパッキングを用いる
構成的な証明もある。

一点の補集合はどうなんだ？

一点は領域ですか？

一点の補集合は領域じゃないのか。

>>593>>595
あんたが正しい。
その補集合がーーー＞そのリーマン球面における補集合が
に訂正します。

>>596
分かればよい。

境界対応の連続性を言う
カラテオドリーの定理というのが
リーマンの写像定理の精密化に
当たるわけだが、
不連続な境界を持つ領域間の写像については
どれだけわかるのだろうか？

プライムエンドの間の対応ということで一応けりがついている。

解析接続についてきちんと勉強したいんだが、良い本ある？
神保先生の本は留数定理あたりまで読んだ。

>>600
多変数関数論を見ずして解析接続を語るなかれ！
１０月に出た本
Scheidemann,V. Introduction to Complex Analysis in Several Variables
５２２０円
One major focus of the book is extension phenomena alien to the one-dimensional theory.

>>598
S.KrantzのGeometric Function Theory(Birkhauser)2005
の第５章に詳しく出ている。一寸高いけど（消費税込みで１１０７１円）600さんにも
おすすめ。

>>600
一寸古いけど能代清の本がある。
その名も「解析接続入門」（１９６４）。
一度図書室で広げてみたら？

机の上をきれいに拭いて
罫線のない白紙を広げ
それを見ながらひたすら数学に集中する。
そして浮かんだ言葉とイメージを一気に書き下すのじゃ。
解析接続はそこにある。

岡潔先生でした。

>>600
松本耕二著”リーマンのゼータ関数”がおすすめ。
解析接続がなぜ重要かを
最もよく教えてくれるのが
ぜータ関数だから。

>>606
それ最近出た本ですね

>>606
ゼータ関数がらみの本を一冊も持っていないから、
それ買おうかなーとか一瞬思ったけど、なんとなく躊躇している。
さわりの部分しか載ってなさそうな気がして…。

　 　　　　　　　　　　　　 /ﾟ　　　　。
　　　 　 　 　 　　　　 ／　．　　ﾟ
　　　　　　　　　　　,　'　　　　。　　・
` ー　 ＿ 　 - 　'　　　゜
。　　　　　　　．　　　　　　。　　ﾟ
　　　　：　　　　　。
ﾟ　　　　　　　　　　　　　．
　 ヾ冖ﾌ 　ヾス
　　 [ ,]　　　[ ]　　　　 ､_ノ､_人_人_人_人_人_人_人_人_人_人_
　　 |.　i　/l,ィ .!　　 　 ノ
.　　 ! 　}.r`'j7 !　　　　_）　　数ヲタのみんな！
　　　!　｀､亠 {　　　　　）　　　オラにお勧めの本を
　　　 }　_l _,l_,j　　　　_）　　　　　紹介してくれーっ！！
　　　 ヽｼ_,-i { 　 　　　_）
　　 　 /`´~ﾊﾞ} 　　　　　 '^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^
.　　　/　　　j　!
　 　 ∧　'"/`,ｲ
　　　!　ヽ'/l_　 j
　　/ ＼,/　}＼,!
　 .ｧ､ヽｨ 　<`-ｲ
.　 |. `iT. 　 ヽ　j
　　＼ll' 　　　`'

ゼータ関数がらみのオススメの本、俺も紹介して欲しい。

悟空が聞いてるんだから、さっさと答えてやれよ。
地球を守ってくれないぞ！

ttp://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/0486417409/

「絶対カシミール元」
これだね。オススメは勿論ラストの章。

>>611
安っ！

本当だｗ

安けりゃいいってもんじゃねぇ！
内容だ！

有名な本だよ。
リーマンゼータの古典的研究をみっちり知りたい人にはおすすめ。
リーマンの原論文の英訳も載ってる。
安いのはDoverのデフォ。

元はAcademic Pressかどっかの本で6000円ぐらいしたよね？
図書館にあった

ハードカバーは1万円してる

安けりゃいいという気がしてきた。買う。

>>619
これは買って損はないよ。

Amazon.co.jp 売上ランキング： 洋書で379位
昨日は４ケタだった。
一度に何人か買っただけで簡単に変動するらしいが凄いぞｗ

俺も買ったよ

age

∫[0,2π]cos^2(3θ)/{1-2pcos(2θ)+p^2} dθ
何とかうまく解けないでしょうか？答えはいくつになりますか？
どなたかお願いします

>>624
うまい解き方かどうか判らないが

z=exp(iθ)　とすると被積分関数は
((exp(3iθ)＋exp(‐3iθ))/2)^2　/　1-p((exp(2iθ)＋exp(‐2iθ))/2)+p^2
で、結局
(z^6+1)^2 / z^5(z^2-p)(1-pz^2)
の留数の計算になる。

× ((exp(3iθ)＋exp(‐3iθ))/2)^2　/　1-p((exp(2iθ)＋exp(‐2iθ))/2)+p^2
○ ((exp(3iθ)＋exp(‐3iθ))/2)^2　/　1-p((exp(2iθ)＋exp(‐2iθ))+p^2

何をやってるんだ・・・orz

結構多くの人が買ったみたいだし、
せっかくだからRiemann's Zeta Functionの輪読会とかやりたい。

ROMで参加ならする

どなたか教えてください。
〔問題〕S〔｜ｚ｜=2〕√(ｚ^2-1) を求めよ。

コーシーの積分定理により直ちに０、となりそうなのですが、
そうはならないようです。
√(ｚ^2-1) は｜ｚ｜=2内で正則でないからなのだろうと思うのですが、
なぜ正則でないのか分かりません。
この問題に出会わなければ、「√(ｚ^2-1) はもちろん全平面で
正則」と思っていただろうと思うと自分の直感に自信を失います。
このスレッドにいる諸兄はどうしてそういう直感が働くのでしょうか？

>>629
まず√zの意味を正確に理解しないとね。
zが実数だと2乗してzになる数のうち正の方という風に限定されるけど
zが虚数だとそうは逝かない。

>>630　さんレスポンスありがとうございます。
>まず√zの意味
それは一応確かめました。
Z=Aexp^iθ　（A≧0)　とすると
√z=√Aexp^i(θ/2) という感じでよいのでしたよね。　

>>631
ではそのθはどうやって決めようか？

>>632
>ではそのθはどうやって決めようか？
0≦θ＜2π　の範囲ならおのずと決まりませんか？
たとえば、ｚ=1+√3i　の場合なら、
ｚ=2exp(i(π/3)) ですよね。
すると
√ｚ=√2exp(i(π/6)) となると思います。

>>633　自己レスです。
>0≦θ＜2π　の範囲なら
ここは、｢0≦θ＜π｣でないといけないのかな？

>>633
でも平方根て2つないとまずいんじゃない？

>>635
+√ｚ=+√2exp(i(π/6)) 　と
-√ｚ=-√2exp(i(π/6)) 　の２つ、
ではダメですか？

>>636
つまり実数の場合と違って√zは2つの値を取り得る2価関数ってことだよね？
それじゃあ>>629の積分はどのように考えるべき？

ｵﾏｲﾗ優しいな

>>637
>つまり実数の場合と違って√zは2つの値を取り得る2価関数
すみません。ここ分かりません。
ｚの｢平方根｣はプラス版とマイナス版の２つあるでしょうが、
+√zは１つではないのですか？θのとりかたによっては2πづつ
ちがったものは出てくるでしょうが、それは単に表現の問題の
ような気がします。

