主観的３分割問題？

瓶に入ったお酒があります。これを、３人で平等に分けて、文句が
出ないようにするにはどうすればいいでしょうか？ただし、分量を
はかる道具はありません。
ただし、「文句が出ない」とは以下のことを指します。
「自分は１位もしくは１位タイだ」と３人とも確信していること。

数年前、論理学MLにこの問題を投げましたが答え出ず。。
「ゲーム理論と関係あるかも」とのことでしたが・・・

（続き）２分割問題なら答えは簡単です。
１ まずAさんが、目分量で２つに分けます。
２ Bさんは、２つのうちの好きなほうの分け前を取ります。
３ Aさんは残りの分け前を取って、終了。

2get

＿|￣|○

2とれたらふしあなを（ｒｙ

3人を無人島につれていき、殺しあいをしてもらいましょう。

>>6
(・∀・)ｿﾚﾀﾞ!!

というわけで>>6が明瞭かつ美しい回答を示したので終了。

や〜ん終了したくないよ〜
このスレそんなにうざいのかな。。
「文句が出ない」が「自分は少なくとも３分の１を確保している」のことなら
答えは出てるんだよ〜
１　まずAさんが、自分が「全体の３分の１」と思えるだけの量を
　　瓶から取り出して、Bさんに手渡します。

２　Bさんは、それが「３分の１より多い」と思えば多い分だけ
　　もとの瓶に戻し、Cさんに手渡します。
　　そうでなければ（３分の１あるいはそれより少ないと思った場合）
　　そのままCさんに手渡します。

３　Cさんは、Bさんと同じ手続きをしたあと、Aさんに手渡します。
　　（つまり、A→B→C→Aの順で手渡されることになります。）

４　Aに戻ってきた取り分を、誰が取るかを次のようにして決めます。
　　・多い分だけもとの瓶に戻した人がいる場合
瓶に戻した最後の人（BかC）が、その分け前を受け取ります。
　　・多い分だけもとの瓶に戻した人がいない場合
Aさんがその分け前を受け取ります。

５　分け前を受け取った人は、「いち抜けた」ということでその場から
　　引き下がります。

６　残った二人は、「２分割問題」の解答を行って終了。

3人をA、B、Cとする。

まずCが、3つの容器XYZに、酒を3等分する。
そしてAとBに欲しい容器を選ばせる。
指名が分かれた場合はめでたく終了。

そこでAとBの指名がXに一致した場合を考える。
このときは、CがXの中身を少しづつ別の容器Wに注ぎ出す。
そしてAとBに、最初にX=YまたはX=Zとなった(と思った)
時点でSTOPをかけさせる。

Aが、X=Yと思ってSTOPをかけたとする。
この時の3人の認識は

A：X＝Y＞Z
B：X＞Y,Z
C：Y＝Z＞X

ここでSTOPをかけたAに、WをW1,W2,W3と3等分させる。
最初にBに、W1,W2,W3のうち最大のものとXを取らせる。
（Cは、Bが何を取っても文句を言わない。
なぜならCの認識では、X+W＝1/3だからである。）

次にCに、残ったW1W2のうち大きい方と、Zを取らせる。
最後にAが、残ったW1とYを持っていく。これで終わり。

>>10早速意欲的な回答サンキュー！！
Aの持ち前：Y + W1
Bの持ち前：X + W3
Cの持ち前：Z + W2
ですよね。でもちと怪しい。。
Cは確かに B < 1/3 と感じていますが、B < C と感じているとは
限らないのです。（Cにとって、Bの分け前W3がCの分け前W2より多い場合）

どうでしょう？

>>11
C は
Z = 1/3
X+W3 < 1/3
と感じてるんだから、
X+W3 < Z+W2
と感じている。

> CがXの中身を少しづつ別の容器Wに注ぎ出す。
> そしてAとBに、最初にX=YまたはX=Zとなった(と思った)
> 時点でSTOPをかけさせる。
の操作を許すなら、これで正解になっている。

>>10ごめんなさい！
Cにとって、 Y = Z = 1/3 だから B < 1/3 < C は言えますね。失礼。

すごいー！あっさり解けてしまったー！
>>10さんありがとうー！！

>>12入れ違ってしまいました。。
そうです！そうなんです！
>>12さんもありがとうー!!

「…の操作を許すなら」って>>12さん鋭すぎ。
そうなんです。この問題では「無限回の手続きは禁止する」ことが
暗黙の了解とされているので、上記の操作を許すかどうかは
ちょっと微妙かもしれませんね。
注ぎ出すという手続きが、連続性（無限性）を含むと考えるかどうか。

無限回を許してしまえば、ほかにいくらでも解答はあるので、
>>10さんの解答は巧みにごまかしている感じ？ｗ

ケーキ作りました。カットしようと思うけど・・・
http://science.2ch.net/math/kako/1012/10127/1012763060.html
ってのがあったな。

「次は君たち両方に１本まるまる飲ませてやる」とだまして、１本まるまるがめる。
発覚するまではみんな幸せになれる。
当然、文句も出ない。

ケーキをカットするにしても、「みんなが納得する」状況を
数学的にきちんと定義してからでないと話は発散する一方だね。
中途半端な答えが出てばっかり。

無限性を完全に排除した解答はないですか？＞どなたか
わかりやすくするために、液体の「酒」を固形物の｢ケーキ｣に変更！
（分け終えたらケーキの破片だらけでマズそうだけど。。）
フードプロセッサー禁止！！ｗ
mathmaniaさんの登場か？

