3次元バージョン研究室［高校生推奨］

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1 ：１３２人目の素数さん：
ヘロンの公式の3次元バージョンってどんなのだろう。
9点円の3次元バージョンってどんなのだろう。
メネラウスの定理の3次元バージョンってどんなのだろう。

ほかにも3次元に拡張してみたくなる（平面幾何の）定理や性質はたくさんある。
そんなことをいろいろと研究していこう。
2 ：１３２人目の素数さん：03/08/07 00:52
んこ。
3 ：1：03/08/07 00:56
（ヘロンの公式）
3辺の長さa,b,cの三角形の面積Sは
S=√{s(s-a)(s-b)(s-c)}　ただしs:=(a+b+c)/2
で与えられる。

3次元へ拡張するにはどうするのが自然か。
例えば4面の面積a,b,c,dの三角錐の体積Vとか。
もしくは6辺の長さa,b,c,d,e,fの三角錐の体積Vとか。

そんな感じで研究してこう。
4 ：元最強神：03/08/07 01:04
13歳のグロタンも3次元のヘロンの公式を導いたらしい。
5 ：1：03/08/07 01:06
（>>3の蛇足）
さらに三角形の内接円半径r_0、傍接円半径r_a、r_b、r_cとおくと

(0) S=(r_0)s=(r_a)(s-a)=(r_b)(s-b)=(r_c)(s-c)

で与えられることは図を書けば直ちにわかる。このことから次式が導かれる。

(1) (1/r_0)=(1/r_a)+(1/r_b)+(1/r_c)
(2) S=√{(r_0)(r_a)(r_b)(r_c)}

さて手始めに(0)の3次元バージョンを考えよう。
体積Vの三角錐の4面の面積a,b,c,d、内接円半径r_0、傍接円半径r_a〜r_dとおけば

(0') V=(r_0)v=(r_a)(v-a)=(r_b)(v-b)=(r_c)(v-c)=(r_d)(v-d)　ただしv=:(a+b+c+d)/3

が言える。このことから(1)の3次元バージョンを作り出すことはできそうだが
(2)はどうか？
6 ：1：03/08/07 01:07
誘導はこのくらいにします。
高校生諸君、頑張って研究してくれ。
7 ：１３２人目の素数さん：03/08/07 01:10







　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　な　ん　だ　。　結　局　教　え　て　君　ス　レ　か
8 ：1：03/08/07 01:15
馬鹿なレスは放置しよう。
基本的に空間図形の性質を探求するスレッドとして使ってもらえれば
話題は特に上記のものに限らなくても構わない。
9 ：１３２人目の素数さん：03/08/07 01:29
前スレはこちら。
アレクシの定理その２
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1012637724/
10 ：１３２人目の素数さん：03/08/07 01:50
4面の面積が与えられれば、4面体の体積は確定する？
11 ：１３２人目の素数さん：03/08/07 03:00
>>10
しないよ。
たとえば、4面とも面積1だとして、
各面を斜辺の長さが2であるような直角二等辺三角形に近づけると
体積はいくらでも0に近くなる。
12 ：１３２人目の素数さん：03/08/07 06:23
案外>>7は図星なんじゃネェか？
13 ：１３２人目の素数さん：03/08/09 20:27
僕は2次元で十分です
3次元は汚れています
14 ：１３２人目の素数さん：03/08/09 20:57
2次元萌え　->　オタク
3次元萌え　->　一般人
高次元萌え　->　数ヲタ
15 ：山崎 渉：03/08/15 18:59
　　　 (⌒V⌒)
　　　│ ＾ ＾ │＜これからも僕を応援して下さいね（＾＾）。
　　⊂|　　　　|つ
　　　（＿）（＿）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　山崎パン
16 ：１３２人目の素数さん：03/08/21 02:13
　
17 ：１３２人目の素数さん：03/08/21 03:53
>>11
意味が分からない
18 ：１３２人目の素数さん：03/08/22 17:45
三角錐の６辺の長さをａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ、ｆとしたら体積はどうなるの？
19 ：１３２人目の素数さん：03/08/22 23:56
>>18
a,a,a,b,b,bの6辺(a≠b)を持つ三角錐で一辺aの正三角形を持つものと
一辺bの正三角形を持つものとでは体積が違う。
20 ：１３２人目の素数さん：03/08/23 03:52
>>10
直方体ABCD-EFGH、A'B'C'D'-E'F'G'H'を次のように辺の長さで与える。
AB=2/√7, AD=3/√7, AE=1/√7
A'B'=3/√13, A'D'=4/√13, A'E'=1/√13
この時4面体ACFH、A'C'F'H'は各面の面積が1/2で、なおかつ体積が違う。
21 ：１３２人目の素数さん：03/08/23 03:53
だれか公式作ってみてよ
漏れには無理だ
22 ：１３２人目の素数さん：03/08/23 04:33
ある定理の次元拡張してみたらきれいな式が出てきたよ
23 ：１３２人目の素数さん：03/08/23 04:39
>>22
詳細きぼんぬ
24 ：１３２人目の素数さん：03/10/02 07:50
14
25 ：１３２人目の素数さん：03/10/28 08:28
18
26 ：１３２人目の素数さん：03/11/09 06:57
12
27 ：１３２人目の素数さん：03/12/03 17:57
w
28 ：１３２人目の素数さん：03/12/03 18:06
w
29 ：１３２人目の素数さん：03/12/12 17:40
ﾋﾞﾝﾋﾞﾝﾏｯﾁｮﾃﾞ(ﾟдﾟ)ｵｰｴｰｵｰｴｰ
30 ：１３２人目の素数さん：03/12/18 16:18
http://www.0-max.net/adult/dvd/view/DD-059-F.php?page=1
http://www.cc.rim.or.jp/~white-st/bdsmdvd/dd059.html
31 ：１３２人目の素数さん：03/12/18 17:05
！！ヘロンの公式の３次元バージョン！！