あららららー・・・

639
携帯からなんで簡単に。
√zは2価関数だけど積分を考える場合にはどっちかの値をとると考えればいいです。

で、zが一回転したら√zはどれだけ回転するか考えてみませう。

>>641 さん　携帯からわざわざありがとうございます。
zが一回転したら√zは1/2回転ですね。
でもまだわかってきません。
ただ、√ｚがz=0で正則でないことは納得できるようになりました。
直感的にも√dx/dxが無限になるのでそれは明らかでしたね。

したがって、たとえば、
S〔｜ｚ｜=1〕√ｚdz = S〔0≦θ＜2π〕exp(iθ/2)iexp(iθ)dθ
=iS〔0≦θ＜2π〕exp(i3θ/2)dθ=・・・=-(4/3)
という計算結果（これが正しいかどうか自信がありませんが）が
コーシーの定理に反しないことも納得できました。

でもまだもとの問題:S〔｜ｚ｜=2〕√(ｚ^2-1)dz は
分かりません。

教科書で「多価関数」「分岐点」を調べてみよう

http://www.tokaijoshi-u.ac.jp/~fujii/GifAnim/anim_argebra/argebra_case_ALL.htm

>>643
調べてみます。
早速、能代清｢初等関数論｣ベキ根関数のところを
読んでいます。いまのところ開眼の気配なしですが
やってみます。

独学なのでどなたか答合わせをお願いできますか。
〔問題〕f(z)=log(1+z^2)とする。このとき、
I=S〔｜z｜=1/2〕{f(z)/z^ｎ}dz　を求めよ。
ここで、ｎは正整数。｜z｜=1/2は反時計回り。
＊なお、本問の直前に、2z/(1+z^2)をz=0でベキ級数展開
させる問題が（たぶん誘導として）付いています。
〔私の答〕
n=1あるいは2kのとき、I=0。
n=2k+1(ｋ≧1)のとき、I={(-1)^(k+1)}(1/k)(2πi)。
なお、なぜ本問の積分路が｜z｜=1/2　になっているのか
わかりません。1/2でなくても、z=0を含む円周であれば
同じ答になると思うものですから。

【かっこ悪い】建部崩れ、見参！【情けないｗ】
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1135765594
【夢vs】結果を出せば職はある？ｗ【現実】
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134888899
【事実】研究しても、ポスト無し！【愕然】
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134089493
関連：【建部 】斎藤毅先生【Invent】
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134743220

z=±iでは？

>>647
なるほどそれで積分路が｜z｜=r < 1
になっていたのですね？？

John B. Conway の"Functions of One Complex Variable I"の他の複素解析の本と比べたときの特色は
どんなところにありますか?

Dirichlet問題を重視していること。

i

age

ほしゅ

本棚に何冊複素解析関連の本がある？

自分は
- 小平
- 俣野
で2冊。

歳がばれるから断わる

野口、高橋、アールフォルス
ワイル・リーマン面（これが一番面倒で未だ完全には読んでいない）

それだけ仕込んだのなら
なぜForsterやFritzsche-Grauertに
進まないのか？
もちろんConwayでもよいが。

>>657
大多数は、関数論以外の勉強をするのジャマイカ？

関数論以外の勉強をしてみたが
どんぐりころころどんぶりこ・・・
やっぱりお山が恋しいのさ
関数論屋は

解析から幾何まで
Hoffman, Banach Spaces of Analytic Functions, Prentice-Hall,
Henkin,
D'Angelo,
Gurauert-Remmert, Coherent Analytic Sheaves, Springer
Banica-Stanasila, Algebraic Methode in the Global Theory of Complex Spaces, J.Wiley

無限遠点のみを一位の極とするような整関数の簡単な例を教えてくださいな

>>661
お前、それを本気で聞いているのか？

失礼しました。ちゃんと書きます。

複素平面C全体で正則で無限遠点を高々1位の極とする関数の例をお願いします

Cを表すとつまりは最終地点のｾｸｰｽに当たる。

そこには愛がある。

よって複素数 i が成り立つ。


なんつって＾＾；

>>664
誰が下らんことを言っていいと言った？

>>663
本気だったのか・・・

>>666
何か変ですか？某旧帝大院試の問題そのままタイピングしたのですが・・・

あ、なんだこりゃｗ
誰でもわかるじゃんｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗｗ
失礼しましたーｗｗｗｗｗｗ

問題ちゃんと読んですらなかった・・・

まあ、確かに今の旧帝大院試レベルの問題だわなｗｗｗ

>>668
問題がちゃんと読めるかどうかが
合否の分かれ目です

>>668
馬鹿か並みの頭を持っているかの分かれ目です。

ターンしちまえよ！

　　　　 　( ﾟдﾟ )　
　　ｺﾞﾄ ／| y　|) 　
　/￣;y=ｰ￣￣/||
/＿＿＿＿＿/. ||
||　　　　　　　||　||
||　　　　　　　||

たぶんありきたりの解答だとペケにされるんだろうな。
如何に上手いボケを考えるかが問題だ。

>>663
>複素平面C全体で正則で無限遠点を高々1位の極とする関数の例をお願いします
定数　　

>>673
サラ仕上げ！

10個ぐらい思いついた
z,2z,3z,4z,5z,6z,7z,8z,9z,37401923740192z

ほかにどんなのある？

z/5

1) 複素平面C全体で正則で無限遠点を高々1位の極とする関数の例を作れ（10点）
2) (1) で作った函数の無限遠点での留数を求めよ。（10点）
3）複素平面C全体で正則で無限遠点を高々1位の極とする関数を全て挙げよ（10点）

・・・東大京大以外の旧帝院試なら、0点、10点、20点がほどよく出て、
30点は2，3人のような希ガス

正則点は高々 0 位の極、 n 次の例点は - n 位の極と言うから、
1, 2, 3, .......

>>673
さらし上げ！

そろそろ >661 を許してやれ。

ところで、>661　よ。
無限遠点を真性特異点に持つ整関数で、i、-i を
除外値に持つものは見つけられたのか？

除外値？

>>680
その様な函数は i, -i, ∞ の三つの除外値を持つから存在しない。

ぴかーる

>>682
正解。
やればできるではないか。
整関数などという言葉におぼれて661が分からなかったようだけど、
もちつけば冷静に解ける。

頑張れ。

むしろ、ターンしろ！

　　　　 _,､＿＿＿_＿＿＿___,,,､
　　 　 ｀y__////＿jニニニニﾆfi
　　 　 〈_ﾌｿ￣ﾌ ,=-＿,,,,-┴─'
　　　　 //o　/rて__/
　　 　,//三/ /￣"
　　　〈｡ニ___/

　節子！それおハジキやないか！

このスレ馬鹿ばっか

age

>>684
幽霊エロイ人でた〜〜〜〜〜〜
１９世紀の数学者でた〜〜〜〜
フィールズ賞遅すぎた〜〜〜〜

女のマンコの味を複素平面上で表してよ

実軸は +辛い -甘い
虚軸は +苦い -酸っぱい

チョコは -10+5i　くらいとして比較対象に

それが全力で考えたギャグ？

全力で考えなくていいから寒いギャグはよしこさん

と自己言及してみる

　　∫[-∞→∞](e^(ix)/(x+i))dx
の計算方法を教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いします。

6=9-3

Birkhauser から
Steven G. Krantz　の
Geometric Function Theory (Explorations in Complex Analysis)　がでた。
誰かに和訳してほしい。

>>694
Hi!
S.G.Krantz は text book 書くのがうまい、
英語ぐらい嫁。翻訳などするとわからなくなる。
Because always 翻訳者も数学解っていない。
大抵、翻訳本の方が値段高いぞ。
Boys, try by yourself!