Re:>19 無限性とは何なのかが良く分からないが、某番組の答えを云おう。
Aが分量を(なるべく連続的に)少しずつ増やして、B,Cのどちらかが早押しボタンを押したら、
その時点で分量を増やすのをやめて早押しボタンを押した人に分量を与える。
残りは2人で分ける。

>>20
無限性という言葉はわかりにくかったでしょうか。
「なるべく連続的に少しずつ」＝「�凅を限りなく０に近づける」
＝連続性・無限性、という気持ちなのですが。
>>20さんの解答は、他人の分け前が自分より少ない（か同じ）という
保証がぜんぜんないように思うのですが、どうでしょう。
あくまで、「文句が出ない」は「自分は１位もしくは１位タイだ」
ということでお願いします。

>>20さんはもしかして、早押しボタンをチキンレースに見立てるという
ゲーム理論的な問題として捉えているのでしょうか？だとしたら
この問題がゲーム理論的にどう定義されているのか知りたい〜
ところで某番組って何？

「なるべく連続的に少しずつ」＝「�凅を限りなく０に近づける」＝連続性・無限性

これを禁止したら、自分で1/3と思うように分けることすらできなくなるんじゃないの？

>>23うーん鋭い。発想が基礎論っぽいかもｗ
「自分にとっての主観的な1/Nの分け前を切り取る事は可能である」は
仮定していいんじゃない？都合よすぎるかな？
そもそも無限性を排除したかったのは、切り取って分配する操作が
永遠に続く解答が続出したから、それを排除したかったんだけど。

>>2はどう考えてもBのほうが有利だと思うのですが。
Aの分割は正しく2等分とは限らない。Bは確実に大きいほうを取れる。

>>25
だから、実際に1/2以上かどうかはどうでもいいのよ。
当事者が満足しさえすれば。

Aが満足できねえだろっていってるの。
>>25程度の内容をAが思い至らないってなら話は別だが。

Aは半分だと思うように分けているんだから文句は出ない。
Bが確実に大きい方を取れるように分割するという有り得ない
仮定で話すのが間違い。

各人は自分の望むとおりに完璧に分けられるということだな。

ただし各人の「これが１／３だ！」という主観ラインはそれぞれ異なる、と。

どうでもいいはなしだが、これ数学の問題じゃないだろ？

粘着して悪いけどさ、どうも納得できないので。
Aは「Aの思う」1/2をとることになるわけだけど、
Bは「Bの思う」1/2かそれより大きいと思う方を選べるわけでしょ。
俺の書き方が悪かったんだけど>>28さんに反論するなら
Bは確実に「Bにとって大きい方」を取れるはず。
どっちになりたいかと聞かれたらまちがいなくBだけど。

A「はい、2等分したよ。」
B「お、こっちのほうが多いじゃん、もらいー。」

Aが不満を言わないなら相当な自信の持ち主だが、
全員がそういう性格の人間であるという仮定であると
俺は>>29の1行目の内容を解釈するんだがよろしいか？
つまり人がどう言おうと自分の分割は完璧だと思えるわけね。

＞つまり人がどう言おうと自分の分割は完璧だと思えるわけね。

Bが確実に得をするためには、どのような分割に対しても
大きい方を選ぶ事が出来る眼力があると言う自信を
持ってなきゃいけないわけだがな。

http://cheese.2ch.net/math/kako/1012/10127/1012763060.html

>>33
16のリンク先のほうが新しいぞ。

Ａ（Ｂがどちらを選んだところで、俺は一位タイだ。）
Ａ「ホレ、2等分したぞ。」
Ｂ（これってどう見ても右の方が多くね？）
Ｂ「じゃぁ、こっちいただき。」
Ｂ（多い方取られたってのにすました顔してる。Ａって馬鹿じゃねぇの？。）
Ａ(どっちも同じだってのに満足そうな顔してやがる。Ｂは馬鹿だな。）

２等分するAより、分け前を選べるBのほうが期待値が大きいのは確かなので、
役割を決める際にもめる可能性はある。
しかし、この問題における「文句が出ない」状況の定義より
それは不問とする。

＞分け前を選べるBのほうが期待値が大きいのは確かなので

確かじゃないよ。

>>36
そ、そう？ど、どうして？ﾄﾞｷﾞﾏｷﾞ
２等分する役割より、分け前を選べる役割のほうが期待値が大きい

（Aの主観とBの主観を比較するのは無意味なので）ちょっと言い換えてみたけどだめ？

↑失礼。
×>>36
○>>37

>>38
むしろ、なんで大きくなるんよ？

だって、だってぇ…（泣）
２つの分け前をX, Yとすると
・２等分する役割からみると、X = Y = 1/2
→ 取り分は自分にとって1/2
・分け前を選ぶ役割からみると、X, Y = 1/2±α（αは0以上）
→ 取り分は自分にとって1/2 + α
前者の期待値は1/2、後者の期待値は1/2以上になるでしょ？