ある(３次元の)空間に直線上にない任意の３点をとる。
それらをそれぞれ結んだ直線をa,b,cとする。
そして，それらで囲まれた三角形の面積をSとすると、
S=√{s(s-a)(s-b)(s-c)}
但し、2s=a+b+cとする。

完璧
32 ：１３２人目の素数さん：03/12/18 17:09
訂正

直線を→直線の長さを

完璧
33 ：１３２人目の素数さん：03/12/20 14:45
三平方の定理の３次元バージョンは「不思議おもしろ幾何学辞典」って本に載ってた。
(0,0,0)(a,0,0)(0,b,0)(0,0,c)を4頂点とする三角錐について。
詳細は忘れたけど、中学生でも証明できるので、やってみ。
34 ：１３２人目の素数さん：03/12/20 16:28
何を証明すんの？
35 ：１３２人目の素数さん：03/12/20 20:31
>>34
x^2+y^2=z^2 という等式が、三平方の定理では成り立つけど、
この場合も、三角錐の体積や、辺や、面の面積の間に、ある等式が成り立つんです。
どんな等式かは忘れました。スマンね。おヒマなら探してみては？
36 ：１３２人目の素数さん：03/12/20 22:53
ﾅﾇｯ
37 ：１３２人目の素数さん：03/12/20 23:44
>>33
計算してみた。
3つの直角三角形の面積をA、B、C、
直角でない三角形の面積をSとしたとき、
S^2 = A^2+B^2+C^2
となった。
38 ：１３２人目の素数さん：03/12/20 23:49
Beautiful!
39 ：１３２人目の素数さん：03/12/21 12:54
1/2がつくんじゃない？
40 ：１３２人目の素数さん：04/01/08 21:00
557
41 ：１３２人目の素数さん：04/01/15 20:26
574
42 ：１３２人目の素数さん：04/01/17 20:48
(
43 ：１３２人目の素数さん：04/01/17 23:09
立体角に対する立体三角関数を誰か定義してくれ
44 ：１３２人目の素数さん：04/01/20 21:39
普通に経度と緯度を考えるだけじゃダメなんですか？

それとは全然違うことを考えているのなら、もう少し詳しくお願いします。
45 ：１３２人目の素数さん：04/01/29 03:49
三次元極座標の緯度と経度は二次元の角じゃん。
立体角ってのは電磁気の計算とかで出てきた記憶がある。円錐の頂点からみた広がり
みたいなやつだろ
46 ：１３２人目の素数さん：04/02/01 05:21
487
47 ：１３２人目の素数さん：04/02/18 08:22
13
48 ：１３２人目の素数さん：04/03/06 23:15
548
49 ：１３２人目の素数さん：
153