＞Because always 翻訳者も数学解っていない。
意味が解らん

>>696
(ﾟДﾟ)ﾊｧ?

krantzさんの本はどれもいい！
several〜は俺の人生を変えた

今良い翻訳者が居ない、とかどの翻訳者もわかってない、ならわかるけど、、
（S.G.Krantzの著作物の翻訳は未だ無いみたいだけど）

洋書でも高い・・・

指導教授に頼んで科研費で買ってもらうとよい。

慣れてくれば洋書も普通によめるっしょ、数学のなら。
使う言葉とか限られてるし。
てゆうか慣れた方がいい、長い目で見て。

>>702
正解

ただKrantzの文章の上手な和訳をみてみたい

洋書に慣れると日本語の本読むのがかったるくなる

>>705
それは頭脳の一部が麻痺するからではないか？

>>706
そうなのかな・・・
洋書がぜんぜん読めなくて、日本語の本しか読んでなかったけど、
いやでも洋書読まなくちゃいけなくなってきて読んでたら専門分野ぐらいは3ヶ月ぐらいですらすら読めるようになった。
あとに数学の邦書読もうとするとアルファベットより角ばってて気持ち悪いし、
回りくどくていやになったな。

すれ違いｽﾏｿ

ロシア語の論文は二度とごめんだ

今から思うと教科書からして洋書にすべきだったなー
悪い本使ってたとは思わないが

俺も洋書の方がいいと思うよ
どうせ決まりきった文章しか出てこないし、読むのは簡単
それにＤとか行くのだったら、どうせ英語で論文書かなきゃならないし
早いうちから慣れとくのが一番

和書も買っておくれ。積んどくだけでいいから。

>>709 >>710
正解
数学は万国共通語。発想がEuropean語順。

悪いようにはせんがな

おおっ同時カキコｗ
間抜けですまんが713は711へのレス

Doverとか、今は本が安くて泣きそうだ・・・

数学の文章はすらすら読めるんだけど、prefaceとかは辞書無いと全然読めません（泣

>>716
preface　など世満でええ。どうせ
妻に感謝程度。

という場合も多いが、一応読みましょうｗ

prefaceには本の全體構成とか書いてる場合も多いのでは？

數學の發想が西歐語の語順だ、というのはホントかな
表記法は西歐語に倣うだろうけどさ

今日のフィギュアスケートのエキジビションはすごかった。
久々にヨーロッパの文化の厚みを感じた。

あの・・増田 <nc02.wf.dion.ne.jp>
人生という道に本当に迷いそうです。人生の１＋１を教えて戴けないでしょうか・・・・・
No.19586 2005/11/20 (日) 21:29

數學の發想が西歐語の語順だ、というのはホント。
表記法は西歐語に倣う。

ホントだけカタカナなのはなぜだー

>>723
ホント？

數學の發想が西歐語の語順だ、というのは本當。
表記法は西歐語に倣う。

ってとこか？

ルビが振ってないな。

>>726
賽は投げられた。Caesar

>賽は
空中浮揚

中川泰秀は抱かれた

age

関数積の評価について知っておられる方はいますか　？

>>731
そんなことは専門家の大野教授（奈良女）に聞けばいいだろう

。　　。ﾟ　。　。　。ﾟ.。
　　　彡川川三三三ミ〜　プウゥ〜ン
　。 川｜川／ﾟ∴ﾟ＼ b〜　ポワ〜ン　＿＿＿＿＿＿＿＿
　。‖｜‖.ﾟ◎---◎ﾟ｜〜 ﾟ・　　　 ／
　　川川‖∵∴ﾟ｡3∵ﾟヽ〜　　　 ＜ 　お前に何が分かるというのか？
　　川川∴ﾟ∵∴）д（∴）〜　　　 　 ＼＿＿＿＿＿＿＿＿
　。川川∵∴ﾟ∵∴〜・%〜｡　カタカタカタ
　　川川‖∵∴ﾟ〜∵/‖｡ ＿＿＿＿＿_
　 川川川川∴∵∴‰｡U ﾟ |　　|￣￣＼　＼
　U　〆∵ﾟ‥｡ ﾟoﾟ o＼＿＿|　　|　　　　|￣￣|
　　　/　　＼数学命 _ 　　 |　　|　　　　|＿＿|
　　　|　＼＿＿＿＿　|つ　|＿_|＿＿／　／
　　 /　　　　　　　　　|￣￣￣￣|　　〔￣￣〕

　　　↑king

中川、複素関数論は得意ですか？

腐糞は苦手に決まって居ろうが

お〜い本物の中川く〜ん！
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1076644482/984-

急がないと大好きな「岩波数学辞典」スレが消えちゃうよぉ〜〜。

新しいスレ

【毎日読めば】岩波数学辞典・第2版【数学力ＵＰ】

をたてればいいかも！

talk:>>733 お前に何が分かるというのか？

wwww
。　　。ﾟ　。　。　。ﾟ.。
　　　彡川川三三三ミ〜　プウゥ〜ン
　。 川｜川／ﾟ∴ﾟ＼ b〜　ポワ〜ン　＿＿＿＿＿＿＿＿
　。‖｜‖.ﾟ◎---◎ﾟ｜〜 ﾟ・　　　 ／
　　川川‖∵∴ﾟ｡3∵ﾟヽ〜　　　 ＜ 　お前に何が分かるというのか？
　　川川∴ﾟ∵∴）д（∴）〜　　　 　 ＼＿＿＿＿＿＿＿＿
　。川川∵∴ﾟ∵∴〜・%〜｡　カタカタカタ
　　川川‖∵∴ﾟ〜∵/‖｡ ＿＿＿＿＿_
　 川川川川∴∵∴‰｡U ﾟ |　　|￣￣＼　＼
　U　〆∵ﾟ‥｡ ﾟoﾟ o＼＿＿|　　|　　　　|￣￣|
　　　/　　＼数学命 _ 　　 |　　|　　　　|＿＿|
　　　|　＼＿＿＿＿　|つ　|＿_|＿＿／　／
　　 /　　　　　　　　　|￣￣￣￣|　　〔￣￣〕