＞（Aの主観とBの主観を比較するのは無意味なので）

と書いておきながら思いっきり主観の期待値を計算しているのは
新手のギャグですか？

>>41
言いたいことはわかる。
確かに自分の満足度を、相手の満足度と比較して
決める「相対的な幸福論」で考えれば、2等分する側は
面白くないだろう。

しかしこの問題では相手の満足度を考慮しない。
たとえ相手が「全体の9割を取った！」と思ったとしても、
自分がそうでないという確信を持てるなら、
「」は相手の妄想だとして一笑に付すことにするわけだ。

なんか、人生訓みたいだな。

>>42
異なるメトリクス（計量）を持つ空間に属する値を比較するのは無意味だけど、
同一のメトリクスを持つ空間に属する値なら、比較だけでなく微分・積分も
可能でしょ？
だんだん気が狂ってきたｗ

＞異なるメトリクス（計量）を持つ空間に属する値を比較するのは無意味だけど

つまり>>41は無意味、と。

自分が分けたときの自分の満足度と
相手が分けたときの自分の満足度は違う。

前者は（自分の主観で）ぴったり１／２しか取れないが、
後者なら（自分の主観で）１／２以上取れる可能性がある。

だからやはり不公平である。

＞前者は（自分の主観で）ぴったり１／２しか取れないが、

そうだね。

＞後者なら（自分の主観で）１／２以上取れる可能性がある。

そうだね。

＞だからやはり不公平である。

そうでもないね。

>>43さん
私は>>1（ = >>36 = >>41）です。
したがって私とあなたは仲間です！ｗ
あなたのおっしゃるとおり！！

>>45
うーーん。。>>41は舌足らずだったかも。じゃ、こう書けば良い？
・２等分する役割を選べば、X = Y = 1/2
→ 取り分は自分にとって1/2
・分け前を選ぶ役割を選べば、X, Y = 1/2±α（αは0以上）
→ 取り分は自分にとって1/2 + α
いちおう同一メトリクスになってると思うけど。

まず「公平である」とはどういう事か定義しないと、結論は絶対に出ないよ。

>>50さん
「公平である」の定義は>>1にあるんだけど、それとは別の定義をすれば
>>2の回答は不公平だよね、という文脈だと思いますよ。たぶん。
勘違いしてたらごめんなさい。

「自分は１位もしくは１位タイだ」と確信できる手段を全員に提供
できたとき、この手段を以て「公平な手段である」と定義する。

「公平」という概念は、各プレイヤーに対してではなく、
手段に対して与えられる概念であると考える。

こんな感じでどうかね。

>>52
あぅ。。難しくて理解できない。。
確かに、「公平である」の定義について、メタレベルの異なるものを
混同しているような感覚が自分の中にあって、それを>>52さんが
「プレイヤーの公平」「手段の公平」の混同であると指摘しているような気はする。。

たとえば二人ともアル中で手が震えてどうしても1/2ずつには分けられないんだけど、
どちらの酒が多いか見る目だけはあるという場合、最初に分けることになったほうが
損なんじゃない？

もっと言えば奇数個のものを二人で分ける場合とか。

最初に分割する人が、自分が見て完璧に1/2ずつだと思えるような正確さで
2等分する能力を持っている、ということを前提にするかしないかの違いで、
話が噛み合ってないんじゃないかな。

>>54さん
>>24や>>29で、自分の主観的1/Nに分けることができる、ということを
前提とすることになりましたよ。その前提でこのスレは続いていると思います。

失礼しました。「お互い不満なし」という意味での公平な解は得られる。
しかし「お互い不満なし」という条件を満たす解の集合の中では
後者が得であるような解が得られてしまうという意味で不公平なんじゃないかと
いうことを言っているわけですね。

そうで〜す♪
ただ>>36にも書いたんだけど、問題文中の「文句が出ない」状況の定義より
そういう心配は不問とする、と言ってしまえるのではないかと。
と思ったら>>52のように考える立場もありうる、みたいな感じで
スレが進んでます。

　　　 (⌒V⌒)
　　　│ ＾ ＾ │＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　⊂|　　　　|つ
　　　（＿）（＿）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎パン

なんだなんだ？良スレが埋まってるぞ。

まずAが3つに分け，B，Cの希望を聞く．
場合1．B，Cが異なるものを選んだなら，B，Cはそれぞれ選んだものをもらい，残った1つをAがもらう．
場合2．B，Cが同じものを選んだなら，これをさらにB，Cで分ける．
　次に，残った2つについて，B，Cの希望を聞く．
　場合2-1．B，Cが異なるものを選んだなら，それぞれ選んだものをAと2人で分ける．
　場合2-2．B，Cが同じものを選んだなら，これをB，Cで分け，残った1つをAがもらう．

>>60
BとCでの分配にAが関与できないので、Aが文句を言う。

極端な話、場合2の分配で、B：C=100%：0% に分けられたと
Aが感じた場合、その後の分配がどうなろうとAは満足しない。

逆に、全部半分位に注いで速く飲んだら２杯目を飲めるようにすれば、
競って少ない方を取るようになるので一番いいかも。

メスシリンダーで量る、これ最強

喧嘩する

>>61何を言ってるのか意味がわかりません。

>>65
場合2の分配で、B：C=100%：0% に分けられたとAが感じた場合、
最終的にＡは「自分よりＢの方が多いじゃないか」と文句を言うことになる。

っつーことでしょ。

>>61さん>>66さんの言うとおりです。
>>60さんの回答は、残念ながら典型的な誤答例です。
場合2-2．では、B, Cの間では完全な合意を得られますが
それをAが合意するとは限らないからです。たとえば、
B：C=60%：40% に分けられたと「Aが」感じた場合、最終的に
Aは「Bは自分より多い」と文句を言います。
>>66さんのいうとおりですね。

この誤答は、この３分割問題の難しさを端的に示しています。

いかに他人が自分の意思で少ないのを掴むような状況にもっていけるかが重要。

>>59
お？良スレ認定？うれすぃ〜♪
これからも良スレageでおねがい〜♪

http://homepage.mac.com/maki170001/

どうも問題に不備があるような気がしてならない。

例えば100mlの水を二人で分ける場合、
Ａは40mlと60mlに分けるような目を持った人間だとする。

今Ａは40mlの水と60mlの水を同じ量だと思っている。・・・（１）

ここで水を5mlうつし、45mlと55mlにしたとする。
するとＡは45mlの水の方が多いと思うことになる。・・・（２）

更に15mlうつし、60mlと40mlにしたとする。
もちろんＡは60mlの水の方が多いと思うことになる。・・・（３）

（１）と（３）は矛盾だと思うのだが。

鋭い指摘です。Ａの主観とはどのように定義されるか、という点を突いています。
>>71さんの主張を言い換えると次のようになるかと思います。
---------------------------------------------------------------
「xミリリットルの水が、Ａにとってはf(X)ミリリットルに見える」と
言えるような関数f(x)が存在する「と仮定する」と、
(1)よりf(40) = f(60)、(3)よりf(60) > f(40)となり矛盾する。
---------------------------------------------------------------
私は、Ａの主観についてこのような関数f(x)が存在するとは限らない、と
考えています。あえて言えば、f(x)は複数の値を持ちうる関数
（多値関数とでも言う？）になると思います。
# いちおう、値が１つに定まらないものは関数とは呼ばないはずですが。。
したがって、(1)でのf(60)と、(2)でのf(60)は異なります。

アナロジーとして、グラフx = y^3 - y（３次曲線y = x^3 - xのx, y軸を逆にした形）
を考えると、x = 0のときのyの値は
・xが十分小さい値から連続的に変化した場合にはy = -1
・xが十分大きい値から連続的に変化した場合にはy = 1
となります。

記述ミスがありました。
×したがって、(1)でのf(60)と、(2)でのf(60)は異なります。
○したがって、(1)でのf(60)と、(3)でのf(60)は異なります。

>>72
（１）のf(60)と、（３）のf(60)は違うのか・・・

さすがに（１）のf(60)と、（１）のf(60)は同じ（時間が違ってもＡには同じ量に見える）でいいのかな？

なら容器の形がそれぞれ違うんだと解釈しておいても良い？

>>74さん
>さすがに（１）のf(60)と、（１）のf(60)は同じ（時間が違ってもＡには同じ量に見える）でいいのかな？
ん？「（１）のf(60)と、（１）のf(60)は同じ」は
自明（トートロジー？）のような気がしますが…？もちろん同じです。

>>72ではもったいぶった書き方してしまいましたが、要するに
（１）ではf(40) = f(60) = 50
（３）ではf(40) = 30, f(60) = 70のようになるということです。
60mlがＡにとって50mlに見えたり70mlに見えたりするのは、
たしかに容器の形が違う場合にそうなることがありますね。

>>75
＞さすがに（１）のf(60)と、（１）のf(60)は同じ（時間が違ってもＡには同じ量に見える）でいいのかな

これは書き方が分かりにくすぎたか。（苦笑）


今Ａは40mlと60mlに分けて同じ量だと思っているわけだが、

一度からっぽにしてもう一度分けさせたらどうなるのか？
見えないところで二つの容器の中身を丸々入れ替えたらどう感じるのか？
一瞬でも目隠ししたらどう感じるのか？

っていうような意味です。

>>76
もう一度分けさせて再び40mlと60mlになるとは限らない、とすべきでしょう。
Ａの主観はあくまで「主観的」なので、正確な（客観的な）容積との対応は
とことん理不尽でありうる、ということです。

結局、正確な（客観的な）容積に対応付けてこの問題を考えるのは
>>71のようにハマってしまう原因になるので、避けたほうがよいのでは。。ｗ
あくまで、分け前についての主観的な不等式で考えたほうがよさそうです。
その際、x < y ⇒ x + a < y + a, x < y, y < z ⇒ x < zのような
不等式は主観においても成り立つとします。
今のところ>>10の解答が最もうまくできているのですが、これも上記のような
不等式を前提としています。

>>76
もひとつ。
「見えないところでの中身の入れ替え」「目隠し」の操作は、
問題を解くにあたって無意味に思えます。
・主観が変化しないのであれば、そもそもそんな操作をする必要がない。
・主観が変化する場合、どう変化するのか（増えるのか減るのか）を
well-defineできないので、操作として認められない。

確かに、「Ａの主観とはどのようなものか？」と考え始めると
>>76さんのような気持ちになるのもわかるのですが…。
どうしても気になるなら、試しに「目隠しをした場合はこうなる」
というように自分なりに定義してみるといいと思います。その定義が
この問題においてwell-definedになり解答も得られるのなら、その定義は
意味のあるものになります。