talk:>>738 Tamakingか？

>>739私を身代わりにするな。

talk:>>740 何だよ？

>>14
>厳密性とは別に不完全なところがあった。
何だよそれ

　　　　　　　　　　　　　　 　 　　　　 　　　┌-―ー-';
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　　| (・∀・) ﾉ
　　　　　　　　　 　 　　 ＿＿＿＿ 　　　　上―-―' 　　　＿＿＿_
　　　　　　 　　　　　　　| （･∀･） ｜ 　 ／　 ＼　　　　　 | (・∀・) |
　　　　　　　　　　 　 　 |￣￣￣￣ 　 （￣￣￣） 　 　 　 |￣￣￣
　 　 　 　 　　 　 　 　 ∧ 　　　　　　 （[[[[[[|]]]]]） 　 　 ,∧
　　　　　　　　　　　　<⌒>　 　 　 　 [=|=|=|=|=|=]　　　<⌒>
　　　　　　　　　　　／⌒＼ 　 　 　 _|iﾛi|iﾛiiﾛi|iﾛ|_∧ ／⌒＼_
　　　　　　　　　　　］皿皿［-∧-∧|ll||llll||lllｌ||lllｌ|lll|￣|]皿皿[_|
　　　　　　　　　　　|_／＼_|,,|「|,,,|「|ﾐ^!､|]|[|]|[|][]|_.田 | ∧_ 　]
　　　　　　　　　　　| . ∩　 |'|「|'''|「|||:ll;|||}{|||}{|||}{|||}{|,田田.|__|
　　　　　　　　　　　|￣￣￣￣|「|￣￣||[[|門門門|]]|[_[_[_[_[_[
　　　　　　　　　　／i~~i' l ∩∩l　.ｌ　∩　∩　 l　　|__| .| .∩|　.|　l-,
　　　　　　　,,,,,='~|　|　|' |,,=i~~i==========|~~|^^|~ ~'i----i==i,, | 'i
　　 　 　 　 |　l ,==,-'''^^　 l　 |. ∩. ∩. ∩. |　 |∩| 　 |∩∩|　 |~~^i~'i、
　　　　　 ,=i^~~.|　 |.∩.∩ |,...,|__|,,|__|,,|__|,,|__|,....,||,,|.|,.....,||,|_|,|.|,....,| 　 |　|~i
　　　　 l~| .|　　|　,,,---== ヽﾉ　　　 i　　　　ヽﾉ~~~ ヽﾉ　　 ~ ソ^=-.i,,,,|,,,|
　　　　.|..l　i,-=''~~--,,,　　＼　 ＼　 l　　　／　　　／　　　　／　　__,-=^~
　　　　|,-''~　-,,,＿　　~-,,.　 ＼ .＼ |　.／　　 ／　　＿,,,-~　 　／
　　　　 ~^''=、＿ _ ^'- i=''''''^~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~^''''''''=i -'^~
　　　　　　　　　　 ~^^''ヽ　ヽ 　i　ｼﾞｴﾝｷｬｯｽﾙ　/　 ／　 ノ
　　　　　　　　　　　　　　ヽ　　、 l　 |　 ｌ　 l　/ .／　　／
　　　　　　　　　　　　 　 　 ＼_　、i ヽ　 i　 /　　　,,=='
　　　　　　　　　　　　　　　　　 ''==,,,,＿＿＿,,,=='~

ド･喪炙るの公式の証明ってどうやればいいんですか？

>>746
(^^；

age

>>746
「複素関数」とか書いてある本を読めばかならず載ってる。

>>746
正弦と余弦の加法定理はご存知？

それは高校の。

数学的帰納法は大丈夫？

287

１変数解析関数の特異点について詳しく書いてある本はありませんか？

あなたが持ってる本は詳しく書いてないの？

せいぜい孤立特異点、代数型分岐点、対数分岐点ぐらいです。
重複対数分岐点や、それらを組み合わせた物は全然載っていない。

重複対数分岐点や、それらを組み合わせた物
俺も知りたい。

多価関数の勉強、気が狂う。

質問すまそ。
値分布論って、どういうことやるの？

age

リーマン空間と複素多様体は神が創ったものだとテンシンハンが言ったらしい。

>>759
正則関数の「除外値」の研究

複素関数論って今どのようなことが研究されているのですか?

講義で興味を持ったので複素関数論を専攻しようかなと思っているのですが。

すみません。ラプラス逆変換をやっているのですが、変換表を使わずに
定義どおり複素積分を駆使してラプラス逆変換しようとしています。

(1/s)exp[-qx] (ここでq=(s/a)^0.5)の逆変換はどのようにしたらいいですか、やり方わかるけど

計算すると0になっちゃいます

俺の考え方。

�@定義に従い、積分路を閉じた形で取る。Jordanの補助定理をつかえるようにするため

�A留数積分する

�Bあぼーん

おねがいしますた

hage

失礼します
arccosZを解きたいんですけど教えて下さい

>>766
arccosZを解く?
arccosZ=〜
とかついてない?

説明不足ですみません
Z=cosW=1/2(e^iW+e^-iw)とおいて一般的に解きたいんです
答えにはlogとかが出てくると思うんですけど・・・

>>768
arccosZ=x+yi
の時のZを出したいわけね。(W=x+yiとおいた)

Z=cos(x+iy)
=(e^(x+iy)+e^(-x-y))/2
=e^x(cosy+isiny)/2+e^(-x)(cosy-isiny)/2
=((e^x+e^(-x))/2)cosx+((e^x-e^(-x))/2)isiny
=coshxcosx+isinhxsiny

どこか計算ミスってる...
詳しい人訂正して。

わかった。
２行目でさっそくミスしてる

Z=cos(x+iy)
=(e^(ix-y)+e^(-ix+y))/2
=e^(-y)(cosx+isinx)/2+e^(y)(cosx-isinx)/2
=((e^y+e^(-y))/2)cosx-((e^y-e^(-y))/2)isinx
=cosxcoshy-isinxsinhy

かな？
タイプミスがあるかもしれないけど。

何か間違ってる?

talk:>>772 cos(x+i*y)=(exp(-y+i*x)+exp(y-i*x))/2=(exp(-y)*(cos(x)+i*sin(x))+exp(y)*(cos(x)-i*sin(x)))/2=cosh(y)*cos(x)-i*sinh(y)sin(x) exp(x)をe^xと書くなということだ。別に間違ってはいない。

>>764
わかりませんかね？

>>774
どうしてもなりません。

X:コンパクトリーマン面、fをX上の定数でない有理型関数とするとき
fはX上で極と零点を必ず持つことを証明しなさい。
この問題を教えてください。

>>776
お教えいたしましょう。
http://www1.ezbbs.net/cgi/reply?id=dslender2&dd=19&re=21780
ここを見て下さい。

>>776
ここの住民よりも777の掲示板の住民の方がどうみても親切だよｗ

節子！それおハジキやないか！
節子！節子！節子！節子！節子！節子！節子！節子！節子！節子！節子！節子！

king氏ね

talk:>>780 人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

>>764

>>776
fがもし仮に極を持たないとすれば、｜f｜はコンパクト空間上の実数値連続関数になり
したがってどこかで最大値をとる。したがってその点を含む座標近傍において
正則関数の最大値の原理を当てはめれば、fはその上で定数となる。fは正則で、
定義域は連結だったから、一致の定理によりfは定義域全体で定数である。
これはfが定数でないとした事に反する。fが零点を持たないと仮定すると、
1/fは至る所正則であり、極を持たない。よって上の議論により１/fは
定数でなければならないが、このときfも定数になってしまうので
やはり仮定に反する。

すごい低レベルの質問だと思いますが、
実数は体、順序、連続(アルキメデスの原理、完備)で特徴づけられると知りました。
では複素数はどのように特徴づけられるんでしょうか?
体、完備、多項式が必ず解を持つ、というのを考えたんですがどうでしょうか?