ちなみに、いくら理不尽な主観が許されるからといって、
「目隠しをしたあとは自分の分け前が最大に見える」みたいなものは
この問題にとってぜんぜん面白くないですねｗ

有限回の　ｃｕｔ　では題意を満たすこと不可能。

>>79
同意。
では証明をしてください。

>>79
どうして？

>>81
どうして出来ると思うんだ？

>>81
直感だよｗ

>>82
「有限回のｃｕｔで題意を満たすことが可能である。」ということを
主張しているわけではありません。>>82さんの言う通りかもしれないし
そうでないかもしれない。実際、今のところ最もいい線いっている>>10
の解答でさえ、「有限回のｃｕｔ」という点では問題があります。
（>>15を見てくださいね。）

>>10を超えるような良い解答が得られるのか、それともあなたが
おっしゃるように「有限回のｃｕｔでは不可能」なのか、きちんと
証明をしてくださると助かります。
なお、>>24に書いたように
「自分にとっての主観的な1/Nの分け前を切り取る事は可能である」は
この問題の前提とすることになっています。

>>84

>>82は俺じゃないよ〜
証明（らしきもの）を今書いてるからちょっと待ってて

>>83
なるほど、直感ですね。納得しました。
…って、納得できるわけねーじゃん！！ｗ
>>84みたいに真面目に答えて損したよー！！(ToT)

「各プレイヤーは自分の取り分を最大にしようとして行動する」っていう
前提も必要だと思うけど、違うかな。

おっと、微妙に発言がすれ違っている。。。失礼。
証明楽しみ〜♪

>>87
>>1の問題文中の、「文句が出ない」の定義がその前提にあたると
思いますけど、それでは不十分ですか？

>>89
そでした。

容器ａにまず水を全ていれておき、その後有限回の「カット→与える」「交換」で
（容器ａのＡの主観的順位、容器ｂのＢの主観的順位、容器ｃのＣの主観的順位）＝（１，１，１）
にはできないことを示せば十分（？）

ある一人の分配に対し、他の二人は必ず誤差を見出すとしても構わない。

　　　　　　　　　　　　　容器ａ　　　　　　容器ｂ　　　　　　　容器ｃ
Ａの主観的順位　　　１位　　　　　　　　２位タイ　　　　　　２位タイ
Ｂの主観的順位　　　１位　　　　　　　　２位タイ　　　　　　２位タイ
Ｃの主観的順位　　　１位　　　　　　　　２位タイ　　　　　　２位タイ

この状況から例えば
Ａが容器ａから容器ｂ、容器ｃへと主観で全ての中身が１／３になるように「カット→与える」をし、
Ｂに容器ｂ、容器ｃ、容器ａの順に多くなるように「交換」権をあげれば、

　　　　　　　　　　　　　容器ａ　　　　　　容器ｂ　　　　　　　容器ｃ
Ａの主観的順位　　　１位タイ　　　　　　１位タイ　　　　　１位タイ
Ｂの主観的順位　　　３位　　　　　　　　１位　　　　　　　　２位
Ｃの主観的順位　　　３位　　　　　　　　１位　　　　　　　　２位　（←　一例）

ここでＣが容器ｂと容器ｃが同じになるように「カット→与える」をすれば、

　　　　　　　　　　　　　容器ａ　　　　　　容器ｂ　　　　　　　容器ｃ
Ａの主観的順位　　　２位　　　　　　　　３位　　　　　　　　１位
Ｂの主観的順位　　　３位　　　　　　　　１位　　　　　　　　２位　（←　一例）
Ｃの主観的順位　　　３位　　　　　　　　１位タイ　　　　　　１位タイ

このようにして全ての場合における遷移図を書いていけば、

だめだ全然わからん。
>>91はせっかく書いたから載っけた。
無視していいよ。

っていうか思ったんだけどさ、>>10の

＞そこでAとBの指名がXに一致した場合を考える。
＞このときは、CがXの中身を少しづつ別の容器Wに注ぎ出す。
＞そしてAとBに、最初にX=YまたはX=Zとなった(と思った)
＞時点でSTOPをかけさせる。

この部分を改良すれば可能なんでない？

まずＢにX=YまたはZ（多い方）となるように、Xの中身を別の容器Wに注ぎ出させ、
Ａがもしそれを注ぎ出しすぎだと感じたなら、ＡにX=YまたはZ（多い方）となるように容器ＷからＸへと戻させる。

これで、

＞Aが、X=Yと思ってSTOPをかけたとする。

これと同じ状況にならない？

>>93
AやBが、より多くGETできるように嘘をつく、という事態を想定してみたが、
どうやらうまくいきそうだ。若干怪しい部分はあるけど。

XからWに取り分ける作業について、Bの思考を考えてみる。

1：自分のあと、Aが何もしなかった場合。
　 自分はYZのうち大きい方とWの1/3（※1）を取ることになる。

2：自分のあと、Aが注ぎ直した場合。
　 自分はXと、Wの1/3（※2）を取ることになる。

1の場合はWの分量を増やした方が得なので、なるべくたくさん
注ぎ出したい。しかしそうすると自分の後でAが手を出す、つまり
2の状況になる可能性が高まる。

2の場合はXの分量を増やした方が得なので、なるべく少なく
注ぎ出したい。しかしそうすると自分の後でAが手を出さない、
つまり1の状況になる可能性が高まる。

∴正直にやるのが最も得だ。

しかし上の方で問題になっていたように、
※1では自分で1/3に分けるのに対し、
※2は他人が分けたのから最大と思える
ものを選べる、という違いがある。

これを考慮すると収拾がつかなくなりそうだ。

次にBが注いだ後の、Aの思考を考えてみる。

>>94の推論より、Bの操作は正直であったと仮定してよい。

1：自分が何もしなかった場合。
　 自分はXと、Wの1/3（※2）を取ることになる。

2：自分が注ぎ戻した場合。
　 自分はYZのうち大きい方とWの1/3（※1）を取ることになる。

1の場合はXの分量を増やした方が得なので、注ぎ戻したい。
しかしそうすると2の状況になる。

2の場合はWの分量を増やした方が得なのだが、あいにく
XからWにさらに取り出す操作は許されていない。つまり
何もしない方がよい。これは1の状況である。

∴正直にやるのが最も得だ。

96は俺ね。

ついでに言うと
10=23=43=52=61=94 だったりする。

>>93
確かにそうですね。なんだ、有限回のｃｕｔでできるじゃん！！ｗ
X=YまたはZ（多い方）となるようにXの中身を注ぎ出させる操作が可能なのは、
「自分にとっての主観的な1/Nの分け前を切り取る事は可能である」のと
同じ理由と考えていいですね。たぶん。

#てか、自分が気にしているのは、「あ、出しすぎた」「あ、戻しすぎた」を
#永遠に（無限回）繰り返してしまうことがないか、ということなんですけど
#「自分にとっての主観的な等分量を切り出すことは可能とする」を
#仮定して問題ないはず。

というわけでこの問題はひとまず解決してしまいましたね。

>>97
10=23=43=52=61=94さ〜ん！すごいよ〜！サインちょーだい！ｗ
てか、朝もはよからお疲れさんです。。

じゃあn分割が可能なことを証明せよ
（nはあらゆる自然数で成り立つ）

って問題を考えてみよう

AGE

Ａが3等分したとする。（その３つをＸ、Ｙ、Ｚとする。）
Ｂ、Ｃが何を選ぼうがＡは１位タイ。
ＢとＣが違うものを指定すれば全員満足するので
ここではＢとＣが同じものを指定したとする。
残りの２つのうち１つ(どちらでも良い)がＡの取り分となり、これに関してＡは文句無し。
Ａの取り分がＸ、ＢとＣがＹを指定したとする。
この時点で解決していないので酒の移動が必要である。
・Ｘ→Ｙの移動
　　　→Ａの取り分が減り、Ａは１位タイでなくなるので不可。
・Ｘ→Ｚの移動
　　　→Ａの取り分が減り、Ａは１位タイでなくなるので不可。
・Ｙ→Ｘの移動
　　　ＢにとってもＣにとってもＹ＞ＸかつＹ＞Ｚでなければこの移動は不可。
　　　しかし「ＢもしくはＣにとってＸ＝Ｙ＞Ｚならば」という状況も当然想定しなければいけない。
　　　よってこの移動も不可。
・Ｙ→Ｚの移動
　　　→ＡにとってはＸ＜Ｚとなるので不可。
・Ｚ→Ｘの移動
　　　誰もＺを選ばないので不可。
・Ｚ→Ｙの移動
　　　→ＡにとってはＸ＜Ｙとなるので不可。
酒の移動が必要であるにもかからわず、酒の移動ができない。
よって解無し。

10=23=43=52=61=94さ〜んの解答には穴があ〜る。

>>102
別の容器への移動は考慮しないの？

>>103
直接やるか間接的にやるかの違いでしょ。
そんなことより10=23=43=52=61=94さ〜んの解答の穴を探してみ。

>>104
＞直接やるか間接的にやるかの違いでしょ。

一回別の容器にとることでそれを更に分けることができる。
つまり>>102の場合分けのうち複数を行うことができる。

>>102の考察は不十分だと思うが。

しかも一回別の容器Wに取りそれを更に分けた場合、
W1,W2,W3の誤差がＷ以内に収まることは全員納得しなければならない。
これが重要。

3人は正直に行動、自己申告するものとする。
3人をA、B、Cとする。

まずCが、3つの容器XYZに、酒を3等分する。
そしてAとBに欲しい容器を選ばせる。
指名が分かれた場合はめでたく終了。
そこでAとBの指名がXに一致した場合を考える。

まずＡにX=YまたはZ（多い方）となるように、Xの中身を別の容器Wに注ぎ出させ、
Ｂがもしそれを注ぎ出しすぎだと感じたなら、ＢにX=YまたはZ（多い方）となるように容器ＷからＸへと戻させる。

（１）ＡがX=Yとなるように注ぎだしてたとする。Ｂが注ぎ戻さないとき、この時の3人の認識は

A：X＝Y＞Z
B：X＞Y,Z
C：Y＝Z＞X

ＡにWをW1,W2,W3と3等分させる。
最初にBに、W1,W2,W3のうち最大のものとXを取らせる。
次にCに、残ったW1W2のうち大きい方と、Zを取らせる。
最後にAが、残ったW1とYを持っていく。