うーん、考えることは大切だけど何が言いたいのかわからないな。
「特徴付けられる」とはどういうこと？

>>785に答えられるなら>>784は自分で答が出せるだろうｗ

>>
完備がどういう意味か知らんが、
その様な体は複素数体に体同型と言う事だ。

>>785
複素数はその公理を満たすし、またその公理を満たすものは複素数と
同じ(同型?)ってことです。

>>787
完備というのはコーシー列が収束するということです
(もしくは区間縮小法でもいいかもしれません)。

体、完備、多項式が必ず解を持つ、ものは複素数と同じなんでしょうか。
「多項式が必ず解を持つ」は「z^2=c (cは実数)が解を持つ」でも十分ですね。

この3つの公理を満たすと、順序の公理を満たすことはできないんでしょうか。
a>=0,b>=0ならばab>=0っていうのがネックな感じがします。

あと、完備っていうのに距離が定義されているっていうのが隠れてますね。
ノルムが定義されて中線定理を満たして内積を定義することができるっていうのもいるのかも。
よく分からなくなってきました。

>>788
多項式はどう定義するの？

>>789
実数は既知として、実数から順序を抜いて、それは体だから多項式は定義できますよね。
その解の集合が複素数、とか。

実数を使わなくても
体で距離が定義できて完備で多項式が解を持つ、とか。
なんかこれで十分な気がしてきました。

>>788
順序の公理じゃなくて順序体の公理じゃないの？
√(-1)は0より大と仮定しても0より小と仮定しても矛盾するから
x^2+1=0が解を持つような体は順序体にはなれない

ノルムが定義されて〜とか言ってる時点でもう実数体の存在は仮定されてるから
なんだかアレな気が

というか、完備な順序体でアルキメデスの原理が成り立たない体とか、超実数体とかを
使って、体、完備、その体の上の多項式が必ず解を持つ、
かつ複素数体と異なる体が構成できるような気もしないではないけど

>>789
体（したがって環）なんだから当然多項式は定義されてるかと

>>790
「距離」なんてd(x,y)=0 iff x=y otherwise 1でも距離になってるし
任意の集合に対して入れられるはずだけど、それでも良いのかな

任意の複素数は実数係数の方程式の解になるんだっけ？
なんかかなり怪しい気がするけど
e^(i√2)とか

>>793
x^2-2(cos√2)x+1=0
はそいつを解に持つ。

>>791
>順序の公理じゃなくて順序体の公理じゃないの？
その通りです。

>√(-1)は0より大と仮定しても0より小と仮定しても矛盾するから
>x^2+1=0が解を持つような体は順序体にはなれない
おお納得しますた。

>ノルムが定義されて〜とか言ってる時点でもう実数体の存在は仮定されてるから
>なんだかアレな気が
確かに! 距離もノルムも値域は実数ですね。実数の性質で距離の値域として必要なのは
アルキメデス以外全部ですかね。ググると非アルキメデス的距離とかでてくるので。
結果的に複素数の距離、ノルムはアルキメデス的になるのかもしれませんが。

>>792
うーん。実数の距離は保存してほしいですねえ。
というか実数の距離は|x-y|以外にはないんでしょうか。

そもそも連続の公理は「任意の上に有界な空集合でない部分集合に上限が存在する」
でアルキメデスと完備に分けても区間縮小法のほうを使えば距離いらないですね。
区間縮小法とコーシー列の収束はアルキメデス抜きにしても同値、ですよね。

>>794
あーそうかそうか、、
(x-z)(x-z*)考えりゃいいわけね、当たり前だorz

>>795
自分で考えることは大事だけども
いくらなんでももっと本を読んだほうがいい

>>797
そうですね。実数の定義を知って、複素数はなんなのか気になったのです。
線形代数の本にスカラーは実数または複素数とか書いてあるのが嫌で、
なにが必要なのかなあと。すぐ答えが知りたくなっちゃうんですが、
もっと勉強します。

＞なにが必要なのかなあと。
体であることでしょｗ
そういうのは自分で調べたほうが効率よいかと

まあ計量線形空間になるとそれじゃまずくなってきたりもするけど

先の方へ進むのが億劫だから
いつまでもその辺でウダウダ言っているわけだ

>>784

Ostrowski's theorem. Look at J.Neukirch's algebraic number theory,
or Pontryagin's book.

f(z)=1/(1-z^4)
をコーシー・リーマンの定理を用いて解析性を調べよって問題が解けない・・・
誰かご教授ください・・・

877

４元数で３次元の複素関数論みたいのって出来るんですか？

いいかも、a,b,cが直行すれば、マルチリニアーフォーム

ハーモニック函数はけっきょく複素函数のペアになるからね
それより、多様体へフーリエ解析を拡張すれば？

>>804
その逆
３変数で複素関数論みたいのをやろうとして
すこしいじくると
４元数が出てくる

fu,fv

その次は７次元の非結合的代数

aho

そのうち論文が出るぞ

z/(sin(z)-tan(z))の留数が求められんです

>>809
7次元外積

一般化された正則関数の空間の構造は
領域のトポロジーに依存する

Aronszajnの論文で終わってはいなかった

三年。

他スレでこのような質問をしました．
a>0,b>0に対し
f(z)=z^{ia}+z^{ib}
とおく

（１）f(z)は上半平面U={z∈C|Imz>0}上一価関数を定める．その理由を述べよ．
（２）a/b∈Q（有理数）のとき{f(iy)|y>0}はある閉曲線を無限回まわることを示せ．

これに対して次のような回答をもらいました．

(1)
z^ia=e^(ialogz)が定義で、logzはexpの逆関数として定義されてるから、複素数のargがただ一つに決まる定義域では一価関数
つまり上半身平面ではargがただ一つに定められるのでok
(2)
(1)の上半平面のargを0<θ<πと定めると
f(iy)=(iy)^ia+(iy)^ib=y^ia*e^(-aπ/2)+y^ib*e^(-bπ/2)

ここでb=a*r(r:有利数)となり、上の第一項を�@とすると
f(iy)＝�@＋�@^r
となり、a(logy-logy')＝2πとなるとき、f(iy)＝f(iy')となるので無限回回転している

この解答の後半が良く分かりません．
教えていただけませんか？

質問したスレで聞くのが筋じゃないのかね？

>>818
高校生版で聞いてしまったので

>>817の問題を書いた者ですが
どなたか本当にお願いします

具体的にどこからがわからない？

>>821さん
ここでb=a*r(r:有利数)となり、上の第一項を�@とすると
f(iy)＝�@＋�@^r
となり、a(logy-logy')＝2πとなるとき、f(iy)＝f(iy')となるので無限回回転している

f(iy)＝�@＋�@^r
までの式変形は分かりますが「a(logy-logy')＝2πとなるとき、f(iy)＝f(iy')となるので」
の意味が全く分かりません
お願いします

(1)もよくない

262

野口｢複素解析概論｣をお持ちの方いらしたら教えてください。
リーマンの写像定理のページで、
(ある性質をもった)双正則写像の存在を言っていますが、
それは一意的と書いてありますか？
手元に本がなくてわからないのですが、教えてください。

指定された一点における微係数が正だったら一意的だよ
野口先生の本にもそう書いてあったと思うけど
でも、だからどうだというの？

a≠0が実数のとき、ze^z=aは解が無限にあることを証明せよ。

Roucheの定理を使うと思うのだけどどうしてもわかりません。

>>827
r=|z| , t=arg z とおく。
ze^z=a ------> r e^r ( cos t + i sin t ) = a ----> r e^r cos t = a ----> cos t = a/( r e^r )