（２）Ｂが注ぎ戻すとき。（ＢはX=Yとなるように注ぎ戻したとする）　この時の3人の認識は

A：X＞Y,Z
B：X＝Y＞Z
C：Y＝Z＞X

ＢにWをW1,W2,W3と3等分させる。
最初にＡに・・・（略）

>>104
＞そんなことより10=23=43=52=61=94さ〜んの解答の穴を探してみ。

アルファベットがみんなバラバラなんで書き直してみた。
>>106のどこがまずいですか？
俺には分からなかった。

皆様おひさしぶりです。１です。
>>104さんへ
>>79さんのいう「場合分けのうち複数を行うことができる」という主張が正しい
と思います。つまり、>>104さんの場合分けが不十分ということ。
>>104さんは、結局Ａにとって1/3 - α, 1/3, 1/3 + αに分かれる
場合しか列挙しておらず、その他の場合分けについて言及していません。
すべての場合分けを列挙していないにもかかわらず「解なし」と結論付けた
>>104さんの主張に「穴がある」と言えるでしょう。

（補足）
「その他の場合分け」とは、Ａにとって1/3 - α, 1/3 - β, 1/3 + α + βに
分かれるような場合です。
でも、結局この論法では、10=23=43=52=61=94さ〜んの解答に穴があるとも、
穴がないとも言えないような予感がします。>>104さんどうでしょうか。

（補足の補足）
↑のαやβなどを「１回の操作で山から山へ移動する量」だとすると、
1/3 - α + γ, 1/3 - β - γ, 1/3 + α + β
などの場合分けも考えないといけないですね。
残念ながら、>>104さんの論法は絶望的な気がする。。

酒の量を300とする。
Ｃが3等分する。ＣにとってはＸ＝100、Ｙ＝100、Ｚ＝100である。
ところがＡとＢからは見え方が違う。
ＡとＢが以下のように感じたとする。
Ａ：Ｘ＝140、Ｙ＝50、Ｚ＝110
Ｂ：Ｘ＝140、Ｙ＝100、Ｚ＝60
ＡとＢはＸを取りたがる。
ＡはＣにＹを渡そうとするが、ＢはＣにＺを渡そうとする。
ここではＢの案が採用され、ＣにＺが渡されたとする。
ＡはＸからＷに30移す。この時点でＡにとってはＸ＝110、Ｙ＝50、Ｚ＝110である。
ＢにとってはＸ＝110、Ｙ＝100、Ｚ＝60であり、Ｘ＞Ｙなので文句を言わない。
ＣにとってはＸ＝70、Ｙ＝100、Ｚ＝100
ＡがＷを3等分し、Ｗ1＝10、Ｗ2＝10、Ｗ3＝10とし、ＢにもＣにも同じ量に見えたとする。
各人の取り分は以下のとおり。
　　Ａ：Ｙ＋Ｗ3
　　Ｂ：Ｘ＋Ｗ1
　　Ｃ：Ｚ＋Ｗ2
Ａにとっては
　　Ａ：Ｙ＋Ｗ3＝50＋10＝60
　　Ｂ：Ｘ＋Ｗ1＝110＋10＝120
　　Ｃ：Ｚ＋Ｗ2＝110＋10＝120
Ｂにとっては
　　Ａ：Ｙ＋Ｗ3＝100＋10＝110
　　Ｂ：Ｘ＋Ｗ1＝110＋10＝120
　　Ｃ：Ｚ＋Ｗ2＝60＋10＝70
Ｃにとっては
　　Ａ：Ｙ＋Ｗ3＝100＋10＝110
　　Ｂ：Ｘ＋Ｗ1＝70＋10＝80
　　Ｃ：Ｚ＋Ｗ2＝100＋10＝110

明らかにＡにとっては不満足である。ＡはＣにＹを渡せなかったことを後悔するのであった。
ちなみにＣにＹを渡すかＺを渡すかの取り決めは>106には無い。

>102の補足
>102は1箇所から減量し、1箇所に増量している。
ここでは1箇所ないし2箇所から減量し、1箇所ないし2箇所に増量する場合分けを考える。
ちなみに「3箇所減量」と「3箇所増量」は考慮しない。また、「2箇所減量、2箇所増量」も考慮しない。
よって「1箇所減量、2箇所増量」と「2箇所減量、1箇所増量」の2パターンを考える。
�@1箇所減量、2箇所増量
・Ｘ→Ｙ･Ｚの移動
　　　→Ａの取り分が減り、Ａは１位タイでなくなるので不可。
・Ｙ→Ｘ･Ｚの移動
　　　>102にも書いたように
　　　「ＢもしくはＣにとってＸ＝Ｙ＞Ｚならば」という状況を想定すると、
　　　Ｙ→Ｘの移動が出来ない時点でやはり不可。
・Ｚ→Ｘ･Ｙの移動
　　　誰もＺを選ばないので不可。
�A2箇所減量、1箇所増量
・Ｘ･Ｙ→Ｚの移動
　　　→ＡにとってはＸ＜Ｚとなるので不可。
・Ｘ･Ｚ→Ｙの移動
　　　→ＡにとってはＸ＜Ｙとなるので不可。
・Ｙ･Ｚ→Ｘの移動
　　　>102にも書いたように
　　　「ＢもしくはＣにとってＸ＝Ｙ＞Ｚならば」という状況を想定すると、
　　　Ｙ→Ｘの移動が出来ない時点でやはり不可。

>>102さん
>ちなみにＣにＹを渡すかＺを渡すかの取り決めは>106には無い。
いえ、この場合ＣにはＹ（Ｘ、Ｙ、ＺのうちＡが最も少ないと感じているもの）を
渡す取り決めになっていますよ。
>>102さんはどうしてそう思われたのでしょうか？>>10や>>106の解答が舌足らず
だったでしょうか？
結局、ＣにＹ（Ｘ、Ｙ、ＺのうちＡが最も少ないと感じているもの）を渡すという前提では、
>>102が指摘する欠陥は起こりません。

>>113
ごめんなさい。1箇所読み損ね。再考する。

10=23=43=52=61=94さ〜んの解答は完璧でした。
お騒がせしました。m(__)m
ちなみにＢがＷからＸに酒を戻し、そのときＢにとってＸ＝ＺならＣにＹを渡せばいいんやね。
んじゃおやすみ。

んじゃＮ＝４に挑戦しますか。

>>102や>>112は、結局>102さんの勘違いだったわけですが、
Ｎ＝４の場合にも役立つことが示唆されているような気がします。
つまり、単純な「1箇所減量、1〜N-1箇所増量」ではこの問題は解けない、
ということがいえそうな気がしません？
>>10や>>106の解答のように、X - W = Y となるようWを切り出した
（「1箇所減量、N箇所増量」といえる？）ことがミソのように思います。
あり得る解答は「1箇所減量、N箇所増量」かもしれません。

sage

下がりすぎなのでネタ提供。。
「文句の出ないように分ける」でぐぐったらこんなページが出てきました。
http://www.okayama-u.ac.jp/user/le/psycho/member/hase/journal/psy-b/970724/
心理学の人らしく、考え方が文系的です。

訂正。
×文句の出ないように分ける
○文句の出ないように

>>119
いろいろ書いてあるが、結局もとの問題が全く解決されてないのが印象的だ。

また、文系的ということについて。

「権利の侵害」「責任」などの単語が頻出することもそうだが、
何より「例A、例B、例C、故に○○という結論を得る」
というような議論の進め方が特徴的だと思った。
（先に結論を書いている場合もあるが、議論全体の
骨格がそうなっている）

数学以外の分野ではこういうののことを「帰納法」と呼ぶのだろうか。

16

条件から三人が『一位もしくは一位タイ』という考えに無理があるのだと思う。
この時点で三人が平等に分けようという考えが無いのではないのだろうか？
自分が多いほうがいいという考えとしてる以上は
三人をABCとしてそれぞれ分けたのに他の二人が意見を言う、と
言うのは三人が平等にしようとしている状態であり、その時点で
条件で言う、自分が一位であるということを確信している、という考えに反しているのではないでしょうか。
自分が一位タイであると確信している、三人がそれぞれ一位タイだと思うことで初めて
この議論が出来るのではないでしょうか？

>>121
もともと帰納法って具体例から一般の法則を導くことでしょ。
（生物種Xの個体A,B,…は4本足である→Xである全ての個体は4本足、とか）
数学でのは有限の前提から一般の場合を導くところから
イメージ的に帰納法という名前がついたのではないかと。

>>123はスルーということでよろしいでしょうか

ここにＱｳｻﾞが降臨したことはないのか

え？なんでスルー？

>>123
1行目と最後の2行が矛盾してるように見えるのでスルー。

あ、もしかして最後2行は、
「3人とも、”全員等量だ”と思えるような方法を考えよ」
ってこと？

ごめん、仕事中で機嫌悪かったからとりあえずスルーしたかった。
（てか、仕事中に２ちゃん見るなよ＞自分）
>>123は３人とも「全員等量だ」と思わないといけないと主張しているようだ。
この問題では、３人の取り前に関する「主観的な」不等式が問題になっている。
３人がそれぞれ「自分は２位以下を引き離して１位」と思ったとすると
３人の不等式が両立しないことになるが、そもそも「主観的な」不等式なのだから
全く問題ない。
そもそも>>123は「三人をABCとして」とか言っておきながらその後AもBもCも
出てきていないし、文章がいいかげんだと思う。もっと文章（と頭の中）を
整理して発言して欲しい。

ほしゅ

　 ∧ ∧
　 (,,ﾟДﾟ)
　 ,,U,,U,.
　ﾐ・д・ﾐ　ﾎｯｼｭ!
　 """"

２＋３＋６＝１。

２＋３＋６＝１。

オレは２位タイくらいでちょうどいいや

ﾋﾞﾝﾋﾞﾝﾏｯﾁｮﾃﾞ(ﾟдﾟ)ｵｰｴｰｵｰｴｰ

26

フセインが見付からないからといってフセインが居ないことの証明にはならない
ように、核の三等分が見付からないからといって、三等分核がないことの証明には
ならない。

ふと思ったけど、>>30-60くらいで議論していた
「分ける側の方が不利」という話は、
まず適当に酒を2つに分けたあとそれぞれが2等分(と感じる量)にわけて
お互いに相手の分けた酒の多い(と感じる)方を取れば解決しない？

27

3

558

21

615

859

111

187

149