よって r≠0 なる r と t の組み合わせは無限にある。

原点の近傍で正則な関数f(z)で
f(1/n)=f(-1/n)=1/n^3 （n∈Ｎ）
を満足するものが存在すること、もしくは存在しないことを示せ

どうぞよろしくお願いします。

g(z) = f(z) - z^3
とおいて条件を書き換えたら？

fを原点の近傍で正則とする。
するとz^3はC上で正則なので、g(z)=f(z)-z^3は原点の近傍で正則。
また、∀n>Nに対し1/nがｆの定義域に入るようなNがある。
n>Nに対して,g(1/n)=f(1/n)-(1/n)^3=0であり、
g(0)=lim[n→∞]g(1/n)=0なので、gの零点０は孤立していない。
一般に恒等的に0でない正則関数の零点は孤立しているので、
g(z)=0となる。すなわちf(z)=z^3
ところがこのときf(-1/n)=-(1/n)^3となるので矛盾。
よってこのような正則関数ｆは存在しない。

難波さんの「複素関数 三幕劇」ってなんであんなに高価なんですかね。

教科書としては採用しにくいからでしょう

あのシリーズ（すうがくぶっくす）の本は大体全部そういう値段ですね
とくに250ページ以上あるような巻はやはり4000円以上してますね

http://bookweb.kinokuniya.co.jp/guest/cgi-bin/bwtsea.cgi?STRCT=1&MODE=1&FLG=&REV-COD=AB11%2FA22

そもそもが数学科とか物理学科とかしか買わない本で
しかも副読本的な本ですからあまり売れないんでしょうね
微分積分読本はページ数はもう少し多いけど、多少安いですね。

複素函数論の本は工学とか物理の人にも売れる余地があるけど、
難波先生のあの内容だと多分需要が無いと思いますｗ

こっちの方がいいかなと思って書きます。
W=f(z)=1/zでx=A、y=Bのときに、
u^2+v^2=u/A、u^2+v^2=-v/Bになりますか？

>>836
(ﾟДﾟ≡ﾟДﾟ)?

えーと
W=f(z)=1/zでZ平面上にx=A、y=Bの直線が与えられたときに、
W平面に写像したときの式はどうなりますか？
u^2+v^2=u/A、u^2+v^2=-v/Bになりますか？

z=x+yi
w(u,v)=f(z)=1/zのとき
z=Aやz=Biが(u,v)平面にどのように写像されるかってことか？

z(x,y) -> w(u,v)
x-A=0 -> (u-1/2A)^2+v^2=1/4A^2
になるかな？A=0のときはu=0の直線

>>838
マルチポストすんなはげ

単位円板上（|z|≦1）で、|sinz|の最大値を求める問題で
（z=±iで最大値(1/2)(e-1/e))

境界上で最大値をとるので、
x^2+y^2=1
|sinz|=|sin(x+iy)|=√{(1/2)(cosh(2y)-cos(2x))}
と計算しましたが、ここからわからなくなりました。
それとも、方針がまずいのでしょうか？

よろしくお願いします。

>>842
方針はそれでいいのでは？
そこから先は条件付き極値問題だと思えば
いいとおもいます。

∫[|z|=1]{z^n/(az-1)(z-a)}dz
を計算し、それを用いて
∫[0〜2π]{cosnx/(1+a^2-2a･cosx)}dxを求めよ。

∫[|z|=1]{z^n/(az-1)(z-a)}dz=2πia^n
になりましたがあってます？また、これをどう用いて後式の値を求めるのでしょう・・・

z=e^iθ=cosθ+isinθ
を代入して実部と虚部に分けてみよう。

>>845おお！
答えは2πa^nでしょうか？

>>843
わかりました。どうもありがとうございます。

Ｓ={z∈Ｃ|z=e^it,0≦t≦2π}とする。Ｓ上で連続な関数Ф(z)に対して、f(z)=∫[範囲Ｓ]{Ф(z)/(w-z)}dw (z∈Ｃ＼Ｓ)とおくと、f(z)はＣ＼Ｓで正則であることを示せ。(どのような事実をどう使ったのか明記すること)

さっぱり分かりません・・・助けて下さい。

結局最後は一変数。

>>849うう、やっぱり回答への方向が見えません。

積分記号下での微分

903

結局最後は積分、ってのがしっくりくるね。

age

難波さんの「複素関数 三幕劇」は需要は無いかもしれないけど

読んで面白かった記憶がある。近世数学史談の副読本としても使えたし。

レムニスケートを導入に使ってるのはいいセンスだと思う。

>>855 は >>834 に対するレスですな。

流れがわからなくて、何かと思った (w

458

Kingの脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。

>レムニスケートを導入に使ってるのはいいセンスだと思う。

偶然だろうが、Siegelも同じ。
もちろんSiegelの方がはるかに古い。

talk:>>858 人の脳を読む能力を悪用する奴を潰すのは社会のためになる。

高橋さんの複素解析にもレムニスケートのってたはず。
もちろん元ネタはSiegel。

高橋先生も難波先生もSiegel大先生も高木大先生も
lemniscateの元ネタは大数学者Gaussあたりじゃないの。たぶん。

さらにlemniscateを最初に考えたのは一流数学者Jakob Bernoulliあたり。

と呼称に気を使って書いてみるテスト。

さすがのBernoulliも
レムニスケートがゼータ関数の
特殊値に関するオイラーの定理の一般化につながるとは
夢想だにしなかったに違いない

Siegelのはアーベル函数に向かって話を進めているが、
高橋・難波・高木は複素解析の教科書になってるから読者対象が違う。

Siegelのはプロの数学者向け。
高橋・難波・高木は学生向け。

元ネタはGaussであってるよ。高木の近世数学史談の冒頭付近でも
Gaussの話が出てくる。結構有名な話。

ついでに書いておくと、元ネタのGaussの文献は"Mathematische Tagebuch"だよ。

たしかGoettingenあたりでスキャンしたものが公開されていたはず。

でもラテン語で書いてあるのでちょっとつらい。

ちょっと前までならペーパーバックでも出ていた。

それの場合は右ページがドイツ語訳、左ページがラテン語になっていて読みやすかった。

>>865
見つけたよ。

http://webdoc.sub.gwdg.de/ebook/e/2005/gausscd/html/kapitel_tagebuch.htm

ＧＥＧＡＮ

ＷＡＥＧＥＧＡＮ

これってどういう意味だ？

他にも

Vicimus GEGAN

ってのもある。

Vicimusってのはラテン語Vici（勝つ）の直説法・能動相・現在の１人称複数形です。
たぶん「我々はGEGANに勝つ」という意味。

ＧＥＧＡＮとＷＡＥＧＥＧＡＮは何？？　そういう家名もあるみたいだけど。

ほしゅ

公式集と自分で解いた値が違ってしまいました。

公式集：erf[x･{(π/2)^0.5} ・ exp(iπ/4) ] =exp(-iπ/4) {(π/2)^0.5} [C(x)-iS(x)]

ErrorFunction : erf(x)=∫[x,0] exp^(-t^2) dt
Fresnel cos Integrals C(x)=∫[x,0] cos(πt^2/2) dt
Fresnel sin Integrals S(x)=∫[x,0] sin(πt^2/2) dt

まず、引数を exp(iπ/4)=(1+i)/√2　とおいて整理して
{（√π)/2 }･(1+i)･ x としました。

積分路Cを、原点から{(π/2)^0.5} ・（1+i）　まで右斜め【ｔ = (√π)・(1+i)・s/2】にとって、
dt=｛(√π)・(1+i)/2　｝　ds とし、積分範囲を[x,0]になおして、計算すると、
（ｓは媒介変数）

exp(+iπ/4) {(π/2)^0.5} [C(x)-iS(x)]

となりました。　expの肩の正負が違う（つまり-πi/2=-i だけ偏角が異なる）結果になったんですが、
何か私、おかしなことしてるでしょうか。

ご指摘いただければ幸いです。

257

保守
>>870はAbramowitz and Stegunで解決しました。
手持ちの公式集が間違ってるぽい。

　

質問があります
ｆ；領域Ｕで孤立特異点Aj(ｊ＝1、2、…)を除いて解析的
Γ；Ａｊ(ｊ＝1、2、…)を通らないＵ内のサイクルでＵに関して0にホモローグである

このときＩｎｄ(Γ、Ａｊ)≠0となるＡｊが有限個になるのはどうしてでしょうか？？

何卒ご教授お願いします

>>874

＞Ｉｎｄ(Γ、Ａｊ)

て何？
f は関係ないの？

遅レス　すいません
ｆは関係ないです
Ｉｎｄ(Γ、Ａｊ)というのはΓのＡｊに関する回転数のことです
〔例えばΓ＝ｃ1＊Γ1＋ｃ2＊Γ2＋…ｃｍΓｍ(Γ1、Γ2……Γｍは閉曲線、ｃ1、ｃ2…ｃｍは整数)
のときにはＲi＝∫〔Γi〕1／ｚ−Ａｊｄｚ
とするときInd(Γ、Ａｊ)＝ｃ1＊Ｒ1＋ｃ2＊Ｒ2＋……ｃｍ＊Ｒｍとなります〕

>>876

f に関する記述はどういう位置づけなの？

レスありがとうございます。
領域Ｕに無限個の孤立特異点をもっているのがｆです。

要領得ないね、

f は問題にどう関係するの？
U には制限がないの？

制限の意味がよくわかりませんが、Ｕは複素数体Ｃの部分集合で領域です。

問題と関係するかどうかはわかりません。

やっぱり要領を得ないなあ。

とりあえず >>874 は何かの本からの引用？
もしそうなら、なんて本のどこから抜いたかを書いてくれ。

誠にすいません。

松本和夫著解析入門5のｐ113、ｐ114のところから引用させていただきました。

すいません　間違えました

松坂和夫でした

読んでないのだけれども、

Γ内入る Aj が無限個あるとする。
Γ内部の閉包は有界平集合なので、Aj には集積点が有ることになる。
それは、Aj が孤立特異点であることと矛盾する。
という事ではないだろうか？

Γの外の Aj は巻数0ですね。

見当違いならご容赦を。

なんか色々間抜けな事が...

有界平集合-> 有界閉集合
Aj には集積点-> Γ内入る Aj の集合

ほう、なるほど。

＞Γ内部の閉包は有界平集合なので、

サイクルとは、そう云う制限がついている物なのかい？

複素関数論では 無限遠点は 1 点しか無いし、
無限遠点を考える時には、C の閉包と
リーマン球面という有界閉集合との間に
1-1対応が付くのだから問題ないのでは？

私は工学系の人なので、あまり細かい事を
突っ込まれるとボロが出そうですが...

>>887

いや判った。

f は集積点を持たない無限個の点列を規定するだけの役割しか無い訳か。

この場合無限遠が特異点だから、Γ は無限遠を通らないと言うのか。よってサイクル Γ の内部は有界であると。

非常にトリッキーな場面設定だな。

完璧にわかりました。
どうやら僕はコンパクトな距離空間の無限部分集合は必ず集積点もつということを忘れていたようです。
ありがとうございました！！！

おっとすいません
>>874=>>889です

関数sin(z)/(z-π)の z=π での特異点を中心とするローラン展開を求めよ。

式変形からつまづいているのですがどなたか教えてくださりませんか？

>>891
sin(z)をテーラー展開してからz-πで割るといいよ。

>>892
ありがとうございます！

あともう一つあるのですが…
関数1/(z(z-i))の z=i の特異点を中心とするローラン展開
iは虚数単位です。

これも式変形につまづいてます。
ご教授してくださいませんか？

部分分数分解

1/(z(z-i))=1/(i){1/(z-i)-1/(z)} に部分分数分解すればいいのですか？

移転sage

それで良いと思います。

1/(z-i) は主要部, 1/z は 正則なので Taylor 展開可能ですね。

Taylor 展開より簡単には 1/z = 1/(z-i+i) とする方法があります。

702

解答は載っていたのですがその途中経過がわかりません。
複素関数の積分です。

関数f(z)が領域│z-a│＜2で正則であるとする。次の積分を求めよ
∫c {(zf(z)-af(a)) / (z-a) }dz (C:│z-a│=1)

解は0です。∫c {f(z)/(a-z) }dz =0 なので、
与式=0-0=0 となるのかと思うのですがどうやって解くのでしょうか？
どなたかお願いします。

>>899
(zf(z)-af(a))/(z-a)　は│z-a│＜2で正則だから解は0

でいいとおもうけど。

>∫c {f(z)/(a-z) }dz =0 なので、

本当ですか？

分数を分子で2つに分けて積分表示使えばいいじゃない

∫c {f(z)/(a-z) }dz =0
はf(z)/(a-z)がcの内部で正則のときでしたね。
分母が0になる点z=aのとき正則でないので間違いでした。
>(zf(z)-af(a))/(z-a)　は│z-a│＜2で正則だから解は0
でいってみようと思います。

>分数を分子で2つに分けて積分表示使えばいいじゃない
与式=∫c {zf(z)/(z-a)}dz - ∫c {af(a)/z-a}dz
となりますが、コーシーの積分表示を使って、
∫c {f(z)/(z-a)}dz = 2πi*f(a)
としたくても、分子のf(z)にzがかかっていて、どう使ったものか･･･

(1/(2πi))∫_c zf(z)/(z-a)dz=af(a)

ありがとうございます。一応これで解としてみます。

保守

age

>>899
積分されてる関数は｜z-a｜ <2
で正則（極が消える）なんでコーシーの積分定理で終りではないですか？

保守

ワイエルシュトラスのペー関数について質問です．
Ω:={mw1+nw2: m,n\in \mathbb{Z}},
Ω':=Ω\backslash {0}
P_{k}:={mw1+nw2\in Ω:max{(|m|,|n|)=k}(k=1,2,3)
L1:=min{|w|:w\in P_{1}}
L2:=max{|w|:w\in P_{1}}
p(z):=1/(z^2)+\sum_{w\in Ω'}(1/((z-w)^2)-1/(w^{2}))
とする．このとき，関数項級数
p(z)は任意のＲ＞０に対する閉円板{|z|\leq R}に対して絶対＆一様収束することを示せ．

という問題についてです．,とりあえず次のことまでは示せました
「∃k1\in \mathbb{N}s.t.k1>\frac{2R}{L_{1}}とする．このとき，
k\geq k_{0},w\in P_{k}⇒|1/((z-w)^{2})-1/(w^{2})\leq (10L_{2}R/(L_{1})^4)*1/(k^3)で抑えられました．
s(z):=\sum_{w\in \bigcup_{k=k1}^{\infty}P_{k}(1/((z-w)^2)-1/(w^2))
とおくと，|s(z)|< ∞であることが示されたのでs(z)は{|z|\leq R}で絶対＆一様収束することも示される」

で聞きたいのは以上のことから
p(z):=1/(z^2)+\sum_{w\in Ω'}(1/((z-w)^2)-1/(w^{2}))
が{|z|\leq R}で絶対＆一様収束すること
を示す．
これがどうもよくわからないです．わかる人お願いします

>>909
> わかる人お願いします． 分からない人は黙っててください

自己解決しました．

705

�狽�_l　は正の項の収束和で、その和は格子Ｌの０でない全ての元にわたるものとする。
複素平面Ｃのある部分集合の点ｚに対し｜ｆ_l（ｚ）/ｂ_l｜が｜l｜→∞のとき
有限な極限に一様収束すると言う性質を�狽�_l（ｚ）が持つならば、
和�狽�_l（ｚ）はその集合の点ｚで絶対かつ一様に収束する。

この証明、簡単らしいんですけどわかりません。
誰か教えてください。

age

>>913
コーシーの判定条件を思い出したらすぐ解けたけど？

ここは本当にまともなスレだね
レベルも昔のまま

ほしゅ

z=x+iy とするとき sin(z^2)の実部をx,yで表わせ

次の問題が解けません。
Z平面の単位円をW平面の単位円に写像し、点Z＝1/2,ｉをそれぞれW=0,1に写像する一次関数を求めよ。
よろしくお願いします。

>>919
答え、分かりました。

>>920
解説混ぜて教えてもらえませんか？

なんで？

留数定理が全然わかりません…。
留数定理自体はわかるのですが使い方がわからない…。
極は分母が0になるところと思っておけばいいんでしょうか？
留数の求め方もあんまりわからない…。

極も何かわかってないなら留数どころではないでしょうに．

極も留数も使い方も判らないのに、留数定理自体がわかるっておかしいだろ。

留数定理って何ですか？
極が分からないと留年する事ですか？

> 留数定理が全然わかりません…。
> 留数定理自体はわかるのですが
なんて背理法？

四年一時間。

1/{1-exp(z)}の特異点を求めろという問題があり
解答で1位の極 2nπiと出ているのですが…
どうしても導出方法が分かりません．
どのように導出しているか教えてください．

>>929
極は 1 = exp(z) のところにあるはず。1/(1-exp(z)) の微分を計算して
ｚ= 0 での留数を求める。

>>930
>極は 1 = exp(z) のところにあるはず
なぜですか？

>>931
無限大になるから。

>>930
早い解答ありがとうございます．
exp(z)=1
z=log1
z=log|1|+i*arg(1)
z=2nπi
という流れでは駄目なのでしょうか？
微分を計算して〜という流れがいまいちよく分からないです…

>>932
無限大になると極ですか？

>>934
誰もそんなことは言ってない。逆。
無限大になることは必要条件であって十分条件ではない。

>>933
微分せずに留数を求められるなら微分しなくてもいいよ。

特異点を求めるだけなら留数関係ないでしょ

極かどうかは留数計算せずに出すの?
無限積展開?

１．ｆ(x,y)をxy−平面上の領域Dで定義されたＣ＾１級の複素数値関数とする。ｆをz=x+iy、z’=x-iyによって(z､z')を変数とする２変数関数と見たとき、ｆが正則関数となるための必要十分条件は
∂f/∂z'＝０
であることを示せ。

２．ベキ級数Σ(_n=0、∞)z^(n^2)の収束半径を求めよ。

誰か分かりやすく教えてください。
よろしくお願いします。

教科書読め

>>940
分からないとか？

たいていの教科書には書いてあるな。
ここに質問を書く人たちはどんな本を使ってるんだ？

>>938
普通（ｘ−ａ）＾ｎｆ（ｘ）が収束するかを調べるけど留数でどうやって調べる？

とどのつまりは、留数ってなんですか？

>>944
ローラン展開したときの1/zの係数

>>945
>ローラン展開
なにそれ？

テーラー展開を少し拡張したもの。

>>947
>テーラー展開
ふーん、あんた頭いいのね。

1

age

複素関数論って本当に人間が作ったの？なんかあまりに都合よく出来すぎてて気持ち悪いんですが。

複素関数は悪魔の作品だよ。
最近、おれ様が少し改良を加えている。

あげ

>>952
ついでにhyperfunctionにも改良加えてくれ

いまやっている
変数の数を無理数個まで拡張した

無理数は個数の名前じゃない

おいらは、変数の数を複素数まで拡張したぜ。

複素数の問題で解法を教えていただけますか？

（１）i^1/2
（２）（−1+i）^1/3
（３）（−32）^1/5
（４）（√3-i）1/4

どうもこの分野が理解できないんです
基本的な部分でごめんさい
お願いします

（１）i^1/2 = i/2

（２）（−1+i）^1/3 = ( - 1 + i )/3

^^

過去ログみるのはどうしたらいい？

Leopard 使ってください。

ちょっと聞きたいんだがローラン展開ってなんの役に立つの？てか、テーラー展開とローラン展開の違いを教えてくり。特異点を含むときローラン展開になるとかわけわからんorz

解析概論スレに似たような人が来てたなｗ
釣り決定

ローランは現在の中国領新疆ウイグル自治区に存在した都市、及びその都市を中心とした国家。
西域南道沿い、孔雀河下流のロプノール（Lop-Nur）湖の西岸に位置し、シルクロード交易で栄えた。

楼蘭天海

吉田洋一　函数論　ってどうなの？

age

>>968
空手踊りの写像定理の証明が書いてある本は
日本語で書かれたものではこの他に
辻正次の本がある

ｱﾁｮｰ

楕円曲面とはファイバーがトーラスであるファイバー束のようなもの。
複素曲面が楕円曲面であるとは、リーマン面と正則写像が存在することであり、
有限個の点集合に関する制限がファイバー束で、そのファイバーがT~2と可微分同相であること。
楕円曲面は小平が導入して特異ファイバーの分類などの研究が行われた。
例えば、クンマー曲面は楕円曲面であるが、すべてのＫ３曲面は楕円曲面であるわけではない。

複素曲面での爆発！ってなんだかいい響きだ。
何回かの爆発が二つの複素曲面で複素同型であるというのが、双有理同型。

かなり応用数学寄りでスレ違いなら申し訳ありませんが
対数分岐点がたくさん存在し分断線がザクザクひけるよーな
複素関数の積分を書いた教科書ってご存知ないですか

シェーンフリースの定理の詳しい解説がほすい。
（空手踊りの定理の証明に使いたい）

>>97４　Ｓｃｏｅｎ　なぞ使わなくても証明できる。

>>973
まるてぃ

シェーンフリースは牛刀

>>976
すみません…
おそらくお察しの通り数学が専門でないので通称がわかりません。
検索しても、らしい書籍は見当たらず…
もう少し詳しくお教え願えませんでしょうか

>>978
ファグェワロス

竜頭蛇尾

>>974
長さ有限の曲線ならコーシーの積分定理から出る

1602.75

四年百四十二日十七時間。

徹頭徹尾

z=x+iyとして
(1-|z|^2)/(|1-z|^2)をできるだけ簡単な形で求め図示せよ

答えは（x- c/(1+c) ）^2 + y^2 = 1/(1+c)^2
ということは書いてあるのですが、
導出過程がさっぱりわかりません。
どなたか教えてください。お願いします

>>985
さっぱりわかりません。

スッポリわかりません

レス(Res)を待ってみろ
複素関数だけにねっ

タタタ

ハニーフラッシュ

複素関数論スレッド§３
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1198980001/

>>985
ｃがない

気にｃないでね！

超幾何関数で、値が重複しない具体例ってどう云うのがありますか？

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1000ならジュースでも飲むか

このスレッドは１０００を超えました。
もう書けないので、新しいスレッドを立ててくださいです。。。